CN105320782A - 一种考虑抛光液影响的特征尺寸级化学机械抛光工艺仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明属半导体可制造性设计领域，具体涉及一种考虑研磨液影响的特征尺寸级化学机械抛光工艺仿真方法，该方法采用微小粒子表征化学机械抛光中的工艺材料，用NS流体力学方程表述粒子间相互作用，通过光滑化粒子流体动力学方法进行计算获得抛光仿真结果。本发明不依赖经验模型，只需根据工艺材料参数即可完成仿真，具有普适性强的优点。同时，仿真过程模拟抛光垫、抛光液、抛光颗粒与硅片之间实际物理过程，精度高。本发明可以对各类工艺条件进行有效仿真，为化学机械抛光工艺流程优化提供有效参考。

Description

一种考虑抛光液影响的特征尺寸级化学机械抛光工艺仿真方法

技术领域

本发明属半导体制造工艺可制造性设计领域，具体涉及一种考虑抛光液影响的特征尺寸级化学机械抛光工艺仿真方法，该方法中采用计算流体力学方法对化学机械抛光工艺中的流体效应和颗粒磨损进行建模，以预测化学机械抛光材料的移除速率。

背景技术

随着纳米集成电路制造工艺特征尺寸不断下降，芯片版图图案越来越难以精确制造，由此导致工艺偏差日益严重、成品率急剧下降。化学机械抛光工艺(ChemicalMechanicalPolishing，CMP)是集成电路制造过程中导致工艺偏差的关键工艺之一，对CMP材料移除机理进行深入研究，建立精确的数学物理模型以提高芯片成品率，已成为本领域重要研究方向之一。

化学机械抛光工艺是一种超精密的表面加工技术，被广泛地应用于集成电路制造工艺中各个阶段的硅片表面全局平坦化。图1显示了一种旋转式化学机械抛光的工作原理，抛光头(carrier)将抛光硅片(wafer)正面朝下压在抛光垫(pad)上，硅片和抛光垫之间充满了研磨液(slurry)；在抛光过程中，抛光垫与硅片同向旋转，依靠抛光垫、硅片、研磨液以及研磨颗粒之间复杂的机械摩擦和化学腐蚀作用，实现硅片表面的平坦化。

现有技术公开了CMP抛光效果具有很强的材料选择性，同时芯片上版图模式(layoutpatterns)的存在，使得CMP抛光效果难以达到完全平整。图2是典型的铜互连线CMP工艺抛光后的表面形貌示意图，其中显示了CMP工艺抛光之后芯片表面的不平整性具体表现为金属碟陷(dishing)与介质侵蚀(erosion)；芯片表面不平坦会引起光刻对焦偏差和互连线电学特性变化，如何提高CMP抛光后芯片表面平整性是CMP建模与仿真工具的最终目标。

虽然CMP工艺已广泛应用于集成电路制造产业，但其抛光过程中的材料移除机理一直是研究难点，主要困难在于：(1)硅片和抛光垫之间的摩擦涉及微观尺度下复杂的化学物理作用，实验观测较为困难和昂贵；(2)大量工艺参数和复杂抛光机理的存在导致CMP建模十分复杂；(3)半导体工艺实验成本极其高昂；这些困难使得CMP工艺参数控制缺乏完备的理论支撑，并导致对实际工艺生产的精确控制相当困难。

由于存在上述困难，目前主要依赖经验模型(StineBE,OumaDO,DivechaRR,etal.Rapidcharacterizationandmodelingofpattern-dependentvariationinchemical-mechanicalpolishing[J].IEEETransactionsonSemiconductorManufacturing,1998,11(1):129–140.；Gbondo-TugbawaTE.Chip-ScaleModelingofPatternDependenciesinCopperChemicalMechanicalPolishingProcesses[D].MassachusettsInstituteofTechnology,2002.)对化学机械抛光进行仿真，用以分析及改善化学机械抛光工艺的成品率。该类模型主要在芯片级(chipscale)对CMP抛光机理进行分析。此类模型考虑芯片版图模式对CMP抛光后芯片形貌影响，并建立版图模式与材料移除速率(MRR，MaterialRemovalRate)之间的统计关系，根据获得的关系式预测芯片抛光效果。但该类模型所获得的MRR只与特定工艺参数下的芯片模式相关。随着工艺参数的改变，模型与图案几何形状之间的相关性会随之发生变动，因此缺乏普遍适用性。当新的工艺条件引入时，需要投入大量测试芯片用于掩模制造及光刻、电镀和抛光工艺实验，导致极其高昂的研发成本。

针对经验模型存在的不足，已有诸多学者研究直接考虑材料物理机理的CMP仿真方法。Feng等提出了一种特征尺寸级的广义粗糙抛光垫(generalroughpad)模型，该模型结合接触力学计算系统下压力在抛光垫微凸峰与硅片接触之处产生的形变和应力大小，并据此建立硅片材料移除模型，用以预测硅片抛光效果；但该方法未考虑研磨液和研磨颗粒对抛光的影响；Ye等提出了一种特征尺寸级研磨颗粒(slurryparticle)模型，该模型采用分子动力学(MolecularDynamics)方法模拟研磨粒对硅片表面材料的切削过程，但抛光垫和研磨液均未纳入模型范围；Hocheng等考虑研磨液流体作用提出了一种特征尺寸级材料移除模型，但该模型同样未考虑抛光垫的影响。虽然这些模型对CMP复杂磨削机理中的部分机理进行建模，但由于未能对硅片、抛光垫、抛光液和研磨颗粒完整建模，因此较难对CMP抛光机理进行全面的解释。

本申请的发明人针对上述方法存在的不足，拟提供一种考虑抛光液影响的特征尺寸级化学机械抛光工艺仿真方法。

与本发明相关的参考文献有：

[1]ChiangC,KawaJ.DesignforManufacturabilityandYieldforNano-scaleCMOS[M].Dordrecht:SpringerNetherlands,2007.

