CN104685400A - 颜色校正光学元件 - Google Patents

Abstract

一种用于使由光源发出通过波长转换元件的光重新定向的圆形对称光学元件，其中发出光具有依赖于从波长转换元件的发出角度的平均颜色c_A和波长分布。具有平均颜色c_A的光具有发出角度t_A。该光学元件包括：第一光学部分和第二光学部分，第一光学部分被配置为接收从波长转换元件的发出角度小于t_A的光并且将该光重新定向，第二光学部分被配置为接收从波长转换元件的发出角度大于t_A的光并将该光重新定向，其中第一和第二光学部分被单独配置，以便对于光学元件的每个经选择的耦出角度的光，存在由第一光学部分接收并重新定向到光学元件的经选择的耦出角度的光，并且存在由第二光学部分接收并重新定向到从光学元件的经选择的耦出角度的对应光，以便如在远场中看到的从光学元件发出的总光束具有均一颜色。

Description

颜色校正光学元件

技术领域

本发明涉及光学元件。具体地，本发明涉及用于将从波长转换元件发出的光重新定向的光学元件。

背景技术

使用用于提供白光的发光二极管(LED)的照明系统就要在光输出、光量和效率方面超越诸如荧光灯之类的传统照明技术。

然而，难以生产在期望的色温度下发出具有统一颜色的白光的LED。因此，通常使用各种类型的波长转换元件转换由LED发出的光。举例来说，发出蓝色光谱区的光的LED通常与黄色磷光体材料结合，用于实现白光。从LED进入磷光体的光经历波长转换，并且转换度与光穿过磷光体的距离有关。因此，从磷光体元件发出的光的波长取决于光源和磷光体元件的发光表面之间的距离。因此，假设磷光体元件具有平的发光表面，颜色输出依赖角度。

与基本上平行于表面发出的较黄的光相比，依赖角度的颜色输出将导致从磷光体元件的表面以接近于表面法线的角度发出的光更接近蓝色光谱端。这种颜色变化现象被称为颜色随角度(CoA)变化。CoA变化是不期望的，因为其在来自磷光体元件的光输出中产生环状效应，其中可能围绕优选白光波束的边缘看到黄色的环。

已经尝试了用于CoA校正的几种不同的方法，以便克服上述效应，诸如通过将磷光体层分级或使用二向色滤光器。然而，这些方法会降低效率并增加复杂性，并从而增加照明系统的制造成本。另一个提出的解决方法为在准直结构的顶部引入微结构。

发明内容

考虑到现有技术的上述及其他缺点，本发明的目的是提供改进光学元件以用于颜色随角度校正。

根据本发明的方面，通过用于使光重新定向的圆形对称光学元件来实现这个及其他目的，该光由光源发出通过波长转换元件，其中从波长转换元件发出的光具有依赖于从波长转换元件的发出角度的平均颜色c_A和波长分布，其中具有平均颜色c_A的光具有发出角度t_A，光学元件包括：第一光学部分，被配置为接收从波长转换元件的发出角度小于t_A的光并且将该光重新定向；和第二光学部分，被配置为接收从波长转换元件的发出角度大于t_A的光并且将该光重新定向，其中第一和第二光学部分被单独配置，以便对于光学元件的每个经选择的耦出(out-coupling)角度的光，存在由第一光学部分接收并重新定向到光学元件的经选择的耦出角度的光，并且存在由第二光学部分接收并重新定向到从光学元件的经选择的耦出角度的对应光，以便如远场中看到的从光学元件发出的总光束具有均一(homogeneous)颜色。

本发明基于如下认识：通过光学元件可以实现改进的CoA校正，该光学元件将波长比平均颜色短的光与波长比平均颜色长的光结合，以这样的方式以便如远场中看到的从光学元件发出的光具有均一颜色。通过基于从波长转换元件发出的光的波长分布和通量分布来计算光学元件的第一和第二部分的形状，可以实现这种光学元件。因此，可以针对呈现CoA变化的任意光源和波长转换元件的组合实现提供改进的CoA校正的光学元件。

光学元件是圆形对称的，意指其呈现围绕中心轴的旋转对称。此外，光学元件优选关于波长转换元件布置，以便中心轴与波长转换元件的中心对准，波长转换元件也被假设为圆形对称。然而，波长转换元件可以具有任意形状，只要从元件发出的光的波长分布和通量分布为基本上圆形对称的。波长转换元件可以由单个层或由磷光体或荧光陶瓷的堆或混合物形成，并且光源例如可以是蓝色发光二极管(LED)。然而，总体的发明构思同样适用于其他类型的光源，诸如例如UV二极管。黄色磷光体波长转换材料的所得效果是将由LED发出的在蓝色光谱端的光转换为波长在黄色区域的光。由于波长转换度与光在波长转换元件中行进的长度成比例，发出光的波长分布与从元件的发出角度成比例。

针对光源和由CIE1931XY色空间中线性的颜色与角度关系所描述的波长分布的波长转换元件的组合，来描述光学元件。

关于本发明，波长转换元件垂直于表面(即在法线方向上)发出的光被定义为具有角度0°，并且平行于波长转换元件的表面发出的光被定义为具有角度90°。因此，假设发出角度和波长之间的线性关系，颜色与角度的关系可以由xy色空间中针对以0°发出的光的颜色点和针对以90°发出的光的颜色点之间的直线来描述，其中以0°发出的光更接近蓝色光谱端，并且以90°发出的光更接近黄色光谱区域。从波长转换元件发出的光的平均颜色c_A由发出光的波长分布和通量分布决定。从而，当颜色点c_A位于上述0°和90°之间的直线上时，可以找到与发出平均颜色的角度对应的角度t_A。

