CN105427252A - 一种基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，步骤：三维网格模型的经验模态分解阶段EMD，用于提取模型不同尺度、不同层次的几何细节信息以及模型表面信号余量，同时对仅包括信号余量在内的信号为新信号进行网格重构，达到模型平滑的目的；基于热核描述子HKS定义以及相似性面片选取的阶段，在经过初始光滑修补的光滑模型上，寻找与孔洞处目标面片最相似的面片；不同尺度层次的几何细节迁移以及模型多尺度编辑阶段，根据匹配结果，将得到多尺度几何细节信息，由相似性面片迁移至目标面片，并且在迁移的过程中，通过控制不同尺度的权重，达到模型多尺度几何细节编辑的效果。本发明具有易操作，效率高，匹配精度高的特点。

Description

一种基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法

技术领域

本发明涉及一种基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，属于网格模型数据处理与模型修复的技术领域。

背景技术

多年来，越来越多的针对模型几何细节保持的修复算法被提出，主要包括基于体素的方法、基于纹理合成的方法以及基于模板库的方法等。模型修复是一个不适定性的问题，因为多数方法在特定模型情形下，可以获得比较好的修复效果，但并不能保证适用于其他情形。比如针对一些比较小的空洞，能达到很好的修复效果，但是不能很好地修复包含丰富几何细节信息、面积较大的孔洞。目前，也很难找到一种普适的方法来解决这一问题。近几年来，越来越多的基于相似性度量的模型修复方法涌现出来，其核心思想就是定义一个有效的面片描述子，然后根据该描述子来寻找与孔洞区域最相似的完整区域的面片，通过复制模型其他区域或者相似模型的面片来补洞。该类方法也取得了不错的成果，也能适用于多数情形的模型修复。

基于相似性度量的几何细节保持的模型修复方法，主要是通过复制已有区域至孔洞区域，来达到修复的目的，同时也保证了几何细节的修复。但是，正是因为复制粘贴的操作，提高了计算复杂度，降低了时间效率。因为在将相似性区域粘贴至孔洞目标区域时，需要进行二者的边界对齐。首先，寻找对齐所需的点与点之间的对应关系很难定义；其次，在对齐时，必然要进行网格模型的变形，这并不是我们想要的结果，我们期望的目标是在修复的过程中，尽量降低修复带来的对已有模型区域的影响。因此，这类方法一直在致力于寻找一种降低模型变形度的对齐方式，但并不能完全避免变形。

此外，几何细节保持的模型修复算法在考古、3D打印、实物制造、模具缺陷检测与快速化修复等诸多领域有着重要的作用，并且也得到了广泛的应用，具有广阔的应用前景和巨大的市场价值。然而，目前对几何细节保持的模型修复方法的研究还面临诸多挑战，例如上述提到的孔洞边界对齐过程的复杂以及对齐过程引起的模型变形失真。

为了解决上述边界对齐复杂以及模型失真的问题，本发明基于经验模态分解等技术提出了几何细节保持的几何模型修复方法，该方法可有效地对模型表面缺失的几何细节信息进行修复，虽然也是属于基于相似性度量方法范畴的，但是避免了复制粘贴过程中边界对齐这个复杂的过程，通过EMD分解算法有效地实现了几何细节的迁移，而不是整体面片的迁移粘贴，更加简单快捷有效，同时降低了模型的失真程度。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供了一种基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，避免了基于相似性度量的传统模型修复方法中复制、粘贴、边界对齐的复杂过程，仅对几何细节进行迁移，同时也降低了模型的失真程度减弱了模型的失真。

本发明采用的技术方案为：一种基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，包括以下三个步骤：

步骤(1)、三角网格模型的经验模态分解：以平均曲率作为三角网格模型的经验模态分解的输入信号，对此信号进行分解，得到一组内蕴模态函数IMFs(IntrinsicModeFunctions，简称IMFs)以及信号余量residue，即三角网格模型的多尺度几何细节信息；

步骤(2)、基于HKS(HeatKernelSignature)描述子定义数据点的相似性以及相似性面片选取：不同时间时域内的HKS值提供一种有效的多尺度特征用于模型匹配，通过定义基于HKS统计学信息的描述子，将HKS由顶点描述子延伸到面片的描述子，有效地查找与目标面片最匹配的相似性面片，并保存匹配结果；

步骤(3)、不同尺度层次的几何细节迁移以及模型多尺度编辑：根据步骤(2)得到的匹配结果，将步骤(1)得到多尺度几何细节信息，由相似性面片迁移至目标面片；在迁移的过程中，调节不同尺度IMFs的权重，可得到不同的信号，分别针对每个信号进行网格模型的重建，得到不同的几何细节修复结果，从而使模型可编辑。

