CN105527974B - 一种缺失径向控制的欠驱动航天器悬停渐近控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种适用于缺失径向控制的欠驱动航天器悬停的滑模控制方法。针对欠驱动航天器悬停控制问题，建立了其动力学模型。基于该动力学模型，分析了缺失径向控制加速度的欠驱动情况下的系统能控性，并给出了该情况下的悬停方位可行集。以此模型为受控对象，采用滑模控制方法设计了径向欠驱动情况下的闭环控制律。该欠驱动控制器能够驱动追踪航天器渐近稳定至给定的可行悬停方位，且闭环系统对外部摄动及模型误差具有良好的鲁棒性和动态性能，解决了缺失径向控制加速度的欠驱动航天器悬停控制问题。

Description

一种缺失径向控制的欠驱动航天器悬停渐近控制方法

技术领域

本发明涉及一种航天器飞行控制方法，更具体的说，特别涉及一种针对缺失径向控制的欠驱动航天器悬停提供一种渐近稳定的控制方法。

背景技术

航天器悬停，是指通过对追踪航天器施加持续的控制力作用，使其相对于空间某目标航天器的相对位置保持不变。悬停技术在空间任务中应用前景广阔，例如，在小行星上空悬停可对其进行有效的高分辨率的科学观测。此外，对地球轨道航天器悬停，使追踪航天器保持对目标航天器的相对静止，有利于进行空间维护、空间观测等近距操作，降低了空间任务操作难度及风险。已有的航天器悬停控制方法均假设悬停动力学系统为全驱动控制系统(系统的控制输入维数与系统自由度相等)，即在径向、迹向和法向都存在一独立的控制通道。若某一方向的控制器发生故障，导致该方向无法提供控制力作用，则悬停动力学系统变为欠驱动系统。对于该欠驱动系统，已有全驱动控制方法无法适用，导致悬停任务失败。通常，常规的解决办法为加装备用推力器以应对上述故障情况，但这势必引起航天器的质量与成本增加。考虑到航天器的结构质量、制造成本以及发射成本等约束，更为经济实用的方法应为设计欠驱动控制器，从而即使在欠驱动情况条件下，也能实现航天器悬停任务。

已有欠驱动航天器相对轨道控制多基于航天器编队飞行等空间任务应用，尚未有欠驱动航天器悬停控制方法研究。虽然编队飞行与悬停均属于航天器相对运动范畴，但其轨道属性不同，因而相应的控制器设计存在不同。具体而言，对于编队飞行，航天器均运行于开普勒轨道，且航天器之间的相对轨道为自然周期相对轨道，即不需要施加控制力以维持相对轨道。但对于悬停而言，通常需要对追踪器持续施加控制力作用以维持相对轨道，即悬停构型，因而追踪器运行于非开普勒轨道。目前，对非开普勒相对轨道的欠驱动控制理论及方法的研究还很少，因此，本发明以欠驱动航天器悬停为应用，提出了一种适用于该应用中的非开普勒相对轨道的欠驱动控制方法。

发明内容

本发明为解决欠驱动航天器悬停的问题，提出了一种滑模控制方法。针对欠驱动航天器悬停控制问题，建立了其动力学模型。基于该动力学模型，分析了缺失径向控制加速度情况下的系统能控性，并给出了该情况下的悬停方位可行集。此外，由于缺失径向控制输入通道，外部摄动及模型误差的输入通道不再与系统的控制输入通道相同，成为非匹配性扰动。如何在存在非匹配性扰动情况下实现缺失径向控制作用的航天器悬停，是本发明的重点与难点。本发明以所建立的欠驱动悬停动力学模型为受控对象，巧妙利用轨道面内相对运动动力学耦合特性，采用滑模控制方法设计了在该欠驱动情况下的闭环控制律。该欠驱动控制器的优点在于：(1)能够在缺失径向控制加速度条件下驱动追踪航天器渐近稳定至给定的可行悬停方位，且悬停位置控制精度高；(2)闭环系统具有良好的动态性能，且对非匹配性的外部摄动及模型误差具有良好的鲁棒性和抑制作用；(3)较之安装备用推力器以应对推力器故障的常规方法，本发明提出的欠驱动控制器具有减少航天器结构质量、降低航天器制造成本、发射成本等显著优点。本发明创造性地解决了航天器悬停这类非开普勒相对轨道的欠驱动控制问题，所提出的控制器可在缺失径向控制加速度条件下完成圆轨道航天器悬停任务，为欠驱动航天器悬停的工程实现提供了有效方案，可直接应用于空间小行星悬停探测以及地球轨道空间服务等实际悬停任务。

