CN104951636A - 特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法，该方法包括:步骤1，依据特高含水期相渗比值曲线非线性关系表达式、水油比定义式推导得到累积产水量的表达式；步骤2，根据物质平衡原理，由容积法求得产油量、含水饱和度表达式；步骤3，将产油量、含水饱和度表达式代入累产水表达式，进行积分等数学运算，并结合假设条件进行化简，得到特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表达式；以及步骤4，利用最小二乘法求解特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表达式中的系数。该方法可以准确地描述矿场特高含水期单元水驱曲线上翘的变化规律，从而准确评价特高含水油藏水驱开发效果及预测指标变化趋势。

Description

特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法

技术领域

本发明涉及油气田开发领域，特别是涉及到一种特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法。

背景技术

甲型水驱曲线法，是描述水驱开发油田的累积产水量与累积产油量之间的半对数直线关系。它由苏联的M.N.MaKCNMOB（马克西莫夫）于1959年，以统计经验式的形式提出,1978年由我国著名专家童宪章先生定名为甲型水驱曲线。它的理论推导，由陈元千完成，并发表于1985年石油学报。甲型水驱曲线法的基本关系式为：logW_p=A+BN_p，是依据油水两相渗流的条件下油水的相对渗透率比与含水饱和度的变化关系Lg(K_ro/K_rw)=a+bS_w推导得到的。

由此可知，传统甲型曲线的理论基础是中高含水阶段相渗比值曲线的线性关系，在指导中高含水阶段矿场开发实践中得到了很好的应用，而在特高含水后期表现出明显的不适应性。如，部分单元特高含水后期出现水驱曲线向上弯曲的非线性特征，而传统的甲型水驱特征曲线为线性规律，无法用于此类单元的可采储量标定及开发效果评价等等。为此我们发明了一种新的特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法，解决了以上技术问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种可以准确评价特高含水油藏水驱开发效果及预测指标变化趋势的特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法。

本发明的目的可通过如下技术措施来实现特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法，该特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法包括:步骤1，依据特高含水期相渗比值曲线非线性关系表达式、水油比定义式推导得到累积产水量的表达式；步骤2，根据物质平衡原理，由容积法求得产油量、含水饱和度表达式；步骤3，将产油量、含水饱和度表达式代入累产水表达式，进行积分等数学运算，并结合假设条件进行化简，得到特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表达式；以及步骤4，利用最小二乘法求解特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表达式中的系数。

本发明的目的还可通过如下技术措施来实现：

在步骤1中，考虑在油水两相渗流的条件下，忽略重力和毛管力的影响，特高含水阶段的油水相对渗透率比与含水饱和度关系式为：

$\frac{K_{\mathrm{ro}}}{K_{\mathrm{rw}}}=\frac{K_o/K}{K_w/K}=\frac{K_o}{K_w}=e^{a+{\mathrm{bS}}_w+{\mathrm{ce}}^{S_w}}$      （式1）

水油比定义式为：

$\mathrm{WOR}=\frac{Q_w}{Q_o}=\frac{K_{\mathrm{rw}}}{K_{\mathrm{ro}}}\frac{{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\γ}}_o}\frac{B_o}{B_w}\frac{{\mathrm{\μ}}_o}{{\mathrm{\μ}}_w}$      （式2）

将（式1）带入上式可得：

$\mathrm{WOR}=\frac{Q_w}{Q_o}=\frac{{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\γ}}_o}\frac{B_o}{B_w}\frac{{\mathrm{\μ}}_o}{{\mathrm{\μ}}_w}\·e^{-a-{\mathrm{bS}}_w-{\mathrm{ce}}^{S_w}}$      （式3）

即： $Q_w=Q_o\·\frac{{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\γ}}_o}\frac{B_o}{B_w}\frac{{\mathrm{\μ}}_o}{{\mathrm{\μ}}_w}\·e^{-a-{\mathrm{bS}}_w-{\mathrm{ce}}^{S_w}}$      （式4）

累积产水量Wp可由下式表示：

$\mathrm{Wp}={\∫}_0^t{Q}_w\mathrm{dt}$      （式5）

将（式4）带入上式可得累产水表达式：

$\mathrm{Wp}=\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}\·{\∫}_0^t{Q}_o{e}^{-a-{\mathrm{bS}}_w-{\mathrm{ce}}^{S_w}}\mathrm{dt}$      （式6）。

