CN104765374A - 一种高轨自然绕飞轨迹修正方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，在绕飞起点位置，根据相对导航结果计算建立自然绕飞轨迹的速度增量，并输出给推力器执行；根据绕飞起点有效相对导航结果基于CW方程解析解外推计算当前时刻标称轨迹对应的相对位置；确定同一相位角标称轨迹对应的相对位置与相对导航结果的相对位置之间的位置偏差，如果超过预设阈值，则建立偏差标志，计算当前相位角对应的相对导航结果的相对速度与标称轨迹相对速度之间的速度偏差，根据所述位置偏差和速度偏差计算加速度控制量，根据加速度控制量计算脉冲输出指令。本发明能够修正由轨道摄动和执行机构误差引起的距离偏差，最大程度使飞行轨迹逼近无摄条件下的理想闭合椭圆，从而建立稳定绕飞轨迹。

Description

一种高轨自然绕飞轨迹修正方法

技术领域

本发明属于高轨道航天器相对运动控制技术领域，涉及一种自然绕飞的标称轨迹修正控制方法。

背景技术

高轨通信卫星、导航卫星由于其价值高、轨位资源宝贵，对其失效卫星进行在轨服务成为一个重要发展方向。在抵近操作前，对其进行绕飞观测是空间操作的必经阶段，与低轨相比，高轨卫星轨道周期长，不少于24小时，轨道主要受地球不均匀引力摄动影响。自然绕飞即追踪航天器以一个轨道周期绕目标航天器转动的自然运动轨迹，按线性化方程解析解看，是一个2：1正椭圆轨迹，半长轴位于轨道切向速度方向。高轨卫星轨道半长轴大，周期长，受J22共振摄动影响大，表现为长期项，因此一个轨道周期漂移较标称椭圆偏差较大，形成有一定的开口的非闭合绕飞轨迹。然而观测的主载荷相机一般没有自动调焦能力，或自主调焦能力较弱，这就要求绕飞轨迹必须事先已知，且偏差值要控制在几十米范围内。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，提供一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，能够修正由轨道摄动和执行机构误差引起的距离偏差，最大程度使飞行轨迹逼近无摄条件下的理想闭合椭圆，从而建立稳定绕飞轨迹。

本发明包括如下技术方案：

一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，在高轨自然绕飞过程中，追踪航天器相对目标航天器运动，追踪航天器能够实时输出相对于目标航天器运动的相对导航结果；相对导航结果包括相对位置和相对速度；其特征在于，步骤如下：

(1)在绕飞起点位置，根据相对导航结果计算建立自然绕飞轨迹的速度增量，并输出给各轴推力器执行，从而建立绕飞轨迹；将推力器执行完毕后追踪航天器输出的相对导航结果作为绕飞起点有效相对导航结果；

(2)根据绕飞起点有效相对导航结果，基于CW方程解析解外推计算当前时刻标称轨迹对应的相对位置；

(3)根据当前时刻和目标轨道角速度确定对应的当前相位角，确定同一相位角标称轨迹对应的相对位置与相对导航结果的相对位置之间的位置偏差，判断所述位置偏差是否超过预设阈值，如果超过预设阈值，则建立偏差标志，转入步骤(4)；如果没有超过预设阈值，返回步骤(2)进入下一周期的计算；

(4)计算当前相位角对应的相对导航结果的相对速度与标称轨迹相对速度之间的速度偏差，根据所述位置偏差和速度偏差利用非线性PID控制器计算加速度控制量，根据加速度控制量计算施加至各轴推力器的脉冲输出指令；

(5)判断连续N个周期位置偏差是否小于预设阈值；如果连续N个周期位置偏差小于预设阈值，清除偏差标志，将当前时刻的位置作为新的绕飞起点位置，转入步骤(1)重新建立绕飞轨迹；否则，转入步骤(2)进行下一周期的计算。

