CN105095968B - 一种新型神经元振荡器 - Google Patents

Abstract

本发明是一种新型神经元振荡器：通过建立了一个神经元模型，然后将两个神经元之间通过抑制性突触相互连接，构成一个振荡器模型；所述的神经元模型，在具有疲劳特性的漏积分器神经元模型基础上，增加输出饱和和自兴奋性特性后，形成了一个神经元模型；其中，所述神经元模型的输出，采用非线性函数表示，且该非线性函数满足当时，输出具有饱和特性，当时，神经元没有输出。本发明振荡器模型与Matsuoka振荡器模型相比，鲁棒性更强，而且保证了由此振荡器构成运动控制神经网络在添加兴奋性连接后的稳定性。

Description

一种新型神经元振荡器

技术领域

本发明涉及仿生机器人运动控制神经网络的构建领域，特别是一种新型神经元振荡器。

技术背景

有关神经科学和神经生理学的研究表明，在脊椎动物的大脑皮层、脑干和脊髓、龙虾的幽门的控制神经网络以及水蛭的运动控制神经网络中，中枢模式发生器(CentralPattern Generator，简称CPG)都是一个重要组成部分，它可以在没有外部感官信息反馈的情况下产生节律输出。中枢模式发生器的建模根据机理的不同可以被分为：振荡器CPG、生物神经元CPG和连接CPG。其中振荡器CPG以其结构简单、运算量小、参数整定方便等特点成为中枢模式发生器应用中常用的一种建模方式。此种建模方式是将CPG看作是由一组相互耦合的振荡器构成的，振荡器之间的相互耦合作用使CPG产生一定相位关系的节律输出。

在目前的振荡器CPG中，大多数振荡器模型并不是由神经元模型构建而成的，如Kuramoto振荡器、Hopf振荡器、Van Der Pol振荡器等，因此，这类模型仅能对CPG的节律输出特性进行模拟，而不能从本质上模拟CPG的运行机理。从现有研究成果来看，利用神经元模型构建的振荡器主要有：Wilson和Cowan于1972年提出的神经元振荡模型和Matsuoka于1985年提出的神经元振荡器模型两个。根据现有关于CPG的神经元种类、连接关系、结构等的研究，Matsuoka振荡器是更加符合CPG的运行机理的。然而，由于Matsuoka振荡器所采用神经元模型的限制，由此振荡器构成的CPG内部只能存在抑制性连接关系，这是与生物CPG神经网络的特点完全不同的。真实的生物CPG神经网络中既抑制性连接和兴奋性连接都是存在的。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是通对现有技术的不足，提供一种在Matsuoka振荡器的基础上，通过改进神经元模型，建立了一个新的振荡器模型。此新振荡器模型与Matsuoka振荡器模型相比，不但可以包含抑制性和兴奋性连接，而且可以对振荡器的饱和、不激活、节律和非节律输出进行控制，更加符合生物运动的规律和特性。

本发明所要解决的技术问题是通过以下的技术方案来实现的。本发明是一种新型神经元振荡器，其特点是，通过建立了一个神经元模型，然后将两个神经元之间通过抑制性突触相互连接，构成一个振荡器模型；所述的神经元模型，在具有疲劳特性的漏积分器神经元模型基础上，增加输出饱和和自兴奋性特性后，形成了一个神经元模型；

其中，所述神经元模型的输出，采用非线性函数表示，且该非线性函数满足当x≥θ时，输出具有饱和特性，当x＜θ时，神经元没有输出。

本发明中，所述新神经元模型的输出，可以采用不同的非线性函数表示，但是需要满足当x≥θ时，输出具有饱和特性，当x＜θ时，神经元没有输出。所述的神经元模型可以采用以下两个微分方程组中的一个：

式中，x为神经元的膜电势；y为神经元的输出；s为神经元收到的所有外部输入；a为神经元收到的自我兴奋性反馈的连接权重，a＞0；τ跟神经元膜电势相关的时间常数，τ＞0；γ跟神经元疲劳过程相关的时间常数，γ＞0；x′为反应神经元疲劳程度的变量；b为神经元的疲劳强度，b＞0；θ为神经元的输出阈值，为神经元输出的上界，且ε和σ为常系数，ε＞0和σ＞0；λ是神经元输出的饱和系数。