[2]QuirkM,SerdaJ.SemiconductorManufacturingTechnology[M].UpperSaddleRiver,NJ:PrenticeHall,Inc.,2001.

[3]ZantyePB,KumarA,SikderAK.Chemicalmechanicalplanarizationformicroelectronicsapplications[J].MaterialsScienceandEngineeringR,2004,45:89–220.

[4]StineBE,OumaDO,DivechaRR,etal.Rapidcharacterizationandmodelingofpattern-dependentvariationinchemical-mechanicalpolishing[J].IEEETransactionsonSemiconductorManufacturing,1998,11(1):129–140.

[5]Gbondo-TugbawaTE.Chip-ScaleModelingofPatternDependenciesinCopperChemicalMechanicalPolishingProcesses[D].MassachusettsInstituteofTechnology,2002.

[6]OrshanskyM,NassifSR,BoningD.DesignforManufacturabilityandStatisticalDesign:AConstructiveApproach[M].NewYork:SpringerUS,2008.

[7]FengC,YanC,TaoJ,etal.Acontact-mechanics-basedmodelforgeneralroughpadsinchemicalmechanicalpolishingprocesses[J].JournalofTheElectrochemicalSociety,2009,156(7):H601–H611.

[8]YeYY,BiswasR,MorrisJR,etal.Moleculardynamicssimulationofnanoscalemachiningofcopper[J].Nanotechnology,2003,14:390–396.

[9]HochengH,TsaiHY,SuYT.Modelingandexperimentalanalysisofthematerialremovalrateinthechemicalmechanicalplanarizationofdielectricfilmsandbaresiliconwafers[J].JournalofTheElectrochemicalSociety,2001,148(10):G581–G586.

[10]AdamiS,HuXY,AdamsNA.Ageneralizedwallboundaryconditionforsmoothedparticlehydrodynamics[J].JournalofComputationalPhysics,2012,231(21):7057–7075.

[11]GlowinskiR,PanTW,HeslaTI,etal.Afictitiousdomainapproachtothedirectnumericalsimulationofincompressibleviscousflowpastmovingrigidbodies:Applicationtoparticulateflow[J].JournalofComputationalPhysics,2001,169:363–426.

[12]ZhouY,WangD,ShaoS.Efficientimplementationofsmoothedparticlehydrodynamicswithplanesweepalgorithm[R].2014.

[13]XinJ,CaiW,TichyJA.Afundamentalmodelproposedformaterialremovalinchemical–mechanicalpolishing[J].Wear,2010,268:837–844.

[14]CooperK,CooperJ,GroschopfJ,etal.Effectsofparticleconcentrationonchemicalmechanicalplanarization[J].ElectrochemicalandSolid-StateLetters,2002,5(12):G109–G112.。

发明内容

本申请的目的是为克服现有技术存在的不足，拟提供一种考虑抛光液影响的特征尺寸级化学机械抛光工艺仿真方法。

本发明的技术方案是：首先对CMP工艺中各类工艺参数进行几何建模；然后采用光滑化粒子流体动力学(SmoothedParticleHydrodynamics，SPH)方法对特征尺寸级CMP工艺中粗糙抛光垫运动、研磨液流体效应、抛光颗粒运动等进行高精度、微尺度仿真；最后根据仿真结果对不同工艺参数下的数值结果进行分析用以预测工艺制造结果。

本方法的优势在于：(1)不依赖经验模型，只需根据工艺材料的物理参数即可完成建模；(2)由于模型仅依赖于材料的物理参数，建模后的仿真过程无须进行复杂的模型参数校准(Calibration)；(3)由于模型中考虑实际抛光工艺中粗糙抛光垫影响、研磨液流体效应、抛光颗粒磨削等基本物理因素，仿真精度高。

具体的，本发明的一种考虑抛光液影响的特征尺寸级化学机械抛光仿真方法中，首先根据工艺参数将硅片、抛光垫、研磨液、研磨颗粒等材料离散成具有对应密度、质量的微小粒子；然后采用流体力学NS方程组(Navier-Stokesequations)精确表述粒子的运动以及相互作用关系，完成考虑抛光液影响的化学机械抛光工艺的物理建模；第三步，采用SPH计算流体力学方法对特征尺寸级CMP工艺进行动态仿真；最后依据化学机械抛光的数值仿真结果，通过统计方法得到MRR，进而实现对实际工艺过程的预测。

更具体的，本发明的一种考虑抛光液影响的特征尺寸级化学机械抛光仿真方法(其流程图如图3所示)，其特征在于，所述的方法为随仿真时间步进的过程，其包括：

输入参数：仿真空间大小Ω(x,y)、硅片形貌S_硅片(x,y)、硅片密度ρ_硅片、抛光垫形貌S_抛光垫(x,y)、抛光垫密度ρ_抛光垫、研磨液空间Ω_研磨液(x,y)、研磨液密度ρ_研磨液、研磨液粘度η_研磨液、研磨粒位置r_研磨粒(x,y)、研磨粒密度ρ_研磨粒、研磨粒半径R_研磨粒，系统压力p、硅片-抛光垫相对速度V、SPH粒子间距Δx、总仿真时间T；