此外，均一颜色可以优选对应于平均颜色c_A。假如基本上从波长转换元件发出的所有光在期望的发出方向上由光学元件耦出，并损耗是可忽略的，那么在远场中看到的颜色将对应于平均颜色c_A。然而，不同于c_A的颜色输出可以例如通过在光学元件中阻挡特定波长或波长范围来实现。

此外，第一和第二部分之间的交叉点可以通过t_A确定。假设光学元件的底部部分被布置在与波长转换元件相同的平面中，并且光学元件的中心轴与波长转换元件的中心轴对准，由角度t_A定义光学元件的第一和第二部分之间的交叉点，以便以低于t_A的角度发出的光直接由光学元件的第一部分接收，并且以大于t_A的角度发出的光直接由光学元件的第二部分接收。

根据本发明的一个实施例，第一光学部分可以有利地具有曲面，以用于接收从波长转换元件发出的光，并将该光折射向光学元件的光输出表面。

此外，第一光学部分可以是平凸透镜。通过以平凸透镜的曲面形式提供接收角度低于t_A的光的表面，到达第一部分的光折射向光学元件的发出表面的法线。

在本发明的一个实施例中，第二光学部分可以有利地具有第一表面，以用于接收并折射从波长转换元件发出的光；和第二曲面，以用于接收在平面折射的所述光，并且将该光反射向光学元件的光输出表面。

如上面所概述的，第一和第二部分的曲率理论上基于来自波长转换元件的波长和通量分布来确定，以便提供从光学元件发出的在远场中具有均一颜色的光，如在下面的详细说明中将进一步讨论的。

而且，在各种实施例中，用于接收并折射光的第一表面可以为平面或曲面。依靠第一表面被选择为平面还是曲面，第二部分的对应第二曲面将必须据此设计。

根据一个实施例，第二光学部分的第二曲面可以被分成具有不同曲率的两段。在一些情形中，颜色与角度关系通过非线性函数描述。举例来说，如果该颜色与角度关系是抛物线函数，那么通过将第二光学部分的第二曲面分为具有不同曲率的两段，可以实现与上述均一光输出相同的效果。因此，所描述的光学元件的功能原则上可以针对任意颜色与角度关系实现。

在本发明的一个实施例中，从光学元件发出的光可以有利地具有高斯强度分布。

例如，该光学元件可以被提供为照明设备的部件，该照明设备还包括：光源；波长转换元件，其被布置以便由光源发出的光穿过波长转换元件，并且进一步向前通过根据上述描述的光学元件。

在研究所附权利要求及以下描述时，本发明的进一步特征和优点将变得显而易见。技术人员了解，本发明的不同特征可以被组合以产生不同于下文中描述的实施例，而不脱离本发明的范围。

附图说明

现在将参考示出本发明的实施例的附图，更详细描述本发明的这个及其他方面。

图1是发光装置和波长转换元件的示意图；

图2是示意地示出示例颜色与角度关系的曲线图；

图3是按照发明的实施例的光学元件的示意图；

图4是示意地示出另一示例颜色与角度关系的曲线图；和

图5是按照发明的另一实施例的光学元件的示意图。

具体实施方式

在本详细说明中，主要参考以全内反射(TIR)准直仪形式的圆形对称光学元件讨论根据本发明的光学元件的各种实施例。应该注意，这决不限制本发明的范围，该范围同样适用于以折射或反射准直仪形式的光学元件。

图1示意地示出照明元件100的布局，其包括由波长转换磷光体元件104覆盖的发光二极管(LED)芯片102。示出两条不同的射线路径106和108，其对应于以不同角度从磷光体元件104的表面发出的光。定义该角度使得在垂直于磷光体元件的表面110的方向上发出的光被定义为0°。因此，平行于该表面发出的光被定义为具有90°的发出角度。发出角度t被定义为发出光和表面110的法线之间的角度。由于在垂直于表面的方向上通过磷光体元件104的光106的光学路径比以更高角度的光108的路径短，所以发生颜色随角度的变化。

在图2中，画出了曲线图200，其示出作为发出角度t的函数的x,y颜色点。对于给定LED 102和磷光体元件104组合，测量已经示出由磷光体LED组合发出的光在x,y色空间中为直线202。这里，LED为蓝色LED。在t＝0°处，光为淡蓝色的，并且在t＝90°处，光为淡黄色的，换句话说如图2中所示，在小角度处的x和y坐标小于在大角度处的。LED的平均颜色点可以用积分球测量，其由线202上的十字形204指示。因此，存在被定义为t_A的角度，在该角度处，由LED发出的光的颜色点等于LED的平均颜色点。对于根据图2的颜色随角度的变化，可能将光准直到具有其在所有角度处相等的颜色点的一个波束中。最低要求是，光学元件必须具有至少两段。这两段可以是折射的(透镜)或反射的(镜子)或其组合。

图3示意地示出根据本发明以圆形对称TIR准直仪形式的光学元件300的示例实施方式的横截面。例如，该准直仪可以由透明塑料材料制成。光轴301定义为光学元件300的中心轴，其被布置为与磷光体元件100的中心轴对准。此外，光学元件的底缘300被布置在与磷光体元件的表面110相同的平面中。光学元件300包括第一内部部分302和第二外部部分304。以小的角度，即小的t发出的光由在光学元件300中部的透镜形式的内部部分302准直到从光学元件的基本上平的发光表面310发出的所得光束。以大的角度发出的光由外部部分304的侧表面接收，在这之后，其在曲面308被反射，并且向着光学元件300的发光表面310重新定向。曲面308不是为了反射光必须由镜子材料涂覆，因为光将以足够大的角度入射，使得其将通过全内反射而反射。

