CN104992020A - 一种n型Si材料中电子输运问题的Monte Carlo模拟方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种n型Si材料中电子输运问题的Monte Carlo模拟方法，其步骤如下：一、载流子散射机制的确定以及对应输入条件下各种散射率的计算；二、载流子漂移模型的建立以及载流子漂移后能量与波矢量的计算；三、载流子散射模型的建立以及散射类型的选择；四、Monte Carlo方法模拟n型半导体Si材料中电子的输运问题计算程序的实现。本发明使得计算n型Si材料的平均速率以及迁移率变得简单快捷，避免了之前使用实验测试方法受到半导体器件尺寸以及实验条件影响造成的难测试以及误差较大等一系列问题，而且该方法具有较强的可推广性，其他半导体材料载流子输运或微观粒子的碰撞问题也可以通过改变对应的输入参数来进行计算。

Description

一种n型Si材料中电子输运问题的Monte Carlo模拟方法

技术领域

本发明属于光学基础理论仿真与计算研究领域，涉及一种n型Si材料中电子输运问题的Monte Carlo模拟方法。

背景技术

从发现Si材料到后来Si材料的迅速发展以及创新，有着漫长的历史。第一代商业Si晶体管由Texas Instrument在1954年5月制造出。因为Si材料有着良好的绝缘界面，好的温度稳定性以及低廉的成本等优势，所以在微电子工业中一直有着重要的作用。研究半导体材料中载流子的输运过程，计算漂移速度与迁移率，将有助于我们了解半导体材料的内部结构，进而把握半导体器件的工作特性。在过去的几十年里，对于漂移速度与迁移率的测定大多采用实验直接测量的方法，比如TOP法、霍尔效应法、电流电压特性法、SIC法等，对于较大尺寸的器件，这些方法都可以得到较准确的结果。但是随着集成电路行业的迅速发展，所制造的器件的尺寸也越来越小。对于小型器件的模拟，上边这些传统的实验方法测得的结果精度远远不够。而此时作为计算数学分支之一的Monte Carlo方法在核反应计算方面的快速发展，为我们解决这一问题提供了思路。Monte Carlo方法可以较好地解决多维或者是因素比较多的问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种利用Monte Carlo方法建立模型来计算n型Si材料中电子的平均漂移速度与迁移率的方法。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种n型Si材料中电子输运问题的Monte Carlo模拟方法，主要包括以下四个步骤：

一、载流子散射机制的确定以及对应输入条件下各种散射率的计算：

在设定好模拟温度、外电场强度以及半导体掺杂浓度三个基本模拟条件后，半导体载流子的散射方式直接决定了载流子碰撞的方式以及碰撞后的波矢量及能量的分布，进而影响着其下一步的运动状态。依据发明中所提出的散射机制(半导体载流子的电离杂质散射与品格散射)，计算在基本仿真条件下电离杂质散射与声学声子散射的散射率。

经过推导后的电离杂质散射的散射率计算公式为：

$W\left(k\right)=\frac{2\mathrm{\π}}{h}\·\frac{{\mathrm{NZ}}^2{e}^{4}N\left(E_K\right)}{{\mathrm{\ϵ}}^2}\·\frac{\mathrm{\δ}(E_{K^{\′}}-E_k)}{(4k^2+q_D^2)q_D^2}$

式中：N(E_K)——状态密度，表达式如下：

$N\left(E_K\right)=\frac{{\left(2m^{*}\right)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{E_k}}{4{\mathrm{\π}}^2{h}^3}.$

电子散射后的方位角可以通过0到2π之间均匀分布的随机数来确定。散射极角θ可以通过以下公式求得：

$cos\mathrm{\θ}=1-\frac{2r}{1+(1-r){\left(\frac{2k}{q_D}\right)}^2}.$

经过推导后的声学声子散射的散射率计算公式为：

$W=\frac{1}{{\mathrm{\τ}}_a}=\frac{{(m*)}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{\Ξ}}^2{K}_{B}T{\left(2E\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\mathrm{\π}}^2{h}^4{c}_1}.$

依据以上两种散射机制的推导结果，计算得到对应状态下的散射率大小。

二、载流子漂移模型的建立以及载流子漂移后能量与波矢量的计算：

在外加电场的作用下，将载流子看做具有有效质量的自由粒子，将其漂移运动等效为载流子在电场中的做宏观牛顿力学运动，依据牛顿力学原理，建立载流子漂移模型，模型的建立过程如下：

