CN105022858A - 一种确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法 - Google Patents

Abstract

本申请公开了一种确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法，包括：将三次样条插值函数S(x)的二阶导数S″(x)表示为每个插值区间上的线性函数，对其进行二次积分得到三次样条插值函数S(x)的表达式；对三次样条插值函数S(x)求导，根据插值节点处一阶导数连续的特点建立相邻节点处二阶导数的关系式；根据三种不同的边界条件，分别导出端点方程，进而建立关于三次样条插值函数S(x)在每个节点二阶导数值M_j(j＝0,1,...,n)的线性方程组，对所述线性方程组进行求解以得到三次样条插值函数S(x)的表达式作为插值结果。

Description

一种确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法

技术领域

本发明涉及数据处理技术领域，特别是指一种确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法。

背景技术

高超声速飞行器滑翔飞行段再入走廊，是指返回地球的航天器在再入大气层时必须经过的由两条不同高度的开普勒轨道所决定的区域。对于不限着陆区的再入走廊，可将航天器进入大气层时的速度换算成开普勒轨道的近地点高度。近地点较高的一条开普勒轨道是再入走廊的上界，近地点较低的一条开普勒轨道为再入走廊的下界，两近地点高度之差为再入走廊的宽度。

现有技术中，高超声速飞行器滑翔飞行段再入走廊通常采用两种形式来表述：高度—速度走廊，阻力加速度—能量走廊。其中，高度—速度走廊曲线可以利用参考攻角剖面来进行计算，而阻力加速度—能量走廊可以单位质量所具有的能量公式来进行计算。但是由于由于阻力加速度走廊不能解析地表示，只能通过数值计算逐点计算出来。现有技术中缺乏很好的方法来将阻力加速度走廊用关于能量的函数来进行近似描述。

发明内容

针对现有技术中缺少将阻力加速度走廊用关于能量的函数来进行近似描述的问题，本发明实施例提出了一种确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法，能够通过插值的方法来逐点获取数值点。

为了达到上述目的，本发明实施例提出了一种确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法，包括：

步骤1：将三次样条插值函数S(x)的二阶导数S″(x)表示为每个插值区间上的线性函数，对其进行二次积分得到三次样条插值函数S(x)的表达式。

步骤2：对三次样条插值函数S(x)求导，根据插值节点处一阶导数连续的特点建立相邻节点处二阶导数的关系式；

步骤3：根据三种不同的边界条件，分别导出端点方程，进而建立关于三次样条插值函数S(x)在每个节点二阶导数值M_j(j＝0,1,...,n)的线性方程组，对所述线性方程组进行求解以得到三次样条插值函数S(x)的表达式作为插值结果。

具体的，所述方法包括：

若函数S(x)在区间[a,b]上有二阶连续导数，且在节点x_j上给定函数值y_j＝f(x_j),j＝0,1,…,n，并有下式成立

S(x_j)＝y_j,j＝0,1,2,…,n   (1)

则该函数S(x)为三次样条插值函数。

其中，所述步骤3具体为：

在区间[a,b]的端点a，b上各加一个条件称为边界条件，所述边界条件为以下的任意一种：

已知两端的一阶导数值，即：

S′(x₀)＝f′₀,S′(x_n)＝f′_n   (3)

已知两端的二阶导数值，即：

S″(x₀)＝f″₀,S″(x_n)＝f″_n   (4)

自然边界条件，即：

S″(x₀)＝0,S″(x_n)＝0   (5)

当f(x)是以x_n-x₀为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数；这时边界条件应满足：

$\left\{\begin{array}{c}S(x_0+0)=S(x_n-0),S^{\′}(x_0+0)=S^{\′}(x_n-0)\\ S^{\′\′}(x_0+0)=S^{\′\′}(x_n-0)\end{array}\right.---\left(6\right)$

而此时(1)式中y₀＝y_n；这样确定的样条函数S(x)称为周期样条函数；

设S(x)的二阶导数值S″(x_j)＝M_j(j＝0,1,…,n)，由于S(x)在区间[x_j,x_j+1]上是三次多项式，故S″(x)在[x_j,x_j+1]上是线性函数，可表示为：

