CN104851132A - 一种基于定制化测度的标架场生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于定制化测度的标架场生成方法。本发明首先根据用户输入的关于标架场的约束要求，将其转换成关于测度的要求，然后在对数域优化求解测度场，根据得到的测度场计算联络，用于生成与该测度对应的正交场，最终将测度场和正交场合成为标架场。本发明方法能从输入网格和与输入网格对应的标架场约束得到定制化的任意标架场，能灵活满足用户对标架场的各种长度和方向控制，可用于表面四边形网格生成，以及扩展到N对称场生成。

Description

一种基于定制化测度的标架场生成方法

技术领域

本发明属于几何处理领域中技术，尤其是涉及了一种基于定制化测度的标架场生成方法，实现各向异性及非正交的任意标架场生成。

技术背景

标架场在计算机图形学领域有着广泛的应用，特别是在网格四边形化，纹理映射等。各向异性及非正交标架场的生成之前也有一些方法可以生成，但是尤其局限性。

目前的标架场生成方法有各自的不足：

1、传统的标架场生成更多地关注正交标架场的生成，这样的标架场无法满足长度约束，和任意的方向对齐约束，比如各向异性和非正交的要求；

2、之前的方法也关注沿着某个方向上的长度需求，但是是在正交标架场生成过后加上用户的长度约束，这样做没有考虑到长度约束和方向约束有一定耦合性这一性质，从而不能很好地得到用户所需的标架场；

3、[LIU,Y.,X U,W.,W ANG,J.,Z HU,L.,G UO,B.,C HEN,F.,ANDWANG,G.2011.General planar quadrilateral mesh design using conjugatedirection field.ACM Trans.Graph.30,6(Dec.),140:1–140:10]提出了一种根据共轭方向场生成非正交标架场的方法，但该方法不能处理长度约束。

4、[DIAMANTI,O.,V AXMAN,A.,P ANOZZO,D.,AND SORKINE-HORNUNG,O.2014.Designing n-polyvector fields with complex polynomials.Comput.Graph.Forum 33,5]提出了一种不考虑旋转对称的N向量场的生成方法；以及[PANOZZO,D.,PUPPO,E.,TARINI,M.,AND SORKINE-HORNUNG,O.Frame fields:Anisotropic and non-orthogonal cross fields.ACM Transactions onGraphics 33,4(July 2014),134:1–134:11.]提出了一种利用形变得到非正交方向场的方法，而且用户在每个三角面片上只能提供完整的标架约束，对于复杂约束，比如单方向长度的约束无法处理。这两种方法都涉及到利用网格形变将非正交标架场转换为正交场，这样就要求得到的各向异性及非正交的标架场在三维欧几里得空间有内嵌的正交场，一般的四边形化不需要这样的强约束；

5、测度场在图形学领域中受到了越来越多的关注，特别是在重网格和参数化中的运用。但是这些运用都比较受限，没有考虑用户的多种需求。

发明内容

针对背景技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于定制化测度的标架场生成方法，是计算机图形学领域中三维流形表面三角形网格测度场和标架场的生成技术。本发明方法能灵活利用用户输入的各种关于标架场长度和方向对齐的需求，在对数空间优化测度场，并利用该测度场生成一个该测度下光滑的正交标架场，从而得到各向异性及非正交的标架场。

为实现上述的目的，本发明采用的技术方案如下步骤：

1)输入流形表面三角形网格M和对应的特征边集合E_f，提取流形表面三角形网格M中的边界边集合E_b，将流形表面三角形网格M中不属于边界边集合E_b和特征边集合E_f的边的集合作为内部边集合E_c；

2)在流形表面三角形网格M的每个三角形面片t上任意建立一个局部正交标架作为局部坐标系局部坐标系是一个2×2的旋转矩阵；

对于内部边集合E_c的每条边e，取流形表面三角形网格M中与每条边e相邻的两个三角面片，再构建局部坐标系将两个三角面片在不改变形状的情况下展平到同一个平面，然后计算两个三角面片各自的局部坐标系之间的两个变换矩阵；

对于集合E_c的每条边e＝t_i∩t_j，其中t_i、t_j是网格M中与e相邻的两个三角面片，将两个三角面片在不改变形状的情况下展平到同一个平面，然后计算两个三角面片各自的局部坐标系和t_j中的局部坐标系之间的两个变换矩阵和变换矩阵表示从局部坐标系变换到局部坐标系的变换矩阵，变换矩阵表示从局部坐标系变换到局部坐标系变换矩阵；

3)在流形表面三角形网格M上建立一个测度场，并进行离散化；再对于用户输入的标架场约束进行分类，得到对齐约束集合A_d、曲线约束集合A_c、均匀缩放约束集合S_s和长度约束集合S_d；

然后将上述所有约束集合转换成关于测度要求的约束集合，将长度约束集合转换为关于测度的长度约束集合，将对齐约束集合和长度约束集合转换为关于测度的垂直约束集合，将均匀缩放约束集合转换为关于测度的均匀缩放约束集合，将曲线约束集合转换为关于测度的曲线约束集合，该表面三角形网格本身的边界线和特征线也构成了相应的方向对齐约束和曲线对齐约束，所有边界边组成边界线；