半导体在热平衡状态下所具有的能量满足：

E_k＝-K_BTln(r)；

式中：E_k——电子所具有的能量；K_B——玻尔兹曼常数；T——温度；r——0到1的随机数；

对于抛物线形能带结构，电场与波矢量满足：

$E_k=\frac{h^2{k}^2}{2m*};$

式中：m*——载流子有效质量；k——载流子波矢量；

根据以上两式，可得初始波矢量k₀；

当半导体处于均匀电场中时，波矢量的变化量满足：

$\mathrm{\Δ}k=-\frac{eF}{h}\mathrm{\τ};$

式中：τ——自由飞行时间；e——电子电量；h——普朗克常量；F——外加场强；

自由飞行时间τ满足：

$\mathrm{\τ}=-\frac{ln\left(r\right)}{W};$

式中：r——0到1之间的随机数；W——包括自散射在内的总散射率之和；

漂移后波矢量：

k＝k₀+Δk；

依据上面建立的漂移模型，根据公式将上边所得到的漂移后的波矢量k带入该公式中，计算得到漂移后的能量E_f。

根据以上理论，我们即可根据漂移前载流子能量与波矢量得到漂移后载流子的能量与波矢量。

三、载流子散射模型的建立以及散射类型的选择：

载流子输运过程中，载流子发生哪一种散射，可由一个随机数确定。在计算时，随机产生一个(0，1]之间的随机数r，当r满足：

$\underset{i=1}{\overset{m-1}{\&Sigma;}}{W}_i/\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{W}_i<r\&le;\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{W}_i/\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{W}_i$

选择发生的是第m种散射。根据步骤一所描述的散射率计算方法，对应计算该种散射机制的散射率，完成本次散射模型的建立。一次散射后粒子的末状态即为下一时刻自由飞行的初状态，继续循环上述过程直至达到设定的计算时间总长，退出循环。以此为基本单元，通过大量的模拟，根据统计学规律得出有关信息，求得模拟参数。

四、Monte Carlo方法模拟n型半导体Si材料中电子的输运问题计算程序的实现：

借助MATLAB按照上述步骤使用Monte Carlo方法编写计算程序，并采用该计算程序对n型Si材料中电子输运问题进行Monte Carlo模拟。

计算程序的实现过程为：首先在软件中输入模拟温度、外电场强度以及半导体掺杂浓度三个基本条件，然后程序将依据所提出的散射机制，计算在基本仿真条件下电离杂质散射与声学声子散射的散射率；依据半导体的初始温度，所编程序将计算出载流子的初始运动状态；接下来通过Monte Carlo法确定单个粒子的漂移时间；在载流子自由飞行结束后，再次依靠Monte Carlo法选择载流子的散射类型，进而依据所提出的散射机制计算出粒子散射后的波矢量以及能量，作为下一次漂移运动的初始状态；漂移与散射如此循环计算，直至达到设定的计算时间总长，计算得到n型Si材料中电子的迁移率与平均漂移速度，退出循环，结束计算。

本发明具有如下有益效果：

本发明使得计算n型Si材料的平均速率以及迁移率变得简单快捷，避免了之前使用实验测试方法受到半导体器件尺寸以及实验条件影响造成的难测试以及误差较大等一系列问题，而且该方法具有较强的可推广性，不仅仅局限于计算n型半导体Si材料中载流子的输运问题，其他半导体材料载流子输运或微观粒子的碰撞问题也可以通过改变对应的输入参数来进行计算。

附图说明

图1为Si材料的能带结构图；

图2为低场条件下温度与迁移率关系图；

图3为电离杂质散射原理；

图4为离化杂质散射率与电子能量关系；

图5为离化杂质散射率与掺杂浓度关系；

图6为电子能量与声学声子散射关系；

图7为计算流程图；

图8为100个粒子漂移速度分布图；

图9为1000个粒子漂移速度分布图；

图10为100个粒子与10⁴个粒子漂移速度对比；

图11为1000个粒子与10⁶个粒子平均速度对比；

图12为散射率大小与平均漂移速度关系图；

图13为整体技术方案流程。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

本发明提供了一种使用Monte Carlo方法模拟n型半导体Si材料中电子的输运问题的方法，具体内容如下：

一、对本发明需要用到的基本知识做出简单介绍

(1)Monte Carlo方法

Monte Carlo方法(简称MC法)，它的定名和发展约始于上世纪四十年代中期，开始被应用于核反应的计算，但它却与一般的数学计算方法有较大的不同。具体表现在：对于多维或是条件较多的问题时，一般的数学方法很难解决，而Monte Carlo方法却可以较简单解决这类问题。Monte Carlo方法具有适用面广、编程简单、精度较高、建模合理等特点，进而能够模拟各种三维复杂几何系统内的粒子输运问题。

