CN105207683B - 一种rs码频域快速译码方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种RS码频域快速译码方法。本发明在常规RS码频域译码的基础上，将本发明的合并同类项法计算傅里叶变换应用到RS码译码过程中，以降低译码的复杂度，提升译码效率，即基于元素的阶将有限域的非零元素分成多个子集合，基于合并同类项法分别计算阶为非码长n的元素所对应的谱分量，其他谱分量由常规傅里叶变换处理得到；为了进一步降低译码的复杂度，还可以采用Cooley‑Tukey FFT算法计算阶为n的元素所对应的谱分量，尤其是当码长为某些值时，采用合并同类项与Cooley‑Tukey FFT算法相结合的译码方式，能显著降低译码复杂度。

Description

一种RS码频域快速译码方法
技术领域
本发明属于纠错码技术领域，尤其涉及一种RS(Reed Solomon)码频域快速译码方法。
背景技术
纠错码的编译码历史始于1948年香农发表的一篇著名论文。香农指出，只要一个通信系统所要求的传信率R小于信道容量C，就有可能用纠错码为此信道设计一通信系统使其输出差错概率为任意小。RS码是一种代数结构比较完美的一种纠错码，也是一类有很强纠错能力的多进制BCH码，能纠正突发错误。RS码已广泛应用于CD、DVD以及蓝光光盘中，在数据传输中，它被用于DSL和WiMAX，在广播系统中DVB和ATSC中也有其应用。若将码字看作是时间域或频率域上的信号，纠错码的译码可以分为基于有限域的傅里叶变换的频域译码以及时域译码。在RS码频域译码中不需要求出错误位置和错误值，较其时域译码方式译码复杂度低。因此，研究RS码的频域快速译码算法具有重要的意义。
在GF(qm)域上的纠t个错误的RS码，码参数n＝qm-1关系如下：n＝qm-1，k＝n-2t，d＝2t+1，其中q表示素数(通常取2)，n表示码长，k表示信息段，d表示最小码距，其接收多项式r(x)为r(x)＝r0+r1x+…+rn-1xn-1(n＝qm-1)，对接收多项式r(x)进行频域译码。常规RS码频域译码处理包括下列步骤：(1)计算接收多项式r(x)的傅里叶变换R(x)及系数Rj，其中R(x)＝R0+R1x+…+Rn-1xn-1，而R(x)的各傅里叶分量其中α为GF(qm)的本原元；(2)计算错误位置多项式σ(x)，其常用的为基于Berlekamp迭代算法求错误位置多项式σ(x)：RS码频域译码中其2t(t为纠错个数)个伴随式分量s1,s2,…,s2t等于R(x)的2t个谱分量R1,R2,…,R2t，由伴随式分量迭代求出错误位置多项式σ(x)＝σ0+σ1x+…+σvxv，其中v为实际错误个数；(3)计算频域上错误多项式E(x)：RS码频域译码中的错误多项式e(x)的傅里叶变换E(x)的2t个谱分量E1,E2,…,E2t等于R(x)的2t个谱分量R1,R2,…,R2t，按式Eλ+t＝-(σ1Eλ+t-1+σ2Eλ+t-2+…+σvEλ+t-v),t+1≤λ≤n-1-λ计算谱分量E2t+1到En-1；按式计算谱分量E0；(4)计算频域译码V(x)的傅里叶逆变换，输出译码结果。即根据公式V(x)＝R(x)-E(x)计算频域译码V(x)，再计算其逆傅里叶变换，即得译码的码字多项式逆傅里叶变换算法类似于傅里叶变换算法，根据步骤(1)采用的某种方法计算傅里叶逆变换，完成译码。
在RS码的常规频域译码处理中，步骤(1)中求解接收多项式r(x)的傅里叶变换R(x)的计算量非常大，从而导致其译码的复杂度高，因此有必要对其进行改进，以降低现有RS码的译码复杂度。
发明内容
本发明的发明目的在于：对常规RS码频域译码进行改进，进而达到降低译码复杂度的目的。本发明利用有限域特征通过合并同类项的方式实现有限域的傅里叶变换的快速计算，并将该方法应用到RS码译码中。为了进一步降低译码的计算复杂度，本发明还将Cooley-Tukey FFT算法和合并同类项方法相结合应用到RS译码中。
本发明的RS码频域快速译码方法，包括下列步骤：
