CN104714553A - 基于几何规划的滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于几何规划的滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法，用于解决现有滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法实用性差的技术问题。技术方案是根据飞行器进入TAEM段的状态，利用几何规划方法快速规划出合理可行的TAEM平面轨迹。在TAEM平面轨迹规划的基础上进行高度推演从而给出完整的轨迹规划策略。由于采用几何规划过程中采用螺旋线的方式进入自动着陆段的入口，有效避免了过载突变情况的出现，从而对飞行器机动性的要求降低。同时，轨迹规划时考虑了飞行器在TAEM段初始时刻的状态，针对飞行器进场状态分类规划出相应的飞行轨迹，能够快速规划出合理轨迹，适应不同进场方向的要求，且经过仿真验证规划速度较快。

Description

基于几何规划的滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法

技术领域

本发明涉及一种滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法，特别是涉及一种基于几何规划的滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法。

背景技术

末端能量管理(Terminal Area Energy Management，以下简称TAEM)段指的是飞行器从再入段起点至自动着陆段开始点的一段飞行状态。飞行器在此阶段需要对自身的高度和速度进行调整从而满足着陆的要求，使飞行器能够平稳的着陆到指定的着陆场。本阶段飞行器处于无动力飞行状态，只能通过气动舵来调整飞行器的飞行状态，机动能力有限，因此如何合理规划飞行轨迹，使得飞行器能够准确快速的满足自动着陆段的要求是TAEM段需要解决的主要问题。

TAEM段的轨迹规划核心问题是使飞行器飞行方向快速的对准着陆场并且使飞行器的状态满足着陆要求。现有的方法中，轨迹规划一般采用在自动着陆段初始点附近选取航向校准圆的方式来实现着陆对准。这种方式使得飞行器在进入航向校准圆的起始切点时可能会出现较大的过载，对飞行器的机动性要求较高。文献“《Terminal Area Energy Management Trajectory Planning for an Unpowered Reusable Launch Vehicle》,Kenneth R,Atmospheric Flight Mechanics Conference and Exhibit 16-19August 2004,5183”提出了采用螺旋线的方式进入自动着陆段，有效避免了过载较大的情况，同时该文还对TAEM阶段进行了划分，随后对TAEM各个阶段进行了详细的能量推演，最终得到最优的TAEM段规划轨迹。但是该文没有考虑多进场方向的情况，应用于实际工程时有一定局限性。

发明内容

为了克服现有滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法实用性差的不足，本发明提供一种基于几何规划的滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法。该方法根据飞行器进入TAEM段的状态，利用几何规划方法快速规划出合理可行的TAEM平面轨迹。在TAEM平面轨迹规划的基础上进行高度推演从而给出完整的轨迹规划策略。由于采用几何规划过程中采用螺旋线的方式进入自动着陆段的入口，有效避免了过载突变情况的出现，从而对飞行器机动性的要求降低。同时，轨迹规划时考虑了飞行器在TAEM 段初始时刻的状态，针对飞行器进场状态分类规划出相应的飞行轨迹，能够快速规划出合理轨迹，适应不同进场方向的要求，且经过仿真验证规划速度较快。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于几何规划的滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法，其特点是采用以下步骤：

步骤一、建立机场坐标系，原点为机场坐标位置，x轴沿机场方向45°指向东北方向为正，y轴垂直于当地水平面向上，z轴与x轴y轴构成右手坐标系。

步骤二、对于各点的坐标值以及相应的航程计算推导如下：

A点是末端能量管理的起始点，坐标记为(x₁,z₁)，末端能量管理段的初始速度记为v_A，则得到圆弧段AB的近似转弯半径：

$R=v_A^2/\left(g\cos \left({\mathrm{\θ}}_A\right)\tan \left({\mathrm{\γ}}_A\right)\right)---\left(1\right)$

式中g＝9.8204m/s²，为标准重力加速度，θ_A为A点的当地弹道倾角，ψ_A为A点的当地航迹偏角，γ_A为A点的倾侧角，△ψ为捕获转角。由圆弧的半径和A点的坐标推出O₁的坐标和B点的坐标：