式中:

K_ro—油相相对渗透率,小数；

K_rw—水相相对渗透率,小数；

K_o—油相渗透率,μm²；

K_w—水相渗透率,μm²；

K—fw=0时的油层绝对渗透率,μm²；

S_w—含水饱和度,小数；

WOR—水油比，小数；

Q_w—阶段注水量，10⁴m³；

Q_o—阶段产油量，10⁴m³；

γ_w—注入水相对密度，小数；

μ_w—注入水黏度，mPa·s；

μ_o—原油黏度，mPa·s；

B_o—地层原油体积系数，小数；

B_w—注入水体积系数，小数；

a、b、c—回归系数；

Wp—累积产水量，10⁴m³。

在步骤2中，根据物质平衡原理，水驱条件下油田的累积产油量Np可由下式表示：

N_p=N-N_ro     （式7）

其中：

$N=100\mathrm{Ah\φ}(1-S_{\mathrm{wi}})\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}$      （式8）

$N_{\mathrm{ro}}=100\mathrm{Ah\φ}(1-S_w)\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_o}$      （式9）

式中：

N_p—累计产油，10⁴t；

N—油田的原始地质储量，10⁴t；

N_ro—油田目前剩余地质储量，10⁴t；

A—油田的含油面积，Km²；

h—油层的有效厚度，m；

φ—孔隙度，小数；

S_wi—地层束缚水饱和度，小数；

γ_o—地面脱气原油比重，无因次量；

B_oi—地层原油的原始体积系数，无因次量；

B_o—地层原油目前的原始体积系数，无因次量。

将（式8、式9）带入（式7）可得：

$N_p=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}[(1-S_{\mathrm{wi}})-(1-S_w)\frac{B_{\mathrm{oi}}}{B_o}]$      （式10）

在水驱开发条件下，令Bo=Boi，则由上式可得：

$\mathrm{Np}=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}(S_w-S_{\mathrm{wi}})$      （式11）

上式整理可得： $S_w=\frac{\mathrm{Np}}{100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}}+S_{\mathrm{wi}}$      （式12）

由于S_oi=1-S_wi，由（式12）的表达式可得：

$S_w=\frac{{\mathrm{NpS}}_{\mathrm{oi}}}{N}+S_{\mathrm{wi}}$      （式13）

（式11）式对时间求导，整理可得：

$Q_o=\frac{{\mathrm{dN}}_p}{\mathrm{dt}}=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{dS}}_w}{\mathrm{dt}}$      （式14）。

在步骤3中，将（式13、式14），带入（式6）式可得：

$W_p=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\·\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}\·e^{-a}{\∫}_{S_{\mathrm{wi}}}^{S_w}{e}^{-{\mathrm{bS}}_w}\·e^{-{\mathrm{ce}}^{S_w}}{\mathrm{dS}}_w$      （式15）

其中q为常数：

$q=\frac{1}{c}(1+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-{\mathrm{de}}^{S_w})}^n}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(c+i)})$      （式16）

将（式16）带入（式15）式可得：

$W_p=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}q(e^{-b(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})-{\mathrm{ce}}^{(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})}}-e^{-{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wi}}-{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wi}}}})$

                                                  （式17）

上式等号左右两边同时取对数可得：

$\begin{array}{c}\lg (W_p+100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}{\mathrm{qe}}^{-{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wi}}-{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wi}}}})=\\ \lg (100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}q)-\frac{b(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})}{2.303}-\frac{{\mathrm{ce}}^{(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})}}{2.303}\end{array}$      （式18）

令：

$M=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}{\mathrm{qe}}^{-{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wi}}-{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wi}}}}$

$A=\lg \left(100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}{*e}^{-a}q\right)-\frac{{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wc}}}{2.303}$

$B=-\frac{b(1-S_{\mathrm{wc}})}{2.303N},C=-\frac{{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wc}}}}{2.303},D=\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}$

则（式18）式变为：

$\lg (W_p+M)=A+{\mathrm{BN}}_p+{\mathrm{Ce}}^{{\mathrm{DN}}_p}$      （式19）

随着油田的生产，含水率不断上升和累积产水量不断增加，因此常数M的影响逐渐减少。上式可以简化成：

$\lg \left(W_p\right)=A+{\mathrm{BN}}_p+{\mathrm{Ce}}^{{\mathrm{DN}}_p}$      （式20）