输出结果：研磨液压力分布p_研磨液(x,y)、剪切力分布τ_研磨液(x,y)、研磨粒运动轨迹等动态的特征尺寸级CMP工艺仿真数据，以及MRR等CMP抛光的宏观预测数据；

步骤1：采用流体力学NS方程组精确表述抛光垫、硅片、研磨液、研磨粒之间相互作用；

步骤2：利用SPH方法，采用微观粒子对NS方程组进行离散并进行数值求解，得到所有粒子的运动轨迹、速度、密度等微观参数；

步骤3：依据SPH方法得到的微观数值仿真结果，通过统计方法得到MRR，实现对实际工艺过程的预测。

本发明的步骤1中，采用恒温可压Navier-Stokes方程组精确表述抛光垫、硅片、研磨液、研磨粒之间相互作用关系

$\frac{\mathrm{d\ρ}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{\ρ}\▿\·v---\left(1\right)$

$\mathrm{\ρ}\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=-\▿p+\mathrm{\τ}+\mathrm{\ρf}---\left(2\right)$

其中ρ、v、p、τ、f分别为粒子密度、速度、压力、剪切力、外力，t为时间；

本发明的步骤2中，通过下述子步骤利用SPH方法，采用微观粒子对NS方程组进行离散并进行数值求解，得到所有粒子的运动轨迹、速度、密度等微观参数：

步骤2.1：将待求区域离散为微小粒子，并计算微小粒子的物理参数；

步骤2.2：利用SPH方法对NS方程进行离散；

步骤2.3：利用广义虚粒子(generailizeddummyparticle)方法，描述系统中研磨液粒子与固体(抛光垫、硅片、研磨粒)粒子之间的相互作用；

步骤2.4：利用刚体力学方法，描述研磨颗粒在研磨液中的运动轨迹；

步骤2.5：利用SPH方法迭代计算粒子相互作用力及运动轨迹，得到的微观数值仿真结果。

所述步骤2.1中，通过下述子步骤将抛光垫、硅片、研磨液、研磨粒离散为微小粒子，并计算微小粒子的物理参数：

步骤2.1.1(按图4所示)：根据输入文件中定义的仿真空间Ω(x,y)，将微小粒子以间距Δx均匀地填满整个空间，仿真空间的体积V_Ω＝N(Δx)²，其中N为粒子总数；

步骤2.1.2(按图5所示)：根据硅片形貌S_硅片(x,y)、抛光垫形貌S_抛光垫(x,y)、研磨液空间Ω_研磨液(x,y)、研磨粒位置r_研磨粒(x,y)对空间进行划分，并将材料所占据空间内的粒子划给对应的材料；

步骤2.1.3：按式(3)和式(4)，根据材料的物理性质，为相应的粒子分配密度ρ、粘度η等物理参数：

η_i＝η_研磨液(4)

其中i用于指代粒子，i＝1,2,3...,N，r_i为粒子i的空间位置，ρ_硅片、ρ_抛光垫、ρ_研磨液和ρ_研磨粒分别为硅片、抛光垫、研磨液和研磨颗粒物理材料的密度；

所述步骤2.2中，通过下述子步骤对NS方程进行离散：

步骤2.2.1：利用SPH插值公式，对指定粒子i，将其关于空间的任一物理量A_i，采用式(5)进行空间插值获得

$A_i=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{m}_j\frac{A_j}{{\mathrm{\ρ}}_j}{W}_{\mathrm{ij}}---\left(5\right)$

其中j代表空间中的其他粒子，m_j、ρ_j分别为粒子j的质量和密度，W_ij为SPH核函数，具有式(6)之形式

$W_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{h^{\mathrm{\θ}}}f\left(q\right)$ (6)

$q=\frac{r_{\mathrm{ij}}}{h}$

其中h为粒子作用域半径，θ为空间的维度，f(q)通常具有样条函数形式，r_ij＝|r_ij|＝|r_i-r_j|为粒子i和粒子j的间距；

步骤2.2.2：将式(5)带入(1)、(2)，得到Navier-Stokes方程组的SPH格式

$\frac{d{\mathrm{\ρ}}_i}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ρ}}_i\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{v}_{\mathrm{ij}}\·{\▿}_i{W}_{\mathrm{ij}}\frac{m_j}{{\mathrm{\ρ}}_j}---\left(7\right)$

$\frac{d{v}_i}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{m_i}\underset{j}{\mathrm{\Σ}}(V_i^2+V_j^2)(-{\tilde{p}}_{\mathrm{ij}}{\▿}_i{W}_{\mathrm{ij}}+{\widetilde{\mathrm{\η}}}_{\mathrm{ij}}\frac{v_{\mathrm{ij}}}{r_{\mathrm{ij}}}\frac{\∂W}{\∂r_{\mathrm{ij}}})+f_i---\left(8\right)$