Monte Carlo模拟方法的一般步骤：

1)构造便于实现的统计模型，使得待求的解恰是所建立模型的标准差、期望或其它特征量；

2)选择合适的随机变量以及抽样方法；

3)用统计学方法处理模拟问题，给出问题的解和估计精度。

(2)粒子输运

粒子输运是指粒子在介质中的运动、传递过程。这些介质中的粒子在热平衡状态下的运动以及碰撞是杂乱无章的，而当加入外界的作用之后，在它的运动方向上，在哪一点发生碰撞，又有各种几率不定的模型。单个粒子碰撞后的能量大小以及运动的方向也具有随机的性质，但大量的粒子综合起来考虑又有一定的概率分布。一个粒子在介质中的运动情况，可通过漂移与碰撞反映。碰撞时遵循马尔科夫规律，即下一次发生碰撞的位置以及碰撞后的能量只与本次碰撞后粒子的状态有关，与以前粒子的运动情况无关。所以只要能知道粒子发生碰撞的过程，那么粒子输运的马尔科夫过程，就能用Monte Carlo方法进行正确模拟，从而得到关于粒子输运的迁移率、平均速率等参数。在Monte Carlo模拟中，载流子被看作独立的粒子，这些粒子在电场中做宏观牛顿力学运动，又在散射势场中，考虑量子效应，进而收到散射。通过对每个单粒子运动的分析来模拟复杂的物理过程，根据统计学基本原理和概率论我们便可以得出系统中载流子输运规律，从而总结得到器件的电流电压特性等。因此，对器件中材料的能带结构的把握以及载流子散射率大小的计算的准确与否是用Monte Carlo方法模拟准确与否的关键。

(3)Si材料的能带结构

半导体的能带结构集中体现了半导体材料本身的属性。半导体的能带参数包括Eg(带隙)、Nc(导带底等效状态密度)、Nv(价带顶等效密度)等。这些参数直接影响着数值模拟的准确性，很多其他物理参数的计算都要用到这些参数，所以，这些参数的取值必须合理准确。对于n型半导体Si材料，空穴浓度小于电子浓度，即多子为电子。图1为Si材料的能带结构图，Si是一种间接带隙的材料，在导带中，最小能量处位于布里渊区边界[100]方向k＝0.85(2π/a)处，而价带能量极值点位于布里渊区k＝0处，由图可看出Si半导体材料导带与价带不同能谷的能量的大致分布。

图1中的E_G为半导体Si材料的导带底到价带顶的能量差值，称为禁带宽度，又称带隙。在常温下(T＝300K)，Si材料的禁带宽度Eg＝1.08eV，其禁带宽度与温度的关系模型可由下式表示为：

$E_g=E_g\left(300\right)+4.73\&times;{10}^{-4}\&times;\&lsqb;\frac{{300}^2}{300+636}-\frac{T^2}{T+636}\&rsqb;.$

在n型半导体Si中，热平衡状态下，载流子在其中做无规则热运动，电子所具有的能量满足以下公式：

Ek＝-K_BT ln(r)；

式中：Ek——电子所具有的能量/eV；K_B——玻尔兹曼常数；T——温度/K；r——0到1的随机数。

加入外场时，半导体内部的载流子发生定向运动，其速度称为漂移速度。漂移速度与场强的关系可以表示为：

v＝μE；

式中：μ——载流子的迁移率，单位是(m²/(V·s))或(cm²/(V·s))。

低场情况下，半导体Si中电子迁移率与温度可建立如下模型：

${\mathrm{\&mu;}}_e=m{\left(\frac{T}{300}\right)}^{-N};$

式中：μ_e——低场情况下半导体Si中电子迁移率/(m²/(V·s))或(cm²/(V·s))。

模型中的基本参数取值如表1所示：

表1低场情况下迁移率模型参数表

材料	m	N
			Si	1000cm2/(V·s)	1.5

低场条件下迁移率与温度关系曲线如图2所示。根据图2我们可以看出，同样的掺杂浓度，载流子迁移率随着温度的升高，迁移率下降，而且从图中数据我们可以看出在室温下，取T＝300K，可看出迁移率μ近似值为1000cm²/(V·s)，与实验室测得数据值基本相同。

二、具体实施步骤

在本发明中，首先建立在外加电场的情况下电子的散射机制以及漂移和散射模型，然后在得到电子的散射率以及漂移和散射模型后，结合MATLAB使用Monte Carlo法模拟得到在一定掺杂浓度下n型半导体Si材料中电子输运的平均速率以及迁移率的大小，通过模拟结果与文献结果以及实验结果的对比验证了用Monte Carlo方法建立的模型的正确性，整体技术方案流程如图13所示。

根据图13可以看出，在进行n型Si材料中电子输运问题的MonteCarlo模拟时，首先确定模拟温度、外电场强度以及半导体掺杂浓度三个基本条件，然后依据发明中所提出的散射机制，计算在基本仿真条件下电离杂质散射与声学声子散射的散射率。依据半导体的初始温度，确定载流子的初始运动状态。接下来通过Monte Carlo法确定单个粒子的漂移时间。在载流子自由飞行结束后，再次依靠Monte Carlo法选择载流子的散射类型，进而依据发明中所提出的散射机制计算出粒子散射后的波矢量以及能量，作为下一次漂移运动的初始状态。漂移与散射如此循环计算，直至达到设定的计算时间总长，退出循环，计算得到n型Si材料中电子的迁移率与平均漂移速度，以上整个计算过程可以在MATLAB中编程实现。