另外该表面三角形网格本身的边界线和特征线也构成了相应的方向对齐约束和长度约束，其所对应的测度约束同上，所有这些约束构成了有关测度的约束条件，用于下面的测度优化。

4)根据关于测度的长度约束集合S_d、垂直约束集合、均匀缩放约束集合S_s和曲线约束集合A_c，并根据关于测度场光滑性要求，建立以下测度场优化方程，在对数域求解该测度场优化方程得到测度场：

${\arg \min }_g\frac{1}{\left|M\right|}{E}_s+\frac{w_s}{\left|S_s\right|}{E}_{S_s}+\frac{w_d}{|S_d\∪A_d|}{E}_{S_d\∪A_d}+\frac{w_c}{\left|A_c\right|}{E}_{A_c}$

其中，g表示该优化方程变量的集合，E_s表示测度光滑程度的能量项，表示控制均匀缩放约束满足程度的能量项，表示控制长度约束和垂直约束满足程度的能量项，表示控制曲线对齐约束满足程度的能量项，光顺权重λ、均匀缩放权重w_s、长度和垂直约束权重w_d和曲线对齐权重w_c用来调节对应能量项的权重，|M|表示流行表面三角形网格M的总面积，|S_s|表示均匀缩放约束集合S_s的个数，|S_d∪A_d|表示长度约束和垂直约束集合的元素个数，|A_c|表示曲线对齐约束集合A_c的个数；

5)建立联络对应的以下旋转角度公式，再采用离散数值积分方法计算得到旋转角度θ，得到联络对应的旋转矩阵

$\mathrm{\θ}={\∫}_{\mathrm{\γ}}(G_{11,v}-G_{21,u},G_{12,v}-G_{22,u})\frac{G}{\det \left(G\right)}\left(\begin{array}{c}\mathrm{du}\\ \mathrm{dv}\end{array}\right)$

其中，u、v分别表示局部坐标系下不同方向的积分变量，G表示测度g的平方根，det(G)表示G的行列式，G_ij表示G的第i行第j列元素，G_ij,u表示G_ij对u的导数，G_ij,v表示A_ij对v的导数；流形表面三角形网格M每个面片t上的测度g_t采用g_t＝exp(g_t)计算得到，即矩阵g_t的自然指数，g_t是测度在三角面片t上的对数表示；

本发明可采用数值积分的近似计算方法求解联络对应的旋转角度，即将输入表面三角形网格的中每条边相邻两个面片间的联络分成两段进行分别积分求解，具体可采用以下方式：为了近似计算该角度，对于属于集合E_c任意一条边e＝t_i∩t_j，建立路径γ为从t_i的质心到e的中心c_e，再到t_j的质心然后分段计算，假设G在三角面片t_i、t_j上是线性变化的，即梯度是一个常向量，首先计算中心c_e处在局部坐标系下测度其中表示从三角面片t_j的局部坐标系到三角面片t_i的局部坐标系的变换矩阵，是的转置,路径中A的梯度利用g_e,i得到，同理路径中A的梯度利用g_e,j,得到，其中其中表示从三角面片t_i的局部坐标系到三角面片t_j的局部坐标系的变换矩阵，是的转置；然后利用数值积分方法得到路径中联络的旋转角度以及路径中的联络最后得到路径的联络的旋转角度为其中为旋转矩阵对应的旋转角度，即局部坐标系之间的角度差，由此得到了联络对应的旋转角度

6)将步骤4)中计算得到的测度场与步骤5中得到的旋转矩阵进行正交场的生成，获得测度场下的正交标架场u；

7)将步骤4)中优化得到的测度场和步骤6)中优化得到的正交标架场合成，构成最终的标架场F。

所述步骤3)中，对于所述用户输入的标架场约束的分类方式如下：将用户对于标架场方向对齐的约束归为对齐约束集合A_d，曲线对齐的约束归为曲线约束集合A_c，均匀缩放的约束归为均匀缩放约束集合S_s，输入约束中的长度约束归为长度约束集合S_d。

所述步骤3)中所有约束集合转换成关于测度要求的约束集合具体采用以下方式转换：

a、将长度约束集合S_d在任意三角形面片t上采用以下公式转换作为长度约束，得到关于测度的长度约束集合，集合的元素为(t，d，k)∈S_d：

$d^T{g}_{t}d=\frac{1}{l^2}$

其中，l是标架场沿着方向d的长度，d是定义在局部坐标系中单位向量，d^T是d的转置；

b、将对齐约束集合A_d和长度约束集合S_d采用以下方式转换得到关于测度的垂直约束集合，集合元素表示为(t,d_a,·),(t,d_b,·)∈S_d∪A_d；

对于任意一个三角形面片t上的两个方向，其关于测度的垂直约束采用以下公式计算，使得在测度g_t下两个方向相互垂直：

$d_a^T{g}_t{d}_b=0$

其中，d_a和d_b是在任意三角形面片t的局部坐标系中的两个单位向量，上标·^T表示转置；

c、将均匀缩放约束集合S_s在任意三角形面片t上采用以下公式建立均匀缩放约束，得到关于测度的均匀缩放约束集合，集合的元素为(t,s)∈S_s：

$g_t=\frac{1}{s^2}I$

其中，I是2×2的单位矩阵，s表示均匀缩放的大小；

d、将长度约束集合S_d采用以下方式进行测度约束转换得到关于测度要求的标架约束集合，集合中的长度约束元素为(t,d_x,l_x),(t,d_y,l_y)∈S_d：