所述步骤(1)中以平均曲率作为三角网格模型的经验模态分解的输入信号，对此信号进行分解，得到一组内蕴模态函数IMFs以及信号余量residue，即三角网格模型的多尺度几何细节信息；具体为：

定义在三角网格模型表面上的函数g：M→R，M表示网格模型，R表示实数集合，EMD的分解过程如下：

$g=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{f}_k+r_N$

其中f_k表示第k个IMFs，k＝1,...,N，N表示IMFs总数，r_N表示对应的信号余量；

首先，极值点的定义，对于函数g，若g(v_i)满足：g(v_i)≥g(v_j)，j∈N(i)或者g(v_i)≤g(v_j)，j∈N(i)，则称v_i为g的极大值点或者极小值点；

其次，根据上步中的极值点定义，寻找出极值点，以极值点构造上下包络，包络的求解是用双调和插值计算的，双调和插值是样条插值在三维曲面的扩展，是过最小化三角网格模型所在的潜在流形曲面M上定义的能量函数实现的，

∫_M(Δ_Mφ)²dV.

对应的拉格朗日方程是其中Δ_M是曲面M的Laplace–Beltrami操作子，具体地，对于给定的插值点和相对应的值{(v_i,g(v_i)),i∈C}，插值函数φ＝(φ(v₁),φ(v₂),...,φ(v_n))能通过求解以下n×n线性系统求得：

L²·φ＝0,s.t.,φ(v_i)＝g(v_i),i∈C,

其中C是插值集合，L是为三角网格模型的n×n拉普拉斯矩阵；

最后，迭代筛选过程的收敛标准，计算过上下包络后，通过包络来确定当前的IMF，这是一个迭代的过程，那么筛选的收敛标准就是判定筛选之后的信号是不是IMF,结束过程是看标准方差SD是否小于给定的阈值，SD是采用两个相邻的筛选结果计算，计算如下：

$SD=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{|h_j\left(v_i\right)-h_{j-1}\left(v_i\right)|}^2}{{\left|h_{j-1}\left(v_i\right)\right|}^2}$

其中，所选阈值为0.1。

所述步骤(2)中通过定义基于HKS统计学信息的描述子，能够有效地用于面片的相似性匹配，得到目标面片与源面片的匹配结果；具体为：

给定潜在流形曲面M后，存在如下等式：

$f(x,t)=H_{T}T=\underset{M}{\overset{\mathrm{\∞}}{\∫}}{h}_t(x,y)T\left(y\right)dy$

其中H_T为热力学算子，h_t(x,y)看作时刻t时，从点x到y传递的热量；

首先，对热核进行特征分解，得出HKS：

$h_t\left(x\right)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{e}^{-{\mathrm{\λi}}_t}{\mathrm{\Ω}}_i{\left(x\right)}^2$

其中λi_t和Ω_i分别为Laplace-Beltrami算子对应的特征值和和特征函数，满足等式：ΔMΩ_i＝λi_tΩ_i；

其次，根据上步中计算出的顶点的HKS值，定义基于HKS的面片描述子，采用统计学的方法定义面片的描述子：

$\mathrm{HKS}\left(P_i\right)=\{{\mathrm{HKS}}_{\mathrm{\μ}}{\left(P_i\right)}_{\left[\mathrm{0,1}\right]},{\mathrm{HKS}}_{{\mathrm{\δ}}^2}{\left(P_i\right)}_{\left[\mathrm{0,1}\right]}\}$

其中[0,1]表示归一化至区间[0,1]，选择了三个时域的描述子，即每个面片对应三个描述子，分别为：整个时域，3/4时域，1/2时域；在时域中采样100个时间点作为一个点的HKS向量；

最后，根据已经定义的基于HKS的面片描述子，计算面片之间的匹配结果，采用欧氏距离的标准，计算面片描述子之间的距离，对于每个目标面片，选出k个距离最近、最相似的源面片，作为候选面片，定义面片之间的匹配误差如下：

$\mathrm{\ϵ}(T,S)=\frac{1}{N_T}\underset{T_i\∈T}{\Σ}{\min }_{S_j\∈S\left(T_i\right)}D(T_i,S_j)$

其中N_T为目标面片集合T中的面片数，D(T_i,S_j)表示目标面片T_i和源面片S_j之间，通过刚性配准后的误差；根据上式，从候选面片中，选出匹配误差最小的面片最为匹配结果。

