CN105333058A - 一种周期腔体型低频宽带隙隔振器及制备方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种周期腔体型低频宽带隙隔振器及制备方法。该隔振器包括两个或两个以上周期单元。周期单元包括两个薄板主体和一个环腔散射体，两个薄板主体的外缘用环腔散射体相连以形成一腔体；周期单元之间用连接块散射体相连。所述制备方法包括如下步骤：选取材料以制备薄板主体、环腔散射体和连接块散射体；调整它们的几何参数，使得隔振器的有效带隙频率能覆盖所需隔振环境的振动频率；校核隔振器是否符合安全条件，从而制备周期腔体型低频宽带隙隔振器。本发明适用于隔离低频率的振动，且能在保持相应的承载力的同时实现宽频率范围的隔振，能在更低频率段形成带隙，并同时拥有更宽的带隙，尺寸相对更小，振动衰减率更高。

Description

一种周期腔体型低频宽带隙隔振器及制备方法

技术领域

本发明属于隔振器领域，更具体地，涉及一种周期腔体型低频宽带隙隔振器及制备方法。

背景技术

超精密运动平台是大规模集成电路制造、精微加工、精密测量等纳米制造装备的核心部件，其微振动具有振幅小(几纳米到几十纳米)、频带宽(数赫兹至数万赫兹)、频率低等特点，这类微振动的抑制是当前国际振动研究前沿的热点难点问题。为了抑制此类微振动，用于振动传递抑制的减振结构，其工作频带需要有低频和宽频的特性。

周期性结构对某些频率波段的振动和波的传播具有屏蔽或抑制作用，这些频率波段称为禁带或带隙，因此周期性结构可以用于对带隙频率范围内的振动进行隔离或者衰减。周期性结构因为具有低频和高频带隙，有望成为超精密运动平台的减振结构。然而，相对超精密运动平台微振动频率，目前周期性结构尺寸较大，最低频率带隙的频率较高，带宽较窄，衰减效率低，承载力不足，无法满足实际需求。因此如何获得拥有低频率、宽带隙、可调节、高振动衰减率等特征的频率带隙，并具有足够承载能力的小型化周期性结构，具有重要的理论和实际工程意义。

发明内容

针对现有技术上的缺陷或改进需求，本发明提供了一种周期腔体型低频宽带隙隔振器及制备方法，隔振器由多个周期腔体型单元组成周期性结构，腔体中弯曲刚体小的薄板作为主体，弯曲刚体大的环腔散射体及连接块散射体作为散射体，采用腔体结构增大了弯曲波传播路径，降低了带隙频率，同时又能使结构保持较小尺寸。

为实现上述目的，按照本发明的一个方面提出了一种周期腔体型低频宽带隙隔振器，其特征在于，该隔振器包括两个或两个以上周期单元，每个周期单元包括两个薄板主体和一个环腔散射体，其中所述两个薄板主体的外缘用所述环腔散射体相连以形成一腔体；两个所述周期单元之间用连接块散射体相连。

作为进一步优选的，所述两个薄板主体为直径相同的圆形薄板，所述环腔散射体为空心圆柱体，以此形成圆柱形腔体。

作为进一步优选的，所述两个薄板主体为直径不同的圆形薄板，所述环腔散射体为空心圆台，以此形成圆台形腔体。

作为进一步优选的，所述两个薄板主体为直径相同的圆形薄板，所述环腔散射体的母线为曲线，以此形成曲母线形腔体。

作为进一步优选的，所述两个薄板主体为方形薄板，所述环腔散射体为空心方柱，以此形成方形腔体。

作为进一步优选的，所述腔体为开放式，所述环腔散射体分成两块或多块。

按照本发明的另一方面，提供了一种制备所述隔振器的方法，该方法包括如下步骤：

(1)根据隔振器需达到的最低频率带隙的频率选取薄板主体、环腔散射体和连接块散射体的材料；根据选取的材料制备薄板主体、环腔散射体和连接块散射体，并确定它们的几何参数，然后组装获得隔振器；

