CN105574222A - 载人舱船非线性复压定步长欧拉离散仿真稳态振荡的克服方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了载人舱船非线性复压定步长欧拉离散仿真稳态振荡的克服方法。其特征在于包括：推导运用非线性复压组件进行舱船对接的模型；利用系统稳定性理论分析该仿真出现稳态振荡原因；得到基于定步长欧拉离散仿真方法的系统稳定的限定条件；最终得到克服非线性复压定步长欧拉离散仿真稳态振荡的仿真方法。

Description

载人舱船非线性复压定步长欧拉离散仿真稳态振荡的克服方法

技术领域

应用于采用欧拉离散法对载人飞船舱船对接复压过程的仿真领域，对于已有方法的分析，并提出了解决方案。

背景技术

对于实际的载人飞船舱船对接复压，当舱船之间压力差别很小时，宇航员会手动将复压阀门关闭，但是系统仿真过程必须实现压力差为零，系统稳态流量为零，这就给仿真带来了更大的要求。

发明内容

实际舱船对接复压运用的是非线性复压组件，我们对于该复压组件进行了仔细的研究，得到了其模型的本质为一阶压力流量变化模型。但是由于非线性复压组件工作较为复杂，在工作即将结束时，即流量很小的情况下：1、为了保证稳定性，一般采用变步长，仿真时间过长；2、为了保证仿真的实时性，需要采用定步长方法，如果采用常用的欧拉方法或者三阶龙格库塔方法，系统就会出现振荡，如果采用改进欧拉法或者四阶龙格库塔方法，系统会出现稳态误差。针对定步长欧拉离散仿真方法，提出了线性复压组件模型，该模型较非线性复压组件而言便于实现，系统也能保证稳定，因此，基于定步长欧拉仿真方法的非线性复压组件会出现稳态振荡的原因进行了仔细的研究，发现系统最终出现的稳态振荡是不可避免的。所以，我们选择在系统流量较大的情况下采用非线性复压组件模型进行仿真，当系统流量小于保证系统稳定性的最小流量时，再改用线性复压组件，这样仿真过程即与实际相接近，舱船之间压力差和流量最终为零，又能始终保证系统的实时性和稳定性。

根据本发明的一个方面，提供了一种载人舱船非线性复压欧拉离散仿真方法，其特征在于包括：

应用定步长欧拉离散仿真方法对载人飞船对接非线性复压进行仿真，

在仿真前计算出保证系统稳定的最小流量值，对仿真模型进行设置，

当系统流量大于最小流量时，进行非线性复压，

当系统流量小于该最小流量值时，进行线性复压，从而保证了系统从始至终都是稳定的。

本发明提供了运用定步长进行仿真方法，从而保证了仿真的实时性。由于采用定步长的欧拉法或三阶龙格库塔法，系统会出现振荡，采用改进欧拉法或四阶龙格库塔法，系统会出现稳态误差，所以提出在仿真过程中判断流量的大小是否满足始终大于保证系统稳定的最小流量，若满足则使用非线性复压组件进行仿真，否则改用线性复压组件的方法。

附图说明

图1是应用本发明的舱船对接模型示意图。

图2用于说明欧拉法系统稳定区域。

图3用于说明流量出现2^-周期点的情况

图4(a)-4(c)显示了对于初值设定在不同区域系统最终的振荡情况

图5用于说明根据本发明的改进方法的最终仿真结果。

图6显示了本发明的一个实施过程。

具体实施方案

根据本发明，应用定步长欧拉法对载人飞船对接非线性复压进行仿真，其仿真模型如图1所示，是核心舱与货船的对接。由于运用定步长欧拉法仿真，所以要分析欧拉法系统稳定区域如图，2所示。进行仿真得到流量仿真结果如图3所示，出现2^-周期点。对该非线性系统进行稳态性能分析，得到当初值设定在不同区域下，系统最终都会在该两点之间振荡，如图4(a)到4(c)所示。因此，本发明提出了改进方法，使系统最终的结果如图5，与实际情况接近，保证了系统的稳定。整个发明的实施过程如图6所示。

本发明的技术解决方案

载人舱船对接模型如图1，实际运用的非线性复压组件的流量/压力变化模型遵循(1)式：

$\sqrt{\frac{P_2-P_1}{R}}=w---\left(1\right)$

其中：

下标1代表核心舱，下标2代表飞船；

P表示压力，单位是Pa，P₁表示核心舱压力，P₂表示飞船压力；w表示流量，单位是kg/s；R表示摩阻，单位是Pa/(kg/s)²；

载人舱船对接时，认为两密闭空间内的空气为理想气体，则各自压力变化为：

P₁V₁＝m₁R_gT₁(2a)