本发明的技术方案如下：

首先根据欠驱动情况给定可行的名义悬停方位，基于此计算对应的名义相对运动状态，然后计算实际相对运动状态与名义相对运动状态的误差量，最后采用滑模控制方法设计控制律，计算实际控制量。实际应用中，追踪航天器与目标航天器实时相对运动状态由追踪航天器星上相对导航系统测量得到，将由该方法计算得到的控制量传输至执行机构即可实现欠驱动航天器悬停控制功能。

本发明“一种缺失径向控制的欠驱动航天器悬停渐近控制方法”，其具体步骤如下，如图1所示：

步骤一：欠驱动情况判断：若缺失径向控制加速度，则U_x＝0；

步骤二：给定名义悬停方位并求解对应的名义控制量：根据实际欠驱动情况求解缺失径向控制加速度情况下的悬停方位可行集Γ₁，并在可行集中选择名义悬停方位ρ_d＝[x_d y_d z_d]^T，求解对应的名义控制量U_1d；

步骤三：误差量计算：计算实际相对运动状态与名义相对运动状态之间的误差量e₁；

步骤四：控制律设计：选取滑模面和趋近律，采用滑模控制方法设计欠驱动航天器悬停控制律，计算实际控制量U₁；

其中，在步骤一中所述的U_x为径向控制加速度；

其中，在步骤二中所述的名义悬停方位为ρ_d＝[x_d y_d z_d]^T，式中x_d、y_d和z_d分别为名义径向、迹向和法向悬停位置，上标T表示向量或矩阵的转置；Γ₁为悬停方位可行集，其求解步骤分为三步，具体求解方法为：

1)建立欠驱动航天器悬停的数学模型

描述航天器悬停动力学模型的坐标系定义如下；如图2所示，O_EX_IY_IZ_I为地心惯性坐标系，其中O_E为地心；O_Txyz为原点位于目标航天器质心O_T的相对运动坐标系，其中x轴沿目标航天器径向，z轴沿目标航天器轨道面法向，y轴与x、z轴构成笛卡尔右手直角坐标系；O_C为追踪航天器质心；R_C与R_T分别为追踪航天器与目标航天器的地心距矢量；令ρ＝[x y z]^T与分别为追踪航天器与目标航天器的相对位置矢量与相对速度矢量在相对运动坐标系中的表述，则欠驱动航天器悬停动力学模型为

其中

F₁＝[0_1×3 f_x f_y f_z]^T (2)

B＝[0_2×4 I_2×2]^T (4)

U₁＝[U_y U_z]^T (5)

式中，下标1代表缺失径向控制加速度的欠驱动情况；为由非驱动状态X_1u与驱动状态X_1a组成的相对运动状态矢量；由于缺失径向控制加速度，则且U₁＝[U_y U_z]^T为控制输入，其中U_y和U_z分别为迹向与法向控制加速度；0_m×n为维数为m×n的零矩阵，I_m×n为维数为m×n的单位矩阵；u_T为目标航天器纬度幅角，和分别为目标航天器轨道角速度与角加速度；且其中R_T与R_C＝[(R_T+x)²+y²+z²]^1/2分别为目标航天器与追踪航天器地心距，μ为地球引力常数；

2)欠驱动悬停动力学系统能控性分析

若目标航天器位于圆轨道(即且)，且追踪航天器与目标航天器相对距离远小于其地心距，则欠驱动悬停动力学模型可线性化为

其中

采用线性系统理论对上述缺失径向控制加速度的欠驱动条件下的线性化系统式(6)进行能控性分析；分析结果表明，若缺失径向控制加速度，欠驱动线性系统式(6)仍完全可控；

3)求解欠驱动悬停方位可行集

根据悬停定义，追踪航天器与目标航天器的相对位置在相对运动坐标系中保持不变；若定义名义悬停方位为ρ_d＝[x_d y_d z_d]^T，则且若进一步假设目标航天器位于圆轨道(即且)，则由式(3)得，