1、散射机制的确定

由载流子的速度v＝μE的表达式可知，随着电场强度的不断增大，速度不可能无限大，这正是因为载流子受到散射的缘故。半导体中载流子受到各种散射的根本原因是周期性势场被破环。载流子受到的散射可能为品格振动散射、电离杂质散射、载流子和载流子之间的散射、谷间散射以及中性杂质散射等。总的迁移率的倒数可以概括为各种散射所导致的迁移率的倒数和，即：

$\frac{1}{\mathrm{\&mu;}}={\frac{1}{\mathrm{\&mu;}}}_1+\frac{1}{{\mathrm{\&mu;}}_2}+\frac{1}{{\mathrm{\&mu;}}_3}+...\frac{1}{{\mathrm{\&mu;}}_n};$

式中：μ₁、μ₂、μ₃、μ_n——为不同散射机制下所对应的迁移率。

在低温低场下，电离杂质散射与品格散射中的声学声子散射占主要地位，而且二者均为弹性散射。所以在进行Monte Carlo模拟时，我们也只考虑这两种散射机制。下面分别对两种散射机制进行说明以及推导得到对应的散射率计算公式。

电离杂质散射

由离化的浅能级杂质引起的载流子散射是典型的弹性散射。我们知道，施主杂质与受主杂质在电离后分别变成一个带正电的离子和一个带负电的离子，两离子之间形成一个库伦场，与原场叠加，破坏了原场的周期性结构。如图3所示，当载流子进入到该势场中时，受到库仑力的作用，如果载流子以速度v_k接近电离杂质，将会以速度v_k’离开，经过电离杂质后运动方向发生变化。

在本发明中将使用Brooks-Herring方法计算由屏蔽势引起的散射。

首先在准热平衡条件下推导n型半导体的屏蔽势。如果施主杂质被离化，带有一个正电荷，那么距离杂质原子一定距离，由离化施主原子产生的电势U(S)近似表示为：

$U\left(s\right)=-\frac{e^2}{4{\mathrm{\&pi;\&epsiv;}}_0\mathrm{\&epsiv;}s};$

式中：e——电子电量/C；ε₀——真空绝对介电常数；ε——半导体材料介电常数；s——距散射源的距离。

如果包含周围的电子对施主杂质的屏蔽效应，离化杂质原子的屏蔽库仑势(也称为汤川势)可表示为：

$U\left(s\right)=-\frac{e^2}{4{\mathrm{\&pi;\&epsiv;}}_0\mathrm{\&epsiv;}s}\exp \left(-q_{D}s\right);$

式中：q_D——德拜屏蔽长度的倒数，计算公式如下：

$q_D=\sqrt{\frac{e^{2}n}{{\mathrm{\&epsiv;}}_0{\mathrm{\&epsiv;K}}_{b}T}};$

式中：K_b——玻耳兹曼常数；T——温度/K；n——离化杂质浓度，室温下，Si材料中的杂质几乎全部电离。

由上式我们可以看出，电势随距离的增大呈指数衰减。

在本发明中仅考虑抛物线能带，所以对于抛物线型能带由单个电离杂质所引起的跃迁几率我们可表示为：

$p(k,k^{\&prime;})=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{h}{\left(\frac{{\mathrm{Ze}}^2}{\mathrm{\&Omega;}\mathrm{\&epsiv;}}\right)}^2\frac{\mathrm{\&delta;}(E_{K^{\&prime;}}-E_k)}{{(q^2+q_D^2)}^2}.$

δ函数表示散射前后能量守恒。又因为k′＝k，则散射后波矢量的变化量q满足以下关系：

q²＝(k’-k)²＝2k²(1-cosθ)²；

式中：θ——散射前后波矢量的极角。

对上式两端同乘以NΩ，其中N是电离杂质浓度，Ω是晶体所占的体积。则由此可得到整个晶体所引起的跃迁率：

$S(k,k^{\&prime;})=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{h}\&CenterDot;\frac{{\mathrm{NZ}}^2{e}^4}{{\mathrm{\&Omega;\&epsiv;}}^2}\&CenterDot;\frac{\mathrm{\&delta;}(E_{K^{\&prime;}}-E_k)}{{(2k^2{(1-\cos \mathrm{\&theta;})}^2+q_D^2)}^2}.$

根据上式，我们可以得出离化杂质散射的散射率：

对上式进行积分运算，我们可进一步得到离化杂质散射的散射率：

$W\left(k\right)=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{h}\&CenterDot;\frac{{\mathrm{NZ}}^2{e}^{4}N\left(E_K\right)}{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}\&CenterDot;\frac{\mathrm{\&delta;}(E_{K^{\&prime;}}-E_k)}{(4k^2+q_D^2)q_D^2};$

