CN104695932A - 在井场处利用支撑剂布置而执行增产操作的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种在井场处执行增产操作的方法。井场具有穿透在其中含有裂缝的地层的井筒。该方法包括基于井场数据而预测裂缝中支撑剂参数的布置，基于所预测的布置而形成凹凸体模型，利用所述凹凸体模型预测在规定的闭合应力下的开度变化，基于所预测的开度变化而确定裂缝导流能力。该方法还包括基于所确定的裂缝导流能力，通过在地层中注入含有支撑剂的增产液而将增产液置入所述裂缝中；以及从储层生产流体，并使其经过已支撑的裂缝流入井筒。

Description

在井场处利用支撑剂布置而执行增产操作的方法

技术领域

在本发明的至少一个方面中，至少一个实施方案涉及用于执行油田操作的技术。更特别地，本发明的至少一个实施方案涉及用于执行增产操作的技术，例如，对在其中具有至少一个储层的地下地层进行穿孔、注入和/或压裂。

背景技术

为了便于从油气井中开采烃类，可以通过水力压裂而使围绕这种井的地下地层增产。可使用水力压裂以在地下地层中形成裂纹，从而使得油或气向着所述井移动。通过将特定工程流体(本文中称之为“压裂液”、“处理液”或“压裂浆”)在高压下以高流速穿过一个或多个井筒引入到地层中而压裂所述地层。

水力压裂可由井筒在相反的多个方向上根据地层内的自然应力延伸开去几百英尺。在某些情况下，它们可能形成复杂的裂缝网络。复杂的裂缝网络可包括诱发性水力裂缝以及天然裂缝，所述裂缝可沿着多个方位、在多个平面和方向上、且在多个区域中相交或者可不相交。

通过压裂增产而形成的水力裂缝的模式可能是复杂的，且可能形成通过相关微震事件的分布而指示的裂缝网络。已对复杂的水力裂缝网络进行研究以表示所形成的水力裂缝。裂缝模式和裂缝模拟模型(simulator)的实例在美国专利/申请No.6101447、7363162、7788074、8412500、20120179444、20080133186、20100138196、20100250215、6776235、8584755和8066068中提供，这些文献的全部内容在此通过援引加入的方式纳入本文中。

可以将压裂液以提供所需裂缝的方式注入井筒中。压裂液可包含支撑剂以支撑裂缝张开并促进流体流动入井筒中。压裂和/或支撑剂技术的实例在美国专利/申请No.6776235、8066068、8490700、8584755、7581590以及7451812中提供，这些文献的全部内容在此通过援引加入的方式纳入本文中。

发明内容

在至少一个方面中，本发明涉及在井场处执行增产操作的方法。该井场具有穿透在其中含有裂缝的地层的井筒。该方法包括基于井场数据(包括裂缝的几何特征)而预测裂缝中支撑剂的布置；基于所预测的布置而形成凹凸体(asperity)模型；使用所述凹凸体模型而预测在规定的闭合应力下的开度变化；基于所预测的开度变化而确定裂缝导流能力；以及基于所确定的裂缝导流能力，通过将在其中含有支撑剂的增产液注入到所述地层之中而随着增产液一起将所述支撑剂置入所述裂缝中。

在另一个方面中，本发明涉及在井场处执行增产操作的方法。井场具有穿透在其中含有裂缝的地层的井筒。该方法包括通过基于井场数据使用多个模拟(井场数据包括裂缝的几何特征)预测裂缝中支撑剂的布置而确定裂缝的支撑剂参数；基于所预测的布置而形成凹凸体模型；使用所述凹凸体模型而预测在规定的闭合应力下的开度变化；基于所预测的开度变化而确定裂缝导流能力；通过比较所述多个模拟而证实所预测的布置；以及基于所证实的裂缝导流能力，通过将在其中含有支撑剂的增产液注入到地层之中而随着增产液一起将所述支撑剂置入所述裂缝中。

最后，在另一个方面中，本发明涉及在井场处使井筒增产的方法。井场具有穿透在其中含有裂缝的地层的井筒。该方法包括通过基于井场数据预测裂缝中支撑剂的布置而确定裂缝的支撑剂参数，该井场数据包括裂缝的几何特征；基于所预测的布置而形成凹凸体模型；使用所述凹凸体模型而预测在规定的闭合应力下的开度变化；基于所预测的开度变化而确定裂缝导流能力；基于所证实的裂缝导流能力，通过将在其中含有支撑剂的增产液注入到地层之中而随着增产液一起将所述支撑剂置入所述裂缝中；及由储层生产流体，并使其经过已支撑的裂缝流入所述井筒中。

提供本发明内容部分以介绍一系列下面在具体实施方式部分中进一步描述的构思。本发明内容部分不意欲指定所要求保护主题的关键或者必要特征，也不意欲用于帮助限制所要求保护主题的范围。

附图说明

结合附图对包括支撑剂布置的用于执行增产操作的方法的实施方案进行描述。在所有图中用相同的数字指类似的特征和部件。此后结合附图对各种技术的实施进行描述。然而，应该可以理解的是，附图仅仅示例说明了本文中所描述的各种实施，且不想要限制本文中所述各种技术的范围。

图1.1至1.4为描绘了包括将支撑剂布置入地层中的增产操作的井场的示意图；

图2为描绘了执行增产操作的方法的流程图；

图3、4、5.1、5.2和6为更为详细地描绘了执行压裂操作的方法的各个方面的流程图；

图7.1和7.2分别为描绘了已支撑的或者未支撑的裂缝的凹凸体表示的示意图；

图8.1至8.3为描绘了裂缝中支撑剂布置的示意图；

图9.1至9.4为描绘了在各种不同分布和应力下具有不均匀支撑剂的圆形柱体的所预测的已支撑的裂缝的图；

图10.1至10.4为描绘了在各种不同分布和应力下具有未支撑的粗糙裂缝的所预测的已支撑的裂缝的图；

图11.1至11.4为描绘了因为在各种不同应力下而具有位于裂缝中的任意的、不均匀的支撑剂分布的所预测的已支撑的裂缝的图；

图12.1和12.2为分别描绘了在一定范围的支撑剂-裂缝几何特征下闭合应力或裂缝导流能力的演变的图；

图13为矩形区域(rectangle)上所受力的示意图；

图14为描绘了流动通过锥形裂缝的示意图；

图15.1至15.3为比较1-D模拟和2-D模拟的图；

图16为描绘了穿过裂缝在两个平行平面(parallel plate)之间流动的示意图；

图17为描绘了图16的完整裂缝的对称一半的2-D计算区域的示意图；

图18.1至18.3为描绘了各种流体流动通过图16的裂缝的图；

图19.1至19.3为在各种不同角度针对各种流体比较1-D解决方案(solution)和2-D解决方案的图；

图20为描绘了生成支撑剂参数的另一种方法的流程图；

图21和22为描绘了通过各种模型进行的柱状表示的示意图；

图23为在其上绘有压力的笛卡尔网格；

图24.1和24.2为裂缝的各种示意图；

图25.1和25.2为描绘了模拟模型的第一个比较的点线图；

图26.1和26.2为描绘了模拟模型的第二个比较的点线图；

图27.1和27.2为描绘了开度的图，其描绘了模拟模型的第三比较；

图28为描绘了各种模拟的比较的图；

图29.1至29.3为描绘了各种不同分辨率下模拟的比较的图；并且

图30.1至30.3为描绘了各种柱体的不均匀支撑剂布置的示意图。

具体实施方式

随后的描述包括具体表现本发明主题的技术的设备、方法、技术和指令序列。然而，可以理解的是，所描述的实施方案可以在没有这些特定细节的情况下实施。

在至少一个方面中，本发明提供了一种在井场处执行增产操作的方法。所述增产包括通过预测裂缝中支撑剂的布置而生成支撑剂参数，基于所述预测而生成凹凸体模型(有时被称为基于凹凸体的模型)，使用所述凹凸体模型而预测在规定的闭合应力下的开度变化，以及基于所述闭合应力而确定裂缝导流能力。然后可通过基于所确定的裂缝导流能力将在其中含有支撑剂的增产液注入地层中而将支撑剂放置于裂缝中。然后可穿过已支撑的裂缝生产储层流体。

也可考虑到独立规定的任意的、不均匀的支撑剂分布。所述预测可任选地通过与其它的预测和/或测量比较而证实。粗糙裂缝中的支撑剂的布置和所形成的导流能力可以在任何指定的闭合应力下预测。粗糙裂缝可以由多个凹凸体的集合来表示，其中所述凹凸体可以设置在连接到两个可变形半空间的规则网格上。

描述了至少两种变形方式。第一种，可以预先计算可变形半空间的变形特性，从而可对裂缝两侧的地层变形进行有效预测。本发明提供了自动检测在增大闭合应力期间(例如回流和生产期间)裂缝闭合时的额外接触的方法。此外，可以对凹凸体力学响应进行修正以补偿粗糙裂缝表面与可能存在于那个位置的裂缝之中的支撑剂的组合力学响应。以这种方式，可以对裂缝粗糙度与裂缝中支撑剂的不均匀布置的任意组合的变形进行评估。

另一种方式逼近具有对于力学计算而言更为粗糙的柱体集合的详细凹凸体。利用两种力学模型，然后将经变形的状态转化为孔隙网络模型，其计算了回流和后续生产期间裂缝的导流能力。这个可供选择的方式可能比第一种方式更快，且可能具有降低的精确度。在某些情况下，可以对多个方式进行比较以用于证实且/或用以检测问题，例如注水和多种流体相互作用。

预测支撑剂布置的方法可包括裂缝粗糙度、广义不均匀支撑剂几何特征和支撑剂顺应性之间的相互作用的考虑。所述布置可旨在高效地模拟详细的、任意的支撑剂设置，所述支撑剂设置包括真实裂缝的详细天然粗糙度以及捕捉当裂缝闭合时所述裂缝的非线性加强行为。

布置可以利用通过预先计算所考虑的在网格上的地层力学响应而加速的解决方案。所述布置可以考虑以下机理：裂缝中支撑剂的任意分布；支撑剂和主岩的机械变形；裂缝表面的详细粗糙度；当裂缝表面进行额外接触时的应力再分布反馈；以及变形裂缝表面之间的流动，以及所述表面之间的间隙中不均匀放置的支撑剂之中的流动。

可以使用支撑剂布置以用支撑剂均匀地填充裂缝，从而保持适当的裂缝开度。通过均匀地填充裂缝，然后可以生产储层流体并使之返回通过支撑剂。不均匀支撑剂布置(HPP)策略试图通过选择性地放置支撑剂而增加已支撑的裂缝的导流能力，从而使得所述裂缝在离散位置保持张开且可将储层流体输送通过支撑剂之间的开放通道。HPP技术的一个例子为HiWAY^TM，可从德克萨斯州休斯顿的斯伦贝谢公司(SCHLUMBERGER^TM，Ltd.)(见www.slb.com)购得。支撑剂技术的其它描述例如在US6776235、US8066068和US8584755中提供，之前已经将所述专利文献通过援引加入的方式纳入本文。

可以使用HPP以将支撑剂引入位于离散段塞之中的裂缝中。支撑剂段塞与清洁段塞的混合可能受到纤维存在的限制。可以将这些段塞输送到井筒下，并将其输送到裂缝中，目标在于形成支撑住裂缝抵抗闭合应力的隔离柱体，且同时保留柱体之间的空间中的原始流动通道。

出于技术开发和优化的目的，可以开发工具以用于预测由回流和后续生产引起的闭合应力增加期间不均匀支撑的裂缝的导流能力。在本发明的至少一个方面中，提供了用来预测支撑剂布置的手段以及用以计算在位于例如实际的粗糙壁裂缝之中的任意支撑剂分布情况下所形成的导流能力的手段。

I.注入和支撑剂布置

本发明的方面可以在井场(例如图1.1的井场100)处执行。井场100具有从地面位置处的井口108延伸且穿过其下方的地下地层102的井筒104。裂缝网络106在井筒104周围延伸。将泵系统129定位于井口108周围以使得流体穿过油管142。

泵系统129被描绘为由现场操作人员127操作用于记录维修保养数据和操作数据且/或根据规定的泵送进度表执行操作。压裂操作期间泵系统129将流体从地面泵送到井筒104。

泵系统129可包括水源，例如多个水罐131，其将水供给到凝胶水化单元133。凝胶水化单元133将来自罐131的水与胶凝剂混合以形成凝胶。然后将凝胶送至于混合器135，在此处将其与来自支撑剂输送机137的支撑剂混合以形成压裂液。可以使用胶凝剂以增加压裂液的粘度，并使得支撑剂可悬浮在压裂液之中。胶凝剂也可以充当降阻剂以使得可以较高的泵送速率具有较小的摩擦压力。

如实线143所示，然后将压裂液从混合器135用柱塞泵泵送到处理车120。如虚线141所示，每个处理车120在低压下接收压裂液，并在高压下将其排放到共用管汇装置139(有时被称作发射拖车(missile trailer)或者发射装置(missile))。如实线115所示，然后发射装置139将压裂液从处理车120引导到井筒104。可以使用一个或多个处理车120来以所需速度供给压裂液。

每一处理车120可以任何速度正常操作，例如在其最大操作容量下很好地操作。在其操作容量下操作处理车120可能会使一个泵失效并使得剩余的泵以更高的速度运行从而补偿失效泵的不存在。可以采用计算机控制系统149以在压裂操作期间引导整个泵系统129。

可以使用各种压裂液——例如传统的含有支撑剂的增产液——以形成裂缝。也可以使用其它流体——例如粘胶，“滑溜水(slick water)”(其可具有降阻剂(聚合物)和水)——来水力压裂页岩气井。所述“滑溜水”可以是低粘液(例如，几乎与水的粘度相同)的形式并可以用于形成更复杂的裂缝，例如可通过监控而检测到的多个微震裂缝。

同样如图1.1所示，裂缝网络包括位于井筒104周围的各种位置处的裂缝。各种裂缝可以为在流体注入之前存在的天然裂缝144，或者注入期间在地层102周围生成的水力裂缝146。

图1.2描绘了图1.1中井筒104的部分1.2，其示出了地层102中的支撑剂148布置。如该图中所示意性描绘的，可将支撑剂148泵送入地层102中，并将其分散在整个裂缝网络106。同样如该图中所示意性描绘的，可将支撑剂148分散于凝块(或段塞)150中，其中所述凝块(或段塞)150于裂缝144/146中在它们之间限定出通道152。

可以使凝块150进入裂缝网络106中，从而使得裂缝144/146的某些部分用支撑剂148撑开且裂缝144/146的某些部分保持撑开以将流体输送到井筒102(图1.2)用于生产流体，如图1.3中箭头152所示意性描绘的。

如图1.4所示，可以将地层应力施加到裂缝144/146之中的支撑剂凝块150。应力的变化(σ_eff)可能影响流经裂缝144/146的流体流动。所述流动(被称为导流能力)描述了流体移动通过裂缝144/146的容易程度，且其可取决于地层的渗透率、地层的饱和度、和/或流体的密度和粘度。

图2为描绘了执行增产操作的方法200的流程图。方法200可用于确定导流能力并基于所确定的导流能力来执行操作。方法200包括收集井场数据254。井场数据可以来自如图1.1至1.4中所示的具有穿透地下地层的井筒的井场，其中所述地下地层在其中含有裂缝。井场数据可以为例如井筒声波数据、微震事件数据、井场设备信息、操作参数或者其它数据。

方法200还可以包括生成支撑剂参数256。支撑剂参数可以由井场数据254确定。预测256可以包括基于井场数据而预测裂缝中支撑剂的布置260，基于支撑剂预测而生成凹凸体模型262，使用凹凸体模型而预测在规定的闭合应力下的开度变化264，以及基于开度变化而确定裂缝导流能力266。针对各种闭合应力，可以对预测264和确定266进行重复268。