所述步骤(3)中通过将相似性面片的IMFs信息迁移至对应的目标面片，从而简单而有效地实现了几何细节的迁移，避免了传统相似性匹配方法中的粘贴相似性面片至目标区域的复杂操作，同时通过调节不同层次IMFs的权重，实现模型可编辑的效果；具体为：

定义在目标面片上的EMD分解方程为：

$g^T=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{f_k}^T+{r_N}^T$

其中g^T表示定义在目标面片上的函数，即信号；T表示目标面片；

首先，根据步骤(2)的匹配结果以及步骤(1)中得到的IMFs信息，将源面片的IMFs迁移至目标面片，得到定义在模型表面的新的信号：

$g_N^T=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_k{f_k}^S+{r_N}^T$

其中为形成的新的信号，f_k ^S为相似源面片的IMF信息，ω_k为对应尺度信息的权重，r_N ^T为目标面片的信号余量；

其次，上步生成新的信号的同时，模型的拉普拉斯矩阵也许重新构造，定义L^N为初始修补后新的拉普拉斯矩阵，为矩阵中与模型内部顶点对应的成分，为与边界顶点对应的成分，为新增顶点对应的成分，有如下式子：

$L^N=\{L_I^N,L_B^N,L_A^N\}$

构造新的拉普拉斯矩阵为最初拉普拉斯矩阵与模型内部顶点对应的成分；

最后，根据新构造的信号以及新的拉普拉斯矩阵，采用拉普拉斯最小化能量的方法，重构三维网格模型，通过调节IMF的权重，获得不同的修复效果，也就是模型的编辑效果。

本发明的原理在于：

(1)通过计算模型表面平均曲率，并以此为信号，进行EMD分解，提取出了对应于不同尺度几何信息的IMFs以及信号余量。为了能够使模型的初始修补效果较好，本发明提出了基于EMD分解算法的模型平滑处理方法。

(2)为了能够获得精确度高、效果好的面片相似性匹配结果，本发明定义了一个新的描述子。该描述子通过统计学的方法，将基于模型顶点的有效描述子HKS延伸到基于面片的描述子，使整个相似性匹配结果精度提高。同时在匹配过程中，添加了刚性配准的约束，从相似候选集里选择配准误差最小的作为最佳匹配结果。

(3)为了实现模型表面几何细节的迁移以及多尺度可编辑的效果，本发明通过将最佳面片对应于不同尺度几何信息的IMFs与对应目标面片的信号余量形成新的组合，并根据这个新的信号进行模型重建，从而实现了几何细节的迁移。同时，在迁移时通过调节IMFs的权重来实现模型的多样性边界。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明提出的基于EMD的修复方法，一方面可以提取多尺度几何信息，更加便于对模型进行多尺度几何细节修复，另一方面获得了几何信息，也使本发明的迁移过程只针对几何细节即可，不需要对面片进行整体复制粘贴，提供了一种更加简单有效的方法。

(2)对比已有的基于相似性度量的方法，本发明提出的基于HKS定义的面片描述子，不仅反映了模型的局部信息，同时也反映了模型的全局信息，对于描述面片特征来说，具有显著优势。

(3)本发明提出的基于EMD分解算法的几何细节迁移过程，不仅可以对模型进行修复，同时还可以根据用户需求，对模型进行编辑，从而获得多样化的修复结果，这在游戏等领域有很大的应用前景。

附图说明

图1为基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法的处理流程图；

图2为本发明中步骤(1)基于EMD分解方法对模型进行光滑处理的结果；

图3为本发明中基于HKS定义的描述子所得的相似性匹配结果示意图；

图4为armdillo模型简单空洞的修复结果的示意图；

图5为armdillo模型U形空洞模型的修复结果示意图；

图6为bunny模型多尺度编辑效果示意图。

具体实施方式

图1给出了基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法的总体处理流程，下面结合其他附图及具体实施方式进一步说明本发明。

本发明提供基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，步骤：三维网格模型的经验模态分解阶段(EmpiricalModeDecomposition，简写EMD)，用于提取模型不同尺度、不同层次的几何细节信息以及模型表面信号余量，同时对仅包括信号余量在内的信号为新信号进行网格重构，达到模型平滑的目的；基于热核描述子(HeatKernelSignature，简写HKS)定义以及相似性面片选取的阶段，主要将HKS描述子由点延伸到面片上，定义新的描述子，同时根据新定义的描述子，在经过初始光滑修补的光滑模型上，寻找与孔洞处目标面片最相似的面片；不同尺度层次的几何细节迁移以及模型多尺度编辑阶段，根据第二阶段得到的匹配结果，将第一阶段得到多尺度几何细节信息，由相似性面片迁移至目标面片，并且在迁移的过程中，通过控制不同尺度的权重，可以达到模型多尺度几何细节编辑的效果。本发明基于EMD分解算法进行多尺度细节修复，并且根据基于HKS定义的描述子来获取相似性匹配结果，具有易操作，效率高，匹配精度高的特点。