$S^{\′\′}\left(x\right)=M_j\frac{x_{j+1}-x}{h_j}+M_{j+1}\frac{x-x_j}{h_j},h_j=x_{j+1}-x_j---\left(7\right)$

对S″(x)积分两次并利用S(x_j)＝y_j及S(x_j+1)＝y_j+1，可定出积分常数，得到三次样条插值函数的表达式为：

$\begin{array}{c}S\left(x\right)=M_j\frac{{(x_{j+1}-x)}^3}{{6h}_j}+M_{j+1}\frac{{(x-x_j)}^3}{{6h}_j}+(y_j-\frac{M_j{h_j}^2}{6})\frac{(x_{j+1}-x)}{h_j}\\ +(y_{j+1}-\frac{M_{j+1}{h_j}^2}{6})\frac{\left({x-x}_j\right)}{h_j},j=\mathrm{0,1},...,n-1\end{array}---\left(8\right)$

这里M_j(j＝0,1,…,n-1)是未知的，为了确定M_j(j＝0,1,…,n-1)，对S(x)求导得

$S^{\′}\left(x\right)=-M_j\frac{{(x_{j+1}-x)}^2}{{2h}_j}+M_{j+1}\frac{{(x-x_j)}^2}{{2h}_j}+\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}-\frac{M_{j+1}-M_j}{6}{h}_j---\left(9\right)$

由此可求得 

$S^{\′}(x_j+0)=-\frac{h_j}{3}{M}_j-\frac{h_j}{6}{M}_{j+1}+\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}---\left(10\right)$

类似地可求出S(x)在区间[x_j-1,x_j]上的表达式，进而得到

$S^{\′}(x_j+0)=-\frac{h_{j-1}}{3}{M}_{j-1}+\frac{h_{j-1}}{6}{M}_j+\frac{y_j-y_{j-1}}{h_{j-1}}---\left(11\right)$

利用S′(x_j+0)＝S′(x_j-0),j＝1,2,…,n-1可得

μ_jM_j-1+2M_j+λ_jM_j+1＝d_j,j＝1,2,…,n-1   (12) 

其中

${\mathrm{\μ}}_j=\frac{h_{j-1}}{h_{j-1}+h_j},{\mathrm{\λ}}_j=\frac{h_j}{h_{j-1}+h_j},d_j=6\frac{f[x_j,,x_{j+1}]-f[x_{j-1},x_j]}{h_{j-1}+h_j},$

$f[x_j,x_{j+1}]=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{x_{j+1}-x_j},j=\mathrm{1,2},...,n-1---\left(13\right)$

对第一种边界条件式(3)，可导出两个方程

$\left\{\begin{array}{c}{2M}_0+M_1=\frac{6}{h_0}\left(f\right[x_0,x_1]-f_0^{\′})\\ M_{n-1}+{2M}_n=\frac{6}{h_{n-1}}(f_n^{\′}-f[x_{n-1},x_n\left]\right)\end{array}\right.---\left(14\right)$

如果令λ₀＝1， $d_0=\frac{6}{h_0}\left(f\right[x_0,x_1]-f_0^{\′}),$ μ_n＝1， $d_n=\frac{6}{h_{n-1}}(f_n^{\′}-f[x_{n-1},x_n\left]\right),$ 则式(12)和(14)可写成矩阵形式：

对第二种边界条件(4)，直接得端点方程

M₀＝f″₀,M_n＝f″_n   (16)

如果令λ₀＝μ_n＝0,d₀＝2f″₀,d_n＝2f″_n，则式(12)和(16)也可以写成式(15)的形式；对第三种边界条件式(6)，可得

M₀＝M_n,λ_nM₁+μ_nM_n-1+2M_n＝d_n   (17) 

其中

${\mathrm{\λ}}_n=\frac{h_0}{h_{n-1}+h_0},{\mathrm{\μ}}_n=1-{\mathrm{\λ}}_n=\frac{h_{n-1}}{h_{n-1}+h_0},$