方法200还可以包括证实布置预测269，用增产液将支撑剂放置入裂缝中270，以及从地层穿过裂缝而生产流体272。该方法可以用其中所示的设备在井场100(请参见，例如图1.1至1.4)处执行。该方法的某些部分可以通过用例如泵系统129来执行增产以及控制系统149来执行支撑剂布置而实现。本发明的某些部分可以使用计算机系统的处理器而实现。

可使用裂缝导流能力266来确定如何注入和/或布置支撑剂从而用于优化生产。放置270可通过基于所确定的裂缝导流能力266而将在其中具有支撑剂的增产液注入到地层中、以及从地层中通过裂缝生产流体272而执行。该方法还包括，基于新的信息而调整注入，以及所需的其它方法。

方法200可以任何顺序执行并根据需要而重复。图3至6更为详细地示出了方法200的各个部分。

1.1布置预测

图3描绘了图2中的生成支撑剂参数256的另一种视图，其更详细地示出了预测支撑剂布置260。预测260可包括预测在粗糙裂缝(例如图1.3中的粗糙裂缝)中支撑剂以及其它放置流体的布置。图3的方法也可以为整个裂缝导流能力作业流程中的布置预测提供详细的作业流程。

预测260可包括提供裂缝开度分布357以及泵送进度表359。裂缝开度分布357和泵送进度表359可以为作为所收集的井场数据(例如，图2中的254)的一部分提供的信息，或者可以分别输入。预测260也可以包括确定拉格朗日标记的轨迹和位置361，将所述拉格朗日标记投射到流量网格上363，以及确定网络导流能力和流场365。确定361可基于裂缝开度分布357和泵送进度表359而进行。

可以确定网络导流能力和新的流场365。可以对确定361、投射363和确定365进行重复367直到泵送完成。一旦完成，即可以执行预测260(例如262至268)和/或方法200(例如，270、272)的其余部分。

提供裂缝开度分布357可以由真实或者合成方法获得。例如，裂缝的三维几何特征可以用位置的二维阵列而逼近，其中局部裂缝开度b(x，y)已知：

b_ij＝b(x＝tΔx，y＝jΔx)  (1)

其中Δx为用于计算网格的单元的尺寸，x和y为位于裂缝中间平面中的坐标，i和j为确定i，j-单元的指示际号。对于裂缝表面几何特征，或者可以使用真实裂缝的测量以表示表面几何特征，或者可以采用合成算法。

在后一种情况下，本发明利用了合成裂缝生成算法。使用这种方式，利用高斯分布随机数来对具有与所需裂缝相同数量的单元的方矩阵进行初始化。对所述矩阵进行傅里叶变换，且然后使用幂律、高波数滤波器来对这种变换进行修正。然后通过进行所滤光谱的傅里叶反变换而获得开度分布。通过或者测量或者合成，可获得裂缝表面的数字化表示。不管数据源为何，可通过开度已知(bij)点处的规则网格来逼近裂缝表面。

例如基于井场的钻井计划，可以提供泵送进度表359。泵送进度表可以是作为来自外部源的输入而提供的原有数据。基于所提供的泵送进度表，裂缝中的支撑剂参数可以使用质点(particle)布置方法——例如放置在整个计算区域中的质点的格朗日标记——计算。该方法可使用质点网格(PIC)方法的多个方面来实施，所述方法由Harlow，F.H.开发，并在洛斯阿拉莫斯科学实验报告LAMS-1956(1955)中的“A Machine Calculation Method for Hydrodynamic Problems”中发表，在此其全部内容通过援引加入的方式纳入本文中。

格朗日标记(和/或它们的位置)可以通过注入和对流来确定361。质点可以承载信息，例如指定位置处气体、凝胶、水和支撑剂的质量。在注入井位置，将源项引入到流动方程中，且将格朗日标记质点以在那时被注入的组分的适宜体积分数而注入。

拉格朗日质点也可在确定361期间用局部流体速度对冲(advect)。例如，如果质点α占据了单元i，j，则其位置的改变Δx_α，Δy_α可以用下式表示：

${\mathrm{\Δx}}_a=v_{\mathrm{ij}}^x\mathrm{\Δt}---\left(2\right)$

${\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{\α}}=v_{\mathrm{ij}}^y\mathrm{\Δt}---\left(3\right)$

其中v^x _ij、v^y _ij为单元i，j中的流速分量，Δt为积分所用的离散时间节距。在该方法中，其它历史因变量也可以在这一点而演化。例如，每一质点的固体体积分数可以因为流体漏失速度的局部评估而改变。

可以将更新的拉格朗日质点状态投射到流量网格上363。在每一时间节距长度Δt之中，拉格朗日质点对它们所定位其中的笛卡尔单元中各种分量的体积分数有所贡献。例如，V^β _ij，单元i，j中物质β的体积分数(其中β对应于以下之一：水、凝胶、支撑剂等)可使用下式估算：

$V_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\β}}=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\αe}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}}{v}_{\mathrm{\α}}{v}_{\mathrm{\α}}^{\mathrm{\β}}}{{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\αe}{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{ij}}}{v}_{\mathrm{\α}}}---\left(4\right)$

其中Ω_ij为单元i，j所占据的区域：

(i-1/2)Δx＜x＜(i+1/2)Δx  (5)

(j-1/2)Δx＜y＜(j+1/2)Δx  (6)

且V_α为质点α的体积，V^β _α为相β所占据的质点α的体积分数。因此，在网格上的所有点处获得所有流体物质的体积分数(例如固体体积分数)以及其它特性。

然后可以使用这样所获得的网格特性以利用平行平面之间的流体流量表达式来确定局部导流能力365。例如，对于赫歇尔-巴尔克利流体(Herschel-Bulkley fluid)的情况，使用流量Q和流动元素方向上的压力梯度Px之间的以下关系式计算流动元素导流能力：

$\begin{array}{c}Q=-\mathrm{sgn}\left(P_x\right)2\mathrm{\δy}\frac{n}{n+1}\frac{{\left(\right|P_x|H-{\mathrm{\τ}}_o)}^{n+1/n}}{k^{1/n}{P}_x^2}\\ \{{\mathrm{\τ}}_o+\frac{n+1}{2n+1}\left(\right|P_x|H-{\mathrm{\τ}}_o)\}\end{array}---\left(7\right)$

其中τ_O为流体的屈服应力，k为稠度系数，n为幂律指数，H为元素开度的一半，及δ_y为与流动垂直的方向上的元素侧边长度。

然后可以使用小节1.4(裂缝导流能力计算，下文)中所述的方式而确定裂缝中所有位置的网络导流能力和新的流场365。如果泵送未完成，则可重复该过程(367)，且然后可使用新的流场以更新方程式(2)和(3)所用来对冲质点的裂缝中所有拉格朗日质点的速度361。

在泵送进度表的结尾，可以在计算网格的所有单元中获得支撑剂的位置和密度。可以将这些结果传送到在小节1.2(凹凸体模型的生成262)中所述的下一阶段。

1.2凹凸体模型的生成

图4描绘了图2中预测256的另一部分。在该图中，生成凹凸体模型262更为详细地示出。图4的方法提供了在整个裂缝导流能力方法256中生成凹凸体模型的详细视图。生成262包括开发裂缝粗糙度与放置的支撑剂的结合的基于凹凸体的表示，其中所述基于凹凸体的表示或者从如上文小节1中所述的支撑剂参数256获得，或者从一些其它独立来源获得。

如图4的实例中所示，生成262包括确定裂缝开度分布469，确定支撑剂空间分布471，进行材料混合473，以及生成裂缝粗糙度与支撑剂的结合的凹凸体表示475。

系统几何特征(例如裂缝开度分布)可以通过裂缝表面的几何特征与裂缝表面之间的支撑剂设置471进行结合而确定469。从力学角度上来说，然后裂缝由被大量长度L^R _ij的凹凸体分隔开的两个弹性半度空间来表示，其中使用与上面小节1.1中生成256所用的相同的离散化。

图7.1为描绘了未支撑的粗糙天然裂缝744的示意图。图7.2提供了通过含有支撑剂745的粗糙裂缝744的凹凸体模型的横截面。这些示意图描绘了通过未支撑的粗糙天然裂缝744的凹凸体模型的横截面。在至少一个方面中，以上描述与附图一起提供了含有不均匀设置支撑剂745的裂缝的几何特征和局部力学特性的表示。

凹凸体长度Lij沿着裂缝744而限定。凹凸体长度通过下式与开度相关：

$L_{\mathrm{ij}}^R=\max \left(b_{\mathrm{ij}}\right)-b_{\mathrm{ij}}---\left(8\right)$

本发明接着考虑了将支撑剂745引入裂缝744中，填充了如图7.2中所示意性描绘的岩石表面之间的间隙。本发明认定，支撑剂分布的几何特征通过所预测的布置260获得且可以通过整个裂缝的额外的凹凸体长度L^P _ij来逼近。本发明认定，支撑剂的变形是单轴的(即，垂直于x-y平面的)且因此在应力下支撑剂的高度变化由支撑剂的单轴模量所决定，M^R：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}=M_{\mathrm{ij}}^P\frac{{\mathrm{\ΔL}}_{\mathrm{ij}}^P}{L_{\mathrm{ij}}^P}---\left(9\right)$

其中σ_ij为凹凸体i，j中的单轴应力。

用于预测岩石凹凸体L^R _ij与支撑剂凹凸体L^P _ij的组合响应的单轴模量可使用调和平均值而获得：

$M_{\mathrm{ij}}=\frac{L_{\mathrm{ij}}}{L_{\mathrm{ij}}^R/M^R+L_{\mathrm{ij}}^P/M_{\mathrm{ij}}^P}---\left(10\right)$

其中，L_ij＝L^R _ij+L^P _ij，M为地层的纵向模量。方程式(10)可用作执行473的材料混合算法。

1.3在规定的闭合应力下的开度变化的预测

在另一个方面中，本发明的至少一个实施方案提供了用于预测因规定的闭合应力而发生的开度变化264的方式。第一种方式在图5.1中示出，其涉及“在规定的闭合应力下的开度变化的笛卡尔预测”(笛卡尔法)并使用基于网格的方式来在与使用预先计算的影响函数的流量相同的网格上有效地解决力学方程。第二种方式在图5.2中示出，其涉及“在规定的闭合应力下的开度变化的基于圆柱体的预测”(非线性柱体法)，其利用快速力学解决方案的大型圆柱形凹凸体来逼近凹凸体网格，然后将这个解决方案投射回初始的凹凸体网格上。

1.3.1在规定的闭合应力下的开度变化的笛卡尔预测

在力学方面上，将不均匀支撑的裂缝作为材料的两个弹性半度空间处理，其中所述两个弹性半度空间被其力学特性通过凹凸体模型的生成262而获得的凹凸体分隔开。如图5.1中所示，提供了用于在整个裂缝导流能力工作流程之中对在规定的闭合应力下的开度变化进行笛卡尔预测的方法。

如图5.1中所示，预测264包括预先确定凹凸体对凹凸体影响(相互作用)表格581，调整远场平移583，基于凹凸体对凹凸体影响表格而生成凹凸体和半空间变形相互作用585，增加新接触587，确定裂缝是否在目标应力的容差之中589，以及由所确定的凹凸体和半空间变形确定开度分布591。

在生成585之后，可以做出是否增加或者删除新接触587的决定。如果决定增加或删除新接触的话，可以通过增加新接触而重复生成585。如果决定不增加或删除新接触的话，生成264可继续进行确定589和591。可在确定589之后重复调整583，并可在增加接触587时重复生成585。

凹凸体对凹凸体表格的预先确定581可通过识别以下而实现：如果给出与半空间接触的凹凸体I的话，可通过解析或数值方式计算因凹凸体加载而产生的半空间偏转的径向相关性。解析函数或数值结果可以于初始化时在网格上预先计算581。本发明采用给出了平移x’，y’处的半空间之间的每一个单元载荷的开度增加相对于所加载的凹凸体而言的函数α(x’，y’)。结果，由于施加在凹凸体I处的力f₁而造成的凹凸体J处半空间开度的增加量可以如下写为：

w_IJ＝f_Iα(x_J-x_I，y_J-y_I)＝f_iα([i_J-i_I]Δx，[f_J-f_I]Δx)＝f_Iα_IJ  (11)

其中：

α_IJ＝α([i_J-i_I]Δx，[f_J-f_I]Δx)  (12)

且x_I，y_I和x_J，y_J分别为凹凸体I和J的坐标，且i_I，j_I和i_J，j_J分别为凹凸体I和J的整数坐标。

一旦发生开度变化阶段的初始化，本发明即预先确定(或预先计算)方程式(12)的α_IJ581。本发明通过增强在凹凸体应力与相关变形之间的一致性而获得凹凸体之中的应力分布以及周围材料的相关变形。特别地，在凹凸体接触的任何位置，凹凸体长度的变化以及该位置处额外的半空间开口应该是一致的。也即，变形的凹凸体应与变形的间隙相匹配：

$D+{\mathrm{\Σ}}_J{w}_{\mathrm{JI}}=L_I^O-{\mathrm{\ΔL}}_I---\left(13\right)$

其中D为在不存在任何凹凸体接触的情况下半空间之间的间隙，L^O _I为凹凸体I的不受应力的长度。

可调整远场平移D以逼近在生成凹凸体和半空间变形相互作用585中所需的应力状态583。凹凸体和半空间相互作用585可通过识别以下而获得：因当前应力引起的凹凸体I长度变化ΔL_I可以用下式表示：

${\mathrm{\ΔL}}_I=\frac{{\mathrm{\σ}}_I{L}_I^O}{M_I}=\frac{f_I{L}_I^O}{{\mathrm{\Δx}}^2{M}_I}---\left(14\right)$

且可以求出凹凸体长度的单独变化ΔL_I的方程式的线性系统通过下式获得：

$D+{\mathrm{\Σ}}_J=\frac{{\mathrm{\Δx}}^2{M}_J{\mathrm{\ΔL}}_J}{L_J^O}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{JI}}=L_I^O-{\mathrm{\ΔL}}_I,\∀I---\left(15\right)$

其中L_I＝L_iIjI，ΔL_I＝ΔL_iIjI，M_J＝M_iJjJ，且指方程式(15)对于所有的值I均适用。

这个系统的解决方案提供了裂缝的变形状态585。一旦获得这个变形状态，本发明检查因变形而发生的两个表面之间的新接触，并针对接触选择新的候选凹凸体587。然后重新计算变形的状态，且重复这个过程直到已识别所有额外的接触点。

在这一点上，通过总力除以裂缝总面积A而计算当前应力状态σ_n：

${\mathrm{\σ}}_n=\frac{{\mathrm{\Σ}}_I{f}_I}{A}---\left(16\right)$

然后可确定间隙D是否需要上下调整以使得σ_n更为逼近所需应力水平583，且重复这个过程直到σ_n被视为足够接近所需应力水平，如图5.1中所示。

1.3.2在规定的闭合应力下的开孔变化的基于圆柱体的(cylinder-based)预测

使用机械变形的可供选择方式，通过柱状凹凸体的粗糙集合来逼近凹凸体网格。图5.2提供了用于在生成256中对于规定的闭合应力下的开度变化进行基于圆柱体的预测的预测264的详细视图。

如图5.2中所示，预测264包括用粗糙的柱体逼近凹凸体网格580，确定与所施加的应力一致的柱体和半空间变形582，增加夹点(pinch-point)584，以及将因柱体而产生的开度变化投射回到凹凸体网格上587。求解582之后，需要决定是否增加或者删除新夹点584。如果决定增加或删除新夹点，可以重复求解582。如果决定不增加或删除新夹点，可以执行投射587。

