CN104899878A - 一种机车涡轮增压器转子三维模型是否合理建立的检验方法 - Google Patents

Abstract

一种机车涡轮增压器转子三维模型是否合理建立的检验方法，首先通对机车涡轮增压器转子模型进行简化，建立机车涡轮增压器转子的动力学模型；建立机车涡轮增压器的三维模型并且对机车涡轮增压器的转子进行模态分析；将涡轮增压器转子的具体参数带入力学模型，用软件编程后进行计算得出机车涡轮增压器转子的参考固有频率，对三维模型进行模态分析后得出的固有频率和用力学模型计算得出的参考固有频率对比，如果误差在要求的范围内就可以确定机车涡轮增压器的三维模型的建立就是合理的；模态分析取前四阶固有频率，如果涡轮增压器转子的前四阶固有频率跟参考固有频率的误差都在允许范围内，那么这种机车涡轮增压器转子的三维模型的建立就是合理的。

Description

一种机车涡轮增压器转子三维模型是否合理建立的检验方法

技术领域

本发明涉及一种机车涡轮增压器转子三维模型是否合理建立的检验方法，属于转子动力学领域。

背景技术

内燃机车大部分都采用涡轮增压器，机车涡轮增压器能够在不改变发动机体积和重量的前提下，提高发动机功率、降低排放和油耗，但由于机车涡轮增压器转速快工作环境恶劣因此其转子的动平衡很容易遭到破坏引起机车涡轮增压器故障，国内外学者对机车涡轮增压器转子动力学进行了广泛而深入的研究，很多都建立了机车涡轮增压器转子的三维模型进行了分析但没有验证所建立的三维模型的合理性，本文提出了一种机车涡轮增压器转子三维模型是否合理建立的检验方法对三维模型的合理性进行了检验。

建立涡轮增压器转子的三维建模，Ansys模态分析，在机车涡轮增压器的研究中建立准确的转子三维模型至关重要，决定分析结果是否准确，本文建立机车涡轮增压器转子动力学模型，然后通过数值计算得出了自由状态下的转子的参考固有频率。利用Ansys对转子系统进行模态分析，得出转子自由状态下的固有频率。通过以上两种结果的对比来验证机车涡轮增压器转子的三维模型的合理建立和证明此机车涡轮增压器转子动力学建模与分析方法具有实际意义。

发明内容

本发明的目的是提供一种机车涡轮增压器转子动力学建模与分析方法并用此方法对转子三维模型的合理性进行验证，本文先建立机车涡轮增压器转子动力学模型，通过Matlab编程计算得出参考固有频率，建立转子三维模型导入Ansysworkbench进行模态分析得出固有频率，如果两者的运算结果的误差在允许的范围内那建立的机车涡轮增压器转子的三维模型就是合理的。

1、本发明是采用以下技术手段实现的：

首先通对机车涡轮增压器转子模型进行简化，图1为转子简化后的模型及所建立的坐标系，对轮盘轴段进行受力分析建立转子的力学模型。然后用Matlab进行编程计算得出转子的参考固有频率；建立涡轮增压器的三维模型；将三维模型导入Ansysworkbench进行模态分析求出固有频率。本发明的特点是首先在转子动力学及数值分析的理论基础上建立了转子的力学模型，并运用所建立的力学模型进行了参考固有频率的计算，进而将计算结果和用三维模型进行模态分析得到的结果进行对比来确定所建立的三维模型是否准确；本发明内容包括了三个部分：在第一部分中建立转子动力学模型，用Matlab编程并求出参考固有频率。第二部分，建立机车涡轮增压器的三维模型并导入Ansys自动生成有限元模型，然后进行模态分析得出固有频率。第三部分，将两种求固有频率的结果进行对比，确定是否在误差范围内进而确定该三维模型的建立是否合理。该方法包含以下步骤：

S1建立机车涡轮增压器转子的动力学模型，将机车涡轮增压器的转子简化为四个轮盘和三个轴段，对第1、2、3、4个轮盘和第1、2、3个轴段进行转子动力学分析得出转子的力学模型如下：

其中模型中的变量定义如下：

L₁、L₂、L₃为第一、二、三轴段的长度，m₁、m₂、m₃为第一、二、三四个轮盘的质量，X₁、X₂、X₃、X₄为第一、二、三、四个轮盘沿x轴的平动位移，E为轴段的弹性模量，I₁、I₂、I₃为第一、二、三个轴段的惯性矩，Ψ₁、Ψ₂、Ψ₃、Ψ₄为第一、二、三、四个轮盘绕y轴的转角；

