CN105278011A - 一种光纤激光准直整形装置及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种光纤激光光束准直整形装置及其设计方法，可用于直接将光纤激光器输出光束的光强整形成所需要的分布，并且能够有效补偿光强整形所带来的光束相位变化。本发明采用双非球面镜结构，一号非球面镜负责对光纤激光进行准直和光强整形，进而在二号非球面镜位置处形成所需要的光强分布；二号非球面镜负责对准直后和光强整形后的光束进行相位补偿，使得整形后的光束不仅仅具有所需要的光强分布，还具有近衍射极限的相位分布。本发明集光束准直、光强整形与相位校正于一体，具有整形效率高、使用方便等优点。

Description

一种光纤激光准直整形装置及其设计方法

技术领域

本发明涉及一种光纤激光准直整形装置及其设计方法，属于光学技术领域。

背景技术

激光自发明以来，已经被广泛应用在许多领域。相对于其它类型激光，光纤激光器具有转换效率高、光束质量好、结构紧凑、热管理方便等方面的优势，成为激光领域的重要发展方向。目前，单模光纤激光器的最高输出功率已超过10kW。高功率高亮度光纤激光在工业加工、材料处理、激光雷达、光电对抗、定向能技术等领域有着广泛的应用前景。光纤激光器输出光束由于受到激光谐振腔结构、增益分布等因素限制而只能具有特定光场分布，但是在实际应用中往往需要激光光场满足一定分布以提高作用效能。例如在惯性约束核聚变系统(ICF)中要求激光束强度分布均匀。输入光束光强分布非均匀会导致“B积分”等非线性效应而造成激光介质损伤，同时也会因为填充因子较低而不能保证高的能量提取效率。为了提高系统安全运行通量及补偿主放大器的增益不均匀性，需要对注入激光光束进行全场整形，以期输出近场调制度较低的“平顶”光束。

由一系列反射镜和分光镜组成的高能激光传输和发射系统会不同程度地吸收部分激光能量，产生温升、应力和变形，非均匀的近场强度分布会产生非均匀的热变形甚至是热破坏。各反射镜变形分布与近场强度分布相似，元件较多时，这种累加的非均匀热变形将严重影响光束质量。随着激光器输出功率的增加，光强分布不均匀对高能激光系统输出光束质量的影响将更加显著。当高能激光系统发射功率不变时，与均匀强度分布相比，非均匀强度分布会在传输光路中产生更大的热晕，影响强激光的远场聚焦。所以高能激光的光强分布应该尽量均匀，以防止镜面破坏、热变形和不均匀热晕造成的光束漂移与发散。通过对激光器输出光束光强分布进行均匀化处理，能够显著提高高能激光系统的发射光束质量。另外，在激光加工、数据处理、信息光学存储、激光雷达、非线性光学、原子光学和材料科学等应用领域中，也都需要对入射激光光束的光强分布进行整形以提高作用效能。

鉴于以上应用需求，人们提出了许多光束整形技术。目前比较常用的激光光束整形技术有切趾光阑光束整形技术、双折射透镜组光束整形技术、衍射光学元件光束整形技术、液晶空间光调制器光束整形技术、微透镜阵列光束整形技术等等。其中切趾光阑光束整形技术和双折射透镜组光束整形技术，通过改变整形器的光强透过率来改变光束的光强分布，能量利用效率比较低；衍射光学元件光束整形技术和液晶空间光调制器光束整形技术不适用于高功率激光的光束整形；微透镜阵列光束整形技术仅仅适用于光束的远场焦斑形状整形。总体而言，目前常用的这几种激光光束整形方法在用于高功率激光光束整形时均存在各自的缺陷。

