CN105426657B - 一种消除反应堆堆芯计算中控制棒尖齿效应的方法 - Google Patents

Abstract

一种消除反应堆堆芯计算中控制棒尖齿效应的方法，具体步骤为：步骤1：将整个求解区域划分若干个节块区域，写出待求解的中子扩散方程；步骤2：运用变分原理，写出每个节块泛函式；步骤3：将中子通量密度和中子源用空间基函数展开并代入到节块泛函式中；步骤4：利用节块泛函式得到节块表面出射中子流和入射中子流之间的关系式以及节块内通量与节块表面出射流、入射流的关系式；本发明方法基于变分节块方法，它将节块泛函中的截面写成空间的函数，推导过程中不作节块内的宏观截面是常数的假设，最终将节块内的非均匀性体现在节块的响应矩阵中，从而实现对非均匀节块的计算，进而消除控制棒尖齿效应。

Description

一种消除反应堆堆芯计算中控制棒尖齿效应的方法

技术领域

本发明涉及核反应堆堆芯设计和安全技术领域，具体涉及一种消除反应堆堆芯计算中的控制棒尖齿效应的方法。

背景技术

随着核能的能源战略地位不断凸显，人们对核反应堆的安全性和经济性越来越关注，对反应堆物理计算的精度也提出了越来越高的要求。而控制棒尖齿效应是反应堆堆芯计算中不可避免的问题，也是影响堆芯计算精度的重要原因。

在反应堆堆芯计算中，采用的计算节块的轴向尺寸一般在20cm左右，而控制棒的移动步长只有1至2cm，因此不可避免的会出现控制棒局部插入的非均匀节块。在用传统的节块方法计算时，必须获得这些非均匀节块的均匀化截面。若直接采用体积权重的方法，则计算的控制棒微分价值曲线上会出现一系列尖齿，这一现象便称为“控制棒尖齿效应”，这种对控制棒价值的计算偏差严重影响了堆芯计算精度。从十九世纪八十年代以来，出现了很多方法来处理控制棒尖齿效应，如体积-近似通量权重方法、体积-重建的轴向通量权重方法和自适应网格方法。前两种方法只能减弱控制棒尖齿效应，并无法完全消除；自适应网格方法根据控制棒的不同插入位置对堆芯节块进行动态划分，保证控制棒底端与节块界面对齐，这种方法理论上能消除控制棒尖齿效应，但它有可能使堆芯轴向某些位置出现极薄的节块，增加了堆芯计算量甚至会影响计算精度。

可见，若能打破传统节块方法对节块内均匀化截面的要求，则不需要权重方法来获得节块均匀化截面，也不需要重新划分网格，能直接有效得消除反应堆堆芯计算中的控制棒尖齿效应。

发明内容

为了克服上述现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种消除反应堆堆芯计算中的控制棒尖齿效应的方法，这种方法基于变分节块方法，它将节块泛函中的截面写成空间的函数，推导过程中不作节块内的宏观截面是常数的假设，最终将节块内的非均匀性体现在节块的响应矩阵中，从而实现对非均匀节块的计算，进而消除控制棒尖齿效应。

为了实现上述目的，本发明采取了以下技术方案予以实施：

一种消除反应堆堆芯计算中控制棒尖齿效应的方法，该方法包括以下步骤：

步骤1：将整个求解区域划分若干个节块区域，写出待求解的中子扩散方程(以一维平板几何为例，省略能群符号g)：

$-\frac{d}{dx}D\left(x\right)\frac{d}{dx}\mathrm{\Φ}\left(x\right)+{\Σ}_t\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)={\Σ}_s\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)+S\left(x\right)---\left(1\right)$

其中，Φ(x)表示中子通量密度(cm^-2·s^-1)；D(x)、Σ_t(x)和Σ_s(x)分别表示中子扩散系数(cm)，中子宏观总截面(cm^-1)和群内宏观散射截面(cm^-1)；S(x)表示中子源项(cm^-3·s^-1)，包括散射源项和裂变源项：