根据螺旋线的相关计算方法计算出其余各个关键点C、D、E的坐标。

末端能量管理的一个重要任务是地面跟踪航程的准确预测，待飞航程表示为：

S_to＝S_AC+S_HAC+S_PF    (2) 

式中S_AC、S_HAC、S_PF分别是捕获段、HAC转弯段和预着陆段的预测航程。分别计算各段航程，从而得出总航程。

步骤三、水平轨迹规划和航程预测的基础上，需要进行高度策略的规划。入场方式一高度的规划分为两段：A点到C点和C点到E点。两段高度分别用与航程有关的二次多项式来进行规划。两个二次多项式设计如下：

CE段：h_CE＝a₁₁+a₁₂s_AC+a₁₃s_AC ²    (3) 

AC段：h_AC＝a₀₁+a₀₂s_CE+a₀₃s_CE ²    (4) 

式中a₁₁、a₁₂、a₁₃、a₀₁、a₀₂、a₀₃均是待定系数。s_AC为A点和C点间的航程，s_CE为C点和E点间的航程。

步骤四、要获得完整的参考轨迹，对轨迹上各个点的能量加以推演，确定轨迹末端的能量状态，判定最优轨迹。

捕获段和直线段的能量推演：

飞行器单位重量的能量值表示如下：

$E=\frac{V^2}{2g}+h---\left(5\right)$

式中，V为飞行器当前的速度值，h为飞行器的高度值，g为重力加速度。从入口点到螺旋线初始点的能量推演采用简化的欧拉积分得到

$E_{K+1}=E_K+\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{ds}}{|}_k\mathrm{\Δs}---\left(6\right)$

其中△s＝s_AC/N，N是迭代步数。为能量随航程的变化关系。E_K为当前能量值，E_K+1为下一时刻能量值。当前速度V由式(5)中的E决定。

HAC和ALI段的能量推演：

HAC段和直线预着陆段的能量规划采用的独立变量由原来的地面跟踪航程变为能量：

$s_{k+1}=s_k+\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dE}}{|}_k\mathrm{\ΔE}---\left(7\right)$

其中△E＝(E_ALI-E_HAC)/N，为航程随能量的变化，s_k为当前迭代航程，s_k+1为下一步的航程。初始能量由上一段结束点来计算，末端能量根据约束已知。

预定着陆段设倾侧角为零，HAC转弯段的角度通过下式计算：

${\mathrm{\Δ\ψ}}_{{\mathrm{HAC}}_{k+1}}={\mathrm{\Δ\ψ}}_{{\mathrm{HAC}}_k}-\frac{(\mathrm{ds}/\mathrm{dE})\mathrm{\ΔE}}{R_{{\mathrm{HAC}}_k}}---\left(8\right)$

在航程满足要求的基础上，寻找使高度偏差最小的轨迹，记为最优轨迹：

|h_ALI-h_kend|<δ_k    (9) 

h_kend是第k次最后推演的高度值，h_ALI为能量推演终点要求高度。δ_k为第k次迭代得到的高度偏差。若第k+1次推演得到的δ_k+1满足：

δ_k+1<δ_k    (10)

则用k+1次迭代的得到的参数对原有的参数进行更新最终确定出最优的λ、R_f、△ψ。

本发明的有益效果是：本发明方法根据飞行器进入TAEM段的状态，利用几何规划方法快速规划出合理可行的TAEM平面轨迹。在TAEM平面轨迹规划的基础上进行 高度推演从而给出完整的轨迹规划策略。由于采用几何规划过程中采用螺旋线的方式进入自动着陆段的入口，有效避免了过载突变情况的出现，从而对飞行器机动性的要求降低。同时，轨迹规划时考虑了飞行器在TAEM段初始时刻的状态，针对飞行器进场状态分类规划出相应的飞行轨迹，能够快速规划出合理轨迹，适应不同进场方向的要求，且经过仿真验证规划速度较快。