所述步骤(1)计算建立自然绕飞轨迹的速度增量的计算公式为：

${\mathrm{\Δv}}_x=2\mathrm{\ω}{z}_0^{-}-{\stackrel{\·}{x}}_0^{-}$

Δv_y＝0

${\mathrm{\Δv}}_z=-\frac{\mathrm{\ω}}{2}{x}_0^{-}-{\stackrel{\·}{z}}_0^{-}$

分别为绕飞起点位置相对导航结果在目标航天器轨道坐标系下x方向和z方向的相对位置和相对速度；ω为目标航天器的轨道角速度；Δv_x、Δv_y、Δv_z为目标航天器轨道坐标系下的三轴速度增量。

所述步骤(2)的计算公式为：

$x_d=(x_0+\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{z}}_0)+({6\mathrm{\ωz}}_0-3{\stackrel{\·}{x}}_0)(t-t_0)+(\frac{4}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{x}}_0-{6z}_0)\sin \mathrm{\φ}-\left(\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{z}}_0\right)\cos \mathrm{\φ}$

$y_d=\frac{{\stackrel{\·}{y}}_0}{\mathrm{\ω}}\sin \mathrm{\φ}+y_0\cos \mathrm{\φ}$

$z_d=({4z}_0-\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{x}}_0)+\left(\frac{{\stackrel{\·}{z}}_0}{\mathrm{\ω}}\right)\sin \mathrm{\φ}+(\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{x}}_0-{3z}_0)\cos \mathrm{\φ}$

x_d、y_d、z_d为外推计算得到的当前时刻标称轨迹对应的相对位置；φ为相位角，φ＝ω(t-t₀)，t为当前时刻，t₀为绕飞起始时刻；分别为绕飞起点有效相对导航结果的相对位置和相对速度，ω为目标航天器的轨道角速度。

所述步骤(4)中，标称轨迹相对速度计算公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_d=({6\mathrm{\ωz}}_0-3{\stackrel{\·}{x}}_0)+(4{\stackrel{\·}{x}}_0-{6\mathrm{\ωz}}_0)\cos \mathrm{\φ}+2{\stackrel{\·}{z}}_0\sin \mathrm{\φ}\\ {\stackrel{\·}{y}}_d={\stackrel{\·}{y}}_0\cos \mathrm{\φ}-y_0\mathrm{\ω}\sin \mathrm{\φ}\\ {\stackrel{\·}{z}}_d={\stackrel{\·}{z}}_0\cos \mathrm{\φ}-(2{\stackrel{\·}{x}}_0-{3\mathrm{\ωz}}_0)\sin \mathrm{\φ}\end{array}\right.$

为标称轨迹对应的相对速度。

所述步骤(4)中，加速度控制量的计算公式为：

$a_x={\stackrel{\·\·}{x}}_d-k_p(x-x_d)-k_d(\stackrel{\·}{x}-{\stackrel{\·}{x}}_d)-2\mathrm{\ω}\stackrel{\·}{z}$

$a_y={\stackrel{\·\·}{y}}_d-k_p(y-y_d)-k_d(\stackrel{\·}{y}-{\stackrel{\·}{y}}_d)+{\mathrm{\ω}}^2$

$a_z={\stackrel{\·\·}{z}}_d-k_p(z-z_d)-k_d(\stackrel{\·}{z}-{\stackrel{\·}{z}}_d)+2\mathrm{\ω}\stackrel{\·}{x}-3{\mathrm{\ω}}^{2}z$

a_x，a_y，a_z为加速度控制量，k_p，k_d为控制系数，为当前相位角对应的相对导航结果的相对位置和相对速度；为标称轨迹对应的相对加速度。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

本发明提出的高轨自然绕飞轨迹修正方法，针对高轨轨道周期长，自然飞行相对轨道受摄动影响大的问题，基于目标轨道相位角自变量，将相对导航结果与线性方程解析解之差作为超差判断准则，动态切换轨道控制模式，将相对距离超差卫星拉回到标称椭圆轨道上，然后重新计算自然绕飞所需速度增量矢量，从而保证了相对轨迹沿标称椭圆运动，在绕飞起点形成闭合椭圆，从而建立稳定绕飞轨迹；本发明通过建立稳定绕飞轨迹，降低对高清晰成像相机的变焦要求，保证了阳光照射方向稳定，从而使得成像质量稳定。