$d_x^T{g}_t{d}_x=\frac{1}{l_x^2},d_y^T{g}_t{d}_y=\frac{1}{l_y^2},d_x^T{g}_t{d}_y=0$

其中，d_x、d_y为两个2×1的单位向量，l_x、l_y分别表示三角形面片t上的标架F_t沿着d_x、d_y的长度，标架F_t＝(l_xd_x,l_yd_y)，上标·^T表示转置，该标架约束包括两个长度约束和一个垂直约束；

e、将曲线约束集合A_c在三角形面片t上采用以下方式转换得到关于测度的曲线约束集合，该集合的元素为(t,d,n,r)∈A_c：

$\frac{1}{2}{\stackrel{\‾}{\▿}}_n\ln \left(d^T{g}_{t}d\right)=r$

其中，d、n分别表示局部坐标系中的两个单位向量，标架F_t的一方向与方向d同向；该类约束属于曲线对齐要求，该约束的含义是单位向量d在测度g_t中的长度的对数在n方向以r的比例变化,表示沿着方向n的协变导数，d^T是d的转置。

所述步骤4)中，测度光滑程度的能量项E_s、控制均匀缩放约束满足程度的能量项控制长度约束和垂直约束满足程度的能量项和控制曲线对齐约束满足程度的能量项分别采用以下公式计算：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_s=\mathrm{\λ}\underset{t_i\∩t_j=e\∈E_c}{\mathrm{\Σ}}\frac{\left|t_i\right|+\left|t_j\right|}{2}{\left|\right|g_{t_i}-{\stackrel{\‾}{R}}_{t_j{t}_i}^T{g}_{t_j}{\stackrel{\‾}{R}}_{t_j{t}_i}\left|\right|}^2\\ +(1-\mathrm{\λ})\underset{t\∈M}{\mathrm{\Σ}}\left|t\right|{\left|\right|\underset{t_i\∈N_t}{\mathrm{\Σ}}(g_t-{\stackrel{\‾}{R}}_{t_{i}t}^T{g}_{t_i}{\stackrel{\‾}{R}}_{t_{i}t})\left|\right|}^2\\ E_{S_s}=\underset{(t,s)\∈S_s}{\mathrm{\Σ}}\left|t\right|{\left|\right|g_t-\ln \frac{1}{s^2}I\left|\right|}^2\\ E_{S_d\∪A_d}=\underset{(t,d_1,\·),(t,d_2,\·)\∈S_d\∪A_d}{\mathrm{\Σ}}\left|t\right|{\left[\begin{array}{c}\ln {(d_1+d_2)}^T\exp \left(g_t\right)(d_1+d_2)\\ -\ln (d_1^T\exp \left(g_t\right)d_1+d_2^T\exp \left(g_t\right)d_2+2c)\end{array}\right]}^2\\ E_{A_c}=\underset{(t,d,n,r)\∈A_c}{\mathrm{\Σ}}\left|t\right|{[{\▿}_n\ln \left(d^T\exp \left(g_t\right)d\right)-2r]}^2\\ +\frac{\left|t\right|+\left|t_n\right|}{2}{[\ln \left(d^T\exp \left(g_t\right)d\right)-\ln \left(d^T{R}_{t_{n}t}^T\exp \left(g_t\right)R_{t_{n}t}\right)]}^2\end{array}\right.$

其中，t_i与t_j是M中与内部边相邻的两个三角形面片，‖·‖表示二范数，|t_i|表示三角面片t_i的面积，光顺权重λ、均匀缩放权重w_s、长度和垂直约束权重w_d和曲线对齐权重w_c用来调节对应能量项的权重，|M|表示输入表面三角形网格的总面积，变换矩阵表示从三角面片t_j的局部坐标系到三角面片t_i的局部坐标系的变换矩阵，变换矩阵表示从三角面片t_i的局部坐标系到三角面片t的局部坐标系的变换矩阵，上标·^T表示转置，|S_s|表示集合S_s的个数，|S_d∪A_d|表示长度约束和垂直约束集合的元素个数，|A_c|表示曲线约束集合A_c的个数，I表示2×2单位矩阵，d₁、d₂表示长度约束和垂直约束集合中位于同一个三角面片上的两个单位向量，c表示向量d₁和d₂在测度exp(g_t)下的内积；向量d₁和d₂在测度exp(g_t)下的内积c采用以下公式计算：

$c=d_1^T\exp \left(g_t\right)d_2\≥0.$

所述各个能量项中的测度g_t使用对数表示，使用g_t＝ln g_t作为优化的变量，从而得到光滑的满足输入约束的测度场；即g_t＝ln g_t，矩阵g_t的对数。

所述步骤4)中对所述优化方程利用逐步二次规划法(Sequential QuadraticProgramming)，以单位矩阵作为初值进行求解。

所述的步骤6)具体如下：

6.1)在流形表面三角形网格M上定义一个正交标架场u，正交标架场u是一个2×1的单位向量；

6.2)根据步骤5)中得到联络对应的旋转矩阵由于正交场是4对称场，将每个三角形面片t的正交标架用(c_t,s_t)＝(cos4θ_t,sin4θ_t)来等价表示，并利用正交标架场的光滑性以及对齐约束集合A_d，构建以下标架场优化方程，求解得到(c,s)，并转换成正交标架场u：