本发明通过地面航程预测和水平轨迹规划使得轨迹规划方法能够根据飞行器的不同初始状态，进行分类处理，得出合理的飞行轨迹。有效的解决了背景技术中无法实现多进场方式快速规划的局限性。在此基础上进行参考高度策略的设计和能量的推演，使飞行器能够满足末端状态的要求。最终得到的高度偏差为8.15米，速度偏差为2.07米/秒，横向偏差为57.47米，航程偏差为523.7米，航向角偏差为0.3度。规划过程快速易实现，有利于工程应用。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明方法中几种不同的飞行器进场方向示意图。

图2是本发明方法中航迹规划的水平投影示意图。

图3是本发明方法中速度随航程变化的规划曲线。

图4是本发明方法中高度随航程变化的规划曲线。

图5是本发明方法中的入场示意图。图5(a)是左手螺旋线反向入场示意图；图5(b)是右手螺旋线正向入场示意图；图5(c)是左手螺旋线正向入场示意图；图5(d)是右手螺旋线反向入场示意图。

具体实施方式

参照图1-5。以RLV飞行器为例，本发明基于几何规划的滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法具体步骤如下：

一、建立坐标系。

滑翔飞行器在TAEM初始状态有几种不同的进场方式，以机场坐标系为基准，飞行器从四个不同的象限进场。为了便于末端能量管理段轨迹规划，首先建立机场坐标系：原点为机场坐标位置，x轴沿机场方向45°指向东北方向为正，y轴垂直于当地水平面向上，z轴与x轴y轴构成右手坐标系。飞行器TAEM段初始条件：高度29099.41m，速度949.985m/s，TAEM段结束点状态为：高度3000m，速度180m/s，与机场之间的 距离为21000m时进入自动着陆段。

二、水平轨迹规划。

不同的象限进场分别用几何方法规划不同的TAEM轨迹。以末端能量管理段的初始点在机场坐标系的第一象限为例分析四种入场方式的几何关系。

TAEM段初始点在机场坐标系中的坐标为(x,z)＝(119322.10,64390.67)，即为A点的坐标。当地弹道倾角为3.54°，航向角(与x轴正方向的夹角)为152.08°，初始倾侧角为44.89°。

圆弧段的转弯半径为

$R=v_A^2/\left(g\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_A\right)\tan \left({\mathrm{\&gamma;}}_A\right)\right)---\left(1\right)$

式中g＝9.8204m/s²，为标准重力加速度，θ_A为A点的当地弹道倾角，ψ_A为A点的当地航迹偏角，即航向角152.08°。γ_A为A点的倾侧角44.89°。将相关初始量代入得R＝92928.55m。利用下式求解O₁和B点的坐标。

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{O_1}=x_1-R\sin \left({\mathrm{\&psi;}}_A\right)\&CenterDot;\mathrm{sign}\left(\mathrm{\&Delta;\&psi;}\right)\\ z_{O_1}=z_1+R\cos \left({\mathrm{\&psi;}}_A\right)\&CenterDot;\mathrm{sign}\left(\mathrm{\&Delta;\&psi;}\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_{O_1}+R\sin ({\mathrm{\&psi;}}_A+\mathrm{\&Delta;\&psi;})\&CenterDot;\mathrm{sign}\left(\mathrm{\&Delta;\&psi;}\right)\\ z_2=z_{O_1}-R\cos ({\mathrm{\&psi;}}_A+\mathrm{\&Delta;\&psi;})\&CenterDot;\mathrm{sign}\left(\mathrm{\&Delta;\&psi;}\right)\end{array}\right.$

(x₁,z₁)为A点的坐标，(x₂,z₂)为B点坐标，为O₁点的坐标，式中△ψ∈(-2π,2π)为捕获转角为待寻优变量，从而推出B点的坐标。

参照表1，根据螺旋线的几何关系利用求解出C点的坐标，其中R_f∈(0,50000)和λ∈(0,2π)是待寻优变量。

R_f∈(0,50000)，根据螺旋线的极坐标公式得到：

r＝R_fe^φcot(λ)

式中λ∈(0,2π)。参照表1，则求出不同入场方式下各点坐标。

表1

末端能量管理的一个重要任务是地面跟踪航程的准确预测，基于上图所示的参考轨迹的待飞航程表示为：

S_to＝S_AC+S_HAC+S_PF    (2) 

