CN104598749A - Ac约瑟夫森效应、磁通量子和超导持续电流的建模方法 - Google Patents

Abstract

提供了AC约瑟夫森效应、磁通量子、超导和正常持续电流的建模方法。基于这些建模的微观研究表明，引起磁通量子的电流的载流子可以是“深层电子”，且持续电流载流电子的产生本身并不耗费能量，相反，其间在与一个中间态和中介格波模有关的一个多过程中，会有实声子发射和相应能量向环境的排放。中间态的能量有一个积累过程，且电子向中间态进行虚拟跃迁的几率亦有一个积累过程；并且有相应的驰豫。

Description

AC约瑟夫森效应、磁通量子和超导持续电流的建模方法

技术领域

本发明涉及对AC约瑟夫森效应、磁通量子、超导和正常持续电流的建模方法。

背景技术

交流约瑟夫森效应、超导磁通量子化、以及超导和正常持续电流，都是重要的超导物理现象，对它的微观机制进行建模，能够更加清晰地认识其所包含的物理关系和参数关联，具有非常重要的理论和实用意义。

发明内容

根据本发明的一个方面，提供了一种对超导环的磁通量子进行建模的方法，其特征在于包括：

确定磁通量子Φ为：

其中andn_s＝Q|Ψ|²,Q＝“微观态总数除以被允许表达的微观态的数目”，Ψ＝Ψ(r₁,r₂,......)表示包括第1、第2、……载流电子的一个电子系统的波函数且积分环路是环的体内的任何环路。

根据本发明的另一个方面，提供了对导体中的持续电流进行建模的方法，其特征在于包括：

对于被电场E激励的一个载流电子的、具有波矢k_D'＝(-k_x1,k_y1)和能量E(-k_x1,k_y1)的一个初态D'，以及该电子的一个具有波矢具有波矢k_D＝(k_x2,k_y2)和能量E＝E(k_x2,k_y2)的一个终态，其中E(-k_x1,k_y1)＝E(k_x2,k_y2)+δE，且接合能δE>0，确定一个中间态C，从而使C和D态被一个声子模所匹配，且D'和D态被另一个声子模所匹配；

确定该导体具有与k_D＝(k_x2,k_y2)对应的电流；以及

根据声子模中间态C和接合能δE的特性，确定该电流是否为持续电流。

附图说明

图1示意显示了在具有超导体－绝缘体－超导体(SIS)结构的约瑟夫森结中的波函数。

图2示意显示了SIS结构的上游区中幸存格波模的一个示例分布。

图3用于示意显示非持续电流的一种建立过程。

图4用于示意显示超导和正常持续电流的一种建立过程。

具体实施方式

众所周知，隧道效应中的粒子波函数包括三个区中的分段部分：势垒上游区(x<-d/2)、势垒区(-d/2<x<d/2)、势垒下游区(x>d/2)。在自由空间粒子的情况下，真正有实际意义的是波包形式的波函数的隧道效应行为。(见：L.I.Schiff:Quantum Mechanics(3rd ed.),McGraw-Hill Book Company,1968,Sec.35.)。Schiff还提到了“一个更正规、但有时不太方便的归一化是假定一个具有周期边界条件的、边长为L的一维‘箱子’”，并要求这个“箱子”里的波函数满足归一化。

用叠加态表示的SIS体系本征态波函数

对于超导体-绝缘体-超导体(SIS)结构的约瑟夫森结，整个波函数可表示为：

其中，φ_k(x)、和φ_-k(x)均为布洛赫函数，势场表示为：

$U\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}V& x\&le;-d/2\\ V1& -d/2\&le;x\&le;d/2\\ 0& x\&GreaterEqual;d/2\end{array}\right.---\left(2\right)$

V是加在绝缘体两端的电压；V1是常数势垒并高于于绝缘体两侧晶体的化学势，则若采用Schiff提到的具有周期边界条件的、边长为L的一维‘箱子’的归一化条件，加上x＝±d/2处的共四个边界条件，总共会有6个边界条件，正好可以确定(1)式中的六个系数A、B、C、D、F、G。但势场(2)的表示中还缺少势垒区的电压降项-xV/d,我们将把它作为微扰(特别是由于V＜＜V1)。

但当按上述思路求解(1)式中的系数时，会遭遇一个问题：布洛赫函数的波数k只能取分立值(其中N是该侧晶体的原胞数目，a是晶格常数，l是整数)，但(1)式系数的求解则要求波数k在其与能量的关系E＝E(k)中连续取值。换言之，如果让k在E＝E(k)关系中连续取值，从而确定出能量E的本征值的话，则这些能量本征值是分立的且一般地会介于k的两个相邻分立值(如分别记为k_l和k_l+1)所对应的布洛赫波函数能量本征值(如分别记为E_l和E_l+1)之间；也就是说，(1)式在为布洛赫波函数的情况下是无法求解的。对此的一种解决方法，是用多个k值对应的的线性叠加来代替单一的其中最简单的是，对于(1)的一个能量本征值E，用和它最近的布洛赫能量本征值E_l和E_l+1所对应的布洛赫函数的线性组合代替原来的这样每个S区中就会有四个系数，加上势垒区的两个系数，一共10个系数待定，超过了现有的六个边界条件的数目。

但依然可以尝试这样的递归方法。即：先在允许波数k连续取值的情况下解出(1)式的六个系数。然后，把例如左侧的S区中的波函数用上述的的线性组合代替，从而在该区中有四个系数待定，同时保持右侧S区和势垒区的(临时)解不变。这样，我们有四个可用的边界条件，即势垒左侧界面处的两个边界条件和‘箱子’的周期边界条件和归一化条件，从而能够解出左侧S区中的四个新系数。之后，可以对右侧的S区做同样处理，并保持左侧S区和势垒区的已有解不变。而且，还可以“松动”势垒区的解，这样虽然多出了势垒区的两个待定系数，但同时也多出了势垒另一侧界面上的两个边界条件。如果这些系数在上述操作的重复进行中收敛，则就可以得出所希望的解。进一步地，用上述方法也可以在各S区中添加更多的和(基矢)，但每次只能添加两个基矢，而且添加的两个系数只能与原有系数中的两个进行重新分配(即每次只能改变四个系数)，因而随着参与叠加的基矢的数目的加大，处理的效率会大大降低。

这样，我们至少说明了，在这样周期场边条件的SIS体系里，能量本征态一般不是波数k的本征态，而是k的不同本征态的叠加态。

SIS系统的电子态的布洛赫函数所对应在E(k)-k空间中的曲线如图1所示，其中，上游的电子态的曲线处于上方，并设电流方向为x方向。如果势垒两边的超导晶体材料相同，则图1中的曲线与φ_k曲线的形状相同，且曲线相对于φ_k曲线上移了V。为了更具一般性，我们考虑结两边不同材料的情况，故图1中曲线与φ_k曲线的形状不同。由于SIS体系的能量本征态一般包含多个k本征态的叠加，所以，与每个本征能量E_l对应的电子态相应地会有多个，它们在图1中呈现为分布在水平线E＝E_l上的多个点；相应地，SIS体系中每一侧的电子态的E(k)-k曲线都不是一条，而是多条(在参与叠加的电子态很多而且彼此相距很近的情况下，这些电子态曲线甚至会呈现为初始的E(k)-k曲线的一种展宽)。这些曲线近似平行，尤其是在J效应电压所对应的能量范围内。

透射成分中的-k分量

需要注意的是，在(1)式中结下游区x≥d/2中出现φ_-k(x)项。之所以如此，是因为在上、下游区存在势差的情况下，反射系数与透射系数之和不等于入射系数，即|A²|≠|B²|+|C²|，这个问题并不是约瑟夫森结所特有的问题。为了使入射系数保持为反射系数与透射系数之和，就只能在下游区加入-k项

在自由空间的场合，下游出现e^-kx项可以理解为在入射波包开始“接触”势垒时，在势垒的下游侧出现了一个沿-k方向行进的“感应”波包，这个“感应”波包与入射波包一起产生了透射波包和反射波包。

晶体中的准粒子波函数是如式(1)那样的用布洛赫函数表示的周期函数，这些周期函数的叠加依然是周期函数，不能如自由空间中的波包那样的被定域，因此晶体中的准粒子的隧道效应行为与自由空间中的波包粒子有所不同。在自由空间的场合，在势垒的上游一侧出现了沿-k方向的“入射波”e^-kx，则根据与正常的入射波相同的推导，可以确定在下游区也会出现沿-k方向的“透射波”，并同时在上游区出现沿k方向“反射波”；但在现实自由空间中不会出现单纯的e^-kx波函数。可是，同为非定域波函数的布洛赫波的隧道效应行为与自由空间波函数e^-kx是类似的，即当势垒的上游区出现表示的准粒子时，则下游区中有概率测量到φ_-k表示的准粒子。从图1中看就是，如果在上游区中有一个由波函数表示的、能量为E₁的粒子时，则该粒子既可能作为一个以波函数表示的粒子而从A点隧道穿透到B点从而成为由波函数φ_k表示的一个粒子，也可能作为一个以波函数φ_-k表示的一个粒子而从A’点隧道穿透到B’点从而成为由波函数φ_-k表示的一个粒子。这样，通过用如式(1)表示的一个整体的波函数表示整个超导体-绝缘体-超导体结(SIS结)，我们可以从电子态结构的视角，来研究AC约瑟夫森效应过程中的粒子运动。

