CN105068424B - 一种适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型，包括：调速器模型、导叶控制系统模型、桨叶控制系统模型、水轮机及引水系统模型。所述导叶控制系统模型和桨叶控制系统模型构成转桨式水轮机双调节系统，所述桨叶控制系统模型考虑了导叶开度与桨叶开度间存在的协联关系，用五次多项式曲线拟合的方法获取；所述水轮机模型在解析非线性模型的基础上考虑桨叶角对水轮机效率的修正作用，导叶开度与桨叶开度共同影响水轮机模型的机械功率输出，且计及导叶开度与机械功率之间的非线性，以三次多项式拟合描述。本发明结构精细、清晰，模型参数意义明确、易获取，建模过程快捷、高效、精确，实用性强。
Description
技术领域
本发明涉及水力发电及电力系统建模技术领域，具体涉及一种适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型。
背景技术
建立可表征调速系统实际特性的原动机及调速器模型，是提高电网安全稳定分析准确性及系统运行指导性的重要基础。转桨式水轮机采用导叶和桨叶双调节以提高发电效率，是我国常见水轮机形式之一，在水力发电中占有重要地位。电力系统计算中转桨式水轮机动态行为描述的准确性会对电力系统分析结果造成一定影响。
现有的PSASP和PSS/E等电力系统分析软件中，仅以混流式水轮机为基础建立了通用的水轮机及其调速器模型，其调速器基本能反映单调节水轮机特性，导叶控制系统模型直接沿用火电机组电液随动系统模型；其水轮机及引水系统模型表征了水轮机的基本特性，采用的理想水轮机模型适用于研究额定工况点附近的机组特性，采用的线性化水轮机模型适用于研究机组小波动状况，其难以适用于机组全过程的动态仿真分析；且混流式机组、转桨式机组的水轮机调节系统具有不同的综合特性曲线，但对于电力系统稳定计算而言太过复杂，参数不易获取，不适用于电力系统仿真计算。
转桨式水轮机属于双调节机组，即导叶调节和桨叶调节二者之间存在协联关系，且桨叶角度对转桨式水轮机暂态仿真精度的影响不可忽略，因而协联关系的准确表达显得尤为重要。现有研究中，双调节水轮机导叶和桨叶协联及非协联时的运动规律利用模块化建模；导叶与桨叶协联关系的求取上，采用多项式插值与拟合、神经网络等方法；导叶和桨叶间的协联特性可用一次线性关系表征，水轮机模型采用解析非线性模型，但水轮机输出机械功率精度还有待提高。因此，亟待建立适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型，考虑水力系统非线性及导叶与桨叶双调节特性、测试其调速系统参数，为机组接入电网安全稳定运行提供重要依据。
发明内容
本发明的目的在于避免现有技术中的不足，提供一种符合实际情况、考虑水力系统非线性及导叶与桨叶双调节特性、仿真精度高、参数测试方便且具有推广应用价值的适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型。
本发明的上述目的采用如下技术方案来实现的：
一种适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型，包括：调速器模型、导叶控制系统模型、桨叶控制系统模型、水轮机及引水系统模型，所述导叶控制系统模型与桨叶控制系统模型构成转桨式水轮机双调节系统，其中，所述调速器模型的信号输入端用于输入发电机频率与电网频率的频率偏差及机组功率给定值，所述导叶控制系统模型的信号输入端与调速器模型的信号输出端连接，所述桨叶控制系统模型的信号输入端与导叶控制系统模型的信号输出端连接，所述导叶控制系统模型的信号输出端及桨叶控制系统模型的信号输出端均与水轮机及引水系统模型的信号输入端连接；所述调速器模型根据输入的发电机频率与电网频率的频率偏差信号及机组功率给定值计算调速器模型的输出，所述导叶控制系统模型根据调速器模型输入计算导叶开度输出，所述桨叶控制系统模型根据不同水头下导叶开度与桨叶开度间存在的协联关系计算桨叶开度输出，所述引水系统模型用于将发电用水输送给水轮机，所述水轮机及引水系统模型根据导叶开度输入和桨叶开度输入计算水轮机的机械功率输出。