其中，(c,s)表示变量集合{(c_t,s_t)|t∈M}，是网格M中所有面片上正交标架的变量集合，‖·‖表示向量的二范数，旋转矩阵·⁽⁴⁾表示旋转矩阵的旋转角度乘4后得到的旋转矩阵，d表示方向对齐约束中的单位向量；(G_td)⁽⁴⁾的上标表示G_td相对于局部坐标系的x轴的角度需要乘4，这样(G_td)⁽⁴⁾表示角度为原角度4倍的向量，即矩阵g_t的平方根，|·|表示取向量的模长，对齐权重w_a和长度权重w_u用来调节对应能量项的权重，上标·^T表示转置。

所述步骤6.1)具体为：在M的每个三角形面片t上，基于其局部坐标系定义一个正交标架其中u_t表示正交标架中的一方向，上标⊥表示将u_t逆时针旋转90°，u_t＝(cosθ_t,sinθ_t)^T，θ_t表示u_t与局部坐标系x轴之间的夹角。

所述步骤7)中标架场F的每个三角面片t标架F_t的合成公式为： 其中是测度g_t平方根的逆矩阵。

所述步骤3)建立一个测度场并进行离散化具体如下：在所述的流形表面三角形网格M的每个三角面片t上建立2×2的实正定矩阵作为测度场中的测度g_t，对流形表面三角形网格M上的标架场F进行离散化，标架场F为每个三角面片t上基于局部坐标系的一个标架F_t，是2×2的矩阵。

如图1，本发明方法包括七个步骤，重点在于满足用户各种方向和长度约束的测度场的生成，以及在该测度下的正交标架场的生成。为了直观地体现出本发明涉及到的标架场生成方法的质量，运用一般的四边形化生成技术生成了标架场对应的四边形化网格。

本发明与背景技术相比，具有的有益效果是：

本发明方法生成的标架场是具有各向异性及非正交性，是一种任意标架场生成方法。

本发明方法能灵活地满足关于标架场的各种需求，并且很好地耦合了标架场的长度约束和方向约束。

本发明将非正交和各项异性标架场的生成利用测度场转换为正交场的生成，很多传统的正交场生成方法都可以用来生成正交场。

并且解决了计算机图形学领域中标架场生成中的用户对于标架场的各种约束无法得到很好满足这一问题，本发明可以用于网格四边形化，纹理映射，以及体网格的六面体化中，也可以扩展到N对称场的生成。

附图说明

图1是本发明的流程图。

图2是实施例输入模型的示意图。

图3是实施例经过优化得到的测度示意图。

图4是实施例经过优化得到的标架场示意图。

图5是实施例利用标架场得到的网格四边形化结果示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明，本发明的目的在于基于定制化测度的各向异性及非正交标架场的生成。

如图1所示，本发明的实施例如下：

1)输入一个车盖的流形表面三角形网格M(如图2所示，粗线条表示模型的特征边和边界边，有灰度的地方表示均匀缩放约束，不同灰度表示不同的缩放要求，另外黑色垂直标架表示标架场的方向对齐要求。)和对应的特征边集合E_f，提取流形表面三角形网格M中的边界边集合E_b，其中E为M中所有边的集合，并将流形表面三角形网格M中不属于E_b和E_f的边的集合作为内部边集合E_c。

2)在流形表面三角形网格M的每个三角形面片t上任意建立一个局部正交标架作为局部坐标系局部坐标系是一个2×2的旋转矩阵；

对于内部边集合E_c的每条边e，取流形表面三角形网格M中与每条边e相邻的两个三角面片，e＝t_i∩t_j，其中t_i、t_j是网格M中与e相邻的两个三角面片，再构建局部坐标系将两个三角面片在不改变形状的情况下展平到同一个平面，然后计算两个三角面片各自的局部坐标系和t_j中的局部坐标系之间的两个变换矩阵和变换矩阵表示从局部坐标系变换到局部坐标系的变换矩阵，变换矩阵表示从局部坐标系变换到局部坐标系变换矩阵。

3)在所述的流形表面三角形网格M的每个三角面片t上建立2×2的实正定矩阵作为测度场中的测度g_t，对流形表面三角形网格M上的标架场F进行离散化，标架场F为每个三角面片t上基于局部坐标系的一个标架F_t，是2×2的矩阵。

再对于用户输入的标架场约束进行分类，将用户对于标架场方向对齐的约束归为对齐约束集合A_d，曲线对齐的约束归为曲线约束集合A_c，均匀缩放的约束归为均匀缩放约束集合S_s，输入约束中方向d及其长度约束归为长度约束集合S_d；然后将上述所有约束集合转换成关于测度要求的约束集合。