其中， $V_i=\frac{1}{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{W}_{\mathrm{ij}}};$ 为W在方向上的方向导数，即 $\frac{\∂W}{\∂r_{\mathrm{ij}}}={\▿}_i{W}_{\mathrm{ij}}\·e_{\mathrm{ij}};$ 粒子i和粒子j间的速度差v_ij＝v_i-v_j；为粒子间平均压力， 为粒子间平均粘度，fi为粒子i所受体力；利用式(7)、(8)可对粒子之间的相互作用进行计算；

本发明步骤2.3中，通过下述子步骤，采用文献[10]中提出的广义虚粒子(generailizeddummyparticle)方法，描述系统中研磨液粒子与固体(抛光垫、硅片、研磨粒)粒子之间的相互作用，具体步骤如下：

步骤2.3.1：利用式(9)、(10)将研磨液(流体)粒子的速度v_l、压力p_l外推获得硅片、抛光垫、研磨粒固体边界粒子的速度v_d和压力p_d

$v_d=2v_{\mathrm{wall}}-\frac{{\mathrm{\Σ}}_l{v}_l{W}_{\mathrm{dl}}}{{\mathrm{\Σ}}_l{W}_{\mathrm{dl}}}---\left(9\right)$

$p_d=\frac{{\mathrm{\Σ}}_l{p}_l{W}_{\mathrm{dl}}+(f-a_{\mathrm{wall}})\·{\mathrm{\Σ}}_l{\mathrm{\ρ}}_l{r}_{\mathrm{dl}}{W}_{\mathrm{dl}}}{{\mathrm{\Σ}}_l{W}_{\mathrm{dl}}}---\left(10\right)$

其中a_wall为固体边界的加速度，在实际CMP抛光过程中均为匀速转动故对抛光垫和硅片而言a_wall＝0；

步骤2.3.2中：利用步骤2.3.1获得的液体与固体粒子相互作用关系，将式(9)、(10)带入式(7)、(8)可以直接求得抛光垫、硅片、研磨粒粒子对研磨液粒子的加速度

本发明步骤2.4中，通过下述子步骤求解CMP工艺中悬浮于研磨液中的研磨粒在研磨液作用下的运动轨迹，具体步骤如下：

步骤2.4.1：利用式(13)获得研磨粒粒子d受流体粒子l外力作用之和f_d

$f_d=\underset{l}{\mathrm{\Σ}}{f}_{\mathrm{dl}}---\left(13\right)$

步骤2.4.2：根据式(14)及式(15)分别计算研磨颗粒S的线加速度和角加速度

$M_S\frac{d{V}_S}{\mathrm{dt}}=\underset{d\∈S}{\mathrm{\Σ}}{f}_d---\left(14\right)$

$I_S\frac{d{\mathrm{\Ω}}_S}{\mathrm{dt}}=\underset{d\∈S}{\mathrm{\Σ}}(r_d-r_S)\×f_d---\left(15\right)$

其中M_S和I_S分别为研磨颗粒S的质量和转动惯量，r_S为研磨颗粒中心的位移矢量。并可以根据式(16)求得研磨颗粒的速度

$\frac{{\mathrm{dr}}_d}{\mathrm{dt}}=V_S+{\mathrm{\Ω}}_S\×(r_d-r_S)---\left(16\right)$

步骤2.4.3：通过文献[11]所述方法，采用式(17)对研磨颗粒与其他固体材料(研磨颗粒、抛光垫、硅片)的碰撞进行模拟，获得颗粒a和b之间的相互作用力F_ab：

其中c_ab为排斥力的尺度因子，通常与重力加速度同一量级；ò为刚性系数，一般取1×10^-6；ζ为排斥力的判定距离，一般为3Δx；r_ab为两个研磨粒中心连线矢量，R为物体半径。当两个固体距离小于ζ时，由c_ab和ò决定的强排斥力会将两个物体排开；

当研磨粒靠近抛光垫和硅片固体边界的时候，通过边界外的镜像研磨粒w提供相应的排斥力，关系式如下

其中，r_aw是从研磨粒a中心指向边界外镜像研磨粒中心的矢量；

本发明步骤2.5中，通过下述子步骤，利用SPH方法计算粒子相互作用力及运动轨迹，对特征尺寸级CMP工艺进行动态仿真：

步骤2.5.1：根据文献[12]所述方法对所有粒子进行相邻关系查找，生成邻居粒子列表；

步骤2.5.2：对任意时间步n，采用式(19)、(20)计算时间步粒子的速度和位移

$v^{n+\frac{1}{2}}=v^n+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}\·{\left(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\right)}^n---\left(19\right)$

$r^{n+\frac{1}{2}}=r^n+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}{v}^{n+\frac{1}{2}}---\left(20\right)$

其中Δt为时间步长；

步骤2.5.3：利用半时间步长速度和位移结合式(7)求出n+1步的密度ρⁿ⁺¹，并更新第n+1步的位移rⁿ⁺¹

${\mathrm{\ρ}}^{n+1}={\mathrm{\ρ}}^n+\mathrm{\Δt}{\left(\frac{\mathrm{d\ρ}}{\mathrm{dt}}\right)}^{n+\frac{1}{2}}---\left(21\right)$

$r^{n+1}=r^{n+\frac{1}{2}}+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}{v}^{n+\frac{1}{2}}---\left(22\right)$

步骤2.5.4：根据式(21)和(22)获得的n+1步密度和位移，求解式(8)至式(10)获得研磨液粒子的加速度，利用式(13)至式(18)获得研磨粒粒子的加速度，并更新所有粒子第n+1步的速度