其中，所述桨叶控制系统模型，考虑了速率限幅和幅值限制非线性环节，将桨叶角转换为0～1之间的桨叶开度值，其桨叶开度值的变化动态行为用一阶惯性环节描述为
式中，Gr(s)为桨叶控制系统传递函数，Tyr为桨叶接力器时间常数，s为复数参变量。
其中，所述桨叶控制系统模型，包括协联装置和桨叶随动系统，所述导叶控制系统通过协联装置与桨叶随动系统连接，在设定水头下，导叶开度与桨叶开度之间存在协联关系，用五次曲线拟合的方法获取，其拟合函数为
式中，yg为导叶开度，yr为桨叶开度，a0、a1、a2、a3、a4、a5为拟合系数。
其中，转桨式水轮机模型在混流式水轮机解析非线性模型的基础上考虑了桨叶开度对水轮机效率的修正作用，即导叶开度与桨叶开度共同影响水轮机模型的机械功率输出，将桨叶开度控制效果视做流量的增加量；
将所述水轮机模型中的水轮机流量与开度、水头的关系看成是阀门关系，可得水轮机解析非线性模型为
Pm＝kp(q-q0)h
式中，q为水轮机流量；y为计及导叶开度与桨叶开度共同影响的等效开度；h为水轮机工作水头；q0为水轮机空载流量；kp为比例系数；Pm为水轮机机械功率输出；为q对h的导数；h0为水轮机静态水头，其标幺值为1；Gh(s)为水轮机引水系统传递函数。
其中，针对转桨式水轮机，计及导叶开度与桨叶开度共同影响的等效开度为
y＝f(yg)·f(yr)
式中，y为转桨式水轮机中计及导叶开度和桨叶开度共同影响后的等效开度，f(yg)为关于yg的函数关系，yg为导叶开度，f(yr)为关于yr的函数关系，yr为桨叶开度；
针对f(yg)，一定水头下水轮机导叶开度与机械功率输出之间为非线性关系，水轮机机械功率输出Pm与等效开度y的稳态标幺值相等，采用三次多项式拟合表征其非线性关系为
式中，b0、b1、b2、b3为拟合系数，yg为导叶开度；
针对f(yr)，考虑桨叶开度对有效流量的影响，可表征为
f(yr)＝yr·Bflow+1
式中，Bflow为桨叶开度对有效流量的影响系数，yr为桨叶开度。
有益效果：
与现有技术相比，本发明具有如下显著效果：
(1)本发明的转桨式水轮机调节系统按照实际转桨式水轮机调节系统的结构，采用分环节建模的方法，结构精细、清晰，各组成部分内参数意义明确、易获取；
(2)本发明的转桨式水轮机调节系统中各环节的模型均易于辨识，能够更准确地反映设备的真实状态；建模过程快捷、高效、精确；
(3)本发明的转桨式水轮机调节系统中的水轮机模型，贴近现实，可准确模拟实际情况；
(4)本发明的转桨式水轮机调节系统模型适用于电力系统的仿真分析，且建模所需时间短，实用性强。
附图说明
图1为转桨式水轮机模型框图；
图2为导叶控制系统模型的原理图；
图3为桨叶控制系统模型的原理图；
图4为转桨式水轮机非线性模型的原理图；
图5为导叶与桨叶协联关系拟合曲线；其中，(a)为不同拟合方法的协联关系拟合结果； (b)为导叶与桨叶间协联关系的五次拟合结果；
图6为不同桨叶接力器时间常数对桨叶开度的影响；
图7为机组频率扰动时仿真和实测比较；其中，(a)为导叶开度；(b)为桨叶开度；(c)为机组功率；
图8为机组功率响应的仿真和实测比较；其中，(a)为机组升功率比较；(b)为机组降功率比较；
图9为电网故障仿真结果；其中，(a)为节点电压；(b )为机组间相对功角；(c)为机组功率； (d)为转桨式水轮机输出变量。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步详细描述。
首先，对图2-图4中的各单元模块及符号含义进行说明：
图2中，调速器模型的输出量与导叶开度的偏差量经过副环PID(比例-积分-微分)控制和导叶接力器的限速环节、限幅环节与积分作用实现对导叶开度的控制；图3中，导叶开度值经过测量环节与导叶开度与桨叶开度之间的协联关系后，其与桨叶开度得偏差量经过比例控制和桨叶接力器的限速环节、限幅环节与积分作用实现对桨叶开度的控制；图4中，导叶开度的函数与桨叶开度的函数两者的乘积作为转桨式水轮机及引水系统的输入量，基于非线性水轮机模型得到转桨式水轮机非线性模型，实现对转桨式水轮机机械功率输出的调节。