$S\left(x\right)=\Σ\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)+\frac{1}{k}F\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)---\left(2\right)$

其中，散射源项为：

$\Σ\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)=\underset{g^{\′}\≠g}{\Σ}{\Σ}_{{\mathrm{gg}}^{\′}}^s\left(x\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(x\right)---\left(3\right)$

裂变源项为：

$\frac{1}{k}F\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)=\underset{g^{\′}}{\Σ}\frac{{\mathrm{\χ}}_g}{k}v{\Σ}_{f,g^{\′}}\left(x\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(x\right)---\left(4\right)$

k表示有效增殖因子；χ表示中子裂变能谱；νΣ_f(x)和分别表示中子宏观产生截面(cm^-1)和群间散射截面(cm^-1)；

步骤2：运用变分原理，对中子扩散方程在整个求解域及其边界上建立全局泛函，并写出每个节块对全局泛函的贡献，即节块泛函式：

$F_v\[\mathrm{\Φ},J\]={\∫}_{v}dV\{D\left(x\right){\left(\frac{d}{dx}\mathrm{\Φ}\right(x\left)\right)}^2+\left({\Σ}_t\right(x)-{\Σ}_s(x\left)\right)\mathrm{\Φ}{\left(x\right)}^2-2\mathrm{\Φ}\left(x\right)S\left(x\right)\}+2\underset{\mathrm{\γ}=1}{\overset{N}{\Σ}}\mathrm{\Φ}\left(x\right)J\left(x\right)---\left(6\right)$

以上节块泛函中的截面是空间位置的函数，不作节块内的截面是常数的假设；其中，γ表示节块边界，N表示节块表面数，J(x)表示节块边界的净中子流密度；

步骤3：利用空间基函数将节块泛函式中的中子通量密度和中子源展开成如下形式：

其中，空间基函数f_i(x)是正交多项式，和s_i是待求解的未知数；将展开式(7)代入节块泛函式(6)中，得到矩阵形式的节块泛函：

其中矩阵A中的元素A_ii'和矩阵M中的元素M_iγ的计算公式为：

$A_{{\mathrm{ii}}^{\′}}=\underset{v}{\∫}\{\frac{1}{3{\Σ}_t\left(x\right)}\·\frac{{\mathrm{df}}_i\left(x\right)}{dx}\·\frac{{\mathrm{df}}_{i^{\′}}\left(x\right)}{dx}+\left({\Σ}_t\right(x)-{\Σ}_s(x\left)\right)f_i\left(x\right)f_{i^{\′}}\left(x\right)\}dx---\left(10\right)$

$M_{i\mathrm{\γ}}=f_i\left(x\right){|}_{x=x_{\mathrm{\γ}}}---\left(11\right)$

和s分别是由节块内中子通量密度和中子源展开式系数和s_i构成的向量，j是由节块边界净中子流密度组成的向量；此时已将节块内的非均匀性考虑到节块的响应矩阵A中；

步骤4：令矩阵形式的节块泛函对中子通量密度展开系数组成的向量的变分为零，对节块表面净中子流密度组成的向量的变分连续，经过推导就得到出射中子流密度向量和入射中子流密度向量之间的关系式以及节块内中子通量密度展开系数组成的向量与节块表面出射中子流密度向量、入射中子流密度向量的关系式：

j⁺＝Bs+Rj^- (15)

其中j⁺和j^-表示节块表面的出射中子流密度向量和入射中子流密度向量，表示节块内中子通量密度展开式系数组成的向量，矩阵B，C，H和R是由几何与材料共同决定的节块内响应矩阵；再加上节块内中子通量密度和源项之间的关系式(2)便能够通过迭代求解，获得中子扩散方程的解。