附图说明

图1为高轨卫星自然绕飞示意图。

图2为本发明自然绕飞轨迹修正方法的示意图。

图3为绕飞轨迹在XZ平面投影仿真曲线。

图4为X轴相对位置和相对速度变化曲线，上图为相对位置，下图为相对速度。

图5为Y轴相对位置和相对速度变化曲线，上图为相对位置，下图为相对速度。

图6为Z轴相对位置和相对速度变化曲线，上图为相对位置，下图为相对速度。

具体实施方式

下面就结合附图对本发明做进一步介绍。

高轨卫星自然绕飞过程示意图如图1所示，目标航天器不进行轨控，自由飞行，轨道参数仅受地球扁率J2摄动和太阳光压影响，追踪航天器从任意起始位置绕飞一圈，绕飞过程姿态保持对目标航天器定向，通过高清晰成像相机完成对目标航天器的成像。追踪航天器配置了相对测量设备，通过卡尔曼滤波实时获得当前时刻的相对导航结果，相对导航结果包括相对位置和相对速度。

理想情况下，不考虑摄动和相对运动的线性化偏差，两个航天器相对运动满足CW方程，即闭合的2：1椭圆轨迹，然而，自然绕飞周期与轨道周期一致，高轨卫星轨道周期大于24小时，受摄动和线性化偏差的累积因素影响大。为保证成像距离在最佳焦距范围，需要根据标称轨迹偏差情况，对相对位置进行实时修正。考虑到自然绕飞的相位问题，绕飞一圈与太阳的矢量夹角保持不变，为相机创造良好的成像光照条件，因此，轨迹修正的自变量选为相位角，而不是简单用时间。

如图2所示，本发明的高轨自然绕飞轨迹修正方法的步骤如下：

一、建立自然绕飞轨迹

在绕飞起点位置，根据相对导航结果，根据CW方程闭合解的初始条件，计算当前位置和速度情况下建立绕飞轨迹所需的各轴速度增量，并转化为脉宽形式，由各轴推力器执行，从而建立自然绕飞轨迹；将推力器执行完毕后追踪航天器输出的相对导航结果作为绕飞起点有效相对导航结果。所述绕飞起点位置可能是任意位置。

理想情况下，自然绕飞标称轨迹为以目标航天器为中心，切向为半长轴，径向为半短轴的绕飞椭圆。

建立绕飞轨迹所需的各轴速度增量的计算公式为：

${\mathrm{\Δv}}_x=2\mathrm{\ω}{z}_0^{-}-{\stackrel{\·}{x}}_0^{-}$

Δv_y＝0

${\mathrm{\Δv}}_z=-\frac{\mathrm{\ω}}{2}{x}_0^{-}-{\stackrel{\·}{z}}_0^{-}$

分别为绕飞起点位置相对导航结果在目标航天器轨道坐标系下OX轴和OZ轴方向的相对位置和相对速度；所述相对位置和速度均表示在目标航天器轨道坐标系下，ω为目标航天器的轨道角速度；Δv_x、Δv_y、Δv_z为目标航天器轨道坐标系下的三轴速度增量。

目标航天器轨道坐标系定义如下：

原点：坐标系原点位于目标航天器质心所在轨道位置；

OZ轴：OZ轴的正方向从原点指向地心；

OY轴：与目标航天器轨道面垂直，指向轨道法线反方向

OX轴：OX位于轨道面内，偏向目标航天器速度方向、与OY轴、OZ轴垂直。

OXYZ坐标系符合右手坐标系，目标航天器定点指向地心时，本体坐标系与轨道坐标系重合。

二、根据绕飞起点有效相对导航结果，基于CW方程解析解，外推计算当前时刻标称绕飞轨迹对应的相对位置；

计算公式为：

$x_d=(x_0+\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{z}}_0)+({6\mathrm{\ωz}}_0-3{\stackrel{\·}{x}}_0)(t-t_0)+(\frac{4}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{x}}_0-{6z}_0)\sin \mathrm{\φ}-\left(\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{z}}_0\right)\cos \mathrm{\φ}$