式中：

a，b，c—相渗曲线表达式系数；

A、B、C—水驱曲线表达式系数；

M—常数；

Swc—出口端含水饱和度。

在步骤4中，令x=DNp，带入（式20）可得

$\lg W_p=A+\frac{B}{D}x+{\mathrm{Ce}}^x$      （式21）

假定已知某区块的累积产油和累积产水量，D任取一个初值，计算对应的x，然后作出lg Wp与x的关系曲线，利用最小二乘法求出最佳拟合系数，即相关系数最大时的系数A,B,C，取Np最大值，计算e^x最大值，如果数据不溢出，则A，B，C，D为改进型水驱特征曲线的解；否则，改变初值D，重新计算系数A,B,C，直到满足要求为止。

本发明中的特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法，依据特高含水后期相渗比值曲线的非线性规律，对甲型水驱曲线重新进行理论推导，建立适合于特高含水期的甲型水驱曲线油藏工程经验方法，准确评价特高含水油藏水驱开发效果及预测指标变化趋势，指导油田开发生产实践。本发明可以准确地描述矿场特高含水期单元水驱曲线上翘的变化规律，从而准确评价特高含水油藏水驱开发效果及预测指标变化趋势。

附图说明

图1为本发明的特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法的一具体实施例的流程图；

图2为本发明的一具体实施例中的甲型水驱特征曲线拟合结果图。

具体实施方式

为使本发明的上述和其他目的、特征和优点能更明显易懂，下文特举出较佳实施例，并配合所附图式，作详细说明如下。

如图1所示，图1为本发明的特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法的流程图。

在步骤101，依据特高含水期相渗比值曲线非线性关系表达式、水油比定义式推导得到累积产水量的表达式。考虑在油水两相渗流的条件下，忽略重力和毛管力的影响，特高含水阶段的油水相对渗透率比与含水饱和度关系式为：

$\frac{K_{\mathrm{ro}}}{K_{\mathrm{rw}}}=\frac{K_o/K}{K_w/K}=\frac{K_o}{K_w}=e^{a+{\mathrm{bS}}_w+{\mathrm{ce}}^{S_w}}$ （式1）

水油比定义式为：

$\mathrm{WOR}=\frac{Q_w}{Q_o}=\frac{K_{\mathrm{rw}}}{K_{\mathrm{ro}}}\frac{{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\γ}}_o}\frac{B_o}{B_w}\frac{{\mathrm{\μ}}_o}{{\mathrm{\μ}}_w}$ （式2）

将（式1）带入上式可得：

$\mathrm{WOR}=\frac{Q_w}{Q_o}=\frac{{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\γ}}_o}\frac{B_o}{B_w}\frac{{\mathrm{\μ}}_o}{{\mathrm{\μ}}_w}\·e^{-a-{\mathrm{bS}}_w-{\mathrm{ce}}^{S_w}}$      （式3）

即： $Q_w=Q_o\·\frac{{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\γ}}_o}\frac{B_o}{B_w}\frac{{\mathrm{\μ}}_o}{{\mathrm{\μ}}_w}\·e^{-a-{\mathrm{bS}}_w-{\mathrm{ce}}^{S_w}}$      （式4）

累积产水量Wp可由下式表示：

$\mathrm{Wp}={\∫}_0^t{Q}_w\mathrm{dt}$      （式5）

将（式4）带入上式可得累产水表达式：

$\mathrm{Wp}=\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}\·{\∫}_0^t{Q}_o{e}^{-a-{\mathrm{bS}}_w-{\mathrm{ce}}^{S_w}}\mathrm{dt}$      （式6）

式中:

K_ro—油相相对渗透率,小数；

K_rw—水相相对渗透率,小数；

K_o—油相渗透率,μm²；

K_w—水相渗透率,μm²；

K—fw=0时的油层绝对渗透率,μm²；

S_w—含水饱和度,小数；

WOR—水油比，小数；

Q_w—阶段注水量，10⁴m³；

Q_o—阶段产油量，10⁴m³；

γ_w—注入水相对密度，小数；

γ_o—地面脱气原油比重，无因次量；

μ_w—注入水黏度，mPa·s；

μ_o—原油黏度，mPa·s；

B_o—地层原油体积系数，小数；

B_w—注入水体积系数，小数；

a、b、c—回归系数；

Wp—累积产水量，10⁴m³。

流程进入到步骤103。

在步骤103，根据物质平衡原理，由容积法求得产油量、含水饱和度表达式。根据物质平衡原理，水驱条件下油田的累积产油量Np可由下式表示：

N_p=N-N_ro     （式7）

其中：

$N=100\mathrm{Ah\φ}(1-S_{\mathrm{wi}})\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}$      （式8）

$N_{\mathrm{ro}}=100\mathrm{Ah\φ}(1-S_w)\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_o}$      （式9）

式中：

N_p—累计产油，10⁴t；

N—油田的原始地质储量，10⁴t；

N_ro—油田目前剩余地质储量，10⁴t；

A—油田的含油面积，Km²；

H—油层的有效厚度，m；

φ—孔隙度，小数；

S_wi—地层束缚水饱和度，小数；

γ_o—地面脱气原油比重，无因次量；

B_oi—地层原油的原始体积系数，无因次量；

B_o—地层原油目前的原始体积系数，无因次量。

将（式8、式9）带入（式7）可得：

$N_p=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}[(1-S_{\mathrm{wi}})-(1-S_w)\frac{B_{\mathrm{oi}}}{B_o}]$      （式10）

在水驱开发条件下，令Bo=Boi，则由上式可得：

$\mathrm{Np}=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}(S_w-S_{\mathrm{wi}})$      （式11）

上式整理可得： $S_w=\frac{\mathrm{Np}}{100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}}+S_{\mathrm{wi}}$      （式12）

由于S_oi=1-S_wi，由（式12）的表达式可得：

$S_w=\frac{{\mathrm{NpS}}_{\mathrm{oi}}}{N}+S_{\mathrm{wi}}$      （式13）

（式11）式对时间求导，整理可得：

$Q_o=\frac{{\mathrm{dN}}_p}{\mathrm{dt}}=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{dS}}_w}{\mathrm{dt}}$      （式14）。

流程进入到步骤105。

在步骤105，将产油量、含水饱和度表达式代入累产水表达式，进行积分等数学运算，并结合假设条件进行化简，得到特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表达式。在步骤3中，将（式13、式14），带入（式6）式可得：

$W_p=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\·\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}\·e^{-a}{\∫}_{S_{\mathrm{wi}}}^{S_w}{e}^{-{\mathrm{bS}}_w}\·e^{-{\mathrm{ce}}^{S_w}}{\mathrm{dS}}_w$       （式15）

其中q为常数：

$q=\frac{1}{c}(1+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-{\mathrm{de}}^{S_w})}^n}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(c+i)})$      （式16）

将（式16）带入（式15）式可得：

$W_p=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}q(e^{-b(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})-{\mathrm{ce}}^{(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})}}-e^{-{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wi}}-{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wi}}}})$      （式17）

上式等号左右两边同时取对数可得：

$\begin{array}{c}\lg (W_p+100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}{\mathrm{qe}}^{-{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wi}}-{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wi}}}})=\\ \lg (100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}q)-\frac{b(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})}{2.303}-\frac{{\mathrm{ce}}^{(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})}}{2.303}\end{array}$      （式18）

令：

$M=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}{\mathrm{qe}}^{-{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wi}}-{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wi}}}}$

$A=\lg \left(100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}{*e}^{-a}q\right)-\frac{{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wc}}}{2.303}$

$B=-\frac{b(1-S_{\mathrm{wc}})}{2.303N},C=-\frac{{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wc}}}}{2.303},D=\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}$

则（式18）式变为：

$\lg (W_p+M)=A+{\mathrm{BN}}_p+{\mathrm{Ce}}^{{\mathrm{DN}}_p}$      （式19）

随着油田的生产，含水率不断上升和累积产水量不断增加，因此常数M的影响逐渐减少。上式可以简化成：

$\lg \left(W_p\right)=A+{\mathrm{BN}}_p+{\mathrm{Ce}}^{{\mathrm{DN}}_p}$ （式20）

式中：

a，b，c—相渗曲线表达式系数；

A、B、C—水驱曲线表达式系数；

M—常数；

Swc—出口端含水饱和度。

流程进入到步骤107。

在步骤107，利用最小二乘法求解特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表达式中的系数。由于改进型水驱特征曲线是非线性方程，直接求解系数难度较大，可通过式变换简化方程后再求解。令x=DNp，带入（式20）可得