式中：h——普朗克常量；ε——半导体材料介电常数；N——电离杂质浓度；e——电子电量；E_k——电子所具有的能量/eV；E_K’——电子漂移后所具有的能量/eV；q_D——德拜屏蔽长度的倒数；k——载流子波矢量；Z——掺杂浓度；N(E_K)——状态密度，表达式如下：

$N\left(E_K\right)=\frac{{\left(2m^{*}\right)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{E_k}}{4{\mathrm{\&pi;}}^2{h}^3}.$

电子散射后的方位角可以通过0到2π之间均匀分布的随机数来确定。散射极角θ可以通过(0，1]之间的随机数结合前边公式求得：

$cos\mathrm{\&theta;}=1-\frac{2r}{1+(1-r){\left(\frac{2k}{q_D}\right)}^2}.$

由此，我们也可得出离化杂质散射的散射率分别与电子能量和掺杂浓度的关系图。根据图像，在模拟情况确定的条件下，我们可以求得对应情况下的散射率，进而为碰撞过程设定合适的模拟数值，保证模拟的正确性。

至此，我们已经求得了电离杂质散射的散射率，并且可以确定载流子散射后的状态。

声学声子散射

当外界温度一定时，晶体品格中的原子在各自的位置附近做微小振动。这些振动都是由若干种不同的波动叠加而成，这些基本波动就是格波。当品格与其它物质发生相互作用时，品格原子的振动状态就要发生变化即对应的格波能量发生变化。但是格波能量的变化只能是hv的整数倍，这种hv整数倍所对应的能量就称为声子。纵向和横向声学波或光学波是常见的格波，文中我们仅考虑由纵向声学波引起的声学声子散射。

纵向声学声子引起的散射是室温下轻掺杂半导体或者本征半导体的重要散射源。纵向声学波传播时，原子疏密分布不均匀造成能带起伏，产生势场，这个附加势场使原来周期性势场遭到破坏。因为电子能量远远大于声子能量，可近似等效看作散射前后无能量损失，即这种散射为弹性散射。

下面我们将会从量子微扰理论入手，建立声学声子散射几率模型，从而得到散射率表达式。

品格振动引起的带波动可以用形变势来表示。所以，由品格声子和形变势引起的品格体积的变化与微扰矩阵相关，可以表示为：

$H^{\&prime;}=\mathrm{\&Delta;}E=E_{K^{\&prime;}}-E_k=\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}E}{\mathrm{\&Delta;}V}\right)\mathrm{\&Delta;}V=\mathrm{\&Xi;}=\left(\frac{\mathrm{\&Delta;}V}{V}\right);$

式中：E_k——电子所具有的能量/eV；Ξ——形变势常数，对于电子，Ξ近似取值为6.25eV；——散射前后品格体积的变化，用Fourier变换可以表示为：

$\frac{\mathrm{\&Delta;}V}{V}=\&dtri;\&CenterDot;r_n;$

式中：r_n表示原子发生的位移，可表示为：

$r_n=\underset{j=1}{\overset{3}{\&Sigma;}}{(1/N)}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\&xi;}}_j{b}_j\left(q\right)e^{i({\mathrm{qR}}_{n0}-\mathrm{\&omega;}t)};$

可以表示为：

$\&dtri;\&CenterDot;r_n=\underset{q}{\&Sigma;}{q}_1{r}_1;$

式中：r₁——纵向声学声子引起的位移；q₁——纵向声学声子的波矢。

将前边公式推导可得微扰矩阵：

$H^{\&prime;}=\mathrm{\&Xi;}\underset{q}{\&Sigma;}{q}_1{r}_1.$

由微扰引起的矩阵元为：

式中：——声子波函数。

当发射声子时，上式的解为：

$H_{{\mathrm{kk}}^{\&prime;}}=\left(\frac{{\mathrm{\&Xi;q}}_1}{\mathrm{\&Omega;}}\right){\left(\frac{h}{M\mathrm{\&omega;}}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(\frac{\&lang;n_q\&rang;}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}.$

当吸收声子时，上式解为：

$H_{{\mathrm{kk}}^{\&prime;}}=\left(\frac{{\mathrm{\&Xi;q}}_1}{\mathrm{\&Omega;}}\right){\left(\frac{h}{M\mathrm{\&omega;}}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(\frac{\&lang;n_q\&rang;+1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}.$

式中：M——原子质量；<n_q>——声子个数。

依据玻色-爱因斯坦统计可将其表示为：

$\&lang;n_q\&rang;=\frac{1}{\exp \left(\frac{h\mathrm{\&omega;}}{K_{B}T}\right)-1}.$