$v^{n+1}=v^{n+\frac{1}{2}}+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}{\left(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\right)}^{n+1}---\left(23\right)$

步骤2.5.5：判断当前时刻是否等于总仿真时间T，如果不相等则进行到下一个离散时间步，重复步骤2.5.1至2.5.4；否则进行步骤3；

本发明步骤3中，通过下述子步骤，依据仿真数值仿真结果，通过统计方法得到MRR，进而实现对实际工艺过程的预测：

步骤3.1：将每一时刻粒子i的物理量(如位移r_i、密度ρ_i、速度v_i、压力p_i、剪切力τ_i等)作为仿真结果输出，并获得相应时刻的研磨液粒子压力分布p_研磨液(x,y)、剪切力分布τ_研磨液(x,y)；

步骤3.2：根据研磨液粒子的剪切力分布τ_研磨液(x,y)可以获得有研磨粒时硅片表面任意一点k的剪切力

${\mathrm{\τ}}_k=\frac{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}\frac{m_j}{{\mathrm{\ρ}}_j}{\mathrm{\τ}}_j{W}_{\mathrm{kj}}}{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}\frac{m_j}{{\mathrm{\ρ}}_j}{W}_{\mathrm{kj}}}---\left(24\right)$

硅片表面所受最大剪切力为

τ_w＝max(τ_k)r_k∈S_硅片(x,y)(25)

当τ_w大于无研磨颗粒时硅片表面最大剪切力τ_th时，即为有效剪切τ_active。统计τ_active出现的时间t_active占总仿真时间t_total的比例，获得剪切频率根据文献[13]中MRR与研磨粒的剪切频率F_τ(shearfrequenct)呈现正比关系，即：

MRR∝F_τ(26)

即可预测MRR的比例值。

本发明方法采用微小粒子表征化学机械抛光中的工艺材料，用NS流体力学方程表述粒子间相互作用，通过光滑化粒子流体动力学方法进行计算获得抛光仿真结果，经测试结果显示，不依赖经验模型，只需根据工艺材料参数即可完成仿真，具有普适性强的优点。

本发明的优点在于：

1.本发明不依赖经验模型，只需根据工艺参数即可完成仿真建模，具有普适性强的优点；

2.本发明方法的仿真过程模拟抛光垫、抛光液、抛光颗粒与硅片之间实际物理过程，具有精度高的优点；

3.利用本发明方法可以对各类工艺条件进行有效仿真，为优化化学机械抛光工艺流程和工艺参数控制提供有效参考。

附图说明

图1为一种旋转式化学机械抛光机台的示意图。

图2为碟陷(dishing)与侵蚀(erosion)示意图。

图3为本发明方法的流程示意图。

图4为本发明将空间离散为粒子的示意图。

图5为本发明依据离散粒子所处材料区域分配给对应材料示意图。

图6为本发明实施算例1的模型示意图。

图7为本发明实施算例1中管道上表面压力分布曲线与FLUENT比较。

图8为本发明实施算例1中管道上表面剪切力分布曲线与FLUENT比较。

图9为本发明实施算例2的模型示意图。

图10为本发明实施算例2中无研磨颗粒情形、研磨颗粒未通过狭缝时、研磨颗粒通过狭缝时管道上表面剪切力分布曲线。

图11为本发明实施算例2中不同研磨颗粒浓度变化与有效剪切频率关系曲线。

图12为本发明实施算例2中不同研磨颗粒浓度与有效剪切频率关系曲线拟合情况。

具体实施方式

通过具体实例的实施过程，进一步描述本发明的方法。

实施算例1

本发明模型计算得到的无抛光颗粒研磨液流体力学特性(流场与力场)结果与商用流体力学计算工具FLUENT之间的比较。

在该实例中，选取二维粗糙边墙管道流进行仿真。采用如图6所示的管道，该管道由顶部平直的边墙和底部正弦曲线形状的边墙构成，管道的长度为L，高度H的表达式为

$H\left(x\right)=H_0+H_A\cos \left(\frac{2\mathrm{\π}}{L}x\right),x\∈[0,L]---\left(27\right)$

管道的上下边墙存在速度为V_wall的相对运动，并拖拽管道中的流体发生运动。

本例管道长L＝3×10^-5m，正弦边界H₀＝1×10^-5m，正弦边界振幅H_A＝5×10^-6m，流体密度ρ＝1000kg/m³，流体动力学粘度η＝1×10^-3Pa·s，边墙速度V_wall＝1m/s。

通过本发明模型获得的上边墙压力和剪切力与现有技术方法之间的比较(图7及图8)，结果显示，本发明模型的计算结果与现有技术方法FLUENT误差很小，其中最大误差7.7％，平均误差1.3％，实验数据表明本发明计算方法的正确性。值得指出的是，本算例中并未考虑液体中的悬浮固体运动，当考虑固体(抛光颗粒)在液体(抛光液)中的运动情况时，FLUENT等主流商用工具由于采用网格方法，无法进行求解，而本方法可以统一进行处理，本申请将在实施算例2中说明该优点。

实施算例2

在本实施算例中，采用高斯曲线管道流模型仿真硅片与抛光垫界面情形，并增加了圆形的漂浮颗粒用于模拟研磨颗粒(如图9所示)。由于固体悬浮颗粒的存在，基于网格方法的常见商用软件如Fluent等，无法对本算例进行仿真，因此本发明在处理此类问题上具有优势。管道高度H表达式为：