(2)比较隔振器的最低有效带隙所在的频率与振动源频率，调整薄板主体、环腔散射体和连接块散射体的材料和几何参数，使得隔振器的最低有效带隙频率低于振动源频率；

(3)校核隔振器是否符合安全条件：如果符合，则制备完成；如果不符合，则增大薄板主体的厚度，减小环腔散射体的内半径，并转入步骤(4)；

(4)重复步骤(2)～(3)，直至步骤(2)和(3)的要求都满足，制备获得周期腔体型低频宽带隙隔振器。

作为进一步优选的，步骤(2)中所述薄板主体、环腔散射体和连接块散射体的材料和几何参数采用如下方式进行调整：若隔振器的最低有效带隙所在的频率与振动源频率相差较大，则调节薄板主体的材料和几何参数，直至使最低有效带隙频率低于振动源频率；若隔振器的最低有效带隙所在的频率与振动源频率略有区别，则微调环腔散射体和连接块散射体的质量，直至使最低有效带隙频率低于振动源频率。

作为进一步优选的，所述安全条件具体为：

σ_max＜[σ],y_max＜[y]；

其中，σ_max为最大应力，[σ]为许用应力，y_max为最大挠度，[y]为许用挠度。

作为进一步优选的，所述最大应力σ_max采用如下公式计算获得：

${\mathrm{\σ}}_{\max }=\frac{3R_1{Q}_s}{4h^2}\frac{R_1^2(-1+\mathrm{\μ})+R_0^2\[1-\mathrm{\μ}+2(1+\mathrm{\μ})\ln \frac{R_0}{R_1}\]}{R_1^2(1-\mathrm{\μ})+2R_0^2(1+\mathrm{\μ})};$

其中，R₁为环腔散射体内圆半径，Q_s为外力施加的载荷，μ为薄板主体材料的泊松比，R₀为连接块散射体的半径，h为薄板主体厚度的一半；

所述最大挠度y_max采用如下公式计算获得：

$\begin{array}{c}{y}_{max}=\frac{R_1{Q}_s}{16D}\{(R_1^2-R_0^2)(3+\mathrm{\μ})+2ln\frac{R_0}{R_1}\[R_1^2(1-\mathrm{\μ})+2R_0^2(1+\mathrm{\μ})(1-ln\frac{R_0}{R_1})\]\\ +(R_1^2-R_0^2+2R_0^2\ln \frac{R_0}{R_1})\[1-\mathrm{\μ}+2(1+\mathrm{\μ})\ln \frac{R_0}{R_1}\]\}\end{array};$

其中，D＝2Eh³/3(1-μ²)为薄板主体的抗弯刚度，E为其材料的杨氏模量。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，主要具备以下的技术优点：

1.本发明的隔振器采用周期性结构，周期单元包括构成腔体的薄板主体和环腔散射体，周期单元之间通过连接块散射体串联而构成周期性结构，主体和散射体周期性交替布置，能够产生低频、宽频、高衰减率的带隙；在薄板主体中，通过调节薄板主体的材料和几何参数，即可确定带隙的频率和宽度；连接块散射体除了作为必要的连接元件，在振动控制中还起到了集中质量振子的作用，通过改变其质量实现对带隙频率的调节，即通过改变其材料和几何参数，可以有效地调节带隙的位置和宽度。

2.本发明的隔振器主要利用周期性腔体结构产生布拉格散射带隙，不仅可以有效降低最低频率带隙的频率，克服布拉格散射最低带隙频率相对较高，或带隙频率低但结构尺寸大的缺点，还具有较宽的带隙，且达到了高振动衰减率的要求；同时避免了局域共振结构承载力小、带隙带宽太窄的问题。采用腔体结构，增大了弯曲波的传播路径，降低了带隙频率，相比于常见的长直型周期性结构，保持了较小尺寸，实现了“小尺寸控制大波长”的目的。

3.本发明的隔振器应用于超精密运动平台微振动的抑制，克服目前周期性结构减振器尺寸较大，最低频率带隙的频率较高，带宽较窄，衰减效率低等缺点，结构简单，制造方便，成本低廉；其周期性减振单元通过刚柔交叉布置的主体和散射体的共同作用，对振动产生的弯曲波进行调制，达到振动的隔离和抑制，具有能在更低频率段形成带隙，并同时拥有更宽的带隙，尺寸相对更小，衰减效率更高的优点。

4.由于绝大多数的机械设备在使用隔振器的时候都要求隔振器有相应的承载能力，一般承载能力强的材料因其刚度较大，难以到达低频区域。而本发明的隔振器在保留相当的承载能力的同时，可以在低频区域形成大范围密集连续的带隙，并有很好的衰减效率。从工作频率及承载能力方面来看，本发明的隔振器能更好地适应复杂的环境，具有广泛的工程应用前景。

