CN105160635A - 一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法，在数值约束E_d方面，利用掩模区域内的中值进行数值约束；在梯度约束E_g方面，将基于整数阶微分的梯度约束与基于整数阶微分的边缘约束融合，得到基于分数阶微分的梯度；计算方向直方图时，对每个方向区域采用高斯权重，得到最终的梯度方向描述子，构造方向直方图进行方向约束。本发明的方法以分数阶微分为基础，得出一个较为全面准确的滤波框架，以便更好地实现图像滤波，提高图像滤波的质量。该方法应用于图像补光，图像去噪和对图像锐化，输出图像的信噪比和平均梯度、平均信息熵比传统的滤波框架高。

Description

一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法

技术领域

本发明属于图像处理领域，尤其是图像滤波处理方法，具体涉及一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法。

背景技术

长期以来，研究者希望设计具有滤波效果显著、滤波方法稳定的图像滤波框架，并能够突破传统的图像滤波方法，在滤波同时能够较好的增强图像边缘地区及平坦地区的纹理细节。而图像滤波方法主要分为变换域和空间域两大类，空间域中基于图像梯度的增强算法应用较为广泛。

现在常见的图像滤波方法如下：1、由PRAVINBHAT提出的图像滤波框架通过联系输入图像与导向图像各像素点的映射关系，约束两幅图像对应像素值与像素梯度值的分布；在统一的算法框架内，根据图像拍摄条件改进参数的计算方式，获取优化的图像滤波结果。但是，这种方法在处理对应像素值时直接使用当前像素做差值计算，对像素值的约束并不准确，且在约束梯度分布时忽略了邻域像素对当前像素的影响，图像滤波效果并不显著。

2、随后出现了许多基于该方法的改进算法，而传统的整数阶微分滤波算子诸如Sobel算子(基于一阶微分)、Gauss-Laplace算子(基于二阶微分)，会使图像像素值变化不大的纹理细节信息大幅度的线性衰减，因而这类边缘强化算子对图像平滑区域的纹理细节不能给予较好的处理。

基于变换域的图像滤波算法易产生“振铃”现象，而传统的基于空间域的滤波算法在对图像滤波时仅针对某一特定方向，在构造滤波算法时出发点并不广泛，这容易受到其他图像信息的干扰，影响图像质量。传统的基于空间域的滤波算子在处理图像梯度时采用整数阶微分，对较好的增强图像平滑区域内的纹理细节。现提出的滤波框架对图像信息估计不足，在

构造滤波框架时并没有考虑全面，计算过程中也没有采用分数阶微分保留图像低频轮廓信息。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明提供了一种在图像增强、图像重构等方面都有广泛应用的基于分数阶微分梯度域的图像滤波算法，该方法以分数阶微分为基础，得出一个较为全面准确的滤波框架，以便更好地实现图像滤波，提高图像滤波的质量。

为达到上述目的，本发明的技术方案如下：

一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法，在数值约束E_d方面，利用掩模区域内的中值进行数值约束；在梯度约束E_g方面，将基于整数阶微分的梯度约束与基于整数阶微分的边缘约束融合，得到基于分数阶微分的梯度；计算方向直方图时，对每个方向区域采用高斯权重，得到最终的梯度方向描述子，构造方向直方图进行方向约束，得到的算法表示为(1)：

E(f)＝ΣE_d(p)+E_g(p)+E_h(p)(1)

其中，E_d(P)为改进的数据约束，E_g(P)为基于分数阶微分重构后的梯度约束，E_h(p)为方向约束，E_d(P)，E_g(P)和E_h(p)由式(2)计算得出：

$\{\begin{array}{c}{E}_d\left(p\right)w^d\left(p^{*}\right){\[f\left(p^{*}\right)-d\left(p^{*}\right)\]}^2\\ E_g\left(p\right)=\underset{q\∈N_4\left(p\right)}{\Σ}{w}^g(p,q)\[{\left(f^v\right(p)-f^v(q\left)\right)}^2-{\left(u^v\right(p)-u^v(q\left)\right)}^2\]\\ E_h\left(p\right)=w^d\left(p\right){({\mathrm{\θ}}_p^f-{\mathrm{\θ}}_p^u)}^2\end{array}---\left(2\right)$