由于该方法步骤3精确考虑了节块内的非均匀性而未作节块内截面是常数的假设，来计算反应堆控制棒的微分价值时将完全消除控制棒尖齿效应。

与现有技术相比，本发明有如下突出优点：

1.打破了传统节块方法对节块内均匀化截面的限制，可以考虑非均匀节块。

2.在消除控制棒尖齿时不引入近似，精确计算控制棒微分价值。

3.用粗网格便可完全消除控制棒尖齿效应，保证了计算效率。

附图说明

图1控制棒部分插入时的非均匀节块示意图。

图2本发明消除控制棒尖齿效应的效果。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

本发明在变分节块法的理论基础上，将节块泛函中的截面写成位置的函数，推导出能处理非均匀节块的非均匀变分节块方法。以下以一维情况为例，给出本发明消除反应堆堆芯计算中控制棒尖齿效应的方法过程。

一维平板几何下的中子扩散方程为(省略能群符号g)：

$-\frac{d}{dx}D\left(x\right)\frac{d}{dx}\mathrm{\Φ}\left(x\right)+{\Σ}_t\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)={\Σ}_s\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)+S\left(x\right)---\left(1\right)$

其中，Φ(x)表示中子通量密度(cm^-2·s^-1)；D(x)、Σ_t(x)和Σ_s(x)分别表示中子扩散系数(cm)，中子宏观总截面(cm^-1)和群内宏观散射截面(cm^-1)；S(x)表示中子源项(cm^-3·s^-1)，包括散射源项和裂变源项：

$S\left(x\right)=\Σ\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)+\frac{1}{k}F\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)---\left(2\right)$

其中，散射源项为：

$\Σ\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)=\underset{g^{\′}\≠g}{\Σ}{\Σ}_{{\mathrm{gg}}^{\′}}^s\left(x\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(x\right)---\left(3\right)$

裂变源项为：

$\frac{1}{k}F\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)=\underset{g^{\′}}{\Σ}\frac{{\mathrm{\χ}}_g}{k}v{\Σ}_{f,g^{\′}}\left(x\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(x\right)---\left(4\right)$

k表示有效增殖因子；χ表示中子裂变能谱；νΣ_f(x)和分别表示中子宏观产生截面(cm^-1)和群间散射截面(cm^-1)。

对于给定问题的求解区域，可以划分为若干个节块，根据变分原理，对中子扩散方程可以在整个求解域及其边界上建立全局泛函：

$F\[\mathrm{\Φ},J\]=\underset{v}{\Σ}{F}_v\[\mathrm{\Φ},J\]---\left(5\right)$

节块v的贡献为：

$F_v\[\mathrm{\Φ},J\]={\∫}_{v}dV\{D\left(x\right){\left(\frac{d}{dx}\mathrm{\Φ}\right(x\left)\right)}^2+\left({\Σ}_t\right(x)-{\Σ}_s(x\left)\right)\mathrm{\Φ}{\left(x\right)}^2-2\mathrm{\Φ}\left(x\right)S\left(x\right)\}+2\underset{\mathrm{\γ}=1}{\overset{N}{\Σ}}\mathrm{\Φ}\left(x\right)J\left(x\right)---\left(6\right)$

其中，γ表示节块边界，J(x)表示节块边界的净中子流密度。注意其中的截面是位置的函数。

对中子通量密度和中子源项在节块内可作如下展开：

其中，空间基函数f_i(x)是正交多项式。根据式(2)所示的源项定义，可以得出中子源项和中子通量密度展开矩之间的关系为：

将展开式(7)代入式(6)，可得：

其中矩阵A中的元素A_ii'和矩阵M中的元素M_iγ的计算公式为：：

$A_{{\mathrm{ii}}^{\′}}=\underset{v}{\∫}\{\frac{1}{3{\Σ}_t\left(x\right)}\·\frac{{\mathrm{df}}_i\left(x\right)}{dx}\·\frac{{\mathrm{df}}_{i^{\′}}\left(x\right)}{dx}+\left({\Σ}_t\right(x)-{\Σ}_s(x\left)\right)f_i\left(x\right)f_{i^{\′}}\left(x\right)\}dx---\left(10\right)$