图1中，我们用E₂表示结上游的超导体的化学势，E₁表示结下游的超导体的化学势E₁-E₂＝V。显然，在(1)所表示的波函数下，如果在A点测量到电子，则B点就是被占据的；反之亦然，如果在B点测量到透射电子，则A点也是被占据的，尽管此时在A点肯定检测不到电子。由于AC约瑟夫森效应可以发生在低温超导中，而低温下化学势E₁以下的能级几乎是全被占据的，所以A点到D点的跃迁“似乎”是几乎无法发生。

下文中，我们先说明在A点到D点的跃迁能够发生的情况下的各个过程。之后，我们再解释A点到D点的跃迁能够发生的物理机制；显然，由于在“定态-跃迁”的理解下A点到D点的跃迁是不可能的，所以我们提出的这种物理机制会突破“定态-跃迁”的框架。

晶体中电子的载流子贡献是与该电子的k值相关的。据此，我们可以认为，当A点的一个电子跃迁到D点时，电流受到了相应的调制，如果把从A到D的跃迁粒子数记作N₊，且在时间Δt内有ΔN₊个电子从A跃迁到D，则相应的电流改变为Δj₊∝ΔN₊。而在-k一侧也有同样的关系，这样综合起来就有Δj＝Δj₊-Δj_-∝ΔN₊-ΔN_-＝Δ(N₊-N_-)，即：

$\frac{\&PartialD;j}{\&PartialD;t}=C_1\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_{+}-N_{-})---(2-1)$

设：j＝j_s+j_n     (2-2)

其中j_s表示超导电流且j_n表示正常电流，则按而伦敦方程(Michael Tinkham:INTRODUCTION TO SUPERCONDUCTIVITY,Second Edition,McGraw-Hill,Inc.,1996,sec.1.2.)和欧姆定律有：

和j_n＝σE   (2-3)

其中σ表示SIS结构的电导。同时，每有一个电子从A跃迁到D，则A-D格波模的声子数加1，故N₊同时也关联着A-D格波模的振荡强度即其电场矢量的振荡强度。在现有文献中(黄昆：《固体物理学》，人民教育出版社，统一书号13012.0220，1966年六月出版，1979年1月第一次印刷，第201-205页)，格波对应的势的变化为：

$\mathrm{\&delta;V}\&ap;\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}-\left(\mathrm{Ae}\cos (q\&CenterDot;R_n-\mathrm{\&omega;t})\right)\&CenterDot;\&dtri;V(r-R_n)---(2-4)$

其中V(r-R_n)表示处于格点R_n的原子的场，μ_n＝Aecos(q·R_n-ωt)表示格波模q造成的该原子的位移，其中e表示振动方向上的单位矢量，A为振幅，ω是格波的振动频率，q是弹性波近似下格波模的波数矢量。相应的电场改变为：

$\mathrm{\&Delta;E}=-\&dtri;\mathrm{\&delta;V}\&ap;\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}\left[A\cos (q\&CenterDot;R_n-\mathrm{\&omega;t})\right](e\&CenterDot;\&dtri;)\&dtri;V(r-R_n)---(2-5)$

结上电压V对波函数的影响，在电压V很小时，可以用微扰近似表示。对有(1)式形式的两个简并态|1>和|2>，电压V’的微扰为其中-d/2≤x≤d/2，结果有其中L是SIS构造的长度。通常，约瑟夫森电压V'≤10^-3伏特，β≈10^-9/m，取L≈10^-2m，故对于d≈10^-9m，有<1|H'|2>≈0.25×10^-10eV。而晶体中的能级间隔约在10^-8eV。

电子态的综述：由于SIS本身的构造，即使没有外加电压V’时，电子态已是波数k的本征态的叠加。在有外加电压V时，原来的简并态发生分裂，但在约瑟夫森效应电压V’的范围内，分裂的间隔很小，大约是晶体原来能级的间隔的10^-2至10^-5。

令： $A(e\&CenterDot;\&dtri;)\&dtri;V(r-R_n)=E_{\mathrm{nx}}(r-R_n),$ 则(2-5)式变成：

$\mathrm{\&Delta;E}=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{E}_{\mathrm{nx}}(r-R_n)[\cos \mathrm{\&omega;}t\cos (q\&CenterDot;R_n)-\sin \mathrm{\&omega;}t\sin (q\&CenterDot;R_n)]---(2-6)$

令 $\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{E}_{\mathrm{nx}}(r-R_n)\cos (q\&CenterDot;R_n)=E_{\mathrm{ph}}\left(r\right)\sin {\mathrm{\&alpha;}}_{E+}\left(r\right)$ and

$\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}{E}_{\mathrm{nx}}(r-R_n)\sin (q\&CenterDot;R_n)=E_{\mathrm{ph}}\left(r\right)\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{E+}\left(r\right)$

而对q→-q，显然有α_E-(r)＝-α_E+(r)，故q和-q两个模的电场之和为：

ΔE＝-E_ph+(r)sin(ωt-α_E+(r))-E_ph-(r)sin(ωt+β_--α_E-(r))   (2-7)

ΔE＝E_ph(r)sin(ωt-α(r))     (2-7)

且显然可以表示为其中，C₂(r)(以及下文的所有C_i(r),i＝1,2,......)是位置的函数但与时间无关，而总体的电场表示为：

E＝E₀(r,t)+ΔE      (2-8)

其中E₀(r,t)为格波电场矢量之外的电场部分，但在上游S区中，它不应该包括形成外加电压V的电场。这样，沿着x方向，简单地看起来，似乎应该对(2-2)两边对时间求导，但这样其实不行，因为欧姆定律j_n(r)＝σ(r)E(r)可以在非时变状态下成立，而伦敦方程是一种时变关系。而从能量的角度看，不论欧姆定律，还是伦敦方程，反映的都是电场能量在电流输运过程中的耗散，所以，全部电场的能量的去向有两个方面，一是超导电流的时间变化所对应的能量存储，二是正常电流的电阻消耗，即 $E\left(r\right)=C_1\left(r\right)\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_{+}-N_{-})+\frac{j_n\left(r\right)}{\mathrm{\&sigma;}\left(r\right)}---(2-9)$

其中E＝E(r)表示E的x分量，它仍然是r的函数。我们下文中使用的改进模型与(2-9)式表示的类似，如下文将要说明的。

为了初步考察一些基本的物理关系，先假设格波电场ΔE只有x分量且q平行于x轴的情况，设A和D态之间以及A’和D’态之间各被一个格波模所匹配，且这两个匹配格波模各有如(2-7)给出的电场分量，但彼此有相位差，由(2-7)和(2-9)：

$\begin{array}{c}{E}_0(r,t)+[C_2^{+}\left(r\right){(N_{+}+\frac{1}{2})}^{1/2}\sin (\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{+}\left(r\right))-\\ C_2^{-}\left(r\right){(N_{-}+\frac{1}{2})}^{1/2}\sin (\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{-}\left(r\right))=C_1\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_{+}-N_{-})+\frac{j_n}{\mathrm{\&sigma;}}\end{array}---(2-10)$

整理后得：

$\begin{array}{c}{C}_1\frac{\&PartialD;N_{+}}{\&PartialD;t}-C_2^{+}\left(r\right){(N_{+}+\frac{1}{2})}^{1/2}\sin (\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{+}\left(r\right))-E_0(r,t)+\frac{j_n}{\mathrm{\&sigma;}}=C_1\frac{\&PartialD;N_{-}}{\&PartialD;t}-\\ C_2^{-}\left(r\right){(N_{-}+\frac{1}{2})}^{1/2}\sin (\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{-}\left(r\right))\end{array}---(2-{10}^{\&prime;})$

做分离变量，令：

$C_1\frac{\&PartialD;N_{+}}{\&PartialD;t}-C_2^{+}\left(r\right){(N_{+}+\frac{1}{2})}^{1/2}\sin (\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{+}\left(r\right))-E_0(r,t)+\frac{j_n}{\mathrm{\&sigma;}}=f\left(t\right)---(2-11),$

并代入试解： $N_{+}+\frac{1}{2}=A^{+2}{\cos }^2(\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{+}\left(r\right))---(2-{11}^{\&prime;}),$

(此处为简单起见先不考虑粒子数N₊变负的问题。)则(2-11)变成

$[-2C_1{A}^{+2}-C_2^{+}\left(r\right)A^{+}]\cos (\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{+}\left(r\right))\sin (\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{+}\left(r\right))-E_0(r,t)+\frac{j_n}{\mathrm{\&sigma;}}=f\left(t\right)---(2-12)$

再把试解代入(2-10')右边，得

$[-2C_1{A}^{-2}-C_2^{-}\left(r\right)A^{-}]\cos (\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{-}\left(r\right)+\mathrm{\&beta;}\left(r\right))\sin (\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{-}\left(r\right)+\mathrm{\&beta;}\left(r\right))=f\left(t\right)---(2-{12}^{\&prime;})$

消去f(t)，得：

$\begin{array}{c}[C_1{A}_{+}^2+\frac{1}{2}{C}_2^{+}\left(r\right)A_{+}]\sin 2(\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{+}\left(r\right))+E_0(r,t)\\ =[+C_1{A}_{-}^2+\frac{1}{2}{C}_2^{-}\left(r\right)A_{-}]\sin 2(\mathrm{\&omega;t}-{\mathrm{\&alpha;}}^{-}\left(r\right))+\frac{j_n}{\mathrm{\&sigma;}}\end{array}---(2-13)$