光学元件300被设计使得光轴301和撞击在内部部分302和外部部分304之间的过渡点的光射线之间的角度等于角度t_A。通过将准直仪的光学表面在由角度t_A给定的点处分为两段，可以以如下方式设计透镜部分302的曲面303和反射面308：对于从发光表面310的每个发出角度，颜色点相同。从而，CoA变化可以被减少或消除，以便可以在远场中提供均一光输出。

描述光学元件的曲面的设计的数学理论是基于M.Maes的工作[Mathematical Method for Reflector design,M.Maes,PhD thesis 1997,ISBN 90-74445-36-5]。根据上面参考的工作，可以示出，曲面形状可以通过求解两个耦合耦合微分方程来计算：

其中N为段的数目，I为光源的强度分布，为准直波束的目标强度分布，x为x CIE颜色点坐标，并且d对于发散波束为1且对于会聚波束为-1。函数η描述了源发出角度t和准直波束中的角度θ之间的关系。该函数通过求解耦合微分方程耦合获得。用这个函数，例如可以计算光学元件的形状。在C.R.Prins等人的“An inverse methodfor the design of TIR collimators to achieve a uniform color light beam”中提供了得出上述方程的数学推导的进一步示例性描述，其将提交出版并通过引用方式完全并入于此，并且其被附在其组成一部分的这个申请的结尾处。

一般解释为，光学元件被配置使得0°和t_A之间的每个角度都被耦合到从光学元件的预定发出角度，并且对于0°和t_A之间的每个角度，存在被耦合到从光学元件的同一预定发出角度的在t_A和90°之间的对应角度，使得对于所有发出角度，发出光的颜色点相同。由于从磷光体元件发出的光的通量对于不同的发出角度t不同，所以在确定光学元件300的曲面的设计时，考虑通量分布。在从光学元件300的每个光射线方向上的通量的量由射线撞击透镜和反射体的局部表面曲率控制。因此，可能实现不同的通量分布。例如，期望的分布可以是具有35°FWHM(半高全宽)角度的高斯波束。基于上述数学方法，容易实现提供高斯或钟形强度分布的光学元件。

图4图示了对于LED和磷光体元件组合的作为发出角度t的函数的x,y颜色点，其中CoA变化在x-y空间中不是线性函数。在图4中，CoA变化由抛物线402描述，其可以在数学上由二次多项式表示。非线性CoA变化可以在LED与复杂磷光体系统组合时发生。例如在含有不止一个磷光体层的磷光体系统或包括散射颗粒、在优选方向上散射光(光子效应)的磷光体元件中。

为了实现对于根据图4的CoA变化的均一光输出，必须使用如图5中所示的包括三个部分502、504和506的光学元件500。从图4可以找到确定第一502和第二504部分之间的交叉点的角度t₁和确定第二504和第三506部分之间的交叉点的角度t₂。LED的平均颜色点由曲线图400中的十字形404表示。直线从t＝90°画出，通过平均颜色点404并且继续向前以交叉CoA变化曲线402，从而在交叉点处找到第一段的角度t₁。通过类似的程序，将直线从t＝0°画出，通过t_A，并且到曲线402，其提供第二角度t₂。因此，如图5中所示，光学元件500根据t₁和t₂被分为三个部分。操作的原理与具有两个部分的光学元件300相同，除了三个耦合微分方程必须被求解，以计算曲面508、510和512的曲率。然而，可以使用相同的数学理论。应该注意，部分的曲率的准确形状也取决于设计师做出的发出光束将会聚还是发散的选择。

原则上，用于通过高阶多项式描述的CoA变化的光学元件可以以类似于如上所述的基于基本数学描述的方式设计。

即使本发明已经参考其具体实施例进行了描述，但是许多不同的更改、修改等将对本领域技术人员变得显而易见。例如，由于可以测量光源的CoA变化，所以不需要理论上描述光源的波长和通量分布。从而，可以与基本上具有CoA变化的任何光源一起使用根据本发明的光学元件。

另外，技术人员在实践所要求保护的发明中，可以从对附图、公开内容和所附权利要求的研究中，理解并实现对所公开的实施例的变化。在权利要求中，词语“包括”不排除其他元件或步骤，并且不定冠词“一”或“一个”不排除多个。仅仅在相互不同的从属权利要求中记载特定措施的这个事实，并不指示这些措施的组合不能被有利地使用。

用于设计TIR准直器以实现均匀颜色光束的逆方法

C.R.Prins ^§and J.H.M.ten Thije Boonkkamp^§

Eindhoven University of Technology

T.W.Tukker and W.L.IJzerman

Philips Research，Philips Lighting

摘要：在白色LED的光输出中的颜色随角度(CoA)变化是常见且未解决的问题。本文中，我们引入新的方法，以通过使用特殊的准直器降低CoA变化。该方法基于解析逆设计方法。我们给出求解源于该方法的微分方程的数值算法，并且使用蒙特卡罗(Monte-Carlo)光线追踪验证了结果。

关键词：光学设计、LED、逆方法、光学、功能设计方法、颜色随角度、颜色均匀性、TIR准直器、加权颜色混合、基于色度的颜色混合

1.引言

白色LED技术在光输出、光质量和效率方面处在超越诸如紧凑型荧光灯之类的传统光技术的节点。自上世纪70年代以来，每LED照明设备的通量输出每十年增加为20倍以上，而每流明的生产成本每十年下降为十分之一[4]。LED不单独出售，反而，它们被构造成包括一个或多个LED、光学系统、电子元件、散热片和漂亮外壳的照明设备。光学系统常常是使光聚焦在特定方向上的准直器。本文中，我们考虑单个LED与准直器的组合。

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Department of Applied Physics

^§Department of Mathematics and Computer Science

2012Kluwer Academic Publishers.Printed in the Netherlands.

