CN104734767A - 一种多小区部分协作下行mimo鲁棒双层预编码方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种多小区部分协作MIMO双层鲁棒预编码方法。该方法首先根据用户受到的干扰信号程度，把用户分为边缘用户和中心用户，然后建立用户单天线时多小区下行MIMO系统中，考虑信道估计误差、延时误差和量化误差的联合信道误差模型，并利用该模型，基站之间部分协作进行双层鲁棒预编码，其中内层预编码采用多小区协作，以消除边缘用户受到的小区间干扰，而外层预编码采用多用户MIMO预编码，以抑制小区内干扰，其不需要BS协作。该发明基于非理想CSI和多小区部分协作，可以有效减少CSI需求量，且具有较好的鲁棒性。

Description

一种多小区部分协作下行MIMO鲁棒双层预编码方法

技术领域

本发明涉及多入多出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)通信系统，特别涉及多小区下行MIMO鲁棒双层预编码设计。

背景技术

多小区协作下行MIMO预编码算法可以完全消除用户受到的小区间干扰和小区内干扰，但是其要求协作基站(Base Station,BS)间共享想信道状态信息(Channel State Information,CSI)。大量的CSI反馈和回传，对于通信系统而言是个极大的负担。多用户下行MIMO预编码算法仅需要用户到本地BS的CSI，并不需要BS间共享CSI，但是其只消除了小区内干扰，该算法在小区间干扰严重的多小区MIMO系统中性能较差。

多小区下行MIMO系统中，靠近小区中心的用户信道条件较好，所受到的小区间干扰相对小区内干扰而言较小，而靠近小区边缘的用户信道条件较差，BS预编码时需要着重考虑靠近小区边缘的用户的性能。结合多用户下行MIMO预编码和多小区协作下行MIMO预编码的多小区部分协作MIMO预编码算法，边缘用户采用多小区协作预编码，中心用户采用多用户预编码，其能够有效减少CSI，且提升了边缘用户的系能。

多小区部分协作MIMO预编码算法，虽然极大减少了CSI反馈量，CSI非理想造成了系统性能的较大损失。在实际通信应用中，BS无法获取理想CSI。如在频分双工(Frequency Division Duplexing,FDD)系统中，BS获取CSI的方式是通过用户端的信道估计和有限反馈，其中有限反馈会带来量化误差，而信道反馈过程会引起延时误差。

针对上述问题，我们考虑引入鲁棒性的预编码算法，并且保持CSI需求量较少的特点。本发明提出一种多小区部分协作下行MIMO鲁棒双层预编码方法，其中外层预编码采用干扰清零算法，以消除边缘用户受到的小区间干扰，这属于多小区部分协作的范畴；内层预编码采用鲁棒SLNR算法，用来抑制小区内干扰。

发明内容

本发明旨在至少解决现有技术中存在的技术问题，根据非理想CSIDE联合信道误差建模和用户分类，并结合多小区部分协作预编码，从而得到一种多小区部分协作下行MIMO双层鲁棒预编码方法。

为了实现本发明的上述目的，本发明提供一种多小区部分协作MIMO双层鲁棒预编码方法，其特征在于，包括：

S1，根据信号干扰程度的边缘用户和中心用户分类；

S2，用户单天线时多小区下行MIMO系统中，考虑信道估计误差、延时误差和量化误差的联合信道误差建模；

S3，双层鲁棒预编码，分为内层预编码和外层预编码方法，内层预编码采用多小区部分协作，以消除边缘用户受到的小区间干扰，外层预编码采用多用户MIMO预编码，以抑制小区内干扰，其不需要BS协作。

所述的多小区部分协作MIMO双层鲁棒预编码方法，优选的，所述S1中用户分类包括：

考虑多小区下行MIMO系统，协作BS个数为C，BS间进行部分协作波束成形，BS配置M根发送天线，每个用户配置单根接收天线。

按照用户所受到的小区间干扰程度分类，区分中心用户和边缘用户,具体方法为：

$r_i^{(k,i)}-r_j^{(k,i)}\≥\mathrm{th},\∀j=1,..,C$ 且j≠i     (1)