其中，p^*为掩模区域内的中值，f^v(p)-f^v(q)与u^v(p)-u^v(q)表示为：对输入图像与导向图像中当前像素与四邻域像素基于分数阶微分进行梯度幅值比较，与分别为输入图像与导向图像当前像素掩模内方向直方图中占比最大的角度，用来对输入图像与导向图像进行梯度方向约束；分别由式(3)得出：

$\left\{\begin{array}{c}{f}^v\left(p\right)f^v\left(q\right)=({\frac{{\∂}^{v_o^i}f(x,y)}{\∂x^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_p^o,v_o^2\}}+{\frac{{\∂}^{v_o^i}f(x,y)}{\∂y^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}})-({\frac{{\∂}^{v_o^i}f(x,y)}{\∂x^{v_o^i}}}_{{}_{\left|\right\{v_p^o,v_p^2\}}}+{\frac{{\∂}^{v_o^i}}{\∂y^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}})\\ u^v\left(p\right)-u^v\left(q\right)=({\frac{{\∂}^{v_o^i}u(x,y)}{\∂x^{v_o^i}}}_{{}_{\left|\right\{v_p^o,v_p^2\}}}+{\frac{{\∂}^{v_o^i}u(x,y)}{\∂y^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}})-({\frac{{\∂}^{v_o^i}u(x,y)}{\∂x^{v_o^i}}}_{{}_{\left|\right\{v_p^o,v_p^2\}}}+{\frac{{\∂}^{v_o^i}u(x,y)}{\∂y^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}})\\ {\mathrm{\θ}}_p={\tan }^{-1}\left(\frac{p_{(x,y+1)}-p_{(x,y-1)}}{p_{(x+1,y)}-p_{(x-1,y)}}\right)\end{array}\right..---\left(3\right)$

本发明的一个较佳实施例中，进一步包括，所述的算法中的分数阶微分是基于Grumwald-Letnikov(G-L)定义提出的，Grumwald-Letnikov的v阶导数表示为式(4)：

$D_t^v{}_{\mathrm{\α}}{}^G={\mathrm{limh}}^{-v}\underset{m=0}{\overset{\[\frac{t-a}{k}\]}{\Σ}}{(-1)}^m\frac{G(v+1)}{m!(v-m+1)!}f(t-mh)---\left(4\right),$

其中，Γ为Gamma函数, $\mathrm{\Γ}\left(n\right)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\∫}}{e}^{-t}{t}^{n-1}dt=(n-1)!.$

本发明的一个较佳实施例中，进一步包括，如果式(4)中的一元信号f(t)的持续时间域为[a,t],将信号持续时间按h＝1等分,得到可以推导出一元信号分数阶微分的差分近似表达式(5)为：

${\frac{d^{v}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^v}}_{G-L}\≈f\left(t\right)+(-v)f(t-1)+\frac{(-v)(-v+1)}{2}f(t-2)+...+\frac{\mathrm{\Γ}(n-v+1)}{(n-1)!\mathrm{\Γ}\left(v\right)!}f(t-n+1)---\left(5\right).$

本发明的一个较佳实施例中，进一步包括，当v的范围为0.5-0.7时，能够保持好的纹理细节特征，为了得到平滑映射，对于像素得出式(6)和(7)的指数模型：

$\begin{array}{c}{\frac{{\∂}^{v_p^i}L(x,y)}{\∂x^{v_p^i}}}_{\left|\right\{v_p^o,v_p^2\}}\≈L(x,y)+(-v_p^i)L(x\±1,y)\\ +\frac{(-v_p^i)(-v_p^i+1)}{2}L(x\±2,y)+\mathrm{...}\\ +\frac{\mathrm{\Γ}(n-v_p^i+1)}{(n-1)!\mathrm{\Γ}(-v_p^i)!}L(x\±(n-1),y)\end{array}---\left(6\right)$

