CN104820419A

CN104820419A - 一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计的方法和系统

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Publication number: CN104820419A
Application number: CN201510093755.5A
Authority: CN
Inventors: 张志�
Original assignee: Beijing Jiaotong University
Current assignee: Beijing Jiaotong University
Priority date: 2015-03-02
Filing date: 2015-03-02
Publication date: 2015-08-05

Abstract

本发明涉及一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计的方法和系统，包括构建模型Γ,其中Γ为N阶张量；判断模型Γ的显隐性，若为隐式模型，则分别计算Γ的逼近值的第k+1块张量的第k+1块张量的预测值得出性能基准即若为显式模型，则根据已知的开环过程模型和扰动模型参数，计算性能基准；本发明能够利用高阶奇异值分解HOSVD估计复杂非线性控制系统性能基准。

Description

一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计的方法和系统

技术领域

本发明涉及控制系统性能评估领域，尤其涉及一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计的方法和系统。

背景技术

现代工业过程中存在着成百上千的控制回路，这些控制控制回路所采用的控制器在整个工业过程运行的初期都具有良好的性能，但随着时间的推移，由于受到各种变化因素的影响，控制器性能会逐步退化，最终导致实际性能与设计要求有很大的差距，这会降低产品质量、增加运行成本、减少设备使用时间、甚至导致安全问题等，因此对控制系统进行性能评估显得很有必要。

控制系统性能评估的难点和关键点在于针对被控对象和性能指标建立性能基准。一般地，在工业环境下由于噪声的影响被控变量与设定值之间存在偏差，控制系统性能评估就是要评估控制器处理这种偏差的能力，其中最常用的性能测量指标是方差，这是由于方差能直接反应产品质量、能量消耗等工业过程参数指标。目前，常选用系统输出的最小方差作为性能基准，针对线性控制系统进行研究和应用。然而对于复杂的非线性控制系统而言，可能存在多重潜在因果因素影响控制系统的性能。因此，这在理论上需要描述各种潜在因果因素对于控制系统性能的影响程度，以及各个因素之间的内在联系。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是准确估计复杂非线性控制系统性能基准，提供一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计的方法和系统。

本发明解决上述技术问题的技术方案如下：一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤S1，构建模型Γ,其中Γ为N阶张量；

步骤S2，判断模型的显隐性，若为隐式模型，则执行步骤S3；若为显式模型，则直接执行步骤S7；

步骤S3，将Γ通过HOSVD进行分解，得到沿着i_n轴方向的展开矩阵β_n，此时Γ＝Δ×₁β₁×₂β₂…×_Nβ_N，并计算Γ的逼近值

其中i_n表示张量空间上的任一轴向；n＝1,2,...,N，表示张量空间的各个维度的轴向标号；Δ表示核张量；n取值1、2、…、N时，展开矩阵β_n分别为β₁、β₂、…、β_N；其中₁β₁表示1模矩阵β₁，同理，₂β₂表示2模矩阵β₂，_Nβ_N表示N模矩阵β_N；表示Δ的逼近值，表示β₁的截断矩阵，同理，表示β₂的截断矩阵，表示β_N的截断矩阵；

步骤S4，计算的第k+1块张量

{\hat{Γ}}_{k + 1} = \hat{Δ} \times_{1} {\hat{β}}_{1} \times_{2} {\hat{β}}_{2} \cdot \cdot \cdot {\overset{&OverBar;}{\times}}_{n} Y_{k + 1} \times_{n + 1} {\hat{β}}_{n + 1} \cdot \cdot {\cdot \times}_{N} {\hat{β}}_{N},

其中，Y_k+1表示矩阵的第k+1行向量；1≤k≤N-1，k表示i_n轴向上的任一个序列值；

步骤S5，计算的第k+1块张量的预测值

{\tilde{Γ}}_{k + 1} = \hat{Δ} \times_{1} {\hat{β}}_{1} \times_{2} {\hat{β}}_{2} \cdot \cdot \cdot {\overset{&OverBar;}{\times}}_{n} {\hat{Y}}_{k + 1} \times_{n + 1} {\hat{β}}_{n + 1} \cdot \cdot {\cdot \times}_{N} {\hat{β}}_{N},