步骤1：计算码长n的接收多项式r(x)＝r0+r1x+…+rn-1xn-1,(n＝qm-1)的傅里叶变换R(x)，R(x)＝R0+R1x+…+Rn-1xn-1；计算傅里叶变换R(x)可采用如下两种方法之一来完成。
方法1：合并同类项法；
(1)将有限域GF(qm)中的元素表示为{0}∪{αi|0≤i≤qm-2}，α为本原元，根据计算非零元素集合中{αi|0≤i≤qm-2}各元素αi的阶ord(αi)，其中gcd()表示求取最大公约数，将{αi|0≤i≤qm-2}中的元素按照元素的阶划分集合，阶相同的元素划分为一个子集合；
(2)计算傅里叶分量Rj：
设p＝ord(αi)，对p≠n的各元素所对应的傅里叶分量(也称谱分量)，采用合并同类项法计算所对应的傅里叶分量Ri(i∈[0,qm-2])：
假设阶为p的子集合的元素个数为K个，则对应该K个元素(1,αi,(αi)2,…,(αi)n-1) 均有组(1,αi,(αi)2,…(αi)p-1)循环，所以计算对应傅里叶分量Ri时可先提取公因子。因 为码长为n，组循环，所以[r]可以合并项，傅里叶分量Ri可以根据公式 计算得到，其中阶系数即
当元素的阶为n时，相应的傅里叶分量Rj则不能用上述算法计算得到，仍需按照基本傅里叶变换公式求得。
方法2：Cooley-Tukey FFT算法与合并同类项法相结合计算傅里叶变换；
Cooley-Tukey FFT算法描述如下：
分解码长n＝n1·n2，将接收多项式r(x)的系数r0,r1,…rn-1改组为：即将原系数ri(0≤i≤qm-2)的下标i改为(i′,i″)，其中i＝i′+ n1i″，i′＝0,1,…,n1-1，i″＝0,1,…,n2-1；
对应上述改组，将傅里叶变换R(x)的傅里叶分量R0,R1,…Rn-1改组为即将傅里叶分量Rj(0≤j≤qm-2)的下标j改为(j′,j″)；其 中j＝n2j′+j″，j′＝0,1,…,n1-1，j″＝0,1,…,n2-1；
根据公式计算与阶为n的元素αj(j∈[0,qm-2)所对应的傅里叶变换分量Rj，采用合并同类项法计算阶p≠n的各元素所对应的傅里叶分量Ri，对Ri、Rj而言，i≠j。在上述方法2中，即对于谱分量下标为元素阶为n的真因子的域元素上标时，按照合并同类项法计算相应谱分量；对于谱分量下标为元素阶为n本身的域元素上标时，按照Cooley-Tukey FFT算法计算相应谱分量。
步骤2：计算错误位置多项式σ(x)，如利用Berlekamp迭代算法求错误位置多项式σ(x)：
RS码频域译码中其2t(t为纠错个数)个伴随式分量s1,s2,…,s2t等于R(x)的2t个谱分量R1,R2,…,R2t，由伴随式分量迭代求出错误位置多项式σ(x)＝σ0+σ1x+…+σvxv，v为实际错误个数。
步骤3：计算频域上错误多项式E(x)；
RS码频域译码中其错误多项式e(x)的傅里叶变换E(x)的2t个谱分量E1,E2,…,E2t等于R(x)的2t个谱分量R1,R2,…,R2t；
按式按式Eλ+t＝-(σ1Eλ+t-1+σ2Eλ+t-2+…+σvEλ+t-v),t+1≤λ≤n-1-λ计算谱分量E2t+1到En-1；
按式计算谱分量E0。
步骤4：根据公式V(x)＝R(x)-E(x)计算频域上译码V(x)，再对其计算其反傅里叶变换，即得译码的码字多项式逆傅里叶变换算法类似于傅里叶变换算法，根据步骤1采用的方法1或方法2计算V(x)的傅里叶逆变换完成译码。
本发明公开了两种将有限域的快速傅里叶变换应用到RS码频域译码的方法，均能达到降低译码复杂度的目的。以计算总乘法次数表示傅里叶变换的计算复杂度：现有的基本傅里叶变换算法：总乘法次数为n2；本发明的方法1，根据整数的标准式分解，则有限域不同阶的个数为个，且阶相同的元素的个数为个，其中p是元素的阶，是欧拉函数，假设有限域的L个阶分别为p1,p2,...,pL(其中pL为阶n＝qm-1本身)，阶是pi(1≤i≤L)的元素个数为个，则总乘法次数为方法2，假设n＝n1·n2，则总乘法次数为由此可见，本发明的计算复杂度比现有的基本傅里叶变换算法低。
采用本发明公开的两种方法中的哪一种方法计算有限域的傅里叶变换复杂度最低，则需要根据n的值决定。当码长n＝15,63时，采用方法2计算复杂度较低；当码长n为大于63的值时，采用方法2计算复杂度较低。