附图说明

图1为周期圆柱腔体型低频宽带隙隔振器；

图2为周期圆台腔体型低频宽带隙隔振器；

图3为周期曲母线腔体型低频宽带隙隔振器；

图4为周期方腔体型低频宽带隙隔振器；

图5为周期开放式腔体型低频宽带隙隔振器；

图6为周期圆柱腔体型低频宽带隙隔振器1/4三维示意图；

图7为结构隔振系统示意图；

图8为所述隔振器安装位置及振动传递示意图；

图9为周期圆柱腔体型低频宽带隙隔振器力学模型轴对称截面图；

图10为周期圆柱腔体型低频宽带隙隔振器力学模型单位角度示意图；

图11(a)和(b)为所取材料与尺寸参数下的能带图——波数和衰减常数；

图12(a)和(b)为所取材料与尺寸参数下的衰减常数和传递曲线；

图13为铝-Al和铜-Cu的传递曲线的比较；

图14(a)和(b)为周期圆柱腔体型低频宽带隙隔振器中的薄板主体的力学模型简图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

如图7和图8所示，本发明的周期腔体型低频宽带隙隔振器2，应用于隔离或抑制超精密运动平台的微扰动，在振动源3和机械设备1之间安装所述隔振器2。

具体的，如图9和图10所示，本发明的周期腔体型低频宽带隙隔振器2，由两个或两个以上周期单元结构4组成，每个周期单元4包括两个薄板主体5和一个环腔散射体6，两个薄板主体5上下对称排布，其外缘用环腔散射体6相连以形成一个腔体；两个周期单元之间用连接块散射体7相连。

其中，连接块散射体7为小圆柱体，位于薄板主体5的几何中心位置；环腔散射体6位于薄圆板结构5的外边缘；薄板主体5用薄板主体I和薄板主体II依次循环标注，在同一个周期内，薄板主体I和薄板主体II用环腔散射体6连接；在相临的两个周期单元4之间，薄板主体II和薄板主体I用连接块散射体7连接。连接块散射体7的半径R₀等于环腔散射体6的径向宽度R₂-R₁，且连接块散射体7和环腔散射体6在z方向(即与减振单元垂直的方向)的高度都为H，H的取值除了考虑连接单元作为集中质量振子外，还应考虑薄板主体I和薄板主体II在运动过程中的位移，避免发生接触；隔振器的两端的中心各有一个连接块散射体7伸出，分别连接振动源和机器设备。

进一步的，薄板主体5，环腔散射体6和连接块散射体7的材料参数和几何参数可以按各自不同的变化规律进行类周期性变化，例如结构的薄板主体5的半径按照从一端开始向另一端递增或递减等方式排列、从中间开始同时向两边递增或递减等方式排列，形成类周期性结构。

本发明中腔体的腔型具体为圆柱、圆台、曲母线或方体。

如图1和图6所示为周期圆柱腔体型低频宽带隙隔振器，其中薄板主体I和薄板主体II为直径相同的圆形薄板，环腔散射体6为空心圆柱体，两个圆形薄板与空心圆柱体形成圆柱形的封闭腔体。

如图2所示为周期圆台腔体型低频宽带隙隔振器，其中薄板主体I和薄板主体II为直径不同的圆形薄板，环腔散射体6为空心圆台，两个圆形薄板与空心圆台形成圆台形的封闭腔体。

如图3所示为周期曲母线腔体型低频宽带隙隔振器，其中薄板主体I和薄板主体II为直径相同的圆形薄板，环腔散射体6的母线为曲线，两个圆形薄板与环腔散射体形成曲母线形的封闭腔体。

如图4所示为周期方腔体型低频宽带隙隔振器，其中薄板主体I和薄板主体II为方形薄板，环腔散射体6为空心方柱，两个方形薄板与空心方柱形成方形的封闭腔体。

如图5所示为周期开放式腔体型低频宽带隙隔振器，其中两个薄板主体I和薄板主体II为长条形薄板，环腔散射体6分为两块，两个长条形薄板与两块环腔散射体形成开放式的腔体；其中，环腔散射体6的数量不局限于两块，也可以为多块。

