CN105718664B - 基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法 - Google Patents

基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于傅立叶级数与分形函数的大型天线轨道不平度建模方法，包括：轨道表面不平度进行测量，设定模型中傅立叶级数展开阶次初始值以及分形函数拟合长度初始值；采用傅立叶级数拟合大尺度轮廓，采用最小二乘法求解；检验傅立叶级数的准确性，确定傅立叶展开阶次；将傅立叶级数拟合残差作为分形函数拟合的对象，建立基于分形函数的优化模型，确定设计变量的上下限，采用遗传优化算法计算优化模型；检验分形函数拟合的准确性，确定分形函数拟合长度；检验不平度数学模型的准确性。本发明能描述轨道不平度的宏观轮廓和轨道的微观形貌，更加真实的反映了实际轨道粗糙面；为天线指向模型中轨道误差源提供了支持，具有较高的实际应用价值。

Description

基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法
技术领域
本发明涉及一种大型天线轨道不平度的建模方法，具体涉及一种基于傅立叶级数与Weierstrass—Mandelbrot(以下简称W-M)分形函数的大型天线轨道不平度建模方法，适用于对表面精度要求高的设备或结构，可广泛应用于大型天线等领域。
背景技术
随着射电天线规模、重量越来越大，采用转台式天线座，面临着设计、制造工艺、运输、成本等方面的问题，而采用轮轨式天线座，由于省略了大齿轮、底座等构件，则可以较好的解决以上问题。因此，在低速、重载的大型射电天线上尝试采用轮轨式天线座，已是一个必然的选择，但是由于轨道制造工艺避免不了会造成轨道表面不平，这将严重影响天线的指向精度，又由于轨道直径过大，不可能实现轨道整体加工成形，只能采用分段轨道拼接，此过程中需要严格精确的水平调整，非焊接轨道的连接处会额外引入较大误差，所以现在高精度指向射电望远镜大多都采用完全焊接式轨道，完全焊接式轨道在加工锻造的过程中也有带入少量的轨道应力变形，这些都将对天线指向精度造成影响。
由于轨道制造和安装工序，导致了天线轨道表面，既包含大跨度、高幅度、低频特性的大尺度轮廓，也包含小跨度、低幅度、高频特性的小尺度结构。对于轨道不平度中所存在的上述问题，目前学术论文和专利中有采用简单的三角函数来表示轨道的表面(如文献：姜正阳等“考虑轨道不平度的射电望远镜指向修正方法”，天文研究与技术2015,04:417-423.)，这种方法过于粗糙，拟合误差过大，拟合残差将严重影响高指向精度要求天线的指向。也有采用分形函数来表示粗糙度的，(如专利：《一种基于多尺度分形函数的反射面天线面板建模方法》、申请编号为201410465350.5的文件)，提出了一种多尺度分形函数的反射面天线面板建模方法，有效的反映了天线面板表面的分形特性，但其仅适用于天线面板，不适用于天线轨道表面这种复杂的不平度结构。
由于天线结构比较灵敏，微小的轨道不平度就会影响天线指向精度，通常轨道不平度造成的天线指向精度高达2角秒，这对高精度指向天线是不可忽视的，这种影响可通过将轨道不平度模型代入天线指向模型中的方法来消除，本发明就是天线轨道不平度的建模方法，为天线指向模型中的轨道误差源提供支持，消除轨道不平度造成的天线指向误差。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于傅立叶级数与分形函数的大型天线轨道不平度建模方法，该方法不仅能描述轨道不平度的大尺度轮廓，而且还能体现出轨道的小尺度微观形貌，保证了不平度建模的精准性，为天线指向模型提供了支持。
本发明的目的是通过下述技术方案来实现的。
基于傅立叶级数与分形函数的大型天线轨道不平度建模方法，包括以下步骤：
(1)通过高精度测量仪器对轨道表面不平度进行测量，完成轨道表面不平度样本的采集，得到测量值(xi,yi)和轨道原始不平度RMS；
(2)分别设定傅立叶级数f1(x)展开阶次初始值m＝n0，以及小尺度拟合长度初值l＝l0，修改m的取值为m＝m+1，保持l的取值不变；