其中：th≥0为预先设置的阀值，为用户(k,i)受到的小区内干扰信号的功率(用户(k,i)表示基站i中的k号用户,下文同)，为用户(k,i)受到的协作第j号BS的干扰信号功率；若用户受到的干扰满足(1)式，则其为中心用户，否则为边缘用户。

所述的多小区部分协作MIMO双层鲁棒预编码方法，优选的，所述S2中联合信道误差建模包括：

由第j号BS到用户(k,i)的信道矩阵表示为信道经历时间和频率平稳衰落，其元素相互独立且为零均值、单位方差的复高斯随机变量。令和x_(k,i)分别为第i号BS为用户(k,i)设置的预编码向量和原始数据信号，则用户(k,i)接收到的信号表示为：

$z_{(k,i)}=g_i^{(k,i)}{v}_{(k,i)}{x}_{(k,i)}+\underset{\underset{l\≠k}{l=1}}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{g}_i^{(k,i)}{v}_{(l,i)}{x}_{(l,i)}+\underset{\underset{j\≠i}{j=1}}{\overset{C}{\mathrm{\Σ}}}\underset{l=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{g}_j^{(k,i)}{v}_{(l,j)}{x}_{(l,j)}+n_{(k,i)}---\left(2\right)$

其中，n_(k,i)表示用户(k,i)所接收到的高斯加性白噪声，其为零均值、方差为ξ_(k,i)的复高斯随机变量。

多小区下行MIMO系统中用户单天线下的联合信道误差模型，建模过程简述如下：

$\begin{array}{c}{g}_j^{(k,i)}\left[n\right]={\mathrm{\ρ}}_j^{(k,i)}\left(\sqrt{1-z_j^{(k,i)}[n-1]}{h}_j^{(k,i)}\right[n-1]+\sqrt{z_j^{(k,i)}[n-1]}{s}_j^{(k,i)}[n-1\left]\right)\\ +e_j^{(k,i)}\left[n\right]+{\mathrm{\Δ}}_j^{(k,i)}\left[n\right]\end{array}---\left(3\right)$

其中，是进行信道估计以后得到的CSI，是真实CSI，为信道估计误差矩阵，其元素相互独立且均为零均值，方差为的复高斯随机变量。为量化误差向量；为与所成夹角的正弦值，[n]为延时误差向量，其元素为零均值、方差为的复高斯随机变量，且相互独立。参数J₀(·)为0阶第一类贝塞尔函数，为多普勒频移，T_s为符号间隔。

所述的多小区部分协作MIMO双层鲁棒预编码方法，优选的，所述S3中鲁棒双层预编码包括：

内层预编码目的是为了完全消除边缘用户的小区间干扰。第i号BS为用户(k,i)设置的内层预编码用u_(k,i)表示，其选取原则为消除用户(k,i)对协作小区中所有边缘用户的干扰，表示为：

$h_i^{(l,j)}[n-1]u_{(k,i)}=0\∀k,i\∀j\≠\mathrm{i\; l}\∈[1,D_j]---\left(4\right)$

注释：假设第i号BS中有个K激活用户，有D_i个边缘用户。根据干扰清零预编码思想，第i号BS选择在信道矩阵的投影方向上从用户(k,i)干扰矩阵的右零空间中选择一组标准正交基，作为用户(k,i)的预编码向量u_(k,i)，这样不仅可以满足(4)式中的干扰为零的条件，还能使得用户(k,i)接收到的有用信号功率较大。用户(k,i)的干扰矩阵为：

$H_{(k,i)}=\left[\begin{array}{c}{h}_i^{\left(\mathrm{1,1}\right)}[n-1],...,h_i^{(D_1-1)}[n-1],..,h_i^{(1,i-1)}[n-1],...,h_i^{(D_{i-1},i-1)}[n-1],\\ h_i^{(1,i+1)}[n-1],...,h_i^{(D_{i+1},i+1)}[n-1],...h_o^{(1,C)}[n-1],...,h_i^{(D_C,C)}[n-1]\end{array}\right]---\left(5\right)$