下面将具体说明制备本发明的周期腔体型低频宽带隙隔振器的方法，其具体包括如下步骤：

(1)根据隔振器需达到的最低频率带隙的频率选取薄板主体5、环腔散射体6和连接块散射体7的材料；根据选取的材料制备薄板主体5、环腔散射体6和连接块散射体7，并确定它们的几何参数，然后组装获得隔振器。

首先，选取薄板主体的材料，本发明中选取薄板主体5材料时主要考虑密度ρ和杨氏模量E，采用ρ/E作为衡量标准，如铝-Al(ρ＝2700kg/m³，E＝70GPa)为38.57(忽略单位影响，下同)，铜-Cu(ρ＝8900kg/m³，E＝120GPa)为74.17，低碳钢-Steel(ρ＝7800kg/m³，E＝206GPa)为37.86，环氧树脂-Epoxy(ρ＝1180kg/m³，E＝4.35GPa)为271.26，密度与杨氏模量的比值越大，所能达到的最低频率带隙的频率越低。如上所示，虽然铝和低碳钢材料差异性巨大，但因为密度和杨氏模量的比值相近，所以带隙出现的位置和宽度大致相同。在本实施例中薄板主体5的材料采用铝-Al，其密度ρ＝2700kg/m³，杨氏模量E＝70GPa。

然后，选择散射体6和7的材料，本发明中散射体6和7作为连接薄板主体5的部分首先要保证连接稳固，所以必须有足够的强度、刚度和可加工性。另外，散射体6和7除了作为必要的连接元件，在振动控制中还起到了集中质量振子的作用，主要通过其自身质量的变化对带隙产生影响，故选取其材料时，还要考虑其密度参数ρ。在本实施例中散射体6和7的材料采用铝-Al，其密度ρ＝2700kg/m³，杨氏模量E＝70GPa。在具体应用过程中，可根据需要达到的最低有效带隙位置和范围，以及是否承受载荷选择各单元的材料。

(2)比较隔振器的最低有效带隙所在的频率与振动源频率，调整薄板主体5、环腔散射体6和连接块散射体7的几何参数，使得隔振器的最低有效带隙频率低于振动源频率。

确定最低有效带隙位置和范围，调节结构几何参数。周期性结构带隙机理及特性的研究依赖于有效的带隙特性计算方法，目前周期性结构带隙计算方法主要有传递矩阵法、平面波展开法、时域有限差分法和多重散射法等，由于本发明为一维周期性结构，所以选择传递矩阵法。

传递矩阵法是从连续状态参数(应力、质点位移等)的基本方程入手，结合界面连续性条件，得到单个周期的传递矩阵T。引入计算周期性结构的布拉格定理，将问题转化为标准的矩阵特征值问题

det[T(ω)-e^ikaI]＝0(1)

其中，i是虚数单位，I为单位矩阵。a为晶格常数，通过求解矩阵T的特征值，即可得到波矢k与角频率ω之间的色散关系，波矢k的实数部分称为波数-Re(k)，虚数部分称为衰减常数-μ。对于给定的角频率ω，当k是一个非零实数时，弹性波可以自由传播；相反，当k是一个复数时，形成带隙。衰减常数-μ用来表示弹性波从一个周期传播到下一个周期时的衰减幅度。对于有限周期的一维周期性结构，还需要通过计算传输系数来描述其带隙特性，因此需要设定边界条件。

实际应用中，边界条件视情况而定。本实施例中，选择理想状态下，输入边界上只有z方向的简谐的位移激励Aexp(iωt)，其中t代表时间参数，而输出边界为自由端。

在已选定材料的基础上，薄板主体5的径厚比对确定带隙的产生位置和宽度起主要作用。散射体6和7在结构模型分析中作为集中质量振子处理，所以对带隙的影响主要通过其自身质量的变化。确定了结构各部分的材料和几何参数，便确定了结构带隙的产生位置和宽度，如果隔振器的最低有效带隙所在的频率与振动源频率相差较大，则需要调节薄板主体5的材料和几何参数，直至使最低有效带隙频率低于振动源频率，如果隔振器的最低有效带隙所在的频率与振动源频率略有区别，则微调散射体6和7的质量，直至使最低有效带隙频率低于振动源频率。在本实施案例中，几何尺寸如下：连接块散射体7的半径R₀＝5mm，环腔散射体6的内圆半径R₁＝65mm，环腔散射体6的外圆半径R₂＝70mm，连接块散射体7及环腔散射体6的高度H＝10mm，薄板主体5的厚度2h＝2mm，z方向的激励A＝1/ω²。本实施例的能带图见图11(a)和(b)，传输曲线见图12(a)和(b)。在图11(a)和(b)中衰减常数[μ]不为零时，表明此时弯曲波传递时存在衰减，其频率对应于波数[Re(k)]便是带隙的宽度，在图11(a)和(b)中双箭头所示范围即为带隙宽度，1和2分别代表第一带隙和第二带隙。在图12(a)中，有限周期的传递曲线与图11(b)的无限周期的衰减常数[μ]相比较，进一步验证了带隙的存在与结论的正确性，虚线以下传输因子为负值，传输因子越小表明衰减率越高。在具体应用过程中，可根据需要达到的最低有效带隙位置和应用范围调节相应的结构几何参数。