综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：在常规RS码频域译码的基础上，将本发明的合并同类项法计算傅里叶变换应用到RS码译码过程中，以降低译码的复杂度，提升译码效率；并且，当码长n为某些值时，将Cooley-Tukey FFT算法与合并同类项法相结合，以进一步降低译码的计算复杂度。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面结合实施方式，对本发明作进一步地详细描述。
实施例
有限域GF(26)上RS码，接收多项式为r(x)＝r0+r1x+…+r62x62，采用本发明的频域快速译码，过程如下：
步骤1：计算接收多项式r(x)的傅里叶变换R(x)；
将有限域GF(26)上的非0元素{αi|0≤i≤26-2}按照元素的阶划分集合：
阶为1的元素集合：{α0}；
阶为3的元素集合：{α21,α42}；
阶为7的元素集合：{α9,α18,α27,α36,α45,α54}；
阶为9的元素集合：{α7,α14,α28,α35,α49,α56}；
阶为21的元素集合：{α3,α6,α12,α15,α24,α30,α33,α39,α48,α51,α57,α60}；
阶为63的元素集合：
谱分量下标对应为阶为1、3、7、9、21的元素上标的，这些谱分量按照合并同类项法计算；谱分量下标对应为阶为63的元素上标的，这些谱分量按照Cooley-Tukey算法计算。以下是具体计算式：
阶为1的元素α0对应的谱分量为R0，根据其中阶系数由n＝63，p＝1，则直接可得R0＝r0+r1+…+r62；
阶为3的元素为：α21、α42，其对应的谱分量为R21、R42，由n＝63，p＝3，首先根据公式可得阶系数再根据公式计算谱分量R21,R42：R42＝s30+s31α42+s32α21；
同理可得其他阶的各元素所对应的谱分量：阶为7的元素所对应的谱分量：R9、R18、R27、R36、R45、R54，阶为9的元素所对应的谱分量：R7、R14、R28、R35、R49、R56，阶为21的元素所对应的谱分量R3、R6、R12、R15、R24、R30、R33、R39、R48、R51、R57、R60。
对阶为63的各元素则采用Cooley-Tukey FFT算法计算对应的谱分量：R1、R2、R4、R5、R8、R10、R11、R13、R16、R17、R19、R20、R22、R23、R25、R26、R29、R31、R32、R34、R37、R38、R40、R41、R43、R44、R46、R47、R50、R52、R53、R55、R58、R59、R61、R62，其
具体计算过程如下：
将R(x)的系数R0,R1,…R62改组为：
R1＝(α9)0·h01+(α9)0·h11+(α9)0·h21+(α9)0·h31+(α9)0·h41+(α9)0·h51+(α9)0·h61,
R10＝(α9)0·h01+(α9)1·h11+(α9)2·h21+(α9)3·h31+(α9)4·h41+(α9)5·h51+(α9)6·h61,
R19＝(α9)0·h01+(α9)2·h11+(α9)4·h21+(α9)6·h31+(α9)8·h41+(α9)10·h51+(α9)12·h61,
R37＝(α9)0·h01+(α9)4·h11+(α9)8·h21+(α9)12·h31+(α9)16·h41+(α9)20·h51+(α9)24·h61,
R46＝(α9)0·h01+(α9)5·h11+(α9)10·h21+(α9)15·h31+(α9)20·h41+(α9)25·h51+(α9)30·h61,
R55＝(α9)0·h01+(α9)6·h11+(α9)12·h21+(α9)18·h31+(α9)24·h41+(α9)30·h51+(α9)36·h61；
R2＝(α9)0·h02+(α9)0·h12+(α9)0·h22+(α9)0·h32+(α9)0·h42+(α9)0·h52+(α9)0·h62,
R11＝(α9)0·h02+(α9)1·h12+(α9)2·h22+(α9)3·h32+(α9)4·h42+(α9)5·h52+(α9)6·h62,