$M_{i\mathrm{\γ}}=f_i\left(x\right){|}_{x=x_{\mathrm{\γ}}}---\left(11\right)$

其中，和s分别是由节块内中子通量密度和中子源展开式系数和s_i构成的向量，j是由节块边界净中子流密度组成的向量。与均匀节块法不同的是，在求矩阵A时，中子宏观截面由于是位置的函数，不能直接从积分符号内提出来。

令式(9)对的变分为0，可得

保证了节块内的中子平衡。再令式(9)对j_γ的变分为0，可得

在节块边界处连续。定义边界上的分中子流密度：

$j_{\mathrm{\γ}}^{\±}=\frac{1}{4}{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\γ}}\±\frac{1}{2}{j}_{\mathrm{\γ}}---\left(14\right)$

将式(14)分别代入式(12)和式(13)中，可得：

j⁺＝Bs+Rj^- (15)

$B=\frac{1}{2}{\[G+I\]}^{-1}{C}^T---\left(17\right)$

R＝[G+I]^-1[G-I] (18)

$G_{{\mathrm{\γ\γ}}^{\′}}=\frac{1}{2}{M}_{\mathrm{\γ}}^T{A}^{-1}{M}_{{\mathrm{\γ}}^{\′}}---\left(19\right)$

$C_{\mathrm{\γ}}^T=M_{\mathrm{\γ}}^T{A}^{-1}---\left(20\right)$

H＝A^-1 (21)

其中，矩阵B，C，H和R是由几何与材料共同决定的节块内响应矩阵。上述式(8)，式(15)和式(16)就是非均匀变分节块法离散后的中子扩散方程，利用这三式便可编程求解中子扩散方程。

基于以上本发明的理论方法，作者采用标准FORTRAN 90语言编制了程序Violet-Het1D，用于验证该发明的有效性。

以下是该发明有效性的数值验证过程：设计一维堆芯问题的总长为4m，两端均为真空边界，控制棒步长为2cm，从上往下逐步插入。为得到控制棒微分价值曲线的参考解，我们将堆芯平均划分为200个节块，每个节块2cm。这种情况下，在控制棒移动过程中不会出现非均匀节块，因而不会出现尖齿效应，此时的结果是最准确的，可以作为参考解。用基于原有方法的程序Violet-Hom1D进行计算时，将堆芯分成20个节块，每个节块20cm。此时在控制棒插入过程中会出现局部插入控制棒的非均匀节块，如图1所示，中间节块的上半部分材料是控制棒，下半部分材料是燃料，若此时直接用体积权重的方法获得非均匀节块的均匀化截面，便出现了如图2中所示的控制棒尖齿效应。最后，用基于本发明方法的程序Violet-Het1D计算时，也将堆芯分成20个节块，每个节块20cm。与Violet-Hom1D不同的是不需要获得控制棒局部插入的非均匀节块的均匀化截面，而是直接准确描述节块内的非均匀截面。计算结果如图2所示，所计算的控制棒微分价值与参考解十分相符，完全消除了尖齿效应。

Claims (1)

1.一种消除反应堆堆芯计算中控制棒尖齿效应的方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

步骤1：将整个求解区域划分若干个节块区域，写出待求解的中子扩散方程：

$-\frac{d}{dx}D\left(x\right)\frac{d}{dx}\mathrm{\Φ}\left(x\right)+{\mathrm{\Σ}}_t\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)={\mathrm{\Σ}}_s\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)+S\left(x\right)---\left(1\right)$

其中，Φ(x)表示中子通量密度，单位，cm^-2·s^-1；D(x)、Σ_t(x)和Σ_s(x)分别表示中子扩散系数，单位cm，中子宏观总截面，单位cm^-1，和群内宏观散射截面，单位cm^-1；S(x)表示中子源项，单位cm^-3·s^-1，包括散射源项和裂变源项：