式中S_AC、S_HAC、S_PF分别是捕获段，HAC转弯段和预着陆段的预测航程。其中捕获段S_AC的地面跟踪航程近似于常值半径转弯：

S_AT＝R_AT|△ψ_AT|

此处△ψ_AT是捕获段的转角，R_AT是近似捕获转弯半径，采用拟平衡滑翔假设得

$R_{\mathrm{AT}}=V_H^2/\left(g\cos {\mathrm{\&theta;}}_T\tan {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{vAT}}\right)$

其中γ_vAT是预测的常值倾侧角，V_H是水平速度。 

HAC的转弯半径为：

R_HAC＝R_f+R₂△ψ_HAC ²

R_f是HAC终点半径，R₂是常值系数。对上式两边求积分得：

$S_{\mathrm{HAC}}=R_f{\mathrm{\&Delta;\&psi;}}_{\mathrm{HAC}}+\frac{1}{3}{R}_2{{\mathrm{\&Delta;\&psi;}}^3}_{\mathrm{HAC}}$

预着陆段航程为：

S_PF＝x_ALI-x_HAC

综上所述，根据各个点的坐标及△ψ_AT、R_AT、R_f、R₂、△ψ_HAC这些参数对各段的航程进行计算：

圆弧段AB：l_AB＝R△ψ

直线捕获段BC： $l_{\mathrm{BC}}=\sqrt{{(x_3-x_2)}^2+{(z_3-z_2)}^2}$

螺旋线阶段CD：l_CD＝(r-R_f)/cos(λ)

航向调整段DE：l_DE＝4000

总的航程为：S＝l_AB+l_BC+l_CD+l_DE

三、高度规划。

水平轨迹规划和航程预测的基础上，进行高度的规划。高度的规划分为两段：A点到C点和C点到E点。两段高度分别用与航程有关的二次多项式来进行规划。两个二次多项式求解过程如下：

CE段：h_CE＝a₁₁+a₁₂s_AC+a₁₃s_AC ²    (3) 

AC段：h_AC＝a₀₁+a₀₂s_CE+a₀₃s_CE ²    (4) 

说明：式中a₁₁、a₁₂、a₁₃、a₀₁、a₀₂、a₀₃均是待定系数。s_AC为A点和C点间的航程，s_CE为C点和E点间的航程。两个式子中s都从0开始取值。

对于AC段，在初始点A有：s_AC＝0，则

a₀₁＝h₁

式中h₁为A点的高度值即29099.41m。

对于CE段，在初始点C有：s_CE＝0，则

a₁₁＝h₃

式中h₃为C点的高度值。

取高度对航程的导数得到弹道倾角的值。

$\frac{{\mathrm{dh}}_{\mathrm{AC}}}{{\mathrm{ds}}_{\mathrm{AC}}}=\tan {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{AC}}=a_{02}+{2a}_{03}s$

$\frac{{\mathrm{dh}}_{\mathrm{CE}}}{{\mathrm{ds}}_{\mathrm{CE}}}=\tan {\mathrm{\&theta;}}_{\mathrm{CE}}=a_{12}+{2a}_{13}s$

在两段高度规划的初始点得到：

a₀₂＝tanθ_A

a₁₂＝tanθ_C

上述两个式子中θ_A为3.54°，θ_C通过以下步骤求得。

C点在AC段上，根据tanθ_AC的表达式得到：

a₀₂+2a₀₃s₁₃＝tanθ_C

式中s₁₃表示A点到C点的总航程。将a₀₂的表达式代入上式并整理得到：

$a_{03}=\frac{\tan {\mathrm{\&theta;}}_C-\tan {\mathrm{\&theta;}}_A}{{2s}_{13}}$

同理C点在CE段的表达式上从而得到：

$a_{13}=\frac{\tan {\mathrm{\&theta;}}_E-\tan {\mathrm{\&theta;}}_C}{{2s}_{35}}$

式中s₃₅表示C点到E点的总航程，θ_E为E点的弹道倾角，为已知量。

点C对两段的高度表达式都成立所以又有：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_3=h_1+\tan {\mathrm{\&theta;}}_A{s}_{13}+a_{03}{s}_{13}^2\\ h_5=h_3+\tan {\mathrm{\&theta;}}_C{s}_{35}+a_{13}{s}_{35}^2\end{array}\right.$