R20＝(α9)0·h02+(α9)2·h12+(α9)4·h22+(α9)6·h32+(α9)8·h42+(α9)10·h52+(α9)12·h62,
R29＝(α9)0·h02+(α9)3·h12+(α9)6·h22+(α9)9·h32+(α9)12·h42+(α9)15·h52+(α9)18·h62,
R38＝(α9)0·h02+(α9)4·h12+(α9)8·h22+(α9)12·h32+(α9)16·h42+(α9)20·h52+(α9)24·h62,
R47＝(α9)0·h02+(α9)5·h12+(α9)10·h22+(α9)15·h32+(α9)20·h42+(α9)25·h52+(α9)30·h62；
R4＝(α9)0·h04+(α9)0·h14+(α9)0·h24+(α9)0·h34+(α9)0·h44+(α9)0·h54+(α9)0·h64
R13＝(α9)0·h04+(α9)1·h14+(α9)2·h24+(α9)3·h34+(α9)4·h44+(α9)5·h54+(α9)6·h64，
R22＝(α9)0·h04+(α9)2·h14+(α9)4·h24+(α9)6·h34+(α9)8·h44+(α9)10·h54+(α9)12·h64，
R31＝(α9)0·h04+(α9)3·h14+(α9)6·h24+(α9)9·h34+(α9)12·h44+(α9)15·h54+(α9)18·h64，
R40＝(α9)0·h04+(α9)4·h14+(α9)8·h24+(α9)12·h34+(α9)16·h44+(α9)20·h54+(α9)24·h64，
R58＝(α9)0·h04+(α9)6·h14+(α9)12·h24+(α9)18·h34+(α9)24·h44+(α9)30·h54+(α9)36·h64；
R5＝(α9)0·h05+(α9)0·h15+(α9)0·h25+(α9)0·h35+(α9)0·h45+(α9)0·h55+(α9)0·h65，
R23＝(α9)0·h05+(α9)2·h15+(α9)4·h25+(α9)6·h35+(α9)8·h45+(α9)10·h55+(α9)12·h65，
R32＝(α9)0·h05+(α9)3·h15+(α9)6·h25+(α9)9·h35+(α9)12·h45+(α9)15·h55+(α9)18·h65，
R41＝(α9)0·h05+(α9)4·h15+(α9)8·h25+(α9)12·h35+(α9)16·h45+(α9)20·h55+(α9)24·h65，
R50＝(α9)0·h05+(α9)5·h15+(α9)10·h25+(α9)15·h35+(α9)20·h45+(α9)25·h55+(α9)30·h65，
R59＝(α9)0·h05+(α9)6·h15+(α9)12·h25+(α9)18·h35+(α9)24·h45+(α9)30·h55+(α9)36·h65；
R16＝(α9)0·h07+(α9)1·h17+(α9)2·h27+(α9)3·h37+(α9)4·h47+(α9)5·h57+(α9)6·h67，
R25＝(α9)0·h07+(α9)2·h17+(α9)4·h27+(α9)6·h37+(α9)8·h47+(α9)10·h57+(α9)12·h67，
R34＝(α9)0·h07+(α9)3·h17+(α9)6·h27+(α9)9·h37+(α9)12·h47+(α9)15·h57+(α9)18·h67，
R43＝(α9)0·h07+(α9)4·h17+(α9)8·h27+(α9)12·h37+(α9)16·h47+(α9)20·h57+(α9)24·h67，
R52＝(α9)0·h07+(α9)5·h17+(α9)10·h27+(α9)15·h37+(α9)20·h47+(α9)25·h57+(α9)30·h67，
R61＝(α9)0·h07+(α9)6·h17+(α9)12·h27+(α9)18·h37+(α9)24·h47+(α9)30·h57+(α9)36·h67