$\begin{array}{c}{\frac{{\∂}^{v_p^i}L(x,y)}{\∂x^{v_p^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}}\≈L(x,y)+(-v_p^i)L(x,y\±1)\\ +\frac{(-v_p^i)(-v_p^i+1)}{2}L(x,y\±2)+\mathrm{...}\\ +\frac{\mathrm{\Γ}(n-v_p^i+1)}{(n-1)!\mathrm{\Γ}(-v_p^i)!}L(x,y\±(n-1\left)\right)\end{array}---\left(7\right)$

其中，表示自适应分数阶微分阶次,±表示基于相对于当前像素点x轴与y轴的正负坐标，其取决于十字区域内的臂长{h_p ⁰,h_p ¹,h_p ²,h_p ³}，如果取臂长的前三项，构建出式(2)中基于分数阶微分的梯度约束E_g中的f^v(p)-f^v(q)及u^v(p)-u^v(q)。

本发明的有益效果是:

其一、本发明的方法以分数阶微分为基础，得出一个较为全面准确的滤波框架，以便更好地实现图像滤波，提高图像滤波的质量。

其二、本发明的方法应用于图像补光，图像去噪和对图像锐化，输出图像的信噪比和平均梯度、平均信息熵比传统的滤波框架高。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例技术中的技术方案，下面将对实施例

技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1当前像素的十字区域。

图2图像补光实验对比图。

图3图像噪声与锐化实验结果对比图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例

传统基于梯度域的图像滤波框架可以表示为：

$E\left(f\right)=\underset{p\∈f}{\Σ}{E}_d\left(p\right)+E_g\left(p\right)+E_e\left(p\right)---\left(a\right)$

其中，输出结果f受导向图像与输入图像之间的数值约束(E_d)，梯度约束(E_g)和边缘约束(E_e)。

E_d，E_g和E_e由以下方式求出：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_d\left(p\right)=w^d\left(p\right){\[f\left(p\right)-d\left(p\right)\]}^2\\ E_g\left(p\right)=w^x\left(p\right){\[f_x\left(p\right)-g^x\left(p\right)\]}^2+w^y\left(p\right){\[f_y\left(p\right)-g^y\left(p\right)\]}^2\\ E_e\left(p\right)=\underset{q\∈N_4\left(p\right)}{\Σ}{w}^e(p,q)\[\left(f\right(p)-u(p\left)\right)-\left(f\right(q)-u(q\left)\right){\]}^2\end{array}\right.---\left(b\right)$

其中w^x,w^y和w^e是对应能量函数的权重，可以是类似高斯距离的形式，d为输入图像f中的每个像素提供数据约束，f_x和f_y表示输入图像x和y方向的导数，g^x和g^y分别为输出图像x方向和y方向的导数,N₄(p)是当前像素p的四邻域像素点。

传统滤波框架在构造数值约束时简单的对导向图像与输入图像对应的当前像素作差，而当前像素并不能准确的反映该处的图像信息；传统滤波框架构造梯度约束时在梯度约束的基础上再计算四邻域的梯度分布，与梯度约束的计算方式重复，并没有较大的突破，且传统滤波框架构造梯度约束时采用整数阶微分算子，而整数阶微分并不能够精确描述像素邻域内的幅值变化特征。

本实施例中公开了一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法，在数值约束E_d方面，利用掩模区域内的中值进行数值约束；在梯度约束E_g方面，将基于整数阶微分的梯度约束与基于整数阶微分的边缘约束融合，得到基于分数阶微分的梯度；计算方向直方图时，对每个方向区域采用高斯权重，得到最终的梯度方向描述子，构造方向直方图进行方向约束，得到的算法表示为(1)：

E(f)＝ΣE_d(p)+E_g(p)+E_h(p)(1)

其中，E_d(P)为改进的数据约束，E_g(P)为基于分数阶微分重构后的梯度约束，E_h(p)为方向约束，E_d(P)，E_g(P)和E_h(p)由式(2)计算得出：