具体步骤介绍如下：

1、三维网格模型的EMD分解

本发明中，首先需要提取模型的多尺度几何细节信息，同时还需要对模型进行光滑预处理。因此，本发明定义模型表面平均曲率为信号，然后进行经验模态分解算法(EMD)，获得了网格模型的多尺度几何细节信息，并通过多信息余量(residue)的表面重构，达到模型平滑预处理的目的。

定义模型表面信号并分解Laplace算子是一个二阶微分算子，当扩展到三维流型表面时，被称为Laplace-Beltrami算子，可以测量光滑薄板曲面的偏差，记录模型的局部信息。离散Laplace算子已经广泛用于网格平滑，网格模型编辑和模型插值等几何模型处理操作中。本发明将通过Laplace-Beltrami算子定义模型表面信号，进一步对此信号进行EMD分解。

定义一个三角网格模型M＝(V,K)，其中V表示顶点集：{v_i＝(x_i,y_i,z_i)∈R³,i＝1,...,n}，K包含了网格模型边和面片的邻接信息。通过对邻域内的顶点进行平均加权，就可以计算出网格模型曲面上的离散Laplace算子：

${\mathrm{\Δv}}_i=\underset{j\∈N\left(i\right)}{\Σ}{\mathrm{\ω}}_{ij}(v_j-v_i)---\left(1\right)$

其中N(i)表示顶点v_i的一环临近点集合，Δ表示拉普拉斯算子，Δv_i为顶点v_i的拉普拉斯算子。

采用余切权重：

ω_ij＝cotα_ij+cotβ_ij(2)

此时，离散Laplace向量平行于顶点的法向量，(1)将变形为：

Δv_i＝4|A_i|k_in_i(3)

其中α_ij和β_ij表示对应于边(i,j)的两个角度，|A_i|和k_i分别表示Voronoi晶格的表面积和顶点v_i处的平均曲率。

将Laplace向量Δv_i和对应顶点法向量n_i的内积定义为模型表面的信号：

s(v_i)＝(Δv_i·n_i)(4)

该式可作为平均曲率的一种度量方法，并且依赖于采样密度。

可以明显地的看出等式(4)具有平移不变性和旋转不变性，同时可以作为EMD分解算法的输入信号。除此之外，它还可以用于有效地重构网格模型，这在Laplacian曲面的处理方式中已经普遍存在。

在含有孔洞的模型中，孔洞处面片和边的信息缺失，并且不存在任何机制补偿表面张力。因此，对于孔洞边界顶点处，通过等式(2)，用余切权重的方法计算得到的Laplacian向量中，存在较大比例的正切成分。为了克服这个问题，采用Wangetal.的方法，具体处理过程如下：

·将每一个边界顶点v_i和它的一环邻近点v_j,j∈N(i)投影到它的法平面上，得到对应的投影点v′_i和v‘_j，j∈N(i)，其中N(i)表示顶点v_i的一环邻近点；

·在法平面上计算Laplacian向量：其中ω_ij通过等式(2)计算得到。

通过这种方法计算的Laplacian向量平行于对应边界顶点的法向量，并且去掉了原始向量中的正切成分。

将一维EMD分解应用于三维曲面上，从定义在三维表面上的函数中提取出有限数量的内蕴模态函数IMFs，这些函数反应了数据中的基本模式。

定义在三角网格模型表面上的函数g：M→R，M表示网格模型，R表示实数集合，EMD的分解过程如下：

$g=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{f}_k+r_N$

其中f_k表示第k个IMFs，k＝1,...,N，N表示IMFs总数，r_N表示对应的信号余量；

对于函数g，若g(v_i)满足：g(v_i)≥g(v_j)，j∈N(i)或者g(v_i)≤g(v_j)，j∈N(i)，则称v_i为g的极大值点或者极小值点；

在EMD的分解过程中，双调和函数作为三维曲面三次样条插值的延伸，可用于计算三维模型表面的上下包络。给定一个定义在三维模型表面M上的函数同样可以通过双调和函数最小化函数的薄板能量，

对应上式的欧拉-拉格朗日等式为：

其中Δ_M表示三维曲面M上的Laplace-Beltrami算子。当给定插值点和对应的值{(v_i，g(v_i),i∈C)}，可以通过求解如下n×n的线性方程组来计算插值函数