相对于上述光束整形系统，双非球面镜光束整形系统在光束传输路径上放置两块非球面镜，第一块非球面镜调整入射光束的相位分布在第二块非球面镜位置处形成所需要的光强分布，第二块非球面镜负责补偿光强整形后光束的相位分布，使得输出光束不仅仅具有所需要的光强分布，还具有近衍射极限的相位分布。然而，传统的双非球面镜光束整形系统存在很大的局限性。基于传统设计方法设计出来的面型分布，仅仅在当目标光束的口径远大于入射光束口径的情况下，才能得到较好的整形效果，在其它情况下存在很大的整形误差(目标光束光场与整形后输出光束光场之间存在很大的偏差)。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术存在的不足，提供一种光纤激光准直整形装置及其设计方法。本发明融合光束准直、光强整形和光强整形后光束波前校正于一体，不仅可以改变光束的光强分布，还可以补偿光强整形后光束的波前相位分布，使得整形后输出光束同时具有所需要的光强分布和近衍射极限的相位分布。

本发明采用的技术方案为：

一种光纤激光准直整形装置，包括共轴设置于光纤激光器11所发射光束传输路径上的一号非球面透镜1和二号非球面透镜2，为了叙述简便，在以下的叙述中，定义光束传输的方向为由前向后传输，其中，一号非球面透镜1包括：用于实现对光纤激光器11出射激光进行准直的前镜面，该前镜面的面型垂度Z_S(r)的表达式为：

$Z_S\left(r\right)=2d_1-\sqrt{{4d}_1^2-r^2},$

式中d₁为一号非球面透镜1前镜面中心与光纤激光器11出光端之间的距离，r为光线在一号非球面透镜1前镜面照射点处与准直整形装置中心轴线之间的垂直距离，Z_S(r)为相应照射点处所对应的面型垂度，如图2所示；

以及用于实现对由一号非球面透镜1前镜面准直后出射激光进行光强整形的后镜面，该后镜面的面型垂度z(r)的表达式为：

$\begin{array}{cc}z\left(r\right)={\&Integral;}_0^r{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}& 0<r<h_1\\ z\left(r\right)=z\left(h_1\right)-{\&Integral;}_{h_1}^r{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}& h_1<r<D/2\end{array},$

式中z(r)为一号非球面透镜1后镜面径向位置r处的面型垂度；n为透镜使用材料的折射率；d为一号非球面透镜1后镜面中心与二号非球面透镜2前镜面中心之间的距离；h(x)为光线在一号非球面透镜1后镜面出射位置r和二号非球面透镜2前镜面入射位置R之间的对应关系，也即R＝h(r)；h(x)可以由能量守恒定理求得，式中f_input(r)和g_target(R)分别为入射到一号非球面透镜1后镜面的待光强整形光束的光强分布和目标光束的光强分布；准直整形系统的口径D满足D≥2d₁θ，2d₁θ为经过一号非球面透镜1前镜面准直后的激光束的口径尺寸，θ为光纤激光器11出光端激光的发散角(半角)，式中NA为光纤激光器11光纤的数值孔径，n₁和n₂分别为光纤激光器11的光纤纤芯和包层的折射率；

二号非球面透镜2包括：用于实现对光强整形后的激光进行相位补偿的前镜面，该前镜面的面型垂度Z(R)的表达式为：

$\begin{array}{cc}Z\left(R\right)={\&Integral;}_0^R{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h^{-1}\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}& 0<R<H_1\\ Z\left(R\right)=Z\left(H_1\right)-{\&Integral;}_{H_1}^R{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h^{-1}\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}& H_1<R<D/2\end{array},$

式中Z(R)为二号非球面透镜2前镜面径向位置R处的面型垂度；h₁和H₁分别为由能量守恒定理通过所求得的当r＝R时的r值和R值，也即h₁＝H₁；式中的h^-1(x)为光线在一号非球面透镜1后镜面出射位置r和二号非球面透镜2前镜面入射位置R之间的对应关系，也即r＝h^-1(R)；

