CN105138781B - 一种半导体器件的数值模拟数据处理方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种半导体器件的数值模拟数据处理方法，其特征在于，基本步骤包括：1、建立半导体器件数值模拟全隐式方法中的大型线性方程组，并分裂系数矩阵A＝[aij]为非负矩阵A+和负矩阵A‑；2、分裂非负矩阵A+为简单矩阵A1，对称矩阵A2，非对称矩阵A3；3、建立简单矩阵A1的稀疏子矩阵T1；4、建立对称矩阵A2及非对称A3的稀疏子矩阵T23；5、建立非负矩阵A+的稀疏子矩阵M+；6、重复步骤2‑5建立对应非负矩阵‑A‑的稀疏子矩阵M‑；7、建立预处理矩阵M的非对角子阵M′；8、建立预处理矩阵M的对角子阵M"，预处理矩阵M＝M′+M"。本发明建立大型线性方程组的预处理技术，使得其对应方程组的计算量小、精度高和仿真稳定性好，从而使半导体器件的数值模拟全隐式方法能够满足工业应用的需求。
Description
技术领域
本发明涉及微电子与半导体技术领域，特别是涉及一种半导体器件的数值模拟数据处理方法。
背景技术
电子工业的快速发展使得对半导体器件性能的要求越来越高，从而用数值模拟方法优化器件结构成了急需解决的问题。半导体器件的数值模拟，是分析半导体器件性能的重要工具。
半导体器件的数值模拟方法主要有以蒙特卡罗法(Monte Cralo)为代表的基于粒子的方法和基于连续介质的方法。前者直接求解半导体Boltzmann输运方程，存在计算开销巨大、计算结果的统计离散程度大及多次求解结果误差大，无法满足工业应用中器件模拟需求；后者使用Boltzmann输运方程的低阶矩方程，适当省略高阶展开项，从而得到一系列从简单到复杂的力学仿真方法，包括漂移-扩散仿真方法和流体动力学仿真方法。后者简化仿真方法较前者明显降低了计算量，使得半导体器件数值模拟的工业应用成为可能。
漂移-扩散仿真方法广泛用于半导体器件的数值模拟。采用该方法的商业软件，一般被称为Technology Computer-Aided Design(TCAD)软件。该方法的核心是利用数值方法求解如下的肖克利(Shockley)半导体方程组：
上述方程组中的三个方程分别为：电子连续性方程(1a)，空穴连续性方程(1b)及静电学泊松方程(1c)。其中，为静电势；n为电子密度，p为空穴密度；为电子电流密度，为空穴电流密度；ND为半导体中施主掺杂浓度，NA为半导体受主掺杂浓度；μn和μp为电子与空穴的迁移率，Dn和Dp分别为电子与空穴的扩散系数；R为载流子复合率，G为载流子生成率；ε为介电常数；q0为单位电荷；为Nabla算符；t为离散时间网格点。
对方程组(1)的数值解题方法通常有全隐式、显式和半隐式等，这些方法的优缺点在于：
A)全隐式(Fully Implicit)方法
采用全隐式方法求解的优点：无条件稳定的，及对时间步长限制；缺点：每一个时间步，均需要求解大型线性方程组，每一步计算量大。对于有数十万乃至数百万变量的大规模半导体器件数值模拟问题，该方法的时间开销随变量数量增长较快，并行加速性能较差，不具有实用性。
B)显式(Explicit)方法
用显式方法求解方程组(1)不需要求解线性方程组。因此，在显式方法的计算中，每个时间步的开销很小。但是，为了保证显式方法的稳定性，必须采用较小的时间步长。对于金氧半场效晶体管(Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor,MOSFET)等包含高载流子浓度(超过1×10-20cm-3)区域的半导体器件，满足稳定性条件的时间步长非常小，这导致总的计算开销更大，甚至经常高于全隐式方法。