由图11和图12(a)和(b)可知，在本实施例中，在保留了相当大的承载能力的同时，即在不牺牲承载能力的前提下，在0-4000Hz的频率范围内能够形成3个带隙，第一带隙范围500-1150Hz，带宽为650Hz，最小传输因子为-47.7dB；第二带隙范围1350-3000Hz，带宽1650Hz，最小传输因子为-86.6dB；3400Hz又是下一个带隙的起始位置，最小传输因子为-35dB。在此范围内，形成带隙率为77.5％。本实施例中各组成均选择材料铝-Al(ρ＝2700kg/m³，E＝70GPa)，最低有效带隙频率可以达到500Hz，当采用ρ/E更大的材料时，例如铜-Cu(ρ＝8900kg/m³，E＝120GPa)能够使带隙频率进一步降低到350Hz，见图13。

而现有的周期性结构无法达到这么低的频率，无法在如此低频的情况下形成如此大范围密集连续的带隙，无法实现这么高的衰减效率，无法保持本发明所述结构所能达到的承载能力。

(3)校核隔振器是否符合安全条件：如果符合，则制备完成；如果不符合，则增大薄板主体5的厚度，减小环腔散射体6的内圆半径，并转入步骤(4)，本发明中的圆形薄板主体5计算简图见图14(a)和(b)。

其中，安全条件具体为：

σ_max＜[σ],y_max＜[y](1)

式中，σ_max为最大应力，[σ]为许用应力，y_max为最大挠度，[y]为许用挠度。

最大应力σ_max采用如下公式计算获得：

${\mathrm{\σ}}_{max}=\frac{3R_1{Q}_s}{4h^2}\frac{R_1^2(-1+\mathrm{\μ})+R_0^2\[1-\mathrm{\μ}+2(1+\mathrm{\μ})ln\frac{R_0}{R_1}\]}{R_1^2(1-\mathrm{\μ})+2R_0^2(1+\mathrm{\μ})}---\left(1\right)$

其中，R₁为环腔散射体6内圆半径，Q_s为外力施加的载荷，μ为薄板主体5材料的泊松比，R₀为连接块散射体7的半径，h为薄板主体5厚度的一半。

最大挠度y_max采用如下公式计算获得：

$\begin{array}{c}{y}_{max}=\frac{R_1{Q}_s}{16D}\{(R_1^2-R_0^2)(3+\mathrm{\μ})+2ln\frac{R_0}{R_1}\[R_1^2(1-\mathrm{\μ})+2R_0^2(1+\mathrm{\μ})(1-ln\frac{R_0}{R_1})\]\\ +(R_1^2-R_0^2+2R_0^2\ln \frac{R_0}{R_1})\[1-\mathrm{\μ}+2(1+\mathrm{\μ})\ln \frac{R_0}{R_1}\]\}\end{array}---\left(1\right)$

其中，D为薄板主体5的抗弯刚度。

抗弯刚度D采用如下公式计算获得：

D＝2Eh³/3(1-μ²)(1)

其中，E为薄板主体5材料的杨氏模量。

(4)重复步骤(2)～(3)，直至步骤(2)和(3)的要求都满足，制备获得周期性圆柱腔型低频宽带隙隔振器，采用本发明制备的隔振器既高效隔振，又安全耐用。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种周期腔体型低频宽带隙隔振器，其特征在于，该隔振器包括两个或两个以上周期单元(4)，每个周期单元(4)包括两个薄板主体(5)和一个环腔散射体(6)，其中所述两个薄板主体(5)的外缘用所述环腔散射体(6)相连以形成一腔体；两个所述周期单元(4)之间用连接块散射体(7)相连。