预编码向量u_(k,i)选择为：

$u_{(k,i)}=(I-{\left(H_{(k,i)}\right)}^H{\left({\left(H_{(k,i)}\right)}^H{H}_{(k,i)}\right)}^{-1}{H}_{(k,i)})h_i^{(k,i)}[n-1]---\left(6\right)$

不难证明，按照(6)式设置的预编码向量u_(k,i)满足(5)式。因此经过内层预编码以后，边缘用户的小区间干扰被完全清零。

经过内层预编码以后，边缘用户受到的小区间干扰被完全消除，但是用户受到的小区内干扰仍然存在。此时我们利用外层预编码算法来消除小区内干扰。

基于SLNR的预编码算法，其在最大化信号发射功率的同时，考虑最小化信号泄露功率与噪声之和，其克服了ZF预编码算法在SNR较低环境下性能下降的问题，且可运用于分布式MIMO通信系统中，因此，选择基于SLNR鲁棒预编码算法作为外层预编码算法。

首先，根据信漏噪比定义，时刻n用户(k,i)的SLNR为：

${\mathrm{SLNR}}_{(k,i)}\left[n\right]=\frac{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{\left(h_i^{(k,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(k,i)}\left[n\right]u_{(k,i)}{w}_{(k,i)}}{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\left[n\right]u_{(l,i)}{w}_{(k,i)}+{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}---\left(7\right)$

考虑最大化SLNR的数学期望，从何获得鲁棒性的基于SLNR下的预编码向量。BS获得因此，基于SLNR下的鲁棒预编码算法如下：

$\begin{array}{c}\underset{w_{(k,i)}}{\max }{E}_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n-1]}\left\{{\mathrm{SLNR}}_{(k,i)}\right[n\left]\right\}\\ s.t.{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{w}_{(k,i)=P_{(k,i)}}\end{array}---\left(8\right)$

根据Jenson不登式，得到：

将(9)式代入(8)式中，基于SLNR的鲁棒预编码优化问题为：

$\begin{array}{c}\underset{w_{(k,i)}}{\max }\frac{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(k,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(k,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(k,i)}{w}_{(k,i)}}{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(l,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(l,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(l,i)}{w}_{(k,i)}+{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}\\ s.t.{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{w}_{(k,i)}=P_{(k,i)}\end{array}---\left(10\right)$

把(3)式代入(10)式中，得到：

$\begin{array}{c}\underset{w_{(k,i)}}{\max }\frac{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(k,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(k,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(k,i)}{w}_{(k,i)}}{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(l,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(l,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(l,i)}{w}_{(k,i)}+{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}\\ s.t.{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{w}_{(k,i)}=P_{(k,i)}\end{array}---\left(11\right)$

$\begin{array}{c}{E}_{h_i^{(l,j)}\left[n\right]\left|h_i^{(l,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\right[n\left]\right\}\\ ={\left({\mathrm{\ρ}}_i^{(l,i)}\right)}^2(1-{\mathrm{\δ}}_i^{(l,i)}){\left(h_i^{(l,i)}\right[n-1\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}[n-1]+{\left({\mathrm{\ρ}}_i^{(l,i)}\right)}^2{\mathrm{\δ}}_i^{(l,i)}{I}_M\end{array}---\left(12\right)$

假 $A_i^{(k,i)}=E_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n1]}\left\{{\left(h_i^{(k,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(k,i)}\right[n\left]\right\},$

$B_i^{(l,i)}=E_{h_i^{(l,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(l,i)}\right[n1]}\left\{{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\right[n\left]\right\},---\left(11\right)$ 式、(12)式代入到(10)中，得到：

$\begin{array}{c}\underset{w_{k,i}}{\max }\frac{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{A}_i^{(k,i)}{u}_{(k,i)}{w}_{(k,i)}}{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H[\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{B}_i^{(l,i)}+\frac{{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}{P_{(k,i)}}I]w_{(k,i)}}\\ s.t.{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{w}_{(k,i)}=P_{(k,i)}\end{array}---\left(13\right)$

上述问题是广义Rayleigh商问题。其最优解为矩阵束

$[{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{A}_i^{(k,i)}{u}_{(k,i)},(\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{B}_i^{(l,i)}{u}_{(l,i)}+\frac{{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}{P_{(k,i)}}I)]$ 的最大广义特征值对应的广义特征向量，因此用户(k,i)的外层预编码向量为：