C)半隐式(Half-Implicit)方法
半隐式时间离散格式可以平衡全隐式方法和显式方法的优缺点，在每一步计算量不大的情况下获得较大的时间步长，以降低总体的计算量。用于半导体器件方程的半隐式方法，最初由M.S.Mock在1981年提出，并由B.S.Polsky等人在1986年加以改进。Mock方法，根据文献报道，当时间趋于无穷，方程(1)的恒稳态解，与求解所选取的时间步长相关，与更精确的隐式方法解得的结果有一定的偏差。另外，实验证明，在利用Polsky方法对半导体器件进行数值模拟时，会出现非物理的电子空穴分离现象，特别是在对CMOS(ComplementaryMetal Oxide Semiconductor)电路进行数值仿真时，相比全隐式方法，Polsky方法通常会低估晶体管的开启速度，导致仿真误差。
现有的半导体器件数值模拟方法，全隐式方法和显式方法在求解方程组(1)的计算开销大，而半隐式方法存在计算误差，不能满足工业使用的需求。对于全隐式方法，其计算开销主要为求解如下大型线性方程组：
Ax＝b， (2)
其中，A∈Rn×n为线性方程组的n阶系数矩阵，x为半导体器件的变量，b方程组的右端项。半导体器件的数值模拟的全隐式方法，实际为上述线性方程组的求解过程。目前，线性方程组的求解方法大致分为两类：直接法与迭代法。当系数矩阵A的阶数n较小时，常用直接法求解方程组。但当矩阵A为大型稀疏矩阵，直接法通常会需要很大的内存及很长的时间。此时，迭代法对计算的内存开销远小于直接法，故常被用于求解大型稀疏线性方程组。
迭代法一般分为两类：基于矩阵分裂的经典迭代法，如Jacobi、SOR和高斯-赛德尔等；基于投影思想的Krylov子空间迭代法，如CG、GMRES、MINRES等。Krylov迭代法是目前公认求解大型线性组最有效的方法，但对于某些病态方程组，直接使用Krylov子空间迭代法会导致解收敛速度慢，甚至不收敛。对于此类情况，采用预处理技术将上述线性方程组(2)转化为如下的方程组：
M-1Ax＝M-1b， (3)
其中M为迭代法的预条件子。由于线性方程组解的收敛速度都依赖系数矩阵A的特征分布，故若预条件子M使得矩阵M-1A的条件数更小或特征值更集中，则迭代速度更快。对于非对称问题，集中的特征值分布会提高GMRES方法的迭代收敛速度。
预条件子的研究是一项非常有挑战的工作，当线性方程组为对称问题时，即系数矩阵A为正定的对称对角块矩阵时，P.M.Vaidya，“Solving Linear Equations withSymmetric Diagonally Dominant Matrices by Constructing Good Preconditioners”，1991提出的基于最大生成树的预处理方法，能够有效的加速矩阵解的收敛速度。该方法的两个关键的工作为i)：建立对应对称矩阵A无向图的最大生成树T；ii)：实现T的子划分Ti，并向树T添加Ti间最大的权重边。M.Bern和S.Toledo，“Support-graph preconditioners”，2006证明Vaidya方法建立的预条件子有效的降低了求解方程组的条件数，并明确指出，该方法在当时只针对对称问题研究。对于大型非对称线性方程组问题，目前迭代方法，主要采用不完全分解的预处理技术，如ICC、ILU，但对于某些病态问题，不完全分解的预处理技术常常导致解不收敛。