(3)采用傅立叶级数分别展开m和m+1阶，拟合测量值(xi,yi)，傅立叶级数采用最小二乘原理求解，m的取不同值时，分别得到两组轨道表面不平度拟合残差值的均方根值，记为RMSm-1和RMSm；
(4)比较两组轨道表面不平度拟合残差值的均方根值RMSm-1、RMSm，若则进入下一步；否则RMSm-1＝RMSm，修改m的取值为m＝m+1，保持l的取值不变，跳转至步骤(3)；
(5)若步骤(4)满足要求，则保存m,l的取值以及傅里叶级数f1(x)中相关参数，记RMSm的值为RMS1；
(6)建立W-M分形函数的优化模型采用遗传优化算法求解，将步骤(4)得到的轨道表面不平度拟合残差值作为W-M分形函数的拟合对象，代入优化模型中；
(7)通过遗传优化算法计算W-M分形函数中相关参数，得到优化分形函数的拟合误差值RMSm′，并保存；
(8)比较步骤(5)中RMS1与步骤(7)优化分形函数的拟合误差值RMSm′，若则进入下一步，否则记l＝l-Δ，Δ表示为小尺度拟合长度的减小量，并跳转至步骤(7)；
(9)满足步骤(8)后，保存此优化分形函数的拟合误差值RMSm′以及W-M分形函数中相关参数值；
(10)记轨道原始不平度RMS为RMS0，若此时则进入下一步，否则，m＝m+1，并跳转至步骤(3)；
(11)保存最终优化分形函数的拟合误差值RMSm′以及步骤(5)中傅里叶级数f1(x)中相关参数和步骤(9)中W-M分形函数中相关参数值，并构建大型天线轨道不平度模型：
进一步，步骤(4)中，高精度要求时，ε1＝2％，其他情况ε1＝5％。
进一步，步骤(8)中，第二精度要求ε2＝25％～33％。
进一步，步骤(10)中，第三精度要求ε3＝15％～20％。
进一步，选择下式的傅立叶级数f1(x)来拟合轨道不平度的大尺度轮廓，并采用最小二乘法求解，傅立叶级数f1(x)：
其中，x表示轨道周向位置，f1(x)表示相应的高度值，ω0为傅立叶级数基频，m为傅立叶级数展开阶次，a0、a1、b1…an、bn为待定参数，φ1(x)、…、φn(x)、为常系数线性组合。
进一步，步骤(6)中，W-M分形函数的优化模型为：
n1i＝lg(1/Li)/lg(γ)
Lmin＜Li＜Lmax
Dmin＜Di＜Dmax
式中，Ai是分形函数幅值系数，反映的大小，决定着的具体尺寸；Li为分形函数采样长度；N为采样长度内的采样点数；Di为小尺度分形维数；为分形函数纵向平移量；为分形函数横向平移量；γj为粗糙面的空间频率，γ通常取值为1.5。
进一步，大型天线轨道不平度模型通过下式表示：
n1i＝lg(1/Li)/lg(γ)
式中，f1(x)为傅立叶级数，a0,a1,…,an,b1,…,bn为傅立叶级数的待定系数；m为傅立叶级数展开阶次；ω0为傅立叶级数的基频；S为Z(x)描述的轨道长度，一般取轨道全长的三分之一；k为W-M分形函数拟合轨道不平度时，轨道的分段数，l为的拟合长度，k＝S/l，取整；为第i段W-M分形函数；Ai是W-M分形函数幅值系数，反映的大小，决定着的具体尺寸；Li为W-M分形函数采样长度；Di为W-M分形函数的分形维数；为W-M分形函数纵向平移量；为W-M分形函数横向平移量。
进一步，步骤(8)中，小尺度拟合长度的减小量Δ通常取值为10cm。
本发明提出了采用傅立叶级数与W-M分形函数结合的思想来建立轨道不平度模型，先采用傅立叶级数拟合轨道不平度的大尺度轮廓，将拟合残差作为W-M分形函数拟合的对象，进行小尺度拟合，这不仅能描述轨道不平度的宏观轮廓，而且还能体现出轨道的微观形貌，更加真实的反映了实际轨道粗糙面。
本发明的有益之处在于：
(1)该方法不仅能体描述轨道不平度的宏观轮廓，而且还能体现出轨道的微观形貌，更加真实的反映了实际轨道粗糙面；
(2)轨道不平度建模为天线指向模型提供了支持，能分析出轨道不平度对指向的影响，具有较高的实际应用价值。
附图说明
图1是本发明轨道不平度描述方法流程图；
图2是本发明轨道不平度实测轮廓；
图3是本发明仿真中傅立叶级数拟合轨道不平度图；
图4是本发明仿真中W-M分形函数拟合情况简图；
图5是本发明仿真中最终的轨道不平度函数模型与实际轨道轮廓对比示意图。
具体实施方式
以下结合附图和具体实施案例对本发明作具体的介绍。
参照图1，一种基于傅立叶级数与W-M分形函数拟合的大型天线轨道不平度建模方法，其包括以下步骤：