$\lg W_p=A+\frac{B}{D}x+{\mathrm{Ce}}^x$      （式21）

假定已知某区块的累积产油和累积产水量，D任取一个初值（如D=0.01），计算对应的x，然后作出lg Wp与x的关系曲线，利用最小二乘法求出最佳拟合系数，即相关系数最大时的系数A,B,C。取Np最大值，计算ex最大值，如果数据不溢出，则A，B，C，D为改进型水驱特征曲线的解；否则，改变初值D，重新计算系数A,B,C，直到满足要求为止。

在应用本发明的一具体实施例中，经过步骤101、步骤103、步骤105的数学推导，得到了特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表达式： $\lg \left(W_p\right)=A+{\mathrm{BN}}_p+{\mathrm{Ce}}^{{\mathrm{DN}}_p}.$

在步骤105中，根据孤东七区西54-61单元注水区的开发生产数据如表1所示：

表1孤东七区西5⁴-6¹单元注水区开发数据

令：y=lgW_p，a=A，b=B/D，c=C，代入（式21）可得：

y=a+bx+ce^x     （公式22）

令：

r=|y-(a+bx+ce^x)|     （公式23）

对于数据序列(x_i，y_i)，i=1，2，3……n，由于这些数据点不都在一条直线上，因此余项平方和R大于0，即：

$R={\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{r}_i\right)}^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(a+{\mathrm{bx}}_i+{\mathrm{ce}}^{x_i})]}^2>0$      （公式24）

根据最小二乘法原理，当且仅当系数a、b、c能够使R最小，即系数能使数据点的误差平方和最小时，它们的值即为原方程的解。根据这个原理，可建立如下偏微分方程组：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂R}{\∂a}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left\{2\right[y_i-(a-{\mathrm{bx}}_i+{\mathrm{ce}}^{x_i})]\·(-1)\}=0\\ \frac{\∂R}{\∂b}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left\{2\right[y_i-(a-{\mathrm{bx}}_i+{\mathrm{ce}}^{x_i})]\·(-x_i)\}=0\\ \frac{\∂R}{\∂c}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left\{2\right[y_i-(a+{\mathrm{bx}}_i+{\mathrm{ce}}^{x_i})]\·\left({-e}^{x_i}\right)\}=0\end{array}\right.$      （公式25）

即：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i-\mathrm{na}-b\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i-c\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{x_i}=0\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·x_i-a\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i-b\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2-c\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(e^{x_i}\·x_i)=0\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·e^{x_i}-a\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{x_i}-b\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i\·e^{x_i})-c\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\left(e^{x_i}\right)}^2=0\end{array}\right.$      （公式26）

令：

$m1=\frac{n\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(y_i{x}_i\right)-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(y_i\right)\·\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(x_i\right)}{n\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(x_i^2\right)-{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(x_i\right)\right)}^2}=0.20$

$m2=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(e^{x_i}\right)\·\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(x_i\right)-n\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(e^{x_i}\·x_i)}{n\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(x_i^2\right)-{\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(x_i\right)\right)}^2}=-153.35$

$m3=\frac{n\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(y_i\right)-m_1\·\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(x_i\right)}{n}=2.70$

$m4=\frac{m2\·\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(x_i\right)+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(e^{x_i}\right)}{n}=-615.16$

$m5=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(e^{{2x}_i}\right)+m2\·\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i\·e^{x_i})-m4\·\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(e^{x_i}\right)=582.033$

$m6=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(y_i\·e^{x_i})-m1\·\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(x_i\·e^{x_i})-m3\·\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\left(e^{x_i}\right)=0.5337$

则方程组公式26的解为：

$\left\{\begin{array}{c}c=m6/m5=0.0009\\ b=m1+m2\·c=0.0636\\ a=m3-m4\·c=3.26\end{array}\right.$      （公式27）

由于D为已知数，a=A，b=B/D，c=C，代入公式27可得：

$\left\{\begin{array}{c}A=a=3.26\\ B=b\·D=0.000636\\ C=c=0.0009\end{array}\right.$