$\{\begin{array}{c}{E}_d\left(p\right)w^d\left(p^{*}\right){\[f\left(p^{*}\right)-d\left(p^{*}\right)\]}^2\\ E_g\left(p\right)=\underset{q\∈N_4\left(p\right)}{\Σ}{w}^g(p,q)\[{\left(f^v\right(p)-f^v(q\left)\right)}^2-{\left(u^v\right(p)-u^v(q\left)\right)}^2\]\\ E_h\left(p\right)=w^d\left(p\right){({\mathrm{\θ}}_p^f-{\mathrm{\θ}}_p^u)}^2\end{array}---\left(2\right)$

其中，p^*为掩模区域内的中值，f^v(p)-f^v(q)与u^v(p)-u^v(q)表示为：对输入图像与导向图像中当前像素与四邻域像素基于分数阶微分进行梯度幅值比较，与分别为输入图像与导向图像当前像素掩模内方向直方图中占比最大的角度，用来对输入图像与导向图像进行梯度方向约束；分别由式(3)得出：

$\left\{\begin{array}{c}{f}^v\left(p\right)f^v\left(q\right)=({\frac{{\∂}^{v_o^i}f(x,y)}{\∂x^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_p^o,v_o^2\}}+{\frac{{\∂}^{v_o^i}f(x,y)}{\∂y^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}})-({\frac{{\∂}^{v_o^i}f(x,y)}{\∂x^{v_o^i}}}_{{}_{\left|\right\{v_p^o,v_p^2\}}}+{\frac{{\∂}^{v_o^i}}{\∂y^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}})\\ u^v\left(p\right)-u^v\left(q\right)=({\frac{{\∂}^{v_o^i}u(x,y)}{\∂x^{v_o^i}}}_{{}_{\left|\right\{v_p^o,v_p^2\}}}+{\frac{{\∂}^{v_o^i}u(x,y)}{\∂y^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}})-({\frac{{\∂}^{v_o^i}u(x,y)}{\∂x^{v_o^i}}}_{{}_{\left|\right\{v_p^o,v_p^2\}}}+{\frac{{\∂}^{v_o^i}u(x,y)}{\∂y^{v_o^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}})\\ {\mathrm{\θ}}_p={\tan }^{-1}\left(\frac{p_{(x,y+1)}-p_{(x,y-1)}}{p_{(x+1,y)}-p_{(x-1,y)}}\right)\end{array}\right..---\left(3\right)$

本实施例中所述的算法中的分数阶微分是基于Grumwald-Letnikov(G-L)定义提出的，Grumwald-Letnikov的v阶导数表示为式(4)：

${}_{\mathrm{\α}}^G{D}_t^v={\mathrm{limh}}^{-v}\underset{m=0}{\overset{\[\frac{t-a}{k}\]}{\Σ}}{(-1)}^m\frac{G(v+1)}{m!(v-m+1)!}f(t-mh)---\left(4\right),$

其中，Γ为Gamma函数, $\mathrm{\Γ}\left(n\right)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\∫}}{e}^{-t}{t}^{n-1}dt=(n-1)!.$

如果式(4)中的一元信号f(t)的持续时间域为[a,t],将信号持续时间按h＝1等分,得到可以推导出一元信号分数阶微分的差分近似表达式(5)为：

${\frac{d^{v}f\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^v}}_{G-L}\≈f\left(t\right)+(-v)f(t-1)+\frac{(-v)(-v+1)}{2}f(t-2)+...+\frac{\mathrm{\Γ}(n-v+1)}{(n-1)!\mathrm{\Γ}\left(v\right)!}f(t-n+1)---\left(5\right).$

本实施例中的算法在将Grumwald-Letnikov的_v阶导数引入二维图像的基础上，对图像内的每个像素采取自适应计算分数阶微分的阶次，因为若对输入图像才用相同的分数阶微分阶次，显然会产生误差。如图1所示，选出当前像素的自适应十字区域。