以下求解缺失径向控制加速度条件下欠驱动悬停方位可行集以及对应的名义控制量U_1d；

缺失径向控制加速度条件下，即U_x＝0时，由式(1)得，

可见，为实现悬停，要求f_x＝0，即求解该方程即得到缺失径向控制加速度条件下的悬停方位可行集；考虑到径向悬停距离远小于目标航天器地心距，即|x_d|＜＜R_T，则R_T+x_d≠0；因而，方程f_x＝0的解为n_T＝n_C，求解该式即可得到可行集为

Γ₁＝{ρ_d|2R_Tx_d+||ρ_d||²＝0} (10)

式中，为相对距离，且符号||·||表示向量的范数；

同时，由方程f_y+U_yd＝0和f_z+U_zd＝0，可得到名义控制量U_1d为

其中，在本发明步骤三中所述的计算实际相对运动状态与名义相对运动状态之间的误差量，其计算方法为：

e₁＝X₁-X_1d (12)

式中，为缺失径向控制加速度条件下的实际相对运动状态，其中x、y、z、 和分别为实际的径向相对位置、迹向相对位置、法向相对位置、径向相对速度、迹向相对速度以及法向相对速度；为名义相对运动状态；

其中，在本发明步骤四中所述的设计滑模控制律，计算实际控制量U₁，其方法为：

考虑到实际空间环境中的外部摄动力作用，则受摄条件下的欠驱动悬停动力学模型为

式中，为外部摄动力矢量，ΔF₁(X₁)＝F₁(X₁)-A₁X₁为线性化误差矢量；

由2)中分析得，名义悬停动力学方程为

定义误差相对运动状态为其中e_x、e_y和e_z分别为径向、迹向和法向相对位置误差，和分别为径向、迹向和法向相对速度误差；由式(13)与(14)作差得到误差动力学模型为

其中

式中，u₁＝U₁-U_1d为误差控制量；为外部摄动与线性化误差组成的总扰动矢量，其中，d₁＝[d_x d_y d_z]^T，d_x、d_y和d_z分别为径向、迹向和法向扰动；

以下设计滑模控制器：

将误差动力学方程式(15)重写如下

其中

式中，非驱动误差状态矢量与驱动误差状态矢量分别为和d_1u＝[0_1×3 d_x]^T且d_1a＝[d_y d_z]^T；

考虑到但其中表示实数域，对e_1u做线性变换使得其中矩阵定义为

式中，k₁₁、k₁₂和k₁₃为控制器参数，满足k₁₁(k₁₂+2n_Tk₁₃)＞0且k₁₂(k₁₂+2n_Tk₁₃)＜0；

注意到P₁₁A₁₂＝I_2×2，则的动力学方程为

式中，P₁₂＝P₁₁A₁₁；

定义滑模面为

其中

且

式中，α₁＞0和β₁＞0为设计参数；向量为p和q为正奇数，且p＜q；系数ν_1i和ν_2i为ν_1i＝(2-p/q)δ^p/q-1且v_2i＝(p/q-1)δ^p/q-2，δ＞0为设计参数；

选取的趋近律为

式中，与为正定对角参数矩阵；

向量为其中0＜γ₁＜1为设计参数，sgn为符号函数，即

基于上述滑模面与趋近律得到的误差控制律为

u₁＝u_1eq+u_1s (26)

其中

式中，u_1eq为等效控制，向量

综上，实际控制量为

U₁＝U_1d+u₁＝U_1d+u_1eq+u_1s (29)

式中，U_1d、u_1eq和u_1s的表达式分别如式(11)、(27)和(24)所示。

本发明的有益效果是，本发明“一种缺失径向控制的欠驱动航天器悬停渐近控制方法”，其与现有技术相比具有以下优点：

(1).该方法给出了缺失径向控制的欠驱动情况下的名义悬停方位可行集；

(2).该方法能够在缺失径向控制的欠驱动情况下建立任一可行的名义悬停构型，且能保证闭环控制系统的渐近稳定性；

(3).该方法通过选取合适的滑模面和趋近律设计滑模控制律，使得系统对模型线性化误差及外界扰动具有良好的鲁棒性；

(4).较之安装备用推力器以应对推力器故障的常规办法，该方法可减小航天器结构质量、降低航天器制造与发射成本。

控制工程师可针对实际悬停应用任务(如小行星探测以及空间在轨服务等)的特点，根据实际欠驱动情况给定任一可行悬停方位，并将由该方法得到的控制量传输至执行机构(如星上推力器等)，即可实现缺失径向控制加速度条件下的欠驱动航天器悬停渐近稳定控制功能。因而，本发明理论机理明晰，创新性地解决了推力缺失(如推力器故障等)引起的悬停任务失效问题，较之安装备用推力器的常规方法，本发明方法可有效减少结构质量、降低制造及生产成本，因而实用性更强且工程应用价值更高。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据提供的附图获得其他的附图。