则该单元特高含水期非线性段的甲型水驱曲线表达式为lg(Wp)=3.26+0.000636Np+0.0009e^0.01Np。并且，该方法得到的特高含水期甲型水驱曲线和实际曲线拟合效果较好（见图2）。

Claims (5)

1.特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法，其特征在于，该特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法包括:

步骤1，依据特高含水期相渗比值曲线非线性关系表达式、水油比定义式推导得到累积产水量的表达式；

步骤2，根据物质平衡原理，由容积法求得产油量、含水饱和度表达式；

步骤3，将产油量、含水饱和度表达式代入累积产水量的表达式，进行积分数学运算，并结合假设条件进行化简，得到特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表达式；以及

步骤4，利用最小二乘法求解特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表达式中的系数。

2.根据权利要求1所述的特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法，其特征在于，在步骤1中，考虑在油水两相渗流的条件下，忽略重力和毛管力的影响，特高含水阶段的油水相对渗透率比与含水饱和度关系式为：

$\frac{K_{\mathrm{ro}}}{K_{\mathrm{rw}}}=\frac{K_o/K}{K_w/K}=\frac{K_o}{K_w}=e^{a+{\mathrm{bS}}_w+{\mathrm{ce}}^{S_w}}$      （式1）

水油比定义式为：

$\mathrm{WOR}=\frac{Q_w}{Q_o}=\frac{K_{\mathrm{rw}}}{K_{\mathrm{ro}}}\frac{{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\γ}}_o}\frac{B_o}{B_w}\frac{{\mathrm{\μ}}_o}{{\mathrm{\μ}}_w}$      （式2）

将（式1）带入上式可得：

$\mathrm{WOR}=\frac{Q_w}{Q_o}=\frac{{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\γ}}_o}\frac{B_o}{B_w}\frac{{\mathrm{\μ}}_o}{{\mathrm{\μ}}_w}\·e^{-a-{\mathrm{bS}}_w-{\mathrm{ce}}^{S_w}}$      （式3）

即： $Q_w=Q_o\·\frac{{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\γ}}_o}\frac{B_o}{B_w}\frac{{\mathrm{\μ}}_o}{{\mathrm{\μ}}_w}\·e^{-a-{\mathrm{bS}}_w-{\mathrm{ce}}^{S_w}}$      （式4）

累积产水量Wp可由下式表示：

$\mathrm{Wp}={\∫}_0^t{Q}_w\mathrm{dt}$      （式5）

将（式4）带入上式可得累产水表达式：

$\mathrm{Wp}=\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}\·{\∫}_0^t{Q}_o{e}^{-a-{\mathrm{bS}}_w-{\mathrm{ce}}^{S_w}}\mathrm{dt}$      （式6）。

式中:

K_ro—油相相对渗透率,小数；

K_rw—水相相对渗透率,小数；

K_o—油相渗透率,μm²；

K_w—水相渗透率,μm²；

K—fw=0时的油层绝对渗透率,μm²；

S_w—含水饱和度,小数；

WOR—水油比，小数；

Q_w—阶段注水量，10⁴m³；

Q_o—阶段产油量，10⁴m³；

γ_w—注入水相对密度，小数；

μ_w—注入水黏度，mPa·s；

μ_o—原油黏度，mPa·s；

B_o—地层原油体积系数，小数；

B_w—注入水体积系数，小数；

a、b、c—回归系数；

Wp—累积产水量，10⁴m³。

3.根据权利要求2所述的特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法，其特征在于，在步骤2中，根据物质平衡原理，水驱条件下油田的累积产油量Np可由下式表示：

N_p=N-N_ro     （式7）

其中：

$N=100\mathrm{Ah\φ}(1-S_{\mathrm{wi}})\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}$      （式8）

$N_{\mathrm{ro}}=100\mathrm{Ah\φ}(1-S_w)\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_o}$      （式9）

式中：

N_p—累计产油，10⁴t；

N—油田的原始地质储量，10⁴t；

N_ro—油田目前剩余地质储量，10⁴t；

A—油田的含油面积，Km²；

h—油层的有效厚度，m；

φ—孔隙度，小数；

S_wi—地层束缚水饱和度，小数；

γ_o—地面脱气原油比重，无因次量；

B_oi—地层原油的原始体积系数，无因次量；

B_o—地层原油目前的原始体积系数，无因次量。

将（式8、式9）带入（式7）可得：

$N_p=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}[(1-S_{\mathrm{wi}})-(1-S_w)\frac{B_{\mathrm{oi}}}{B_o}]$      （式10）