式中h₅表示点E的高度值，为3000m。

将a₀₃和a₁₃的表达式代入h₃和h₅的方程组即解出tanθ_C：

$\tan {\mathrm{\&theta;}}_C=\frac{2(h_5-h_1)-(\tan {\mathrm{\&theta;}}_E\&CenterDot;s_{35}+\tan {\mathrm{\&theta;}}_A\&CenterDot;s_{13})}{s_{35}+s_{13}}$

将a₀₃代入h₃式解出h₃，再根据tanθ_C的值求出a₀₃和a₁₃，得到两个二次式的全部系数。从而完成高度规划的过程，根据当前时刻的航程实时计算出当前的高度值。

四、能量推演。

完成水平轨迹规划和高度规划之后需要对能量进行推演从而获得各个点的速度信息，同时获得末端的状态以获得最优轨迹。分两段进行(两段划分中为了保证规划的准确性，同时保证程序计算效率，取N为100)：

第一段：捕获段和直线段的能量推演。

飞行器单位重量的能量值表示如下：

$E=\frac{V^2}{2g}+h---\left(5\right)$

式中，V为飞行器当前的速度值，h为飞行器的高度值，g为重力加速度。对上式求导：

$\stackrel{\&CenterDot;}{E}=V\stackrel{\&CenterDot;}{V}/g+h$

将运动方程和式中X为气动阻力，θ_T为当前弹道倾角，代入的表达式，并且利用ds/dt＝Vcosθ_T得到能量随着地面航程的变化：

$\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{ds}}=\frac{-X}{\mathrm{mg}\cos {\mathrm{\&theta;}}_T}$

式中气动阻力X通过查询气动数据表得到。从入口点到螺旋线初始点的能量推演采用简化的欧拉积分得到

$E_{K+1}=E_K+\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{ds}}{|}_k\mathrm{\&Delta;s}---\left(6\right)$

其中△s＝s_AC/N，N是迭代步数。参考高度和航迹角用高度推演的结果进行计算(其中航程s_KH＝s_K+△s)，当前速度V由式(5)中的E决定。

推演过程中在圆弧转弯段倾侧角：

${\mathrm{\&gamma;}}_v=\arctan \left(\frac{v^2}{\mathrm{Rg}\cos \mathrm{\&theta;}}\right)$

式中R为圆弧段转弯半径，θ为当前弹道倾角。利用tanθ＝a₀₂+2a₀₃·s，计算航程对应的弹道倾角。在直线捕获段，倾侧角取为0。

第二段：HAC和ALI段的能量推演。

HAC段和直线预着陆段的能量规划采用的独立变量由原来的地面跟踪航程变为能量：

$s_{k+1}=s_k+\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{ds}}{|}_k\mathrm{\&Delta;E}---\left(7\right)$

其中△E＝(E_ALI-E_HAC)/N，s_k+1为当前迭代航程，初始能量由上一段结束点来计算，末端能量根据约束已知。在能量推演过程同时根据高度、速度和能量关系完成速度规划。

预定着陆段设倾侧角为零，HAC转弯段的角度通过下式计算：

${\mathrm{\&Delta;\&psi;}}_{{\mathrm{HAC}}_{k+1}}={\mathrm{\&Delta;\&psi;}}_{{\mathrm{HAC}}_k}-\frac{(\mathrm{ds}/\mathrm{dE})\mathrm{\&Delta;E}}{R_{{\mathrm{HAC}}_k}}---\left(8\right)$

在航程满足要求的基础上，寻找使高度偏差最小的轨迹，记为最优轨迹：

|h_ALI-h_kend|<δ_k    (9) 

式中h_ALI取3000m，h_kend是第k次最后推演的高度值，通过高度推演的结果进行计算，若第k+1次推演得到的δ_k+1满足：

δ_k+1<δ_k    (10)

则用k+1次迭代的得到的参数对原有的参数进行更新，最终确定出最优的λ＝1.3、R_f

ERROR: limitcheck

OFFENDING COMMAND: string

STACK:

66038

33018

32512

33019 。

Claims (1)