$S\left(x\right)=\mathrm{\Σ}\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)+\frac{1}{k}F\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)---\left(2\right)$

其中，散射源项为：

$\mathrm{\Σ}\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)=\underset{g^{\′}\≠g}{\Σ}{\Σ}_{{\mathrm{gg}}^{\′}}^s\left(x\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(x\right)---\left(3\right)$

裂变源项为：

$\frac{1}{k}F\left(x\right)\mathrm{\Φ}\left(x\right)=\underset{g^{\′}}{\Σ}\frac{{\mathrm{\χ}}_g}{k}{\mathrm{\ν\Σ}}_{f,g^{\′}}\left(x\right){\mathrm{\Φ}}_{g^{\′}}\left(x\right)---\left(4\right)$

k表示有效增殖因子；χ表示中子裂变能谱；νΣ_f(x)和分别表示中子宏观产生截面，单位cm^-1，和群间散射截面，单位cm^-1；

步骤2：运用变分原理，对中子扩散方程在整个求解域及其边界上建立全局泛函，并写出每个节块对全局泛函的贡献，即节块泛函式：

$F_v\[\mathrm{\Φ},J\]={\∫}_{v}dV\{D\left(x\right){\left(\frac{d}{dx}\mathrm{\Φ}\right(x\left)\right)}^2+\left({\Σ}_t\right(x)-{\Σ}_s(x\left)\right)\mathrm{\Φ}{\left(x\right)}^2-2\mathrm{\Φ}\left(x\right)S\left(x\right)\}+2\underset{\mathrm{\γ}=1}{\overset{N}{\Σ}}\mathrm{\Φ}\left(x\right)J\left(x\right)---\left(6\right)$

以上节块泛函中的截面是空间位置的函数，不作节块内的截面是常数的假设；其中，γ表示节块边界，N表示节块表面数，J(x)表示节块边界的净中子流密度；

步骤3：利用空间基函数将节块泛函式中的中子通量密度和中子源展开成如下形式：

其中，空间基函数f_i(x)是正交多项式，和s_i是待求解的未知数；将展开式(7)代入节块泛函式(6)中，得到矩阵形式的节块泛函：

其中矩阵A中的元素A_ii'和矩阵M中的元素M_iγ的计算公式为：

$A_{{\mathrm{ii}}^{\′}}=\underset{v}{\∫}\{\frac{1}{3{\mathrm{\Σ}}_t\left(x\right)}\·\frac{{\mathrm{df}}_i\left(x\right)}{dx}\·\frac{{\mathrm{df}}_i\left(x\right)}{dx}+\left({\mathrm{\Σ}}_t\right(x)-{\mathrm{\Σ}}_s(x\left)\right)f_i\left(x\right)f_{i^{\′}}\left(x\right)\}dx---\left(10\right)$

$M_{i\mathrm{\γ}}=f_i\left(x\right){|}_{x=x_{\mathrm{\γ}}}---\left(11\right)$

和s分别是由节块内中子通量密度和中子源展开式系数和s_i构成的向量，j是由节块边界净中子流密度组成的向量；此时已将节块内的非均匀性考虑到节块的响应矩阵A中；

步骤4：令矩阵形式的节块泛函对中子通量密度展开系数组成的向量的变分为零，对节块表面净中子流密度组成的向量的变分连续，经过推导就得到出射中子流密度向量和入射中子流密度向量之间的关系式以及节块内中子通量密度展开系数组成的向量与节块表面出射中子流密度向量、入射中子流密度向量的关系式：

j⁺＝Bs+Rj^- (15)

其中j⁺和j^-表示节块表面的出射中子流密度向量和入射中子流密度向量，表示节块内中子通量密度展开式系数组成的向量，矩阵B，C，H和R是由几何与材料共同决定的节块内响应矩阵；再加上节块内中子通量密度和源项之间的关系式(2)便能够通过迭代求解，获得中子扩散方程的解。