这个模型中，还缺少一些必要的现实要素，但它已经能够说明交流约瑟夫森效应中2ω分量的来源，即：伦敦方程所导致的超导体系的非线性效应；只要(2-13)的关系得到满足，就可产生2ω振荡电流分量。

但至此还没能解释电场V对电子做功的能量是如何耗散的，因为格波本身并不耗散能量，再者，既然存在2ω分量的电流，也就应该有2ω的电磁辐射，而且实验结果也确实表明存在这样的电磁辐射。而从图1看，这样的电磁辐射的确是存在的，因为在等腰三角形AED中，A-E显然与A'-D'有相同的匹配格波模，所以A与D之间存在经过E点的两玻色子过程，其中A处的一个电子吸收一个A'-D'声子并发射一个E-D光子(频率2ω)，从而跃迁到D点，即A与D态之间有非零的二阶时变微扰矩阵元。一级近似的哈密顿量：

其中第一项是A'-D'格波模的部分，第二项是E-D电磁波模的部分，其中|A₀|表示电磁模的幅度，p、ω_ED、α分别表示其动量、频率、初始相位，q_EA、ω_EA(＝ω)、α_EA分别是A'-D'格波模的波数、频率、初始相位，n表示对所有的格点求和。将其带入二阶时变微扰公式，注意我们只要考虑SIS体系中势垒上游的S区，且(1)式中的是正交完备集，所得到的矩阵元具有显著部分：

$\begin{array}{c}{a}^{\left(2\right)}~A_{-}\left|A_0\right|\underset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{0}{\overset{t}{\&Integral;}}{\mathrm{dt}}^{\&prime;}\frac{\mathrm{\&delta;}(k_D-k_m-p)\mathrm{\&delta;}(k_m-k_A-q)}{{\mathrm{\&omega;}}_m-{\mathrm{\&omega;}}_A-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{EA}}}{e}^{({\mathrm{\&omega;}}_D-{\mathrm{\&omega;}}_A+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ED}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{EA}})t^{\&prime;}+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{EA}}}\\ ~A_{-}\left|A_0\right|\underset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{\mathrm{\&delta;}(k_D-k_m-p)\mathrm{\&delta;}(k_m-k_A-q)}{{\mathrm{\&omega;}}_m-{\mathrm{\&omega;}}_A-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{EA}}}\mathrm{\&delta;}({\mathrm{\&omega;}}_D-{\mathrm{\&omega;}}_A+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ED}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{EA}})e^{{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{EA}}}\end{array}---(2-15)$

其中的求和是对δ函数所表示的所有中间态|m>进行的，且这样，我们就确定了：在SIS体系中，电磁辐射ω_ED(＝2ω)取代了正常态下的电阻作用，成为了对外电场V对电流所做的功进行耗散的途径。

在构建改进的交流约瑟夫森模型时，我们可以把A→B以及D→C的隧穿过程视为一个寿命过程。显然，只有当D→C隧穿的粒子数大于A→B的粒子数时，A-D格波模才会有正的声子输出。而A(A’)态的电子吸收一个A’-D’(A-D)声子并辐射一个2ω光子并跃迁到D(D’)，则是体系的能量耗散机制。在不失一般性的前提下，我们限于考虑二维k空间。

考虑A点的电子数N_A，它有3个去向：1)参与2ω光子辐射，辐射的每个光子或者使其电磁模|A₀|的光子数N_P加1或者成为对辐射输出SN_p(S是辐射输出系数，)的贡献；2)跃迁到D并发射一个A-D声子，这个声子可使N₊加1或者电磁模|A₀'|的光子数N'_P加1；以及，3)隧穿到B点，相应地N_A改变-T_AN_AΔt，其中T_A是A点的“隧穿寿命”。同时，A点有一个电子来源，即电源的注入F_A。综合起来有：

$\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_A}{\mathrm{\&Delta;t}}=F_A-T_A{N}_A-[\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{+}}{\mathrm{\&Delta;t}}+\mathrm{\&chi;}{N}_{+}(N_{P^{\&prime;}}+\frac{1}{2})N_{A^{\&prime;}}]-(\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_P}{\mathrm{\&Delta;t}}+{\mathrm{SN}}_p)---(2-16)$

类似地，对A’点有：

$\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{A^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;t}}=F_{A^{\&prime;}}-T_{A^{\&prime;}}{N}_{A^{\&prime;}}-[\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{-}}{\mathrm{\&Delta;t}}+{\mathrm{\&chi;}}^{\&prime;}{N}_{-}(N_P+\frac{1}{2})N_A]-(\frac{\mathrm{\&Delta;}{N^{\&prime;}}_P}{\mathrm{\&Delta;t}}+S{N^{\&prime;}}_p)---(2-{16}^{\&prime;})$

其中χ是(2-15)式的a⁽²⁾决定的受激辐射系数。这两式建立了A与A’点的参量之间的关系。显然，A点电子辐射的光子数变化与声子数N_-同相，A’点电子辐射的光子数变化与声子数N₊同相。在稳恒状态下，有对A和A'点分别有：

${\mathrm{\&chi;}}^{\&prime;}{N}_{-}(N_P+\frac{1}{2})N_A=\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_P}{\mathrm{\&Delta;t}}+{\mathrm{SN}}_p---(2-17)$ 和

$\mathrm{\&chi;}{N}_{+}({N^{\&prime;}}_P+\frac{1}{2})N_{A^{\&prime;}}=\frac{\mathrm{\&Delta;}{N^{\&prime;}}_P}{\mathrm{\&Delta;t}}+{{\mathrm{SN}}^{\&prime;}}_p---(2-{17}^{\&prime;}).$

对于D和D’点的电子数N_D和隧穿寿命F_D等，类似地有D与A’之间的耦合关系：

$\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_D}{\mathrm{\&Delta;t}}=-T_D{N}_D+[\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{+}}{\mathrm{\&Delta;t}}+\mathrm{\&chi;}{N}_{+}({N^{\&prime;}}_P+\frac{1}{2}){N^{\&prime;}}_A]+(\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_P}{\mathrm{\&Delta;t}}+{\mathrm{SN}}_p)$

$\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{D^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;t}}=-T_{D^{\&prime;}}{N}_{D^{\&prime;}}+[\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{-}}{\mathrm{\&Delta;t}}+{\mathrm{\&chi;}}^{\&prime;}{N}_{-}(N_P+\frac{1}{2})N_A]+(\frac{\mathrm{\&Delta;}{{N^{\&prime;}}_P}_{}}{\mathrm{\&Delta;t}}+{{\mathrm{SN}}^{\&prime;}}_p)---(2-18)$

代入(2-17)和(2-17')，(2-18)变为对称的形式：

$\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_D}{\mathrm{\&Delta;t}}=-T_D{N}_D+\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{+}}{\mathrm{\&Delta;t}}+(\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{P^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;t}}+S^{\&prime;}{N}_{p^{\&prime;}})+(\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_P}{\mathrm{\&Delta;t}}+{\mathrm{SN}}_p)$

$\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{D^{\&prime;}}}{\mathrm{\&Delta;t}}=-T_{D^{\&prime;}}{N}_{D^{\&prime;}}+\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_{-}}{\mathrm{\&Delta;t}}+(\frac{\mathrm{\&Delta;}{N}_P}{\mathrm{\&Delta;t}}+{\mathrm{SN}}_p)+(\frac{\mathrm{\&Delta;}{N^{\&prime;}}_P}{\mathrm{\&Delta;t}}+{{\mathrm{SN}}^{\&prime;}}_p)---(2-{18}^{\&prime;})$

两式相减，得：

$\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_D-N_{D^{\&prime;}})+(T_D{N}_D-T_{D^{\&prime;}}-T_{D^{\&prime;}}{N}_{D^{\&prime;}})-\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_{+}-N_{-})=0---(2-19)$

此时，(2-16)减(2-16')则有：

$\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_A-N_{A^{\&prime;}})+(T_A{N}_A-T_{A^{\&prime;}}{N}_{A^{\&prime;}})+\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_{+}-N_{-})=F_A-F_{A^{\&prime;}}---(2-20)$

(2-20)右边的F_A-F_A'代表体系的电子注入率，因而它与电流密度成正比，即

C₄(r)(F_A-F_A')＝j(r,t)     (2-20-1)。

由伦敦方程和欧姆定律j_n(r,t)＝σ(r)E(r,t)，并对(2-20)分离变量，令：

$\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_A-N_{A^{\&prime;}})+(T_A{N}_A-T_{A^{\&prime;}}{N}_{A^{\&prime;}})=f_2\left(t\right)---(2-{20}^{\&prime;})$