L²·φ＝0,s.t.,φ(v_i)＝g(v_i),i∈C,(8)

其中C是标量函数g的插值点集，L是n×n的离散拉普拉斯矩阵，其元素表示如下：

ω₁＝10.0(9)

其中表示余切平均权重，α_ij和两个角度对应于边(i,j)，A_i为顶点V_i的维诺面积。

迭代筛选过程的收敛标准为了判断每次通过筛选得到的函数是否是内蕴模态函数IMF，确定了筛选过程的收敛标准：对于所有顶点，两次连续筛选结果h_j和h_j-1的标准差小于特定阈值，那么就停止筛选，确定当前结果为一个IMF。标准差的计算如下式：

$SD=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{|h_j\left(v_i\right)-h_{j-1}\left(v_i\right)|}^2}{{\left|h_{j-1}\left(v_i\right)\right|}^2}---\left(10\right)$

其中SD表示相邻两次信号值之间的标准差，h_j和h_j-1表示相邻两次迭代计算的信号值。

和一维EMD分解一样，通常阈值只在在[0.1,0.3]这个区间中，阈值越小，IMFs的数量越多，反之亦然。本发明默认阈值为0.1。根据上面的介绍就可以进行模型表面信号的EMD分解，其分解过程为：设置初始信号余量为三角网格模型的平均曲率，每次计算当前余量的局部极值点，并对所有极值点进行插值，计算出上下包络的平均值，当前余量减去平均值的结果更新为新的余量，直至前后两次余量之差小于规定的阈值或者超出最大迭代次数为止；在此过程中，相邻两次余量之差即为不同尺度的IMFs，最后的余量为最终的信号余量。

根据平均曲率进行网格模型重构在上面的介绍中，已经将基于平均曲率的模型表面信号分解为若干个IMFs，可以根据需要调整它们，从而得到新的信号。本发明拟采用以模型原始顶点集V为约束条件的最小二乘法来实现网格重建。该方法已经广泛用于拉普拉斯表面处理领域，通过使如下的二次能量最小化计算得到的：

上述能量方程可以变形为：

${\left|\left|\[\frac{L}{{\mathrm{\μI}}_{n\×n}}\]v^{\′}-\[\frac{s^{\′}N}{\mathrm{\μ}V}\]\right|\right|}^2---\left(12\right)$

显然，与之对应的线性方程组AV′＝b为

$\[\frac{L}{{\mathrm{\μI}}_{n\×n}}\]v^{\′}=\[\frac{s^{\′}N}{\mathrm{\μ}V}\]---\left(13\right)$

其中L表示离散的拉普拉斯矩阵；N表示顶点的法向量矩阵，μ为原始顶点位置的权重因子，为本发明默认值为0.1，I_n×n为n×n的单位矩阵，s′为模型表面的新信号，V为原始点集，v′重构后的新的顶点集。从图2中本发明能看出EMD分解不仅能够很好的提取模型不同尺度的几何信息，同时如果过滤掉高层次IMF信息时，还能起到平滑模型的作用。

2、基于HKS(HeatKernelSignature)的描述子定义以及相似性面片选取

通过上一步骤介绍的方法，得到模型不同尺度的几何细节信息以及信号余量，然后对信号余量进行网格重建，得到一个光滑的模型，在此模型上进行孔洞的初始修补。此时的模型是缺少几何细节信息的模型，需要恢复模型的细节信息，本发明采用相似性度量的方法，定义面片描述子，然后查找与目标面片描述子最相似的源面片，并将其几何细节信息迁移至目标面片上，从而实现几何细节的修复。

HKS通过描述模型表面的热量随着时间扩散变化，来反映网格顶点的内在特征，从而可以用来作为顶点特征的描述子。在时刻t＝0，给定一个单位热源x，热核函数h_t(x,y)表示时刻t，从点x传播到点y的总热量。若只考虑点x的领域，热核函数将会变形为h_t(x,x)。因此，不同时间时域内的热值可以提供一种有效的多尺度特征，可以用于模型匹配。

给定一个黎曼流形M，在时刻t某一点的热量为f(x,t)，则M上的热量扩散通过如下热力学扩散方程控制：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂f(x,t)}{\∂t}=-\mathrm{\Δ}f(x,t),\\ f(x,0)=T\left(x\right)\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中T(x)为定义在M上的初始温度，Δ为Laplace-Beltrami算子。当流形包含边界时，对于边界上的点需要额外满足f(x,0)＝0，另外给定M后，存在如下等式：