图8.1至8.3分别为描绘三个阶段(I)、(II)和(III)中支撑剂布置的示意图。这些图描绘了将(I)详细的凹凸体模型(图8.1—两个圆和一个椭圆)转化为(II)粗糙圆柱形表示(图8.2)，然后作为基于圆柱体的裂缝变形工作流程的一部分而投射回到(III)变形的详细凹凸体模型上(图8.3)。

图8.1示出了分布在裂缝844之中的支撑剂848的简单限定的、基于凹凸体的笛卡尔网格的实例。利用基于圆柱体的方式，由比单个凹凸体大很多的柱体的集合逼近这个网格。例如，图8.2示出了针对其中将支撑剂848’集聚成凝块850的这个分布进行粗糙的、基于圆柱体的逼近的情况。然后变形和粗糙圆柱体之间的相互作用可以通过利用解析表达式(例如，远场逼近半空间的变形)来计算582。例如，因柱体J所施加的总力f_J而发生的柱体I处的开度变化w_IJ可以用下式表示：

$w_{\mathrm{IJ}}=\frac{2(1-v^2)}{\mathrm{\πB}{r}_{\mathrm{IJ}}}{f}_J---\left(17\right)$

其中E和v为杨氏模量和半空间的泊松比，r_IJ为两个凹凸体之间的间距。

确定与所施加应力一致的柱体和半空间变形582可以通过布置用于平移一致性(displacement compatibility)的线性方程的系统来实现。在基于圆柱体的逼近中，可以将方程的数量减少一个数量级，或者与基于笛卡尔的力学解决方案相比数量更多以提高效率。

与基于笛卡尔的方式相似，用基于圆柱体的方式，可以在裂缝中于被称为“夹点”的点的粗糙网格上寻找新接触点。当检测到新的夹点584时，在那个位置处增加柱体，且重复计算直到获得收敛(convergence)(见图5.2)。

粗糙的逼近可以将人工堵塞或者通道引入到区域中。例如，在图8.2中，穿过区域顶部的开放通道通过粗糙圆柱体的逼近来闭合。一旦获得了柱体的变形状态，可将开度变化投射回到初始的凹凸体网格上587(见图8.3)。

图8.3示出了裂缝844中受应力的支撑剂柱848”的开度变化。以这种方式，可以防止人工制品(例如，通过粗糙圆柱体逼近而引入的堵塞的通道或者新开口)扩散回到用于导流能力计算的网格，且可以包括由于应力而发生的开度变化。

1.4裂缝导流能力计算

图6提供了在生成256中确定裂缝导流能力计算266的详细方法。如图6中所示，确定裂缝导流能力266包括识别填充的支撑剂以及非接触的凹凸体688，将所识别的填充的支撑剂和非接触的凹凸体转化为流量网络690，以及通过在当前应力水平下求解流量网络而获得裂缝导流能力692。

转化690可包括将单元转化为流量网络。转化690可随每一单元的状态而改变。从位于i_I，j_I的单元I到位于i_J，j_J的单元J的流量可以用下式表示：

q_IJ＝c_IJ(p_I-p_J)  (18)

其中p_I为单元I中的压力，c_IJ为单元I和单元J之间的导流能力。确定c_IJ的方法取决于单元是否填充有支撑剂。

可以使用网络模型来计算将裂缝中没有支撑剂的区域中的单元转化为流量网络690。请参见，例如，Yang.G，Cook，N.H.W.，Myer，L.R.，Network Modeling OfFlow In Natural Fractures，Rock Mechanics as a Guide for Efficient Utilization of NaturalResources，第57至64页(1989)，在此这篇文章的全部内容通过援引加入的方式纳入本文中。使用这个方式，裂缝可以由引流管道而局部地表示，其中管道的导流能力通过使用两个平行平面之间的流量解决方案来计算。结果，裂缝的未支撑区域之中单元之间的导流能力692用下式表示：

$c_{\mathrm{IJ}}=\frac{{b_{\mathrm{IJ}}}^3}{12\mathrm{\μ}}---\left(19\right)$

其中μ为流体粘度，b_IJ为两个单元的平均开度：

$b_{\mathrm{IJ}}=2\frac{b_I{b}_J}{b_I+b_J}---\left(20\right)$

其中b_I＝B_iIjI为凹凸体I处的开度。

将受应力的支撑剂填充区域之中的单元转化为流量网络690可以不同地处理。可以认定，填充的支撑剂的渗透率取决于所施加的应力。在一个方面中，本发明的至少一个实施方案在给出裂缝中局部应力的情况下计算局部支撑剂渗透率，并通过利用应力相关的渗透率进行的局部多孔达西流动，将所述渗透率转化为导流能力：

$c_{\mathrm{IJ}}=b_{\mathrm{IJ}}\frac{k_{\mathrm{IJ}}}{\mathrm{\μ}}---\left(21\right)$

其中.

k_IJ＝(k(σ_I)+k(σ_J))/2  (22)

且k(σ)为应力相关的支撑剂渗透率，σ_I为在步骤264期间裂缝闭合之时获得的局部应力。

裂缝导流能力的获得692可以通过识别到进入每一个凹凸体-单元的净通量为零以及构建未知压力场的线性方程的系统而获得：

${\mathrm{\Σ}}_J{q}_{\mathrm{IJ}}={\mathrm{\Σ}}_J{c}_{\mathrm{IJ}}(p_I-p_J)=0,\∀I---\left(23\right),$

其中除了施加压力边界条件的特定位置，p是已知的。对该方程的系统针对压力场p求解，然后将压力场p代入回用以估计裂缝导流能力692的局部通量方程。

如果寻求在额外的闭合应力下的裂缝的导流能力，则本发明现在返回到预测在规定的闭合应力下的开度变化264，如图6中所示。以这种方式，本发明获得了在存在任意支撑剂分布的情况下于应力下的天然粗糙裂缝的导流能力。

实施例-示范应用

这个实施例提供了根据本发明的至少一个实施方案的涉及一系列裂缝和支撑剂几何特征的应用。认定岩块体具有20GPa的杨氏模量以及0.22的泊松比。支撑剂具有230MPa的单轴模量以及由下式规定的渗透率-应力关系：

k(σ)＝(300-σ/2×10^率)  (24)

其中k单位为达西，σ单位为Pa。

图9.1至9.4示出了通过当应用于开度为5mm的具有半径为2m的圆形支撑剂柱的测量为10平方米的裂缝时本发明所预测的结果。这些图描绘了，在0MPa和10MPa闭合应力下通过本发明所预测的平整岩石表面之间的不均匀支撑剂的圆形柱的开度分布以及接触分布。

图9.1至9.4为描绘了两个平整岩石表面之间的裂缝944中沿着x轴(m)和y轴(m)的分布948、948’的图900.1至900.4。图9.1和9.2分别示出了在0.0MPa和10.0MPa下的开度分布948。图9.3和9.4分别示出了在0.0MPa和10.0MPa下的接触分布948’。

使这个不均匀支撑的裂缝负载最高达10MPa的闭合应力，裂缝刚度和裂缝导流能力通过本发明的应用而计算。然后针对具有不同开度几何特征和支撑剂分布的一系列裂缝而重复这个过程。

图10.1至10.4描绘了如通过本发明在0MPa和10MPa闭合应力下预测的粗糙的天然裂缝944的开度分布以及接触。图10.1至10.4为描绘了在裂缝944中沿着x轴(m)和y轴(m)的分布1048、1048’的图1000.1至1000.4。图10.1和10.2分别示出了在0.0MPa和10.0MPa下的开度分布1048。图10.3和10.4分别示出了在0.0MPa和10.0MPa下的接触分布1048’。

图11.1至11.4示出了利用支撑剂的复杂的、不均匀设置来支撑的裂缝944。图11.1至11.4描绘了通过本发明在0MPa和10MPa闭合应力下预测的于粗糙的天然裂缝944之中的任意的不均匀分布的开度分布1148以及接触分布1148’。图11.1至11.4为描绘了裂缝944中沿着x轴(m)和y轴(m)的分布1148、1148’的图1100.1至1100.4。图11.1和11.2分别示出了在0.0MPa和10.0MPa下的开度分布1148。图11.3和11.4分别示出了在0.0MPa和10.0MPa下的接触分布1148’。

为了进行比较，也对均匀填充的裂缝进行了模拟。所考虑的所有裂缝在一侧上测量为10m，并具有5mm的平均开度。天然裂缝表面通过具有ζ＝0.8和l＝3.7×10-17的自仿射的生成方案而获得。可以根据Drazer，G.和J.Koplik，Permeability of Self-Affine Rough Fractures，Physical Review电子版，62(6)：8076-8085(2000)中所述的定义对其提供描述，在此这篇文章的全部内容通过援引加入的方式纳入本文中。

图12.1和12.2分别为示出了由本发明针对每一裂缝所预测的应力对平移、以及导流能力对应力响应的图1200.1、1200.2。针对所考虑的支撑剂-裂缝几何特征的范围，图12.1提供了正常闭合(δ_n)和闭合应力(σ_n)之间的关系的比较。图1200.1描绘了各种裂缝尺寸下的正常闭合(δ_n)(m)(x轴)和闭合应力(σ_n)(Pa)(y轴线)，这些尺寸分别包括圆形的(1294.2)、均匀填充的(1294.1)、未支撑的天然的(1294.4)以及不均匀的天然的(1294.3)。

图12.2提供了对于所考虑的支撑剂和裂缝几何特征的结合而言在闭合应力下裂缝导流能力演变的比较。图1200.2描绘了各种裂缝尺寸的导流能力(FC)(达西-m))(y轴)和应力响应(σ_n)(Pa)(x轴)，这些尺寸分别包括圆形的(1294.1’)、均匀填充的(12942’)、未支撑的天然的(1294.3’)以及不均匀的天然的(1294.4’)。

如所预期的，这个实施例中的未支撑的裂缝呈现出10MPa闭合应力下最大的闭合。相比之下，均匀填充的平滑裂缝示出了最小闭合，其中不均匀填充的裂缝呈现出了中间响应。未支撑的粗糙裂缝的导流能力随闭合应力增加而迅速下降。如所预期的，均匀填充的裂缝在具有逼近1.5D-m＝300D×5×10^-3m的值的应力增加的情况下保持了相对恒定的、较低的导流能力。不均匀支撑的裂缝(具有平滑壁的和具有粗糙壁的)在整个较宽闭合应力范围下具有较高的导流能力。

II.裂缝中支撑剂布置的模型建立

图13至19.3描绘了涉及预测裂缝中支撑剂布置256的额外方法、以及用于269证实(或验证)所述预测256的额外方法。针对粗糙裂缝之中的支撑剂布置和泵送流体而执行这些方法，例如图7.1和7.2中所示意性描绘的那些。可使用这些方法作为所述预测支撑剂布置260的一部分，如例如针对图3所描述的。这些方法可包括分析、1-D模拟、2-D模拟和/或3D模拟。可以使用各种方法的比较来进行证实269。

2.1用于求解两平面之间的流体流动的解析解法

可以使用解析解法(例如，用于两个无限平面之间的流体流动的赫歇尔-巴尔克利解决方案)作为对平面之间的流体流动进行分析的基础。赫歇尔-巴尔克利流体是非牛顿流体的广义模型，其中流体所经受的应变以复杂的、非线性的方式与应力相关。可以认定，流动是局部完全展开的。“完全展开的流动”指，具有足够间距来展开从而使得横穿裂缝开度的局部流速分布取决于局部流量、且不包括上游速度场的细节的流动。赫歇尔-巴尔克利解决方案的衍生可使用幂律和宾汉流体的解析解法来延伸。解析解法的实例在Chhabra，R.P.&Richardson，J.F.，Non-Newtonian Flow And Applied Rheology：Engineering Applications，2-D ed.Elsevier(2008)(本文中称为“Chhabra&Richardson”)中进行了描述。考虑了如图13中所示的施加到矩形流体元素1301的各种力的力平衡图表1300。

图13描绘了平行平面之间的层流之中矩形区域上的压力和粘性剪切应力的平衡。图13的力由下式表示：

(p+δp)2zδy-p2zδy＝-2τ_zx(z)δ_xδ_y  (25)

其中δ_X为沿着轴X的矩形的长度，δ_Y为沿着轴Y的矩形的长度，z为沿着轴Z的宽度的1/2，p是流体密度，p是压力，τ_ZX为剪切应力。从方程(25)，可以推导出下面的方程：

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{zx}}\left(z\right)=-\frac{\mathrm{\δp}}{\mathrm{\δx}}z=-P_{x}z---\left(26\right)$

将赫歇尔-巴尔克利流体的情况应用于方程(26)，得到以下：

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{zx}}={\±\mathrm{\τ}}_o-k{\left|\frac{{\mathrm{dv}}_x}{\mathrm{dz}}\right|}^{n-1}\frac{{\mathrm{dv}}_x}{\mathrm{dz}},\left|{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{zx}}\right|\≥{\mathrm{\τ}}_o---\left(27\right)$

$\frac{{\mathrm{dv}}_x}{\mathrm{dz}}=0,\left|{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{zx}}\right|\≤{\mathrm{\τ}}_0---\left(28\right)$

其中v_X是流速，k为流体稠度系数。流体稠度系数k的单位如下取决于n的值：

[k]＝[应力][时间]ⁿ  (29)

考虑到剪切应力τ_ZX在中心线CL上为零，在所述中心线周围具有有限塞流区，在所述中心线处剪切应力不足以形成物质。该塞的半宽z_p通过求解方程(26)中的τ_ZX＝τ₀而获得，从而获得下面的关系：

$z_p=\frac{{\mathrm{\τ}}_o}{P_x}---\left(30\right)$

对于特别是在区域z＞0中的流动和P_x＞0的情况，对应于图13中从右到左的流动。如果在平面表面处没有滑移(v_x(H)＝0)，则v_x将为负值，v_x将在z增加且dv_x/d_z＞0的情况下单调数量级递减，且根据方程(26)τ_ZX将为负值。因此，在z＞z_p时，方程(27)变为：

${\mathrm{\τ}}_{\mathrm{zx}}={-\mathrm{\τ}}_o-k{\left(\frac{{\mathrm{dv}}_x}{\mathrm{dz}}\right)}^n---\left(31\right)$

且与方程(26)结合，生成了以下关系式：

${-P}_{x}z=-{\mathrm{\τ}}_o-k{\left(\frac{d{v}_x}{\mathrm{dz}}\right)}^n---\left(32\right)$

可以将方程(32)重新整理为：

$\frac{{\mathrm{dv}}_x}{\mathrm{dz}}={\left(\frac{P_{x}z-{\mathrm{\τ}}_o}{k}\right)}^{1/n}---\left(33\right)$

可以对方程(33)进行积分以获得下式：

$v_x\left(z\right)=\frac{k}{P_z}\frac{{\left(\frac{P_{x}z-{\mathrm{\τ}}_o}{k}\right)}^{1/n+1}}{1/n+1}+C---\left(34\right)$

其中C为积分常数。可以对C进行选择以满足v_x(H)＝0，从而提供以下：

$v_x\left(z\right)=\frac{k}{P_z}\frac{n}{n+1}\{{\left(\frac{P_{x}z-{\mathrm{\τ}}_o}{k}\right)}^{\frac{n+1}{n}}-{\left(\frac{P_{x}H-{\mathrm{\τ}}_o}{k}\right)}^{\frac{n+1}{n}}\}---\left(35\right)$

且塞的流速v_p如下获得：

$v_p=v_x(z={\mathrm{\τ}}_o/P_x)=-\frac{k}{P_x}\frac{n}{n+1}{\left(\frac{P_{x}H-{\mathrm{\τ}}_o}{k}\right)}^{\frac{n+1}{n}}---\left(36\right)$