其中，表示Y_k+1的估计值；

步骤S6，根据步骤S4计算得出的和步骤S5计算得出的计算作为性能基准的对于i_n轴向上的第k个块的1步预测量即其中|| ||_F表示Frobenius范数；

步骤S7，根据已知的开环过程模型和扰动模型参数，计算性能基准。

在上述技术方案的基础上，本发明还可以做如下改进。

进一步地，步骤S3中且β_n为正交矩阵，其中表示构成矩阵β_n的向量，表示实(i_n×i_n)-矩阵空间。

进一步地，步骤S3中其中表示实(i₁×i₂×…×i_N)-张量的向量空间。

进一步地，步骤S3中其中( )^T表示转置运算。

进一步地，步骤S3中

{\hat{β}}_{1} &Element; R^{i_{n} \times s_{n}},

{\hat{β}}_{n} = [B_{n, 1}, B_{n, 2}, \cdot \cdot \cdot {, B}_{n, s_{n}}],

n＝1,2,...,N，其中s_n表示i_n轴向的截断值，表示实(i_n×s_n)-矩阵空间，表示构成矩阵的向量。

进一步地，步骤S4中

{\hat{Γ}}_{k + 1} &Element; R^{i_{1} \times i_{2} \times \cdot \cdot \cdot \times i_{n - 1} \times 1 \times i_{n + 1} \times \cdot \cdot \cdot \times i_{N}},

其中

R^{i_{1} \times i_{2} \times \cdot \cdot \cdot \times i_{n - 1} \times 1 \times i_{n + 1} \times \cdot \cdot \cdot \times i_{N}}

表示实(i₁×i₂×i_n-1×1×i_n+1×…×i_N)-张量的向量空间。

进一步地，步骤S5中其中Y_k表示矩阵的第k行向量，λ表示正交投影算子。

进一步地，在in轴向上，选中矩阵

γ_{1} = {[\begin{matrix} Y_{1}, & Y_{2}, & . . ., & Y_{i_{n} - 1} \end{matrix}]}^{T}

和矩阵其中以及分别代表组成选中矩阵γ₁和γ₂的向量，将γ₂正交投影到γ₁，得到矩阵的正交投影算子其中表示Moore-Penrose伪逆，并且

进一步地，步骤S7包括以下步骤：

步骤S71，将开环过程模型表示为张量形式，并以非线性控制系统的已知因素为轴向分别进行展开，得到多个展开矩阵；

步骤S72，对每个展开矩阵进行SVD运算，得到核张量在不同轴向上的展开矩阵；

步骤S73，计算核张量在不同轴向上的展开矩阵的秩；

步骤S74，判断计算得出的秩是否为满秩，若为缺秩，则提取缺秩的核张量展开矩阵所对应轴向的原张量展开矩阵中的向量块；若满秩，则计算终止；

步骤S75，将提取出的向量块，沿着不缺秩的轴向进行QR分解，计算对应的酉关联矩阵；

步骤S76，在不缺秩的每个轴向上，根据酉关联矩阵结合扰动模型参数，计算每个轴向的性能基准。

本发明解决上述技术问题的另一种技术方案如下：一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计系统，包括模型构建模块、模型判断模块、逼近值计算模块、张量计算模块、张量预测值计算模块、隐式模型性能基准计算模块和显式模型性能基准计算模块；

所述模型构建模块用于构建模型Γ,其中Γ为N阶张量；

所述模型判断模块用于判断模型Γ是显式模型还是隐式模型；

所述逼近值计算模块用于计算Γ的逼近值

所述张量计算模块用于计算的第k+1块张量其中1≤k≤N-1；

所述张量预测值计算模块用于计算的第k+1块张量的预测值

所述隐式模型性能基准计算模块用于计算隐式模型的性能基准；

所述显式模型性能基准计算模块用于计算隐式模型的性能基准。

本发明的有益效果是：本发明给出了一种利用高阶奇异值分解(HOSVD)估计复杂非线性控制系统性能基准的方法和系统，能够描述各种潜在因果因素对于控制系统性能的影响程度，以及各个因素之间的内在联系。