$f(x,t)=H_{T}T=\underset{M}{\overset{\mathrm{\∞}}{\∫}}{h}_t(x,y)T\left(y\right)dy---\left(15\right)$

其中H_T为热力学算子，h_t(x,y)可以看作时刻t时，从点x到y传递的热量。

对热核进行特征分解，可以得出HKS：

$h_t\left(x\right)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{e}^{-{\mathrm{\λi}}_t}{\mathrm{\Ω}}_i{\left(x\right)}^2---\left(16\right)$

其中λi_t和Ω_i分别为Laplace-Beltrami算子对应的特征值和和特征函数，满足等式：ΔMΩ_i＝λi_tΩ_i。从上面的式子容易看出，HKS反映了模型上某一顶点不同尺度的几何特征，同时也反映了局部和全局的几何信息。

本发明描述子的定义将HKS由基于点的描述子迁移到面片上，采用统计学的方法定义面片的描述子：

$HKS\left(P_i\right)=\{{\mathrm{HKS}}_{\mathrm{\μ}}{\left(P\right)}_{\[0,1\]},{\mathrm{HKS}}_{{\mathrm{\δ}}^2}{\left(P_i\right)}_{\[0,1\]}\}---\left(17\right)$

其中[0,1]表示归一化至区间[0,1]。该描述子包含了面片上所有顶点的HKS平均值以及方差，并且为了使描述子可以适用于不同的模型，选择了三个时域的描述子，也就是说每个面片对应三个描述子，分别为：整个时域，3/4时域，1/2时域。本发明中在时域中采样100个时间点作为一个点的HKS向量。

根据定义的描述子，采用欧氏距离的标准，计算面片描述子之间的距离，对于每个目标面片，选出k个距离最近、最相似的源面片，作为候选面片。本发明中k的默认值为顶点总数的0.1％。

从相似面片候选集中，需要选出最相似的面片进行细节迁移。定义面片之间的匹配误差如下：

$\mathrm{\ϵ}(T,S)=\frac{1}{N_T}\underset{T_i\∈T}{\Σ}{\min }_{S_j\∈S\left(T_i\right)}D(T_i,S_j)---\left(18\right)$

其中N_T为目标面片集合T中的面片数，S表示源面片集合,D(T_i,S_j)表示目标面片T_i和源面片S_j之间，通过刚性配准后的误差，S(T_i)表示目标面片T_i对应的相似源面片候选集。需要指出的是在刚性配准过程中，是通过搜索顶点对应整个时域的HKS值中最相近的点对作为配准时的匹配点对。

通过上面对描述子定义和相似面片寻找过程的描述，可得到如图3所示的相似性匹配结果。在图3中，只显示了面片的中心顶点，并且用左图中阴影部分对应目标孔洞区域，右图中阴影部分为通过相似性匹配计算得到的对应的相似匹配区域。从图3中可以看出，定义的描述子可以得到很好的相似性匹配结果。

不同尺度层次的几何细节迁移以及模型多尺度编辑在寻找到相似源面片后，需要将其几何细节信息迁移至目标面片。上中已经说明本发明的方法，不需要复制并粘贴源面片的操作，而是借出于EMD分解算法进行细节迁移。在步骤(1)中，已经对模型做了EMD分解，并得到了模型不同尺度下的几何信息(IMFs)以及信号余量，因此，只需要将源面片的IMFs信息迁移至目标面片，然后根据迁移后形成的新的表面信号进行表面重建，从而实现几何细节的迁移。同时，在IMFs迁移的过程中，通过控制各个尺度IMF的权重，来实现多尺度边界的效果。本发明将详细介绍如何实现几何细节的迁移以及多尺度编辑。

从步骤(1)中EMD分解的式子，可以得到定义在目标面片上的EMD分解：

$g^T=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{f_k}^T+{r_N}^T---\left(19\right)$

其中g^T表示定义在目标面片上的函数，即信号；T表示目标面片。根据步骤(2)得到的相似性匹配结果，将源面片的IMFs迁移至目标面片，那么将会得到定义在模型表面的新的信号：

$g_N^T=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_k{f_k}^S+{r_N}^T---\left(20\right)$

其中为形成的新的信号，f_k ^S为相似源面片的IMF信息，ω_k为对应尺度信息的权重。

下面将要根据新的信号，采用步骤(1)节中介绍的方法，来重构网格模型。但是在重构的过程中，拉普拉斯矩阵，IMFS以及信号余量的维数均与模型顶点数一致，在此之前已经对模型进行了初始修补，顶点数已经改变，步骤(1)中通过EMD分解得到的IMFs，信号余量以及拉普拉斯矩阵需要重新构造，使其与当前模型一致。对于模型内部顶点的相关信息，依旧保持不变，只需要对边界顶点和孔洞修复新增顶点对应的信息重新构造。