如果P_x＞τ_o/H，则在x方向上通过宽度δ_y的截面的总通量Q_x通过如下对裂缝的整个塞流区和非塞流区进行积分而获得：

$\begin{array}{c}{Q}_x=\mathrm{\δy}{\∫}_{z=-H}^{z=H}{v}_x\left(z\right)\mathrm{dz}\\ =2\mathrm{\δy}(v_p{z}_p+{\∫}_{z=z_p}^{z=H}{v}_x\left(z\right)\mathrm{dz})\\ =-2\mathrm{\δy}\frac{k}{P_x}\frac{n}{n+1}\{\frac{{\mathrm{\τ}}_o}{P_x}{\left(\frac{P_{x}H-{\mathrm{\τ}}_o}{k}\right)}^{\frac{n+1}{n}}\\ +{\left(\frac{P_{x}H-{\mathrm{\τ}}_o}{k}\right)}^{\frac{1}{n}}(n+1)\frac{{{\mathrm{\τ}}_o}^2-{2P}_{x}H{\mathrm{\τ}}_o+{P_x}^2{H}^2}{k(2n+1)P_x}\\ =-2\mathrm{\δy}\frac{k}{P_x}\frac{n}{n+1}\{\frac{{\mathrm{\τ}}_o}{P_x}{\left(\frac{P_{x}H-{\mathrm{\τ}}_o}{k}\right)}^{\frac{n+1}{n}}+{\left(\frac{p_{x}H-{\mathrm{\τ}}_0}{k}\right)}^{\frac{1}{n}}(n+1)\frac{{(P_{x}H-{\mathrm{\τ}}_o)}^2}{k(2n+1)P_x}\}\end{array}---\left(37\right)$

其中H为开度高度。可以将方程(37)如下改写：

$Q_x^{\mathrm{HB}}=-2\mathrm{\δy}\frac{n}{n+1}\frac{{(P_{x}H-{\mathrm{\τ}}_o)}^{\frac{n+1}{n}}}{k^{1/n}{\mathrm{Px}}^2}\{{\mathrm{\τ}}_o+\frac{n+1}{2n+1}(P_{x}H-{\mathrm{\τ}}_o)\}--\left(38\right)$

可以将方程(38)根据裂缝开度h＝2H而如下写为：

$Q_x^{\mathrm{HB}}=-2\mathrm{\δy}\frac{n}{n+1}\frac{{(P_{x}h/2-{\mathrm{\τ}}_o)}^{\frac{n+1}{n}}}{k^{1/n}{P_x}^2}\{{\mathrm{\τ}}_o+\frac{n+1}{2n+1}(P_{x}h/2-{\mathrm{\τ}}_o)\}---\left(39\right)$

这个结果对应于P_x＞0的情况。因此，可以对方程(39)进行如下归纳处理以考虑P_x的任意符号：

在其下流动停止的临界压力梯度可以用下式表示：

|P_x|＝τ_o/H  (41)

其中H＝h/2。

方程(40)在适宜的极限值中复原了流体流变学的各种子集，例如牛顿、幂律以及宾汉极限情况。在牛顿流体的极限情况(其中n＝1，τ_o＝0)下，可以将方程(40)如下改写：

$Q_x^{\mathrm{Newtonian}}=-\frac{2\mathrm{\δy}{P}_x{H}^3}{3k}=-\frac{\mathrm{\δy}{P}_x{h}^2}{12k}---\left(42\right)$ (其中为Q_x ^牛顿)

其对应于k＝μ的两个平面之间的牛顿流动的“立方体定律”。通过将τ_o＝0代入方程(40)，对于幂律流体极限情况下的解可以如下提供：

$Q_x^{\mathrm{PL}}=-\frac{2\mathrm{\δyknH}{\left(\frac{P_{x}H}{k}\right)}^{1+1/n}}{(2n+1)P_x}=-2\mathrm{H\δy}\left(\frac{n}{2n+1}\right){\left(\frac{P_x}{k}\right)}^{1/n}{H}^{(n+1)/n}---\left(43\right)$

其对应于Chhabra&Richardson。最终，考虑到宾汉塑性流体的极限情况，方程(40)中n＝1提供了：

其中 为Q_x ^宾汉

方程(44)重现了Chhabra&Richardson中所报道的结果。

2.2对可变开度平面之间的赫歇尔-巴尔克利流体的流体流动的求解

可对可变开度裂缝之中的多个非牛顿流体的流动进行模拟。这包括了基于拉格朗日质点的用于追踪裂缝中的不同相的方式。所产生的模拟可以通过与针对具有不同几何特征的裂缝之中的多相流动做出的其它模拟进行比较而得到证实。可以获得其粘度对比度跨越很多数量级别的较宽范围的注入流体的一致性。

我们的方法通过使用方程(40)以提供压力降和通量之间的关系而进行，其中所述关系与局部通量守恒结合得到了针对未知的p_i的一组非线性联立方程。

可以通过对方程(40)的线性化形式迭代求解而获得解。注意，τ₀的下限和n≈1的情况下，方程(40)中的项较弱地依赖于P_x。该项可以提出公因子，并从前述迭代中根据压力梯度表示如下：

其中P_x上的上标m指压力解的迭代。方程(45)中的第一项不取决于P_X ^m，且将变为会集的(assembled)线性系统中右手侧的项。结果，可以将使用系数的线性系统和基于前述迭代的解的右手侧矢量P_X ^m-1会集，且当前迭代P_X ^m为此求解得出。

另一种考虑方程(45)的方式为，在每一迭代中，局部流体流动由具有由来自上一次迭代的压力梯度的数量级来表示的局部特性的牛顿流体来逼近。也即，可以将一组线性方程如下会集，以求出当前迭代中的未知压力p_i ^m：

$\begin{array}{c}\underset{j}{\mathrm{\Σ}}-C_{\mathrm{ij}}^{m}H(p_j^m-p_i^m)=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{sgn}\left(P_{x_{\mathrm{ij}}}^{m-1}\right)2\mathrm{\δy}\frac{n}{n+1}\\ \frac{{({\left|P_x\right|}_{\mathrm{ij}}^{m-1}H-{\mathrm{\τ}}_o)}^{\frac{n+1}{n}}}{k^{\frac{1}{n}}{\left({\left|P_x\right|}_{\mathrm{ij}}^{m-1}\right)}^2}(1-\frac{n+1}{2n+1}){\mathrm{\τ}}_{o,\∀i}\end{array}---\left(46\right)$

其中当前迭代的有效导流能力C^m _ij使用了来自上一次迭代m-1的信息，并可以用下式表示：

$C_{\mathrm{ij}}^m=\frac{2n}{n+1}\frac{{({\left|P_x\right|}_{\mathrm{ij}}^{m-1}H-{\mathrm{\τ}}_o)}^{\frac{n+1}{n}}}{k^{1/n}{\left({\left|P_x\right|}_{\mathrm{ij}}^{m-1}\right)}^2}---\left(47\right)$

可以对P_xij的适宜表达进行描述。在未知压力P^m _i方面进行简单的一维有限差分逼近，结果为：

$P_{x_{\mathrm{ij}}}^m=(p_j^m-p_i^m)/\mathrm{\Δx}---\left(48\right)$

每一单元的有效线性特性可以是各向同性的。如果对方程(48)使用了逼近模拟，则当与网格线呈一定角度流动的时候，流体可以发展为各向异性。

相反，在任何方向上施加的相同压力梯度应该产生相同的通量。结果，从上一次迭代获得的压力梯度项可以各向同性方式包含，其中针对所述压力梯度使用适宜的有限差分模板。单元侧的方形单元有限差分网格Δx可以如下引入：

${\left|P_x\right|}_{I,J}^{m-1}={|\▿P|}_{I,J}^{m-1}=\frac{{(P_{I+1,J}^{m-1}-P_{I-1,J}^{m-1})}^2+{(P_{I,J+1}^{m-1}-P_{I,J-1}^{m-1})}^2}{4{\mathrm{\Δx}}^2}---\left(49\right)$

其中I和J分别表示x方向和y方向上的整数坐标。用于单元i和j之间的导流能力的评估中的压力梯度量级(magnitude)使用了如下的平均量级：

${\left|P_x\right|}_{\mathrm{ij}}^{m-1}=\frac{{\left|P_x\right|}_{I\left(i\right),J\left(i\right)}^{m-1}+{\left|P_x\right|}_{I\left(j\right),J\left(j\right)}^{m-1}}{2}---\left(50\right)$

其中I(i)，J(i)指单元i的整数坐标。使用这种逼近，每一单元对单元之间有效导流能力的贡献独立于流动方向。

可以考虑与方程——例如方程(46)——的系统求解有关的计算挑战。方程(47)的导流能力的计算和方程(46)的右手侧包括除以P_x。结果，因为P_x变得非常小，方程系统中的这些项发散。这可以通过引入正则化参数ε而避免，该参数根据问题的压力梯度如下计算：

$P_x^{*}=P_x+\∈---\left(51\right)$

其中ΔP为穿过裂缝的总压力降，L为裂缝长度。

第二种数值解的挑战在于，当|Px|H＞τ_o的时候方程(46)仅仅在两个单元之间适用，除此之外导流能力为零。流量网络中的连接可以在不同迭代之间出现和消失，这可能导致算法复杂化以及收敛问题。即使在实际上完全没有流动的情况下，基于后续迭代，出于确立单元是否满足|Px|H＞τ_o的目的，可以提供局部压力梯度的评估。

为了解决这样的问题，可以引入与赫歇尔-巴尔克利项平行的可忽略不计的有限导流能力。其既用于调整，又用于确保压力梯度的局部评估在任何时候都是可获得的。这个导流能力通过利用裂缝开度<h>和流体粘度<μ>如下计算：

$c_{\min }=\frac{{(\mathrm{\&alpha;}<h>)}^3}{12<\mathrm{\&mu;}>}---\left(52\right)$

其中α≈0.01。这可能向压力场的解中引入可忽略不计的误差，同时确保所有单元之中的压力梯度的局部评估都是可获得的。该迭代过程认定了计算的每一单元之中P_x的初始评估是存在的。

当在时间演变系统中使用的时候，对每一次时间节距的初始猜测可以从上一次的时间节距中减去。对于在t＝0时的第一次迭代，或者对于其中寻求稳态解的情况，可以通过取代裂缝中的牛顿流体而完成压力场处的初始猜测。作为线性问题，一个迭代可以用于以最小边际计算成本获得解。对于收敛判别准则(convergencecriteria)，从一个迭代到另一个迭代的最大压力变化可以为裂缝中最大压力的较小分量。此外，入口和出口流速可以在用户选择的容差中达成一致。

2.3模型证实

可以对照各种几何特征的解析解和数值解来核实(或证实)非线性扩展模型。

2.3.1锥形裂缝中的线性流动的1-D测试

在另一个实例中，如图14中所示，可以考虑在左边缘处具有恒定注入速度的锥形裂缝中的1-D流动。图14为描绘了具有进入入口1403中的恒定注入的收敛平面之间的均匀的、单一方向流动的证实测试的示意图1400。描绘了，从左边(x＝0)的入口hi流入，并穿过收敛平面1405之间的通道1406。平面1405的尺寸被示为具有长度L_x、入口h_i以及出口h_o。

将裂缝(由开口1406表示)用水进行初始化，并将第二流体以恒定通量从x＝0处注入。因为流体守恒，所以局部流速(v)向着出口h_o增加，从而出现因为相之间的界面加速而产生的流体前缘跟踪算法的潜在问题。

取决于流体特性的反差，入口压力p_inlet可以随着第二流体的注入而改变很多个数量级。通过匹配时机和p_inlet演变的量级，可以证实这个理想化可变开度裂缝之中的界面对流和压力求解器。

这种构造可以在从区域的左侧(x＝0)恒定注入、在出口(x＝L_x)处零压力、hi＝0.25英寸(0.64cm)且ho＝0.125英寸(0.32cm)的条件来模拟。1-D有限差分模拟可以用于预测入口压力，从而与2-D模型比较。利用1-D模拟，可以计算注入体积，且可找到对于给定时间而言满足那个注入体积的流体前缘的位置。可以通过以下方式对1-D区域进行离散化并进行计算：将每一单元之中的方程(45)反演，并对来自x＝L_x的反演(其中p＝0)进行数值积分，将其返回到入口处以得到p_inlet。

表1如下描绘了初始饱和流体(“流体0”)的流体特性以及各种注入流体(流体0至3)：

表1

特性	流体0	流体1	流体2	流体3
					τ(Pa)	0	0	0	13.8
n(-)	1	1	0.37	0.83
					k(Pa·sn)	5.56×10-4	0.01	19.0	1.63

在实例中，模拟可以利用在t＝0时填充裂缝的低粘度牛顿流体(表1中的流体0)以及在左侧边缘注入的各种牛顿和非牛顿流体(表1中的流体1至3)来执行。流体1是高粘度的牛顿流体；流体2是幂律流体；流体3为赫歇尔-巴尔克利流体。注入速度为0.172桶每分钟每10英尺(0.30m)裂缝。

如图15.1至15.3中所示，提供每一种注入流体的两种数值解之间的一致性。图15.1至15.3分别为描绘了表1中流体1至3的压力(p)(y轴)与时间(t)(x轴)的图1500.1至1500.3。这些图示出了针对表1中所列各种流体的注入进行的2-D模型和1-D数值解之间的比较。

如图1500.1至1500.3中的每一副中所示，流体的2-D模拟和3-D模拟分别由线1510.1和1510.2表示。当初始压力逼近1kPa时，最终压力范围在比其大接近一个数量级和三个数量级之间，这取决于流体特性。

2.3.2恒定开度裂缝中的径向流的1-D测试

另一个测试实例考虑了如图16和17中所示的两个平行平面之间的径向流。图16为描绘了具有穿透其的入口1614的平行平面1612的示意图1600。这个图提供了针对两个平行平面之间的径向对称流的证实测试的几何特征，其中所述径向对称流具有通过注入器1715恒定注入到x＝0，y＝0之处的中心点C₀处的入口中。尽管所描述的这个方案是径向对称的，但是计算网格(或栅格)不是径向对称的，且可能会引起各向异性，尽管尝试了确保流体特性是各向同性的(请参见方程(49))。

2-D模拟使用图16中所描绘的区域对所采用的对称裂缝的某部分(如，一个翼部)建立模型。图17为描绘了模拟沿着对称平面P_s平分的并具有在中心线C₀处注入的入口1614’的完整裂缝域的对称一半(x＞0)的2-D计算域的示意图1700。入口1614’的几何特征具有尺寸Ly＝290’及Lx＝145’，而且具有垂直方向上100个单元且水平方向上50个单元的网格。L_x＝圆形入口1714’的半径r。

在这些情况中，将入口1614’处的裂缝在t＝0时用低粘度牛顿流体(例如，表1中的流体0)填充，并将各种牛顿流体和非牛顿流体(例如，表1中的流体1至3)以5桶每分钟(对应于完整裂缝中的10桶每分钟)在左侧边缘的中心C₀处注入。为了避免单个单元之中极其高的压力(以及任何相关的收敛问题)，将流体注入到宽3个单元的网格的区域中。

图18.1至18.3分别描绘了对流体1至3中的每一个进行模拟的三个图1800.1至1800.3，其中所述流体流经了图17中的经平分的入口1614’。三种流体1至3的每一个都流出200秒，所形成的流体前缘如图18.1至18.3中所示显示出杰出的对称性。这些图示出了表1中注入流体200秒时的2-D模拟结果。

为了进行比较，将采纳小节2.3.1中所述的算法的1-D模拟应用于相同的问题。图19.1至19.3描绘了压力p(y轴)对半径r(x轴)的图1900.1至1900.3。这些图1900.1至1900.3分别绘出了示出了沿着0°、45°和90°方向注入表1中的流体1-3的1-D模拟结果与2-D模拟结果的比较的线(请参见图17)。随着模拟逼近注入器，模拟捕捉住了压力场不同程度的奇异行为。此外，沿着始于注入器的三个不同的线所报道的压力场之间存在最小差值。