$y_d=\frac{{\stackrel{\·}{y}}_0}{\mathrm{\ω}}\sin \mathrm{\φ}+y_0\cos \mathrm{\φ}$

$z_d=({4z}_0-\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{x}}_0)+\left(\frac{{\stackrel{\·}{z}}_0}{\mathrm{\ω}}\right)\sin \mathrm{\φ}+(\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{x}}_0-{3z}_0)\cos \mathrm{\φ}$

x_d、y_d、z_d为标称轨迹对应的三轴相对位置；φ为相位角，φ＝ω(t-t₀)，t为当前时刻，t₀为绕飞起始时刻。

三、根据当前时刻和目标轨道角速度确定对应的相位角，确定同一相位角标称轨迹对应的相对位置与相对导航结果的相对位置偏差，判断所述位置偏差是否超过预设阈值，如果超过预设阈值，则建立偏差标志，转入步骤四；如果没有超过预设阈值，返回步骤二进入下一周期的计算。

所述预设阈值例如可以是50m。

四、计算当前相位角对应的相对导航结果的相对速度与标称轨迹相对速度之间的速度偏差，根据位置偏差、速度偏差、标称轨迹对应的相对加速度利用非线性PID控制器计算加速度控制量，根据加速度控制量计算施加至各轴推力器的脉冲输出指令。

标称轨迹相对速度计算公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_d=({6\mathrm{\ωz}}_0-3{\stackrel{\·}{x}}_0)+(4{\stackrel{\·}{x}}_0-{6\mathrm{\ωz}}_0)\cos \mathrm{\φ}+2{\stackrel{\·}{z}}_0\sin \mathrm{\φ}\\ {\stackrel{\·}{y}}_d={\stackrel{\·}{y}}_0\cos \mathrm{\φ}-y_0\mathrm{\ω}\sin \mathrm{\φ}\\ {\stackrel{\·}{z}}_d={\stackrel{\·}{z}}_0\cos \mathrm{\φ}-(2{\stackrel{\·}{x}}_0-{3\mathrm{\ωz}}_0)\sin \mathrm{\φ}\end{array}\right.$

为标称轨迹对应的三轴相对速度；

标称轨迹相对加速度计算公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_d=2\mathrm{\ω}{\stackrel{\·}{z}}_d\\ {\stackrel{\·\·}{y}}_d=-{\mathrm{\ω}}^2{y}_d\\ {\stackrel{\·\·}{z}}_d=-2\mathrm{\ω}{\stackrel{\·}{x}}_d+{3\mathrm{\ω}}^2{z}_d\end{array}\right.$

为标称轨迹对应的三轴相对加速度。

非线性PID控制器可以写为

$a_x={\stackrel{\·\·}{x}}_d-k_p(x-x_d)-k_d(\stackrel{\·}{x}-{\stackrel{\·}{x}}_d)-2{\mathrm{\ω}}_0\stackrel{\·}{z}$

$a_y={\stackrel{\·\·}{y}}_d-k_p(y-y_d)-k_d(\stackrel{\·}{y}-{\stackrel{\·}{y}}_d)+{{\mathrm{\ω}}_0}^2$

$a_z={\stackrel{\·\·}{z}}_d-k_p(z-z_d)-k_d(\stackrel{\·}{z}-{\stackrel{\·}{z}}_d)+2{\mathrm{\ω}}_0\stackrel{\·}{x}-3{{\mathrm{\ω}}_0}^{2}z$

a_x a_y a_z为加速度三轴控制量，k_p，k_d为控制系数，为已知量，可根据具体航天器进行调整；为当前相位角对应的相对导航结果的相对位置和相对速度；公式中标称轨迹对应的相对加速度可以忽略不计。