$d_n=6\frac{f[x_0,x_1]-f[x_{n-1},x_n]}{h_{n-1}+h_0}$

式(12)和(17)可以写成矩阵形式：

线性方程组式(15)和(18)是关于M_j(j＝0,1,…,n)的三对角线性方程组，M_j在力学上解释为细梁在x_j截面处的弯矩，称为S(x)的矩，因此线性方程组式(15)和(18)称为三弯矩方程；方程组的系数矩阵中的元素λ_j,μ_j已完全确定，并且满足λ_j≥0,μ_j≥0,λ_j+μ_j＝1，因此系数矩阵为严格对角占优阵，从而方程组式(15)和(18)有唯一解；用追赶法求解出M_j代入式(8)中即可得到S(x)。

本发明的上述技术方案的有益效果如下：

上述方法中提出了一种方法，能够通过插值的方式解决阻力加速度走廊只能通过数值计算逐点计算的问题，使得阻力加速度走廊可以通过关于能量的函数近似描述，进而利用剩余航程与阻力加程度的近似关系，计算出阻力加速度走廊上/下界对应的剩余航程，并根据当前任务的剩余航程解析地计算出最大、最小阻力加速度曲线的加权系数，完成参考轨迹规划。

附图说明

图1为本发明实施例的系统的拓扑结构图。

具体实施方式

为使本发明要解决的技术问题、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实例进行详细描述。

本发明实施例的流程如图1所示的，包括：

将三次样条插值函数S(x)的二阶导数S″(x)表示为每个插值区间上的线性函数，对其进行二次积分得到三次样条插值函数S(x)的表达式；

对三次样条插值函数S(x)求导，根据插值节点处一阶导数连续的特点建立相邻节点处二阶导数的关系式；

根据三种不同的边界条件，分别导出端点方程，进而建立关于三次样条插值函数S(x)在每个节点二阶导数值M_j(j＝0,1,...,n)的线性方程组，对所述线性方程组进行求解以得到三次样条插值函数S(x)的表达式作为插值结果。

其中，所述三次样条插值函数S(x)通过以下方式获得：

若函数S(x)在区间[a,b]上有二阶连续导数，且在节点x_j上给定函数值y_j＝f(x_j),j＝0,1,…,n，并有下式成立

S(x_j)＝y_j,j＝0,1,2,…,n   (1)

则该函数S(x)为三次样条插值函数。

其中，所述三种不同的边界条件通过以下方式获得：

在区间[a,b]的端点a，b上各加一个条件称为边界条件，所述边界条件为以下的任意一种：

已知两端的一阶导数值，即：

S′(x₀)＝f′₀,S′(x_n)＝f′_n   (3)

已知两端的二阶导数值，即：

S″(x₀)＝f″₀,S″(x_n)＝f″_n   (4)

自然边界条件，即：

S″(x₀)＝0,S″(x_n)＝0   (5)。

其中，所述三次样条插值函数S(x)的表达式通过以下方式获得：

当f(x)是以x_n-x₀为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数；这时边界条件应满足：

$\left\{\begin{array}{c}S(x_0+0)=S(x_n-0),S^{\′}(x_0+0)=S^{\′}(x_n-0)\\ S^{\′\′}(x_0+0)=S^{\′\′}(x_n-0)\end{array}\right.---\left(6\right)$

而此时(1)式中y₀＝y_n；这样确定的样条函数S(x)称为周期样条函数；

设S(x)的二阶导数值S″(x_j)＝M_j(j＝0,1,…,n)，由于S(x)在区间[x_j,x_j+1]上是三次多项式，故S″(x)在[x_j,x_j+1]上是线性函数，可表示为：

$S^{\′\′}\left(x\right)=M_j\frac{x_{j+1}-x}{h_j}+M_{j+1}\frac{x-x_j}{h_j},h_j=x_{j+1}-x_j---\left(7\right)$