附图说明

图1为本发明所述基于高阶奇异值分解的性能基准估计的方法流程图；

图2为3阶张量的HOSVD图；

图3为为3阶张量的逼近张量的可视化表示图；

图4为3阶张量的展开矩阵图；

图5为(8×2×2×2)张量Γ的展开矩阵图；

图6为核张量的展开矩阵图；

图7为取出α_(u′)的块向量图；

图8为沿着i_q轴的酉关联矩阵图；

图9为沿着i_w轴的酉关联矩阵图；

图10为本发明所述基于高阶奇异值分解的性能基准估计的系统结构图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明的原理和特征进行描述，所举实例只用于解释本发明，并非用于限定本发明的范围。

如图1所示，一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，包括如下步骤：

步骤S1，构建模型Γ,其中Γ为N阶张量。

步骤S2，判断模型Γ的显隐性，若为隐式模型，则执行步骤S3；若为显式模型，则直接执行步骤S7；显示模型是指模型参数已知的模型，隐式模型是指模型参数未知的模型。

步骤S3，将Γ通过HOSVD进行分解，得到沿着i_n轴方向的展开矩阵β_n，

β_{n} = [B_{n, 1}, B_{n, 2}, . . ., B_{n, i_{n}}] &Element; R^{i_{n} \times i_{n}},

且β_n为正交矩阵，其中表示构成矩阵β_n的向量，表示实(i_n×i_n)-矩阵空间；此时Γ＝Δ×₁β₁×₂β₂…×_Nβ_N，并通过去除最小n模奇异值得到简化结构的张量可以看作是对原张量Γ的最优逼近。

其中i_n表示张量空间上的任一轴向；n＝1,2,...,N，表示张量空间的各个维度的轴向标号；Δ表示核张量，其中表示实(i₁×i₂×…×i_N)-张量的向量空间，其中( )^T表示转置运算；n取值1、2、…、N时，展开矩阵β_n分别为β₁、β₂、…、β_N；其中₁β₁表示1模矩阵β₁，同理，₂β₂表示2模矩阵β₂，_Nβ_N表示N模矩阵β_N；表示Δ的逼近值，表示β₁的截断矩阵，同理，表示β₂的截断矩阵，表示β_N的截断矩阵， n＝1,2,...,N，其中_sn表示i_n轴向的截断值，表示实(i_n×s_n)-矩阵空间，表示构成矩阵的向量。

图2为3阶张量的HOSVD，如图2所示，以3阶张量为例，从Γ中展开的正交矩阵β_n可以通过标准的SVD得到，进而可以得到核张量。

图3为3阶张量的逼近张量的可视化表示，如图3所示，的第k个块张量可以由与正交矩阵以及的第k行相乘得到，其中1≤k≤N-1，k表示i_n轴向上的任一个序列值。

步骤S4，计算的第k+1块张量

{\hat{Γ}}_{k + 1} = \hat{Δ} \times_{1} {\hat{β}}_{1} \times_{2} {\hat{β}}_{2} \cdot \cdot \cdot {\overset{&OverBar;}{\times}}_{n} Y_{k + 1} \times_{n + 1} {\hat{β}}_{n + 1} \cdot \cdot {\cdot \times}_{N} {\hat{β}}_{N},

其中，Y_k+1表示矩阵的第k+1行向量，其中表示实(i₁×i₂×i_n-1×1×i_n+1×…×i_N)-张量的向量空间，i₁×i₂×…×i_n-1×1×i_n+1×…×i_N中标量1表示i_n轴向上取任一个单位序列。

步骤S5，计算的第k+1块张量的预测值

{\tilde{Γ}}_{k + 1} = \hat{Δ} \times_{1} {\hat{β}}_{1} \times_{2} {\hat{β}}_{2} \cdot \cdot \cdot {\overset{&OverBar;}{\times}}_{n} {\hat{Y}}_{k + 1} \times_{n + 1} {\hat{β}}_{n + 1} \cdot \cdot {\cdot \times}_{N} {\hat{β}}_{N},

其中，表示Y_k+1的估计值，其中Y_k表示矩阵的第k行向量，λ表示正交投影算子，在i_n轴向上，选中矩阵

γ_{1} = {[\begin{matrix} Y_{1}, & Y_{2}, & . . ., & Y_{i_{n} - 1} \end{matrix}]}^{T}

和矩阵

γ_{2} = {[\begin{matrix} Y_{2}, & Y_{3}, & . . ., & Y_{i_{n}} \end{matrix}]}^{T},