五、判断连续N个周期位置偏差是否小于预设阈值；如果连续N个周期位置偏差小于预设阈值，清除偏差标志，将当前时刻的位置作为新的绕飞起点位置，转入步骤一重新建立绕飞轨迹；否则，转入步骤二进行下一周期的计算。所述N可以是5。

本发明用目标航天器轨道相位角代替CW方程的时间作为自变量，从而在相对运动轨迹的同一相位角比较轨迹偏差，最大限度使得修正后的绕飞轨迹连续(相位角连续)。通过上述控制方法，根据相对导航结果，动态切换控制模式，修正由轨道摄动和执行机构误差引起的距离偏差，最大程度使飞行轨迹逼近无摄条件下的理想闭合椭圆，为绕飞过程清晰成像提供条件，此外，自然绕飞的本质特点保证了光照条件的一致性。图3给出了一圈绕飞轨迹在轨道面内的投影，可以看到有两次误差修正过程。图4给出了对应的x轴位置和速度变化曲线，图5给出了y轴位置和速度变化曲线，图6给出了z轴位置和速度变化曲线，可以看出，两次轨迹偏差的修正是有效的，相对运动轨迹可以较快收敛到标称轨迹。

本发明所提出的高轨自然绕飞轨迹修正方法已经成功应用于高轨试验卫星方案设计。仿真结果表明通过采用高轨自然绕飞轨迹修正方法，使得绕飞过程位置偏差控制在50m以内，能够形成闭合的绕飞椭圆，同时阳照条件保持不变。本发明提出的高轨自然绕飞轨迹修正方法,简单、有效，具有较好市场应用前景，可推广应用于近距离自然绕飞目标监视等对相对轨迹精度要求较高的航天器任务领域。

本发明未详细说明部分属本领域技术人员公知常识。

Claims (7)

1.一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，在高轨自然绕飞过程中，追踪航天器相对目标航天器运动，追踪航天器能够实时输出相对于目标航天器运动的相对导航结果；相对导航结果包括相对位置和相对速度；其特征在于，步骤如下：

(1)在绕飞起点位置，根据相对导航结果计算建立自然绕飞轨迹的速度增量，并输出给各轴推力器执行，从而建立绕飞轨迹；将推力器执行完毕后追踪航天器输出的相对导航结果作为绕飞起点有效相对导航结果；

(2)根据绕飞起点有效相对导航结果，基于CW方程解析解外推计算当前时刻标称轨迹对应的相对位置；

(3)根据当前时刻和目标轨道角速度确定对应的当前相位角，确定同一相位角标称轨迹对应的相对位置与相对导航结果的相对位置之间的位置偏差，判断所述位置偏差是否超过预设阈值，如果超过预设阈值，则建立偏差标志，转入步骤(4)；如果没有超过预设阈值，返回步骤(2)进入下一周期的计算；

(4)计算当前相位角对应的相对导航结果的相对速度与标称轨迹相对速度之间的速度偏差，根据所述位置偏差和速度偏差利用非线性PID控制器计算加速度控制量，根据加速度控制量计算施加至各轴推力器的脉冲输出指令；

(5)判断连续N个周期位置偏差是否小于预设阈值；如果连续N个周期位置偏差小于预设阈值，清除偏差标志，将当前时刻的位置作为新的绕飞起点位置，转入步骤(1)重新建立绕飞轨迹；否则，转入步骤(2)进行下一周期的计算。

2.根据权利要求1所述的一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，其特征在于，所述步骤(1)计算建立自然绕飞轨迹的速度增量的计算公式为：

${\mathrm{\Δv}}_x={2\mathrm{\ωz}}_0^{-}-{\stackrel{\·}{x}}_0^{-}$

Δv_y＝0

${\mathrm{\Δv}}_z=-\frac{\mathrm{\ω}}{2}{x}_0^{-}-{\stackrel{\·}{z}}_0^{-}$

分别为绕飞起点位置相对导航结果在目标航天器轨道坐标系下OX轴和OZ轴方向的相对位置和相对速度；ω为目标航天器的轨道角速度；Δv_x、Δv_y、Δv_z为目标航天器轨道坐标系下的三轴速度增量。