不幸的是，难以创造发射具有均匀白色的光的LED。通过如下方式创造了这样的LED：使蓝色LED涂覆有黄色磷光体的层以及可能地红色磷光体的附加层。这种磷光体涂层将部分蓝光转换成黄光或红光，从而产生白光。被转换的光的比例依赖于光线穿过磷光体层的距离，而这与光的发射角有关。因此，发射光的颜色是角度相关的：垂直于表面发射的光偏青白色，而几乎平行于表面发射的光偏黄色[10,p.353-357]。这称为颜色随角度(CoA)变化。

已经进行了大量研究以通过修改LED降低这种CoA变化。常常通过在磷光体层中引入气泡[14]或者通过应用二向色涂层[9]来降低CoA变化，但是这些方法还降低效率并且增加LED的生产成本。如果LED与准直光学元件组合使用，可以通过使用在准直器顶部上的微观结构来降低CoA变化。这是一种被广泛采用的技术。然而，微观结构在准直器的生成过程中引入额外的成本，并且使准直器看起来没有吸引力，并且使光束加宽。

本文引入一种替代方法，以使用自由形态的准直器降低CoA变化。利用自由形态的准直器降低CoA变化具有两个优点。首先，该特殊的光学元件不会引入额外的光损失，而修改LED通常会引入额外的光损失。其次，昂贵的LED修改不再是必要的，从而导致整个光学系统的成本降低。大多数颜色混合方法基于通过混合来自光源的许多不同角度的光来降低颜色变化。Wang等人[11]研究了使用混合来自两个不同角度的光的圆顶降低CoA变化。他们指出理论上可能完全移除CoA变化，但是他们没有示出证明。本文中，我们将引入基于解析逆设计方法[2,6,7]、其示出完全移除CoA变化的确是可能的建设性方法。

第2节描述如何使用逆方法设计具有指定输出强度分布的TIR(全内反射)准直器，并且第3节说明如何将颜色混合包括在该方法中。随后，第4节讨论数值计算和验证。最后，在第5节中给出结论。

2.使用逆方法设计TIR准直器

在讨论颜色混合之前，我们将说明如何使用逆方法设计TIR准直器。TIR准直器是旋转对称准直器，通常由像聚碳酸酯(PC)或聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)那样的透明塑料制成。在图1中可以看到TIR准直器的轮廓。

设计程序包括两个步骤：首先，我们需要找到在光线离开源的角度t和光线离开准直器的角度θ之间的关系，所谓的传递函数。随后，我们使用这些传递函数来计算TIR准直器的自由表面A和C。

图1.TIR准直器的轮廓。通过使轮廓绕x轴旋转可以得到完整的TIR准直器。点光源S位于原点处。准直器包括四个完全不同的表面：A、B、C和D。实黑线指示平的固定表面，虚线是待计算的自由表面。准直器中的所有光线都恰好由自由表面折射或反射一次。

2.1.传递函数

传递函数η：[θ_min,θ_max]→[t_min,t_max]描述了在从源发射的光的角度t∈[t_min,t_max]和从TIR准直器发射的光的角度θ∈[θ_min,θ_max]之间的关系。光的光线方向由其相对于x轴的逆时针角表示。区间[t_min,t_max]可以是源发射角的子集。注意，我们也可以选择传递函数为[t_min,t_max]对[θ_min,θ_max]的映射。后者选择在文献中更常见，然而，如我们后面将看到的，我们的选择更适合颜色混合的目的。我们选择传递函数为严格单调的并且从而可逆的。

我们使用光通量守恒找到传递函数。假设I(t,u)[lm/sr]为光源的旋转对称强度分布。这里t∈[0,π/2]是相对于对称轴的角度(倾角)，并且u∈[0,2π)是绕对称轴旋转的角度(方位角)。因为系统的对称性，强度I(t,u)与u无关，并且由I(t)表示。我们通过使I(t)对角度u积分来引入有效强度其是通过单位球上的环形带[t,t+dt]除以2π的每弧度(rad)的通量：

有效强度的单位是[lm/rad]。类似地，存在从准直器出射的光的强度分布，由G(θ,φ)表示，其中θ∈[0,π]和φ∈[0,2π)是倾角和方位角。我们要求该目标分布也是旋转对称的，并且我们用G(θ)表示它。通过对角度φ积分，我们发现有效目标强度分布传递函数应当使得离开准直器的光的强度具有所要求的强度对有效强度分布的更详尽的描述可以在Maes的研究成果中找到[6]。