本发明所述的新型神经元振荡器，进一步优选的技术方案是：两个神经元之间相互抑制，每个神经元具有一个自我兴奋性连接；具体模型如下：

式中，x_i为第i神经元的膜电势；y_i为第i神经元的输出；s_i为第i神经元所收到CPG外部的输入；a_ij(j∈(1，2)，j≠i)为神经元之间的连接权重，a_ij＜0；a_ii为第i神经元收到的自我兴奋性反馈的连接权重；τ_i跟第i神经元膜电势相关的时间常数，τ_i＞0；γ_i跟第i神经元疲劳过程相关的时间常数，γ_i＞0；x′_i为反应第i神经元疲劳程度的变量；b_i为第i神经元的疲劳强度，b_i＞0；θ_i为第i神经元的输出阈值，为第i神经元输出的上界，且ε_i和σ_i为常系数，ε_i＞0和σ_i＞0；λ_i是第i神经元输出的饱和系数；

所述振荡器平衡状态满足时，振荡器既能产生振荡输出也能产生非振荡输出，此时的外部输入s_i,(i＝1,2)的取值范围为：

振荡器产生振荡输出时，其参数应满足的条件为：

根据上式，选取振荡器的参数：

τ_i＝0.1 γ_i＝0.3 ε_i＝2 σ_i＝0.8 a_ii＝2.5 b_i＝3 θ_i＝-0.5a₁₂＝-0.5 a₂₁＝-0.49(i＝1，2).

振荡器的平衡状态根据式(2)得到外部输入s_i，(i＝1，2)的取值范围为：-1＜s_i＜7.125，(i＝1，2)；

振荡器产生非振荡输出时，其参数应满足的条件为：

或

(3)σ_i≥1，(i＝1，2)

根据上述振荡器振荡输出和非振荡输出的条件，振荡器的振荡输出和非振荡输出可以通过调节自兴奋系数a_ii和疲劳系数b_i来进行切换；

为了使振荡器产生非振荡输出,在其它参数不变的情况下，适当减少a_ii和b_i(i＝1,2)，便可产生非振荡输出，这里令a_ii＝0和b_i＝0(i＝1,2)。若振荡器的平衡状态根据式(2)可以得到外部输入s_i,(i＝1,2)的取值范围为：-1＜s_i＜4(，i＝1,2)；

当输入满足s_i＜ε_iθ_i,(i＝1,2)时，振荡器的输出是不激活的，当时，振荡器的输出是饱和的。

其中，所述振荡器的振荡频率和响应速度，可以通过跟神经元膜电势相关的时间常数τ_i,i＝1,2和跟神经元疲劳过程相关的时间常数γ_i,i＝1,2进行调节。

其中，所述振荡器的饱和输出和不激活以及振荡器节律输出和非节律输出的大小，可以通过振荡器的外部输入s_i,i＝1,2进行调节。

得到上述结论的具体推导过程如下：

当振荡器的平衡状态满足以下三种情况 和时，令和根据振荡器的模型(1)，当时，可以得到外部输入s_i,(i＝1,2)需要满足的条件为：

当时

当时

s_i＜ε_iθ_i，(i＝1，2) (4)

当时

当振荡器的平衡状态满足时，将振荡器在平衡状态线性化，可得到其线性化后的模型如下：

由于矩阵的迹等于矩阵特征根的和，因此可以得到线性化后模型(6)具有

正实部特征根的充分条件为：

根据李雅谱诺夫定理可以知道，满足条件(7)时，振荡器(1)是不稳定的。又由于振荡器(1)的输出是有界和唯一的，因此可以得到，当振荡器满足条件(7)且平衡状态满足时，振荡器输出是振荡的。

根据Gerschgorin Circle定理，线性化模型(6)所有特征根具有负实部需要满足的条件为：

或

(2)σ_i≥1，(i＝1，2) (3)