第一步，通过高精度测量仪器测量轨道周向轮廓高度，完成轨道不平度的样本收集(xi,yi)，得到测量值(xi,yi)和轨道原始不平度RMS；
第二步，分别设定傅立叶级数f1(x)展开阶次初始值m＝n0，以及小尺度拟合长度初值l＝l0，
其中，傅立叶级数f1(x)如下式：
其中，x表示轨道周向位置，f1(x)表示相应的高度值，ω0为傅立叶级数基频，m为傅立叶级数展开阶次，m的取值范围为[1,N/2)，m为正整数，令φn(x)＝cos(nω0x)，公式中a0、a1、b1…an、bn为待定参数，为使f1(x)与观察值(xi,yi)在总体上尽可能接近，在确定拟合模型的过程中，存在多种方法，选择f1(x)，使f1(x)可由多个函数φ1(x)、…、φn(x)、的常系数线性组合来近似表示，采用最小二乘法求解超定线性方程组。
因案例中轨道长度较长，这里选取n0＝10，l0＝200cm，修改m的取值为m＝m+1，保持l的取值不变；
第三步，采用傅立叶级数分别展开m和m+1阶，拟合测量值(xi,yi)，傅立叶级数采用最小二乘原理求解，超定线性方程组，m的取不同值时，分别得到两组轨道表面不平度拟合残差值的均方根值，分别记为RMSm-1和RMSm；
第四步，比较两组轨道表面不平度拟合残差值的均方根值RMSm-1、RMSm数值大小，对于高精度指向的射电望远镜，取相对误差ε1＝2％，其他情况ε1＝5％，若则暂时满足傅立叶级数拟合不平度精度要求，跳转至第五步，否则令RMSm-1＝RMSm，修改m的取值为m＝m+1，保持l的值不变，跳转至第三步；
第五步，若第四步满足要求ε1，表明傅立叶级数展开到m阶时，可暂时满足精度要求，保存此时m,l的值以及傅里叶级数f1(x)中相关参数，记RMSm的值为RMS1；
第六步，W-M分形函数是高度非线性函数，所以采用遗传优化算法求解，首先建立函数优化模型来拟合小尺度，见公式(2)，其体现了轨道加工表面的分形特性，并且建立了优化模型，使拟合精度最高，因分形函数为高度非线性函数，这里采用遗传优化算法计算分形函数的参数，第i段分形函数优化模型如下所示：
式中，Ai是分形函数幅值系数，反映的大小，决定着的具体尺寸；Li为分形函数采样长度；N为采样长度内的采样点数；Di为小尺度分形维数；为分形函数纵向平移量；为分形函数横向平移量；γj为粗糙面的空间频率，γ通常取值为1.5。
将第四步得到的轨道表面不平度拟合残差值作为W-M分形函数的拟合对象，代入优化模型中，再通过功率谱密度法等传统方法求解大致粗糙面分形维数Di以及幅值系数Ai，最后根据Ai、Di、Li的物理意义设定变量的上下线；
第七步，通过优化模型计算W-M分形函数中相关参数，得到优化分形函数的拟合误差值RMSm′，并保存；
第八步，比较第五步中RMS1与第七步优化分形函数的拟合误差值RMSm′，若则暂时满足分形函数描述精度要求，跳转至第九步，若不满足判定要求，则修改l的取值为l＝l-Δ(Δ表示为小尺度拟合长度的减小量，Δ通常取值为10cm)，并跳转至第七步，一直循环直到满足要求；
第九步，满足第八步后，保存此时优化分形函数的拟合误差值RMSm′以及W-M分形函数中相关参数值；此时傅立叶级数和分形函数拟合精度分别达到了要求；
第十步，记轨道原始不平度RMS为RMS0，若此时则表明总的拟合误差达到了精度要求，跳转至第十一步，否则，增大傅立叶级数的展开阶次，令m＝m+1，并跳转至第三步；
第十一步，保存最终函数的拟合误差值RMSm′以及第五步中傅里叶级数f1(x)中相关参数和第九步中W-M分形函数中相关参数值，并构建大型天线轨道不平度模型：
n1i＝lg(1/Li)/lg(γ)
式中，f1(x)为傅立叶级数，a0,a1,…,an,b1,…,bn为傅立叶级数的待定系数；m为傅立叶级数展开阶次；ω0为傅立叶级数的基频；S为Z(x)描述的轨道长度，一般取轨道全长的三分之一；k为W-M分形函数拟合轨道不平度时，轨道的分段数，l为的拟合长度，k＝S/l，取整；为第i段W-M分形函数；Ai是W-M分形函数幅值系数，反映的大小，决定着的具体尺寸；Li为W-M分形函数采样长度；Di为W-M分形函数的分形维数；为W-M分形函数纵向平移量；为W-M分形函数横向平移量。