对S″(x)积分两次并利用S(x_j)＝y_j及S(x_j+1)＝y_j+1，可定出积分常数，得到三次样条插值函数的表达式为：

$\begin{array}{c}S\left(x\right)=M_j\frac{{(x_{j+1}-x)}^3}{{6h}_j}+M_{j+1}\frac{{(x-x_j)}^3}{{6h}_j}+(y_j-\frac{M_j{h_j}^2}{6})\frac{(x_{j+1}-x)}{h_j}\\ +(y_{j+1}-\frac{M_{j+1}{h_j}^2}{6})\frac{\left({x-x}_j\right)}{h_j},j=\mathrm{0,1},...,n-1\end{array}---\left(8\right)$

这里M_j(j＝0,1,…,n-1)是未知的，为了确定M_j(j＝0,1,…,n-1)，对S(x)求导得

$S^{\′}\left(x\right)=-M_j\frac{{(x_{j+1}-x)}^2}{{2h}_j}+M_{j+1}\frac{{(x-x_j)}^2}{{2h}_j}+\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}-\frac{M_{j+1}-M_j}{6}{h}_j---\left(9\right)$

由此可求得 

$S^{\′}(x_j+0)=-\frac{h_j}{3}{M}_j-\frac{h_j}{6}{M}_{j+1}+\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}---\left(10\right)$

类似地可求出S(x)在区间[x_j-1,x_j]上的表达式，进而得到

$S^{\′}(x_j+0)=-\frac{h_{j-1}}{3}{M}_{j-1}-\frac{h_{j-1}}{6}{M}_j+\frac{y_j-y_{j-1}}{h_{j-1}}---\left(11\right)$

利用S′(x_j+0)＝S′(x_j-0),j＝1,2,…,n-1可得

μ_jM_j-1+2M_j+λ_jM_j+1＝d_j,j＝1,2,…,n-1   (12) 

其中

${\mathrm{\μ}}_j=\frac{h_{j-1}}{h_{j-1}+h_j},{\mathrm{\λ}}_j=\frac{h_j}{h_{j-1}+h_j},d_j=6\frac{f[x_j,,x_{j+1}]-f[x_{j-1},x_j]}{h_{j-1}+h_j},$

$f[x_j,x_{j+1}]=\frac{f\left(x_{j+1}\right)-f\left(x_j\right)}{x_{j+1}-x_j},j=\mathrm{1,2},...,n-1---\left(13\right)$

对第一种边界条件式(3)，可导出两个方程

$\left\{\begin{array}{c}{2M}_0+M_1=\frac{6}{h_0}\left(f\right[x_0,x_1]-f_0^{\′})\\ M_{n-1}{+2M}_n=\frac{6}{h_{n-1}}(f_n^{\′}-f[x_{n-1},x_n\left]\right)\end{array}\right.---\left(14\right)$

如果令λ₀＝1， $d_0=\frac{6}{h_0}\left(f\right[x_0,x_1]-f_0^{\′}),$ μ_n＝1， $d_n=\frac{6}{h_{n-1}}(f_n^{\′}-f[x_{n-1},x_n\left]\right),$ 则式(12)和(14)可写成矩阵形式：

对第二种边界条件(4)，直接得端点方程

M₀＝f″₀,M_n＝f″_n   (16)

如果令λ₀＝μ_n＝0,d₀＝2f″₀,d_n＝2f″_n，则式(12)和(16)也可以写成式(15)的形式；对第三种边界条件式(6)，可得

M₀＝M_n,λ_nM₁+μ_nM_n-1+2M_n＝d_n   (17) 

其中

${\mathrm{\λ}}_n=\frac{h_0}{h_{n-1}+h_0},{\mathrm{\μ}}_n=1-{\mathrm{\λ}}_n=\frac{h_{n-1}}{h_{n-1}+h_0},$

$d_n=6\frac{f[x_0,x_1]-f[x_{n-1},x_n]}{h_{n-1}+h_0}$

式(12)和(17)可以写成矩阵形式：

线性方程组式(15)和(18)是关于M_j(j＝0,1,…,n)的三对角线性方程组，M_j在 力学上解释为细梁在x_j截面处的弯矩，称为S(x)的矩，因此线性方程组式(15)和(18)称为三弯矩方程；方程组的系数矩阵中的元素λ_j,μ_j已完全确定，并且满足λ_j≥0,μ_j≥0,λ_j+μ_j＝1，因此系数矩阵为严格对角占优阵，从而方程组式(15)和(18)有唯一解；用追赶法求解出M_j代入式(8)中即可得到S(x)。