根据李雅谱诺夫定理可知，当满足条件(8)-(10)或(11)-(13)时，振荡器(1)是全局收敛的，即其输出是非振荡的。

本发明振荡器模型与Matsuoka振荡器模型相比，鲁棒性更强，而且保证了由此振荡器构成运动控制神经网络在添加兴奋性连接后的稳定性。

附图说明

图1为本发明新型神经元振荡器的结构示意图；

图2为振荡器产生振荡输出时的仿真结果图，且该图为神经元1的输出y₁随输入的变化曲线图；

图3为振荡器产生振荡输出时的仿真结果图，且该图为神经元2的输出y₂随输入的变化曲线图；

图4为振荡器产生非振荡输出时的仿真结果图，且该图为神经元1的输出y₁随输入的变化曲线图；

图5为振荡器产生非振荡输出时的仿真结果图，且该图为神经元2的输出y₂随输入的变化曲线图；

图6为振荡器输出频率变化的仿真结果图，且该图为神经元1的输出y₁的变化曲线图；

图7为振荡器输出频率变化的仿真结果图，且该图为神经元2的输出y₂的变化曲线；

图8为s_i＝-1.2,(i＝1,2)时振荡器不激活的仿真结果图，且该图为神经元1的输出y₁的变化曲线图；

图9为s_i＝-1.2,(i＝1,2)时振荡器不激活的仿真结果图，且该图为神经元2的输出y₂的变化曲线图；

图10为s_i＝8.6,(i＝1,2)时振荡器饱和的仿真结果图；且该图为神经元1的输出y₁的变化曲线；

图11为s_i＝8.6,(i＝1,2)时振荡器饱和的仿真结果图；且该图为神经元2的输出y₂的变化曲线。

具体实施方式

以下参照附图，进一步描述本发明的具体技术方案，以便于本领域的技术人员进一步地理解本发明，而不构成对其权利的限制。

实施例1，一种新型神经元振荡器：通过建立了一个神经元模型，然后将两个神经元之间通过抑制性突触相互连接，构成一个振荡器模型；所述的神经元模型，在具有疲劳特性的漏积分器神经元模型基础上，增加输出饱和和自兴奋性特性后，形成了一个神经元模型；

其中，所述神经元模型的输出，采用非线性函数表示，且该非线性函数满足当x≥θ时，输出具有饱和特性，当x＜θ时，神经元没有输出。

实施例2，实施例1所述的新型神经元振荡器，其特点是：所述的神经元模型是采用以下两个微分方程组中的一个：

式中，x为神经元的膜电势；y为神经元的输出；s为神经元收到的所有外部输入；a为神经元收到的自我兴奋性反馈的连接权重，a＞0；τ跟神经元膜电势相关的时间常数，τ＞0；γ跟神经元疲劳过程相关的时间常数，γ＞0；x′为反应神经元疲劳程度的变量；b为神经元的疲劳强度，b＞0；θ为神经元的输出阈值，为神经元输出的上界，且ε和σ为常系数，ε＞0和σ＞0；λ是神经元输出的饱和系数。

实施例3，一种新型神经元振荡器，参照图1，图1中神经元1和神经元2之间是相互抑制的。每个神经元具有一个自我兴奋性连接。黑圈表示抑制性连接，白圈表示兴奋性连接。

新型神经元振荡器由上述两个神经元构成，神经元之间通过相互抑制的连接关系，其结构如图1所示，具体模型如下：

式中，x_i为第i神经元的膜电势；y_i为第i神经元的输出；s_i为第i神经元所收到CPG外部的输入；a_ij(j∈{1，2}，j≠i)为神经元之间的连接权重，a_ij＜0；a_ii为第i神经元收到的自我兴奋性反馈的连接权重；τ_i跟第i神经元膜电势相关的时间常数，τ_i＞0；γ_i跟第i神经元疲劳过程相关的时间常数，γ_i＞0；x′_i为反应第i神经元疲劳程度的变量；b_i为第i神经元的疲劳强度，b_i＞0；θ_i为第i神经元的输出阈值，为第i神经元输出的上界，且ε_i和σ_i为常系数，ε_i＞0和σ_i＞0；λ_i是第i神经元输出的饱和系数。

其中，所述振荡器的振荡频率和响应速度，通过跟神经元膜电势相关的时间常数τ_i,i＝1,2和跟神经元疲劳过程相关的时间常数γ_i,i＝1,2进行调节；

其中，所述振荡器的节律输出和非节律输出，通过神经元自我兴奋性反馈的连接权重a_i,i＝1,2和神经元的疲劳强度b_i,i＝1,2进行切换；

其中，所述振荡器的饱和输出和不激活以及振荡器节律输出和非节律输出的大小，可以通过振荡器的外部输入s_i,i＝1,2进行调节。

上述振荡器既可以产生振荡输出也可以产生非振荡输出，为了使振荡器产生振荡输出，根据式：

选取振荡器的参数：τ_i＝0.1 γ_i＝0.3 ε_i＝2 σ_i＝0.8 a_ii＝2.5 b_i＝3 θ_i＝-0.5a₁₂＝-0.5 a₂₁＝-0.49(i＝1,2).

振荡器的平衡状态根据式(2)可以得到外部输入s_i,(i＝1,2)的取值范围为：-1＜s_i＜7.125,(i＝1,2)。

输出y_i,(i＝1,2)随外部输入s_i,(i＝1,2)变化的仿真结果如图2，图3所示，图2图3中，实线,s_i＝-0.5,(i＝1,2)；虚线,s_i＝0.5,(i＝1,2)；点划线,s_i＝1.5,(i＝1,2)。根据式：

或：

(3)σ_i≥1，(i＝1，2)

可以看出，为了使振荡器产生非振荡输出,在其它参数不变的情况下，适当减少a_ii和b_i(i＝1,2)，便可产生非振荡输出，这里令a_ii＝0和b_i＝0(i＝1,2)。振荡器的平衡状态根据式(2)可以得到外部输入s_i,(i＝1,2)的取值范围为：-1＜s_i＜4(，i＝1,2).此时，振荡器输出随输入变化的仿真曲线，如图4，图5所示。图4图5中，实线,s₁＝-0.5,s₂＝0.5；虚线,s₁＝1,s₂＝-0.5；点划线,s₁＝0.5,s₂＝2。

