CN105004269B

CN105004269B - 一种用于激光跟踪仪的四象限传感器光斑偏移量测量方法

Info

Publication number: CN105004269B
Application number: CN201510420224.2A
Authority: CN
Inventors: 陈洪芳; 谭志; 石照耀; 宋辉旭
Original assignee: Beijing University of Technology
Current assignee: Beijing Ableway Technology Co ltd
Priority date: 2015-07-16
Filing date: 2015-07-16
Publication date: 2017-10-10
Anticipated expiration: 2035-07-16
Also published as: CN105004269A

Abstract

一种用于激光跟踪仪的四象限探测器光斑偏移量测量方法。基于该光斑偏移量测量方法，四象限探测器采用对角线法布置。当光斑刚好落在探测器的中心时，探测器四个象限输出的光电流信号幅值完全相等，偏差为零。当激光光斑相对于探测器中心产生偏移，探测器四个象限由于光辐射量不同输出不同的光电流信号。然后，分别对水平和垂直两路对角线上的信号做差，再对做差的信号归一化计算。接着，根据归一化信号与光斑偏移量的等量关系，得出偏移量的近似值，再利用泰勒展开对等量关系进行线性化处理后，求出偏移量近似值对应的改正值。最后，把近似值和改正值相加得到准确的光斑偏移量。本发明可以实时准确测量光斑偏移量，来提高激光跟踪仪的跟踪精度。

Description

一种用于激光跟踪仪的四象限传感器光斑偏移量测量方法

技术领域

本发明涉及一种测量方法，特别是用于激光跟踪仪的四象限传感器光斑偏移量测量方法。属于精密测试技术领域。

背景技术

激光跟踪仪是一种高精度的便携式三维坐标测量设备，用于超大空间几何量精密测量和动态轨迹测量，其具有方便、动态、快速、测量精度高等优点。

激光跟踪仪的工作原理是在目标点上安置一个靶镜，激光跟踪仪发出的测量光入射到靶镜上，又返回到跟踪仪。当测量光入射到靶镜的中心位置，则激光原路返回照射在四象限传感器的中心；当靶镜移动，激光偏离靶镜中心时，反射光会经过光路在四象限传感器上产生一个偏移值，即光斑偏移量。控制器会根据光斑偏移量控制电机转动以调整光束方向直到光斑偏移量为零，实现对靶镜的跟踪。

根据四象限传感器的工作原理，传感器的输出信号与光斑偏移量存在等量关系。但这种关系是非线性的超越函数关系，为解得光斑偏移量，常用的解算方法有查表法、迭代法和分段线性插值法等。

查表法就是预先解出每一个传感器输出信号对应的光斑偏移量，并将结果存放在表格内，查表时根据查表地址读取相应的数据即可得到最终结果。查表法是非常直接、简单的方法，但对系统存储空间要求较高。迭代法是根据初始值多次进行迭代运算，满足精度要求或者迭代次数上限时停止迭代，并将迭代结果输出。这种方法程序存储量小，但迭代意味着需要对反函数进行多次计算，计算量较大，对于实时性要求较高的场合不适用，并且迭代次数越多计算结果的累积误差越大。分段线性插值法就是在小范围内用分段的直线去拟合曲线，并用直线段来代替曲线作近似处理的方法，但是这种方法在计算精度与分段范围上很难平衡，而分段越细运算量越大。综上，现有的几种方法不能满足高精度实时解算四象限传感器光斑偏移量。

为此有必要发明一种准确、实时计算光斑偏移量的方法，以提高激光跟踪仪的跟踪精度。

发明内容

技术的四象限传感器光斑偏移量测量方法，具有高精度、实时测量和计算简单等特点。

为达到以上目的，本发明是采取如下技术方案予以实现的：

一种用于激光跟踪仪的四象限传感器光斑偏移量测量方法，该方法包括下述测量步骤：

首先，将四象限传感器采用如图1所示对角线法布置，即将四象限传感器的坐标轴相对于系统位置坐标轴顺时针旋转45度。保持激光垂直照射在四象限传感器上，当激光光斑在系统坐标系内沿水平(竖直)方向移动时，光斑相应地在四象限传感器坐标系内沿对角线方向移动。如图2所示，设系统的坐标系为mOn，四象限传感器坐标系为xOy，激光光斑中心在四象限坐标系下的坐标为(X，Y)，激光光斑中心在系统坐标系下的坐标为(M，N)，激光光斑的半径为r，则光斑边界围成的圆在四象限传感器坐标系下的方程为：