以及后镜面，该后镜面为平面，不改变相位补偿后输出光束的传输方向。

采用本发明可以达到以下技术效果：

1.本发明提出的光纤激光准直整形装置，简单易操作，能够同时完成激光光束准直、光强整形、并对光强整形后光束实现相位补偿等功能，克服了传统光纤激光准直器仅仅能够完成单一的扩束准直功能的局限性。

2.本发明提出的光纤激光准直整形装置，适用范围广，不仅可以将光纤激光准直整形为近衍射极限平顶光束，还可以将光纤激光准直整形为近衍射极限空心平顶、空心高斯等其它光强分布光束。另外，该整形方法不仅仅可以将光纤激光准直整形为具有所需光强分布的近衍射极限光束，还可以用于将其它光强对称分布光束整形为具有所需要光强分布的光束。

3.本发明提出的光纤激光准直整形装置，采用双非球面透镜，整个准直整形系统不存在实焦点，可用于高功率和低功率光纤激光的准直整形。另外，本发明提出的光纤激光准直整形新方法及装置，能量利用率高，可以近似无能量损耗地将光纤激光准直整形为所需要光强分布的近衍射极限光束。

附图说明

图1为本发明所述光纤激光准直整形装置组成图；

图2为本发明所述光纤激光准直整形装置中典型光线传输示意图；

图3为本发明所述光纤激光准直整形装置设计方法流程图；

图4为传统双非球面镜整形系统整形输出光束光强分布，图中Target为目标光束光强分布，Output为整形后输出光束光强分布；

图5为传统双非球面镜整形系统整形输出光束相位分布；

图6为本发明所述光纤激光准直整形装置整形输出光束光强分布，图中Target为目标光束光强分布，Output为整形后输出光束光强分布；

图7为本发明所述光纤激光准直整形装置整形输出光束相位分布。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明的实施方式作进一步介绍：

本发明所述光纤激光准直整形装置包括共轴设置于光纤激光器11所发射光束传输路径上的一号非球面透镜1和二号非球面透镜2，如图1和图2所示，其具体工作过程如下，光纤激光器11输出光束通过一号非球面透镜1的前镜面后变为准直光束，准直光束通过一号非球面透镜1的后镜面，经过后镜面对其进行光强整形后，在二号非球面透镜2的前镜面位置处形成具有所需光强分布的光束，此光束通过二号非球面透镜2的前镜面，并经前镜面进行相位补偿后，变为具有所需光强分布的准直光束，使得输出激光束不仅仅具有所需要的光强分布，还具有近衍射极限的相位分布，然后从二号非球面透镜2的平面后镜面出射。

本发明所述光纤激光准直整形装置，构建流程如图3所示，具体采用如下步骤进行构建：

1.一号非球面透镜1的前镜面主要用于对光纤激光器11出射激光进行准直，其面型分布可以根据光纤激光器11出射激光的发散角θ确定。光纤激光器11出射激光的发散角θ与光纤激光器11的数值孔径NA具有如下的关系：

$\mathrm{\&theta;}=\mathrm{arc}\sin \left(\mathrm{NA}\right)=\mathrm{arc}\sin \left(\sqrt{n_1^2-n_2^2}\right)---\left(1\right)$

式中n₁和n₂分别为光纤激光器11的光纤纤芯和包层的折射率，θ为光纤激光器出射激光的发散角(半角)。

一号非球面透镜1前镜面的面型分布为：

$Z_S\left(r\right)=2d_1-\sqrt{{4d}_1^2-r^2}---\left(2\right)$

式中d₁为一号非球面透镜1前镜面中心与光纤激光器11出光端的距离，r为光线在一号非球面透镜1前镜面照射点与准直整形装置中心轴线之间的垂直距离，Z_S(r)为相应照射点处所对应的面型垂度，具体如图2所示，准直整形系统的口径D满足D≥2d₁θ，2d₁θ为经过一号非球面透镜1前镜面准直之后的光束的口径尺寸；不同尺寸的准直后待整形光束和目标光束之间的整形，需要一号非球面镜1后镜面和二号非球面镜2前镜面具有不同的面型分布，根据目标光束的参数和光纤激光的发散角θ，优化确定d₁的取值大小。