从准直器发射的在θ和θ+dθ之间的光通量(单位lm)必须等于从源发射的在η(θ)和η(θ+dθ)之间的光通量。这产生以下关系：

其中，对于单调递减的传递函数，σ＝-1，并且对于单调递增的传递函数，σ＝1。通过将(2)变换成微分方程，可以计算出传递函数：

其可以在初始值η(θ_min)＝t_min(对于增加η)或者η(θ_min)＝t_max的(对于减小η)情况下积分。

我们必须确保针对整个光学系统的光通量守恒。(2)从θ_min到θ_max积分产生以下关系：

对系统中的光通量的要求(4)造成对函数的限制。如果不满足，则系统没有物理意义。

2.2.针对已知传递函数的TIR准直器设计

在对于一些t_av∈[0,π/2]，我们具有范围为[0,t_av]和[t_av,π/2]的两个传递函数时，我们可以设计TIR准直器。如图1所示，TIR准直器包括表面A直到D。光通过两条可能路线传播通过准直器。在第一条路线中，光由表面B折射、由表面C通过全内反射而反射并且最后由表面D折射。在范围[t_av,π/2]中的角度下从LED发射的光将遵循该路线。在第二条路线中，光由表面A折射并且随后由表面D再折射一次。在范围[0,t_av]中发射的光将遵循该路线。

给定传递函数η，我们可以计算在角度t和光线在由表面D折射前的角度之间的关系。通过斯涅耳定律(Snell’s law)，我们得到关系其中n是准直器材料的折射率。这给出关系

$\widetilde{\mathrm{\θ}}\left(t\right)=\arcsin (\sin \left({\mathrm{\η}}^{-1}\left(t\right)\right)/n).---\left(5\right)$

图2.自由表面C的计算。本图是图1的一部分的放大。光的路径由灰线表示。

首先，考虑通过路线S-B-C-D的光。该光在表面B处折射、由C反射并且最后由D折射。假设d为从表面B的左端到源的距离，并且α为该表面相对于x轴的顺时针角度(见图2)。假设(x_B(t),y_B(t))为表面B的轮廓的坐标。我们选择参数化，使得在角度t下离开源的光线将在(x_B(t),y_B(t))处命中表面B，并且在相对于对称轴的角度s(t)下离开该表面。我们使用基础几何导出：

$x_B\left(t\right)=\frac{d}{\tan \left(t\right)+\tan \left(\mathrm{\α}\right)},---\left(6a\right)$

$y_B\left(t\right)=\frac{d\tan \left(t\right)}{\tan \left(t\right)+\tan \left(\mathrm{\α}\right)},---\left(6b\right)$

$s\left(t\right)=\arccos \left(\frac{\cos (\mathrm{\α}+t)}{n}\right)-\mathrm{\α},---\left(6c\right)$

其中(6c)使用折射的斯涅耳定律导出。现在我们可以使用由Bortz和Shatz开发的‘广义函数方法’计算表面C[2,3]。他们已导出以下微分方程，其变量图示在图2中：

$\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dq}}=\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dq}}\tan \left(\mathrm{\β}\right)f+\tan \left(\mathrm{\β}\right)\cos \left(\mathrm{\δ}\right)-\sin \left(\mathrm{\δ}\right).---\left(7\right)$

这里，f是光线从表面B行进到表面C的距离，q是沿表面B的弧长(在t＝π/2处定义为0)，δ是相对于发射点处的法线逆时针测量的光线发射角，并且s是光线离开表面B相对于对称轴的角度。角度β依赖于光学表面是反射的还是折射的。对于反射表面，有[2]

$\mathrm{\β}=\frac{1}{2}(\mathrm{\π}-\widetilde{\mathrm{\θ}}+s).---\left(8\right)$

通常我们知道q和s为从原始光源的发射角t的函数。使(7)与dq/dt相乘给出：

$\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}\tan \left(\mathrm{\β}\right)f+\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}(\tan \left(\mathrm{\β}\right)\cos \left(\mathrm{\δ}\right)-\sin \left(\mathrm{\δ}\right)).---\left(9\right)$

从(6a)至(6c)我们导出

$q\left(t\right)=\frac{d}{\cos \left(\mathrm{\α}\right)\tan \left(t\right)+\sin \left(\mathrm{\α}\right)},---\left(10a\right)$

$\mathrm{\δ}\left(t\right)=s\left(t\right)-\frac{\mathrm{\π}}{2}-\mathrm{\α}.---\left(10b\right)$

现在我们可以计算我们需要的所有函数以求解方程(9)。将关系(5)、(6c)、(8)、(10a)和(10b)代入方程(9)，并且计算函数f。反射表面的位置描述为

x_C(t)＝x_B(t)+f(t)cos(s(t))，   (11a)

y_C(t)＝y_B(t)+f(t)sin(s(t))，   (11b)

现在考虑通过路线S-A-D的光。类似地，我们可以计算表面A的位置。因为入射在A的光直接来自点光源S，我们可以取q(t)＝0和s(t)＝t。这大大简化了(9)。针对β，折射设置具有以下表达式[2]：

$\tan \left(\mathrm{\β}\right)=\frac{\sin (\widetilde{\mathrm{\θ}}-t)}{1/n-\cos (\widetilde{\mathrm{\θ}}-t)}.---\left(12\right)$

如果则从角度t到角度的折射物理上是不可能的。将q(t)、s(t)和β代入(9)产生方程：

$\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dt}}=\left(\frac{\sin (\widetilde{\mathrm{\θ}}\left(t\right)-t)}{1/n-\cos (\widetilde{\mathrm{\θ}}\left(t\right)-t)}\right)f,---\left(13\right)$

并且我们得到对表面A的以下描述：

x_A(t)＝f(t)cos(t)，   (14a)

y_A(t)＝f(t)sin(t).   (14b)