III.预测在正常应力下的裂缝的非线性变形和水力导流能力

这个部分III提供了生成支撑剂参数256的方法的另一种版本2056。如图20的流程图中所示，方法2056包括与之前描述的相同的特征260、262、266、268和269。在这个版本中，已对使用线性凹凸体模型(请参见，例如，图5.1和5.2)预测在规定的闭合应力下的开度变化264进行修正来使用非线性变形预测开度变化2064。方法2064可包括使用非线性变形预测开度变化和导流能力，并可使用数值预测和/或分析方式来执行。

数值预测可以通过使用包括开度变化的空间分布的数值模型而进行。所述预测可以用于预测应力下裂缝闭合和水力导流能力的演变。解析预测也可以通过以下方式完成：通过或者天然机理(粗糙度)或者人工机理(例如，支撑剂)而保持裂缝的开口变形(open deformation)和导流能力。

解析方式试图定义出裂缝中通道的连接结构的几何特征，同时为了裂缝闭合和裂缝导流能力提供有效的解。此外，解析方式试图捕捉因为使裂缝保持打开的材料的加强以及通道之中额外接触点的发展引起的非线性效果。

裂缝导流能力可以按前述方式确定，和/或如下面的IV部分进一步所描述述的方式确定266。这个方法可以按前述方式证实(验证)，或者如以下V部分进一步所描述的方式证实(验证)269。证实269可以包括，例如，与数值解和解析解比较以证明良好的多线程(multi-threaded)性能。

如本文中所述，凹凸体的非线性加强例如会俘获支撑剂材料的充填量并大力地顺应非线性柱体本构律；通过使用两个半空间之间的柱体和通道的计算框架可以考虑所述凹凸体的非线性加强。

提供了用于预测或者天然支撑裂缝或者人工支撑裂缝的变形和导流能力的精确又有效的数值模型的研究进展。这通过杠杆调节(leverage)在裂缝之中的柱体/通道的两种内部表示而获得：1)用于流动模拟的精细网格，以避免通道的伪形成或者毁坏；及2)简化的圆柱形柱体，以有效地预测开度的力学变化。

变形模型预测了因为柱体之间的通道中夹点的发展而引起的裂缝开度的减小以及应力的非线性再分布。变形模型通过简化至裂缝几何特征的快速求解以及通过减少所需迭代数量的预处理的应用而实现了快速求解。裂缝导流能力可以使用具有根据力学模型的结果所规定的开度变化的原始开度分布在笛卡尔网格上计算。

实例表示出了与解析结果和另一种模拟器相比的代码的行为的证实。该方法的实施可以允许对在许多裂缝中的几百个柱体/通道在几秒中进行模拟。与高保真模型的比较意味着非线性扩展模型预测了在5至10％之内的平均开度，以及系数为2至4之内的导流能力。非线性扩展模型可以用于提供效率，并便于更广泛的参数研究。也可以提供在包括潜在的柱体扩展的裂缝中柱体的本构模型中的非线性特性。该方法的未来应用可以考虑因由弱支撑剂柱体的扩展和填充、以及松软地层之中的支撑剂嵌入而引起的非线性特性。

3.1介绍

应力下裂缝的水力导流能力可能对于一个范围内的应用来说是受关注的。例如，在地热背景中，可以预测天然裂缝和水力引发裂缝于一定深度处的变形状态和相关水力导流能力。预测的实例在以下文献中提供：R.Jung，Goodbye or Back toThe Future，在Effective And Sustainable Hydraulic Fracturing中，Proceedings of theInternational Conference For Effective and Sustainable Hydraulic Fracturing，(HF2013)，科技版(In Tech)，第95至121页，布里斯班，澳大利亚，五月20至22日(2013)，在此该文献的全部内容通过援引加入的方式纳入本文。

在储气的情况下，天然裂缝中的矿物沉降和溶解与演化中的有效应力状态一起可能会引起潜在泄漏路径的导流能力的改变。请参见，例如，J.P.Morris，J.W.Johnson，Predicting The Long-Term Evolution Of Fracture Transport Properties in Co2Sequestration Systems，US Rock Mechanics/Geomechanics Symposium，，ARMA第11-399页，六月26至29日，旧金山(2011)(在本文中被称为“Morris(2011)”)，在此该文献的全部内容通过援引加入的方式纳入本文。

此外，可以将人工成分(例如支撑剂)引入到水力裂缝中以在应力下保持导流能力。请参见，例如，L.R.Kern，T.K.Perkins，R.E.Wyant，The Mechanics Of SandMovement In Fracturing，Transactions of the American Institute of Mining andMetallurgical Engineers 216 403-405(1959)；以及C.Montgomery，Fracturing Fluids，Proceedings Of The Int’l Conf.For Effective And Sustainable Hydraulic Fracturing(HF2013)，InTech，第3-24页，布里斯班，澳大利亚，五月20至22日(2013)，在此所述文献的全部内容通过援引加入的方式纳入本文。

另外，一些种类的支撑剂布置技术可包括尝试促使支撑剂设置的不均匀性以在已支撑的裂缝之中形成敞喷通道(open flow channel)(不均匀支撑剂布置)。请参见，例如，A.Medvedev，K.Yudina，M.K.Panga，C.C.Kraemer，A.Pena，On TheMechanisms Of Channel Fracturing，SPE 163836；以及J.P.Morris，N.Chugunov，GMeouchy，Understanding Heterogeneously Propped Hydraulic Fractures ThroughCombined Fluid Mechanics，Geomechanics，And Statistical Analysis，48th U.S.RockMechanics/Geomechanics Symposium，明尼阿波利斯，第2014-7408页，六月1至4日，(2014)(本文中被称为“Morris(2014)”)，在此该文献的全部内容通过援引加入的方式纳入本文。

无论是天然裂缝还是工程裂缝，裂缝的导流能力均可以通过或者因开度的空间分布(天然裂缝的情况下)或者因支撑剂分布的不均匀性(在水力压裂期间支撑剂布置的情况下)而引起的裂缝中的诱导通道化而控制。例如，实验研究和模型建立研究都表明，单独的天然裂缝在应力下呈现出通道网络的演化。请参见：L.J.Pyrak-Nolte，L.R.Myer，N.G W.Cook，P.A.Witherspoon，Hydraulic AndMechanical Properties Of Natural Fractures In Low Permeability Rock，G Herget，S.Vongpaisal(编辑)，Proceedings of the Sixth International Congress on Rock Mechanics，鹿特丹：Balkema，1987，第225至231页，蒙特利尔，加拿大，1987年8月；以及L.Pyrak-Nolte，J.Morris，Single fractures under normal stress：The relation between fracturespecific stiffness and fluid flow，Int’l Jnl.of Rock Mechanics and Mining Sciences，37，第245至262页(2000)(本文中被称为“Purak-Nolte(2000)”)，在此所述文献的全部内容通过援引加入的方式纳入本文。

在可变开度裂缝中反应性迁移的观察也可以表示溶解引起的开度变化可以形成控制裂缝导流能力的通道。请参见，例如，R.L.Detwiler，R.J.Glass，W.L.Bourcier，Experimental Observations Of Fracture Dissolution：The Role Of Pecler Number OnEvolving Aperture Variability，Geophys.Res.Lett，30(12)1648(2003)，在此所述文献的全部内容通过援引加入的方式纳入本文。泵送参数可控制支撑剂填充层之中通道的是否存在，该支撑剂填充层控制了不均匀支撑剂布置技术的实施。请参见，Morris(2011)。

通过将裂缝中材料的空间分布考虑在内，可针对裂缝的详细变形求解。在某些情况下，可以考虑具有由接触点的空间分布所隔开的两个平行半空间的裂缝。请参见，例如，J.A.Greenwood，J.B.P.Williamson，Contact Of Nominally Flat Surfaces，Proceedings of the Royal Society of London.Series A，Mathematical and PhysicalSciences 295(1442)(1966)300-319；以及S.Brown，C.Scholz，Closure Of RandomElastic Surfaces In Contact，Jnl.Of Geophysical Research-Solid Earth And Planets 905531-5545(1985)，在此所述文献的全部内容通过援引加入的方式纳入本文。

在某些情况下，可以通过使得每一个半空间在柱体周围变形，对作为可变形柱体并包括所述柱体之间的相互作用的接触区域进行处理。请参见，例如，D.L.Hopkins，The Effect Of Surface Roughness on Joint Stiffness，Aperture，And AcousticWave Propagation，博士论文，加州大学贝克利分校(University of California atBerkeley)(1990)(本文中被称为“Hopkins(1990)”)，在此所述文献的全部内容通过援引加入的方式纳入本文。

该解也可以包括，考虑小接触元素(被称为凹凸体)的规则网格以及采用快速多极方法。请参见，例如，Purak-Nolte(2000)。边界元素的组合可用于利用凹凸体力学模型而模拟岩石矩阵变形，以捕捉柱体和通道的任意组合的详细几何特征和力学响应。请参见，例如，Purak-Nolte(2000)和Morris(2011)。也可以考虑柱体的变形(请参见，例如，Morris(2011))和裂缝中支撑剂的不均匀设置(Morris(2014))。

可变开度裂缝之中的天然通道的变形可以使用凹凸体模型来预测。请参见，例如，Pyrak-Nolte(2000)。在某些情况下，当考虑了高度子离散化的柱体/通道的时候，模拟可以包括广泛的计算需求。在某些情况下，模拟可以在柱体和伴生通道的数量保持较小的情况下具有提高的计算效率。请参见，例如，Hopkins(1990)。可能会将额外的计算负担强加到包括使用大量凹凸体来子离散单独的物理柱体和通道的方法中。更多的柱体和通道可能会导致提高的模型可靠度。在某些情况下，如果，用于裂缝的离散化的表示太粗糙，则流场的连接性可以因数值人工制品的附带引入而改变，其中这些制品从模型中或者形成或者移除通道。因为通道是否存在可能会影响水力导流能力，所以流体几何特征的变化可能会影响裂缝中所预测的流场。

为了提供在所增加的计算负担和分辨率需求之间的平衡，可使用非线性扩展方式。当分辨率提高时，地质力学计算可使用大部分的计算工作，且针对精确的导流能力计算而可能需要所提高的分辨率。混合方式包括在相对较为粗糙的网格上求解地质力学变形，而导流能力则使用更为精细的离散化来计算。混合方式寻求遵守裂缝(或者天然裂缝或者人工裂缝)中通道的几何特征和连接性；而因应力而引起的开度变化也包括在内，从而使得对于相同数量的计算工作，更多的通道可以包含在单个计算中。

可以使用包括凹凸体的线性弹性本构响应的凹凸体模型。请参见，例如，Pyrak-Nolte(2000)、Morris(2011)和Morris(2014)。可以提供模型的扩展以允许出现弹性、完美塑性行为和/或以解决材料失效的问题。请参见：P.Ameli，J.E.Elkhoury，J.P.Morris，R.L.Detwiler，Fracture Permeability Alteration Due to ChemicalAnd Mechanical Processes：aCoupled Highresolution Model，Rock Mech Rock Eng.，DOI 10.1007/s00603-014-0575-z(2014)；以及E.A.Ejofodomi，G Cavazzoli，J.Morris，R.Prioul，Application Of Channel Fracturing In The Vaca Muerta Shale Formation，SPELatin American and Caribbean Petroleum Engr.Conf.，第169383-MS页，马拉开波，委内瑞拉，5月21至23日(2014)，在此所述文献的全部内容通过援引加入的方式纳入本文。

3.1.1非线性扩展方法

该非线性扩展方法可与图5.2中的非线性方法相似，除了图20中的方法提供了关于非线性变形的更多细节。如以下小节中所述的，使用非线性变形预测开度变化和导流能力2064包括将柱体/通道几何特征转化为简化的逼近2066，例如圆柱形柱体或者圆柱形表示(请参见小节4.3)，以及确定裂缝变形2068(请参见小节4.4)。

转化2066可使用包括柱体几何特征的力学方式或者使用包括圆柱形逼近在笛卡尔网格上的投射的解析方式来执行。确定2068可以通过以下方式执行：基于柱状柱体而生成变形2068.1(请参见小节3.4.1)，线性化柱状柱体的变形的部分2068.2(请参见小节3.4.2)，会集柱状柱体的响应的线性系统2068.3(请参见小节3.4.3)，以及考虑夹点2068.4(请参见小节3.4.4)。然后可确定裂缝导流能力266(请参见IV部分)。对于额外的夹点，可以对线性化2068.2、会集2068.3以及求解2068.4进行重复。

对于具有局部坐标系统x，y的裂缝(跨度为0≤x≤L_x且0≤y≤L_y)，认定提供了表征粗糙裂缝的可变地形或者裂缝中支撑剂的已填充的空间分布的柱体/通道的详细几何特征(请参见，例如，图7.1和7.2)。出于加速地质力学计算的目的，该方法逼近具有较少数目的粗糙的柱状柱体的详细柱体几何特征。更高保真度笛卡尔网格可用于确定导流能力(请参见下文IV部分)。

该方法通过逐渐增加应力到裂缝以平滑接近所需的应力水平而实施。在每一个应力增加之中，对评估(由方程的非线性系统表示的)进行线性化(请参见小节3.4.2)，以获得线性系统的迭代解，并辨识出接触点(“夹点”)(请参见下文小节3.4.4)。在达到目标应力状态之后，计算最终的裂缝开度和导流能力(请参见下文IV部分)。

3.2由笛卡尔网格转换为圆柱形表示

导流能力预测的精确性取决于在支撑剂的不均匀分布之中是否存在通道或者天然粗糙度。为了加速地质力学计算，使用了相对较少的、简单的计算元素(圆柱形柱体)。在逼近具有较粗糙圆柱体的通道几何特征的过程中，可引入或者移除伪通道。

图21和22为描绘分别缺少通道或者加入通道的模型2100.1和2100.2的示意图。这些图呈现了其中转换为柱体可能会在导流能力评估中引入误差的两种方案。在图21的实例中，初始柱体几何特征包括含有窄通道2104.1的柱体2102.1，其中在转换为圆柱形表示2102.1’中移除所述窄通道。

在图21的实例中，初始柱体几何特征包括两个相邻柱体2102.1，其具有跨越柱体之间的间隙的材料颈部(neck)2104.2。转换为圆柱形逼近2102.2’从间隙中移除了材料2104.2，从而形成伪通道。

跨越裂缝的流量网络之中的变化可能会引起导流能力预测发生很多个数量级的改变。为了避免在导流能力计算中伪形成或者移除通道，利用裂缝之中材料的分布的表示。

图22为描绘了使用柱体/通道的多个内部表示的模型的示意图。提供了真实的(任意的)支撑剂柱体形状2206。生成利用柱体2208.1的逼近以及在笛卡尔(流量)网格上的投射2208.2。圆柱形逼近2208.1可以是快速地质力学表示。投射2208.2可以为遵从(honor)几何特征和/或通道的导流能力表示。

多种内部表示包括对关于柱体/通道几何特征(即柱状)的假设进行简化以获得快速解的力学表示，以及使用笛卡尔网格以对于导流能力计算而言尽可能精确地捕捉柱体/通道的几何特征的解析表示。力学表示可以包括对关于柱体空间分布和其几何特征的假设进行简化以获得快速解。解析表示可以使用更为细的网格来对于导流能力计算而言尽可能精确地捕捉通道几何特征。

如箭头2210所示，可以将开度变化从地质力学表示2208.1连通(communicate)到笛卡尔网格2208.2。可以将通过地质力学计算而预测的开度变化如示意图23中所示的连通到笛卡尔网格上。笛卡尔网格2202限定了多个矩形(被称为单元)，其中每一个矩形具有宽度Δx和长度Δy。网格的总体尺寸为L_x乘以L_y，每个单元具有压力p_ij且通量q^x _ij和q^y _ij。如图23中所示，笛卡尔网格2208.2可用于计算流体流动。压力p_ij为单元格居中(cell-centered)，而通量q^x _ij和q^y _ij为表面居中(face-centered)。以这种方式，可以在没有将变化引入通道连接性的情况下预测机械变形。