R8＝(α9)0·h08+(α9)0·h18+(α9)0·h28+(α9)0·h38+(α9)0·h48+(α9)0·h58+(α9)0·h68，
R17＝(α9)0·h08+(α9)1·h18+(α9)2·h28+(α9)3·h38+(α9)4·h48+(α9)5·h58+(α9)6·h68，
R26＝(α9)0·h08+(α9)2·h18+(α9)4·h28+(α9)6·h38+(α9)8·h48+(α9)10·h58+(α9)12·h68，
R44＝(α9)0·h08+(α9)4·h18+(α9)8·h28+(α9)12·h38+(α9)16·h48+(α9)20·h58+(α9)24·h68，
R53＝(α9)0·h08+(α9)5·h18+(α9)10·h28+(α9)15·h38+(α9)20·h48+(α9)25·h58+(α9)30·h68，
R62＝(α9)0·h08+(α9)6·h18+(α9)12·h28+(α9)18·h38+(α9)24·h48+(α9)30·h58+(α9)36·h68；
最后，基于所有谱分量Ri(0≤i≤62)得到接收多项式r(x)的傅里叶变换R(x)＝R0+R1x+…+R62x62。
步骤2：利用Berlekamp迭代算法求错误位置多项式σ(x)；
步骤3：基于σ(x)计算频域上错误多项式E(x)；
步骤4：计算V(x)＝R(x)-E(x)的傅里叶逆变换输出译码结果。
在本实施例中，首先，按照合并同类项的方法，先将有限域GF(26)按照元素的阶划分子集合，然后按照规律计算下标对应为阶为1、3、7、9、21的元素上标的谱分量；再按照Cooley-Tukey FFT算法计算下标对应为阶为63的元素上标的谱分量。
另外，在计算下标对应为阶为63的元素上标的谱分量时，还可以采用常规傅里叶变换算法(基本傅里叶变换算法)计算，对n＝63点的RS码在采用常规RS码频域译码(采用基本傅里叶变换算法计算各谱分量，简称基本算法)，本发明的合并同类项+常规傅里叶变换算法(方法1)、采用合并同类项+Cooley-Tukey FFT算法(方法2)进行频域译码时，所涉及的计算复杂度(总乘法次数)的比较如下表所示：
n 基本算法 方法1 方法2
63 3969 2560 1000
从上表的结果可看出，n＝63时采用方法2，即合并同类项法与Cooley-Tukey FFT算法相结合的方法，计算复杂度最低，并且比基本傅里叶变换算法计算复杂度降低了约75％。

Claims (4)

1.一种RS码频域快速译码方法，其特征在于，包括下列步骤：
步骤1：计算码长为n的接收多项式r(x)＝r0+r1x+…+rn-1xn-1的傅里叶变换R(x)＝R0+R1x+…+Rn-1xn-1：
根据公式计算有限域GF(qm)中的非零元素{αi|0≤i≤qm-2}的阶p，其中其中gcd(i,n)表示求取最大公约数，α为本原元，且n＝qm-1，并将集合{αi|0≤i≤qm-2}中阶相同的元素划分为一个子集合；
基于合并同类项法计算阶为非n的子集合中各元素所对应的傅里叶分量Ri，其中i∈[0,qm-2]：其中阶系数
基于公式计算阶为n的子集合中各元素所对应的傅里叶分量Rj，其中j∈[0,qm-2]，对Ri、Rj而言，i≠j；
步骤2：计算错误位置多项式σ(x)；
步骤3：基于错误位置多项式σ(x)计算频域上错误多项式E(x)；
步骤4：根据公式V(x)＝R(x)-E(x)计算频域译码V(x)，计算频域译码的逆傅里叶变换，得到译码的码字多项式
2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤1中，基于Cooley-Tukey FFT算法计算阶为n的子集合中各元素所对应的傅里叶分量Rj。
3.如权利要求1所述的方法，其特征在于，当码长n为15或n≥63时，所述步骤1中，基于Cooley-Tukey FFT算法计算阶为n的子集合中各元素所对应的傅里叶分量Rj。
4.如权利要求1、2或3所述的方法，其特征在于，所述步骤4中，采用步骤1相同的傅里叶变换方式计算频域译码V(x)的逆傅里叶变换。
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