(x-X)²+(y-Y)²＝r² (1)

根据极坐标与直角坐标的转换公式，

公式(2)中，l是圆上任意一点的极径，t是圆上任意一点的极角，l₀是圆心的极径，t₀是圆心的极角。

将公式(1)转换成极坐标系下的方程为：

此时，若激光光斑刚好落在四象限传感器的中心，则传感器四个象限输出的光电流信号幅值完全相等，光斑偏移量为零。若激光光斑中心与传感器中心发生偏移，传感器四个象限因光辐射量不同输出幅值不同的光电流信号。由于光电流很小，要对每个象限的输出信号进行放大处理。设I₁，I₂，I₃，I₄表示按逆时针顺序排列的4个象限的输出光电流，U₁，U₂，U₃，U₄分别表示各路电流经过放大后的输出电压值，则：

U_k＝βI_k(k＝1,2,3,4) (4)

公式(4)中，β为4路放大电路的增益。

根据四象限传感器工作原理，四象限传感系统得到的信号电流与光斑投射在传感器光敏面上的面积成正比，设比例系数为A，则公式(4)表示为

U_k＝βI_k＝βAS_k(k＝1,2,3,4) (5)

公式(5)中，S_k(k＝1,2,3,4)是光斑在每个象限D_k(k＝1,2,3,4)上的光照面积。

激光光斑沿系统坐标系水平方向的原始偏差信号，也即光斑沿四象限传感器坐标系对角线m方向的原始偏差信号E_m，由相对象限D₁，D₃上的光照面积求出：

E_m＝βA(S₁-S₃) (6)

将公式(4)(5)代入公式(6)有：

E_m＝U₁-U₃ (7)

同理，激光光斑沿竖直方向的原始偏差信号，也即光斑沿四象限传感器坐标系对角线n方向的原始偏差信号E_n为

E_n＝U₂-U₄ (8)

对两个方向的原始偏差信号E_m、E_n进行归一化处理得到K_m、K_n：

每个象限的光照面积在极坐标系下利用二重积分来计算，则第一象限D₁的光照面积S₁为：

由(3)式得到极坐标系下的l(t)为：

对于第二，三，四象限D₂，D₃，D₄上的光照面积，只需要分别把公式(10)中的极角t的积分限分别换成[π/2，π]，[π，3π/2]，[3π/2，2π]。然后把公式(10)(11)代入公式(9)分别得到m，n方向上光斑归一化后的偏移信号：

根据直角坐标系与极坐标系的转换关系，把公式(12)(13)转换到直角坐标系下有

对(14)(15)式进行和差变换，得到

公式(16)是一个非线性方程组，直接求解异常繁锁，采用下述方式给予解决：

由于光斑中心离开坐标原点的距离X、Y均远小于光斑的半径r，对公式(16)取一级近似得到：

根据从传感器信号处理电路得到的光斑偏移信号K_m(X,Y)、K_n(X,Y)和已知的光斑半径r按照公式(17)求出一组光斑中心在四象限传感器坐标系的近似值(X₀,Y₀)。再对(16)式在(X₀,Y₀)处取泰勒展开，有：

公式(18)是两个关于ΔX、ΔY的一元二次方程，利用求根公式求出光斑中心坐标的改正值(ΔX,ΔY)。

把光斑中心坐标的近似值(X₀,Y₀)与改正值(ΔX,ΔY)相加，得到光斑在当前位置四象限传感器坐标系中的准确坐标(X,Y)。

接着，转换四象限传感器坐标系xOy下偏移信号到系统坐标系mOn下。两个坐标系间的夹角是45°，根据坐标变换公式，光斑偏移信号在系统坐标系mOn中的表达式为：

最后，根据公式(19)得到光斑在当前位置系统坐标系中水平和垂直方向上准确的偏移量(M,N)，进而控制偏摆和俯仰方向的电机准确进行跟踪。

综上，本发明方法基于四象限传感器的工作原理，通过极坐标公式和坐标变换公式建立了四象限传感器输出信号与光斑偏移量之间准确的等量关系，利用泰勒级数展开把求解这个超越函数关系转化为求解一元二次方程组，分别计算出光斑偏移量的近似值与改正值。整个测量方法可以脱离上位机在普通嵌入式系统中完成，计算简单，操作方便，有利于激光跟踪仪的便携式设计。本方法能准确、实时地测量激光光斑的偏移量，从而提高激光跟踪仪跟踪精度。

