CN105116411B - 一种适用于距离徙动算法的两维自聚焦方法 - Google Patents

一种适用于距离徙动算法的两维自聚焦方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种适用于距离徙动算法的两维自聚焦方法，首先对距离徙动算法处理得到图像进行方位相位误差估计，然后通过本发明提出的公式(1)计算两维相位误差；再次对距离徙动算法处理图像在两维空间频率域补偿上一步得到的两维相位误差；最后再对经过校正的两维数据做两维逆傅里叶变换即可以得到经过重聚焦后的图像。本发明利用两维相位误差的解析结构，将两维相位误差的估计问题转化为残留方位相位误差一维误差的估计，也就是说本发明两维自聚焦方法只需直接估计方位相位误差，而SAR图像中残留的两维相位误差可以利用相位误差内部特有的解析结构由估计得到的方位相位误差直接计算得到。

Description

一种适用于距离徙动算法的两维自聚焦方法
技术领域
本发明涉及一种合成孔径雷达成像信号处理方法，特别是涉及一种合成孔径雷达两维自聚焦方法。
背景技术
合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar,简称SAR)是通过信号处理技术对地面景物进行成像的一种新体制雷达，它的出现极大地扩展了原有的雷达概念，使雷达具有了对目标(如地面、坦克、装甲车辆等)进行成像和识别的能力，能够为人们提供越来越多的有用信息。SAR对目标的成像通过距离和方位两维高分辨实现，其中距离向高分辨率通过对宽带信号进行脉冲压缩处理得到，而方位高分辨率则通过对合成孔径数据进行相干处理实现，这种相干处理依赖于精确获知雷达和目标之间的瞬时相对位置信息。实际应用中，受雷达位置扰动和电磁波传播介质不均匀等因素影响，这种相干性往往很难直接得到保证。目前采取的主要措施是增加辅助的运动测量单元(典型地如惯性测量单元和全球定位系统)来测量获取雷达位置信息，而忽略传播介质不均匀的影响。然而，随着成像分辨率的提高，运动测量单元提供的位置信息精度可能仍然无法满足相干性要求，而且，传播介质不均匀导致的雷达回波延迟误差效应也变得不可忽略。因此有必要研究从雷达回波数据中提取并补偿误差的办法，即自聚焦方法。
回波的延迟误差对SAR信号有两个方面的影响，一是会在方位向引入一个相位误差，导致图像发生方位散焦，另外就是会产生额外的距离徙动，在SAR成像过程中无法得到补偿，而且经过成像算法处理后，残留距离徙动效应还会导致图像距离向出现二次散焦，因此SAR信号相位误差本质上是一种两维误差。当延迟误差较小，产生的额外距离徙动小于一个距离分辨单元时，这时残留距离徙动效应可以忽略不计，因此自聚焦时只需估计和补偿方位一维相位误差，这也是目前常规自聚焦算法(典型算法如子孔径算法，相位差分算法，相位梯度自聚焦算法，特征值方法等)假设的前提，如文献1(Mancill,C.E.,andJ.M.Swiger.A Map Drift Autofocus Technique for Correcting High Order SARPhase Errors.27th Annual Tri-Service Radar Symposium.Record,Monterey,CA,1981,pp.391-400.)、文献2(G.N.Yoji.Phase Difference Auto Focusing for SyntheticAperture Radar Imaging.United States Patent No.4999635,1991.)、文献3(Wahl,D.E.,P.H.Eichel,D.C.Ghiglia,and C.V.Jakowatz,Jr.Phase Gradient Autofocus-ARobust Tool for High Resolution SAR Phase Correction.IEEE Transaction onAerospace and Electronic Systems,30(3),1994,pp.827-834.)和文献4(C.V.Jakowatz,Jr.,D.E.Wahl.Eigenvector Method for Maximum-likelihood Estimation of PhaseErrors in Synthetic Aperture Radar Imagery.J.Opt.Soc.Am.A.,10(12),1993,pp.2539-2546.)中所公开的技术。然而，随着误差的增加，尤其是成像分辨率特别高时，残留距离徙动跨越距离单元将变得不可避免，因此，在此条件下有效的自聚焦算法必须要考虑两维相位误差的估计和补偿。