2.如权利要求1所述的周期腔体型低频宽带隙隔振器，其特征在于，所述两个薄板主体(5)为直径相同的圆形薄板，所述环腔散射体(6)为空心圆柱体，以此形成圆柱形腔体。

3.如权利要求1所述的周期腔体型低频宽带隙隔振器，其特征在于，所述两个薄板主体(5)为直径不同的圆形薄板，所述环腔散射体(6)为空心圆台，以此形成圆台形腔体。

4.如权利要求1所述的周期腔体型低频宽带隙隔振器，其特征在于，所述两个薄板主体(5)为直径相同的圆形薄板，所述环腔散射体(6)的母线为曲线，以此形成曲母线形腔体。

5.如权利要求1所述的周期腔体型低频宽带隙隔振器，其特征在于，所述两个薄板主体(5)为方形薄板，所述环腔散射体(6)为空心方柱，以此形成方形腔体。

6.如权利要求1所述的周期腔体型低频宽带隙隔振器，其特征在于，所述腔体为开放式，所述环腔散射体(6)分成两块或多块。

7.一种制备如权利要求1～6任一项所述隔振器的方法，该方法包括如下步骤：

(1)根据隔振器需达到的最低频率带隙的频率选取薄板主体(5)、环腔散射体(6)和连接块散射体(7)的材料；根据选取的材料制备薄板主体(5)、环腔散射体(6)和连接块散射体(7)，并确定它们的几何参数，然后组装获得隔振器；

(2)比较隔振器的最低有效带隙所在的频率与振动源频率，调整薄板主体(5)、环腔散射体(6)和连接块散射体(7)的材料和几何参数，使得隔振器的最低有效带隙频率低于振动源频率；

(3)校核隔振器是否符合安全条件：如果符合，则制备完成；如果不符合，则增大薄板主体(5)的厚度，减小环腔散射体(6)的内半径，并转入步骤(4)；

(4)重复步骤(2)～(3)，直至步骤(2)和(3)的要求都满足，制备获得周期腔体型低频宽带隙隔振器。

8.如权利要求7所述的方法，其特征在于，步骤(2)中所述薄板主体(5)、环腔散射体(6)和连接块散射体(7)的材料和几何参数采用如下方式进行调整：若隔振器的最低有效带隙所在的频率与振动源频率相差较大，则调节薄板主体(5)的材料和几何参数，直至使最低有效带隙频率低于振动源频率；若隔振器的最低有效带隙所在的频率与振动源频率略有区别，则微调环腔散射体(6)和连接块散射体(7)的质量，直至使最低有效带隙频率低于振动源频率。

9.如权利要求7或8所述的方法，其特征在于，所述安全条件具体为：

σ_max＜[σ],y_max＜[y]；

其中，σ_max为最大应力，[σ]为许用应力，y_max为最大挠度，[y]为许用挠度。

10.如权利要求9所述的方法，其特征在于，所述最大应力σ_max采用如下公式计算获得：

${\mathrm{\σ}}_{max}=\frac{3R_1{Q}_s}{4h^2}\frac{R_1^2(-1+\mathrm{\μ})+R_0^2\[1-\mathrm{\μ}+2(1+\mathrm{\μ})ln\frac{R_0}{R_1}\]}{R_1^2(1-\mathrm{\μ})+2R_0^2(1+\mathrm{\μ})};$

其中，R₁为环腔散射体(6)内圆半径，Q_s为外力施加的载荷，μ为薄板主体(5)材料的泊松比，R₀为连接块散射体(7)的半径，h为薄板主体(5)厚度的一半；

所述最大挠度y_max采用如下公式计算获得：

$\begin{array}{c}{y}_{max}=\frac{R_1{Q}_s}{16D}\{(R_1^2-R_0^2)(3+\mathrm{\μ})+2ln\frac{R_0}{R_1}\[R_1^2(1-\mathrm{\μ})+2R_0^2(1+\mathrm{\μ})(1-ln\frac{R_0}{R_1})\]\\ +(R_1^2-R_0^2+2R_0^2\ln \frac{R_0}{R_1})\[1-\mathrm{\μ}+2(1+\mathrm{\μ})\ln \frac{R_0}{R_1}\]\}\end{array};$

其中，D＝2Eh³/3(1-μ²)为薄板主体(5)的抗弯刚度，E为其材料的杨氏模量。