2.根据光纤激光经过一号非球面透镜1的前镜面准直之后光束的光强分布，选取通过光斑中心的光强分布截图，采用具有不同束腰半径的高斯函数作为基函数拟合经过准直之后的光纤激光光强分布，如(3)式所示：

$f_{\mathrm{input}}\left(r\right)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_i\exp \left(\frac{-2r^2}{w_i^2}\right)$

式中w_i和a_i分别为高斯函数的束腰半径和相应的权重因子，f_input(r)为准直后待整形的光束光强分布；

3.根据第2步拟合得到的待整形光束光强分布f_input(r)和所要实现的目标光束光强分布g_target(r)，设计光束准直整形装置一号非球面透镜1后镜面的面型分布和二号非球面透镜2前镜面的面型分布，具体步骤如下：

3.1)根据第2步拟合得到的光强分布f_input(r)和所要实现的目标光强分布g_target(r)，基于能量守恒定律计算得到光纤激光在一号非球面透镜1后镜面径向出射位置r与光纤激光在二号非球面透镜2前镜面的径向入射位置R之间的对应关系R＝h(r)与r＝h^-1(R)；

3.2)根据3.1)步计算出的光纤激光在一号非球面透镜1后镜面的出射位置r与光纤激光在二号非球面透镜2前镜面的入射位置R之间的对应关系R＝h(r)与r＝h^-1(R)，设计光束准直整形系统一号非球面透镜1后镜面和二号非球面透镜2前镜面的面型分布，分别用z(r)和Z(R)表示：

$\begin{array}{cc}z\left(r\right)={\&Integral;}_0^r{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}& 0<r<h_1\\ z\left(r\right)=z\left(h_1\right)-{\&Integral;}_{h_1}^r{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}& h_1<r<D/2\end{array}---\left(4\right)$

$\begin{array}{cc}Z\left(R\right)={\&Integral;}_0^R{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h^{-1}\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}& 0<R<H_1\\ Z\left(R\right)=Z\left(H_1\right)-{\&Integral;}_{H_1}^R{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h^{-1}\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}& H_1<R<D/2\end{array}---\left(5\right)$

式中z(r)为一号非球面透镜1后镜面径向位置r处的面型垂度，Z(R)为二号非球面透镜2前镜面径向位置R处的面型垂度，n为透镜使用材料的折射率，n_o为环境大气的折射率，d为一号非球面透镜1后镜面与二号非球面透镜2前镜面之间的距离，h₁和H₁分别为由式所求得的当r＝R时的r值和R值，也即h₁＝H₁。

二号非球面透镜2后镜面的面形分布为平面，不改变整形后输出光束的传输方向。

本发明提出的光纤激光准直整形装置及其设计方法，非球面(一号非球面透镜1后镜面和二号非球面透镜2前镜面)面型分布的求解方法有效地克服了传统伽利略整形系统面型求解方法仅仅适用于扩束型整形的局限性，适用于整形输出任意口径光束。传统伽利略型整形系统第一块非球面透镜面型垂度表达式为：

$z\left(r\right)={\&Integral;}_0^r{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}---\left(6\right)$

第二块非球面透镜面型垂度表达式为：

$Z\left(R\right)={\&Integral;}_0^R{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h^{-1}\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx}---\left(7\right)$