Ф₁、Ф₂、Ф₃、Ф₄为第一、二、三、四个轮盘绕x轴的转角，ω_r为转子的转动的角速度，t为转子转动的时间，J_a1、J_a2、J_a3、J_a4和J_p1、J_p2、J_p3、J_p4分别为第一、二、三、四个轮盘的赤道转动惯量和极转动惯量，单位长度的轴段所受到的重力为k，Y₁、Y₂、Y₃、Y₄为第一、二、三、四个轮盘沿y轴的平动位移，k_b为轴承刚度，E为弹性模量；e₁为第一个轮盘的偏心距，e₄为第四个轮盘的偏心距，ω_r为转子的转动的角速度；

在此只考虑机车涡轮增压器转子静态的情况，因此写成静态下的矩阵方程为：

$M_r{\stackrel{\·\·}{X}}_r+K_r{X}_r=0$

$M_r=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc}{m}_1& & & & & & & & & & & & & & & \\ & 0& & & & & & & & & & & & & & \\ & & m_2& & & & & & & & & & & & & \\ & & & 0& & & & & & & & & & & & \\ & & & & m_3& & & & & & & & & & & \\ & & & & & 0& & & & & & & & & & \\ & & & & & & m_4& & & & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & & & \\ & & & & & & & & m_1& & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & \\ & & & & & & & & & & m_2& & & & & \\ & & & & & & & & & & & 0& & & & \\ & & & & & & & & & & & & m_3& & & \\ & & & & & & & & & & & & & 0& & \\ & & & & & & & & & & & & & & m_4& \\ & & & & & & & & & & & & & & & 0\end{array}\right]$

$K_r=\left[\begin{array}{cccccccc}\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}& \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}& -\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}& \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}& 0& 0& 0& 0\\ \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_1}{L_1}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_1}{L_1}& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}& \frac{{12\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}+\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}+K_b& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& -\frac{{12\mathrm{EI}}_2}{L_2^3}& \frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& 0& 0\\ \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_1}{L_1}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_1}{L_1}+\frac{{\mathrm{EI}}_2}{L_2}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_2}{L_2}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{{12\mathrm{EI}}_2}{L_2^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& \frac{{12\mathrm{EI}}_2}{L_2^3}+\frac{{12\mathrm{EI}}_3}{L_3^3}+k_b& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& -\frac{{12\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}\\ 0& 0& \frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_2}{L_2}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_2}{L_2}+\frac{{4\mathrm{EI}}_3}{L_3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_3}{L_3}\\ 0& 0& 0& 0& -\frac{{12\mathrm{EI}}_3}{L_3^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{12\mathrm{EI}}_3}{L_3^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}\\ 0& 0& 0& 0& \frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_3}{L_3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_3}{L_3}\end{array}\right]$

S2建立机车涡轮增压器的三维模型并且对机车涡轮增压器的转子进行模态分析

对机车涡轮增压器的转子进行测绘，用三维软件绘制出三维模型，将三维模型导入有限元分析软件，有限元分析软件会自动生成有限元模型，并且划分网格后自动进行计算得出固有频率；

S3将涡轮增压器转子的具体参数带入S1中的力学模型，用软件编程后进行计算就可以得出机车涡轮增压器转子的参考固有频率，对三维模型进行模态分析后得出的固有频率和用力学模型计算得出的参考固有频率进行对比，如果误差在要求的范围内就可以确定机车涡轮增压器的三维模型的建立就是合理的；误差要求如下：

通常模态分析取前四阶固有频率就可以，因此在此如果涡轮增压器转子的前四阶固有频率跟参考固有频率的误差都在允许范围内，那么这种机车涡轮增压器转子的三维模型的建立就是合理的。

通过下面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰。

附图说明

图1为转子简化后的模型及所建立的坐标系

图2一种机车涡轮增压器转子三维模型是否合理建立的检验方法的流程图

具体实施方式

在此将机车涡轮增压器转子简化为四个轮盘和三个轴段

1、对轮盘跟轴段的转子动力学分析

1)第i个轮盘的受力的力学方程

e_i为第i个轮盘的偏心距，是转动中心到重心的距离，轮盘逆时针旋转时间t后转角θ＝ω_rt。

经受力分析可得 $\left\{\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{xi}}^L-F_{\mathrm{xi}}^R-F_{\mathrm{bxi}}+m_i*e_i*{{\mathrm{\ω}}_r}^2*\cos \left({\mathrm{\ω}}_{r}t\right)=m_i*{\stackrel{\·\·}{X}}_i\\ F_{\mathrm{yi}}^L-F_{\mathrm{yi}}^R-F_{\mathrm{byi}}+m_i*e_i*{{\mathrm{\ω}}_r}^2*\sin \left({\mathrm{\ω}}_{r}t\right)=m_i*{\stackrel{\·\·}{Y}}_i\end{array}\right.$