P₂V₂＝m₂R_gT₂(2b)

其中：

m表示空气总质量，单位是kg；m₁表示核心舱的空气总质量，m₂表示飞船的空气总质量；

T表示温度，单位是K，T₁表示核心舱的温度，T₂表示飞船的温度；

V表示体积，单位是m³，V₁表示核心舱的体积，V₂表示飞船的体积；

Rg表示气体常数，单位是J/(kg·K)，Rg＝196.8J/(kg/K)；

假设复压过程T₁、T₂不发生改变，根据(1)、(2a)、(2b)可得舱船内空气质量的变化：

$\frac{{\mathrm{dm}}_1}{\mathrm{dt}}=w=\frac{V_1}{R_g{T}_1}\frac{{\mathrm{dP}}_1}{\mathrm{dt}}---\left(3a\right)$

$\frac{{\mathrm{dm}}_2}{\mathrm{dt}}=w=\frac{V_2}{R_g{T}_2}\frac{{\mathrm{dP}}_2}{\mathrm{dt}}---\left(3b\right)$

则由(1)、(2a)、(2b)、(3a)、(3b)式得到：

$c_1\frac{{\mathrm{dP}}_1}{\mathrm{dt}}=w=\sqrt{\frac{P_2-P_1}{R}}---\left(4a\right)$

$c_2=\frac{{\mathrm{dP}}_2}{\mathrm{dt}}=-w=-\sqrt{\frac{P_2-P_1}{R}}---\left(4b\right)$

将式(4a)和(4b)联立，则得到

${\left(c_1\frac{{\mathrm{dP}}_1}{\mathrm{dt}}\right)}^2=\frac{P_{20}-\frac{1}{c_1}{\∫}_0^t\mathrm{wdt}-P_1}{R}=w^2$

单位是kg/Pa；c₁表示核心舱的舱容，c₂表示核心舱的舱容；

进一步可得到：

$\frac{{\mathrm{dP}}_1}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{c_1}{\left(\frac{P_{20}+\frac{c_1}{c_2}{P}_{10}-(\frac{c_1}{c_2}+1)P_1}{R}\right)}^{1/2}$

其中：

P₁₀表示核心舱的初始压力，单位是Pa；

P₂₀表示飞船的初始压力，单位是Pa。

根据(5)式可以看出舱船对接复压时，压力变化模型是一个一阶模型(图6(601))。

在实际情况下该系统是连续收敛的，当|P₂-P₁|小于一个很小的数的时候，宇航员员会打开阀门。但是仿真过程中，会采用数值方法，仿真系统将呈现离散特征，这样连续收敛的实际过程会因采用不同数值方法而造成稳定收敛域缩小。

对于连续系统仿真过程选择定步长欧拉离散仿真方法。欧拉离散仿真对应的公式为

y_n+1＝y_n+hf(x_n,y_n)(6)

其中

y表示系统因变量；

x表示系统自变量；

h表示步长，单位s；

f(x_n,y_n)表示右端函数

假设f(x_n,y_n)＝λy_n，λ是对应的连续系统的特征值。

将公式(6)写成式(7)

y_n+1＝(1+hλ)y_n(7)

为保证系统稳定，得到步长与特征值选取范围的限制，即

-2＜hλ＜0(8)

当步长与特征值的乘积满足不等式(8)时，如图2，系统收敛。由于系统(5)存在非线性，式(5)采用泰勒级数进行局部线性化后，其对应的线性系统的特征值与P₁有关系，当P₁变化到某一区域内，在步长设为定值的前提下，特征值会不满足式(8)，系统会出现稳态振荡。

因为系统中压力达到一定范围内，会不满足不等式(8)，所以系统会出现稳态振荡，应该对该结果进行理论分析。

将公式(5)写为标准形式：

$f(x_n,y_n)=A{\left(\frac{B-{\mathrm{Cy}}_n}{D}\right)}^{1/2}---\left(9\right)$

其中

$A=\frac{1}{c_1};B=P_{20}+\frac{c_1}{c_2}{P}_{10};C=\frac{c_1}{c_2}+1;$ D＝R。

定义1：对于任一非线性离散动力系统，如果某个x₀∈M，若函数的n次迭代fⁿ(x₀)＝x₀，但对于小于n的自然数k，f^k(x₀)≠x₀，则称x₀是f^k(x_n)的一个n^-周期点。