在水驱开发条件下，令Bo=Boi，则由上式可得：

$\mathrm{Np}=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}(S_w-S_{\mathrm{wi}})$      （式11）

上式整理可得： $S_w=\frac{\mathrm{Np}}{100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}}+S_{\mathrm{wi}}$      （式12）

由于S_oi=1-S_wi，由（式12）的表达式可得：

$S_w=\frac{{\mathrm{NpS}}_{\mathrm{oi}}}{N}+S_{\mathrm{wi}}$      （式13）

（式11）式对时间求导，整理可得：

$Q_o=\frac{{\mathrm{dN}}_p}{\mathrm{dt}}=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{dS}}_w}{\mathrm{dt}}$      （式14）。

4.根据权利要求3所述的特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法，其特征在于，在步骤3中，将（式13、式14），带入（式6）式可得：

$W_p=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\·\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}\·e^{-a}{\∫}_{S_{\mathrm{wi}}}^{S_w}{e}^{-{\mathrm{bS}}_w}\·e^{-{\mathrm{ce}}^{S_w}}{\mathrm{dS}}_w$      （式15）

其中q为常数：

$q=\frac{1}{c}(1+\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-{\mathrm{de}}^{S_w})}^n}{\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Π}}}(c+i)})$      （式16）

将（式16）带入（式15）式可得：

$W_p=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}q(e^{-b(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})-{\mathrm{ce}}^{(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})}}-e^{-{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wi}}-{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wi}}}})$

                                           （式17）

上式等号左右两边同时取对数可得：

$\begin{array}{c}\lg (W_p+100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}{\mathrm{qe}}^{-{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wi}}-{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wi}}}})=\\ \lg (100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}q)-\frac{b(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})}{2.303}-\frac{{\mathrm{ce}}^{(\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}{N}_p+S_{\mathrm{wc}})}}{2.303}\end{array}$      （式18）

令：

$M=100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}*e^{-a}{\mathrm{qe}}^{-{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wi}}-{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wi}}}}$

$A=\lg \left(100\mathrm{Ah\φ}\frac{{\mathrm{\γ}}_o}{B_{\mathrm{oi}}}\frac{{\mathrm{\μ}}_o{B}_o{\mathrm{\γ}}_w}{{\mathrm{\μ}}_w{B}_w{\mathrm{\γ}}_o}{*e}^{-a}q\right)-\frac{{\mathrm{bS}}_{\mathrm{wc}}}{2.303}$

$B=-\frac{b(1-S_{\mathrm{wc}})}{2.303N},C=-\frac{{\mathrm{ce}}^{S_{\mathrm{wc}}}}{2.303},D=\frac{1-S_{\mathrm{wc}}}{N}$

则（式18）式变为：

$\lg (W_p+M)=A+{\mathrm{BN}}_p+{\mathrm{Ce}}^{{\mathrm{DN}}_p}$      （式19）

随着油田的生产，含水率不断上升和累积产水量不断增加，因此常数M的影响逐渐减少。上式可以简化成：

$\lg \left(W_p\right)=A+{\mathrm{BN}}_p+{\mathrm{Ce}}^{{\mathrm{DN}}_p}$      （式20）

式中：

a，b，c—相渗曲线表达式系数；

A、B、C—水驱曲线表达式系数；

M—常数；

Swc—出口端含水饱和度。

5.根据权利要求4所述的特高含水期甲型水驱曲线非线性关系表征方法，其特征在于，在步骤4中，令x=DNp，带入（式20）可得

$\lg W_p=A+\frac{B}{D}x+{\mathrm{Ce}}^x$      （式21）

假定已知某区块的累积产油和累积产水量，D任取一个初值，计算对应的x，然后作出lg Wp与x的关系曲线，利用最小二乘法求出最佳拟合系数，即相关系数最大时的系数A,B,C，取Np最大值，计算e^x最大值，如果数据不溢出，则A，B，C，D为改进型水驱特征曲线的解；否则，改变初值D，重新计算系数A,B,C，直到满足要求为止。