从图2-5中可以看出，振荡器的振荡输出和非振荡输出可以通过调节自兴奋系数a_ii和疲劳系数b_i来进行切换。振荡器的输出随外部输入的变化而变化。

从图6和7可以看出振荡器的输出随着τ_i和γ_i，(i＝1,2)的变化而变化的。图6和7中，实线,τ_i＝0.1,γ_i＝0.3,(i＝1,2)；虚线,τ_i＝0.2,γ_i＝0.6,(i＝1,2)。

当输入满足s_i＜ε_iθ_i，(i＝1，2)时，振荡器的输出是不激活的，当时，振荡器的输出是饱和的。振荡器不激活和饱和的仿真结果如图8－11所示，从图可以看出，通过外部输入s_i,(i＝1,2)可以使振荡器不激活和饱和。

Claims (1)

1.一种神经元振荡器的构建方法，其特征在于：通过建立了一个神经元模型，然后将两个神经元之间通过抑制性突触相互连接，构成一个振荡器模型；所述的神经元模型，在具有疲劳特性的漏积分器神经元模型基础上，增加输出饱和和自兴奋性特性后，形成了一个神经元模型；

其中，所述神经元模型的输出，采用非线性函数表示，且该非线性函数满足当x≥θ时，输出具有饱和特性，当x＜θ时，神经元没有输出；

所述的神经元模型采用以下两个微分方程组中的一个：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <msup> <mi>bx</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;gamma;</mi> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;sigma;x</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>x</mi> <mo>&lt;</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

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式中，x为神经元的膜电势；y为神经元的输出；s为神经元收到的所有外部输入；a为神经元收到的自我兴奋性反馈的连接权重，a＞0；τ跟神经元膜电势相关的时间常数，τ＞0；γ跟神经元疲劳过程相关的时间常数，γ＞0；x′为反应神经元疲劳程度的变量；b为神经元的疲劳强度，b＞0；θ为神经元的输出阈值，为神经元输出的上界，且ε和σ为常系数，ε＞0和σ＞0：λ是神经元输出的饱和系数；

两个神经元之间相互抑制，每个神经元具有一个自我兴奋性连接；具体模型如下：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow>

式中，x_i为第i神经元的膜电势；y_i为第i神经元的输出；s_i为第i神经元所收到CPG外部的输入；a_ij，j∈{1，2}，j≠i为神经元之间的连接权重，a_ij＜0；a_ii为第i神经元收到的自我兴奋性反馈的连接权重；τ_i跟第i神经元膜电势相关的时间常数，τ_i＞0；γ_i跟第i神经元疲劳过程相关的时间常数，γ_i＞0；x′_i为反应第i神经元疲劳程度的变量；b_i为第i神经元的疲劳强度，b_i＞0；θ_i为第i神经元的输出阈值，为第i神经元输出的上界，且ε_i和σ_i为常系数，ε_i＞0和σ_i＞0；λ_i是第i神经元输出的饱和系数；

所述振荡器平衡状态满足i＝1，2时，振荡器既能产生振荡输出也能产生非振荡输出，此时的外部输入s_i，i＝1，2的取值范围为：

<mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>}</mo> </mrow> </munder> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>

振荡器产生振荡输出时，其参数应满足的条件为：

<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>&gt;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </munderover> <mfrac> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> </mrow>

<mrow> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>&gt;</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>

振荡器产生非振荡输出时，其参数应满足的条件为：

(1) <mrow> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>&gt;</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>

(2) <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>&gt;</mo> <munderover> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>}</mo> </mrow> </munder> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfrac> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>j</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>

(3) <mrow> <mfrac> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>

或

(1) <mrow> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <mo>&gt;</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>

(2) <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> </munder> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow>

(3)σ_i≥l，i＝1，2

根据上述振荡器振荡输出和非振荡输出的条件，振荡器的振荡输出和非振荡输出可以通过调节自兴奋系数a_ii和第i神经元的疲劳强度b_i来进行切换；

所述振荡器当输入满足s_i＜ε_iθ_i，i＝1，2时，振荡器的输出是不激活的，当时，振荡器的输出是饱和的；

其中，所述振荡器的振荡频率和响应速度，通过跟神经元膜电势相关的时间常数τ_i，i＝1，2和跟神经元疲劳过程相关的时间常数γ_i，i＝1，2进行调节；

其中，所述振荡器的饱和输出和不激活以及振荡器节律输出和非节律输出的大小，通过振荡器的外部输入s_i，i＝1，2进行调节。