转桨式水轮机调节系统模型中参数列表如表1所示。
表1
图1为转桨式水轮机模型框图，如图1所示，本发明所述的一种适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型，包括：调速器模型、导叶控制系统模型、桨叶控制系统模型、水轮机及引水系统模型，所述导叶控制系统模型与桨叶控制系统模型构成转桨式水轮机双调节系统，其中，所述调速器模型的信号输入端用于输入发电机频率与电网频率的频率偏差及机组功率给定值，所述导叶控制系统模型的信号输入端与调速器模型的信号输出端连接，所述桨叶控制系统模型的信号输入端与导叶控制系统模型的信号输出端连接，所述导叶控制系统模型的信号输出端及桨叶控制系统模型的信号输出端均与水轮机及引水系统模型的信号输入端连接；所述调速器模型根据输入的发电机频率与电网频率的频率偏差信号及机组功率给定值计算调速器模型的输出，所述导叶控制系统模型根据调速器模型输入计算导叶开度输出，所述桨叶控制系统模型根据不同水头下导叶开度与桨叶开度间存在的协联关系计算桨叶开度输出，所述引水系统模型用于将发电用水输送给水轮机，所述水轮机及引水系统模型根据导叶开度输入和桨叶开度输入计算水轮机的机械功率输出。
本发明提供了一种符合实际情况、考虑水力系统非线性及导叶与桨叶双调节特性、仿真精度高、参数测试方便且具有推广应用价值的适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型。本发明具有如下显著效果：(1)本发明的转桨式水轮机调节系统按照实际转桨式水轮机调节系统的结构，采用分环节建模的方法，结构精细、清晰，各组成部分内参数意义明确、易获取；(2)本发明的转桨式水轮机调节系统中各环节的模型均易于辨识，能够更准确地反映设备的真实状态；建模过程快捷、高效、精确；(3)本发明的转桨式水轮机调节系统中的水轮机模型，贴近现实，可准确模拟实际情况；(4)本发明的转桨式水轮机调节系统模型适用于电力系统的仿真分析，且建模所需时间短，实用性强。
如图1所示，需要说明的是，ω表示发电机频率，ωref表示电网频率，Pref/yref表示机组功率给定值，ypid为调速器模型的信号输出值，yg表示导叶开度输出值，yr表示桨叶开度输出值，q为水轮机流量，h为水轮机工作水头，Pm为水轮机机械功率输出。
在本发明中，图3为桨叶控制系统模型的原理图，如图3所示，所述桨叶控制系统模型，包括协联装置和桨叶随动系统，所述导叶控制系统通过协联装置与桨叶随动系统连接，在设定水头下，导叶开度与桨叶开度之间存在协联关系，用五次曲线拟合的方法获取，其拟合函数为
式中，yg为导叶开度，yr为桨叶开度，a0、a1、a2、a3、a4、a5为拟合系数。
所述桨叶控制系统模型，考虑了速率限幅和幅值限制非线性环节，将桨叶角转换为0～1 之间的桨叶开度值，其桨叶开度值的变化动态行为用一阶惯性环节描述为
式中，Gr(s)为桨叶控制系统传递函数，Tyr为桨叶接力器时间常数，s为复数参变量。
如图1-4所示，转桨式水轮机模型在混流式水轮机解析非线性模型的基础上考虑了桨叶开度对水轮机效率的修正作用，即导叶开度与桨叶开度共同影响水轮机模型的机械功率输出，将桨叶开度控制效果视做流量的增加量；
将所述水轮机模型中的水轮机流量与开度、水头的关系看成是阀门关系，可得水轮机解析非线性模型为
Pm＝kp(q-q0)h
式中，q为水轮机流量；y为计及导叶开度与桨叶开度共同影响的等效开度；h为水轮机工作水头；q0为水轮机空载流量；kp为比例系数；Pm为水轮机机械功率输出；为q对h的导数；h0为水轮机静态水头，其标幺值为1；Gh(s)为水轮机引水系统传递函数。
针对转桨式水轮机，计及导叶开度与桨叶开度共同影响的等效开度为
y＝f(yg)·f(yr)