可以根据定义1求出该仿真系统(5)存在y₁＝a₁、y₂＝a₂的2^-周期点，流量仿真如图3。

$a_{\mathrm{1,2}}=\frac{8\mathrm{BC}-\frac{A^2{C}^2{h}^2}{D}\±\sqrt{{(8\mathrm{BC}-\frac{A^2{C}^2{h}^2}{D})}^2-16C^2({4B}^2-\frac{A^2{\mathrm{BC}}^{2}h}{D})}}{8C^2}$

定义2：设x₀是离散动力学系统f(x)的n^-周期点，若则称x₀为系统f(x)的吸引周期点(吸引子或渊)，相应地称{x₀,f(x₀),...,f^n-1(x₀)}为系统的稳定周期轨；若则称x₀为系统f(x)的排斥周期点(排斥子或源)，相应地称{x₀,f(x₀),…,f^n-1(x₀)}为系统的不稳定周期轨。

由于之前求出系统存在2^-周期点，计算两个周期点对应的一阶导数和二阶导数

$\frac{\mathrm{df}\left(y_n\right)}{\mathrm{dy}}=-\frac{\mathrm{AC}}{2D}{\left(\frac{B-{\mathrm{Cy}}_n}{D}\right)}^{-1/2}$

$\frac{{\mathrm{df}}^2\left(y_n\right)}{\mathrm{dy}}=-\frac{{\mathrm{AC}}^2}{{4C}^2}{\left(\frac{B-{\mathrm{Cy}}_n}{D}\right)}^{-3/2}---\left(10\right)$

因为a₁、a₂是系统的2^-周期点，所以将a₁、a₂分别代入式(10)中，得

$\left|\frac{{\mathrm{df}}^2\left(y_n\right)}{{\mathrm{dy}}_n}{|}_{y_n=a_{\mathrm{1,2}}}\right|=|-\frac{{\mathrm{AC}}^2}{{4D}^2}{\left(\frac{B-C\frac{8\mathrm{BC}-\frac{A^2{C}^2{h}^2}{D}\&PlusMinus;\sqrt{{(8\mathrm{BC}-\frac{A^2{C}^2{h}^2}{D})}^2-{16C}^2({4B}^2-\frac{A^2{\mathrm{BC}}^{2}h}{D})}}{{8C}^2}}{D}\right)}^{-3/2}|<1$

根据定义2，得到y₁＝a₁、y₂＝a₂是系统的两个吸引周期点，所以系统的仿真结果分为三种情况，如图4(a)所示，当系统初值设定在y＜a₁时，系统首先达到a₁点，之后在a₁点和a₂点之间振荡；如图4(b)，当系统初值设定在y＞a₂时，系统首先达到a₂点，之后在a₁点和a₂点之间振荡；如图4(c)，当系统初值设定在a₁＜y＜a₂时，系统可能先到达a₁点，之后在a₁点和a₂点之间振荡，也可能系统可能先到达a₂点，之后在a₁点和a₂点之间振荡。总之，系统最终会在a₁点和a₂点之间振荡。

导致系统稳态振荡的原因是步长与特征值的乘积不满足使系统稳定的条件，而对于定步长仿真过程，系统特征值决定了系统的稳态性能。

系统特征值与P₁是有一定关系的，又因P₁与系统流量相关，所以可以找到系统特征值与流量的关系。而为了保证系统满足稳定性的要求，即在定步长情况下，需要找到系统特征值所需要满足的条件，所以应该先对系统(5)进行局部线性化，然后求取线性化之后的线性系统的特征值

$\mathrm{\&lambda;}=\frac{1}{2\sqrt{R}{c}_1}\frac{-(\frac{C_1}{C_2}+1)}{{[P_{20}+\frac{C_1}{C_2}{P}_{10}-(\frac{C_1}{C_2}+1)P_1]}^{1/2}}$

其中：

${[P_{20}+\frac{c_1}{c_2}{P}_{10}-(\frac{c_1}{c_2}+1)P_1]}^{1/2}=\sqrt{R}w$

所以

$\mathrm{\&lambda;}=-\frac{c_1+c_2}{2R{c}_1{c}_{2}w}---\left(11\right)$

其中摩阻R、舱容c₁、c₂、都是确定的，所以只需要控制流量的范围。将公式(11)代入不等式(8)中，能够解出最小复压流量(图6(602))，又因为仿真采用定步长的方法，所以只需要限定系统流量的大小，即当系统流量大于该最小流量时，系统稳定，否则会发生稳态振荡；