综上所述，现有的半导体器件数值模拟方法，即方程组(2)的数值解法，不能满足现有的工业应用需求。全隐式方法求解是无条件稳定的，但存在求解大型线性方程组开销大的缺点。现有的大型线性方程组的预处理迭代方法，对于求解半导体数值模拟的线性方程组并不适用，有必要进一步改进。
发明内容
本发明的目的是为克服现有技术所存在的不足而提出一种半导体器件的数值模拟数据处理方法，本发明运用半导体器件数值模拟全隐式方法中的大型线性方程组的预处理技术，使得其对应方程组的计算量小、精度高和仿真稳定性好，从而使半导体器件的数值模拟全隐式方法能够满足工业应用的需求。
本发明提出的一种半导体器件的数值模拟数据处理方法，基本步骤如下：
步骤1，建立半导体器件数值模拟全隐式方法中的大型线性方程组，并分裂系数矩阵A＝[aij]为非负矩阵A+和负矩阵A-；
步骤2，分裂非负矩阵A+为简单矩阵A1，对称矩阵A2，非对称矩阵A3；
步骤3，建立简单矩阵A1的稀疏子矩阵T1；
步骤4，建立对称矩阵A2及非对称A3的稀疏子矩阵T23；
步骤5，建立非负矩阵A+的稀疏子矩阵M+；
步骤6，重复步骤2-5建立对应非负矩阵-A-的稀疏子矩阵M-；
步骤7，建立预处理矩阵M的非对角子阵M′；
步骤8，建立预处理矩阵M的对角子阵M"，预处理矩阵M＝M′+M"。
本发明提出的一种半导体器件的数值模拟数据处理方法的进一步的优选技术方案是：
步骤1所述建立全隐式数值方法的大型线性方程组，并将系数阵分裂为两个子阵A+及A-，其中A+的非零元为矩阵A中的正非零元且是非对角元，A-的非零元为矩阵A中的负非零元且是非对角元，即矩阵A的非对角非零元aij＞0，则否则，此时矩阵A+及A-的对角元都为0，这种选择不会影响建立相应的稀疏子图。
步骤2所述简单矩阵A1及A3的任意非零元的对称位置都为零元，且矩阵A2+A3的任意非零元的对称位置必为非零元。其具体步骤如下：
步骤2-1，初始化矩阵
步骤2-2，若矩阵A+的非零元且其对称位置则
步骤2-3，若矩阵A+的非零元则 否则，
步骤3所述简单矩阵A1对应有向图G1，选择有向图的生成子图G′1，满足条件则图G′1的邻接矩阵A的稀疏子阵T1。其中，wij为有向边eij的权重，xi为相应节点的参数。其具体步骤如下：
步骤3-1，计算矩阵A1的行和Vsum；
步骤3-2，建立简单矩阵A1的最大生成树的关联矩阵T′1＝[t′ij]，为矩阵对应无向图的最大生成树的关联矩阵；
步骤3-3，初始化矩阵若且t′ij≠0，则
步骤3-4，对矩阵A1的第k行，若此行元素非零，且∑T1(k，：)＜σVsum(k)，选择A1(k，：)-T1(k，：)中最大的非零元则步骤3-4；否则，步骤3-5；
步骤3-5，k遍历简单矩阵A1的所有非零行，建立矩阵A1的稀疏子阵T1；否则，重复步骤3-4。
上述步骤3-3保证T1对应的有向图G为生成子图；步骤3-4使得条件成立。
步骤4所述建立的稀疏子阵T23对应的有向图G′23为对应矩阵A2+A3有向图G23的生成子图。其具体步骤如下：
步骤4-1，建立对称矩阵A2的最大生成树关联矩阵T2，为矩阵对应无向图的最大生成树的关联矩阵；
步骤4-2，建立非对称矩阵A3的最大生成树关联矩阵T3，为矩阵对应无向图的最大生成树的关联矩阵；
步骤4-3，T＝T2+T3，初始化T′＝[t′ij]，若tij≠0，则
步骤4-4，初始化T"＝[t"ij]，若存在则
步骤4-5，建立稀疏子阵T23＝T′+T"。
上述步骤4-3保证T23为矩阵A2+A3对应的有向图的生成子图。步骤4-3与步骤3-4为两种不同的方式获得相应的稀疏子图。
步骤5所述非负矩阵A+的预处理矩阵为M+＝T1+T23。