作为对q不限于平行于x轴的情况的处理一种方法，不失一般性地，考虑q分布于二维k空间的情况(如图2)，由于格波模的相互竞争，在达到稳恒时，必然只有少数的格波模幸存，若其中之一为q₁＝(q_1x,q_1y)，则由于晶格对称性，必然有另一幸存格波q₂＝(q_1x,-q_1y)，考虑纵波的情况，若竞争的结果是它们同相且有大体相等的幅值(即(2-5)中的则这两个格波模在每个格点激发的电矢量之和将是一个沿着x轴的矢量，按(2-6)其电场之和为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;E}=\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}2\frac{x}{\left|x\right|}{E}_{\mathrm{nx}}(r-R_n)\cos \left(q_y{R}_{\mathrm{ny}}\right)\cos (q_x{R}_{\mathrm{nx}}-\mathrm{\&omega;t})=\\ \underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}2\frac{x}{\left|x\right|}{E}_{\mathrm{nx}}(r-R_n)\cos \left(q_y{R}_{\mathrm{ny}}\right)[\cos \left(q_x{R}_{\mathrm{nx}}\right)\cos \left(\mathrm{\&omega;t}\right)+\sin \left(q_x{R}_{\mathrm{nx}}\right)\sin \left(\mathrm{\&omega;t}\right)]\\ \cos (\mathrm{\&omega;t}+)\end{array}---(2-22)$

代入(2-8)再代入(2-21)，

$\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}2\frac{x}{\left|x\right|}{E}_{\mathrm{nx}}(r-R_n)\cos \left(q_y{R}_{\mathrm{ny}}\right)\cos \left(q_x{R}_{\mathrm{nx}}\right)=E^{\&prime;\&prime;}\left(r\right)\sin \mathrm{\&alpha;}\left(r\right)$

$\underset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}2\frac{x}{\left|x\right|}{E}_{\mathrm{nx}}(r-R_n)\sin \left(q_y{R}_{\mathrm{ny}}\right)\sin \left(q_x{R}_{\mathrm{nx}}\right)=E^{\&prime;\&prime;}\left(r\right)\cos \mathrm{\&alpha;}\left(r\right)---(2-23)$

得：ΔE＝ΔE₊+ΔE_-＝E₊"(r)sin(ωt+α₊(r))-E_-"(r)sin(ωt+α_-(r))   (2-22')

而第一象限中的对应A点处电子的电磁辐射跃迁，则是通过相反方向的优胜格波q₃＝(-q_1x,-q_1y)实现的，因为需要有q₃＝-q₁以满足电磁跃迁所要求的匹配关系。类似地，第二象限中的A点处的电磁跃迁则通过对称的格波q₄＝-q₂来进行，诸如此类。

由： $\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_A-N_{A^{\&prime;}})+(T_A{N}_A-T_{A^{\&prime;}}{N}_{A^{\&prime;}})=f_2\left(t\right)---(2-{20}^{\&prime;})$

并令： $\frac{\&PartialD;N_A}{\&PartialD;t}+T_A{N}_A=f_4\left(t\right)+f_2\left(t\right)---(2-29)$

则： $\frac{\&PartialD;N_{A^{\&prime;}}}{\&PartialD;t}+T_{A^{\&prime;}}{N}_{A^{\&prime;}}=f_4\left(t\right)---(2-30)$

显然，当：

f₄(t)＝-A_A'1sin2(ωt+α_2-)-A_A'2sin(ωt+α_2-+γ_-)+C_A'    (2-31)

时，(2-30)的解：

$\begin{array}{c}{N}_{A^{\&prime;}}=N_{A^{\&prime;}0}{e}^{-T_{A^{\&prime;}}\&CenterDot;t}+\frac{2A_{A^{\&prime;}1}\mathrm{\&omega;}}{{T_{A^{\&prime;}}}^2+4{\mathrm{\&omega;}}^2}\cos 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2-})-\frac{A_{A^{\&prime;}1}{T}_{A^{\&prime;}}}{{T_{A^{\&prime;}}}^2+4{\mathrm{\&omega;}}^2}\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2-})+\\ \frac{A_{A^{\&prime;}2}\mathrm{\&omega;}}{{T_{A^{\&prime;}}}^2+{\mathrm{\&omega;}}^2}\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2-}+{\mathrm{\&gamma;}}_{-})-\frac{{A_{A^{\&prime;}2}{T}_{A^{\&prime;}}}_{}}{{T_{A^{\&prime;}}}^2+{\mathrm{\&omega;}}^2}\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2-}+{\mathrm{\&gamma;}}_{-})+\frac{C_{A^{\&prime;}}}{T_{A^{\&prime;}}}\\ =N_{A^{\&prime;}0}{e}^{-T_{A^{\&prime;}}t}+\frac{A_{A^{\&prime;}1}\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2-}-{\mathrm{\&alpha;}}_{A^{\&prime;}1})+A_{A^{\&prime;}2}\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2-}-{\mathrm{\&alpha;}}_{A^{\&prime;}2})}{{({T_A}^2+{\mathrm{\&omega;}}^2)}^{1/2}}+\frac{C_{A^{\&prime;}}}{T_{A^{\&prime;}}}\end{array}---(2-32)$

当：f₄(t)+f₂(t)＝-A_A1sin2(ωt+α₂₊)-A_A2sin(ωt+α₂₊+γ₊)+C_A   (2-31')

时，(2-29)有解：

$\begin{array}{c}{N}_A=N_{A0}{e}^{-T_{A}t}+\frac{2A_{A1}\mathrm{\&omega;}}{{T_A}^2+4{\mathrm{\&omega;}}^2}\cos 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2+})-\frac{A_{A1}{T}_A}{{T_A}^2+4{\mathrm{\&omega;}}^2}\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2+})+\\ \frac{A_{A2}\mathrm{\&omega;}}{{T_A}^2+{\mathrm{\&omega;}}^2}\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2+}+\mathrm{\&gamma;})-\frac{A_{A2}{T}_A}{{T_A}^2+{\mathrm{\&omega;}}^2}\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2+}+\mathrm{\&gamma;})+\frac{C_A}{T_A}\\ =N_{A0}{e}^{-T_{A}t}+\frac{A_{A1}\sin 2[(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{A1}]+A_{A2}\sin [(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{A2}]}{{({T_A}^2+{\mathrm{\&omega;}}^2)}^{1/2}}+\frac{C_A}{T_A}\end{array}---(2-33)$

取试解： $N_{+}+\frac{1}{2}=A^{+2}[\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+})+C_6{]}^2,$ 及

$N_{-}+\frac{1}{2}=A_{-}^2[\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-})+C_7{]}^2---(2-34)$

(其中，引入常数C₆和C₇(均大于等于1/2)是为了避免N_±变负。如之下看到的，这直接导致了2ω、ω、常数项三种成分的同时引入。)

对(2-19)分离变量，并取均衡配置：

$\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;N_D}{\&PartialD;t}+T_D{N}_D=\frac{1}{2}\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_{+}-N_{-})+C_{\mathrm{ND}}=\frac{1}{2}\mathrm{\&omega;}[A_{-}^2\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-})-A_{+}^2\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+})]+\\ \mathrm{\&omega;}[C_7\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-})-C_6\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+})]{+C}_{\mathrm{ND}}\end{array}---(2-35)$

(在此我们在变量分离上采取了“均衡配置”，其意义是D点粒子数的来源上，从A点的直接跃迁和通过电磁辐射的间接过程是“均衡”的。也可以采用其他配置，可以具体根据初始、边界条件等进行。)

(2-35)右边的自由项包括2ω、ω、常数项三种成分，每一种成分对应N_D的解中的相应分量。

解的直流分量C_ND/T_D保证了N_D始终为正数。由于已经包含了常数C_ND，所以三个解的线性叠加就是(2-35)的通解：

$\begin{array}{c}{N}_D=N_{D0}{e}^{-T_{D}t}+\frac{A_{-}^2\mathrm{\&omega;}}{2{({T_D}^2+4{\mathrm{\&omega;}}^2)}^{1/2}}\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-}-{\mathrm{\&alpha;}}_1)-\frac{A_{+}^2\mathrm{\&omega;}}{2{({T_D}^2+4{\mathrm{\&omega;}}^2)}^{1/2}}\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_2)+\\ \frac{\mathrm{\&omega;}{C}_7}{{({T_D}^2+4{\mathrm{\&omega;}}^2)}^{1/2}}\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-}+{\mathrm{\&alpha;}}_3)-\frac{\mathrm{\&omega;}{C}_6}{{({T_D}^2+4{\mathrm{\&omega;}}^2)}^{1/2}}\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+}+{\mathrm{\&alpha;}}_4)+\frac{C_{\mathrm{ND}}}{T_D}\end{array}---(2-36)$

由(2-19)和(2-35)，

$\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;N_{D^{\&prime;}}}{\&PartialD;t}+T_{D^{\&prime;}}{N}_{D^{\&prime;}}=-\frac{1}{2}\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_{+}-N_{-})+C_{{\mathrm{ND}}^{\&prime;}}=-\frac{1}{2}\mathrm{\&omega;}(A_{-}^2\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-})+A_{+}^2\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+})]\\ -\mathrm{\&omega;}[C_7\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-})-C_6\cos (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+})]+C_{{\mathrm{ND}}^{\&prime;}}\end{array}---(2-35)$

显然(2-35')的解的交变部分与(2-35)的解形式上只差一个符号，即：

$\begin{array}{c}{N}_{D^{\&prime;}}=N_{D^{\&prime;}0}{e}^{-T_{D}t}-\mathrm{\&omega;}\frac{A_{-}^2}{2}\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-}-{{\mathrm{\&alpha;}}_1}^{\&prime;})+\mathrm{\&omega;}\frac{A_{+}^2}{2}\sin 2(\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+}-{{\mathrm{\&alpha;}}_2}^{\&prime;})-\\ \mathrm{\&omega;}{C}_7\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-}+{{\mathrm{\&alpha;}}_3}^{\&prime;})+\mathrm{\&omega;}{C}_6\sin (\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+}+{{\mathrm{\&alpha;}}_4}^{\&prime;})+C_{{\mathrm{ND}}^{\&prime;}}/T_{D^{\&prime;}}\end{array}---(2-{36}^{\&prime;})$