上述所有约束集合转换成关于测度要求的约束集合具体采用以下方式转换：

a、将长度约束集合S_d在任意三角形面片t上采用以下公式转换作为方向性长度约束，得到关于测度要求的长度约束集合，集合的元素为(t,d,l)∈S_d：

$d^T{g}_{t}d=\frac{1}{l^2}$

其中，l是标架场沿着方向d的长度，d定义在局部坐标系中，d^T是d的转置。

b、将对齐约束集合A_d和长度约束集合S_d采用以下方式转换得到关于测度的垂直约束集合，集合元素表示为(t,d_a,·),(t,d_b,·)∈S_d∪A_d，

对于任意一个三角形面片t上的两个方向，其关于测度的垂直约束采用以下公式计算，使得在测度g_t下两个方向相互垂直：

$d_a^T{g}_t{d}_b=0$

其中，d_a和d_b是在任意三角形面片t的局部坐标系中的两个单位向量，上标·^T表示转置。

c、将均匀缩放约束集合S_s在任意三角形面片t上采用以下公式得到关于测度要求的均匀缩放约束集合，集合的元素为(t,s)∈S_s：

$g_t=\frac{1}{s^2}I$

其中，I是2×2的单位矩阵，s表示均匀缩放的大小。

d、将对齐约束集合A_d和长度约束集合S_d在局部坐标系中采用以下方式进行测度约束转换得到关于测度要求的标架约束集合，集合中的长度约束元素为(t,d_x,l_x),(t,d_y,l_y)∈S_d：

$d_x^T{g}_t{d}_x=\frac{1}{l_x^2},d_y^T{g}_t{d}_y=\frac{1}{l_y^2},d_x^T{g}_t{d}_y=0$

其中，d_x、d_y为两个2×1的单位向量，l_x、l_y分别表示三角形面片t上的标架F_t沿着d_x、d_y的长度，标架F_t＝(l_xd_x,l_yd_y)，上标·^T表示转置，该标架约束包括两个长度约束和一个垂直约束。

e、将曲线约束集合A_c在三角形面片t上采用以下方式转换得到关于测度要求的曲线约束集合，该集合的元素为(t,d,n,r)∈A_c：

$\frac{1}{2}{\stackrel{\‾}{\▿}}_n\ln \left(d^T{g}_{t}d\right)=r$

其中，d、n分别表示局部坐标系中的两个单位向量，标架F_t的一方向与方向d同向，d^T是d的转置。

4)根据关于测度的长度约束集合S_d、垂直约束集合、均匀缩放约束集合S_s和曲线约束集合A_c，并根据关于测度场光滑性要求，建立以下优化方程，在对数域求解该测度优化方程得到测度场，利用逐步二次规划法(SequentialQuadratic Programming)，以单位矩阵作为初值进行求解：

${\arg \min }_g\frac{1}{\left|M\right|}{E}_s+\frac{w_s}{\left|S_s\right|}{E}_{S_s}+\frac{w_d}{|S_d\∪A_d|}{E}_{S_d\∪A_d}+\frac{w_c}{\left|A_c\right|}{E}_{A_c}$

其中，g表示该优化方程变量的集合，E_s表示测度光滑程度的能量项，表示控制均匀缩放约束满足程度的能量项，表示控制长度约束和垂直约束满足程度的能量项，表示控制曲线对齐约束满足程度的能量项，光顺权重λ、均匀缩放权重w_s、长度和垂直约束权重w_d和曲线对齐权重w_c用来调节对应能量项的权重，|M|表示输入表面三角形网格的总面积，|S_s|表示均匀缩放集合S_s的个数，|S_d∪A_d|表示长度约束和垂直约束的元素个数，|A_c|表示曲线对齐集合A_c的个数。

本实例中λ＝0.95，w_s＝w_d＝w_c＝0.01。得到经过优化得到的测度如图3所示，采用椭圆可视化对应三角形面片中的测度，椭圆的两个轴长对应于测度矩阵两个特征值倒数的开方。

本实例中测度g使用对数表示，使用g_t＝ln g_t，g_t的对数作为优化的变量，从而得到光滑的满足输入约束的测度场；

5)建立联络对应的以下旋转角度公式，再采用离散数值积分方法计算得到旋转角度θ，得到联络对应的旋转矩阵

$\mathrm{\θ}={\∫}_{\mathrm{\γ}}(G_{11,v}-G_{21,u},G_{12,v}-G_{22,u})\frac{G}{\det \left(G\right)}\left(\begin{array}{c}\mathrm{du}\\ \mathrm{dv}\end{array}\right)$

其中，u、v表示积分变量，G表示测度g的平方根，det(G)表示G的行列式，G_ij表示G的第i行第j列元素，G_ij,u表示G_ij对u的导数，G_ij,v表示A_ij对v的导数；流形表面三角形网格M每个面片t上的测度g_t采用g_t＝exp(g_t)计算得到，即矩阵g_t的自然指数，g_t是测度在三角面片t上的对数表示。

具体实施中，计算得到旋转角度θ可采用离散数值积分方法求解联络对应的旋转角度，即将输入表面三角形网格的中每条边相邻两个面片间的联络分成两段进行分别积分求解。

为了近似计算该角度，对于属于内部边集合E_c任意一条边e＝t_i∩t_j，其中三角面片t_i和三角面片t_j是与边e相邻的两个三角面片，建立路径γ为从三角面片t_i的质心到边e的中心c_e，再到三角面片t_j的质心接着分段计算，假设G在三角面片t_i、t_j上是线性变化的，即梯度是一个常向量，首先计算中心c_e处在局部坐标系下测度路径中A的梯度利用g_e，i得到，同理路径中A的梯度利用g_e,j,得到，其中 然后利用离散数值积分方法得到路径中联络的旋转角度以及路径中的联络最后得到路径的联络的旋转角度为其中为旋转矩阵对应的旋转角度，即局部坐标系之间的角度差，由此得到了联络对应的旋转角度则最后联络对应的旋转矩阵为： $R_{t_i{t}_j}=\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\θ}}_{t_i{t}_j}& -\sin {\mathrm{\θ}}_{t_i{t}_j}\\ \sin {\mathrm{\θ}}_{t_i{t}_j}& \cos {\mathrm{\θ}}_{t_i{t}_j}\end{array}\right].$ 本实例中，在每段积分路径上等间距采样了100个点进行数值积分；