其中为在xz平面上轮盘左边受到的力，为在xz平面上轮盘右边受到的力，其中为在yz平面上轮盘左边受到的力，为在yz平面上轮盘右边受到的力，X和Y分别为轮盘沿x和y方向的平动位移，m_i为第i个轮盘的质量，ω_r为转子转动的角速度，F_bxi为轴承作用于轮盘上沿x轴的力，F_byi为轴承作用于轮盘上的沿y轴的力。

2)第i个轮盘所受的惯性矩的方程

可得沿y轴的力矩沿x轴的力矩为

所以

和为第i个轮盘在xz平面上左端和右端受到的弯矩，和为第i个轮盘分别在yz平面上左端和右端受到的弯矩。

为第i个轮盘绕x轴的转角，Ψ_i为第i个轮盘绕y轴的转角。

综上所述，将上面两个方程联立可得第i个轮盘的动力学方程为

(其中i＝1,2,3,4)

3)第i个轴段受力的力学方程

在ZX平面上的力学方程为 $\left\{\begin{array}{c}{X}_{i+1}=X_i+L_i*{\mathrm{\Ψ}}_i+\frac{L_i^2}{{2\mathrm{EI}}_i}*M_{\mathrm{yi}}^R+\frac{L_i^3}{{6\mathrm{EI}}_i}*F_{\mathrm{xi}}^R\\ {\mathrm{\Ψ}}_{i+1}={\mathrm{\Ψ}}_i+\frac{L_i}{{\mathrm{EI}}_i}*M_{\mathrm{yi}}^R+\frac{L_i^2}{{2\mathrm{EI}}_i}*F_{\mathrm{xi}}^R\\ M_{y,i+1}^L=M_{\mathrm{yi}}^R+F_{\mathrm{xi}}^R*L_i\\ F_{x,i+1}^L=F_{\mathrm{xi}}^R\end{array}\right.$

同理考虑轴段在YZ平面上的受力情况得

将上面ZX平面受力跟YZ平面受力的两个方程联立可得第i个轴段的力学方程为

其中i＝1，2，3

4)将第i个轮盘的受力的力学方程跟第i个轴段的受力的力学方程联立可得转子的无阻尼状态下的动力学模型，

L₁、L₂、L₃为第一、二、三轴段的长度，E为轴段的弹性模量，I₁、I₂、I₃为第一、二、三个轴段的惯性矩，e₁为第一个轮盘的偏心距，e₄为第一和第四个轮盘的偏心距，ω_r为转子的转动的角速度，J_a1、J_a2、J_a3、J_a4和J_p1、J_p2、J_p3、J_p4分别为第一、二、三、四个轮盘的赤道转动惯量和极转动惯量，单位长度的轴段所受到的重力为k，k_b为轴承刚度，其余变量上面已给出定义。

其模型的一般形式为：此式中M_r为质量矩阵，G_r为陀螺矩阵，K_r为刚度矩阵，F_r为激励力向量。为了验证涡轮增压器转子动力学模型及各参数的正确性，先对自由状态的转子进行了模态计算。计算自由转子的振动模态时，轴承支撑力不起作用，设K_b＝0，由于转子不转动即陀螺效应不起作用，K_b＝0，ω_r＝0，F_r＝0,所以上式可以改写为 $M_r{\stackrel{\·\·}{X}}_r+K_r{X}_r=0.$

$M_r=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc}{m}_1& & & & & & & & & & & & & & & \\ & 0& & & & & & & & & & & & & & \\ & & m_2& & & & & & & & & & & & & \\ & & & 0& & & & & & & & & & & & \\ & & & & m_3& & & & & & & & & & & \\ & & & & & 0& & & & & & & & & & \\ & & & & & & m_4& & & & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & & & \\ & & & & & & & & m_1& & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & \\ & & & & & & & & & & m_2& & & & & \\ & & & & & & & & & & & 0& & & & \\ & & & & & & & & & & & & m_3& & & \\ & & & & & & & & & & & & & 0& & \\ & & & & & & & & & & & & & & m_4& \\ & & & & & & & & & & & & & & & 0\end{array}\right]$