在约瑟夫森电压范围内，隧穿系数所以从(2-36)可见N_D的交变成分包括两个分量，一个分量来自N_A，另一个分量来自N_A'。N_D'的情况也是类似。如以上提到的，在时，只有N_D>N_A的情况下，A-D格波模才会有正的声子输出。

从(2-31)和(2-31')，得到：

f₂(t)＝-A_A1sin2(ωt+α₂₊)-A_A2sin(ωt+α₂₊+γ₊)+C_A

+A_A'1sin2(ωt+α_2-)+A_A'2sin(ωt+α_2-+γ_-)-C_A'   (2-37)

从以上亦可见，(2-31)中的激发函数f₄(t)、f₂(t)的选取并不是任意的，而是因为(2-21)的E(r,t)中格波所贡献的ΔE(r,t)的振幅是粒子数N_±的开方，必须要取特解(2-34)，c的求导又产生了ω分量。

这样，(2-41)与条件(2-30)成立时的(2-29)形式上相同，故E₀(r,t)有与(2-31)或(2-31)相同形式的解。所不同的是，现在的自由项中已经出现了与位置r有关的成分(且σ和Λ一般都与位置有关)。

从能量角度看，当有电场E时，电场E对电流j所做的功为Ej，按Drude模型(Michael Tinkham:INTRODUCTION TO SUPERCONDUCTIVITY,SecondEdition,McGraw-Hill,Inc.,1996,sec.2.5.1)有：

$\mathrm{Ej}-j^2/\mathrm{\&sigma;}=\frac{\&PartialD;T}{\&PartialD;t}=\frac{\mathrm{mj}}{n_e{e}^2}\frac{\&PartialD;j}{\&PartialD;t}---(2-43),$ 或

$E-j/\mathrm{\&sigma;}=\frac{m}{n_e{e}^2}\frac{\&PartialD;j}{\&PartialD;t}---(2-44)$

显然，当σ→∞时，(2-44)就是伦敦方程。

因此，当σ大到足够程度时，必须有显著的粒子数N_A、N_D、N_±等，以形成显著的电磁辐射模，从而耗散电场通过对电子做功而转换给电子系统的能量，进而是整个体系维持稳恒。

令：则(2-44)给出:

$E_0(r,t)=E-\mathrm{\&Delta;E}=\frac{1}{\mathrm{\&sigma;}}j+\mathrm{\&Lambda;}\frac{\&PartialD;j}{\&PartialD;t}-\mathrm{\&Delta;E}---(2-45)$

从(2-20)、(2-20')和(2-20-1)有

$j(r,t)=\frac{j}{\left|j\right|}{C}_4\left(r\right)(F_A-F_{A^{\&prime;}})=\frac{j}{\left|j\right|}{C}_4\left(r\right)[f_2\left(t\right)+\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_{+}-N_{-})]---(2-46)$

将(2-32)和(2-33)代入(2-20')，由(2-34)，得到：

$\begin{array}{c}{f}_2\left(t\right)+\frac{\&PartialD;}{\&PartialD;t}(N_{+}-N_{-})=\\ 2A_{A1}\cos (2\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2-}+{\mathrm{\&alpha;}}_{2+})\sin ({\mathrm{\&alpha;}}_{2-}-{\mathrm{\&alpha;}}_{2+})+2\mathrm{\&omega;}{A}_{-}^2\sin ({\mathrm{\&alpha;}}_{-}-{\mathrm{\&alpha;}}_{+})\cos (2\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{-}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+})\\ +2A_{A1}\cos (\mathrm{\&omega;t}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_{2-}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_{2+}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&gamma;}}_{+}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&gamma;}}_{-})\sin (\frac{1}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_{2-}-\frac{1}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_{2+}-\frac{1}{2}{\mathrm{\&gamma;}}_{+}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&gamma;}}_{-})+C_A-C_{A^{\&prime;}}\\ +2\mathrm{\&omega;}{A}_{-}^2{C}_6\cos (\mathrm{\&omega;t}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_{-}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_{+})\sin (\frac{1}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_{-}-\frac{1}{2}{\mathrm{\&alpha;}}_{+})\end{array}---(2-47)$

从(2-7)、(2-34)以及有：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;E}=-C_5\left(r\right)A_{+}[\sin (2\mathrm{\&omega;t}+{\mathrm{\&alpha;}}_{+}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&beta;}}_{-})\cos ({\mathrm{\&alpha;}}_{E+}\left(r\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&beta;}}_{-})+\frac{1}{2}\sin (-{\mathrm{\&alpha;}}_{E+}\left(r\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_{+})]-\\ C_5\left(r\right)A_{+}[\frac{1}{2}\sin ({\mathrm{\&beta;}}_{-}-{\mathrm{\&alpha;}}_{E-}\left(r\right)-{\mathrm{\&alpha;}}_{-})+2C_6\sin [\mathrm{\&omega;t}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&beta;}}_{-}\left]\cos ({\mathrm{\&alpha;}}_{E+}\left(r\right)+\frac{1}{2}{\mathrm{\&beta;}}_{-})\right]\end{array}---(2-7^{\&prime;})$

把(2-47)代入(2-46)再与(2-7')代入(2-45)，则(2-45)右侧将出现2ω和ω的正弦项以及常数项，显然我们希望(2-45)中有E₀(r,t)＝0，即在S区中没有外场，这要求(2-45)的sin2ωt、cos2ωt、sinωt、cosωt的系数和常数项之和各自为零，从而出现五个联立方程，由此能够确定待定参数A_A1、(α_2--α₂₊)、(α_--α₊)、A_A2、A₊、C₄(r)、C₆、C₅(r)、β_-等中的五个；其余的各参数则要有其他条件决定。另外一个限制是能量关系：

∫dt∫dzdyj(r,t)V＝∫dt(S'N_p'+SN_p)    (2-48)

其中左侧的空间积分限是S区的横截面，时间积分限是2π/ω的整数倍。

至此，我们给出了效应的完整模型及其中全部相关变量(包括E₀(r,t))的解。

至此，我们已经建立起了交流约瑟夫森效应的一个微观模型，其表明了2ω频率的起源。我们接下来讨论该模型中的一些细节。首先，这个模型依然有一个严重困难，就是A点到D点的跃迁难以理解。跃迁发生的前提是终态有空位，但在图1和(2-18)至(2-20)等所表示的模型中，我们是假定了：一旦A点出现空位，它就会被F_A表示的电子注入所填满，这样，(2-11')所表示的D与A之间的声子过程和(2-15)所表示的“声子+光子过程”似乎都无法实现。

对于这个问题首先要拷问传统的“跃迁”涵义。“跃迁”指的是：两个定态之间的跃迁，因此它要求了“初态和末态均为定态”这个前提，这种理解，首先和量子理论中的跃迁涵义是矛盾的。按量子理论，跃迁的发生以哈密顿量中包含时变成分为前提，而一旦出现时变成分，则体系必然处于非定态。所以，“受激跃迁”概念必然是排斥“定态”的，至少要对“定态”的涵义或适用有所限定。

格波是常驻的，而电磁波是行进的。声子作用项(如(2-4))，由于其常驻，即使在声子数为零时，也会耗尽矩阵元的对角元素；相比之下，一个电磁辐射模，只有在其足够强大且稳定的情况下，才可能提供稳定的激发，而在其光子数低的情况下，是难以耗尽矩阵元的对角元素的。对角元素被耗尽的体系是完全非定态的体系，其状态(能量)是不确定的。就图1的A和D态来说，它始终是被A-D格波模所调制的，其矩阵元的对角元素被耗尽，而这种只有反对角矩阵元非零的情况意味着，相关电子不会“停留”在A和D态中的任何一个上，但该电子的状态测量结果又必A和D态之一；如果上次测量时电子在A，而下次测量时电子在D，则其间A-D格波模必然获得了一个声子，且反之亦然。这种非定态，和泡利原理中所说的“量子态”，应该有所不同。泡利对“量子态”讨论，是结合原子的电磁辐射过程进行的，其中矩阵元对角元素还远未被耗尽。因此，在考虑本模型中的空位时，不能直接适用泡利不相容原理。

另一个问题是，超导体系中，化学势(E_F)附近的电子应该处于配对状态。按照某种理解，化学势(E_F)附近的电子态空间分为三个区：化学势(E_F)之上的区、峰区与化学势(E_F)之间的区(能隙)、峰区；且它们有这样的性质：1)E_F之上的一些态是被配对中的电子所占据的，也可以有空位，但不会被未配对电子所稳定地占据，因为我们假定电源会迅速排走E_F之上的非配对电子；2)能隙区的态必然是被(配对中的电子或未配对的电子)占据，但在此区被检测到的电子不具有配对结合能；3)峰区中的一个态上有可能检测到两个电子，这样的电子对具有配对结合能。由于电压降V的限制，所以A点必然处于或低于E_F，A点处在能隙区应该是可以的，但A点是否能够处于峰区中则是有疑问的。D点处于上游S区的“峰区”是没有问题的，但D点能否处于上游S区的“能隙”中是存疑的。有关这些的具体讨论超出了本文主题的范围。