步骤6所述负矩阵A-，-A-为非负矩阵，重复步骤2-5，建立对应的稀疏子阵M-。
步骤7所述建立预处理矩阵的非对角元子阵M′＝M+-M-。
步骤8所述建立预处理矩阵的对角子阵M"，使得预处理矩阵M的行和与原始矩阵相同，预处理矩阵M＝M′+M"。
本发明的实现原理与途径是：为解决目前半导体器件数值模拟问题，有必要针对全隐式求解方法的缺点，提出一种大型线性方程组的预处理方法，使全隐式方法能够满足工业应用的需求。全隐式方法每一个时间步，均需要求解大型线性方程组。该线性方程组的系数矩阵存在主对角占优，及极端稀疏的性质。建立该大型线性方程组的预处理技术，从而实现减少GMRES迭代法的计算量及加速解的收敛目的。基于这一实现原理的实现途径是：首先，建立半导体数值模拟全隐式方法的大型线性方程组，将其系数矩阵A的非对角元子阵分裂为非负矩阵A+及负矩阵A-；其次，分裂的子阵对应有向图G，则可建立该分裂子阵的一个稀疏子阵，使得该稀疏子阵对应的有向图G′为有向图G的生成子图。分别建立对应矩阵A+及A-的稀疏子阵M+及M-；最后，通过保持预条件子矩阵M的行和与矩阵A的行和一致，建立该方程组的预条件子。其中:矩阵的子阵及稀疏子阵分别指该矩阵存在对应矩阵的绝大数非零元，且矩阵的阶数与原矩阵相同；对应分裂子阵A+的稀疏子阵过程为其对应有向图的稀疏化过程，需要对该分裂子阵的再次分裂，获得简单矩阵A1、对称矩阵A2及非对称矩阵A3；分别选择Ai，建立其对应无向图的最大生成树，并选择其它的最大权重边，获得其生成子图G′i。为对应矩阵A+的生成子图，则其对应的邻接矩阵为对应A+的稀疏子阵。由于-A-为非负矩阵，则采用上述方法，可建立-A-的稀疏子阵M-。
本发明与现有技术相比其显著优点在于：
一是本发明通过建立大型线性方程组的预条件子方法，使得全隐式方法中大型线性方程组的求解计算量小，解的速度收敛快。
二是半导体数值模拟问题的求解计算量小、求解精度高和仿真稳定性好。
三是本发明的大型线性方程组的预条件子方法是基于Vaidya方法提出来的，本发明提出的预处理技术可针对系数矩阵为非对称的，适用于矩阵为稀疏的主对角占优矩阵线性方程组。
附图说明
图1为本发明的半导体器件数值模拟的大型线性方程组的预处理方法流程示意图。
图2为本发明建立预条件子的矩阵操作变化的示意图。
图3为本发明实施例的半导体器件模型的示意图。
图4包括图4-1和图4-2，为本发明实施例的半导体器件模型的大型线性方程组系数矩阵及其预条件子的稀疏的示意图；其中：图4-1为原系数方程非零元示意图；图4-2为预处理矩阵非零元示意图；nz为矩阵非零元个数。
具体实施方式
以下结合附图和实施例对本发明具体实施方式作进一步的详细说明。
下面以本发明提出的一种半导体器件的数值模拟数据处理方法，建立全隐式方法中大型线性方程组的预条件子为具体实施例。
本发明提出的半导体器件数值模拟的大型线性方程组的预处理方法的流程示意图如图1所示。
本发明提出的建立预条件子的矩阵操作变化的示意图如图2所示。
首先在简单的非对称线性方程组上进行了验证本发明中的预处理技术，下面给出简单的非对称线性方程组的具体实施例。非对称线性方程组如下：
该线性方程组的预处理技术方案包括以下步骤:
步骤1，分裂系数矩阵A＝[aij]为非负矩阵A+和负矩阵A-；
步骤2，分裂非负矩阵A+为简单矩阵A1，对称矩阵A2，非对称矩阵A3；
步骤3，建立简单矩阵A1的稀疏子矩阵T1；
步骤4，建立对称矩阵A2及非对称A3的稀疏子矩阵T23；
步骤5，建立非负矩阵A+的稀疏子矩阵M+；
步骤6，重复步骤2-5建立对应非负矩阵-A-的稀疏子矩阵M-；