图1为本发明所述欠驱动航天器悬停渐近控制方法步骤流程图

图2为本发明所述欠驱动悬停动力学模型坐标系定义图

图3为本发明所述缺失径向加速度条件下相对位置轨迹

图4为本发明所述缺失径向加速度条件下相对位置误差变化曲线

图5为本发明所述缺失径向加速度条件下相对速度误差变化曲线

图6为本发明所述缺失径向加速度条件下控制量变化曲线

图中符号说明如下：

O_C 追踪航天器质心

O_EX_IY_IZ_I 地心惯性坐标系(O_E为地心)

O_Txyz 相对运动坐标系(O_T为目标航天器质心)

R_C 追踪航天器地心距矢量

R_T 目标航天器地心距矢量

U_x 径向控制加速度

U_y 迹向控制加速度

U_z 法向控制加速度

u_T 目标航天器纬度幅角

x 径向

y 迹向

z 法向

ρ 追踪航天器与目标航天器相对位置矢量

具体实施方案

为了使本技术领域的人员更好地理解本申请中的技术方案，下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。

基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都应当属于本申请保护的范围。

下面结合附图，对本发明中的设计方法作进一步的说明：

本发明“一种缺失径向控制的欠驱动航天器悬停渐近控制方法”，其具体步骤如下：

步骤一：欠驱动情况判断

若缺失径向控制加速度，即U_x＝0；

步骤二：给定名义悬停方位并求解对应的名义控制量

缺失径向控制加速度时，悬停方位可行集为

Γ₁＝{ρ_d|2R_Tx_d+||ρ_d||²＝0} (30)

式中，ρ_d＝[x_d y_d z_d]^T为悬停方位，其中x_d、y_d与z_d分别为径向、迹向和法向悬停位置。R_T为目标航天器地心距。为追踪航天器与目标航天器的相对距离，即悬停距离，其中||·||表示向量的范数。

表1初始时刻目标航天器轨道根数

本实例中假设目标航天器位于轨道半径为R_T＝6900km的圆轨道，其初始轨道根数如表1所示。

若假设x_d＝-0.067m且z_d＝0m，则由式(30)计算得，y_d＝-963.42m。因此，本实例中的名义悬停方位给定为ρ_d＝[-0.067 -963.42 0]^T m。

同时，缺失径向控制加速度时，实现可行悬停方位的名义控制量为

式中，且其中μ＝3.986×10¹⁴m³/s²为地球引力常数，和R_T分别为追踪航天器与目标航天器的地心距。

将本实例中选取的名义悬停方位ρ_d代入式(31)中得到名义控制量为

U_1d＝[0 0]^T (32)

步骤三：误差量计算

计算实际相对运动状态与名义相对运动状态的误差量e₁，即

式中，实际相对运动状态为名义相对运动状态为X_1d＝[x_dy_d z_d 0 0 0]^T，其中，x、y和z分别为径向、迹向和法向相对位置，和分别为径向、迹向和法向相对速度，均为连续变化值。

本实例中假设初始时刻(即t＝0 s)的实际相对运动状态为

X₁(0)＝[100m 500m -500m 1m/s -1m/s 1m/s]^T (34)

因此，由式(33)得，初始时刻的误差量为

e₁(0)＝[100.067m 1463.42m -500m 1m/s -1m/s 1m/s]^T (35)

步骤四：控制律设计

缺失径向控制加速度时，考虑外部摄动与线性化误差的欠驱动悬停动力学模型为

其中

式中，非驱动误差状态矢量与驱动误差状态矢量分别为和d_1u＝[0_1×3 d_x]^T和d_1a＝[d_y d_z]^T为不确定扰动矢量。

选取滑模面为

式中，α₁＞0和β₁＞0为设计参数。P₁₂＝P₁₁A₁₁，其中矩阵P₁₁为

式中，k₁₁、k₁₂和k₁₃为控制器参数，满足k₁₁(k₁₂+2n_Tk₁₃)＞0且k₁₂(k₁₂+2n_Tk₁₃)＜0。

向量为其中

且

式中，p和q为正奇数，且p＜q。系数ν_1i和ν_2i为ν_1i＝(2-p/q)δ^p/q-1且ν_2i＝(p/q-1)δ^p/q-2，δ＞0为设计参数。

选取的趋近律为

式中，与为正定对角参数矩阵。

向量为其中0＜γ₁＜1为设计参数，sgn为符号函数，即

本实例中选取的控制参数列于表2。

表2控制器设计参数(缺失径向控制加速度情况)