2)为什么效应的频率是2eV.，这是关于交流约瑟夫森效应的一个核心问题，按理，E_F→(E_F-V)之间的任何能量差都可以成为效应的频率。首先，也是首要的，(2-36)和(2-36')清楚地表明：D点的粒子数N_D的变化幅度正比于频率ω，而按照(2-24)，N_D的变化幅度越大，对应的A-D声子数平均值也越大，对应的电磁辐射率也越大，且该A-D格波模的竞争优势也越大！较大的ω，使单个粒子能够耗散更多的能量而且使“能量耗散-注入”的均衡能够在更小的电流下(更早地)实现，而更小的电流对应着更小的动能T＝Λj²/2，也就对应着更低的体系总能量。其次，因为粒子数必须为正，当(2-36)的常数项小于振荡项的幅度时，则ω越大，D点的平均粒子数也就越大，从而格波声子净产量也就越大，而且，当D点处于隧穿下限时，其下方紧邻态上粒子数也可以参与跃迁，从而获得更好的品质因素，这对模式竞争优势的影响应该是显著的。

以下，讨论超导磁通量子化。按照麦克斯韦方程，对于通过一个超导环的磁通密度Φ，有：

由于超导体内磁场为0，所以上式的积分回路可以是超导环体的任何一条回路。代入伦敦方程并在(3-1)两侧对时间积分，得：

由电流表达式(Michael Tinkham:INTRODUCTION TOSUPERCONDUCTIVITY,Second Edition,McGraw-Hill,Inc.,1996,sec.1.5)：假设系统只有一个超导电子(-e)，其电流密度表示为：

若系统只有一个超导载流电子，则有(见:Michael Tinkham:Introduction toSuperconductivity,Second Edition,McGraw-Hill,Inc.,1996,sec.1.5)：

晶体波函数φ为布洛赫函数：

φ＝e^ikru(r)   (3-4)

其中k为波数。而伦敦方程又可写为A＝-Λcj，代入(3-3)，因得：

把(3-3')和(3-4)代入(3-2)，并注意得到：

作为对“单位体积的电子数密度”n_s的一种处理方法，取n_s＝φ²，这样对于只有一个超导电子的体系，(3-5)右边两项变为：

这表明，(3-5)中超导电流j沿着波矢k的方向。我们总可以把积分路径取为沿着电流j即k_x方向，从而有：其中L、k_x分别是环的长度和波数的x分量，按波恩-卡曼周期场条件，k_x＝2πs/L，其中s是整数，得到：

此即磁通量子化的结果。(3-7)的结果如果成立的话，会导致一些推论，以下进行进一步讨论。首先，对于完美晶体来说，不可能沿着k_x构造一个环路；但最初证实磁通量子化的实验中，环是由淀积在一个筒状基底上的一层超导材料实现的(B.S.Deaver and W.M.Fairbank,Phys.Rev.Lett.7,43(1961).)由此，我们可以认为，环是由包括一系列位错的一个单晶超导体形成的，并通过位错而改变了其k_x方向，从而实现了“环路始终沿着k_x方向”。在此反而不能把环视为由“多个连接的超导体”构成，因为那样的话，则“多个连接的超导体”中的每一个都会贡献一份如(3-7)表示的磁通量，而总的磁通量与这些超导体的总数成正比，这显然不能解释实际的实验结果。这亦表明，上述晶体位错并不影响样品的超导性。

其次，(3-7)表示的磁通量子是实际测到的磁通量子的二倍，因此需要对其进行修正。

由于有非零的磁通量，所以存在相应的微扰。按微扰理论，此时电子的简并态将线性组合成“新的零级量子态”。例如，假如扰动之前波数的简并电子态是布洛赫函数其中k_±＝(±1,0,0)，则扰动后组合成新的电子态：

虽然微扰会掺进k≠(±1,0,0)的其他态，但在没有外磁场情况下，由于Φ₀级别的磁场的微扰显然极其微弱，因此该电子被测处于该其他态的概率可以忽略。按叠加原理，此时电子态的测量结果必然是(3-8)中的之一。但按(3-7)，若φ_±态之一上的电子处于时，处于φ_±中另一个态上的电子就不能处于否则按(3-3')总电流将变为几乎为零，磁通量也会相应变到几乎为零。也就是说，单个磁通量子Φ₀必须由(原本处于简并态上的)成对载流电子共同提供。

接下来的问题是，现在考虑的是两个载流电子的电子态波函数，其中两个电子的坐标分别表示为r₁和r₂，

先回到(3-6)，此时我们并不能直接把(3-8)代入(3-6)，因为那样反对称表达的两电子波函数Ψ(r₁,r₂)＝φ₊(r₁)φ_-(r₂)-φ_-(r₁)φ₊(r₂)    (3-9)

在且时将会为零，这是因为，虽然(3-8)的两个态φ_±里都出现了但出现在φ_±中的其实并不是同一个态，因为显然它们的能量是不同的。所以我们需要区分这两个态；我们把其中一个加撇，即写成：

同时，此时|Ψ(r₁,r₂)|²已经不能代表两个电子的“粒子数密度”n_s，因为归一化的|Ψ(r₁,r₂)|²不能大于1，而两个粒子的数密度是可以大于1的；我们先尝试用N|Ψ(r₁,r₂,......r_N)|²来表示N个载流电子的“粒子数密度”n_s(我们将看到这依然是不正确的)。按

(3-11)右边的后两项显然具有lnU(r₁,r₂)的形式，其环路积分值必为零。(例如，一种处理方式时令r₁与r₂之一等于r，并令另外一个等于r+R，其中dl＝dr，从而进行环路积分。)把(3-11)代入(3-5)，并用Ψ(r₁,r₂)代替φ，得到：

其中s是整数，L是环的周长，且显然有kL＝2πs(本例中s＝1)；但此结果依然不符合Φ₀/2的实验结果。问题就出在了用N|Ψ(r₁,r₂,......r_N)|²表示n_s。n_s不可表为那样丢失了交叉项。本例的情况是，分处于的两个耦合电子共同提供一个恒定电流，电子态组合共有四种其中只有能够提供正向恒定电流，这意味着其他三种组合态的测量结果不允许被“表达”(由于能量守恒定律的限制)，且实际测量到的电流值中失去了与这三种组合态对应的权，而当我们用(3-10)形式的波函数以|Ψ(r₁,r₂)|²表示n_s时，实际上差了一个因子4(而不是电子数2)。这其中的物理涵义是：在不允许被表达的组合态的时隙里，与Λ有关的物理作用是依然有效的，因此我们需要把与这些“丢失的时隙”对应的n_s成分加入到n_s表达式中，所以乘到|Ψ(r₁,r₂)|²上的系数应该是“微观态的总数除以被允许表达的微观态的数目”。这样，在本例中显然有n_s＝4|Ψ(r₁,r₂)|²，而(3-12)的结果也相应地变为：

$\mathrm{\&Phi;}=\frac{\mathrm{hx}}{2e}={\mathrm{\&Phi;}}_0---(3-{12}^{\&prime;})$

正是实际实验的结果。以上运算和结果表明，Φ₀的磁通量子，是原来在k＝(±1,0,0)的两个简并态电子在极弱耦合下所产生的，这种理解极具后果，但在对其进一步讨论之前，先再看一下超导电流沿着k＝(1,1)方向的情况。此时，设最小的超导电流由处于的两个电子共同提供，但这里有显然φ_±是原来分别处于两个简并态k＝(1,1)和k＝(-1,-1)的电子弱耦合所形成的，此时显然有：

n_s＝4|Ψ(r₁,r₂)|²依然成立。(3-11)变为：

$\begin{array}{c}\frac{1}{n_s}({\mathrm{\&psi;}}^{*}\&dtri;\mathrm{\&psi;}-\mathrm{\&psi;}\&dtri;{\mathrm{\&psi;}}^{*})=\frac{1}{4|\mathrm{\&Psi;}(r_1,r_2){|}^2}\left\{\frac{1}{2}{e}^{-i(b_x{x}_1+b_x{x}_2+b_y{y}_1+b_y{y}_2)}\right[u_{+}^{*}\left(r_1\right){u_{+}^{*}}^{\&prime;}\left(r_2\right)-u_{+}^{*}\left(r_2\right){u_{+}^{*}}^{\&prime;}\left(r_1\right)]\\ \&dtri;\left(\frac{1}{2}{e}^{i(b_x{x}_1+b_x{x}_2+b_y{y}_1+b_y{y}_2)}\right[u_{+}\left(r_1\right){u_{+}}^{\&prime;}\left(r_2\right)-u_{+}\left(r_2\right){u_{+}}^{\&prime;}\left(r_1\right)\left]\right)-c.c.\}\\ =\frac{2i(b_x+b_y)|\mathrm{\&Psi;}(r_1,r_2){|}^2+2i(b_x+b_y)|\mathrm{\&Psi;}(r_1,r_2){|}^2}{4|\mathrm{\&Psi;}(r_1,r_2){|}^2}+\\ \frac{\frac{1}{2}[u_{+}^{*}\left(r_1\right){u_{+}^{*}}^{\&prime;}\left(r_2\right)-u_{+}^{*}\left(r_2\right){u_{+}^{*}}^{\&prime;}\left(r_1\right)]\&dtri;\left(\frac{1}{2}\right[u_{+}\left(r_1\right){u_{+}}^{\&prime;}\left(r_2\right)-u_{+}\left(r_2\right){u_{+}}^{\&prime;}\left(r_1\right)\left]\right)-c.c.}{4|u_{+}\left(r_1\right){u_{+}}^{\&prime;}\left(r_2\right)-u_{+}\left(r_2\right){u_{+}}^{\&prime;}\left(r_1\right){|}^2}\end{array}---(3-13)$