传统伽利略型整形系统只有当目标光束尺寸远大于入射光束尺寸的情况下才能得到较好的整形效果。图4、图5、图6、图7为将束腰半径为3mm的高斯光束整形为具有如式(式中R₀＝3mm,β＝20)所示的圆形平顶光束时的整形效果。图4和图6分别为传统双非球面镜面型分布设计方法和本发明双非球面镜面型分布设计方法所得到的整形后光束光强分布，图5和图7分别为传统双非球面镜面型分布设计方法和本发明双非球面镜面型分布设计方法所得到的整形后光束相位分布，从图上可以看出，本发明所提出的面型分布设计方法，极大地提高了整形效果，整形后光束的光强分布与目标光束光强分布近似完美重合，整形后光束的相位分布得到了有效地补偿，相位分布平顶区域远远大于传统双非球面镜面型分布设计方法所得的结果。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的设计方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种光纤激光准直整形装置，包括共轴设置于光纤激光器(11)所发射光束传输路径上的一号非球面透镜(1)和二号非球面透镜(2)，其中，一号非球面透镜(1)包括：用于实现对光纤激光器(11)出射激光进行准直的前镜面，该前镜面的面型垂度Z_S(r)的表达式为：

$Z_S\left(r\right)=2d_1-\sqrt{{4d}_1^2-r^2}$

式中d₁为一号非球面透镜(1)前镜面中心与光纤激光器(11)出光端之间的距离，r为光线在一号非球面透镜(1)前镜面照射点处与准直整形装置中心轴线之间的垂直距离，Z_S(r)为相应照射点处所对应的面型垂度；

以及用于实现对由一号非球面透镜(1)前镜面准直后出射激光进行光强整形的后镜面，该后镜面的面型垂度z(r)的表达式为：

$z\left(r\right)={\&Integral;}_0^r{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx},0<r<h_1$

$z\left(r\right)=z\left(h_1\right)-{\&Integral;}_{h_1}^r{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx},h_1<r<D/2$

式中z(r)为一号非球面透镜(1)后镜面径向位置r处的面型垂度，n为透镜使用材料的折射率，d为一号非球面透镜(1)后镜面中心与二号非球面透镜(2)前镜面中心之间的距离，h(x)为光线在一号非球面透镜(1)后镜面出射位置r和二号非球面透镜(2)前镜面入射位置R之间的对应关系，也即R＝h(r)，h(x)可以由能量守恒定理通过求得，式中f_input(r)和g_target(R)分别为入射到一号非球面透镜(1)后镜面的待光强整形光束的光强分布和目标出射光束的光强分布，准直整形系统的口径D满足D≥2d₁θ，2d₁θ为经过一号非球面透镜(1)前镜面准直后的激光光束的口径尺寸，θ为光纤激光器(11)出光端激光的发散半角，式中NA为光纤激光器(11)光纤的数值孔径，n₁和n₂分别为光纤激光器(11)的光纤纤芯和包层的折射率；

二号非球面透镜(2)包括：用于实现对光强整形后的激光进行相位补偿的前镜面，该前镜面的面型垂度Z(R)的表达式为：

$Z\left(R\right)={\&Integral;}_0^R{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h^{-1}\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx},0<R<H_1$

$Z\left(R\right)=Z\left(H_1\right)-{\&Integral;}_{H_1}^R{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h^{-1}\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx},H_1<R<D/2$

式中Z(R)为二号非球面透镜(2)前镜面径向位置R处的面型垂度，h₁和H₁分别为由能量守恒定理通过所求得的当r＝R时的r值和R值，也即h₁＝H₁，式中的h^-1(x)为光线在一号非球面透镜(1)后镜面出射位置r和二号非球面透镜(2)前镜面入射位置R之间的对应关系，也即r＝h^-1(R)；

以及后镜面，该后镜面为平面。

2.一种如权利要求1所述光纤激光准直整形装置的设计方法，该方法包括如下步骤：

1)一号非球面透镜(1)前镜面的面型分布根据光纤激光器(11)出射激光的发散角θ确定，光纤激光器(11)出射激光的发散角θ与光纤激光器(11)的数值孔径NA具有如下的关系：