其中Y₁,Y₂,…,以及分别代表组成选中矩阵γ₁和γ₂的向量，将γ₂正交投影到γ₁，得到矩阵的正交投影算子其是表示Moore-Penrose伪逆，并且

步骤S6，根据步骤S4计算得出的和步骤S5计算得出的计算作为性能基准的对于i_n轴向上的第k个块的1步预测量即其中|| ||_F表示Frobenius范数。

步骤S7包括以下步骤：

步骤S71，将开环过程模型表示为张量形式，并以非线性控制系统的已知因素为轴向分别进行展开，得到多个展开矩阵。

图4为3阶张量的展开矩阵，如图4所示，以三阶张量为例，可以得到展开矩阵α₍₁₎，α₍₂₎，α₍₃₎。

步骤S72，对每个展开矩阵进行SVD运算，得到核张量在不同轴向上的展开矩阵。

步骤S73，计算核张量在不同轴向上的展开矩阵的秩。

步骤S74，判断计算得出的秩是否为满秩，若为缺秩，则提取缺秩的核张量展开矩阵所对应轴向的原张量展开矩阵中的向量块；若满秩，则计算终止。

步骤S75，将提取出的向量块，沿着不缺秩的轴向进行QR分解，计算对应的酉关联矩阵。

通过上述步骤，可以将复杂非线性控制系统的性能基准估计方法转化为基于矩阵运算的传统方法，该子步骤中对于某一轴向的具体计算过程可参见专著：Huang,Bi ao,Shah,SirishL，Performance Assessment of ControlLoops:Theory and Applications,NewYork:Springer,1999。

例如，考虑一个包含两个2×2的开环传递函数矩阵的切换系统，

T^{(1)} = [\begin{matrix} \frac{q^{- 1}}{1 - {0.1 q}^{- 1}} & \frac{q^{- 1}}{1 - {0.1 q}^{- 1}} \\ \frac{{2 q}^{- 1}}{1 - {0.3 q}^{- 1}} & \frac{{2 q}^{- 1}}{1 - {0.4 q}^{- 1}} \end{matrix}], T^{(2)} = [\begin{matrix} \frac{q^{- 1}}{1 - {0.4 q}^{- 1}} & \frac{{4 q}^{- 2}}{1 - {0.1 q}^{- 1}} \\ \frac{{0.3 q}^{- 1}}{1 - {0.1 q}^{- 1}} & \frac{q^{- 2}}{1 - {0.8 q}^{- 1}} \end{matrix}],

这里q^-1表示滞后算子，前两个马尔科夫参数的块矩阵为，

G^{(1)} = [\begin{matrix} G_{0}^{(1)} & 0 \\ G_{1}^{(1)} & G_{0}^{(1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0.1 & 0.1 & 1 & 1 \\ 0.6 & 0.8 & 2 & 2 \end{matrix}],

G^{(2)} = [\begin{matrix} G_{0}^{(2)} & 0 \\ G_{1}^{(2)} & G_{0}^{(2)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0.3 & 0 & 0 & 0 \\ 0.4 & 4 & 1 & 0 \\ 0.03 & 1 & 0.3 & 0 \end{matrix}],

其中，w轴表示切换轴，切换系统沿着w轴进行演化。此时，其中，i_u′＝8，i_t＝2，i_y＝2，i_w＝2。其中，i_u′表示系统输入轴向，i_t表示时间轴向，i_y表示系统输出轴向，i_w表示切换轴向，展开的矩阵如图5所示。

核张量的展开矩阵如图6所示。

可见，rank(δ_(t))＝2，rank(δ_(y))＝2以及rank(δ_(w))＝2都是满秩的。然而rank(δ_(u′))＝6不是满秩的，这里缺秩为2，取出α_(u′)的块向量如图7所示。

分别用于沿着i_q轴和i_w轴的QR分解，那么沿着i_q轴的酉关联矩阵如图8所示。

沿着i_w轴的酉关联矩阵如图9所示。

因此，分别沿着i_q轴和i_w轴的性能基准，可以利用传统的关联滤波法估计得到。

如图10所示，一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计系统，包括模型构建模块、模型判断模块、逼近值计算模块、张量计算模块、张量预测值计算模块、隐式模型性能基准计算模块和显式模型性能基准计算模块；