$K_r=\left[\begin{array}{cccccccc}\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{l_1^3}& \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{l_1^2}& -\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{l_1^3}& \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{l_1^3}& 0& 0& 0& 0\\ \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{l_1^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_1}{l_1}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{l_1^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_1}{l_1}& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{l_1^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{l_1^2}& \frac{{12\mathrm{EI}}_1}{l_1^3}+\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{l_1^3}+K_b& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{l_1^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{l_2^2}& -\frac{{12\mathrm{EI}}_2}{l_2^3}& \frac{{6\mathrm{EI}}_2}{l_2^2}& 0& 0\\ \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{l_1^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_1}{l_1}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{l_1^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{l_2^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_1}{l_1}+\frac{{\mathrm{EI}}_2}{l_2}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{l_2^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_2}{l_2}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{{12\mathrm{EI}}_2}{l_2^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{l_2^2}& \frac{{12\mathrm{EI}}_2}{l_2^3}+\frac{{12\mathrm{EI}}_3}{l_3^3}+k_b& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{l_2^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{l_3^2}& -\frac{{12\mathrm{EI}}_3}{l_3^2}& \frac{{6\mathrm{EI}}_3}{l_3^2}\\ 0& 0& \frac{{6\mathrm{EI}}_2}{l_2^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_2}{l_2}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{l_2^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{l_3^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_2}{l_2}+\frac{{4\mathrm{EI}}_3}{l_3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{l_3^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_3}{l_3}\\ 0& 0& 0& 0& -\frac{{12\mathrm{EI}}_3}{l_3^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{l_3^2}& \frac{{12\mathrm{EI}}_3}{l_3^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{l_3^2}\\ 0& 0& 0& 0& \frac{{6\mathrm{EI}}_3}{l_3^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_3}{l_3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{l_3^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_3}{l_3}\end{array}\right]$

将机车涡轮增压器转子的具体参数带入以上矩阵方程并通过Matlab编程后就可以计算出参考固有频率。

2、对机车涡轮增压器的转子进行测绘，用三维软件建立三维模型，将其导入Ansys划分网格后生成有限元模型，设置好物理参数后进行模态分析得出转子的固有频率。

3、用以上两种计算方式得到的固有频率进行对比，如果误差在要求的范围内就可以确定机车涡轮增压器的三维模型的建立就是合理的。误差要求如下：

4、在此引用刘萧《某型涡轮转子发动机强度和转子动力学分析》中所用的涡轮增压器转子来验证此方法的正确性。作者研究的不是机车涡轮增压器，但由于其结构跟机车涡轮增压器是一样的，因此可以在此作为实例。文中所提供的数据为：m₁＝2.289kg；m₂＝0kg；m₃＝0kg；m₄＝0.6167kg；L₁＝0.005m；L₂＝0.06m；L₃＝0.005m；E＝2.06GP；I₁＝0.000265m⁴；I₂＝0；I₃＝0；I₄＝0.000004167m⁴；因为考虑的是静态下的，所以ω_r＝0；k_b＝0所以惯性矩跟极惯性矩在此不用求出。

将这些量带入静态下的转子动力学模型可计算得出其参考固有频率，与文中通过模态分析得出的固有频率进行对,通常来说取四阶就可以，因此结果比较如下：

表1

涡轮增压器转子的以上各阶的固有频率跟参考固有频率的误差都在允许范围内，由于作者所建立的转子三维模型是合理的，此模型用本文所提到的两种方法进行计算的结果的误差也在要求范围内，所以此种机车涡轮增压器转子动力学建模与分析方法在验证机车涡轮增压器三维建模是否准确上是可行的，在机车涡轮增压器的研究中也具有实际的意义。涡轮增压器各部分物理参数见表2：

表2

3、通过以上两种方式进行计算得到的计算和结果的对比

1)模态分析计算后得出的结果如下

表3

2)以某涡轮增压器为例的用Matlab编程后计算得出的结果如下

表4

3)两种结果的对比分析

软件计算的结果与实际的结果是有误差的，因为在测绘的过程中存在误差，建立三维模型的过程中尤其是叶轮叶片和涡轮叶片的过程中也存在误差。一阶模态是扭转振动，第四阶模态是涡轮端的横向弯曲振动，二三阶模态是压气机叶轮端的横向弯曲振动，振动方向互相垂直，理论上这两个模态的频率是相同的，微小的差别是由计算误差引起的。