上述第二项对应的环路积分显然为0。与(3-12)对应的结果为：

超导环体内的闭合路径L_S的方向dl始终沿着矢量(b_x+b_x)，这在存在位错缺陷的情况下是可以实现的，但前提是这些位错不会对周期场造成实质破坏；此时，当环路L_S满足时，(3-14)变为：

其中L＝N|a_x+a_y|是环路L_S的周长，a_x和a_y分别是沿着x和y方向的晶格基矢， $\left|b_x\right|=\frac{1}{{\mathrm{Na}}_x},\left|b_x\right|=\frac{1}{{\mathrm{Na}}_y},$ 则：

$\begin{array}{c}|b_x+b_y|L=[{\left(\frac{1}{{\mathrm{Na}}_x}\right)}^2+{\left(\frac{1}{{\mathrm{Na}}_y}\right)}^2{]}^{1/2}N|a_x+a_y|=[(\frac{1}{{a_x}^2}+\frac{1}{{a_y}^2})({a_x}^2+{a_y}^2){]}^{\frac{1}{2}}\\ =\frac{{a_x}^2+{a_y}^2}{a_x{a}_y}=2+\frac{{(a_x-a_y)}^2}{a_x{a}_y}\end{array}---(3-16)$

当时，(3-16)和(3-15)给出：

即当超导环的电流由k＝(1,1)和k＝(-1,-1)的电子通过配对耦合所形成的载流子对提供时，磁通量子是Φ₀/2，与一些文章中所主张的结论一致(“Flux-Periodicity Crossover from hc/e in Normal Metallic to hc/2e inSuperconducting Loops”，Loder,Florian；Kampf,Arno P.；Kopp,Thilo.arXiv:1206.1738.)关于这种“对角”电流场合下环路积分路径的设置，可以做这样的理解和设置：“环”具有长直筒的形式，其中y轴沿着筒的周延伸，z周垂直于筒表面，x轴垂直并沿着筒外表面的周向；x轴借助位错而保持沿切线方向，z周亦借助位错而保持垂直于筒表面；积分路径从筒中部的某个格点开始，沿对角方向沿表面延伸，形成回路的一半，与另一侧同样构成的回路接合，构成整个回路；其中，沿着x轴方向的周长为N_xa_x，沿着y轴的长度为N_ya_y，在N_ya_y略大于N_xa_x的情况下，上述的完整回路是可以保证的，同时能够获得近似于(3-16)的结果。

显然，超导环的磁通量的测量结果取决于载流子对的电子态和相应的n_s。后者的影响尤其重要，并具体取决于“微观态的总数除以被允许表达的微观态的数目”；当参与耦合的电子数目加大时，这个商也相应加大，而磁通量子的值则相应地减小。例如，当k＝(±1,±1,0)的四个电子“完全耦合”成四电子的“载流子队”，并沿着例如x方向提供与2k_x＝2×2π/L对应的电流时，其上述商值为16，即这四个耦合电子只提供了相当于单电子电流的1/8，其磁通量子为Φ₀/8。但在几乎没有耦合或耦合度很弱的电子对之间，n_s是否也适用上述规则，答案似乎是否定的。或许，这里还需要引入耦合强度的限制，而且之前讨论的情况，如(3-8)，都是完全耦合的。本文作者对此还不能完全确定。但在两电子对的情况下，n_s需要乘加倍，这是没有问题的。

以上的理解、推导和结果虽然能够解释一些实验结果，但却带来的新的问题。其中一个是，波数k_x＝1的电子，往往不在化学势E_F的附近，这意味着这些是“深层电子”。这与以往“载流子电子在E_F附近”的观点完全相左。按照以往的观点，载流电子不仅承担导电的功能，也是导致电阻的声子过程的参与者。而如果载流子至少部分地可以由“深层电子”担任，那么原来同由载流电子承担的导电与形成电阻(电能耗散)的双重功能，就改成由不同的电子承担了。这样的解释至少看上去更具有合理性，因为例如配对结合能对声子作用的屏蔽虽然有效，但仍然并不足以解释持续电流现象。

另一个结果是关于电流形成的机制，而电子数密度n_s的内容的理解则是与其相关的又一个结果。电子在k空间中的对称分布会抵消电流，所以电流的形成必然与电子k空间分布对称的破坏有关。但这种破坏究竟是什么细节，似乎并没有一致的结论。以上的推导，给出了分布对称破坏的一种机制，同时还对n_s的具体构成做出了解释。如(3-2)的表达式：之前是早有人提到的，但由于对|φ|²以及n_s的涵义和关系缺乏认定，且由于j在超导体内为零，故没有从上述表达式继续推导磁通量子。j在体内为零的确是一个严重的问题，而且到目前为止我们也还没有对此做出解释，但另一方面，之前的(3-12)、(3-12')等格式的推导又是完全没有问题的，只是我们的解释还不够全面。这之中的关键就在于n_s。首先(3-2)中的环路积分是对于求的是对于Λj的，不是对于j的；这样就存在一种可能，即虽然j→0，但对Λj的积分依然是确定的有限值。(当然这里还要注意j→0不同于j＝0。)事实上也的确是这样，而且就此可以得出新的结论。电流j在超导体表面可以有限制值，而在超导体内j→0，因为磁场B～e^-λz，其中λ是穿透深度，z是沿垂直于表面的距离坐标，所以电流亦有类似关系j～e^-λz，这样的情况下，如果要使积分对体内的积分回路仍然能维持一个有限且确定的值，就只能有：

|φ|²～e^-λz   (3-18)，

而这样的电子态显然是存在的，就是晶体的表面态。由此，我们可以结论说：超导载流电子是表面态电子。

k＝(±1,0)态的两个电子耦合配对所形成的磁通量子是Φ₀/2，而k＝(±1,±1,0)态上的四个电子耦合配对所形成的磁通量子却只有Φ₀/8。即：耦合配“队”的电子数越多，其中每个电子对超导电流的贡献越小。这个效应具有重要的意义，它是n_s的一个重要特性。它的物理涵义在于：参与耦合的电子数目越大，则所涉及的微观态数目越大，而守恒定律所允许的微观态的数目在其中所占的比例越小，“丢失的时隙”所占的比例越大。

显然，这里的“丢失的时隙”(相当于“波函数从诸如到的测量坍塌”)及其效应，与之前结合AC约瑟夫森效应模型中(D态处的)空位所讨论的“非定态下的跃迁”的测量结果，有某种内在联系和类似性，但也有一个显著的差异，即这里的测量坍塌是定态下发生的，而D态处空位的测量坍塌则是非定态下的，且该差异也反映在矩阵元上，两电子简并定态微扰耦合的矩阵是： $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),$ 而“两能级非定态跃迁”的矩阵是 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right);$ 前者矩阵元系数是而后者的则是1，这正是为什么在定态测量坍塌中发生了“时隙的丢失”，而在非定态测量下则没有这样的“时隙丢失”的根本原因。正是由于“时隙丢失”，造成了电子数目较多的耦合态在同样的波数本征态下反而比电子数目较少的耦合态产生更小电流的结果。同时，由于非定态的测量坍塌不丢失时隙，才能够形成如B2212的ARPES测量结果中的”peak-dip-hump”构造中那样的“峰”。

再有，在(3-10)中我们需要区分两个电子的态，也印证了之前我们关于“非定态下的跃迁”场合下所涉及的“相同能量和波数的两个态不是”同一个态的主张；尤其是：不能因为两个态的近似表示相同，就认定它们是相同的态。

载流电子可以是“深层电子”这个结论，与“正常态下的持续电流”的实验结果是可以相互印证的(Persistent Currents in Normal Metal Rings,Phys.Rev.Lett.102,136802–Published 30March 2009,Hendrik Bluhm,Nicholas C.Koshnick,Julie A.Bert,Martin E.Huber,and Kathryn A.Moler.)