步骤7，建立预处理矩阵M的非对角子阵M′；
步骤8，建立预处理矩阵M的对角子阵M"，预处理矩阵M＝M′+M"。
在上述步骤1中，负矩阵A-仅存在两个非零元，非负矩阵A+具体形式如下：
步骤2，对非负矩阵进行再次分裂，简单矩阵A1仅存在两个非零元，
非对称矩阵A3存在9个非零元
对称矩阵A2＝A+-A1-A3。
步骤3中，简单矩阵A1的稀疏子阵T1＝A1。
步骤4中，对称矩阵A2及非对称A3的稀疏子矩阵T23的具体形式如下：
步骤5中，非负矩阵A+的稀疏子矩阵M+＝T1+T23。
步骤6中，非负矩阵-A-的稀疏子矩阵M-＝-A-。
步骤7中，矩阵A的预处理矩阵M的非对角子阵M′＝M+-M-。
步骤8中，预处理矩阵如下:
对上述简单算例采用GMRES迭代法，不考虑预条件子的迭代次数为9，考虑预条件子的迭代次数为6；此时系数方程M-1A的特征根更为集中，加速了解的收敛速度。
本发明针对某半导体器件的优化结构设计如图3所示，该模型网格节点数为159422，即此半导体模型对应的线性方程组的系数方程为159422阶矩阵；该系数矩阵的非零元个数为2409802，为大型稀疏矩阵。依据本发明的预处理技术，步骤1分裂得到含1975142非零元的非负矩阵A+，及含62109个非零元的负矩阵A-；对非负矩阵，步骤2中得到的矩阵A1,A2,A3的非零元个数分别为257334、1717808、858904；步骤3中A1稀疏子阵的非零元规模减少至62193，即有向图的有向边数目减少至62193；步骤4，稀疏子阵T23将非零元的规模降至446245；步骤5，A+的稀疏子阵为M+＝T1+T23；步骤6，建立负矩阵的稀疏子阵M-；步骤7，建立预条件子的非对角子阵M′；步骤8，建立该模型对应方程组的预条件子M，该预条件子的非零元个数为726107，不足原矩阵A的30％，系数矩阵A非零元稀疏示意图如图4-1所示，及预条件子M的矩阵非零元稀疏示意图如图4-2所示。
在全隐式数值计算法中，该预条件子有效的减少了计算量。对此方程组采用GMRES迭代法，分别选择本发明的预条件子及ILU预处理技术，其迭代次数分别为43及228，本发明的预处理技术加速解的收敛速度；且由于需LU分解矩阵的规模远小于矩阵，故能够有效的减少内存开销。本发明的预处理技术，使得全隐式的数值方法能够满足半导体器件数值模拟的工业应用需求。
综上所述，具体实施例验证了本发明的预处理技术对于半导体模型数值模拟全隐式方法的大型线性方程组的有效性。
本发明的具体实施方式中凡未涉到的说明属于本领域的公知技术，可参考公知技术加以实施。
以上具体实施方式及实施例是对本发明提出的一种半导体器件的数值模拟数据处理方法技术思想的具体支持，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在本技术方案基础上所做的任何等同变化或等效的改动，均仍属于本发明技术方案保护的范围。。
Claims (9)
1.一种半导体器件的数值模拟数据处理方法，其特征在于，建立大型线性方程组的预处理矩阵M，基本步骤包括如下：
步骤1，建立半导体器件数值模拟全隐式方法中的大型线性方程组，并分裂系数矩阵A＝[aij]为非负矩阵A+和负矩阵A-；
步骤2，分裂非负矩阵A+为简单矩阵A1，对称矩阵A2，非对称矩阵A3；
步骤3，建立简单矩阵A1的稀疏子矩阵T1；
步骤4，建立对称矩阵A2及非对称A3的稀疏子矩阵T23；
步骤5，建立非负矩阵A+的稀疏子矩阵M+；
步骤6，重复步骤2-5建立对应矩阵-A-的稀疏子矩阵M-；
步骤7，建立预处理矩阵M的非对角子阵M′；