3.3裂缝变形的预测

裂缝变形2068可以使用与图5.2的方法有关描述的技术来执行。例如，裂缝变形2068可以包括确定与所施加的应力一致的柱体和半空间变形，和/或其扩展582。

3.3.1圆柱形柱体的变形模型

可以认为，详细的通道分布已经通过个裂缝中的给定数量的具有位置(x_I，y_I)和初始半径(α⁰ _I)的柱体来逼近(例如，作为输入或者通过从详细的几何特征转换而直接提供的)。可考虑这组柱体对规定的应力的线性响应。请参见，例如，Hopkins(1990)。也可以考虑包括柱体的非线性变形的更为一般化的方式。

在如图23中所示尺寸L_x和L_y的裂缝具有规定的闭合应力σ_n的情况下，可以预测所形成的裂缝表面和柱体变形。施加到裂缝的总法向力F_n可如下提供：

F_n＝σ_nL_xL_y  (53)

每一个柱体I承载了力的一个部分f_I，从而使得：

Σ_If_I＝Fn  (54)

可对周围地层用两个半空间建模。也认定了柱体和地层均可以非线性变形以捕捉弹性效果和塑性效果的结合。为了简化计算，认定将地层中的那个非线性效果局部化到可以与裂缝的初始开度相当的区域。结果，柱体之间的远场相互作用可以具有线性弹性。可以将柱体I处地层的局部非线性变形以及柱体I本身的变形集总到柱体l_I的变形高度中。柱体的高度l_I和半径α_I可以是如下的柱体所承载的力的函数：

l_I＝l_I(f_I)  (55)

α_I＝α_I(f_I)  (56)

这些函数对于每个柱体而言可以是不同，因为裂缝之中的或者柱体高度或者材料不均匀性发生变化。

在闭合应力下，每一个单独柱体l_I的平均变形高度可以与柱体位置处裂缝的平均开度是一致的。这可以通过位移一致性方程的系统表示如下：

$D+{\mathrm{\&Sigma;}}_J{w}_{\mathrm{IJ}}=l_I,\&ForAll;i---\left(57\right)$

其中局部开度是未受干扰半空间间隙D和因为来自所有柱体的施力而引起的对局部变形的贡献的总和。数量D是在不存在任何柱体以将其保持分开的情况下弹性半度空间的分离。随着D减小，对柱体上所诱发的力增加。需找到会在裂缝中诱发规定的应力水平的D值。

采取对柱体的潜在非线性行为建模的l_I(f_I)的函数形式。这个项也可包括由柱体下地层的局部非弹性变形所引起的非线性特性。认定影响项w_IJ使用半空间的变形的弹性解来逼近。自影响项w_II表示由于凹凸体I下的力分布而引起的平均的额外开度。平均变形对施加到柱体上的总力f_I和该力穿过柱体表面的空间分布是敏感的。

在具有均匀应力分布的圆下的平均位移表示如下：

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_I^S=\frac{16}{{3\mathrm{\&pi;}}^2}\frac{(1-v^2)}{{\mathrm{Ea}}_I}{f}_I---\left(58\right)$

其中E为杨氏模量且v为泊松比。在刚性圆形凸模(punch)下的平均位移提供如下：

${\stackrel{\&OverBar;}{u}}_I^U=\frac{1}{2}\frac{(1-v^2)}{{\mathrm{Ea}}_I}{f}_I---\left(59\right)$

请参见：K.Johnson，Contact Mechanics，2003年版，第九次印刷，剑桥大学出版社，1985(本文中被称为“Johnson(1985)”)。

由于两个表面的平移所引起的开度变化为单个表面的平移的两倍，并可将其写为如下：

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{II}}=\mathrm{\&beta;}\frac{(1-v^2)}{E{a}_I}{f}_I---\left(60\right)$

其中在刚性柱体的情况下β为l，在柱体的均匀加载的情况下β为32/3π²≈1.081。除非另有表示，β＝1。

在I≠J的情况下，也可以提供w_IJ的逼近。因为在每一个柱体下应力的精确分布的细节是不需要的，所以可使用在由其所产生的因集中载荷而引起的柱体的足迹之外的逼近偏斜。因集中正常载荷引起的弹性半度空间的偏斜f_J被如下提供：

$u_z\left(r\right)=\frac{f_J}{4\mathrm{\&pi;G}}\frac{2(1-v)}{r}=\frac{(1-v^2)}{\mathrm{\&pi;Er}}{f}_J---\left(61\right)$

其中G为地层的剪切模量。请参见Johnson(1985)。结果，w_IJ可使用在柱体I的位置处因集中正常载荷引起的两个半空间的偏斜f_J的总和用下式来逼近：

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{IJ}}=\frac{2(1-v^2)}{\mathrm{\&pi;}{\mathrm{Er}}_{\mathrm{IJ}}}{f}_J,$ 而I≠J  (62)

其中

${\mathrm{\&tau;}}_{\mathrm{IJ}}=\sqrt{{(x_I-x_J)}^2+\left({(y_{1I}-y_J)}^2\right)}---\left(63\right)$

注意方程(62)与Pyrak-Nolte(2000)所报道的方程中的远场影响相同：

w_IJ＝W_IJf_J  (64)

其中

平移一致性方程(57)变为：

$D+{\mathrm{\&Sigma;}}_J{W}_{\mathrm{IJ}}{f}_J=l_I\left(f_I\right),\&ForAll;I---\left(66\right)$

受到如方程(54)所描述的对总应力的限制。方程(66)在f_J中是潜在的非线性，这取决于l_I的函数形式。此外，W_II项包括α_I，其也可以是f_I的函数。

3.3.2L和F/A的函数形式的线性化

方程(66)右手侧的l_I项、以及w_II中的f_I/α_I项隐含地引入了f_I。结果，l_I和f_I/α_I可以扩展如下：

$l_I=l_I^0+C_{\mathrm{lI}}(f_I-f_I^0)---\left(67\right)$

$\frac{f_I}{{\mathrm{\&alpha;}}_I}=\frac{f_I^0}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^0}+C_{f{\mathrm{\&alpha;}}_I}(f_I-f_I^0)---\left(68\right)$

C_II为捕捉了柱体宽度变化与应力的线性相关的常数，且上标0指的是一些参比状态。C_fal是可以使用α_I的起始斜率通过f_I/α_I的扩展而获得的常数。可将其如下改写：

$\begin{array}{c}\frac{f_I}{{\mathrm{\&alpha;}}_I}=\frac{f_I^o+{\mathrm{\&Delta;f}}_I}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o+{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_I}\\ =\frac{f_I^o}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}\frac{1+\frac{\mathrm{\&Delta;}{f}_I}{f_I^o}}{1+\frac{{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_I}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}}\\ \&ap;\frac{f_I^o}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}(1+\frac{{\mathrm{\&Delta;f}}_I}{f_I^o})(1-\frac{{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_I}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o})\\ \&ap;\frac{f_I^o}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}(1+\frac{{\mathrm{\&Delta;f}}_I}{f_I^o}-\frac{{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_I}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o})\\ \&ap;\frac{f_I^o}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}+\frac{{\mathrm{\&Delta;f}}_I}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}-\frac{f_I^o}{{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}^2}{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_I\\ \&ap;\frac{f_I^o}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}+\frac{{\mathrm{\&Delta;f}}_I}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}-\frac{f_I^o}{{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}^2}\frac{{\mathrm{d\&alpha;}}_I}{\mathrm{df}}{|}_{f=f_I^0}\\ \&ap;\frac{f_I^o}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}+{\mathrm{\&Delta;f}}_I(\frac{1}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}-\frac{f_I^o}{{{\mathrm{\&alpha;}}_I^o}^2}\frac{{\mathrm{d\&alpha;}}_I}{\mathrm{df}}{|}_{f=f_I^o})\end{array}---\left(69\right)$

且，与方程(68)的比较提供了下式：

$C_{{\mathrm{fa}}_I}\&ap;\frac{1}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^0}(1-\frac{f_I^0\frac{\mathrm{daI}}{\mathrm{df}}{|}_{f=f_I^o}}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^0})---\left(70\right)$

其中α_I的起始斜率可以借助实验或者一些其它分析而获得。在经常认定的线性弹性情况下，柱体可不散开；结果，da/df＝0，且C_faI＝1/α⁰ _I。可将方程(66)改写为：

$\begin{array}{c}D+\underset{J\&NotEqual;I}{\mathrm{\&Sigma;}}{W}_{\mathrm{IJ}}{f}_J\\ -\mathrm{\&beta;}\frac{(1-v^2)}{E}\{\frac{f_I^0}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^0}+C_{{\mathrm{fa}}_I}(f_I-f_I^0)\}\\ =l_I^0+C_{\mathrm{lI}}(f_I-f_I^0)\end{array}---\left(71\right)$

力变化的解和远场平移可以迭代地考虑如下：

ΔD＝D-Ｄ⁰(72)

${\mathrm{\&Delta;f}}_I=f_I^0---\left(73\right)$

在渐增的应力下，上标0指由前一个应力状态求得的解，方程(66)可以改写为：

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;D}+\underset{J\&NotEqual;I}{\mathrm{\&Sigma;}}{W}_{\mathrm{IJ}}{\mathrm{\&Delta;f}}_J+\{\mathrm{\&beta;}\frac{(1-v^2)}{E}{C}_{{\mathrm{fa}}_I}-C_{\mathrm{lI}}\}{\mathrm{\&Delta;f}}_I|\\ =l_I^0-D^0-\mathrm{\&beta;}\frac{(1-v^2)}{E}\frac{f_I^0}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^0}-\underset{J\&NotEqual;I}{\mathrm{\&Sigma;}}{W}_{\mathrm{IJ}}{f}_J^0\end{array}---\left(74\right)$

结果，可以对线性系统如下求解：

$\underset{I}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Delta;f}}_I={\mathrm{\&Delta;F}}_n---\left(75\right)$

$\underset{J}{\mathrm{\&Sigma;}}{B}_{\mathrm{IJ}}{\mathrm{\&Delta;f}}_J+\mathrm{\&Delta;D}=c_I---\left(76\right)$

对于未知的Δf_I和ΔD，其中：

且

$c_I=l_I^0-D^0-\mathrm{\&beta;}\frac{(1-v^3)}{E}\frac{f_I^0}{{\mathrm{\&alpha;}}_I^0}-\underset{J\&NotEqual;I}{\mathrm{\&Sigma;}}{W}_{\mathrm{IJ}}{f}_J^0---\left(78\right)$

在线性弹性柱体的情况下，可以将C_II关联回到柱体的纵向模量M_I。M的定义提供如下：

σ_nI＝M_I∈_nI  (79)

其中，

${\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{nJ}}=\frac{f_I}{{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_J^2}---\left(80\right)$

${\&Element;}_{\mathrm{nI}}=\frac{l_I^0-l_I}{l_I^0}---\left(81\right)$

结合这些方程则提供了下式：

$l_I^0-l_I=l_I^0{\&Element;}_{\mathrm{nI}}=l_I^0\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{nI}}}{M_I}=\frac{l_I^0}{M_I{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_I^2}{f}_I---\left(82\right)$

且，与方程(67)比较则提供了下式：

$C_{\mathrm{lI}}=-\frac{l_I^0}{M_I{\mathrm{\&pi;\&alpha;}}_I^2}---\left(83\right)$

特别是在线性弹性柱体的情况下。本文中所提供的方法保持了广义，且考虑了非线性情况。

3.3.3求解线性化系统

在每一个非线性应力增加步骤之中，通过以下方式提供迭代解：利用来自前一个非线性步骤的解作为每一个后续迭代解的初始猜测。方程(76)所描述的方程的系统可以考虑浓度，并具有减少的调节。可对这个方程进行归一化，从而使得所有的代入项都为相近的数量级。假定提供了n个柱体(将其编号为0到n-1)，那么n+1个联立方程如下生成：

$\underset{f=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_{\mathrm{IJ}}{x}_J=b_I---\left(84\right)$

其中限定了以下：

x₀＝ΔD  (85)

X_I＝Δf_I-1/C，而I＝1，……，n  (86)

其中

$c=\frac{n}{{\mathrm{\&Sigma;}}_{I=0}^{n-1}{B}_{\mathrm{II}}}---\left(87\right)$

且

b_I＝c_I+1，而I＝0，……，(n-1)  (88)

b_n＝F_n/C  (89)

以及

A_I0＝1，而I＝0，……，(n-1)  (90)

A_I(J+1)＝CB_IJ，而I＝0，……，(n-1)，J＝0，……，(n-1)  (91)

A_n0＝0，  (92)

A_n(J+1)＝1，而J＝0，……，(n-1)  (93)

以这种方式，线性方程中的每一条线中主项的数量级可以是1。实际上，自贡献B_II比代表柱体之间的交叉相互作用的其它B_IJ要大。

例如，如果所有柱体具有相同性能，那么CB_II＝1。如果其它CB_IJ输入项用□表示，则在下面的位置处具有一(1s)的以下矩阵提供为：

$A=\left|\begin{array}{ccccccc}1& 1& \&Element;& \&Element;& ...& \&Element;& \&Element;\\ 1& \&Element;& 1& \&Element;& ...& \&Element;& \&Element;\\ 1& \&Element;& \&Element;& 1& ...& \&Element;& \&Element;\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ 1& \&Element;& \&Element;& \&Element;& ...& \&Element;& 1\\ 0& 1& 1& 1& ...& 1& 1\end{array}\right|---\left(94\right)$

通过用于力平衡的额外方程所引入的不对称性导致矩阵具有有限的调节。结果，研法了适宜的预处理算法P，从而使得P^-1A具有比A低的条件数。因为所述项较小，所以预处理算法通过如下选择而获得：

$P=\left|\begin{array}{ccccccc}1& 1& 0& 0& ...& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& ...& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1& ...& 0& 0\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ 1& 0& 0& 0& ...& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& ...& 1& 1\end{array}\right|---\left(95\right)$

对应的反演如下为：

$\begin{array}{c}{P}^{-1}=\\ \left|\begin{array}{ccccccc}1/n& 1/n& 1/n& ...& 1/n& 1/n& -1/n\\ (n-1)/n& -1/n& -1/n& ...& -1/n& -1/n& 1/n\\ -1/n& (n-1)/n& -1/n& ...& -1/n& -1/n& 1/n\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .& .\\ -1/n& -1/n& -1/n& ...& (1-n)/n& -1/n& 1/n\\ -1/n& -1/n& -1/n& ...& -1/n& (n-1)/n& 1/n\end{array}\right|\end{array}---\left(96\right)$

对于经预处理的系统的迭代解可以使用稳定双共轭梯度法如下提供：

P^-1A＝P^-1b  (97)。

请参见，例如，H.A.van der Vorst，Bi-cgstab：A Fast And Smoothly ConvergingVariant of Bi-Cg For The Solution Of Nonsymmetric Linear Systems，SIAM J.Sci.Stat.Comput.13(2)631644，doi：10.1137/0913035(1992)，在此将其全部内容通过援引加入的方式纳入本文。

3.3.4夹点算法

夹点可以通过使用针对图5.2中所描述的技术和/或如在本小节中所进一步描述的增加。对于检测到的每一个增加的夹点，可以对图5.2的方法256和/或图20的方法2056中的一些部分进行重复。

当施加到裂缝中通道的应力增加时，开放通道之中的裂缝表面可能在“夹点”处发生接触。这种夹点的存在可能会减小裂缝中的导流能力。这样的夹点也可以承载应力，从而产生非线性特性。如果忽略不计掉夹点所承载的应力，则只有柱体承受载荷，并且通道可能会过早关闭。在高应力水平下，总载荷的部分可能被所述夹点承载。结果，忽略不计夹点力学的方法可能会低估受应力裂缝的导流能力。