3.根据权利要求1所述的一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，其特征在于，所述步骤(2)的计算公式为：

$x_d=(x_0+\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{z}}_0)+({6\mathrm{\ωz}}_0-3{\stackrel{\·}{x}}_0)(t-t_0)+(\frac{4}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{x}}_0-{6z}_0)\sin \mathrm{\φ}-\left(\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{z}}_0\right)\cos \mathrm{\φ}$

$y_d=\frac{{\stackrel{\·}{y}}_0}{\mathrm{\ω}}\sin \mathrm{\φ}+y_0\cos \mathrm{\φ}$

$z_d=({4z}_0-\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{x}}_0)+\left(\frac{{\stackrel{\·}{z}}_0}{\mathrm{\ω}}\right)\sin \mathrm{\φ}+(\frac{2}{\mathrm{\ω}}{\stackrel{\·}{x}}_0-{3z}_0)\cos \mathrm{\φ}$

x_d、y_d、z_d为外推计算得到的当前时刻标称轨迹对应的相对位置；φ为相位角，φ＝ω(t-t₀)，t为当前时刻，t₀为绕飞起始时刻；x₀，y₀，z₀，分别为绕飞起点有效相对导航结果的相对位置和相对速度，ω为目标航天器的轨道角速度。

4.根据权利要求1所述的一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，其特征在于，所述步骤(4)中，标称轨迹相对速度计算公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_d=({6\mathrm{\ωz}}_0-3{\stackrel{\·}{x}}_0)+(4{\stackrel{\·}{x}}_0-4\mathrm{\ω}{z}_0)\cos \mathrm{\φ}+2{\stackrel{\·}{z}}_0\sin \mathrm{\φ}\\ {\stackrel{\·}{y}}_d={\stackrel{\·}{y}}_0\cos \mathrm{\φ}-y_0\mathrm{\ω}\sin \mathrm{\φ}\\ {\stackrel{\·}{z}}_d={\stackrel{\·}{z}}_0\cos \mathrm{\φ}-(2{\stackrel{\·}{x}}_0-3\mathrm{\ω}{z}_0)\sin \mathrm{\φ}\end{array}\right.$

为标称轨迹对应的相对速度。

5.根据权利要求1所述的一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，其特征在于，所述步骤(4)中，加速度控制量的计算公式为：

$a_x={\stackrel{\·\·}{x}}_d-k_p(x-x_d)-k_d(\stackrel{\·}{x}-{\stackrel{\·}{x}}_d)-2\mathrm{\ω}\stackrel{\·}{z}$

$a_y={\stackrel{\·\·}{y}}_d-k_p(y-y_d)-k_d(\stackrel{\·}{y}-{\stackrel{\·}{y}}_d)+{\mathrm{\ω}}^2$

$a_z={\stackrel{\·\·}{z}}_d-k_p(z-z_d)-k_d(\stackrel{\·}{z}-{\stackrel{\·}{z}}_d)+2\mathrm{\ω}\stackrel{\·}{x}-3{\mathrm{\ω}}^{2}z$

a_x，a_y，a_z为加速度控制量，k_p，k_d为控制系数，x，y，z，为当前相位角对应的相对导航结果的相对位置和相对速度；为标称轨迹对应的相对加速度。

6.根据权利要求5所述的一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，其特征在于，均为零。

7.根据权利要求5所述的一种高轨自然绕飞轨迹修正方法，其特征在于，标称轨迹对应的相对加速度的计算公式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·\·}{x}}_d=2\mathrm{\ω}{\stackrel{\·}{z}}_d\\ {\stackrel{\·\·}{y}}_d=-{\mathrm{\ω}}^2{y}_d\\ {\stackrel{\·\·}{z}}_d=-2\mathrm{\ω}{\stackrel{\·}{x}}_d+3{\mathrm{\ω}}^2{z}_d\end{array}\right..$