$H\left(x\right)=(H_{\max }-H_{\mathrm{gap}})e^{-\frac{{(x-x_0)}^2}{2{\mathrm{\σ}}^2}},x\∈\left[\mathrm{0,8}\mathrm{\σ}\right]---\left(28\right)$

其中x₀＝4σ表示下表面尖峰x坐标，尖峰的宽度由σ决定。

本算例的基本参数为：上下边墙最小间距H_gap＝3×10^-6m、上下边墙最大间距H_max＝2×10^-5m、管道长度8σ＝4×10^-5m、研磨粒直径1×10^-6m、流体密度ρ＝1000kg/m³、流体动力学粘度η＝1×10^-3Pa·s、研磨粒密度2000kg/m³、边墙速度V_wall＝1m/s。本算例对研磨粒浓度(用质量百分浓度wt％表示)从1.07％到7.49％进行了一系列仿真。管道中研磨粒数目与研磨粒浓度的关系式为：

$n=\frac{\mathrm{wt}\%{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{fluid}}{V}_{\mathrm{fluid}}}{(1-\mathrm{wt}\%){\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{abrasive}}{V}_{\mathrm{abrasive}}}---\left(29\right)$

其中V_fluid与V_abrasive分别表示研磨液与研磨粒的体积。

根据仿真结果，当研磨颗粒在研磨液厚度较宽区域运动时，对流体在硅片表面的压力和剪切力作用影响很小。然而，当这些研磨粒进入硅片与抛光垫之间的狭缝时，则会引起流体压力和剪切力的较大变化(如图10所示)。在本领域，已发现研磨粒浓度对研磨效果会产生影响，并发现MRR与(wt％)^1/3成正比关系，并且随着wt％的进一步增加，MRR会达到饱和状态[14]。此外大量针对CMP移除机理的实验研究表明MRR与研磨粒的剪切频率(shearfrequenct)F_τ亦呈现正比关系[13]，即

MRR∝F_τ(30)

图11及图12展示了研磨粒浓度(wt％)与剪切频率(F_τ)之间的关系。在这两幅图中，采用了归一化浓度(normalizedwt％)作为横坐标，其中归一化浓度通过不同的浓度值除以最大浓度值获得。从中可以发现：

a)F_τ随着研磨粒浓度的增长而显著地增长；

b)当研磨粒浓度达到某具体值(约5％)之后，F_τ达到饱和并不再增长；

c)在饱和之前，F_τ和wt％满足F_τ∝(wt％)^1/3。

根据F_τ和MRR的关系，可以得到

MRR∝F_τ∝(wt％)^1/3(31)

实验结果表明，本发明方法与已有文献中实验结果中关于wt％与MRR的关系以及wt％饱和现象有很好的吻合。因此，应用本发明方法，可以精确地对CMP工艺过程进行仿真，并且可以对不同工艺条件均能实现有效仿真，为优化化学机械抛光工艺流程和工艺参数控制提供有效参考。

Claims (9)

1.一种考虑抛光液影响的特征尺寸级化学机械抛光工艺仿真方法，其特征是，所述的方法为随仿真时间步进的过程，其包括：

输入参数：仿真空间大小Ω(x,y)、硅片形貌S_硅片(x,y)、硅片密度ρ_硅片、抛光垫形貌S_抛光垫(x,y)、抛光垫密度ρ_抛光垫、研磨液空间Ω_研磨液(x,y)、研磨液密度ρ_研磨液、研磨液粘度η_研磨液、研磨粒位置r_研磨粒(x,y)、研磨粒密度ρ_研磨粒、研磨粒半径R_研磨粒，系统压力p、硅片-抛光垫相对速度V、SPH粒子间距Δx、总仿真时间T；

输出结果：研磨液压力分布p_研磨液(x,y)、剪切力分布τ_研磨液(x,y)、研磨粒运动轨迹的动态的特征尺寸级CMP工艺仿真数据，以及MRR的CMP抛光的宏观预测数据；

步骤1：采用流体力学NS方程组精确表述抛光垫、硅片、研磨液、研磨粒之间相互作用；

步骤2：利用SPH方法，采用微观粒子对NS方程组进行离散并进行数值求解，得到所有粒子的运动轨迹、速度、密度的微观参数；

步骤3：依据SPH方法得到的微观数值仿真结果，通过统计方法得到MRR，实现对实际工艺过程的预测。

2.按权利要求1所述方法，其特征是，所述步骤1中，采用恒温可压Navier-Stokes方程组精确表述抛光垫、硅片、研磨液、研磨粒之间相互作用关系：

$\frac{\mathrm{d\ρ}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{\ρ}\▿\·v---\left(1\right)$

$\mathrm{\ρ}\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=-\▿p+\mathrm{\τ}+\mathrm{\ρf}---\left(2\right)$

其中ρ、v、p、τ、f分别为粒子密度、速度、压力、剪切力、外力，t为时间。

3.按权利要求1所述方法，其特征是，所述步骤2中，利用SPH方法，采用微观粒子对NS方程组进行离散并进行数值求解，得到所有粒子的运动轨迹、速度、密度的微观参数，其包括步骤：