1.一种基于几何规划的滑翔飞行器末端能量管理轨迹规划方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、建立机场坐标系，原点为机场坐标位置，x轴沿机场方向45°指向东北方向为正，y轴垂直于当地水平面向上，z轴与x轴y轴构成右手坐标系；

步骤二、对于各点的坐标值以及相应的航程计算推导如下：

A点是末端能量管理的起始点，坐标记为(x₁,z₁)，末端能量管理段的初始速度记为v_A，则得到圆弧段AB的近似转弯半径：

$R=v_A^2/\left(g\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_A\right)\tan \left({\mathrm{\&gamma;}}_A\right)\right)---\left(1\right)$

式中g＝9.8204m/s²，为标准重力加速度，θ_A为A点的当地弹道倾角，ψ_A为A点的当地航迹偏角，γ_A为A点的倾侧角，△ψ为捕获转角；由圆弧的半径和A点的坐标推出O₁的坐标和B点的坐标：

根据螺旋线的相关计算方法计算出其余各个关键点C、D、E的坐标；

末端能量管理的一个重要任务是地面跟踪航程的准确预测，待飞航程表示为：

S_to＝S_AC+S_HAC+S_PF                 (2)

式中S_AC、S_HAC、S_PF分别是捕获段、HAC转弯段和预着陆段的预测航程；分别计算各段航程，从而得出总航程；

步骤三、水平轨迹规划和航程预测的基础上，需要进行高度策略的规划；入场方式一高度的规划分为两段：A点到C点和C点到E点；两段高度分别用与航程有关的二次多项式来进行规划；两个二次多项式设计如下：

CE段：h_CE＝a₁₁+a₁₂s_AC+a₁₃s_AC ²              (3)

AC段：h_AC＝a₀₁+a₀₂s_CE+a₀₃s_CE ²              (4)

式中a₁₁、a₁₂、a₁₃、a₀₁、a₀₂、a₀₃均是待定系数；s_AC为A点和C点间的航程，s_CE为C点和E点间的航程；

步骤四、要获得完整的参考轨迹，对轨迹上各个点的能量加以推演，确定轨迹末端的能量状态，判定最优轨迹；

捕获段和直线段的能量推演：

飞行器单位重量的能量值表示如下：

$E=\frac{V^2}{2g}+h---\left(5\right)$

式中，V为飞行器当前的速度值，h为飞行器的高度值，g为重力加速度；从入口点到螺旋线初始点的能量推演采用简化的欧拉积分得到

$E_{K+1}=E_K+\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{ds}}{|}_k\mathrm{\&Delta;s}---\left(6\right)$

其中△s＝s_AC/N，N是迭代步数；为能量随航程的变化关系；E_K为当前能量值，E_K+1为下一时刻能量值；当前速度V由式(5)中的E决定；

HAC和ALI段的能量推演：

HAC段和直线预着陆段的能量规划采用的独立变量由原来的地面跟踪航程变为能量：

$s_{k+1}=s_k+\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dE}}{|}_k\mathrm{\&Delta;E}---\left(7\right)$

其中△E＝(E_ALI-E_HAC)/N，为航程随能量的变化，s_k为当前迭代航程，s_k+1为下一步的航程；初始能量由上一段结束点来计算，末端能量根据约束已知；

预定着陆段设倾侧角为零，HAC转弯段的角度通过下式计算：

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&psi;}}_{{\mathrm{HAC}}_{k+1}}=\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&psi;}}_{{\mathrm{HAC}}_k}-\frac{(\mathrm{ds}/\mathrm{dE})\mathrm{\&Delta;E}}{R_{{\mathrm{HAC}}_k}}---\left(8\right)$

在航程满足要求的基础上，寻找使高度偏差最小的轨迹，记为最优轨迹：

|h_ALI-h_kend|<δ_k              (9)

h_kend是第k次最后推演的高度值，h_ALI为能量推演终点要求高度；δ_k为第k次迭代得到的高度偏差；若第k+1次推演得到的δ_k+1满足：

δ_k+1<δ_k              (10)

则用k+1次迭代的得到的参数对原有的参数进行更新最终确定出最优的λ、R_f、△ψ。