通常v的范围为0.5-0.7时，能够保持好的纹理细节特征，为了得到平滑映射，对于像素得出式(6)和(7)的指数模型：

$\begin{array}{c}{\frac{{\∂}^{v_p^i}L(x,y)}{\∂x^{v_p^i}}}_{\left|\right\{v_p^o,v_p^2\}}\≈L(x,y)+(-v_p^i)L(x\±1,y)\\ +\frac{(-v_p^i)(-v_p^i+1)}{2}L(x\±2,y)+\mathrm{...}\\ +\frac{\mathrm{\Γ}(n-v_p^i+1)}{(n-1)!\mathrm{\Γ}(-v_p^i)!}L(x\±(n-1),y)\end{array}---\left(6\right)$

$\begin{array}{c}{\frac{{\∂}^{v_p^i}L(x,y)}{\∂x^{v_p^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}}\≈L(x,y)+(-v_p^i)L(x,y\±1)\\ +\frac{(-v_p^i)(-v_p^i+1)}{2}L(x,y\±2)+\mathrm{...}\\ +\frac{\mathrm{\Γ}(n-v_p^i+1)}{(n-1)!\mathrm{\Γ}(-v_p^i)!}L(x,y\±(n-1\left)\right)\end{array}---\left(7\right)$

其中，表示自适应分数阶微分阶次,±表示基于相对于当前像素点x轴与y轴的正负坐标，其取决于十字区域内的臂长{h_p ⁰,h_p ¹,h_p ²,h_p ³}，如果取臂长的前三项，构建出式(2)中基于分数阶微分的梯度约束E_g中的f^v(p)-f^v(q)及u^v(p)-u^v(q)。

本发明的方法应用于图像补光，图像去噪和对图像锐化，输出图像的信噪比和平均梯度、平均信息熵比传统的滤波框架高。

具体分析如下：

1、图像补光

在给定角度下为图像自适应增添光照效果，并尽可能使其自然显示，也是近年来图像处理的热门应用，同时，光照影响也能反映图像算法是否

稳定。因此，为检验本发明算法的鲁棒性，为输出图像添加由右上角照射的光线，并比较传统算法与本发明算法的补光效果，图2给出了实验对比结果。

传统滤波框架通过数据约束使输入图像尽可能与点亮图像保持一致，通过梯度约束自适应改变梯度大小，使点亮效果顺应光照方向。本发明算法通过中值约束，使输入图像更贴切点亮图像，在梯度约束，改进了方向直方图的约束，使点亮方向更准确，图2实验结果所示，光照偏右上方入射，本发明算法输入图像在接受光强最亮的右上方较传统方法视觉效果更亮些，而接受不到光照的左下方，本发明算法输入图像显示更暗，图像视觉效果更合理。

2、图像噪声与锐化

为说明本文算法的有效性，在本实施例中添加10％的校验噪声，由于外界环境或其他因素的限制，输入图像的部分轮廓无法清楚显示，后续的图像处理带来一定的困难。因此，此处给出了有光照下和无光照下的实验图像，基于本文算法图像去噪和图像锐化的结果，如图3和表1、2、3所示。

表1传统算法与本文算法输出图像AG值对比

表2传统算法与本文算法输出图像AE值对比

表3传统算法与本文算法输出图像PSNR值对比

由图3可以看出，提出算法输出图像中人物面部的噪声点明显减少，这是由于提出算法将传统算法数值约束的原始像素作差改进为中值作差，数据约束中的中值在处理噪声图像时起到了显著的作用。表3数据证明，提出算法较传统算法在去除图像噪声方面有很大改善。由于本文算法在融合梯度约束的基础上进行了方向直方图的约束，并且构造方向直方图时联合高斯权重因子，因此基于本文算法的滤波框架能够更准确的描绘图像纹理。图3及表1-2反映出，改进的滤波框架算法较传统算法，在两种光照强度下本文算法输出图像的轮廓均更细致，平均梯度值与平均信息熵较传统算法也有明显改善。

对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本发明。对这些实施例的多种修改对本领域的专业技术人员来说将是显而易见的，本发明中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本发明所示的这些实施例，而是要符合与本发明所公开的原理和新颖特点相一致的最宽的范围。

Claims (4)