根据(11)计算得到的最小流量值设计仿真模型，对系统流量与最小流量值进行比较(图6(603))，当流量大于最小流量则采用非线性复压方法(图6(604))，流量小于最小流量则改用线性复压方法，(图6(605))系统稳态压力误差、流量误差为0，且系统稳定，仿真结果如图5。

本发明与现有方法相比的具有以下优点:

(1)本仿真采用定步长方法，保证了仿真的实时性。

(2)本方法是基于对非线性复压组件的实际模型进行的详细分析，以及对离散欧拉法的工作原理进行的详细、深入理解，以及由此得到的使用定步长欧拉法对非线性复压组件进行仿真出现稳定性畸变的真正原因。

(3)在所采用的仿真方法中，当系统运行在稳定区域时，采用非线性复压组件模型，而当系统运行在不稳定区域时,则改为采用线性复压组件。采用这样的方法既能最大限度地减少复压过程中的误差，又能保证系统稳定性和实时性。

Claims (6)

1.载人舱船非线性复压欧拉离散仿真方法，其特征在于包括：

应用定步长欧拉离散仿真方法对载人飞船对接非线性复压进行仿真，

在仿真前计算出保证系统稳定的最小流量值，对仿真模型进行设置，

当系统流量大于最小流量时，进行非线性复压，

当系统流量小于该最小流量值时，进行线性复压，从而保证了系统从始至终都是稳定的。

2.根据权利要求1的方法，其特征在于：

所述非线性复压的流量/压力变化模型遵循(1)式：

$\sqrt{\frac{P_2-P_1}{R}}=w---\left(1\right)$

其中：

下标1代表核心舱，上标2代表飞船，

P表示压力，单位是Pa，P₁表示核心舱压力，P₂表示飞船压力；

w表示流量，单位是kg/s；

R表示摩阻，单位是Pa/(kg/s)²；

且利用非线性复压进行的舱船对接压力流量模型为：

$\frac{{\mathrm{dP}}_1}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{c_1}{\left(\frac{P_{20}+\frac{c_1}{c_2}{P}_{10}-(\frac{c_1}{c_2}+1)P_1}{R}\right)}^{1/2}---\left(3\right)$

其中

P₁₀表示核心舱的初始压力，单位是Pa；

P₂₀表示飞船的初始压力，单位是Pa；

其中

舱容的定义式为单位是kg/Pa；c₁表示核心舱的舱容，c₂表示核心舱的舱容；

V表示容器体积，单位是m³；

Rg表示气体常数，单位是J/(kg·K)，Rg＝296.8J/(kg·K)；

T表示温度，单位是K；

t表示时间，单位是s。

3.根据权利要求1的方法，其特征在于进一步包括：

对于连续系统所述应用定步长欧拉离散仿真方法对载人飞船对接非线性复压进行仿真所对应的公式为

y_n+1＝y_n+hf(x_n,y_n)(4)

其中

y表示系统因变量；

x表示系统自变量；

h表示步长，单位s；

f(x_n,y_n)表示R×R→R的映射。

4.根据权利要求3的方法，其特征在于：

若f(x_n,y_n)＝λy_n，λ是对应的连续系统的特征值，

公式(4)写成式(5)

y_n+1＝(1+hλ)y_n(5)

为保证系统稳定，得到步长与特征值选取范围的限制，即

-2<hλ<0(6)

即，当步长与特征值的乘积满足不等式(6)时，系统收敛。

5.根据权利要求4的方法，其特征在于进一步包括：

在定步长情况下，为找到系统特征值所需要满足的条件，先对系统(3)进行局部线性化，然后求取线性化之后的线性系统的特征值

$\mathrm{\&lambda;}=-\frac{c_1+c_2}{2{\mathrm{Rc}}_1{c}_{2}w}---\left(9\right)$

其中摩阻R、舱容c₁、c₂都是确定的，故只需要控制流量的范围；

将公式(9)代入不等式(6)中，解出最小复压流量即当系统流量大于该最小流量时，系统稳定。

6.根据权利要求5的方法，其特征在于：

当w＞w_min时，采用非线性复压阀，即

当w＜w_min时，采用线性虚拟阀，即