我们现在建立正常和超低持续电流的一个模型。假定图3中，D'和D分别为k＝(-1,0)和k＝(1,0)两个态，并耦合形成了(3-8)表示的态，当其上的两个电子的测量结果都是形成了如(3-3')表示的电流，此时电场E一方面建立其与该电流对应的磁场及磁场能量，另一方面则储存了电流能量：(n_e是载流子数密度)，后者显然对应着动量：

$\frac{{\mathrm{mj}}^2}{2n_e{e}^2}=\frac{{\mathrm{mv}}^2}{2n_e}=\frac{T}{n_e}=\frac{p^2}{2{\mathrm{mn}}_e}---(3-19),$

如此，只要确定了n_e，就可从(3-2)和(3-12)可以由磁通量大致估算j，再从(3-19)估算载流电子的动能T和动量p。

然而，如此似乎是：当两个电子的测量结果都是时，相当于原来在k＝(-1,0)的电子现在处于了某个态C，其能量E的加大量ΔE＝E_C-E_D'相当于“磁场能+T”，其k_x的加大量Δk＝k_C-k_D'则对应于动量p。但这样一来，就出现了三个后果。一个问题是，在微观上，C处的电子态是不稳定的，因为这个电子可以通过与(ΔE,Δk)相匹配的(单或多)声子跃迁，而回到k＝(-1,0)，这样把最初的电场能量转换成了声子能量，所以这就是电阻过程。第二个问题是，ΔE对应着体系内能的加大，进而对应着吉布斯函数的加大，所以ΔE会使体系离开超导态。第三个问题最严重，即：此时该电子的动量究竟是等于k_D还是等于k_C，无法确定，实际上这样的情况是不允许出现的，因为在周期场里电子的动量k_x只能取本征态中的某一个的值，而(ΔE,Δk)一般来说并不是本征态。

如此，可能的情况似乎只能是，当两个电子的测量结果都是时，原来在k＝(-1,0)的电子并没有获得多出的能量和动量(ΔE,Δk)，最可能的情况是，在这个过程中还产生了一或多个声子，它们的总能量和总动量等于(ΔE,Δk-2k_D)，且原来的k＝(-1,0)电子只是动量从-k_D改变成了k_D。如此，当体系的电流才0改变为2k_D时，体系的能量虽然加大了ΔE，但这部分能量并不包括在电子系统中，而是包括在声子系统中，且声子系统的动量也改变了Δk-2k_D，而电子系统的动量改变只是原来的(-1,0)电子的动量加了2k_D。由于此ΔE代表声子体系相对平衡态的偏移，因此ΔE将会通过热平衡过程而转移到周围环境，从而是体系释放出ΔE，且体系内能相对于零电流状态保持不变。但这种情况下，现在处于的两个电子中的任何一个随时都可以回到其(-1,0)态，而使电流归零，且不改变电子系统的总能量，因此这依然不能形成持续电流。(在“虚拟”跃迁的情形下，则不会产生声子，如下文说明。)

因此，持续电流需要用另外的情形来解释。图4中，横轴是k_y方向，k_x方向(总电流方向)垂直于纸面。设在D'态有k_D'＝(-1,k_y1)和E＝E(-1,k_y1)，D态有k_D＝(1,k_y2)和E＝E(1,k_y2)，并有E(-1,k_y1)＝E(1,k_y2)+δE，且δE>0，即D'的能量高于D的能量。这里，设D'电子被电场E激励，虚拟跃迁到了C态，且如果态C与D处的两个态之一之间由一个声子模匹配，D'与D之间由另一个声子模匹配，则如之前讨论的“两能级非定态跃迁”那样，虚拟跃迁到态C的电子，通过(虚拟)释放一个声子，而“凝聚”到D处(的该态)(这里“凝聚”指非定态下的两个电子具有相同的参数测量结果)；但实际上，由于C态是多过程的中间态，因此可以并没有声子的发射，而且也没有从电场E吸收能量，而是整个过程只发射了一个实声子

这样，就会有两个电子的测量结果都具有该态参数，而相应地，在k＝(-1,k_y1)的D'态上则测量不到电子了。这样，就形成了电流贡献k_D＝(1,k_y2)，该电流贡献有非零的y方向分量(-k_y1+k_y2)，因为在E(-1,k_y1)态少了一个电子同时在k_D＝(1,k_y2)多了一个电子。显然，若要总电流沿着x方向,还要另外有k＝(-1,-k_y1)的电子相对于k＝(1,-k_y2)态也发生了同样的过程；那样，则沿x方向的电流分量加k_D，而沿着y方向的电流则加(k_y1-k_y2)，即y方向上的电子分布回复到了对称状态，因而该方向上的电流又被消除了；这样，就得到了x方向上的2k_D电流。但最重要的是，此时的两个载流电子各获得了结合能δE。C、D与D'三态之间，如上述这样C与D之间由一个声子模匹配，且D'与D由另一个声子模匹配的情况，过程发生的概率是最大的；而D'与C之间是通过电场作用匹配的，不要求声子匹配；如果C与D和/或D'与D不能由一个声子匹配，则整个过程发生的概率会大大降低，相应的持续电流分量很可能就无法形成。还需要注意的是，一般地说，虚拟跃迁到态C的电子，其通过声子所匹配到的那个态D，可具有随机性，尤其是可以具有负的k_x分量k_x＝-|k_x|，即可能形成-x方向的持续电流，这种情况，和已知的正常持续电流方向的“随机性”，是一致的。

获得单声子匹配的电子是否能够“凝聚”，应该还取决于该“凝聚”的初态(如态C)与终态(如态D)以及中介声子的属性，其中的具体关系目前还不清楚，但似乎可以推测的是：终态(D)越稳定且中间态(C)越不稳定，“凝聚”越可能发生，且中介声子能量越大则“凝聚”越稳定。能够发生凝聚并获得结合能δE的电子成为持续载流子；不能发生凝聚、虽然能够凝聚但却无法获得结合能、以及结合能不够大的电子则为正常载流子。当过程D'→C和C→D都是虚拟时，整个过程中并不从电场E吸收能量，也没有发射声子，而是只发生一个声子，而格波模只是对中间态C到终态D的过程进行中介，该中介在低温下基本上完全是由声子模的零点能进行的；“凝聚”则是发生在C与D态之间。这样，持续电流载流子的形成本身并不消耗电场能量，相反体系还释放出了一个声子，该声子的能量会通过热平衡而释放到周围环境，从而使本系统能量处于相应的较低位。但另一方面，持续载流子的产生过程的确包括了中间态C的能量的累积，以及电子至中间态C的虚拟跃迁几率的累积，因而相应的弛豫是有的。

由于有N个电子参与电场E的过程，所以每个载流电子所能够获得的中间态C的能量取决于N。显然，N越小，则C点能量越大，声子的能量也越大，凝聚就越稳定，能成为持续/超导载流子的胜算也就越大。当一个电场E作用过程会产生中间态和终态的随机分布时，则其中的正常电子对vs超导电子对就有了一个统计分布，这个分布显然应该与声子谱和能带的形状和对称性有关。

由于磁场的能量密度～B²，因此电流环的磁场能量ΔE_mag～Φ/R，其中R是电流环的半径；即，电流环越小，同样磁通量下的磁场能量越大，从而形成介观效应。同时，微小样品中的电子数相应减小，且(3-12)结果的要求使得磁通量不变保持不变时可用的载流子的数量级减少1/3或1/2；这些都提升了每个载流子对的能量。

显然，在减少载流子数目上，超导体有一个确定的优势，就是超导载流子必须是表面态，而正常载流子没有这个限制。Bluhm等人的上述实验，采用了薄膜样品，等于人为设定了表面态的限制，这应该是能够获得持续电流的一个关键；而低温则是大幅度减少声子数，使得结合能δE被多声子自发跃迁所解除的概率降到足够低(近乎零点能声子模所对应的水平)。

这样，我们为(超导和/或正常)持续电流的形成提供了一个微观解释。超导电流的建立过程中会有电阻损耗，这在“两流体模型”中就已是一个必然的结果。但我们这个模型中，持续电流载流子本身的建立并不耗散能量，因为其中并不实际产生声子，相反，会有实声子的发射从而释放相应的能量最终到系统之外，但参与其中的正常载流子依然是耗散能量的。

具体考虑一下超导线圈的能量关系，这时相关的能量项有两个，一个是磁场能量(能量密度正比于B²，B是磁场强度)，一个是(3-19)中的“动能”。如电感放电的情况，当电流突然下降时，磁场能量以在回路中生成电动势的形式得到释放，但在电流维持不便或上升的时段，(3-19)中的“动能”对应着(候选)载流电子的初态与中间态(C)之间的能量差；一个正常载流子可能(但不一定)实际跃迁到中间态(C点)，然后再向低能级跃迁从而耗散电场的能量；但一个超导载流电子只会虚拟跃迁到中间态，并不实际达到中间态的能量，且此过程中电流的自建磁场的能量并不参与。

所以，“电流的自建磁场拥有能量，并能够由此储存能量”，与之上讨论的有关“(某些且尤其超导)载流子可以向中间态进行虚拟跃迁，因而包括该虚拟跃迁的载流子生成过程不吸收电场的能量”的结论，并不矛盾。

Claims (3)

1.用于对超导环的磁通量子进行建模的方法，其特征在于包括：

确定磁通量子Φ为：

其中Q＝“微观态总数除以被允许表达的微观态的数目”，Ψ＝Ψ(r₁,r₂,......)表示包括第1、第2、……载流电子的一个电子系统的波函数且积分环路是环的体内的任何环路。

2.根据权利要求1的方法，其中所述波函数具有的形式，其中λ伦敦穿透深度，z是沿着垂直于表面的方向的坐标。

3.用于对导体中的持续电流进行建模的方法，其特征在于包括：

对于被电场E激励的一个载流电子的、具有波矢k_D'＝(-k_x1,k_y1)和能量E(-k_x1,k_y1)的一个初态D'，以及该电子的一个具有波矢具有波矢k_D＝(k_x2,k_y2)和能量E＝E(k_x2,k_y2)的一个终态，其中E(-k_x1,k_y1)＝E(k_x2,k_y2)+δE，且接合能δE>0，确定一个中间态C，从而使C和D态被一个声子模所匹配，且D'和D态被另一个声子模所匹配；

确定该导体具有与k_D＝(k_x2,k_y2)对应的电流；以及

根据声子模中间态C和接合能δE的特性，确定该电流是否为持续电流。