4、结论

通过以上实例分析总结出：误差在允许的范围内即因此此种机车涡轮增压器三维模型是否合理建立的检验方法可以检验机车涡轮增压器的转子是否合理的进行了三维建模，这对于与以后的机车涡轮增压器的转子的动力学研究具有实际意义。

Claims (1)

1.一种机车涡轮增压器转子三维模型是否合理建立的检验方法，其特征在于：包含以下步骤：

S1建立机车涡轮增压器转子的动力学模型，将机车涡轮增压器的转子简化为四个轮盘和三个轴段，对第1、2、3、4个轮盘和第1、2、3个轴段进行转子动力学分析得出转子的力学模型如下：

其中模型中的变量定义如下：

L₁、L₂、L₃为第一、二、三轴段的长度，m₁、m₂、m₃为第一、二、三四个轮盘的质量，X₁、X₂、X₃、X₄为第一、二、三、四个轮盘沿x轴的平动位移，E为轴段的弹性模量，I₁、I₂、I₃为第一、二、三个轴段的惯性矩，Ψ₁、Ψ₂、Ψ₃、Ψ₄为第一、二、三、四个轮盘绕y轴的转角；

Ф₁、Ф₂、Ф₃、Ф₄为第一、二、三、四个轮盘绕x轴的转角，ω_r为转子的转动的角速度，t为转子转动的时间，J_a1、J_a2、J_a3、J_a4和J_p1、J_p2、J_p3、J_p4分别为第一、二、三、四个轮盘的赤道转动惯量和极转动惯量，单位长度的轴段所受到的重力为k，Y₁、Y₂、Y₃、Y₄为第一、二、三、四个轮盘沿y轴的平动位移，k_b为轴承刚度，E为弹性模量；e₁为第一个轮盘的偏心距，e₄为第四个轮盘的偏心距，ω_r为转子的转动的角速度；

在此只考虑机车涡轮增压器转子静态的情况，因此写成静态下的矩阵方程为：

$K_r=\left[\begin{array}{cccccccc}\frac{12{\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}& \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L^2}& -\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{L^3}& \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L^3}& 0& 0& 0& 0\\ \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_1}{L_1}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_1}{L_1}& 0& 0& 0& 0\\ -\frac{12{\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}& \frac{{12\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}+\frac{{12\mathrm{EI}}_1}{L_1^3}+K_b& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& -\frac{{12\mathrm{EI}}_2}{L_2^3}& \frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& 0& 0\\ \frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_1}{L_1}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_1}{L_1^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_1}{L_1}+\frac{{4\mathrm{EI}}_2}{L_2}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& \frac{2{\mathrm{EI}}_2}{L_2}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{12{\mathrm{EI}}_2}{L_2^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& \frac{{12\mathrm{EI}}_2}{L_2^3}+\frac{12{\mathrm{EI}}_3}{L_3^3}+k_b& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& -\frac{{12\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}\\ 0& 0& \frac{6{\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_2}{L_2}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_2}{L_2^2}+\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_2}{L_2}+\frac{{4\mathrm{EI}}_3}{L_3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{2{\mathrm{EI}}_3}{L_3}\\ 0& 0& 0& 0& -\frac{{12\mathrm{EI}}_3}{L_3^3}& -\frac{6{\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{12\mathrm{EI}}_3}{L_3^3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}\\ 0& 0& 0& 0& \frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{2\mathrm{EI}}_3}{L_3}& -\frac{{6\mathrm{EI}}_3}{L_3^2}& \frac{{4\mathrm{EI}}_3}{L_3}\end{array}\right]$

S2建立机车涡轮增压器的三维模型并且对机车涡轮增压器的转子进行模态分析

对机车涡轮增压器的转子进行测绘，用三维软件绘制出三维模型，将三维模型导入有限元分析软件，有限元分析软件会自动生成有限元模型，并且划分网格后自动进行计算得出固有频率；

S3将涡轮增压器转子的具体参数带入S1中的力学模型，用软件编程后进行计算就可以得出机车涡轮增压器转子的参考固有频率，对三维模型进行模态分析后得出的固有频率和用力学模型计算得出的参考固有频率进行对比，如果误差在要求的范围内就可以确定机车涡轮增压器的三维模型的建立就是合理的；误差要求如下：

通常模态分析取前四阶固有频率就可以，因此在此如果涡轮增压器转子的前四阶固有频率跟参考固有频率的误差都在允许范围内，那么这种机车涡轮增压器转子的三维模型的建立就是合理的。