文献5(D.W.Warner,D.C.Ghiglia,A.FitzGerrel,J.Beaver.Two-dimensional Phase Gradient Autofocus.Proceedings of SPIE,Vol.4123,2000,pp.162-173.)公开的技术中将传统的一维相位梯度自聚焦算法(PGA)扩展到两维，提出了两维相位梯度自聚焦算法(2-D PGA)来试图解决这一问题，但正如文章作者在结论中所说，该方法要像一维PGA一样达到实用，仍然存在不少的问题需要解决。文献6(A.Gallon,F.Impagnatiello,“Motion Compensation in Chirp Scaling SARProcessing using Phase Gradient Autofocusing,”Proceedings of Geoscience andRemote Sensing Symposium,1998.IGARSS'98.Vol.2,pp.633-635.)公开的技术中则将相位误差简化为两维可分离误差，然后通过在距离和方位分别进行一维PGA处理来实现两维相位误差校正，由于没有考虑相位耦合项，因此该算法的补偿精度仍然受到很大限制。文献7(D.Zhu,“SAR Signal Based Motion Compensation Through Combining PGA and 2-DMap drift,”Proceeding of 2nd Asian-Pacific Conference on Synthetic ApertureRadar,2009,pp.435-438.)、文献8(A.W.Doerry,F.E.Heard,and J.Thomas Cordaro,“Comparing Range Data across the Slow-time Dimension to Correct MotionMeasurement Errors Beyond the Range Resolution of A Synthetic ApertureRadar”,United States Patent,Patent No.7777665B1,August 2010.)公开的技术中忽略距离向二次散焦，将两维相位误差近似为残留距离徙动和方位相位误差，并对两者分别进行估计和补偿。以上两维自聚焦方法存在的主要缺陷是没有利用SAR两维相位误差的内部结构信息，认为两维相位误差是完全未知的，因此是对两维相位误差的一种盲估计，目前在估计精度和效率上都还存在一定的问题。文献9(A.W.Doerry,“Autofocus Correction ofExcessive Migration in Synthetic Aperture Radar Images,”Sandia Report,SAND2004-4770,September 2004.)和文献10(毛新华，朱岱寅，“一种适用于超高分辨率SAR成像的自聚焦方法”，中国专利，申请号：201110128491.4)公开的技术中注意到了两维相位误差的内部结构，并给出了极坐标格式算法(Polar Format Algorithm，简称PFA)处理框架下的一些简化分析结果，如文献9给出了正侧视条件下残留距离徙动和方位相位误差的解析关系，文献10对文献9进行了推广，使其能够应用于斜视情况。但这两种方法都忽略了距离向的高阶相位误差，在分辨率特别高时往往仍然不能满足聚焦精度要求。文献11(毛新华，朱岱寅，“一种基于先验相位结构知识的SAR两维自聚焦方法”，中国专利，申请号：201210429401.X)公开了一种适用于极坐标格式算法的精确两维自聚焦算法，这种两维自聚焦方法基于两维相位误差的解析结构，而不同成像算法处理后两维相位误差的解析结构各不相同，因此该方法无法直接应用于除极坐标格式算法外的其它算法处理得到的图像。
到目前为止，针对距离徙动算法(Range Migration Algorithm,简称RMA)处理后残留两维相位误差内部结构的精确分析，以及利用这种先验内部结构信息的两维自聚焦方法，还未见诸报道。
发明内容
本发明的目的在于提供一种适用于距离徙动算法的两维自聚焦方法，以解决机载合成孔径雷达距离徙动算法成像信号处理中两维相位误差的精确估计和补偿问题。
为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
一种适用于距离徙动算法的两维自聚焦方法，包括如下步骤：
步骤1，方位相位误差估计：对距离徙动算法处理得到图像进行方位相位误差估计，得到的相位误差记为φ0(Kx)；
步骤2，计算两维相位误差：通过上一步估计得到的方位相位误差，利用下述解析结构公式计算两维相位误差；