6)将步骤4)中计算得到的测度场与步骤5)中得到的旋转矩阵进行正交场的生成，获得测度场下的正交标架场u；即在流形表面三角形网格M的每个三角形面片t上，基于其局部坐标系定义一个正交标架其中u_t表示正交标架中的一方向，上标⊥表示将u_t逆时针旋转90°，u_t＝(cosθ_t,sinθ_t)^T，θ_t表示u_t与局部坐标系x轴之间的夹角。

再根据步骤5)中得到联络对应的旋转矩阵由于正交场是4对称场，将每个三角形面片t的正交标架用(c_t,s_t)＝(cos4θ_t,sin4θ_t)来等价表示，并利用正交标架场的光滑性以及对齐约束集合A_d，构建以下优化方程，求解得到(c,s)，并转换成正交标架场u：

其中，(c,s)表示变量集合{(c_t,s_t)|t∈M}，是流行表面三角形网格M中所有面片上正交标架的变量集合，‖·‖表示向量的二范数，旋转矩阵·⁽⁴⁾表示旋转矩阵的旋转角度乘4后得到的旋转矩阵，d表示方向对齐约束中的单位向量；即矩阵g_t的平方根，|·|表示取向量的模长，对齐权重w_a、和长度权重w_u用来调节对应能量项的权重，上标·^T表示转置。

求解时网格M中每个三角形面片t中(c_t,s_t)的初值设为(1,0),最后将求解到的(c，s)转换为正交标架场u,对于网格M每个三角形面片t，其转换公式为：u_t＝(cosθ_t,sinθ_t)^T，其中：

${\mathrm{\θ}}_t=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4}a\cos \frac{c_t}{\sqrt{c_t^2+s_t^2}},& s_t>0\\ -\frac{1}{4}a\cos \frac{c_t}{\sqrt{c_t^2+s_t^2}},& s_t\≤0\end{array}\right.,$

由此，得到了正交标架场u。

本实例中w_a＝1，w_u＝1e-3。

7)将步骤4)中优化得到的测度场和步骤6)中优化得到的正交标架场u合成，每个标架F_t的合成公式为：得到最终经过优化得到的标架场F，如图4所示，来自测度场和正交场的合成，其中线条的走向反应了标架场的方向。

实施里利用标架场得到的四边形化网格如图5所示，从网格中的四边形的边长和方向可以看出输入的长度约束和方向约束得到了很好的满足。施加在车顶盖上长度和方向对齐约束在四边形网格中有很好的体现，输入约束中两个方向的长度比为2:1，在四边形网格中四边形块的长度也近似是这个比例。施加在车前盖的均匀缩放约束从对应的四边形网格的疏密程度也可以得到很好的反应。在模型比较狭窄的地方，输入了比较小的均匀缩放约束，在最终的标架场对应的四边形网格中可以看到这些地方对应的是比较小的四边形块。另外，在边界边和特征边处的四边形网格也很好地沿着边界边和特征边分布。这些都说明本发明的方法对于用户的输入约束都有很好的满足。

由此可见，本发明首先根据用户输入的关于标架场的约束要求，将其转换成关于测度的要求，然后在对数域优化求解测度场，根据得到的测度场计算联络，用于生成与该测度对应的正交场，最终将测度场和正交场合成为标架场。本发明方法能从输入网格和与输入网格对应的标架场约束得到定制化的任意标架场，能灵活满足用户对标架场的各种长度和方向控制，可用于表面四边形网格生成，以及扩展到N对称场生成。

上述具体实施方式用来解释说明本发明，而不是对本发明进行限制，在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特点在于包括以下步骤：

1)输入流形表面三角形网格M和对应的特征边集合E_f，提取流形表面三角形网格M中的边界边集合E_b，将流形表面三角形网格M中不属于边界边集合E_b和特征边集合E_f的边的集合作为内部边集合E_c；

2)在流形表面三角形网格M的每个三角形面片t上任意建立一个局部正交标架作为局部坐标系局部坐标系是一个2×2的旋转矩阵；

对于内部边集合E_c的每条边e，取流形表面三角形网格M中与每条边e相邻的两个三角面片，再构建局部坐标系将两个三角面片在不改变形状的情况下展平到同一个平面，然后计算两个三角面片各自的局部坐标系之间的两个变换矩阵；

3)在流形表面三角形网格M上建立一个测度场，并进行离散化；再对于用户输入的标架场约束进行分类，得到对齐约束集合A_d、曲线约束集合A_c、均匀缩放约束集合S_s和长度约束集合S_d；

然后将上述所有约束集合转换成关于测度要求的约束集合，将长度约束集合转换为关于测度的长度约束集合，将对齐约束集合和长度约束集合转换为关于测度的垂直约束集合，将均匀缩放约束集合转换为关于测度的均匀缩放约束集合，将曲线约束集合转换为关于测度的曲线约束集合；

4)根据关于测度的长度约束集合S_d、垂直约束集合、均匀缩放约束集合S_s和曲线约束集合A_c，并根据关于测度场光滑性要求，建立以下测度场优化方程，在对数域求解该测度场优化方程得到测度场：