定义L^N为初始修补后新的拉普拉斯矩阵，为矩阵中与模型内部顶点对应的成分，为与边界顶点对应的成分，为新增顶点对应的成分，有如下式子：

$L^N=\{L_I^N,L_B^N,L_A^N\}$

构造新的拉普拉斯矩阵为最初拉普拉斯矩阵与模型内部顶点对应的成分。根据新构造的信号，运用步骤(1)中介绍的拉普拉斯能量最小化方法进行表面重建，同时通过改变IMF的权重，来实现多尺度可编辑的效果。图4和图5展示了从原始模型到初始修补，再到几何细节迁移后的结果，其中(a),(b),(c),(d)分别表示原始模型，模型孔洞，初始修补光滑修补，几何细节迁移后的修复结果。图6展示了多尺度编辑的效果,其中(a)表示初始模型，(b)～(f)分别表示三个IMF对应的权重ω₁,ω₂,ω₃取不同值时对应的不同的修复效果。表1显示了bunny模型不同编辑修复结果对应权重赋值情况。

表1bunny模型不同编辑修复结果对应权重赋值情况

结果\权重	ω1	ω2	ω3
				b	1.0	1.0	1.0
c	2.0	3.0	14.0
				d	3.0	3.0	3.0
e	3.0	10.0	10.0
				f	10.0	3.0	3.0

从以上表1可以清楚地看出，图6中b,c,d,e,f五种不同修复结果，分别对应不同的ω₁,ω₂,ω₃权重组合，易知通过调节权重大小，可以获得多样化的修复效果，使三角网格模型的修复可以根据不同需求进行编辑。

Claims (5)

1.一种基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，其特征在于包括以下三个步骤：

步骤(1)、三角网格模型的经验模态分解：以平均曲率作为三角网格模型的经验模态分解的输入信号，对此信号进行分解，得到一组内蕴模态函数IMFs(IntrinsicModeFunctions，简称IMFs)以及信号余量residue，即三角网格模型的多尺度几何细节信息；

步骤(2)、基于HKS(HeatKernelSignature)描述子定义数据点的相似性以及相似性面片选取：不同时间时域内的HKS值提供一种有效的多尺度特征用于模型匹配，通过定义基于HKS统计学信息的描述子，将HKS由顶点描述子延伸到面片的描述子，有效地查找与目标面片最匹配的相似性面片，并保存匹配结果；

步骤(3)、不同尺度层次的几何细节迁移以及模型多尺度编辑：根据步骤(2)得到的匹配结果，将步骤(1)得到多尺度几何细节信息，由相似性面片迁移至目标面片；在迁移的过程中，调节不同尺度IMFs的权重，得到不同的信号，分别针对每个信号进行网格模型的重建，得到不同的几何细节修复结果，从而使模型可编辑。

2.根据权利要求1所述的基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，其特征在于：所述步骤(1)中以平均曲率作为三角网格模型的经验模态分解的输入信号，对此信号进行分解，得到一组内蕴模态函数IMFs以及信号余量residue，即三角网格模型的多尺度几何细节信息，具体实现为：

定义在三角网格模型表面上的函数g：M→R，M表示网格模型，R表示实数集合，EMD的分解过程如下：

$g=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{f}_k+r_N$

其中f_k表示第k个IMFs，k＝1,...,N，N表示IMFs总数，r_N表示对应的信号余量；

首先，极值点的定义，对于函数g，若g(v_i)满足：g(v_i)≥g(v_j)，j∈N(i)或者g(v_i)≤g(v_j)，j∈N(i)，则称v_i为g的极大值点或者极小值点；

其次，根据上步中的极值点定义，寻找出极值点，以极值点构造上下包络，包络的求解是用双调和插值计算的，双调和插值是样条插值在三维曲面的扩展，是过最小化三角网格模型所在的潜在流形曲面M上定义的能量函数实现的，

∫_M(Δ_Mφ)²dV.