其中，Φe(Kx,Ky)表示残留两维相位误差，φ0(Kx)表示方位相位误差，Kx,Ky分别为距离和方位空间频率变量，Kyc为Ky的偏置量；
步骤3，计算两维相位校正：对距离徙动算法处理图像在两维空间频率域补偿上一步得到的两维相位误差，即
Gm(Kx,Ky)＝G(Kx,Ky)·exp{-jΦe(Kx,Ky)}
其中，G(Kx,Ky)为距离徙动算法(RMA)图像两维频谱,Gm(Kx,Ky)为相位校正后的两维频谱；
步骤4，最后再对Gm(Kx,Ky)做两维逆傅里叶变换即可以得到经过重聚焦后的图像。
所述步骤2中，式(1)所示的解析结构公式由以下方法得到：
聚束SAR二维回波信号经过距离向脉冲压缩后可表示为下式，其中距离向保留在频域：
其中，t为方位时间，fr为距离频率，fc为载波频率，c为光速，r(t)为目标到雷达的瞬时距离，A为幅度因子；
距离徙动算法(RMA)的第一步为将回波信号转换至二维频域，通过对式(2)进行方位傅立叶变换得到，因此得到两维频谱如下：
其中，fa为方位频率；
为得到二维频谱的解析形式，采用驻留相位原理进行分析，根据驻留相位原理，由式(3)得到驻留相位点可以做如下表示：
其中，给出了fa与t的对应关系；
把式(4)代入式(3)，可以得到：
令Kr＝4π(fc+fr)/c,Kx＝2πfa/v分别代表径向和方位向的空间频率，则式(5)表示为：
式中，
距离徙动算法(RMA)的第二步是匹配滤波，它利用在二维频域乘参考函数实现，参考函数的相位是：
其中，r0为参考距离；
经过匹配滤波，式(6)的信号变为：
RMA的最后一步是Stolt插值，在数学上，Stolt插值本质上为一个变量的替换，即利用Kx和Ky来代替Kr；Kx，Ky与Kr关系如下：
因此，经过Stolt映射，式(8)中的信号变为：
假设目标为地平面上一点目标，其坐标为(xm,ym)，则为精确聚焦和定位该目标，期望的信号相位为：
比较式(10)和式(11)，得到两维相位误差为：
定义函数：
则式(12)被简化为：
以上推导了经过距离徙动算法处理后的残留两维相位误差的模型；与在相位历史域两维相位误差只包含方位向相位误差(APE)和距离单元徙动(RCM)不同，经过距离徙动处理后，在空间频域中残留的两维相位误差不仅包括方位向相位误差和距离单元徙动，而且包括高阶距离频率项，即距离向会出现二次散焦；对式(14)在Kyc处进行泰勒展开得到：
Φe(Kx,Ky)＝φ0(Kx)+φ1(Kx)(Ky-Kyc)+φ2(Kx)(Ky-Kyc)2+… (15)
其中
φ0(Kx)项为方位相位误差，φ1(Kx)项为残留距离徙动，φ2(Kx)为距离频率二次项系数；
由式(14)和式(16)可得两维相位误差与方位相位误差的解析关系如下所示，即得到式(1)：
本发明的有益效果是：现有基于先验知识的两维自聚焦技术只能适用于极坐标格式算法处理图像，本发明方法中提出了一种距离徙动算法处理后残留两维相位误差新模型，基于该相位模型，原有基于先验知识的两维自聚焦方法可扩展应用于距离徙动算法处理图像。本发明利用两维相位误差的解析结构，将两维相位误差的估计问题转化为残留方位相位误差一维误差的估计，也就是说本发明两维自聚焦方法只需直接估计方位相位误差，而SAR图像中残留的两维相位误差可以利用相位误差内部特有的解析结构由估计得到的方位相位误差直接计算得到。
附图说明
图1为适用于距离徙动算法的两维自聚焦方法处理流程。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作更进一步的说明。
本发明的适用于距离徙动算法(RMA)的两维自聚焦方法，基于先验相位结构知识，该方法利用两维相位误差的解析结构，将两维相位误差的估计问题转化为残留方位相位误差一维误差的估计，也就是说本发明两维自聚焦方法只需直接估计方位相位误差，而SAR图像中残留的两维相位误差可以利用相位误差内部特有的解析结构由估计得到的方位相位误差直接计算得到。
首先，本发明提供式(1)所示的距离徙动算法(RMA)处理后残留两维相位误差的解析结构公式：
其中，Φe(Kx,Ky)表示残留两维相位误差，φ0(Kx)表示方位相位误差，Kx,Ky分别为距离和方位空间频率变量，Kyc为Ky的偏置量。
另外，本发明还提供式(1)所示公式的推导方法，该方法如下：
聚束SAR二维回波信号经过距离向脉冲压缩后可表示为(距离向保留在频域)：
其中t为方位时间，fr为距离频率，fc为载波频率，c为光速，r(t)为目标到雷达的瞬时距离，A为幅度因子。
距离徙动算法(RMA)的第一步为将回波信号转换至二维频域，这可以通过对式(2)进行方位傅立叶变换得到，因此可以得到两维频谱如下：
其中，fa为方位频率。
为得到二维频谱的解析形式，通常采用驻留相位原理进行分析。根据驻留相位原理，由式(3)不难得到驻留相位点可以做如下表示:
其中，给出了fa与t的对应关系。