上式对长波声子有效，即满足K_BT＞＞hω，

ω＝v_sq₁。

根据以上条件我们可推得：

${\left|H_{{\mathrm{kk}}^{\&prime;}}\right|}^2=\frac{{\mathrm{\&Xi;}}^2{K}_{B}T}{M{\left({\mathrm{\&nu;}}_S\mathrm{\&Omega;}\right)}^2}.$

依据量子学理论，差分散射截面：

$\mathrm{\&sigma;}=\frac{{\left(m*\right)}^2{\mathrm{\&Xi;}}^2{K}_{B}T}{4{\mathrm{\&pi;}}^2{h}^2{\mathrm{\&rho;\&nu;}}_s^2}=\frac{{\left(m*\right)}^2{\mathrm{\&Xi;}}^2{K}_{B}T}{4{\mathrm{\&pi;}}^2{h}^2{c}_1}.$

式中：ρ——原子的密度；——纵向弹性常数；v_S——声子速度。

依据以上推导，由声学声子散射引起的散射动量弛豫时间为：

$\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_a}=2\mathrm{\&pi;}\mathrm{\&nu;}\underset{0}{\overset{\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}}{\mathrm{\&sigma;}}_a(1-\cos \mathrm{\&theta;})\sin \mathrm{\&theta;}d\mathrm{\&theta;}=\frac{{(m*)}^2{\mathrm{\&Xi;}}^2{K}_{B}T}{{\mathrm{\&pi;}}^2{h}^4{c}_1}=\frac{\mathrm{\&nu;}}{l_a}.$

式中：——电子的平均自由程，与温度成反比。

$\mathrm{\&nu;}={\&lsqb;\frac{2E_k}{m*}\&rsqb;}^{\frac{1}{2}}.$

根据以上推导我们可得声学声子散射散射几率为：

$W=\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_a}=\frac{{\left(m^{*}\right)}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{\&Xi;}}^2{K}_{B}T{\left(2E_k\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\mathrm{\&pi;}}^2{h}^4{c}_1}.$

式中：Ξ——形变势常数，对于电子，Ξ近似取值为6.25eV；h——普朗克常量；m*——载流子有效质量；K_B——玻尔兹曼常数；T——温度；——纵向弹性常数；E_k——电子所具有的能量/eV；τ_a——由声学声子散射引起的散射动量弛豫时间。

根据以上关系可知声学声子散射率大小随电子能量变化曲线如图6所示。

在低温低场下，电子能量约为0.01eV，观察曲线我们可以得出散射率数值约为2.5×10¹¹/s。

2、电子的漂移模型

载流子在电场中做宏观牛顿力学运动，所以可将电子当成具有有效质量的自由粒子。在常温下(T＝300K)，电子的有效质量与电子质量的关系满足下式：

m*＝0.26m；

式中：m＝0.91×10^-30kg——电子静态质量。

半导体在热平衡状态下所具有的能量满足：

E_k＝-K_BTln(r)；

式中：E_k——电子所具有的能量；K_B——玻尔兹曼常数；T——温度；r——0到1的随机数。

电场与波矢量满足(抛物线型能带)：

$E_k=\frac{h^2{k}^2}{2m*};$

式中：m*——载流子有效质量。

根据以上两式，可得初始波矢量k₀。

当半导体处于均匀电场中时，波矢量的变化量满足：

$\mathrm{\&Delta;}k=-\frac{eF}{h}\mathrm{\&tau;};$

式中：τ——自由飞行时间；e——电子电量；h——普朗克常量；F——外加场强。

自由飞行时间τ满足：

$\mathrm{\&tau;}=-\frac{\ln \left(r\right)}{W};$

式中：r——0到1之间的随机数；W——包括自散散在内的为总的散射率之和。

漂移后波矢量：

k＝k₀+Δk。

再次根据前边公式可得漂移后的能量E_f。

根据以上理论，我们即可根据漂移前载流子能量与波矢量得到漂移后载流子的能量与波矢量。

3、载流子的散射模型

在散射运动中，载流子发生哪种散射是随机的，散射后载流子处于何种状态(波矢量k的方向)也是随机的。该部分只介绍如何确定发生哪种散射。

在输运过程中，载流子发生哪一种散射，可由一个随机数确定。设第1种散射机制的散射速率为W₁，则散射时恰发生第一种散射的概率为：

$W_1/\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{W}_i.$

随机产生一个(0，1]之间的随机数r，当r满足：

$\underset{i=1}{\overset{m-1}{\&Sigma;}}{W}_i/\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{W}_i<r\&le;\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{W}_i/\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{W}_i$