对应的拉格朗日方程是其中Δ_M是曲面M的Laplace–Beltrami操作子，具体地，对于给定的插值点和相对应的值{(v_i,g(v_i)),i∈C}，插值函数φ＝(φ(v₁),φ(v₂),...,φ(v_n))能通过求解以下n×n线性系统求得：

L²·φ＝0,s.t.,φ(v_i)＝g(v_i),i∈C,

其中C是插值集合，L是为三角网格模型的n×n拉普拉斯矩阵；

最后，迭代筛选过程的收敛标准，计算过上下包络后，通过包络来确定当前的IMF，这是一个迭代的过程，那么筛选的收敛标准就是判定筛选之后的信号是不是IMF,结束过程是看标准方差SD是否小于给定的阈值，SD是采用两个相邻的筛选结果计算，计算如下：

$SD=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{|h_j\left(v_i\right)-h_{j-1}\left(v_i\right){|}^2}{|h_{j-1}\left(v_i\right){|}^2}.$

3.根据权利要求1所述的基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，其特征在于：所述步骤(2)中通过定义基于HKS统计学信息的描述子，能够有效地用于面片的相似性匹配，得到目标面片与源面片的匹配结果；具体实现为：

给定潜在流形曲面M后，存在如下等式：

$f(x,t)=H_{T}T=\underset{M}{\overset{\mathrm{\∞}}{\∫}}{h}_i(x,y)T\left(y\right)dy$

其中H_T为热力学算子，h_t(x,y)看作时刻t时，从点x到y传递的热量；

首先，对热核进行特征分解，得出HKS：

$h_t\left(x\right)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{e}^{-{\mathrm{\λi}}_t}{\mathrm{\Ω}}_i{\left(x\right)}^2$

其中λi_t和Ω_i分别为Laplace-Beltrami算子对应的特征值和和特征函数，满足等式：ΔMΩ_i＝λi_tΩ_i；

其次，根据上步中计算出的顶点的HKS值，定义基于HKS的面片描述子，采用统计学的方法定义面片的描述子：

$EKS\left(P_i\right)=\{{\mathrm{HKS}}_{\mathrm{\μ}}{\left(P_i\right)}_{\[0,1\]},{\mathrm{HKS}}_{{\mathrm{\δ}}^2}{\left(P_i\right)}_{\[0,1\]}\}$

其中[0,1]表示归一化至区间[0,1]，选择了三个时域的描述子，即每个面片对应三个描述子，分别为：整个时域，3/4时域，1/2时域；在时域中采样100个时间点作为一个点的HKS向量；

最后，根据已经定义的基于HKS的面片描述子，计算面片之间的匹配结果，采用欧氏距离的标准，计算面片描述子之间的距离，对于每个目标面片，选出k个距离最近、最相似的源面片，作为候选面片，定义面片之间的匹配误差如下：

$\mathrm{\ϵ}(T,S)=\frac{1}{N_T}\underset{T_i\∈T}{\Σ}{\min }_{S_j\∈S\left(T_i\right)}D(T_i,S_j)$

其中N_T为目标面片集合T中的面片数，D(T_i,S_j)表示目标面片T_i和源面片S_j之间，通过刚性配准后的误差；根据上式，从候选面片中，选出匹配误差最小的面片最为匹配结果。

4.根据权利要求1所述的基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，其特征在于：所述步骤(3)中通过将相似性面片的IMFs信息迁移至对应的目标面片，从而简单而有效地实现了几何细节的迁移，避免了传统相似性匹配方法中的粘贴相似性面片至目标区域的复杂操作，同时通过调节不同层次IMFs的权重，实现模型可编辑的效果；具体为：

定义在目标面片上的EMD分解方程为：

$g^T=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{f_k}^T+{r_N}^T$

其中g^T表示定义在目标面片上的函数，即信号；T表示目标面片；

首先，根据步骤(2)的匹配结果以及步骤(1)中得到的IMFs信息，将源面片的IMFs迁移至目标面片，得到定义在模型表面的新的信号：

$g_N^T=\underset{k=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_k{f_k}^S+{r_N}^T$

其中为形成的新的信号，f_k ^S为相似源面片的IMF信息，ω_k为对应尺度信息的权重，r_N ^T为目标面片的信号余量；

其次，上步生成新的信号的同时，模型的拉普拉斯矩阵也许重新构造，定义L^N为初始修补后新的拉普拉斯矩阵，为矩阵中与模型内部顶点对应的成分，为与边界顶点对应的成分，为新增顶点对应的成分，有如下式子：

$L^N=\{L_I^N,L_B^N,L_A^N\}$

构造新的拉普拉斯矩阵为最初拉普拉斯矩阵与模型内部顶点对应的成分；

最后，根据新构造的信号以及新的拉普拉斯矩阵，采用拉普拉斯最小化能量的方法，重构三维网格模型，通过调节IMF的权重，获得不同的修复效果，也就是模型的编辑效果。

5.根据权利要求2所述的基于经验模态分解的网格模型多尺度几何细节修复方法，其特征在于：所述阈值为0.1。