把式(4)代入式(3)，可以得到：
令Kr＝4π(fc+fr)/c,Kx＝2πfa/v分别代表径向和方位向的空间频率。则式(5)可表示为：
式中
距离徙动算法(RMA)的第二步是匹配滤波，它利用在二维频域乘参考函数实现。参考函数的相位是：
其中，r0为参考距离。
经过匹配滤波，式(6)的信号变为：
距离徙动算法(RMA)的最后一步是Stolt插值。在数学上，Stolt插值本质上为一个变量的替换，即利用Kx和Ky来代替Kr。Kx，Ky与Kr关系如下：
因此，经过Stolt映射，式(8)中的信号变为：
假设目标为地平面上一点目标，其坐标为(xm,ym)，则为精确聚焦和定位该目标，期望的信号相位为：
比较式(10)和式(11)，不难得到两维相位误差为：
定义函数：
则式(12)可被简化为：
以上推导了经过距离徙动算法处理后的残留两维相位误差的模型。与在相位历史域两维相位误差只包含方位向相位误差(APE)和距离单元徙动(RCM)不同，经过距离徙动处理后，在空间频域中残留的两维相位误差不仅包括方位向相位误差和距离单元徙动，而且包括高阶距离频率项，即距离向会出现二次散焦。对式(14)在Kyc处进行泰勒展开得到：
Φe(Kx,Ky)＝φ0(Kx)+φ1(Kx)(Ky-Kyc)+φ2(Kx)(Ky-Kyc)2+… (15)
其中
φ0(Kx)项为方位相位误差，φ1(Kx)项为残留距离徙动，φ2(Kx)为距离频率二次项系数。
由式(14)和式(16)可得两维相位误差与方位相位误差的解析关系如下所示：
即得到了式(1)的结论。
最后，利用式(1)所示两维相位误差解析结构先验知识，提出了采用基于先验知识的两维自聚焦方法来对距离徙动算法处理得到的图像进行重聚焦。新的自聚焦方法只需直接估计方位相位误差φ0(Kx)，而两维相位误差Φe(Kx,Ky)则通过式(1)由方位相位误差直接计算得到并对其进行补偿。
下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步详细的解释。
如图1所示为本发明的适用于距离徙动算法(RMA)的两维自聚焦方法的处理流程。
(1)本发明两维自聚焦方法针对的是距离徙动算法处理得到的粗聚焦图像，因此输入条件为距离徙动算法处理得到的图像，假设为g(x,y)。图像g(x,y)对应的两维空间频率数据为G(Kx,Ky)，其中Kx,Ky分别为x,y方向的空间频率变量。
假设图像中存在一点目标，位置为(xm,ym)，则成像处理后理想的两维空间频谱应为G0(Kx,Ky)＝exp{-j(xmKx+ymKy)}。而实际处理时，由于雷达位置往往不能精确得到，因此成像处理后得到的频谱G(Kx,Ky)往往并不等于G0(Kx,Ky)，而是存在一个两维相位误差，即G(Kx,Ky)＝G0(Kx,Ky)·exp{jΦe(Kx,Ky)}。自聚焦的目的就是要估计并补偿掉Φe(Kx,Ky)。本发明之前，没有针对Φe(Kx,Ky)内部解析结构的分析，因此只能假设该两维相位误差是完全未知的，对两维相位误差进行盲估计。本发明提供了距离徙动算法处理后两维相位误差的解析结构，即式(1)，并提供了该解析结构的推导方法。利用该先验的解析结构知识，提出了一种降维两维自聚焦方法来对距离徙动算法处理得到的图像进行重聚焦。新的自聚焦方法只需直接估计方位相位误差φ0(Kx)，而两维相位误差Φe(Kx,Ky)则通过式(1)由方位相位误差直接计算得到。
(2)方位相位误差估计
对于方位相位误差的估计，可以借鉴已有成熟的一维自聚焦算法，如相位梯度自聚焦法、Mapdrift算法等，但这些算法都假设误差中的残留距离徙动小于一个距离分辨单元，但在本发明考虑条件下，这一点恰恰无法满足。因此在利用已有自聚焦算法进行方位相位误差估计时有必要进行一定的改进。常用方法是是估计前先降低距离向分辨率，使残留距离徙动不超过一个粗分辨单元。另外，也可利用多子孔径自聚焦方法，多子孔径自聚焦算法将方位空间频域全孔径数据分成多个子孔径分别进行估计，在子孔径内，残留的距离徙动效应可以忽略不计。假设估计得到的相位误差记为φ0(Kx)。
(3)两维相位误差计算
利用公式(1)，可以由通过上一步估计得到的方位相位误差φ0(Kx)直接计算得到两维相位误差的估计值
(4)两维相位误差补偿
对距离徙动算法处理图像在两维空间频率域补偿上述式(1)估计得到的两维相位误差，即
Gm(Kx,Ky)＝G(Kx,Ky)·exp{-jΦe(Kx,Ky)} (17)
其中，G(Kx,Ky)为距离徙动算法(RMA)图像两维频谱,Gm(Kx,Ky)为相位校正后的两维频谱；