步骤8，建立预处理矩阵M的对角子阵M″，预处理矩阵M＝M′+M″。
2.根据权利要求1所述的一种半导体器件数值模拟数据处理方法，其特征在于，步骤1所述建立全隐式数值方法的大型线性方程组Ax＝b，并将系数阵分裂为两个子阵A+及A-，其中A+的非零元为矩阵A中的正非零元且是非对角元，A-的非零元为矩阵A中的负非零元且是非对角元，即矩阵A的非对角非零元αij＞0，则否则，此时矩阵A+及A-的对角元都为0。
3.根据权利要求2所述的一种半导体器件数值模拟数据处理方法，其特征在于，步骤2所述简单矩阵A1及A3的任意非零元的对称位置都为零元，且矩阵A2+A3的任意非零元的对称位置必为非零元；其具体步骤如下：
步骤2-1，初始化矩阵
步骤2-2，若矩阵A+的非零元且其对称位置则
步骤2-3，若矩阵A+的非零元则 否则，
4.根据权利要求3所述的一种半导体器件数值模拟数据处理方法，其特征在于，步骤3所述简单矩阵A1对应有向图G1，选择有向图的生成子图G′1，满足条件则图G′1的邻接矩阵A的稀疏子阵T1；其中wij为有向边eij的权重，xi为相应节点的参数；其具体步骤如下：
步骤3-1，计算矩阵A1的行和Vsum；
步骤3-2，建立简单矩阵A1的最大生成树的关联矩阵T′1＝[t′ij]，为矩阵对应无向图的最大生成树的关联矩阵；
步骤3-3，初始化矩阵若且t′ij≠0，则
步骤3-4，对矩阵A1的第k行，若此行元素非零，且∑T1(k，：)＜σVsum(k)，选择A1(k，：)-T1(k，：)中最大的非零元则否则，步骤3-5；
步骤3-5，k遍历简单矩阵A1的所有非零行，建立矩阵A1的稀疏子阵T1；否则，重复步骤3-4。
5.根据权利要求4所述的一种半导体器件数值模拟数据处理方法，其特征在于，步骤4所述建立的稀疏子阵T23对应的有向图G′23为对应矩阵A2+A3有向图G23的生成子图；其具体步骤如下：
步骤4-1，建立对称矩阵A2的最大生成树关联矩阵T2，为矩阵对应无向图的最大生成树的关联矩阵；
步骤4-2，建立非对称矩阵A3的最大生成树关联矩阵T3，为矩阵对应无向图的最大生成树的关联矩阵；
步骤4-3，T＝T2+T3，初始化T′＝[t′ij]，若tij≠0，则
步骤4-4，初始化T″＝[t″ij]，若存在其中t′ik为T′第i行元素最大值，则
步骤4-5，建立稀疏子阵T23＝T＇+T＂。
6.根据权利要求5所述的一种半导体器件数值模拟数据处理方法，其特征在于，步骤5所述建立非负矩阵A+的预处理矩阵为M+＝T1+T23。
7.根据权利要求6所述的一种半导体器件数值模拟数据处理方法，其特征在于，步骤6所述对于负矩阵A-，矩阵-A-的元素非负，则重复步骤2-5，即可建立对应的稀疏子阵M-。
8.根据权利要求7所述的一种半导体器件数值模拟数据处理方法，其特征在于，步骤7所述建立矩阵的预处理矩阵的非对角子阵，是指M′＝M+-M-。
9.根据权利要求8所述的一种半导体器件数值模拟数据处理方法，其特征在于，步骤8所述建立预处理矩阵的对角子阵M″，使得预处理矩阵M的行和与原始矩阵相同，预处理矩阵M＝M′+M″。
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| 半导体器件模拟线性方程组求解算法研究;陈震 等;《计算机应用与软件》;20030212;全文 * |
| 求解半导体器件流体力学模型的新方法;刘战 等;《半导体学报》;20080831;第29卷(第8期);全文 * |
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