式中：W_i——第i种散射机制对应的散射率；n——散射机制的类型，在本发明中n的取值为2；m——为可以发生的散射机制中的一项，在本发明中，m＝1或m＝2；

选择发生的是第m种散射，根据上边确定散射率的方法，我们便可以具体构造散射模型。一次散射后粒子的末状态即为下一时刻自由飞行的初状态，继续循环上述过程，直至达到设定的计算时间总长，退出循环。以此为基本单元，通过大量的模拟，根据统计学规律得出有关信息，求得模拟参数。

4、n型Si材料中电子输运性质的Monte Carlo模拟

该部分主要在研究半导体中载流子输运问题时建立的MonteCarlo模拟模型，并将我们所建立的模型运用到n型半导体Si这种具体的半导体材料中，最终依靠MATLAB计算求得平均漂移速度与迁移率的大小。

到此我们通过对前边4个部分计算得到了对应输入状态下的n型Si材料中电子的平均速率与迁移率。

本发明中所用的Monte Carlo模拟方法整体的计算流程如图7所示。

根据计算流程图7，可以看出在MATLAB中进行n型Si材料中电子输运问题的Monte Carlo模拟时，首先在软件中输入模拟温度、外电场强度以及半导体掺杂浓度三个基本条件，然后程序将依据本发明中所提出的散射机制，计算在基本仿真条件下电离杂质散射与声学声子散射的散射率。依据半导体的初始温度，所编程序将计算出载流子的初始运动状态。接下来通过Monte Carlo法确定单个粒子的漂移时间。在载流子自由飞行结束后，再次依靠Monte Carlo法选择载流子的散射类型，进而依据发明中所提出的散射机制计算出粒子散射后的波矢量以及能量，作为下一次漂移运动的初始状态。漂移与散射如此循环计算，直至达到设定的计算时间总长，计算得到n型Si材料中电子的迁移率与平均漂移速度，退出循环，结束计算。

按照由玻尔兹曼和泊松方程所建立的半经典理论我们可以得到漂移前后能量与波矢量的关系。自由飞行结束后可以根据我们所建立的散射模型选择对应的散射机制，进而确定散射后载流子状态。

平均速率及迁移率结果分析

在进行模拟时，我们考虑其能带结构为抛物线型，考虑了离化杂质散射与声学声子散射两种散射机制。模拟中用的外界条件是：品格温度300K，电场强度E＝10⁶V/m，基础掺杂浓度为10²²/m³，声学声子散射与离化杂质散射总散射率在电场强度E＝10⁶V/m的条件下，W＝0.75×10¹²/s，模拟时间T＝2×10^(-7)s。经过模拟，我们得出了大量单粒子的漂移速度的统计分布，经过分析与处理，我们计算得到n型Si材料中电子的平均漂移速度与迁移率大小。

以下是用该发明模拟所得的电子的平均漂移速率的结果。

(1)在Monte Carlo模拟中，我们通过重复跟踪每个单粒子的运动情况，然后依靠MATLAB统计得到100个随机粒子速度，1000个随机粒子速度的分布情况分别如图8-9所示。

(2)再次借助于MATLAB将每次所得的100个粒子的漂移速度求平均值，继续产生100个粒子，再次求其平均值，如此循环100次，我们共可统计得到10⁴个粒子的平均漂移速度分布，统计结果图10所示。

(3)在(1)中1000个粒子的基础上我们将随机跟踪的1000个粒子的漂移速度再次求取平均值作为第一组的平均，然后再次跟踪1000个随机粒子，再求平均，如此循环，共可统计得到10⁶个随机粒子平均漂移速度情况，模拟结果如图11所示。

(4)保持电场强度不变，根据我们前边发明背景中介绍的内容，当增大掺杂浓度时，离化杂质散射散射率增大，我们同样用MonteCarlo方法模拟得到模拟时间内散射率大小与平均漂移速率的关系，如图12所示。

以上图中显示了大量电子平均速度的统计学分布情况。由图可知当场强F＝10⁶时，基础掺杂浓度为10²²/m³，T＝300K的条件下，电子的平均漂移速率基本保持在1×10⁵m/s左右。当电场强保持不变，散射率会随掺杂浓度的增大而增大，即在相同的时间内发生碰撞的次数增加，平均漂移速度会减小。

本发明通过Monte Carlo模拟方法得到的迁移率数值μ＝10³cm²/(V·s)与文献结果基本相同。

Claims (3)

1.一种n型Si材料中电子输运问题的Monte Carlo模拟方法，其特征在于所述方法步骤如下：

一、载流子散射机制的确定以及对应输入条件下各种散射率的计算：

在设定好模拟温度、外电场强度以及半导体掺杂浓度三个基本模拟条件后，确定半导体载流子的电离杂质散射与晶格散射两种散射方式作为散射机制，计算在基本仿真条件下电离杂质散射与声学声子散射的散射率，其中：