3.颜色加权TIR准直器

在第2节中，我们已经看到如何针对给定的源和目标强度来计算TIR准直器的自由表面。在本节中，我们示出如何将颜色均匀性并入本模型。首先我们引入人感知颜色的一些理论，并且导出两个耦合的类似于方程(3)的常微分方程的方程组。随后，我们讨论该方程组中出现的可移除奇点。

3.1.用于颜色混合的传递函数

关于人对颜色的感知已经进行了大量的研究[8,15]。已经发现光束可以由其光通量(单位lm)以及具有在0和1之间的值的两个无量纲色度坐标x和y来充分描述。色度坐标可以用在颜色混合计算中。假设我们有两束光，分别编号为1和2，具有光通量L₁和L₂以及颜色坐标(x₁,y₁)和(x₂,y₂)。在Malacara的研究成果中[8,p.57-58,103-105]，我们可以发现两种颜色的光束的色度坐标(x_T,y_T)在混合之后变为：

$x_T=\frac{x_1{L}_1/y_1+x_2{L}_2/y_2}{L_1/y_1+L_2{y}_2},---\left(15a\right)$

$y_T=\frac{L_1+L_2}{L_1/y_1+L_2/y_2}.---\left(15b\right)$

图3.在本文中的数值实验中使用的LED的测量的x和y色度坐标的散点图。值大致在直线上。圆的大小对应于有效强度。左下角中的测量数据对应于垂直于LED表面发射的光，右上角中的测量数据对应于平行于LED表面发射的光。

注意，所得到的色度坐标(x_T,y_T)在(x₁,y₁)和(x₂,y₂)之间的直线段上。对于无穷小的角度dt₁和dt₂，在t₁和t₁+dt₁之间的以及在t₂和t₂+dt₂之间的光通量分别是和法则(15)转化为

从测量数据，我们已看到在x(t)和y(t)之间的近似线性关系，从而意指所有色度坐标(x(t),y(t))都在直线上(见图3)。因此本文中我们假设线性关系。我们还已观察到，除了在几乎不含光通量的大角度处的区域之外(见图3和图4b)，x(t)和y(t)为t的递增函数。为了简单起见，我们将假设x(t)和y(t)是严格递增的。

LED光源通常是朗伯(Lambertian)的或者接近朗伯的，即所发射的光的强度分布I(t,u)与cos(t)成比例，或者具有接近此的强度分布。针对旋转对称设置乘以因子sin(t)，LED一般将具有接近 的有效强度分布。的确切形状可以变化，但是我们可以一直假设右导数以及左导数我们还假设，针对所有的0<t<π/2，类似地，我们有以及右导数此外，我们将假定，针对所有的0<θ≤θ_max，

为了构造以如下方式混合源的光的准直器：目标处的颜色点恒定并且目标处的要求强度为我们将区间[θ_min,θ_max]分隔成N个不同段。定义有序列表0＝τ₀<τ₁<...<τ_N＝π/2。每个段i是子区间[τ_i-1,τ_i]从光源的发射角和从准直器的发射角之间的关系由传递函数η_i定义：针对在远场目标处的每一个角度θ，将有来自恰好每个段中的一个角度的光。在目标处该角度下的光的色度将是来自不同段的光的色度的加权平均。根据定义，每一个传递函数是单调、可逆映射。为了便于标记，我们将引入以下约定：是源处(段i中)直射向角度θ的光的强度。类似地，对于i＝1,2,...,N，我们写出x_i(θ)＝x(η_i(θ))以及y_i(θ)＝y(η_i(θ))。

直射向角度θ的光将来自源处的N个不同角度t_i＝η_i(θ)。类似于(2)，我们有光通量守恒

并且类似于(16)，我们有由(x_T,y_T)表示的目标色度：

这里，对于单调递减η_i，σ_i＝-1；并且对于单调递增η_i，σ_i＝1。后面我们将示出(x_T,y_T)是加权平均色度。色度坐标(x_T,y_T)必须在与x(t)和y(t)有关的直线上。从颜色混合法则(15)我们可以看到，由混合两个光束产生的色度必须在原始光束的色度之间的直线段上。随后，(18a)或者(18b)是多余的。放弃(18a)是最方便的，因为(18a)略微比(18b)更复杂。从(17)和(18b)我们导出以下微分方程组：

方程(19)描述了两个耦合的常微分方程的方程组。在下文中，我们选择N＝2，因为否则该方程组是欠定的。

从(18a)和(18b)我们可以导出用于计算(x_T,y_T)的表达式。首先将(18a)和(18b)重写为

传递函数的域是毗邻的。因此，对于任何函数F(s)，我们有

$\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_i{\&Integral;}_{{\mathrm{\&eta;}}_i\left(0\right)}F\left(t\right)\mathrm{dt}={\&Integral;}_0^{\mathrm{\&pi;}/2}F\left(t\right)\mathrm{dt},---\left(21\right)$

并且从而，对(20)进行积分产生

其示出(x_T,y_T)的确是加权平均色度坐标。

在评估这些关系之前，我们将不得不选择σ₁和σ₂的值。目前，我们将选择σ₁＝1和σ₂＝-1。这一选择立即暗示了η₁和η₂的初始值。对于一些τ₁∈(0,π/2)，函数η₁应当将[0,θ_max]映射到区间[0,τ₁]，并且应当单调递增。这暗示η₁(0)＝0。类似地，函数η₂应当将[0,θ_max]映射到区间[τ₁,π/2]，并且η₂应当单调递减，所以η₂(0)＝π/2。如果(19)的系数矩阵不是奇异的，我们可以导出η′₁和η′₂的以下表达式：