基于上述滑模面与趋近律得到的误差控制律为

u₁＝u_1eq+u_1s (44)

其中

式中，u_1eq为等效控制，向量为

因此，实际控制量为

U₁＝U_1d+u₁＝U_1d+u_1eq+u_1s (47)

式中，U_1d、u_1eq与u_1s分别如式(32)、(45)与式(42)所示。将表2中的控制器参数代入控制律即可计算实际控制量。

考虑到J₂摄动为低地球轨道主要摄动力，本实例中的外部摄动力取为J₂摄动力。缺失径向控制加速度的欠驱动悬停控制结果如图3至图6所示。图3给出了追踪航天器与目标航天器相对位置变化轨迹，可见，追踪航天器由初始相对位置出发，在控制器作用下到达名义悬停方位，并保持该悬停位置，验证了本发明所提出的控制方法的有效性与正确性。图4和图5分别给出了控制过程中相对位置与相对速度误差变化曲线，可见，大约1个轨道周期后，追踪航天器到达名义悬停方位附近且初始偏差基本消除，相对位置与相对速度的稳态误差分别为10⁰m与10^-3m/s数量级，其中相对位置的最大稳态误差仅约为悬停距离的0.2％。考虑到由于缺失径向控制加速度，该闭环控制系统为欠驱动系统，本发明中的欠驱动控制方法具有较高的控制精度。图6给出了实际控制量随时间的变化曲线，可见，迹向与法向控制加速度均约为10^-3m/s²数量级，符合工程实际，可在实际欠驱动悬停任务中实现。

Claims (1)

1.一种缺失径向控制的欠驱动航天器悬停渐近控制方法，按以下步骤进行：

步骤一：欠驱动情况判断：若缺失径向控制加速度，则U_x＝0，U_x为径向控制加速度；

步骤二：给定名义悬停方位并求解对应的名义控制量：根据实际欠驱动情况求解缺失径向控制加速度情况下的悬停方位可行集Γ₁，并在可行集中选择名义悬停方位ρ_d＝[x_d y_dz_d]^T，求解对应的名义控制量U_1d；

步骤三：误差量计算：计算实际相对运动状态与名义相对运动状态之间的误差量e₁；

步骤四：控制律设计：选取滑模面和趋近律，采用滑模控制方法设计欠驱动航天器悬停控制律，计算实际控制量U₁。

在步骤二中所述的名义悬停方位为ρ_d＝[x_d y_d z_d]^T，式中x_d、y_d和z_d分别为名义径向、迹向和法向悬停位置，上标T表示向量或矩阵的转置；Γ₁为悬停方位可行集，其求解步骤分为三步，具体求解方法为：

1)欠驱动航天器悬停的数学模型

描述航天器悬停动力学模型的坐标系定义如下，O_EX_IY_IZ_I为地心惯性坐标系，其中O_E为地心，O_Txyz为原点位于目标航天器质心O_T的相对运动坐标系，其中x轴沿目标航天器径向，z轴沿目标航天器轨道面法向，y轴与x、z轴构成笛卡尔右手直角坐标系，O_C为追踪航天器质心，R_C与R_T分别为追踪航天器与目标航天器的地心距矢量，令ρ＝[x y z]^T与分别为追踪航天器与目标航天器的相对位置矢量与相对速度矢量在相对运动坐标系中的表述，则欠驱动航天器悬停动力学模型为

其中

F₁＝[0_1×3 f_x f_y f_z]^T (2)

B＝[0_2×4 I_2×2]^T (4)

U₁＝[U_y U_z]^T (5)

式中，下标1代表缺失径向控制加速度的欠驱动情况，为由非驱动状态X_1u与驱动状态X_1a组成的相对运动状态矢量，由于缺失径向控制加速度，则且U₁＝[U_y U_z]^T为控制输入，其中U_y和U_z分别为迹向与法向控制加速度；0_m×n为维数为m×n的零矩阵，I_m×n为维数为m×n的单位矩阵；u_T为目标航天器纬度幅角，和分别为目标航天器轨道角速度与角加速度；且其中R_T与R_C＝[(R_T+x)²+y²+z²]^1/2分别为目标航天器与追踪航天器地心距，μ为地球引力常数；