式中，y为转桨式水轮机中计及导叶开度和桨叶开度共同影响后的等效开度，f(yg)为关于yg的函数关系，yg为导叶开度，f(yr)为关于yr的函数关系，yr为桨叶开度。
针对f(yg)，一定水头下水轮机导叶开度与机械功率输出之间为非线性关系，水轮机机械功率输出Pm与等效开度y的稳态标幺值相等，采用三次多项式拟合表征其非线性关系为
式中，b0、b1、b2、b3为拟合系数，yg为导叶开度。
针对f(yr)，考虑桨叶开度对有效流量的影响，可表征为
f(yr)＝yr·Bflow+1
式中，Bflow为桨叶开度对有效流量的影响系数，yr为桨叶开度。
1转桨式水轮机调节系统数学模型
转桨式水轮机调节系统由调速器系统、导叶控制系统和桨叶控制系统、水轮机及引水系统等组成，其模型框图如图1所示。与常见单调节的混流式水轮机机组相比，转桨式水轮机包括两个调节系统，分别控制导叶开度和桨叶开度，且二者之间存在协联关系，即桨叶开度会随导叶开度变化，转轮桨叶角度与导叶开度保持在一定最佳配合位置以提高发电效率。转桨式水轮机的导叶控制系统与一般混流式水轮机原理相同。
1.1调速器系统模型
转桨式水轮机调速器模型与一般混流式水轮机基本一致调速器模型采用BPA(电力系统计算分析软件)中GM卡的模型。大波动动态过程仿真中，采用的导叶控制系统充分体现导叶随动系统的非线性特性，导叶控制系统的主接力器有限速环节及限幅环节，考虑非线性特性后的导叶控制系统原理图如图2所示。
1.2桨叶控制系统模型
转桨式机组采用双调节，其桨叶控制系统包括协联装置及桨叶随动系统。协联装置反映导叶开度与轮叶角度之间的协调关系；其桨叶随动系统与导叶随动系统原理相似，桨叶控制阀组采用比例阀操作桨叶接力器，一定水头下桨叶控制系统模型如图3所示。
1.3水轮机及引水系统模型
对引水系统，考虑水流与引水系统管壁的弹性并忽略它们之间的摩擦，得到引水系统数学模型为
式中，Tw为水流惯性时间常数，Tr为水击相长，Gh(s)为水轮机引水系统传递函数，s为复数参变量。
将式(1)按泰勒级数展开，得到简化的弹性水击模型
若忽略水流及引水管道的弹性，则得到刚性水击模型
Gh(s)＝-Tws (3)
将水轮机流量与开度、水头的关系看成是阀门关系，可得水轮机解析非线性模型如式 (4)～(6)所示。
Pm＝kp(q-q0)h (5)
式中，q为水轮机流量；y为计及导叶开度与桨叶开度共同影响的等效开度；h为水轮机工作水头；q0为水轮机空载流量；kp为比例系数；pm为水轮机机械功率输出；为q对h的导数；h0为水轮机静态水头，其标幺值为1；Gh(s)为水轮机引水系统传递函数。
基于以下4个方面考虑，建立转桨式水轮机非线性模型。
1)对于水轮机正常运行，机组转速一般在额定值附近，水轮机模型忽略机组转速影响；
2)对于引水管道长度小于800m水轮机可以采用刚性水击模型模拟引水管道的动态过程；
3)考虑水轮机机械功率与导叶开度之间的非线性关系；
4)将桨叶开度控制效果视做流量的增加量。
实测结果表明，水轮机导叶开度与机械功率输出之间并不是线性关系，因而采用三次多项式拟合描述两者间的非线性关系为
结合式(4)～(6)，并考虑导叶开度控制、桨叶开度控制、导叶开度与机械功率之间的非线性关系，引水系统采用刚性水击模型，建立转桨式水轮机及引水系统模型如图4所示。
2模型验证
以某水电站实测数据为例进行转桨式水轮机及其调速系统模型验证，该水电站有3台机组，单机容量为55MW，最大容量60MW，水库正常蓄水位368m，额定水头为25m。
2.1导叶与桨叶间协联关系的验证
基于该电厂机组的实测数据，得到在额定水头附近导叶与桨叶的协联关系测试拟合结果如图5(a)所示。
由图5(a)可知，当导叶接力器行程yg小于40％左右时，桨叶接力器行程yr近似为零；桨叶开度最大值(标幺值)为0.9左右。导叶与桨叶间的协联关系采用五次拟合，其结果最贴近实测数据点，而分段一次拟合在开度较小的情况下适用，开度较大的情况下有所误差。实际中每个水轮机组的协联关系都不尽相同，要根据实测数据，求出导叶和桨叶的协联关系。
给定导叶开度扰动，桨叶开度响应的仿真与实测对比如图5(b)所示。