$w_{k,i}={\mathrm{\Φ}}_{\max }\left[{(\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{B}_i^{(l,i)}{u}_{(l,i)}+\frac{{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}{P_{(k,i)}}I)}^{-1}\left({\left(u_{(k,i)}\right)}^H{A}_i^{(k,i)}{u}_{(k,i)}\right)\right]---\left(14\right)$

因此用户(k,i)的预编码向量为：

v_(k,i)＝u_(k,i)w_(k,i)         (15)

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1为本发明多小区部分协作下行MIMO系统示意图；

图2为本发明多小区部分协作下行MIMO鲁棒双层预编码流程图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

在本发明的描述中，除非另有规定和限定，需要说明的是，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是机械连接或电连接，也可以是两个元件内部的连通，可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。

多小区部分协作下行MIMO鲁棒双层预编码方法流程图如图2，实施对象为用户(k,i)。

步骤10，开始；

步骤20，用户测定其所受到的干扰程度，根据式(1)判断其是否属于边缘用户，若属于边缘用户，则将其序号反馈给BS；

步骤30，BS统计边缘用户个数，并将边缘用户序号回传给所有的协作BS；

步骤40，BS对协作区域内所有边缘用户和本小区内中心用户发送信道估计训练系列；

步骤50，用户端进行信道估计、量化并将CSI反馈给BS；

步骤60，基站根据获得的CSI，建立用户(k,i)的信道误差模型，如(3)式；

步骤70，基站进行内层预编码：获得用户(k,i)的内层预编码向量，如(6)式；

步骤80，基站进行外层预编码，获得用户(k,i)的外层预编码向量，如(14)式；

步骤90，基站根据所得到的内层预编码向量和外层预编码向量为用户(k,i)设置预编码矩阵，如(15)式；

步骤100，结束。

在此说明书中，本发明已参照特定的实施实例做了描述。但是，很显然仍可以做出各种修改和变换而不背离本发明的精神和范围。因此，说明书和附图应被认为是说明性的而非限制性的。

Claims (4)

1.本发明提出一种多小区部分协作MIMO双层鲁棒预编码方法，该方法包括：

S1，根据信号干扰程度的边缘用户和中心用户分类方法；

S2，用户单天线时多小区下行MIMO系统中，考虑信道估计误差、延时误差和量化误差的联合信道误差建模方法；

S3，双层鲁棒预编码方法，分为内层预编码和外层预编码方法，内层预编码采用多小区部分协作，以消除边缘用户受到的小区间干扰，外层预编码采用多用户MIMO预编码，以抑制小区内干扰，其不需要BS协作。

2.根据权利要求1所述的一种多小区部分协作MIMO双层鲁棒预编码方法，其特征在于：所述S1中，用户分类方法为：

按照用户所受到的小区间干扰程度分类，区分中心用户和边缘用户,具体方法为：

$r_i^{(k,i)}-r_j^{(k,i)}\≥\mathrm{th},\∀j=1,...,C$ 且j≠i

其中：th≥0为预先设置的阀值，为用户(k,i)受到的小区内干扰信号的功率，为用户(k,i)受到的协作第j号BS的干扰信号功率；若用户受到的干扰满足上式，则其为中心用户，否则为边缘用户。

3.根据权利要求1所述的一种多小区部分协作MIMO双层鲁棒预编码方法，其特征在于，所述S2中，用户单天线时多小区下行MIMO系统中的联合信道误差建模方法：

多小区下行MIMO系统，协作BS个数为C，BS间进行部分协作波束成形，BS配置M根发送天线，每个用户配置单根接收天线；假设中有K_i个激活用户，有D_i个边缘用户；系统中所有边缘用户个数为

由第j号BS到用户(k,i)的信道矩阵表示为信道经历时间和频率平稳衰落，其元素相互独立且为零均值、单位方差的复高斯随机变量；令分别为第i号BS为用户(k,i)设置的预编码向量和原始数据信号，则用户(k,i)接收到的信号表示为：