2)欠驱动悬停动力学系统能控性分析

若目标航天器位于圆轨道，即且且追踪航天器与目标航天器相对距离远小于其地心距，则欠驱动悬停动力学模型可线性化为

其中

采用线性系统理论对上述缺失径向控制加速度的欠驱动条件下的线性化系统式(6)进行能控性分析，分析结果表明，若缺失径向控制加速度，欠驱动线性系统式(6)仍完全可控；

3)求解欠驱动悬停方位可行集

根据悬停定义，追踪航天器与目标航天器的相对位置在相对运动坐标系中保持不变，若定义名义悬停方位为ρ_d＝[x_d y_d z_d]^T，则且若进一步假设目标航天器位于圆轨道，即且则由式(3)得，

以下求解欠驱动悬停方位可行集以及对应的名义控制量U_1d：

缺失径向控制加速度条件下，即U_x＝0时，由式(1)得，

可见，为实现悬停，要求f_x＝0，即求解该方程即得到缺失径向控制加速度条件下的悬停方位可行集；考虑到径向悬停距离远小于目标航天器地心距，即|x_d|<<R_T，则R_T+x_d≠0，因而，方程f_x＝0的解为n_T＝n_C，求解该式即可得到可行集为

Γ₁＝{ρ_d|2R_Tx_d+||ρ_d||²＝0} (10)

式中，为相对距离，且符号||·||表示向量的范数；

同时，由方程f_y+U_yd＝0和f_z+U_zd＝0，可得到名义控制量U_1d为

在步骤三中所述的计算实际相对运动状态与名义相对运动状态之间的误差量，其计算方法为：

e₁＝X₁-X_1d (12)

式中，为缺失径向控制加速度条件下的实际相对运动状态，其中x、y、z、 和分别为实际的径向相对位置、迹向相对位置、法向相对位置、径向相对速度、迹向相对速度以及法向相对速度，为名义相对运动状态；

在步骤四中所述的设计滑模控制律，计算实际控制量U₁，其方法为：

考虑到实际空间环境中的外部摄动力作用，则受摄条件下的欠驱动悬停动力学模型为

式中，为外部摄动力矢量，ΔF₁(X₁)＝F₁(X₁)-A₁X₁为线性化误差矢量；

名义悬停动力学方程为

定义误差相对运动状态为其中e_x、e_y和e_z分别为径向、迹向和法向相对位置误差，和分别为径向、迹向和法向相对速度误差，由式(13)与式(14)作差得到误差动力学模型为

其中

式中，u₁＝U₁-U_1d为误差控制量，为外部摄动与线性化误差组成的总扰动矢量，其中，d₁＝[d_x d_y d_z]^T，d_x、d_y和d_z分别为径向、迹向和法向扰动；

以下设计滑模控制器：

将误差动力学方程式(15)重写如下

其中

式中，非驱动误差状态矢量与驱动误差状态矢量分别为和d_1u＝[0_1×3 d_x]^T且d_1a＝[d_y d_z]^T；

考虑到但其中表示实数域，对e_1u做线性变换使得其中矩阵定义为

式中，k₁₁、k₁₂和k₁₃为控制器参数，满足k₁₁(k₁₂+2n_Tk₁₃)＞0且k₁₂(k₁₂+2n_Tk₁₃)＜0；

注意到P₁₁A₁₂＝I_2×2，则的动力学方程为

式中，P₁₂＝P₁₁A₁₁；

定义滑模面为

其中

且

式中，α₁＞0和β₁＞0为设计参数；向量为p和q为正奇数，且p＜q，系数ν_1i和ν_2i为ν_1i＝(2-p/q)δ^p/q-1且v_2i＝(p/q-1)δ^p/q-2，δ＞0为设计参数；

选取的趋近律为

式中，与为正定对角参数矩阵，向量为

其中0＜γ₁＜1为设计参数，sgn为符号函数，即

基于上述滑模面与趋近律得到的误差控制律为

u₁＝u_1eq+u_1s (26)

其中

式中，u_1eq为等效控制，向量为

综上，实际控制量为

U₁＝U_1d+u₁＝U_1d+u_1eq+u_1s (29)

式中，U_1d、u_1eq和u_1s的表达式分别如式(11)、(27)和(24)所示。