上述在第三步到第十步中，提出了采用傅立叶级数与W-M分形函数结合的思想来建立轨道不平度模型，先采用傅立叶级数拟合轨道不平度的大尺度轮廓，将拟合残差作为W-M分形函数拟合的对象，进行小尺度拟合，这不仅能描述轨道不平度的宏观轮廓，而且还能体现出轨道的微观形貌，更加真实的反映了实际轨道粗糙面。
本发明的优点可通过以下仿真实验进一步说明：
1.仿真条件
某高精度大型轮轨式射电望远镜，轨道直径64m，由48块轨道构成，全长201米左右，不平度RMS0为0.05286mm，轨道采用基板和耐磨板结合的双层复合结构，基板采用U型槽焊接，耐磨板与基板通过螺栓紧扣，轨道采用高精密仪器测量轨道表面高度值，测量结果见图2，采样点越密集，越能反映轨道形貌的真实性。
2.仿真结果
仅采用傅立叶级数拟合，能体现出轨道的大致轮廓，但是较难反映出轨道的真实形貌，拟合效果见图3，傅立叶级数展开不同阶次的拟合结果见表1。RMS0为轨道不平度实际测量值yi的RMS，RMS1为拟合函数f1(x)的RMS，RMS2为f1(xi)-yi的RMS。
采用分形函数拟合小尺度，描述结果见图4，能较好的反映出轨道的局部形貌，弥补了傅立叶级数的不足之处。采用傅立叶级数和分形函数结合的方式拟合该轨道不平度效果见图5，最终的描述误差为均方根值为0.0107，傅立叶级数展开阶次m＝18，分形函数拟合长度l＝60cm。
表1傅立叶级数拟合
展开阶次 1 2 3 4 5 6
RMS1 0.018346 0.018352 0.026373 0.02786 0.03364 0.035249
RMS2 0.049579 0.049577 0.045816 0.044927 0.04078 0.039397
展开阶次 7 8 9 10 11 12
RMS1 0.035378 0.036605 0.037004 0.037298 0.037661 0.037885
RMS2 0.039282 0.038141 0.037754 0.037464 0.037098 0.03687
展开阶次 13 14 15 16 17 18
RMS1 0.038082 0.038096 0.038589 0.040057 0.040293 0.040664
RMS2 0.036666 0.036652 0.036132 0.034498 0.034222 0.03378
展开阶次 19 20 21 22 23 24
RMS1 0.040837 0.041934 0.041949 0.041999 0.042157 0.045007
RMS2 0.033571 0.03219 0.03217 0.032105 0.031897 0.027732
展开阶次 25 26 27 28 29 30
RMS1 0.045762 0.045865 0.045903 0.046484 0.046656 0.047262
RMS2 0.026468 0.026289 0.026221 0.025178 0.024857 0.023684
仿真结果表明：采用本发明方法描述天线轨道不平度，描述误差幅值范围控制在±0.02mm之间，相对于轨道不平度测量值减小了一个量级，并且有效体现了轨道表面的粗糙形貌。
通过本发明的方法，可以较精确的描述轨道不平度轮廓以及微观形貌，不仅为天线指向模型提供了误差源函数模型，也为天线轮轨接触的振动研究奠定了基础，本方法既能用于天线轨道不平度建模而且还能用于高精密环形起重机环形轨道的不平度建模，具有良好的推广应用价值。
需要说明的是，上述实施案例不以任何形式限制本发明，凡采用等同替换或等效变换的方式所获得的技术方案，均落在本发明的保护范围内。

Claims (8)

1.基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)通过高精度测量仪器对轨道表面不平度进行测量，完成轨道表面不平度样本的采集，得到测量值(xi,yi)和轨道原始不平度RMS；
(2)分别设定傅立叶级数f1(x)展开阶次初始值m＝n0，以及小尺度拟合长度初值l＝l0，修改m的取值为m＝m+1，保持l的取值不变；
(3)采用傅立叶级数分别展开m和m+1阶，拟合测量值(xi,yi)，傅立叶级数采用最小二乘原理求解，m取不同值时，分别得到两组轨道表面不平度拟合残差值的均方根值，记为RMSm-1和RMSm；