模型构建模块用于构建模型Γ,其中Γ为N阶张量；

模型判断模块用于判断模型Γ是显式模型还是隐式模型；

逼近值计算模块用于计算Γ的逼近值

张量计算模块用于计算的第k+1块张量其中1≤k≤N-1；

张量预测值计算模块用于计算的第k+1块张量的预测值

隐式模型性能基准计算模块用于计算隐式模型的性能基准；

显式模型性能基准计算模块用于计算隐式模型的性能基准。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims

1.一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，包括如下步骤:

步骤S1，构建模型Γ,其中Γ为N阶张量；

步骤S2，判断模型Γ的显隐性，若为隐式模型，则执行步骤S3；若为显式模型，则直接执行步骤S7；

步骤S4，计算的第k+1块张量

{\hat{Γ}}_{k + 1} = {\hat{Δ} \times}_{1} {\hat{β}}_{1} \times_{2} {\hat{β}}_{2} \cdot \cdot \cdot {\overset{&OverBar;}{\times}}_{n} Y_{k + 1} \times_{n + 1} {\hat{β}}_{n + 1} \cdot \cdot \cdot \times_{N} {\hat{β}}_{N},

步骤S5，计算的第k+1块张量的预测值

{\tilde{Γ}}_{k + 1} = {\hat{Δ} \times}_{1} {\hat{β}}_{1} \times_{2} {\hat{β}}_{2} \cdot \cdot \cdot {\overset{&OverBar;}{\times}}_{n} {\hat{Y}}_{k + 1} \times_{n + 1} {\hat{β}}_{n + 1} \cdot \cdot \cdot \times_{N} {\hat{β}}_{N},

其中，表示Y_k+1的估计值；

步骤S6，根据步骤S4计算得出的和步骤S5计算得出的计算作为性能基准的对于i_n轴向上的第k个块的1步预测量即其中||||_F表示Frobenius范数；

2.根据权利要求1所述的基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，步骤S3中且β_n为正交矩阵，其中表示构成矩阵β_n的向量，表示实(i_n×i_n)-矩阵空间。

3.根据权利要求1所述的基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，步骤S3中其中表示实(i₁×i₂×…×i_N)-张量的向量空间。

4.根据权利要求1所述的基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，步骤S3中其中()^T表示转置运算。

5.根据权利要求1所述的基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，步骤S3中 n＝1,2,...,N，其中s_n表示i_n轴向的截断值，表示实(i_n×s_n)-矩阵空间，表示构成实矩阵的向量。

6.根据权利要求1所述的基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，步骤S4中其中表示实(i₁×i₂×i_n-1×1×i_n+1×…×i_N)-张量的向量空间。

7.根据权利要求1所述的基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，步骤S5中其中Y_k表示矩阵的第k行向量，λ表示正交投影算子。

8.根据权利要求7所述的基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，在i_n轴向上，选中矩阵

γ_{1} = {[\begin{matrix} Y_{1}, & Y_{2}, & . . ., & Y_{i_{n} - 1} \end{matrix}]}^{T}

和矩阵

γ_{2} = {[\begin{matrix} Y_{2}, & Y_{3}, & . . ., & Y_{i_{n}} \end{matrix}]}^{T},

其中Y₁,Y₂,...,以及分别代表组成选中矩阵γ₁和γ₂的向量，将γ₂正交投影到γ₁，得到矩阵的正交投影算子其中表示Moore-Penrose伪逆，并且

9.根据权利要求1所述的基于高阶奇异值分解的性能基准估计方法，其特征在于，步骤S7包括以下步骤:

步骤S73，计算核张量在不同轴向上的展开矩阵的秩；

10.一种基于高阶奇异值分解的性能基准估计系统，其特征在于，包括模型构建模块、模型判断模块、逼近值计算模块、张量计算模块、张量预测值计算模块、隐式模型性能基准计算模块和显式模型性能基准计算模块；

所述模型构建模块用于构建模型Γ,其中Γ为N阶张量；

所述逼近值计算模块用于计算Γ的逼近值

所述张量计算模块用于计算的第k+1块张量其中1≤k≤N-1；

所述张量预测值计算模块用于计算的第k+1块张量的预测值