步骤2.1：将待求区域离散为微小粒子，并计算微小粒子的物理参数；

步骤2.2：利用SPH方法对NS方程进行离散；

步骤2.3：利用广义虚粒子(generailizeddummyparticle)方法，描述系统中研磨液粒子与固体(抛光垫、硅片、研磨粒)粒子之间的相互作用；

步骤2.4：利用刚体力学方法，描述研磨颗粒在研磨液中的运动轨迹；

步骤2.5：利用SPH方法迭代计算粒子相互作用力及运动轨迹，得到的微观数值仿真结果。

4.按权利要求3所述的方法，其特征是，所述步骤2.1中，将抛光垫、硅片、研磨液、研磨粒离散为微小粒子，并计算微小粒子的物理参数，其包括步骤：

步骤2.1.1：根据输入文件中定义的仿真空间Ω(x,y)，将微小粒子以间距Δx均匀地填满整个空间，仿真空间的体积V_Ω＝N(Δx)²，其中N为粒子总数；

步骤2.1.2：根据硅片形貌S_硅片(x,y)、抛光垫形貌S_抛光垫(x,y)、研磨液空间Ω_研磨液(x,y)、研磨粒位置r_研磨粒(x,y)对空间进行划分，并将材料所占据空间内的粒子划给对应的材料；

步骤2.1.3：按式(3)和式(4)，根据材料的物理性质，为相应的粒子分配密度ρ、粘度η的物理参数：

η_i＝η_研磨液(4)

其中i用于指代粒子，i＝1,2,3...,N，r_i为粒子i的位置，ρ_硅片、ρ_抛光垫、ρ_研磨液和ρ_研磨粒分别为硅片、抛光垫、研磨液和研磨颗粒物理材料的密度。

5.按权利要求3所述的方法，其特征是，所述步骤2.2中，对NS方程进行离散，其包括步骤：

步骤2.2.1：利用SPH插值公式，对指定粒子i，将其关于空间的任一物理量A_i，采用式(5)进行空间插值获得

$A_i=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{m}_j\frac{A_j}{{\mathrm{\ρ}}_j}{W}_{\mathrm{ij}}---\left(5\right)$

其中j代表空间中的其他粒子，m_j、ρ_j分别为粒子j的质量和密度，W_ij为SPH核函数，具有式(6)之形式

$W_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{h^{\mathrm{\θ}}}f\left(q\right)$ (6)

$q=\frac{r_{\mathrm{ij}}}{h}$

其中h为粒子作用域半径，θ为空间维度，f(q)通常具有样条函数形式，r_ij＝|r_ij|＝|r_i-r_j|为粒子i和粒子j的间距；

步骤2.2.2：将式(5)带入(1)、(2)，得到Navier-Stokes方程组的SPH格式

$\frac{d{\mathrm{\ρ}}_i}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ρ}}_i\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{v}_{\mathrm{ij}}\·{\▿}_i{W}_{\mathrm{ij}}\frac{m_j}{{\mathrm{\ρ}}_j}---\left(7\right)$

$\frac{d{v}_i}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{m_i}\underset{j}{\mathrm{\Σ}}(V_i^2+V_j^2)(-{\tilde{p}}_{\mathrm{ij}}{\▿}_i{W}_{\mathrm{ij}}+{\widetilde{\mathrm{\η}}}_{\mathrm{ij}}\frac{v_{\mathrm{ij}}}{r_{\mathrm{ij}}}\frac{\∂W}{\∂r_{\mathrm{ij}}})+f_i---\left(8\right)$

其中， $V_i=\frac{1}{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{W}_{\mathrm{ij}}};$ 为W在方向上的方向导数，即 $\frac{\∂W}{\∂r_{\mathrm{ij}}}={\▿}_i{W}_{\mathrm{ij}}\·e_{\mathrm{ij}};$ 粒子i和粒子j间的速度差v_ij＝v_i-v_j；为粒子间平均压力， 为粒子间平均粘度，f_i为粒子i所受体力；利用式(7)、(8)对粒子之间的相互作用进行计算。

6.按权利要求3所述的方法，其特征是，所述步骤2.3中，采用广义虚粒子(generailizeddummyparticle)方法，描述系统中研磨液粒子与固体(抛光垫、硅片、研磨粒)粒子之间的相互作用，具体步骤如下：

步骤2.3.1：利用式(9)、(10)将研磨液(流体)粒子的速度v_l、压力p_l外推获得硅片、抛光垫、研磨粒固体边界粒子的速度v_d和压力p_d

$v_d=2v_{\mathrm{wall}}-\frac{{\mathrm{\Σ}}_l{v}_l{W}_{\mathrm{dl}}}{{\mathrm{\Σ}}_l{W}_{\mathrm{dl}}}---\left(9\right)$

$p_d=\frac{{\mathrm{\Σ}}_l{p}_l{W}_{\mathrm{dl}}+(f-a_{\mathrm{wall}})\·{\mathrm{\Σ}}_l{\mathrm{\ρ}}_l{r}_{\mathrm{dl}}{W}_{\mathrm{dl}}}{{\mathrm{\Σ}}_l{W}_{\mathrm{dl}}}---\left(10\right)$

其中a_wall为固体边界的加速度，在实际CMP抛光过程中均为匀速转动故对抛光垫和硅片而言a_wall＝0；

步骤2.3.2：利用步骤2.3.1获得的液体与固体粒子相互作用关系，将式(9)、(10)带入式(7)、(8)可以直接求得抛光垫、硅片、研磨粒粒子对研磨液粒子的加速度