${\arg \min }_g\frac{1}{\left|M\right|}{E}_s+\frac{w_s}{\left|S_s\right|}{E}_{S_s}+\frac{w_d}{|S_d\∪A_d|}{E}_{S_d\∪A_d}+\frac{w_c}{\left|A_c\right|}{E}_{A_c}$

其中，g表示该优化方程变量的集合，E_s表示测度光滑程度的能量项，表示控制均匀缩放约束满足程度的能量项，表示控制长度约束和垂直约束满足程度的能量项，表示控制曲线对齐约束满足程度的能量项，光顺权重λ、均匀缩放权重w_s、长度和垂直约束权重w_d和曲线对齐权重w_c用来调节对应能量项的权重，|M|表示流行表面三角形网格M的总面积，|S_s|表示均匀缩放约束集合S_s的个数，|S_d∪A_d|表示长度约束和垂直约束集合的元素个数，|A_c|表示曲线对齐约束集合A_c的个数；

5)建立联络对应的以下旋转角度公式，再采用离散数值积分方法计算得到旋转角度θ，得到联络对应的旋转矩阵

$\mathrm{\θ}={\∫}_{\mathrm{\γ}}(G_{11.v}-G_{21,u},G_{12,v}-G_{22,u})\frac{G}{\det \left(G\right)}\left(\begin{array}{c}\mathrm{du}\\ \mathrm{dv}\end{array}\right)$

其中，u、v分别表示局部坐标系下不同方向的积分变量，G表示测度g的平方根，det(G)表示G的行列式，G_ij表示G的第i行第j列元素，G_ij,u表示G_ij对u的导数，G_ij,v表示A_ij对v的导数；流形表面三角形网格M每个面片t上的测度g_t采用g_t＝exp(g_t)计算得到，即矩阵g_t的自然指数，g_t是测度在三角面片t上的对数表示；

6)将步骤4)中计算得到的测度场与步骤5中得到的旋转矩阵进行正交场的生成，获得测度场下的正交标架场u；

7)将步骤4)中优化得到的测度场和步骤6)中优化得到的正交标架场u合成，构成最终的标架场F。

2.根据权利要求1所述的一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特征在于：所述步骤3)中，对于所述用户输入的标架场约束的分类方式如下：将用户对于标架场方向对齐的约束归为对齐约束集合A_d，曲线对齐的约束归为曲线约束集合A_c，均匀缩放的约束归为均匀缩放约束集合S_s，输入约束中的长度约束归为长度约束集合S_d。

3.根据权利要求1所述的一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特征在于：所述步骤3)中所有约束集合转换成关于测度要求的约束集合具体采用以下方式转换：

a、将长度约束集合S_d在任意三角形面片t上采用以下公式转换作为长度约束，得到关于测度的长度约束集合，集合的元素为(t,d,l)∈S_d：

$d^T{g}_{t}d=\frac{1}{l^2}$

其中，l是标架场沿着方向d的长度，d是定义在局部坐标系中单位向量，d^T是d的转置；

b、将对齐约束集合A_d和长度约束集合S_d采用以下方式转换得到关于测度的垂直约束集合，集合元素表示为(t,d_a,·),(t,d_b,·)∈S_d∪A_d；

对于任意一个三角形面片t上的两个方向，其关于测度的垂直约束采用以下公式计算，使得在测度g_t下两个方向相互垂直：

$d_a^T{g}_t{d}_b=0$

其中，d_a和d_b是在任意三角形面片t的局部坐标系中的两个单位向量，上标·^T表示转置；

c、将均匀缩放约束集合S_s在任意三角形面片t上采用以下公式建立均匀缩放约束，得到关于测度的均匀缩放约束集合，集合的元素为(t,s)∈S_s：

$g_t=\frac{1}{s^2}I$

其中，I是2×2的单位矩阵，s表示均匀缩放的大小；

d、将长度约束集合S_d采用以下方式进行测度约束转换得到关于测度要求的标架约束集合，集合中的长度约束元素为(t,d_x,l_x),(t,d_y,l_y)∈S_d：

$d_x^T{g}_t{d}_x=\frac{1}{l_x^2},d_y^T{g}_t{d}_y=\frac{1}{l_y^2},d_x^T{g}_t{d}_y=0$

其中，d_x、d_y为两个2×1的单位向量，l_x、l_y分别表示三角形面片t上的标架F_t沿着d_x、d_y的长度，标架F_t＝(l_xd_x,l_yd_y)，上标·^T表示转置；

e、将曲线约束集合A_c在三角形面片t上采用以下方式转换得到关于测度的曲线约束集合，该集合的元素为(t,d,n,r)∈A_c：

$\frac{1}{2}{\stackrel{\‾}{\▿}}_n\ln \left(d^T{g}_{t}d\right)=r$

其中，d、n分别表示局部坐标系中的两个单位向量，标架F_t的一方向与方向d同向，d^T是d的转置。

4.根据权利要求1所述的一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特征在于：所述步骤4)中，测度光滑程度的能量项E_s、控制均匀缩放约束满足程度的能量项控制长度约束和垂直约束满足程度的能量项和控制曲线对齐约束满足程度的能量项分别采用以下公式计算：