3.2.可移除奇点

在θ＝0处，因为以及在(23)中我们得到用0除0。

定理1.假设以及还假设η′₁(0)≠0以及η′₂(0)≠0。在θ＝0处，我们有

证明。因为前文提到的η₁(θ)和η₂(θ)的性质，在θ↓0时，我们有和我们还有我们可以使用洛必达法则(l'rule)计算和

注意，如前文定义的，以及是左导数和右导数。针对θ↓0通过代入(25)来评估(23)产生(24)。还要注意，因为1/y(t)是单调函数、以及开方根下的表达式总是严格正的。

引理1.对于所有的θ∈[0,θ_max]，η₁(θ)≤η₂(θ)。

证明。假设对于一些0≤θ≤θ_max，η₁(θ)>η₂(θ)。(19a)的积分产生

通过使用(26)我们有：

(27)

其中最后的等式源于光通量守恒。这示出了针对η₁(θ)和η₂(θ)的这些值不可能是积分方程的解，并且我们可以得出结论η₁(θ)≤η₂(θ)。

现在我们定义t_av使得y(t_av)＝y_T。我们将看到η₁(θ_max)＝η₂(θ_max)＝t_av。

引理2.η₁(θ_max)＝η₂(θ_max)＝t_av。

证明。我们从引理1演绎出η₁(θ_max)≤η₂(θ_max)。从(26)我们可以看到，对于η₁(θ_max)<η₂(θ_max)，不满足光通量守恒，并且我们得出结论η₁(θ_max)＝η₂(θ_max)。对(19a)和(19b)从θ到θ_max进行积分以发现

通过使用η₁(θ_max)＝η₂(θ_max)，这简化成

假设对于一些θ，η₁(θ)>t_av。因为y(t)单调递增，对于t≥η₁(θ)，我们有y_T/y(t)<1，并且不满足(29)。类似地，如果η₂(θ)<t_av，则不满足(29)。我们可以得出结论η₁(θ)≤t_av并且η₂(θ)≥t_av。针对θ＝θ_max，结合这两个结果，我们可以得出结论

η₁(θ_max)＝t_av＝η₂(θ_max).   (30)

图5b示出上两个引理的结果：η₁的曲线总是在η₂下方，并且两条曲线结束于t_av。这造成在θ↑θmax处的第二奇点：η₁(θ)和η₂(θ)两者皆逼近y_T，并且再次在(23)中我们得到用0除0。

定理2.(23)在θ＝θ_max处的奇点可以利用下式移除

证明。通过使用洛必达法则和针对微分的链式法则，我们从(23)导出：

针对η₁(θ_max)和η₂(θ_max)求解这些产生(31)。这里我们忽略了η′₁(θ_max)＝η′₂(θ_max)＝0的可能性，但是代入(19)示出如果则η₁和η₂的导数的确必须是非零的。

4.数值结果

在第2节中描述的方法已经针对具有特别高的CoA变化的LED进行了测试。测量了该LED的色度和强度，并且该数据用于计算TIR准直器的自由表面。因为度在光学中更常用，本节中的计算和实验以度而非弧度来表达。我们使用光线追踪软件LightTools[1]评估了TIR准直器的性能[1]。

4.1.LED的建模

使用测向光度计对LED进行了测量。测向光度计是测量在不同立体角下的光的强度、色度以及许多其它特性的设备。我们的LED是在0度和90度之间的46个不同角度t(相对于表面法线)下以及在4个不同角度u下测量的。因为我们假设系统的旋转对称性，值对角度u求平均。

LED的测量强度已经在Matlab中使用多项式tⁱ-90ⁱ(其中i＝2,...,7)进行了拟合。选择这组多项式，因为它们在t＝90°处为零。此外，I(t,u)是平滑的，因此该组多项式在t＝0°处必须具有相对于t的为零的导数。线性最小二乘法拟合[5]产生系数C_i。以下有效强度函数已被用在Matlab计算中：

x和y色度值已使用多项式tⁱ(针对i＝0,2,3,4,5,6,7)进行拟合。选择这些多项式，因为它们在t＝0处具有为零的导数。线性最小二乘法拟合产生系数和在Matlab计算中使用的色度函数是

$x\left(t\right)=D_0^x+\underset{i=2}{\overset{7}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}_i^x{t}^i,---\left(34a\right)$

$y\left(t\right)=D_0^y+\underset{i=2}{\overset{7}{\mathrm{\&Sigma;}}}{D}_i^y{t}^i.---\left(34b\right)$

已经在求解微分方程(23)中使用(33)、(34a)和(34b)中的多项式。可以在图4a和4b中看到多项式的图。在3.1小节中假设的单调性在大于70°的角度下不满足，但是因为在该范围内的小的光通量，这不会影响针对ODE的数值求解方法和可解性。

在光线追踪程序LightTools中，构建3D模型以模拟LED。模型使用46个发射表面来构造。每一个表面发射在一定角度范围内的光。表面k＝2,3,...,45发射在角度范围(2(k-1)-1,2(k-1)+1)内、具有与在角度t＝2(k-1)下的测量结果对应的强度和色度坐标的光。表面1和46发射与在角度0和90下的测量数据对应的光，但是仅在范围(0,1)和(89,90)中发射。远场接收器被添加到模型中，其测量所发射的光线的角度并且根据蒙特卡罗光线追踪模拟计算强度和色度图案。