以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明所述原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法，其特征在于，包括：

将三次样条插值函数S(x)的二阶导数S″(x)表示为每个插值区间上的线性函数，对其进行二次积分得到三次样条插值函数S(x)的表达式；

对三次样条插值函数S(x)求导，根据插值节点处一阶导数连续的特点建立相邻节点处二阶导数的关系式；

根据三种不同的边界条件，分别导出端点方程，进而建立关于三次样条插值函数S(x)在每个节点二阶导数值M_j(j＝0,1,...,n)的线性方程组，对所述线性方程组进行求解以得到三次样条插值函数S(x)的表达式作为插值结果。

2.根据权利要求1所述的确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法，其特征在于，所述三次样条插值函数S(x)通过以下方式获得：

若函数S(x)在区间[a,b]上有二阶连续导数，且在节点x_j上给定函数值y_j＝f(x_j),j＝0,1,…,n，并有下式成立

S(x_j)＝y_j,j＝0,1,2,…,n(1)

则该函数S(x)为三次样条插值函数。

3.根据权利要求2所述的确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法，其特征在于，所述三种不同的边界条件通过以下方式获得：

在区间[a,b]的端点a，b上各加一个条件称为边界条件，所述边界条件为以下的任意一种：

已知两端的一阶导数值，即：

S′(x₀)＝f₀′,S′(x_n)＝f_n′   (3)

已知两端的二阶导数值，即：

S″(x₀)＝f₀″,S″(x_n)＝f_n″   (4)

自然边界条件，即：

S″(x₀)＝0,S″(x_n)＝0   (5)。

4.根据权利要求3所述的确定滑翔飞行器阻力加速度走廊边界的方法，其特征在于，所述三次样条插值函数S(x)的表达式通过以下方式获得：

当f(x)是以x_n-x₀为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数；这时边界条件应满足：

而此时(1)式中y₀＝y_n；这样确定的样条函数S(x)称为周期样条函数；

设S(x)的二阶导数值S″(x_j)＝M_j(j＝0,1,…,n)，由于S(x)在区间[x_j,x_j+1]上是三次多项式，故S″(x)在[x_j,x_j+1]上是线性函数，可表示为：

对S″(x)积分两次并利用S(x_j)＝y_j及S(x_j+1)＝y_j+1，可定出积分常数，得到三次样条插值函数的表达式为：

这里M_j(j＝0,1,…,n-1)是未知的，为了确定M_j(j＝0,1,…,n-1)，对S(x)求导得

由此可求得

类似地可求出S(x)在区间[xj-1,xj]上的表达式，进而得到

利用S′(x_j+0)＝S′(x_j-0),j＝1,2,…,n-1可得

μ_jM_j-1+2M_j+λ_jM_j+1＝d_j,j＝1,2,…,n-1   (12) 

其中

对第一种边界条件式(3)，可导出两个方程

如果令则式(12)和(14)可写成矩阵形式：

对第二种边界条件(4)，直接得端点方程

M₀＝f₀″,M_n＝f_n″   (16)

如果令λ₀＝μ_n＝0,d₀＝2f₀″,d_n＝2f_n″，则式(12)和(16)也可以写成式(15)的形式；对第三种边界条件式(6)，可得

M₀＝M_n,λ_nM₁+μ_nM_n-1+2M_n＝d_n   (17) 

其中

式(12)和(17)可以写成矩阵形式：

线性方程组式(15)和(18)是关于M_j(j＝0,1,…,n)的三对角线性方程组，M_j在力学上解释为细梁在x_j截面处的弯矩，称为S(x)的矩，因此线性方程组式(15)和(18)称为三弯矩方程；方程组的系数矩阵中的元素λ_j,μ_j已完全确定，并且满足λ_j≥0,μ_j≥0,λ_j+μ_j＝1，因此系数矩阵为严格对角占优阵，从而方程组式(15)和(18)有唯一解；用追赶法求解出M_j代入式(8)中即可得到S(x)。