最后再对Gm(Kx,Ky)做两维逆傅里叶变换即可以得到经过重聚焦后的图像。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种适用于距离徙动算法的两维自聚焦方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤1，方位相位误差估计：对距离徙动算法处理得到图像进行方位相位误差估计，得到的相位误差记为φ0(Kx)；
步骤2，计算两维相位误差：通过上一步估计得到的方位相位误差，利用下述解析结构公式计算两维相位误差；
<mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Φe(Kx，Ky)表示残留两维相位误差，φ0(Kx)表示方位相位误差，Kx,Ky分别为距离和方位空间频率变量，Kyc为Ky的偏置量；
式(1)所示的解析结构公式由以下方法得到：
聚束SAR二维回波信号经过距离向脉冲压缩后可表示为下式，其中距离向保留在频域：
<mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，t为方位时间，fr为距离频率，fc为载波频率，c为光速，r(t)为目标到雷达的瞬时距离，A为幅度因子；
距离徙动算法的第一步为将回波信号转换至二维频域，通过对(2)式进行方位傅立叶变换得到，因此得到两维频谱如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;f</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>}</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;f</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>t</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，fa为方位频率；
为得到二维频谱的解析形式，采用驻留相位原理进行分析，根据驻留相位原理，由式(3)得到驻留相位点可以做如下表示：
<mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>f</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，θ(·)给出了fa与t的对应关系；
把式(4)代入式(3)，可以得到：
<mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>f</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;pi;f</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>f</mi> <mi>a</mi> </msub> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>c</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>r</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令Kr＝4π(fc+fr)/c,Kx＝2πfa/v分别代表径向和方位向的空间频率，其中，v表示雷达速度，则式(5)表示为：
<mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>r</mi> </msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>r</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>r</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，
距离徙动算法的第二步是匹配滤波，它利用在二维频域乘参考函数实现，参考函数的相位是：
其中，r0为参考距离；
经过匹配滤波，式(6)的信号变为：
<mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>r</mi> </msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>r</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>r</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>0</mn> </msub> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