$\mathrm{\&theta;}=\mathrm{arc}\sin \left(\mathrm{NA}\right)=\mathrm{arc}\sin \left(\sqrt{n_1^2-n_2^2}\right)$

式中n₁和n₂分别为光纤激光器(11)的光纤纤芯和包层的折射率，θ为光纤激光器出射激光的发散半角；

一号非球面透镜(1)前镜面的面型分布为：

$Z_S\left(r\right)=2d_1-\sqrt{{4d}_1^2-r^2}$

式中d₁为一号非球面透镜(1)前镜面中心与光纤激光器(11)出光端的距离，r为光线在一号非球面透镜(1)前镜面照射点与准直整形装置中心轴线之间的垂直距离，Z_S(r)为相应照射点处所对应的面型垂度，准直整形系统的口径D满足D≥2d₁θ，2d₁θ为经过一号非球面透镜(1)前镜面准直之后的光束的口径尺寸，不同尺寸的准直后待整形光束和目标光束之间的整形，需要一号非球面镜(1)后镜面和二号非球面镜(2)前镜面具有不同的面型分布，根据目标光束的参数和光纤激光的发散角θ，优化确定d₁的取值大小；

2)根据光纤激光经过一号非球面透镜(1)的前镜面准直之后光束的光强分布，选取通过光斑中心的光强分布截图，采用具有不同束腰半径的高斯函数作为基函数拟合经过准直之后的光纤激光光强分布，如下式所示：

$f_{\mathrm{input}}\left(r\right)=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{a}_i\exp \left(\frac{-2r^2}{w_i^2}\right)$

式中w_i和a_i分别为高斯函数的束腰半径和相应的权重因子，f_input(r)为准直后待整形的光束光强分布；

3)根据第2步拟合得到的待整形光束光强分布f_input(r)和所要实现的目标光束光强分布g_target(r)，设计光束准直整形装置一号非球面透镜(1)后镜面的面型分布和二号非球面透镜(2)前镜面的面型分布，具体步骤如下：

3.1)根据第2步拟合得到的光强分布f_input(r)和所要实现的目标光强分布g_target(r)，基于能量守恒定律计算得到光纤激光在一号非球面透镜(1)后镜面径向出射位置r与光纤激光在二号非球面透镜(2)前镜面的径向入射位置R之间的对应关系R＝h(r)与r＝h^-1(R)；

3.2)根据3.1)步计算出的光纤激光在一号非球面透镜(1)后镜面的出射位置r与光纤激光在二号非球面透镜(2)前镜面的入射位置R之间的对应关系R＝h(r)与r＝h^-1(R)，设计光束准直整形系统一号非球面透镜(1)后镜面和二号非球面透镜(2)前镜面的面型分布，分别用z(r)和Z(R)表示：

$z\left(r\right)={\&Integral;}_0^r{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx},0<r<h_1$

$z\left(r\right)=z\left(h_1\right)-{\&Integral;}_{h_1}^r{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx},h_1<r<D/2$

$Z\left(R\right)={\&Integral;}_0^R{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h^{-1}\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx},0<R<H_1$

$Z\left(R\right)=Z\left(H_1\right)-{\&Integral;}_{H_1}^R{\{(n^2-1)+{\left[\frac{(n-1)d}{h^{-1}\left(x\right)-x}\right]}^2\}}^{-1/2}\mathrm{dx},H_1<R<D/2$

式中z(r)为一号非球面透镜(1)后镜面径向位置r处的面型垂度，Z(R)为二号非球面透镜(2)前镜面径向位置R处的面型垂度，n为透镜使用材料的折射率，d为一号非球面透镜(1)后镜面与二号非球面透镜(2)前镜面之间的距离，h₁和H₁分别为由式所求得的当r＝R时的r值和R值，也即h₁＝H₁；

二号非球面透镜(2)后镜面的面形分布为平面，不改变整形后输出光束的传输方向。