夹点力学可通过作为虚拟柱体处理而调整，其中所述虚拟柱体如果在其位置点处检测到接触则将其引入应力计算之中。在计算初始，规则网格上待检测的潜在夹点可以辨识出来。夹点之间的间隔可以基于圆柱体的尺寸(如，平均每个柱体尺寸为5个夹点的跨度)自动选择。恰好落入现有柱体之中的任意候选夹点可从列表上删除。夹点力学可包括形成夹点列表，增量地提供应力，利用夹点列表确定变形2068，调整(如，增加/移除)夹点，移除被发现处于拉深状态的任意夹点，从最大到最小将重叠点列表归类，在重叠点处将未知的一个部分以最大重叠到最小重叠的顺序增加到夹点列表中，重复增量地提供应力，直到目标应力水平达到。夹点力学通过针对每一夹点进行重复线性化2068.2，会集2068.3，以及求解2068.4(参见，例如上述小节3.4.2)。

IV.确定裂缝导流能力

裂缝导流能力可以根据图2-6所描述的方式确定266。这些方式包括获得变形施主状态(l_I，α_I，f_I)，以及裂缝之中成组任意点处引起的变形裂缝开度。确定变形裂缝(图20)水力导流能力266的手段也可以包括使用完全3-D的数字技术来求解裂缝中的流量。在需要降低计算成本的情况下，裂缝之中的润滑逼近以及2-D数字解的减少维度可移植性。请参见，例如，Pyrak-Nolte(2000)和上面的小节3.4.3。

笛卡尔网格(见图23)中的压力p_ij是单元居中形式的，并使用i和j来进行指数化：

$p(x=[i+\frac{1}{2}]\mathrm{\&Delta;x},y=[j+\frac{1}{2}\left]{\mathrm{\&Delta;}}_y\right)=p_{\mathrm{ij}}---\left(98\right)$

单元i，j往右和往上的体积通量(单位时间的体积单位)被限定在单元的表面上(见图23)，并分别用q^x _ij和q^y _ij表示。

孔隙压力场的解可以通过获取裂缝之中的流体质量的守恒而获得，同时液流在入口和出口压力边界条件之间引入。进入单元i，j的总体积通量可以写为：

$Q_{\mathrm{ij}}=q_{i-1j}^x-q_{\mathrm{ij}}^x+q_{\mathrm{ij}-1}^y-q_{\mathrm{ij}}^y---\left(99\right)$

通量可以通过局部导流能力而获得，从而将压力降与引入的通量关联为：

$q_{\mathrm{ij}}^x=c_{\mathrm{ij}}^x(p_{\mathrm{ij}}-p_{i+1j})---\left(100\right)$

$q_{\mathrm{ij}}^y=c_{\mathrm{ij}}^y(p_{\mathrm{ij}}-p_{\mathrm{ij}+1})---\left(101\right)$

其中导流能力，c^x _ij和c^y _ij取决于是什么占据在所讨论的单元之中。在单元位于打开的通道之中的情况下，导流能力，被用来逼近两个平面之间的流量。如果该单元位于支撑柱体之中，其作为多孔介质而处理，且导流能力利用达西定律来计算。如果柱体为固体岩石，单元被认为是随机地具有低渗透率。请参见，例如，Morris(2014)。导流能力使用通过那些表面来链接的单元其开度平均值：

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}^x=\frac{{2\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\&omega;}}_{i+1j}}{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&omega;}}_{i+1j}}---\left(102\right)$

${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}^y=\frac{{2\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}+1}}{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}+1}}---\left(103\right)$

打开单元中的导流能力通过下面的立方定律计算：

$c_{\mathrm{ij}}^x=\mathrm{\&Delta;y}\frac{{\left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}^x\right)}^3}{12\mathrm{\&mu;}}\frac{1}{\mathrm{\&Delta;x}}---\left(104\right)$

$c_{\mathrm{ij}}^y=\mathrm{\&Delta;x}\frac{{\left({\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}^y\right)}^3}{12\mathrm{\&mu;}}\frac{1}{\mathrm{\&Delta;y}}---\left(105\right)$

同样地，柱体之中的单元，两个单元之间所使用的平均渗透率提供如下：

$k_{\mathrm{ij}}^x=\frac{{2k}_{\mathrm{ij}}{k}_{i+1j}}{k_{\mathrm{ij}}+k_{i+1j}}---\left(106\right)$

$k_{\mathrm{ij}}^y=\frac{{2k}_{\mathrm{ij}}{k}_{\mathrm{ij}+1}}{k_{\mathrm{ij}}+k_{\mathrm{ij}+1}}---\left(107\right)$

且针对填充材料使用达西定律来计算如下：

$c_{\mathrm{ij}}^x=\mathrm{\&Delta;y}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}^x\frac{k_{\mathrm{ij}}^x}{\mathrm{\&mu;}}\frac{1}{\mathrm{\&Delta;x}}---\left(108\right)$

$c_{\mathrm{ij}}^y=\mathrm{\&Delta;x}{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ij}}^y\frac{k_{\mathrm{ij}}^y}{\mathrm{\&mu;}}\frac{1}{\mathrm{\&Delta;y}}---\left(109\right)$

对于每一非边界条件单元，通过获取质量守恒的压力场单元可以获得为：

Q_ij＝0(110)

替换单元正面流通量提供为：

$q_{i-1j}^x-q_{\mathrm{ij}}^x+q_{\mathrm{ij}-1}^y-q_{\mathrm{ij}=0}^y---\left(111\right)$

并根据正面导流能力和压力降表达流通量为：

$\begin{array}{c}{c}_{i-1j}^x(p_{i-1j}-p_{\mathrm{ij}})-c_{\mathrm{ij}}^x(p_{\mathrm{ij}}-p_{i+1j})+c_{\mathrm{ij}-1}^y(p_{\mathrm{ij}-1}-p_{\mathrm{ij}})\\ -c_{\mathrm{ij}}^y(p_{\mathrm{ij}}-p_{\mathrm{ij}+1})=0\end{array}---\left(112\right)$

单元i，j通量守恒的离散方程可以按如下获得：

$\begin{array}{c}{c}_{i-1j}^x{p}_{i-1j}+c_{\mathrm{ij}}^x{p}_{i+1j}+c_{\mathrm{ij}-1}^y{p}_{\mathrm{ij}-1}+c_{\mathrm{ij}}^y{p}_{\mathrm{ij}+1}\\ -(c_{i-1j}^x+c_{\mathrm{ij}}^x+c_{\mathrm{ij}-1}^y+c_{\mathrm{ij}}^y)p_{\mathrm{ij}}=0\end{array}---\left(113\right)$

为了评估x-导流能力，系统承受如下的边界条件：

$p_{0j}=\mathrm{\&Delta;p},\&ForAll;j---\left(114\right)$

$p_{\mathrm{nx}-1j}=0,\&ForAll;j---\left(115\right)$

而为了评估y-导流能力，系统承受如下的边界条件：

$p_{l0}=\mathrm{\&Delta;p},\&ForAll;i---\left(116\right)$

$p_{\mathrm{iny}-1}=0,\&ForAll;i---\left(117\right)$

将系统传送到线性优化求解程序之前，边界条件(方程(114，115)或方程(116，117))被代入方程系统(113)之中并会集到线性系统中：

Ax＝b  (118)

使用直接稀疏矩阵解算器来获得压力场。

一旦已经获得压力，p_ij，正面通量可以从(100，101)计算得到，继而总入口和出口通量也可以计算。从这些总通量，可以推出裂缝导流能力。

V.证实

证实(证实)可以参考图2-6而确定269。证实也可以利用III部分和IV部分所述的方法进行。证实269可以执行为证实所确定的裂缝导流能力266。证实也可以执行为证实模拟过程中所使用的方法。提供了证实的示例。

5.1导流能力证实

证实269可以执行为证实所确定的裂缝导流能力266。考虑了包括打开、未支撑裂缝之中的流量以及均匀支撑裂缝之中流量的这两种证实问题。裂缝可以配合近似正方形的元素。为了针对Δx6＝Δy以及Lx6＝Ly情况下测试方程的执行，考虑了具有下表2中所列性能的裂缝离散，表2包括了大高宽比区域以及异常高的长宽比计算元素。

表2

特性	值
		Lx	30m
Ly	70m
		nx	65
ny	760
		Δx	0.462m
Δy	0.0921m
		w	5mm
Δp	1Pa

表3则提供了被用来证实模型执行情况的裂缝几何特征，其针对穿过打开裂缝的流量，以及穿过均质支撑裂缝的流量。元素的长宽比特意选择为不合理地高，从而测试执行的稳健性。

5.1.1示例-通过打开通道的导流能力-流量

两个平面之间的通量可以通过下面的立方定律来提供：

$Q=W\frac{{\mathrm{\&omega;}}^3}{12\mathrm{\&mu;}}\frac{\mathrm{\&Delta;p}}{L}---\left(119\right)$

其中L和W分别为平行于以及垂直于流动方向的裂缝其长度，w为平面之间的间隙，Δp为流动方向上压力的下降，μ为流体粘度。当图20中模型被用来计算根据表2所离散的打开裂缝其导流能力的时候，使用方程(119)获得的解析结果之间的比较，可以获得为如表3所示：

表3

	数值(m3/s)	解析(m3/s)	相对误差
				Qx	2.46845×10-5	2.46853×10-5	-0.003％
Qy	4.46999×10-6	4.47017×10-5	-0.004％

表4提供了利用表3中所述离散化为两平面之间的流量求得解析解的比较。代码和解析解之间可以观察到小于0.01％的误差，意味着针对于非方形区域和非方形流量元素之间的执行时是精确的。

5.1.2实例-通过填充有可渗透材料的通道的导流能力-流量

忽略边缘效应，流经夹在两平面之间的长方体可渗透介质的通量可以为：

$Q=\mathrm{W\&omega;}=\frac{k}{\mathrm{\&mu;}}\frac{\mathrm{\&Delta;p}}{L}---\left(120\right)$

其中L和W分别为平行于以及垂直于流动方向的裂缝其长度，w为平面之间的间隙，Δp为流动方向上压力的下降，μ为流体粘度，而k为多孔介质的渗透率。

在与前一小节相似的方式下，考虑了流经相同裂缝几何特征(表3)的流量。这次，流体含有300D可渗透率材料(如，用于支撑水力裂缝的填充砂)。因为问题是线性的，可渗透率的任意有限元选择适于用来证实方程。

下表4示出了，与6个重要附图相一致的结果，这意味着即便是高长宽比元素以及计算域之时，流经多孔填充层的流量执行。

表4

	数值(m3/s)	解析(m3/s)	相对误差
				Qx	3.5082×10-9	3.5082×10-9	＜0.003％
Qy	6.35287×10-10	6.35287×10-6	＜0.003％

表4提供了使用表3中所述离散来进行两个平面之间流量的代码和解析解之间的比较，该两个平面利用300D可渗透材料(如，支撑剂)来均质支撑。

5.1.3实例-不均匀填充裂缝的导流能力-收敛

应用到裂缝之中支撑剂分均质设置的方法得以测试。多少单元需要穿过每一柱体，从而使得可以足以建立裂缝导流能力的精确预测。为了测试这个，图24.1和24.2所示的柱体设置利用跨越柱体半径α＝1的流量单元，n_α，其增加的数量来离散化。

图24.1为示意图，示出了裂缝2412.1，并显示流量收敛研究中所考虑的不均匀支撑剂设置2414.1。图24.2为示出笛卡尔网格2412.2的示意图，其示出了对应于n_α＝4的离散，其中4个单元穿过每一个柱体3414.2的半径。下表5对比了裂缝离散化范围之中所预测的导流能力。

表5

表5提供了收敛研究的结果，其针对跨越图24.1和24.2中所示半径α＝1m的柱体的增量元素来进行流量计算。

即便是相对较粗的网格(如：n_α＝4，在图24.2中右侧所示)，便获得了所考虑最高分辨率(n_α＝128)的5％之中的导流能力预测。因此，现在假设n_α＝4。

5.2通过比较进行的模型证实

证实269可以执行用来比较此处所用的不同的方法。这些证实可以包括此处提供的一个或多个模拟和/或结果的比较。

5.2.1实例-线性地质力学变形的模型比较

使用解析方法的模拟可以对比更为详细的“凹凸体”模型，其自己已经利用数字接卸解来证实。请参见，例如，Morris(2014)和pyrak-Nolte(2000)。

更高保真模型可以假定裂缝之中的特征有相同半径“凹凸体”的规则网格来表示，其具有不同高度和力学性能。这使得凹凸体模型可以离散复杂的形状。更快的模型可用于不同半径和随机位置的圆形柱体。为了辅助代码之间的直接比较，设置在具有0.5m网格间距的规则网格上的不同数量柱体可以考虑如下，其中网格在5m裂缝跨度之中，且该裂缝侧面上具有表6中性能：

表6

E	30.0e9
		v	0.25
β	1.079823
		Lx	5.0
Ly	5.0
		MI	300MPa

表6提供了用于下方第一、第二、第三种证实问题的裂缝其力学和几何特征。

β的选择可以为了配合由凹凸体模型内部假定的内容。凹凸体模型网格使用0.5m的网格尺寸，而我们的快速运行模型则使用0.282095m的柱体半径来获得具有0.5乘以0.5凹凸体的面积的柱体。

下表7示出了凹凸体模型和本文提供了三种证实问题1-3的方法之间的相对误差。

表7

凹凸体模型针对变形使用了更为精确的函数形式，而不是远场逼近。结果，靠近柱体的点处具有最大的误差。表7报道了模拟之间的相对误差，这意味着获得了小于0.1％的平均误差，且最大误差为1.5％。

第一个证实问题考虑了位于x＝1.25，y＝3.75位置初始高度为5mm的单个柱体，其承受了0.75MPa的闭合应力。凹凸体模型在图25.1中示出，如图25.2中所示在两种方法之间进行了比较。

图25.1为图2500.1，其具有尺寸为y(m)(y轴线)对x(m)(x轴线)，并示出了第一种证实问题的凹凸体接触点2516。图25.2为图2500.2，示出了开度(mm)(y轴线)对x(m)(x轴线)。图2500.2为凹凸体模型(快速SHAC)和非线性扩展模型之间的比较，该模型使用了本文中在域之中针对几个不同的划区(y＝1.75，3.25和3.75处的SHAC)的方法。

对比模型之间的一致在柱体中心是几近准确的，且从柱体开始相似性降低。然而，凹凸体模型针对变形使用更为精确的函数形式来，而不是仅仅使用远场逼近。结果，靠近柱体的点处具有较大的误差。如下表8所示，两种方法之间存在相对误差，且获得小于0∶1％的平均误差以及1∶5％的最大误差。

第二种证实问题考虑了5mm高的三个柱体，其位于(x；y)＝(1∶25；3∶75)，(3∶25；3∶25)，以及(2∶75；1∶75)，并承受了3MPa的应力。凹凸体模型在图26.1中示出，而26.2中示出了两个模型之间的比较。

图26.1为图2600.1，其具有尺寸y(m)(y轴线)对x(m)(x轴线)，并示出了第二种证实问题的凹凸体接触点2616.图26.2为图2600.2，示出了开度(mm)(y轴线)对x(m)(x轴线)。图3600.1为凹凸体模型(快速SHAC)和非线性扩展模型之间的比较，该模型在域中针对几个不同的划区(y＝1.75，3.25和3.75处的SHAC)而做出。再次，两种模型之间的一致性在柱体中心处是几近准确的，且从柱体开始相似性降低，靠近-柱体区域中具有最大不同。

第三种证实问题考虑了相同的三个柱体，其具有不同高度来进一步测定非限定扩展模型。位于(x；y)＝(1∶25；3∶75)，(3∶25；3∶25)，以及(2∶75；1∶75)的柱体的给定高度分别为4mm，5mm，和5.5mm，并承受2MPa的闭合应力。