附图说明

图1是四象限传感器布置方式示意图。

图2是四象限传感器光斑位置对比示意图。

图3是四象限传感器几何关系示意图。

图4是验证实验布置示意图。

图5是计算光斑偏移量流程图。

图6是偏移量、偏移量近似值、偏移量改正值的曲线图。

图7是平台位移量与计算出光斑偏移量间的误差曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明。

为了验证用于激光跟踪仪的四象限传感器光斑偏移量测量方法的有效性和正确性。验证实验采用如附图3所示的实验布置来进行四象限传感器光斑偏移量的测量。计算光斑偏移量流程如图4所示。具体的测量方法如下所述：

1)把SIOS激光干涉仪固定在三角架上，SIOS激光干涉仪经过耦合的输出功率大约800μw左右，激光光斑直径为2mm。然后，将四象限传感器固定在FormFree300的测量工作台上。FormFree300是一台高精度的柱式直角坐标测量机，它的测量工作平台通过气浮装置安装在基座平面上，并通过H型机构导向实现X方向和Y方向的直线运动，其中X轴的定位精度经过调试达到0.717μm，Y轴的定位精度为2.451μm。传感器每个象限输出的光电流信号经过模拟电路放大滤波后，输入到四象限传感器的信号采集板，采集板的中央控制模块采用STC15F2K60S2。信号采集板与上位机用RS232串口连接，向上位机发送采集到的信号和计算出的光斑偏移量并在上位机上显示。

2)垂直方向上调节三角架，水平方向上调节气浮平台，让四象限传感器输出的偏差信号为零，此时激光光斑位于四象限传感器中心。保持SIOS激光干涉仪不动，控制FormFree300X轴上的气浮平台从中心位置向两边以50μm为步距各移动10次，在每个位置对采集的四象限传感器信号进行均值滤波，再计算出光斑的偏移量。

3)分别对滤波后的水平和垂直两路对角线上的信号按照公式(7)(8)做差，得到四象限传感器在水平和垂直方向上的原始偏差信号E_m、E_n，再对原始偏差信号E_m、E_n按照(9)式归一化计算，得到归一化偏差信号K_m、K_n。接着，根据归一化偏差信号与光斑偏移量等量关系的化简式(17)，结合已知的光斑半径，得出光斑偏移量的近似值(X₀,Y₀)。再对等量关系的泰勒展开式(18)运用求根公式，求出每个偏移量近似值对应的改正值(ΔX,ΔY)。接着，把近似值和改正值相加得到当前位置在四象限传感器坐标系中准确的光斑偏移量。最后，根据公式(19)转换四象限传感器坐标系xOy下光斑中心坐标到系统坐标系mOn下，得到光斑在当前位置系统坐标系中水平和垂直方向上准确的偏移量。把每个位置下四象限传感器输出的归一化偏差信号K_m、K_n，和根据偏差信号求出的光斑偏移量如表1所示。

表1实验测量数据

Keil uVision是众多单片机应用开发软件中最优秀的软件之一，它支持众多不同公司的MCS51架构的芯片，甚至ARM，它集编辑，编译，仿真等于一体。在Keil uVision4中对光斑偏移量测量程序进行仿真，完成一次光斑偏移量的测量需要0.00095156s，即一秒钟可以测量1050次光斑偏移量，达到了对光斑偏移量的实时测量。

对计算过程中的系统坐标系下偏移量近似值与偏移量改正值绘制如图5所示的曲线图。对平台位移量与系统坐标系下光斑偏移量间的误差绘制如图6所示曲线图。

由图表中可知，距离传感器的中心的距离越近，测量误差越小；距离传感器中心的距离越远，测量误差越大。在400μm的范围内，测量误差在5μm以内；在1000μm的范围内，测量误差在13.2μm以内。