$z_{(k,i)}=g_i^{(k,i)}{v}_{(k,i)}{x}_{(k,i)}+\underset{l\≠k}{\overset{K}{\underset{l=1}{\mathrm{\Σ}}}}{g}_i^{(k,i)}{v}_{(l,i)}{x}_{(l,i)}+\underset{i\≠o}{\overset{C}{\underset{i=1}{\mathrm{\Σ}}}}\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{g}_j^{(k,i)}{v}_{(l,i)}{x}_{(l,i)}+n_{(k,i)},$

其中，n_(k,i)表示用户(k,i)所接收到的高斯加性白噪声，其为零均值、方差为ξ_(k,i)的复高斯随机变量；

多小区下行MIMO系统中用户单天线下的联合信道误差模型，建模过程简述如下：

$\begin{array}{c}{g}_j^{(k,i)}\left[n\right]={\mathrm{\ρ}}_j^{(k,i)}\left(\sqrt{1-z_j^{(k,i)}[n-1]}{h}_j^{(k,i)}\right[n-1]+\sqrt{z_j^{(k,i)}[n-1]}{s}_j^{(k,i)}[n-1\left]\right)\\ +e_j^{(k,i)}\left[n\right]+{\mathrm{\Δ}}_j^{(k,i)}\left[n\right]\end{array},$

其中，是进行信道估计以后得到的CSI，是真实CSI，为信道估计误差矩阵，其元素相互独立且均为零均值，方差为的复高斯随机变量；为量化误差向量；为与所成夹角的正弦值，为延时误差向量，其元素为零均值、方差为的复高斯随机变量，且相互独立；参数为0阶第一类贝塞尔函数，为多普勒频移，T_s为符号间隔。

4.根据权利要求1所述的一种多小区部分协作MIMO双层鲁棒预编码方法，其特征在于，所述S3中，鲁棒双层预编码方法：

内层预编码目的是为了完全消除边缘用户的小区间干扰，第i号BS为用户(k,i)设置的内层预编码用u_(k,i)表示，其选取原则为消除用户(k,i)对协作小区中所有边缘用户的干扰，表示为：

$h_i^{(l,i)}[n-1]u_{(k,i)}=0,\∀k,i\∀j\≠i,l\∈[1,D_j],$

注释：假设第i号BS中有个K激活用户,有D_i个边缘用户；根据干扰清零预编码思想，第i号BS选择在信道矩阵的投影方向上从用户(k,i)干扰矩阵的右零空间中选择一组标准正交基，作为用户(k,i)的预编码向量u_(k,i)，这样不仅可以满足干扰为零的条件，还能使得用户(k,i)接收到的有用信号功率较大；用户(k,i)的干扰矩阵为：

$H_{(k,i)}=\left[\begin{array}{c}{h}_i^{\left(\mathrm{1,1}\right)}[n-1],...,h_i^{(D_1,1)}[n-1],...,h_i^{(1,i-1)}[n-1],...,h_i^{(D_{i-1,}i-1)}[n-1],\\ h_i^{(l,i+1)}[n-1],...,h_i^{(D_{i+1},i+1)}[n-1],...h_i^{(1,C)}[n-1],...,h_i^{(D_C,C)}[n-1]\end{array}\right],$

预编码向量u_(k,i)选择为：

$u_{(k,i)}=(I-{\left(H_{(k,i)}\right)}^H{\left({\left(H_{(k,i)}\right)}^H{H}_{(k,i)}\right)}^{-1}{H}_{(k,i)})h_i^{(k,i)}[n-1],$

经过内层预编码以后，边缘用户受到的小区间干扰被完全消除，但是用户受到的小区内干扰仍然存在，此时我们利用外层预编码算法来消除小区内干扰；

基于SLNR的预编码算法，其在最大化信号发射功率的同时，考虑最小化信号泄露功率与噪声之和，其克服了ZF预编码算法在SNR较低环境下性能下降的问题，且可运用于分布式MIMO通信系统中，因此，选择基于SLNR鲁棒预编码算法作为外层预编码算法；