距离徙动算法的最后一步是Stolt插值，在数学上，Stolt插值本质上为一个变量的替换，即利用Kx和Ky来代替Kr；Kx，Ky与Kr关系如下：
<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
因此，经过Stolt映射，式(8)中的信号变为：
<mrow> <mi>S</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>jK</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>}</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
假设目标为地平面上一点目标，其坐标为(xm，ym)，则为精确聚焦和定位该目标，期望的信号相位为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>b</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
比较式(10)和式(11)，得到两维相位误差为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
定义函数：
<mrow> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>u</mi> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mi>&amp;xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>u</mi> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则式(12)被简化为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
以上推导了经过距离徙动算法处理后的残留两维相位误差的模型；与在相位历史域两维相位误差只包含方位向相位误差和距离单元徙动不同，经过距离徙动处理后，在空间频域中残留的两维相位误差不仅包括方位向相位误差和距离单元徙动，而且包括高阶距离频率项，即距离向会出现二次散焦；对式(14)在Kyc处进行泰勒展开得到：
Φe(Kx,Ky)＝φ0(Kx)+φ1(Kx)(Ky-Kyc)+φ2(Kx)(Ky-Kyc)2+… (15)
其中
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>K</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> <mn>3</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
φ0(Kx)项为方位相位误差，φ1(Kx)项为残留距离徙动，φ2(Kx)为距离频率二次项系数；
由式(14)和式(16)可得两维相位误差与方位相位误差的解析关系如下所示，即得到式(1)：
<mrow> <msub> <mi>&amp;Phi;</mi> <mi>e</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>c</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>K</mi> <mi>y</mi> </msub> </mfrac> <msub> <mi>K</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤3，计算两维相位校正：对距离徙动算法处理图像在两维空间频率域补偿上一步得到的两维相位误差，即
Gm(Kx,Ky)＝G(Kx,Ky)·exp{-jΦe(Kx,Ky)}
其中，G(Kx,Ky)为距离徙动算法图像两维频谱,Gm(Kx,Ky)为相位校正后的两维频谱；
步骤4，最后再对Gm(Kx,Ky)做两维逆傅里叶变换即可以得到经过重聚焦后的图像。
2.如权利要求1所述的适用于距离徙动算法的两维自聚焦方法，其特征在于：所述步骤1中方位相位误差估计的方法是：采用已有成熟的一维自聚焦算法，估计前先降低距离向分辨率，使残留距离徙动不超过一个粗分辨单元；或者，利用多子孔径自聚焦方法，多子孔径自聚焦算法将方位空间频域全孔径数据分成多个子孔径分别进行估计，在子孔径内，残留的距离徙动效应忽略不计。
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