Claims

1.一种用于激光跟踪仪的四象限传感器光斑偏移量测量方法，该方法包括下述测量步骤：

首先，将四象限传感器采用对角线法布置，即将四象限传感器的坐标轴相对于系统位置坐标轴顺时针旋转45度；保持激光垂直照射在四象限传感器上，当激光光斑在系统坐标系内沿水平或竖直方向移动时，光斑相应地在四象限传感器坐标系内沿对角线方向移动；设系统坐标系为mOn，四象限传感器坐标系为xOy，激光光斑中心在四象限坐标系下的坐标为(X，Y)，激光光斑中心在系统坐标系下的坐标为(M，N)，激光光斑的半径为r，则光斑边界围成的圆在四象限传感器坐标系下的方程为：

(x-X)²+(y-Y)²＝r² (1)

根据极坐标与直角坐标的转换公式，

x＝l cos(t)

y＝l sin t(t)

X＝l₀ cos(t₀) (2)

Y＝l₀ sin(t₀)

公式(2)中，l是圆上任意一点的极径，t是圆上任意一点的极角，l₀是圆心的极径，t₀是圆心的极角；

将公式(1)转换成极坐标系下的方程为：

此时，若激光光斑刚好落在四象限传感器的中心，则传感器四个象限输出的光电流信号幅值完全相等，光斑偏移量为零；若激光光斑中心与传感器中心发生偏移，传感器四个象限因光辐射量不同输出幅值不同的光电流信号；由于光电流很小，要对每个象限的输出信号进行放大处理；设I₁，I₂，I₃，I₄表示按逆时针顺序排列的4个象限的输出光电流，U₁，U₂，U₃，U₄分别表示各路电流经过放大后的输出电压值，则：

U_k＝βI_k(k＝1,2,3,4) (4)

公式(4)中，β为4路放大电路的增益；

U_k＝βI_k＝βAS_k(k＝1,2,3,4) (5)

公式(5)中，S_k(k＝1,2,3,4)是光斑在每个象限D_k(k＝1,2,3,4)上的光照面积；

E_m＝βA(S₁-S₃) (6)

将公式(4)(5)代入公式(6)式有：

E_m＝U₁-U₃ (7)

E_n＝U₂-U₄ (8)

<mrow> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mi>&pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msubsup> <mi>l</mi> <mi>d</mi> <mi>l</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mi>&pi;</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

由(3)式得到极坐标系下的l(t)为：

对于第二，三，四象限D₂，D₃，D₄上的光照面积，只需要分别把公式(10)中的极角t的积分限分别换成[π/2，π]，[π，3π/2]，[3π/2，2π]；然后把公式(10)(11)代入公式(9)分别得到m，n方向上光斑归一化后的偏移信号：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <mo>-</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Y</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Y</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>(</mo> <mi>Y</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对公式(14)(15)进行和差变换，得到

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Y</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Y</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>(</mo> <mi>Y</mi> <mo>/</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据从传感器信号处理电路得到的光斑偏移信号K_m(X,Y)、K_n(X,Y)和已知的光斑半径r按照等式(17)求出一组光斑中心在四象限传感器坐标系的近似值(X₀,Y₀)；再对(16)式在(X₀,Y₀)处取泰勒展开，有：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>K</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>X</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mi>X</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mfrac> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>X</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&Delta;</mi> <mi>X</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>Y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>)</mo> <msqrt> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>Y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>Y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <mi>&Delta;</mi> <mi>Y</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mfrac> <msub> <mi>Y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>Y</mi> <mn>0</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mi>&pi;</mi> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

公式(18)是两个关于ΔX、ΔY的一元二次方程，利用求根公式求出光斑中心坐标的改正值(ΔX,ΔY)；

把光斑中心坐标的近似值(X₀,Y₀)与改正值(ΔX,ΔY)相加，得到光斑在当前位置四象限传感器坐标系中的准确坐标(X,Y)；

转换四象限传感器坐标系xOy下偏移信号到系统坐标系mOn下，两个坐标系间的夹角是45°，根据坐标变换公式，光斑偏移信号在系统坐标系mOn中的表达式为：

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>M</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>N</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>X</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>Y</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>X</mi> <mo>+</mo> <mi>Y</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>Y</mi> <mo>-</mo> <mi>X</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>