$\left\{\begin{array}{c}{E}_s=\mathrm{\λ}\underset{t_i\∩t_j=e\∈E_c}{\mathrm{\Σ}}\frac{\left|t_i\right|+\left|t_j\right|}{2}{\left|\right|g_{t_i}-{\stackrel{\‾}{R}}_{t_j{t}_i}^T{g}_{t_j}{\stackrel{\‾}{R}}_{t_j{t}_i}\left|\right|}^2\\ +(1-\mathrm{\λ})\underset{t\∈M}{\mathrm{\Σ}}\left|t\right|{\left|\right|\underset{t_i\∈N_t}{\mathrm{\Σ}}(g_t-{\stackrel{\‾}{R}}_{t_{i}t{g}_{t_i}}^T{\stackrel{\‾}{R}}_{t_{i}t})\left|\right|}^2\\ E_{S_s}=\underset{(t,s)\∈S_s}{\mathrm{\Σ}}\left|t\right|{\left|\right|g_t-\ln \frac{1}{s^2}I\left|\right|}^2\\ E_{S_d\∪A_d}=\underset{(t,d_1,\·),(t,d_2,\·)\∈S_d\∪A_d}{\mathrm{\Σ}}\left|t\right|{\left[\begin{array}{c}\ln {(d_1+d_2)}^T\exp \left(g_t\right)(d_1+d_2)\\ -\ln (d_1^T\exp \left(g_t\right)d_1+d_2^T\exp \left(g_t\right)d_2+2c)\end{array}\right]}^2\\ E_{A_c}=\underset{(t,d,n,r)\∈A_c}{\mathrm{\Σ}}\left|t\right|[{\▿}_n\ln \left(d^T\exp \left(g_t\right)d\right)-2r{]}^2\\ +\frac{\left|t\right|+\left|t_n\right|}{2}[\ln \left(d^T\exp \left(g_t\right)d\right)-[\ln \left(d^T{R}_{t_{n}t}^T\exp \left(g_t\right)R_{t_{n}t}\right){]}^2\end{array}\right.$

其中，t_i与t_j是M中与内部边相邻的两个三角形面片，‖·‖表示二范数，|t_i|表示三角面片t_i的面积，光顺权重λ、均匀缩放权重w_s、长度和垂直约束权重w_d和曲线对齐权重w_c用来调节对应能量项的权重，|M|表示输入表面三角形网格的总面积，|S_s|表示集合S_s的个数，|S_d∪A_d|表示长度约束和垂直约束集合的元素个数，|A_c|表示曲线约束集合A_c的个数，I表示2×2单位矩阵，d₁、d₂表示长度约束和垂直约束集合中位于同一个三角面片上的两个单位向量，c表示向量d₁和d₂在测度exp(g_t)下的内积；向量d₁和d₂在测度exp(g_t)下的内积c采用以下公式计算：

$c=d_1^T\exp \left(g_t\right)d_2\≥0.$

5.根据权利要求4所述的一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特征在于：所述各个能量项中的测度d_t使用对数表示，使用d_t＝lng_t作为优化的变量，从而得到光滑的满足输入约束的测度场；即g_t＝lng_t，矩阵g_t的对数。

6.根据权利要求1所述的一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特征在于：所述步骤4)中对所述优化方程利用逐步二次规划法(SequentialQuadratic Programming)，以单位矩阵作为初值进行求解。

7.根据权利要求1所述的一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特征在于：所述的步骤6)具体如下：

6.1)在流形表面三角形网格M上定义一个正交标架场u，正交标架场u是一个2×1的单位向量；

6.2)根据步骤5)中得到联络对应的旋转矩阵将每个三角形面片t的正交标架用(c_t,s_t)＝(cos4θ_t,sin4θ_t)来等价表示，并利用正交标架场的光滑性以及对齐约束集合A_d，构建以下标架场优化方程，求解得到(c,s)，并转换成正交标架场u：

其中，(c,s)表示变量集合{(c_t,s_t)|t∈M}，是网格M中所有面片上正交标架的变量集合，‖·‖表示向量的二范数，旋转矩阵·⁽⁴⁾表示旋转矩阵的旋转角度乘4后得到的旋转矩阵，d表示方向对齐约束中的单位向量；即矩阵g_t的平方根，|·|表示取向量的模长，对齐权重w_a和长度权重w_u用来调节对应能量项的权重，上标·^T表示转置。

8.根据权利要求7所述的一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特征在于：所述步骤6.1)具体为：在M的每个三角形面片t上，基于其局部坐标系定义一个正交标架其中u_t表示正交标架中的一方向，上标⊥表示将u_t逆时针旋转90°，u_t＝(cosθ_t,sinθ_t)^T，θ_t表示u_t与局部坐标系x轴之间的夹角，上标·^T表示转置。

9.根据权利要求1所述的一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特征在于：所述步骤7)中标架场F的每个三角面片t标架F_t的合成公式为：其中是测度g_t平方根的逆矩阵。

10.根据权利要求1所述的一种基于定制化测度的标架场生成方法，其特征在于：所述步骤3)建立一个测度场并进行离散化具体如下：在所述的流形表面三角形网格M的每个三角面片t上建立2×2的实正定矩阵作为测度场中的测度g_t，对流形表面三角形网格M上的标架场F进行离散化，标架场F为每个三角面片t上基于局部坐标系的一个标架F_t，是2×2的矩阵。