凹凸体计算模型在图27.1和27.2上示出，并示出了两种模型之间的比较。图27.1为图2700.1，具有y(m)(y轴线)对x(m)(x轴线)，示出了高分辨率凹凸体模拟之间的对比，该模拟具有2.07mm的平均开度，以及58.3D·m的导流能力。

图27.2为图2700.2，具有y(m)(y轴线)对x(m)(x轴线)，示出了开度分布的非线性扩展预测模型预测，而在具有非平凡柱体几何特征的裂缝之中的该开度分布具有平均开度为1.97mm，和导流能力为25.9D·m。图2700.1和2700.2指出了通道区域之中开度变化的两种预测之间的一致性。

再次，两种模型之间的一致性在柱体中心处是几近准确的，且从柱体开始相似性降低，靠近-柱体区域中具有最大不同。

总之，非线性扩展模型显示了与粗糙度模型的一致性，该凹凸体模型针对域的所期望区域，且在其它地方，不同性落入几个百分比的相对误差之中。

5.2.2实例-复杂柱体几何特征的模型对比

基于凹凸体的方式表示了支撑剂针对流量和导流能力都使用了笛卡尔网格。请参见，例如，Pyrak-Nolte(2000)。在这个小节中，将为地质力学使用柱体且为流动而使用网格的非线性扩展方法与更为一般化的柱体几何特征的精细网格凹凸体模拟对比。图28所示的对比结果意味着两种方法趋于一致。

图28为描绘了图27.1和27.2的两种模型之间的比较的图2800。图28描绘了对于在区域中的几个不同线路输出进行的凹凸体模型和非线性扩展模型之间的比较，以用于证实问题3。

下表8和9示出了用于一般性柱体几何特征证实问题(上面的小节5.2.1)的模拟参数，包括裂缝的机械和几何特征。

表8

表9

凹凸体模拟预测最终平均开度为2.07mm，而我们的模型所预测的为1.97mm。此外，凹凸体模拟预测导流能力为58.3D·m，而新的快速运行预测的所预测的为25.9D·m。

总之，平均开度较为精确，约5％，而导流能力趋于落入约2的系数中。导流能力计算对于开度或者几何特征的轻微改变都很敏感，这意味着一致性可以接受。

5.2.3实例-包括夹点的非线性问题的模型比较

夹点力学可以通过裂缝表面和接触检测的精细离散化来调整。请参见，Pyrak-Nolte(2000)。将通过具有夹点或者不具有夹点的非线性扩展方式所预测的开度变化与图29.1-29.3中的基于凹凸体的方式相比较，其中两个柱体受到足以部分地靠近两柱体之间通道的应力。

图29.1-29.3为具有y(m)(y轴)对x(m)(x轴)的图2900.1-2900.3，其描绘了平均开度为2.07mm和导流能力为58.3D·m的高分辨率凹凸体模拟之间的比较。图29.1示出了高分辨率的基于凹凸体的模拟(平均开度1.1mm和导流能力10D·m)，图29.2示出了不具有夹点的非线性扩展模型(平均开度0.71mm和导流能力0.0012D·m)，图29.3示出了具有夹点的非线性扩展模型(平均开度0.9mm和导流能力4.6D·m)。在图2900.1-2900.3中示出的这些模型表明了开度和导流能力的预测之间的一致性，所提供的夹点力学也包含在计算之中。

表10示出了包括用于夹点证实问题的裂缝的机械和几何特征特许的模拟参数。

表10

表10示出了计算的数值结果。在这个实例中，与基于凹凸体的方式相比，忽略夹点会引起所预测的导流能力发生5阶的减小。表11提供了凹凸体模型和为夹点测试而研发的非线性扩展模型之间的对比。

表11

通过包含了在约为4的基于凹凸体的预测的倍数中的夹点，导流能力计算对于开度或者几何特征的轻微变化来说可以很敏感。结果，这种差异水平可以视为是可以接受的。

5.3性能比较

可对各种模型的效率进行对比。为了便于将方法应用到大量的压裂之中去，各种模拟之中所用的代码可以通过多线程(例如OpenMP多线程)来平行化处理。模型可以应用于很多个(可能上百个)包含几十或者几百柱体/通道的单独裂缝。每一裂缝的计算可分开处理，并以线程安全的方式执行。

5.3.1实例-变形计算性能

凹凸体模型可以完全考虑柱体几何特征与裂缝粗糙度和在应力下详细的额外接触点的任意组合。请参见，例如，Pyrak-Nolte(2000)和Morris(2014)。在整个单个柱体或通道中可以使用十个或更多的凹凸体元素以捕捉机械变形。模型可使用更多的柱体有限内离散化，并在圆形柱体的情况下可比基于凹凸体的方式更有效。

针对装有330个圆形柱体的单个裂缝，可以将使用本发明的非线性扩展模型进行变形计算的性能与凹凸体模型(请参见，例如，Morris(2014))进行比较。两种模型都可以单线程运行，以简化2.4GHz核心上进行的性能比较。凹凸体模型所需的执行时间如下表12中所示：

表12

表12提供了利用具有增加的分辨率的凹凸体模型来对包含有330个柱体的裂缝求解的执行时间。相反，对于可比较的问题，在此工作中出现的快速运行模型用了接近0.1s的时间来执行。

对于整个柱体10个元素的分辨率来说，这个凹凸体模型用了超过40分钟。凹凸体计算的成本基本上与元素数量的平方成正比。对于包括330个柱体的可比较问题来说，非线性扩展方法花了约0.1s。

5.3.2实例-变形和导流能力计算性能的组合

在实例中，使用单线程模式下的非线性扩展模型来模拟图30.1-30.3中所示的三种HPP(高压处理)几何特征。这些图提供了分别在单个裂缝中含有100、400和900个柱体的图3000.1-3000.3。图30.1-30.3描绘了被代码性能研究所考虑的不均匀支撑剂柱体设置。

得到的执行时间在下表13中列出：

表13

N个柱体	执行时间
		100	0.1秒
400	1.1秒
		900	7.8秒

表13记载了64个各具有400个柱体的裂缝(总共25,600个柱体)的问题的多线程性能。N_线程为线程的数量，而T_经过也被称为所谓的“经过时间(wall time)”。

对于理想的平行化，经过时间与线程数量呈反比。结果，N_线程-T_经过的乘积在理想上可以为常数。这些结果意味着对于这个特殊的问题来说，随着线程数量从1增加到8，每单个线程在效率上有36％的损失。表14示出了2.4GHz核心上运行的用于增加裂缝中柱体的数量的非线性扩展模型的单线程性能。在2.4GHz核心上的执行时间按秒计算。

为了研究多线程性能，使用在2.4GHz核心上运行的1、2、4和8线程考虑64个各具有400个柱体的裂缝的问题。以下表14报道了通过对每一线程指定相同数目的裂缝用于计算而获得的执行时间。

表14

N线程(Thread)	T经过(Wall)	N线程T经过	效率损失
				1	72.7秒	72.7秒	-
2	38.1秒	76.2秒	4.8％
				4	21.9秒	87.6秒	20％
8	12.4秒	99.2秒	36％

这些结果反映了从1到8个线程按比例算在效率上约有1/3的损失。

前述说明已经参考一些实施方式进行了体现。本发明所述领域的技术人员将明了，在所述结构和操作方法之中的替换和改变可以在有意不超出本发明理念和范围的情况下做出。例如，本文中所呈现的系统和方法可特别参考压裂操作来进行说明，可以理解的是该系统和方法也可以应用到其它油藏增产操作之中，例如酸化。此外，只有有限数量的实现被用于距离，应理解的是，任意数量的实现可以执行和评估。据此，前述说明不应该被解读为只附属于附图中所述和所示的精确结果和工作流程，而是应该被解读为与以下的权利要求一致并支持这些权利要求，这些权利要求将具有它们最完整和最公平的范围。

在开发任何这样的实际实施方案时，必须做出许多具有实施-特定性的决定以实现开发者的特定目标，例如符合与系统有关的以及与商业有关的约束条件，其中所述约束条件在各个实施间发生变化。此外，应认识到，尽管这样的开发努力可能是复杂且耗时的，但是仍然是受益于本公开的本领域普通技术人员的常规任务。此外，本文中所使用的/所公开的组合物还可以包含除了这里提及的那些组分之外的一些其它组分。在发明内容部分和本具体实施方式部分中，每个数值先应读作由术语“约”修饰(除非已明确如此修饰)，然后再次读为没有如此修饰，除非上下文另有说明。而且，在发明内容部分和本具体实施方式部分中，应该理解，列出或描述为有用的、合适的等的浓度范围意欲表示在所述范围内的任何和每一个浓度(包括端点)均被视为已描述。例如，“从1到10的范围”应理解为指示在约1至约10之间连续的各个和每一个可能的数字。因此，即使明确指出所述范围内的具体数据点，或甚至所述范围内没有数据点是明确指出，或者只提及了几个具体数据点，但是应理解，本发明人明白和理解在该范围内的任何和所有数据点都被认为是已经被具体指定，且本发明人具有整个范围和所述范围内的所有点的知识。

此处做出的说明仅仅提供了与本发明相关的信息，且可能不构成现有技术，并可描述了示例说明了本发明的一些实施方案。

尽管上面仅仅详细描述了几个示例性实施方案，但是本领域技术人员可以容易地理解在示例性实施方案中可以进行多种修改而实质上不会脱离本公开。因此，全部的这些修改都意欲包括在由所附权利要求中所限定的本公开的范围内。在权利要求中，手段加功能句型意欲用于覆盖本文中所描述的执行所述功能的结构，其不仅仅涵盖结构等同物也涵盖等同结构。因此，尽管钉子和螺钉可能不是结构等同物，因为钉子利用圆柱表面将木质部件固定到一起，而螺钉利用螺旋表面；但是在固定木质部件的环境中，钉子和螺钉可以是等同结构。本申请的申请人明确表明不援引35U.S.C.§112，第6款对这里的任何权利要求进行任何限制，除非在权利要求中明确地将词组“用于……的手段”和相关的功能一起使用。

Claims (24)

1.在井场处执行增产操作的方法，所述井场具有穿透在其中含有裂缝的地层的井筒，该方法包括：

基于井场数据而预测裂缝中支撑剂的布置，所述井场数据包括所述裂缝的几何特征；

基于所预测的布置而形成凹凸体模型；

使用所述凹凸体模型预测在规定的闭合应力下的开度变化；

基于所预测的开度变化而确定裂缝导流能力；及

基于所确定的裂缝导流能力，通过将在其中含有支撑剂的增产液注入到所述地层之中而随着增产液一起将所述支撑剂置入所述裂缝中。

2.权利要求1的方法，进一步包括从井场收集所述井场数据。

3.权利要求1的方法，进一步包括从地层通过裂缝生产流体。

4.权利要求1的方法，其中所述预测布置包括：

提供裂缝开度分布和泵送进度表；

确定拉格朗日标记；

将所述拉格朗日标记投射到流量网格上；以及

基于平行平面之间的流量而确定网络导流能力以及流场。

5.权利要求4的方法，进一步包括重复所述预测布置直到泵送完成。

6.权利要求4的方法，其中所述拉格朗日标记为注入、对流及其组合之一。

7.权利要求1的方法，其中所述形成凹凸体模型包括：

基于所述井场数据而确定裂缝开度分布；

基于所预测的布置而确定支撑剂空间分布；

基于所确定的裂缝开度和所确定的支撑剂空间分布来产生材料混合；及

基于所述材料混合而产生裂缝粗糙度与支撑剂的组合的凹凸体表示。

8.权利要求1的方法，其中所述预测开度变化包括：

基于凹凸体影响表格而预先确定凹凸体；

基于预先计算好的凹凸体来调整远场位移；

使用所述凹凸体表格并基于所调整的远场位移，产生凹凸体和半空间变形相互作用；

确定凹凸体是否位于目标应力状态的容差之中；及

由所确定的凹凸体和半空间变形确定开度分布。

9.权利要求8的方法，进一步包括增加新的接触以及利用所增加的接触来重复所述产生。

10.权利要求1的方法，其中所述预测开度变化包括：

预先确定凹凸体对凹凸体影响表格；

调整远场位移，以接近所要求的应力状态；

基于所述凹凸体对凹凸体影响表格，产生凹凸体和半空间变形相互作用；

增加新的接触；

确定裂缝是否落入目标应力的容差之中；及

由所确定的凹凸体和半空间变形确定开度分布。

11.权利要求1的方法，其中所述预测开度变化包括：

利用粗糙圆柱体逼近凹凸体网格；

确定与所施加应力的一致的柱体和半空间变形；

增加夹点；及

将由于圆柱体引起的开度变化投射回所述凹凸体网格上。

12.权利要求1的方法，其中所述预测开度变化包括：

将所述裂缝的几何特征转化为圆柱形柱体；及

确定所述裂缝的变形。

13.权利要求12的方法，其中所述确定裂缝的变形包括：

基于所述圆柱形柱体而产生变形；

将所述圆柱形柱体的变形的部分线性化；

将所述圆柱形柱体的响应的线性系统汇集；及

对所述响应的线性化系统求解。

14.权利要求1的方法，其中所述确定裂缝导流能力包括：

辨识经支撑剂填充的且非接触的凹凸体；

将已辨识过的经支撑剂填充的且非接触的凹凸体转化为流量网络；及

通过在当前应力水平下求解流量网络而获得裂缝导流能力。

15.权利要求1的方法，进一步包括增加夹点和针对每一夹点重复所述确定裂缝导流能力的步骤。

16.权利要求1的方法，进一步包括证实所确定的裂缝导流能力。

17.权利要求16的方法，其中所述证实包括通过使用多个模拟并对所述多个模拟进行比较而执行所述预测布置。

18.在井场处执行增产操作的方法，所述井场具有穿透在其中含有裂缝的地层的井筒，该方法包括：

通过下述步骤确定所述裂缝的支撑剂参数：

使用多个模拟基于井场数据而预测支撑剂的布置，所述井场数据包括所述裂缝的几何特征；

基于所预测的布置而形成凹凸体模型；

使用所述凹凸体模型预测在规定的闭合应力下的开度变化；

基于所预测的开度变化而确定裂缝导流能力；

通过比较所述多个模拟而证实所预测的布置；以及

基于所证实的裂缝导流能力，通过将在其中含有支撑剂的增产液注入到地层之中而随着增产液一起将所述支撑剂置入所述裂缝中。

19.权利要求18的方法，其中所述多个模拟包括解析解、幂律解、宾汉流体解及其组合中的至少一个。

20.权利要求18的方法，其中所述证实包括追踪所述裂缝之中多个相之间的界面。

21.权利要求18的方法，其中所述多个模拟包括1-D模拟、2-D模拟、3-D模拟及其组合中的多个。

22.权利要求18的方法，其中所述多个模拟包括2-D模拟，所述确定进一步包括针对牛顿流体来扩展2-D模型。

23.权利要求18的方法，其中所述证实包括使用包括在粗糙网格上求解地质力学变形的非线性扩展模型，且其中所述确定裂缝导流能力步骤使用精细的离散化来执行。

24.在井场处使井筒增产的方法，所述井场具有穿透在其中含有裂缝的地层的井筒，该方法包括：

通过下述步骤确定裂缝的支撑剂参数：

基于井场数据而预测所述裂缝中支撑剂的布置，所述井场数据包括所述裂缝的几何特征；

基于所预测的布置而形成凹凸体模型；

使用所述凹凸体模型预测在规定的闭合应力下的开度变化；以及

基于所预测的开度变化而确定裂缝导流能力；

基于所证实的裂缝导流能力，通过将在其中含有支撑剂的增产液注入到地层之中而随着增产液一起将所述支撑剂置入所述裂缝中；及

由储层生产流体，并使其经过已支撑的裂缝流入所述井筒中。