电离杂质散射的散射率计算公式为：

$W\left(k\right)=\frac{2\mathrm{\&pi;}}{h}\&CenterDot;\frac{{\mathrm{NZ}}^2{e}^{4}N\left(E_K\right)}{{\mathrm{\&epsiv;}}^2}\&CenterDot;\frac{\mathrm{\&delta;}(E_{K^{\&prime;}}-E_k)}{(4k^2+q_D^2)q_D^2},$

式中：h——普朗克常量；ε——半导体材料介电常数；N——电离杂质浓度；e——电子电量；E_k——电子所具有的能量/eV；E_K’——电子漂移后所具有的能量/eV；q_D——德拜屏蔽长度的倒数；k——载流子波矢量；Z——掺杂浓度；N(E_K)——状态密度；

声学声子散射的散射率计算公式为：

$W=\frac{1}{{\mathrm{\&tau;}}_a}=\frac{{(m*)}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{\&Xi;}}^2{K}_{B}T{\left(2E_k\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\mathrm{\&pi;}}^2{h}^4{c}_1};$

式中：Ξ——形变势常数；h——普朗克常量；m*——载流子有效质量；K_B——玻尔兹曼常数；T——温度；c₁——纵向弹性常数；E_k——电子所具有的能量/eV；τ_a——由声学声子散射引起的散射动量弛豫时间；

二、载流子漂移模型的建立以及载流子漂移后能量与波矢量的计算：

在外加电场的作用下，将载流子看做具有有效质量的自由粒子，将其漂移运动等效为载流子在电场中的做宏观牛顿力学运动，依据牛顿力学原理，建立载流子漂移模型，模型的建立过程如下：

半导体在热平衡状态下所具有的能量满足：

E_k＝-K_BTln(r)；

式中：E_k——电子所具有的能量；K_B——玻尔兹曼常数；T——温度；

r——0到1的随机数；

对于抛物线形能带结构，电场与波矢量满足：

$E_k=\frac{h^2{k}^2}{2m*};$

式中：m*——载流子有效质量；k——载流子波矢量；

根据以上两式，可得初始波矢量k₀；

当半导体处于均匀电场中时，波矢量的变化量满足：

$\mathrm{\&Delta;}k=-\frac{eF}{h}\mathrm{\&tau;};$

式中：τ——自由飞行时间；e——电子电量；h——普朗克常量；F——外加场强；

自由飞行时间τ满足：

$\mathrm{\&tau;}=-\frac{ln\left(r\right)}{W};$

式中：r——0到1之间的随机数；W——包括自散射在内的总散射率之和；

漂移后波矢量：

k＝k₀+Δk；

依据上面建立的漂移模型，根据公式将上边所得到的漂移后的波矢量k带入该公式中，计算得到漂移后的能量E_f；

三、载流子散射模型的建立以及散射类型的选择：

载流子输运过程中，载流子发生哪一种散射，可由一个随机数确定，在计算时，随机产生一个(0，1]之间的随机数r，当r满足：

$\underset{i=1}{\overset{m-1}{\&Sigma;}}{W}_i/\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{W}_i<r\&le;\underset{i=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{W}_i/\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{W}_i$

式中：W_i——第i种散射机制对应的散射率；n——散射机制的类型，在本发明中n的取值为2；m——为可以发生的散射机制中的一项，在本发明中，m＝1或m＝2；

选择发生的是第m种散射，根据步骤一所描述的散射率计算方法，对应计算该种散射机制的散射率，完成本次散射模型的建立；一次散射后粒子的末状态即为下一时刻自由飞行的初状态，继续循环上述过程，直至达到设定的计算时间总长，退出循环；

四、Monte Carlo方法模拟n型半导体Si材料中电子的输运问题计算程序的实现：

借助MATLAB按照上述步骤使用Monte Carlo方法编写计算程序，并采用该计算程序对n型Si材料中电子输运问题进行Monte Carlo模拟。

2.根据权利要求1所述的n型Si材料中电子输运问题的MonteCarlo模拟方法，其特征在于所述步骤三中，n＝2；m＝1或m＝2。

3.根据权利要求1所述的n型Si材料中电子输运问题的MonteCarlo模拟方法，其特征在于所述步骤四中，计算程序的实现过程为：首先在软件中输入模拟温度、外电场强度以及半导体掺杂浓度三个基本条件，然后程序将依据所提出的散射机制，计算在基本仿真条件下电离杂质散射与声学声子散射的散射率；依据半导体的初始温度，所编程序将计算出载流子的初始运动状态；接下来通过Monte Carlo法确定单个粒子的漂移时间；在载流子自由飞行结束后，再次依靠Monte Carlo法选择载流子的散射类型，进而依据所提出的散射机制计算出粒子散射后的波矢量以及能量，作为下一次漂移运动的初始状态；漂移与散射如此循环计算，直至达到设定的计算时间总长，计算得到n型Si材料中电子的迁移率与平均漂移速度，退出循环，结束计算。