1.一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法，其特征在于，在数值约束E_d方面，利用掩模区域内的中值进行数值约束；在梯度约束E_g方面，将基于整数阶微分的梯度约束与基于整数阶微分的边缘约束融合，得到基于分数阶微分的梯度；计算方向直方图时，对每个方向区域采用高斯权重，得到最终的梯度方向描述子，构造方向直方图进行方向约束，得到的算法表示为(1)：

E(f)＝ΣE_d(p)+E_g(p)+E_h(p)(1)

其中，E_d(P)为改进的数据约束，E_g(P)为基于分数阶微分重构后的梯度约束，E_h(p)为方向约束，E_d(P)，E_g(P)和E_h(p)由式(2)计算得出：

其中，p^*为掩模区域内的中值，f^v(p)-f^v(q)与u^v(p)-u^v(q)表示为：对输入图像与导向图像中当前像素与四邻域像素基于分数阶微分进行梯度幅值比较，与分别为输入图像与导向图像当前像素掩模内方向直方图中占比最大的角度，用来对输入图像与导向图像进行梯度方向约束；分别由式(3)得出：

2.根据权利要求1所述的一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法，其特征在于，所述的算法中的分数阶微分是基于Grumwald-Letnikov(G-L)定义提出的，Grumwald-Letnikov的v阶导数表示为式(4)：

$D_t^v{}_{\mathrm{\α}}{}^G=\stackrel{}{\lim }{h}^{-v}\underset{m=0}{\overset{\[\frac{t-a}{k}\]}{\Σ}}{(-1)}^m\frac{G(v+1)}{m!(v-m+1)!}f(t-mh)---\left(4\right),$

其中，Γ为Gamma函数, $\mathrm{\Γ}\left(n\right)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\∫}}{e}^{-t}{t}^{n-1}dt=(n-1)!.$

3.根据权利要求2所述的一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法，其特征在于，如果式(4)中的一元信号f(t)的持续时间域为[a,t],将信号持续时间按h＝1等分,得到可以推导出一元信号分数阶微分的差分近似表达式(5)为：

${\frac{d^{v}f\left(t\right)}{d{t}^v}}_{G-L}\≈f\left(t\right)+(-v)f(t-1)+\frac{(-v)(-v+1)}{2}f(t-2)+...+\frac{\mathrm{\Γ}(n-v+1)}{(n-1)!\mathrm{\Γ}\left(v\right)!}f(t-n+1)---\left(5\right).$

4.根据权利要求3所述的一种基于分数阶微分估计梯度域的图像滤波方法，其特征在于，当v的范围为0.5-0.7时，能够保持好的纹理细节特征，为了得到平滑映射，对于像素得出式(6)和(7)的指数模型：

$\begin{array}{c}{\frac{{\∂}^{v_p^i}L(x,y)}{\∂x^{v_p^i}}}_{\left|\right\{v_p^o,v_p^2\}}\≈L(x,y)+(-v_p^i)L(x\±1,y)\\ +\frac{(-v_p^i)(-v_p^i+1)}{2}L(x\±2,y)+\mathrm{...}\\ +\frac{\mathrm{\Γ}(n-v_p^i+1)}{(n-1)!\mathrm{\Γ}(-v_p^i)!}L(x\±(n-1),y)\end{array}---\left(6\right)$

$\begin{array}{c}{\frac{{\∂}^{v_p^i}L(x,y)}{\∂y^{v_p^i}}}_{\left|\right\{v_1,v_3\}}\≈L(x,y)+(-v_p^i)L(x,y\±1)\\ +\frac{(-v_p^i)(-v_p^i+1)}{2}L(x,y\±2)+\mathrm{...}\\ +\frac{\mathrm{\Γ}(n-v_p^i+1)}{(n-1)!\mathrm{\Γ}(-v_p^i)!}L(x,y\±(n-1\left)\right)\end{array}---\left(7\right)$

其中，表示自适应分数阶微分阶次,±表示基于相对于当前像素点x轴与y轴的正负坐标，其取决于十字区域内的臂长{h_p ⁰,h_p ¹,h_p ²,h_p ³}，如果取臂长的前三项，构建出式(2)中基于分数阶微分的梯度约束E_g中的f^v(p)-f^v(q)及u^v(p)-u^v(q)。