(4)比较两组轨道表面不平度拟合残差值的均方根值RMSm-1、RMSm，若则进入下一步；否则RMSm-1＝RMSm，修改m的取值为m＝m+1，保持l的取值不变，跳转至步骤(3)；其中，ε1为高精度；
(5)若步骤(4)满足要求，则保存m,l的取值以及傅立叶级数f1(x)中相关参数，记RMSm的值为RMS1；
(6)建立W-M分形函数的优化模型采用遗传优化算法求解，将步骤(4)得到的轨道表面不平度拟合残差值作为W-M分形函数的拟合对象，代入优化模型中；其中，为第i段W-M分形函数，Ai是分形函数幅值系数，Di为W-M分形函数的分形维数，Li为W-M分形函数采样长度，为W-M分形函数横向平移量，为W-M分形函数纵向平移量；
(7)通过遗传优化算法计算W-M分形函数中相关参数，得到优化分形函数的拟合误差值RMSm′，并保存；
(8)比较步骤(5)中RMS1与步骤(7)优化分形函数的拟合误差值RMSm′，若则进入下一步，否则记l＝l-Δ，Δ表示为小尺度拟合长度的减小量，并跳转至步骤(7)；其中，ε2为第二精度；
(9)满足步骤(8)后，保存此优化分形函数的拟合误差值RMSm′以及W-M分形函数中相关参数值；
(10)记轨道原始不平度RMS为RMS0，若此时则进入下一步，否则，m＝m+1，并跳转至步骤(3)；其中，ε3为第三精度；
(11)保存最终优化分形函数的拟合误差值RMSm′以及步骤(5)中傅立叶级数f1(x)中相关参数和步骤(9)中W-M分形函数中相关参数值，并构建大型天线轨道不平度模型：
其中，k为W-M分形函数拟合轨道不平度时，轨道的分段数。
2.根据权利要求1所述的基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法，其特征在于，步骤(4)中，高精度要求时，ε1＝2％，其他情况ε1＝5％。
3.根据权利要求1所述的基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法，其特征在于，步骤(8)中，第二精度要求ε2＝25％～33％。
4.根据权利要求1所述的基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法，其特征在于，步骤(10)中，第三精度要求ε3＝15％～20％。
5.根据权利要求1所述的基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法，其特征在于，选择下式的傅立叶级数f1(x)来拟合轨道不平度的大尺度轮廓，并采用最小二乘法求解，傅立叶级数f1(x)：
其中，x表示轨道周向位置，f1(x)表示相应的高度值，ω0为傅立叶级数基频，m为傅立叶级数展开阶次，a0、a1、b1…an、bn为待定参数，为常系数线性组合。
6.根据权利要求1所述的基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法，其特征在于，步骤(6)中，W-M分形函数的优化模型为：
n1i＝lg(1/Li)/lg(γ)
Lmin＜Li＜Lmax
Dmin＜Di＜Dmax
式中，Ai是分形函数幅值系数，反映的大小，决定着的具体尺寸；N为采样长度内的采样点数；γj为粗糙面的空间频率。
7.根据权利要求1所述的基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法，其特征在于，大型天线轨道不平度模型通过下式表示：
n1i＝lg(1/Li)/lg(γ)
式中，f1(x)为傅立叶级数，a0,a1,…,an,b1,…,bn为傅立叶级数的待定系数；m为傅立叶级数展开阶次；ω0为傅立叶级数的基频；S为Z(x)描述的轨道长度，取轨道全长的三分之一；l为的拟合长度，k＝S/l，取整；反映的大小，决定着的具体尺寸。
8.根据权利要求1所述的基于傅立叶级数与分形函数大型天线轨道不平度建模方法，其特征在于，步骤(8)中，小尺度拟合长度的减小量Δ取值为10cm。
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