7.按权利要求3所述的方法，其特征是，所述步骤2.4中，求解CMP工艺中悬浮于研磨液中的研磨粒在研磨液作用下的运动轨迹，具体步骤如下：

步骤2.4.1：利用式(13)获得研磨粒粒子d受流体粒子l外力作用之和f_d

$f_d=\underset{l}{\mathrm{\Σ}}{f}_{\mathrm{dl}}---\left(13\right)$

步骤2.4.2：根据式(14)及式(15)分别计算研磨颗粒S的线加速度和角加速度

$M_S\frac{d{V}_S}{\mathrm{dt}}=\underset{d\∈S}{\mathrm{\Σ}}{f}_d---\left(14\right)$

$I_S\frac{d{\mathrm{\Ω}}_S}{\mathrm{dt}}=\underset{d\∈S}{\mathrm{\Σ}}(r_d-r_S)\×f_d---\left(15\right)$

其中M_S和I_S分别为研磨颗粒S的质量和转动惯量，r_S为研磨颗粒中心的位移矢量；并可以根据式(16)求得研磨颗粒的速度

$\frac{{\mathrm{dr}}_d}{\mathrm{dt}}=V_S+{\mathrm{\Ω}}_S\×(r_d-r_S)---\left(16\right)$

步骤2.4.3：采用式(17)对研磨颗粒与其他固体材料(研磨颗粒、抛光垫、硅片)的碰撞进行模拟，获得颗粒a和b之间的相互作用力F_ab：

其中c_ab为排斥力的尺度因子，通常与重力加速度同一量级；ò为刚性系数，取1×10^-6；ζ为排斥力的判定距离，为3Δx；r_ab为两个研磨粒中心连线矢量，R为物体半径；当两个固体距离小于ζ时，由c_ab和ò决定的强排斥力将两个物体排开；

当研磨粒靠近抛光垫和硅片固体边界的时候，通过边界外的镜像研磨粒w提供相应的排斥力，关系式如下

其中，r_aw是从研磨粒a中心指向边界外镜像研磨粒中心的矢量。

8.按权利要求3所述的方法，其特征是，所述步骤2.5中，利用SPH方法计算粒子相互作用力及运动轨迹，对特征尺寸级CMP工艺进行动态仿真，其包括步骤：

步骤2.5.1：对所有粒子进行相邻关系查找，生成邻居粒子列表；

步骤2.5.2：对任意时间步n，采用式(19)、(20)计算时间步粒子的速度和位移

$v^{n+\frac{1}{2}}=v^n+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}\·{\left(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\right)}^n---\left(19\right)$

$r^{n+\frac{1}{2}}=r^n+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}{v}^{n+\frac{1}{2}}---\left(20\right)$

其中Δt为时间步长；

步骤2.5.3：利用半时间步长速度和位移结合式(7)求出n+1步的密度ρⁿ⁺¹，并更新第n+1步的位移rⁿ⁺¹

${\mathrm{\ρ}}^{n+1}={\mathrm{\ρ}}^n+\mathrm{\Δt}{\left(\frac{\mathrm{d\ρ}}{\mathrm{dt}}\right)}^{n+\frac{1}{2}}---\left(21\right)$

$r^{n+1}=r^{n+\frac{1}{2}}+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}{v}^{n+\frac{1}{2}}---\left(22\right)$

步骤2.5.4：根据式(21)和(22)获得的n+1步密度和位移，求解式(8)至式(10)获得研磨液粒子的加速度，利用式(13)至式(18)获得研磨粒粒子的加速度，并更新所有粒子第n+1步的速度

$v^{n+1}=v^{n+\frac{1}{2}}+\frac{\mathrm{\Δt}}{2}{\left(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\right)}^{n+1}---\left(23\right)$

步骤2.5.5：判断当前时刻是否等于总仿真时间T，如果不相等则进行到下一个离散时间步，重复步骤2.5.1至2.5.4；否则进行步骤3。

9.按权利要求1中所述的方法，其特征是，所述步骤3中，依据SPH方法得到的微观数值仿真结果，通过统计方法得到MRR，实现对实际工艺过程的预测，其包括步骤：

步骤3.1：将每一时刻粒子i的物理量作为仿真结果输出，并获得相应时刻的研磨液粒子压力分布p_研磨液(x,y)、剪切力分布τ_研磨液(x,y)，所述物理量包括位移r_i、密度ρ_i、速度v_i、压力p_i、剪切力τ_i；

步骤3.2：根据研磨液粒子的剪切力分布τ_研磨液(x,y)获得有研磨粒时硅片表面任意一点k的剪切力

${\mathrm{\τ}}_k=\frac{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}\frac{m_j}{{\mathrm{\ρ}}_j}{\mathrm{\τ}}_j{W}_{\mathrm{kj}}}{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}\frac{m_j}{{\mathrm{\ρ}}_j}{W}_{\mathrm{kj}}}---\left(24\right)$

硅片表面所受最大剪切力为

τ_w＝max(τ_k)r_k∈S_硅片(x,y)(25)

当τ_w大于无研磨颗粒时硅片表面最大剪切力τ_th时，即为有效剪切τ_active；统计τ_active出现的时间t_active占总仿真时间t_total的比例，获得剪切频率根据MRR与研磨粒的剪切频率F_τ(shearfrequenct)呈现正比关系，即：

MRR∝F_τ(26)

即可预测MRR的比例值。