由图5(b)可得，基于导叶与桨叶间的五次多项式拟合的协联关系，其仿真与实测结果基本吻合。
2.2Tyr参数简化的效果验证
选取不同Tyr参数，桨叶接力器反应时间常数Tyr对桨叶控制系统调节特性的影响，仿真结对比如图6所示。
由图6可知，Tyr越大时，调整速率越慢，因而Tyr应越小越好；因受VELopen1、VELclose1速率的限制，Tyr小于1s时的差别相对不明显。
综上，桨叶接力器反应时间常数Tyr的取值影响桨叶控制系统模型的调节效果，应设置在合理的参数范围。考虑到Tyr难以实测，对本算例建模时可以令Tyr取值为1s。当Tyr取值为 1s左右时，即忽略桨叶接力器反应时间环节，对模型仿真结果影响不大，但简化了建模和实测工作。
2.3水轮机调节系统模型验证
由机组频率扰动试验数据辨识或计算得到导叶控制系统模型中参数，并结合得到的协联关系曲线辨识或计算桨叶控制系统模型中参数。
采用智能算法基于实测数据进行参数辨识，定义误差评价指标
式中，Yi为实测值；为仿真值；N为采样总数。
对水轮机及引水系统模型，参数辨识的误差σ为4.4294×10-5。
在一定功率值下，给定机组频率扰动±0.2Hz，导叶开度、桨叶开度及机组输出功率仿真对比如图7所示。
图7所示的导叶开度、桨叶开度响应结果与实测曲线均吻合，表明建立的导叶和桨叶控制系统模型能正确反映其动态特性。
图8所示的机组升降功率试验结果表明，转桨式水轮机非线性模型的响应和实测曲线基本一致，能适应仿真的需要。
2.4模型适用性验证
基于电力系统分析综合程序(PSASP)建立所述转桨式水轮机调节系统模型，在原有8机36 节点系统基础上，在Bus21上增加一台转桨式水轮机及其出厂变压器(新增9#变压器，与9# 转桨式水轮机相接的母线为BUS37)。t＝2.0s时机端发生三相短路故障(BUS21–BUS19线路，距BUS21母线2％处)，t＝2.1s时切除故障线路，仿真结果如图9所示。
由图9可知，三相短路故障后，故障线路两端电压迅速降低，接入的转桨式水轮机组的有功功率和无功功率有较大波动；故障清除后，各测量量逐渐恢复到故障前稳态值；由发电机间相对功角可知，通过发电机及其调速系统自身的调节，三相短路故障清除后系统恢复稳定；对转桨式水轮机而言，其机械功率标幺值在0.64至0.81间波动，桨叶开度变化在0.77 附近小范围波动，导叶开度与桨叶开度变化引起机组功率变化。结果表明，所建立的转桨式水轮机调节系统模型能反映机组和电网的动态特性，可用于电力系统仿真分析。
以上仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构或等效流程变换，或直接或间接运用在其他相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。
Claims (4)
1.一种适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型，其特征在于，包括：调速器模型、导叶控制系统模型、桨叶控制系统模型、水轮机及引水系统模型，所述导叶控制系统模型与桨叶控制系统模型构成转桨式水轮机双调节系统，其中，所述调速器模型的信号输入端用于输入发电机频率与电网频率的频率偏差及机组功率给定值，所述导叶控制系统模型的信号输入端与调速器模型的信号输出端连接，所述桨叶控制系统模型的信号输入端与导叶控制系统模型的信号输出端连接，所述导叶控制系统模型的信号输出端及桨叶控制系统模型的信号输出端均与水轮机及引水系统模型的信号输入端连接；所述调速器模型根据输入的发电机频率与电网频率的频率偏差信号及机组功率给定值计算调速器模型的输出，所述导叶控制系统模型根据调速器模型输入计算导叶开度输出，所述桨叶控制系统模型根据不同水头下导叶开度与桨叶开度间存在的协联关系计算桨叶开度输出，所述引水系统模型用于将发电用水输送给水轮机，所述水轮机及引水系统模型根据导叶开度输入和桨叶开度输入计算水轮机的机械功率输出；
针对转桨式水轮机，计及导叶开度与桨叶开度共同影响的等效开度为
y＝f(yg)·f(yr)