首先，根据信漏噪比定义，时刻n用户(k,i)的SLNR为：

${\mathrm{SLNR}}_{(k,i)}\left[n\right]=\frac{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{\left(h_i^{(k,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(k,i)}\left[n\right]u_{(k,i)}{w}_{(k,i)}}{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\left[n\right]u_{(l,i)}{w}_{(k,i)}+{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}},$

考虑最大化SLNR的数学期望，从何获得鲁棒性的基于SLNR下的预编码向量；BS获得因此，基于SLNR下的鲁棒预编码算法如下：

$\underset{w_{(k,i)}}{\max }{E}_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n-1]}\left\{{\mathrm{SLNR}}_{(k,i)}\right[n\left]\right\},$

s.t.(w_(k,i))^Hw_(k,i)＝P_(k,i)

根据Jenson不登式，得到：

$\begin{array}{c}{E}_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n-1]}\left\{{\mathrm{SLNR}}_{(k,i)}\right[n\left]\right\}\\ \≥\frac{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(k,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(k,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(k,i)}{w}_{(k,i)}}{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(l,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(l,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(l,i)}{w}_{(k,i)}+{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}\end{array},$

基于SLNR的鲁棒预编码优化问题简化为：

$\underset{w_{(k,i)}}{\max }\frac{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(k,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(k,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(k,i)}{w}_{(k,i)}}{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(l,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(l,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(l,i)}{w}_{(k,i)}+{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}},$

s.t.(w_(k,i))^Hw_(k,i)＝P_(k,i)

把信道误差模型代入上式中，得到：

$\underset{w_{(k,i)}}{\max }\frac{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(k,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(k,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(k,i)}{w}_{(k,i)}}{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{E}_{h_i^{(l,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(l,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\right[n\left]\right\}{u}_{(l,i)}{w}_{(k,i)}+{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}},$

s.t.(w_(k,i))^Hw_(k,i)＝P_(k,i)

$\begin{array}{c}{E}_{h_i^{(l,i)}\left|h_i^{(l,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\right[n\left]\right\}\\ ={\left({\mathrm{\ρ}}_i^{(l,i)}\right)}^2(1-{\mathrm{\δ}}_i^{(l,i)}){\left(h_i^{(l,i)}\right[n-1\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}[n-1]+{\left({\mathrm{\ρ}}_i^{(l,i)}\right)}^2{\mathrm{\δ}}_i^{(l,i)}{I}_M\end{array},$

假 $A_i^{(k,i)}=E_{h_i^{(k,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(k,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(k,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(k,i)}\right[n\left]\right\},$

$B_i^{(l,i)}=E_{h_i^{(l,i)}\left[n\right]\left|h_i^{(l,i)}\right[n-1]}\left\{{\left(h_i^{(l,i)}\right[n\left]\right)}^H{h}_i^{(l,i)}\right[n\left]\right\},$ 得到：

$\underset{w_{k,i}}{\max }\frac{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{A}_i^{(k,i)}{u}_{(k,i)}{w}_{(k,i)}}{{\left(w_{(k,i)}\right)}^H[\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{B}_i^{(l,i)}{u}_{(l,i)}+\frac{{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}{P_{(k,i)}}I]w_{(k,i)}},$

s.t.(w_(k,i))^Hw_(k,i)＝P_(k,i)

上述问题是广义Rayleigh商问题；其最优解为矩阵束

$[{\left(u_{(k,i)}\right)}^H{A}_i^{(k,i)}{u}_{(k,i)},(\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{B}_i^{(l,i)}{u}_{(l,i)}+\frac{{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}{P_{(k,i)}}I)]$ 的最大广义特征值对应的广义特征向量，因此用户(k,i)的外层预编码向量为：

$w_{k,i}={\mathrm{\Φ}}_{\max }\left[{(\underset{l=1,i\≠k}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{\left(u_{(l,i)}\right)}^H{B}_i^{(l,i)}{u}_{(l,i)}+\frac{{\mathrm{\ξ}}_{(k,i)}}{P_{(k,i)}}I)}^{-1}\left({\left(u_{(k,i)}\right)}^H{A}_i^{(k,i)}{u}_{(k,i)}\right)\right],$

因此用户(k,i)的预编码向量为：v_(k,i)＝u_(k,i)w_(k,i)。