式中，y为转桨式水轮机中计及导叶开度和桨叶开度共同影响后的等效开度，f(yg)为关于yg的函数关系，yg为导叶开度，f(yr)为关于yr的函数关系，yr为桨叶开度；
针对f(yg)，一定水头下水轮机导叶开度与机械功率输出之间为非线性关系，水轮机机械功率输出Pm与等效开度y的稳态标幺值相等，采用三次多项式拟合表征其非线性关系为
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<mi>y</mi>
<mi>g</mi>
<mn>3</mn>
</msubsup>
</mrow>
式中，b0、b1、b2、b3为拟合系数，yg为导叶开度；
针对f(yr)，考虑桨叶开度对有效流量的影响，可表征为
f(yr)＝yr·Bflow+1
式中，Bflow为桨叶开度对有效流量的影响系数，yr为桨叶开度。
2.根据权利要求l所述的一种适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型，其特征在于，所述桨叶控制系统模型，考虑了速率限幅和幅值限制非线性环节，将桨叶角转换为0～1之间的桨叶开度值，其桨叶开度值的变化动态行为用一阶惯性环节描述为
<mrow>
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</mrow>
</mfrac>
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式中，Gr(s)为桨叶控制系统传递函数，Tyr为桨叶接力器时间常数，s为复数参变量。
3.根据权利要求2所述的一种适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型，其特征在于，所述桨叶控制系统模型，包括协联装置和桨叶随动系统，所述导叶控制系统通过协联装置与桨叶随动系统连接，在设定水头下，导叶开度与桨叶开度之间存在协联关系，用五次曲线拟合的方法获取，其拟合函数为
<mrow>
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</mrow>
式中，yg为导叶开度，yr为桨叶开度，a0、a1、a2、a3、a4、a5为拟合系数。
4.根据权利要求3所述的一种适用于电力系统分析的转桨式水轮机调节系统动态模型，其特征在于，转桨式水轮机模型在混流式水轮机解析非线性模型的基础上考虑了桨叶开度对水轮机效率的修正作用，即导叶开度与桨叶开度共同影响水轮机模型的机械功率输出，将桨叶开度控制效果视做流量的增加量；
将所述水轮机模型中的水轮机流量与开度、水头的关系看成是阀门关系，可得水轮机解析非线性模型为
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo>=</mo>
<mi>y</mi>
<msqrt>
<mi>h</mi>
</msqrt>
</mrow>
Pm＝kp(q-q0)h
<mrow>
<mover>
<mi>q</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow>
<msub>
<mi>G</mi>
<mi>h</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>s</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>h</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，q为水轮机流量；y为计及导叶开度与桨叶开度共同影响的等效开度；h为水轮机工作水头；q0为水轮机空载流量；kp为比例系数；Pm为水轮机机械功率输出；为q对h的导数；h0为水轮机静态水头，其标幺值为1；Gh(s)为水轮机引水系统传递函数。
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