在图4a和4b中可以看到不具有准直器的LED的测量数据、最小二乘法拟合以及LightTools模型的光线追踪结果的比较。测量数据示出强度图案接近朗伯，但是在大角度下，在强度和色度值两方面显示出一些不规则性。这些不规则性是由于测量中的缺陷。前文在图3中已经示出了所测量的x和y色度坐标的散点图。该图的确示出了x和y之间的近线性关系。

图4.LED的测量数据、最小二乘法拟合以及LightTools模型的比较。

4.2.传递函数的计算

通过使用如在图4a和4b中看到的数据已经进行了示例计算。目标强度选择为在20°下具有半高全宽(FWHM)[12]的高斯分布[13]。这产生有效目标强度

其中0≤θ≤1.25θ_FWHM，θ_FWHM＝20°，并且选择C使得

通过使用例如Matlab中的ode45，我们可以求解微分方程(23)。针对在小θ下小的和的值，应使用关系(24)。然而，对于θ→θ_max，数值解(图5a)示出不能使用(31)求解的奇点。在该点处，η₁(θ)和η₂(θ)的曲线逼近线t＝t_av。因为在计算y_T、t_av中以及在求解微分方程中的微小计算误差，η函数将不会精确地收敛到t_av。在一个η函数与线t＝t_av交叉时，其它η函数的导数的符号发生改变。从该点开始，误差迅速增大。

这个问题的解决方案是实现自定义ODE求解程序，其在θ中的每一步重新计算y_T。这不会显著改变y_T的值，但是该微小修正显著稳定了求解程序。针对该实验，实现了自定义Runge-Kutta方法。方法计算在具有固定步长的离散水平θ₀,θ₁,...,θ_Ns下的η₁和η₂。在每一个θ_i处，根据下式对尚未积分的角度重新计算y_T的值：

然后，在Runge-Kutta算法的每一步中，值用于代替(23)中的y_T。这种方法稳定了求解程序。对于N_s＝500，该算法的运行时间是几秒钟。在图5b中可以看到针对所发现的示例问题利用这种方法的解。

图5.利用两种不同ODE求解程序的使用拟合数据以及在20度处具有半高全宽的目标强度的(23)的解。注意在ode45求解程序中θ＝θ_max处的不稳定性。

4.3.TIR准直器的评估

随后，通过使用在第2.2小节中所描述的方法，使用取得的传递函数计算TIR准直器。将该准直器转换成LightTools模型。每一个自由表面被离散化为500个点。在图6中可以看到该准直器的LightTools模型的效果。在准直器的底部中的开口具有5mm的半径，并且准直器具有9.47mm的高度。

图6.所设计的TIR准直器的LightTools模型的效果

通过追踪非分散模型中的10⁶光线，评估具有TIR准直器的LED的模型。为了确保点源行为，LED模型的大小被降低为0.01mm乘0.01mm。在图7中可以看到光线追踪的结果。有效强度示出在0和21度之间的正弦乘以高斯的预期轮廓。从该光的色度值判断，在21和24度之间的峰是由于来自反射表面的过高的强度，可能是由于LightTools中表面内插的缺陷。色度值是在两条直线上。在0和1度之间的值稍微过高。这部分光源于从LED的大角度，这是测量结果示出一些不规则性，以及尤其是测量结果中的y色度值比最小二乘法拟合中的高一点的地方。所发射的光的色度完全包含在一个麦克亚当椭圆(MacAdams ellipse)内，所以色差对于人眼来说并不明显。

图7.通过使用LightTools在两段准直器情况下的模拟结果。这里源具有0.01mm的宽度。条形图示出有效强度。开放和闭合点线示出x和y色度值。

5.结论

已经引入一种基于逆设计方法的新方法以用于降低LED发光系统中的CoA变化。导出了两个耦合的常微分方程的方程组。在第3节中讨论了求解方法的若干特性，并且在第4节中解决了对ODE系统进行积分的数值问题。已经针对具有TIR准直器的LED射灯实现了该方法。通过在光线追踪软件LightTools中的蒙特卡罗光线追踪已经针对点源测试了准直器。实验结果示出CoA变化降低到视觉感知的限值内(图7)。

本文中已经示出，通过使用逆方法，对于点光源来说，远场中的角颜色混合是可能的。同样地，已经示出通过混合来自光源的仅两个不同发射角的光，可能移除所有颜色变化。

在今后的研究中，我们想将光源的有限尺寸包括在方法中。LED通常具有毫米的直径，这与被认为是点源的光学尺寸相比过大。此外，我们感兴趣的是针对N>2的(19)的求解方法。这将允许针对更宽范围的准直器的传递函数的计算，并且允许TIR准直器更多的设计自由度。最后，针对具有曲线的xy色度特性的LED的等效方法将是感兴趣的。

参考文献

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Claims (13)

1.一种用于使光重新定向的圆形对称光学元件，所述光由光源通过波长转换元件发出，其中从所述波长转换元件发出的光具有依赖于从所述波长转换元件的发出角度的平均颜色c_A和波长分布，其中具有所述平均颜色c_A的光具有发出角度t_A，所述光学元件包括：

第一光学部分，被配置为接收从所述波长转换元件的发出角度小于t_A的光并且将所述光重新定向；和

第二光学部分，被配置为接收从所述波长转换元件的发出角度大于t_A的光并且将所述光重新定向；

其中所述第一光学部分和第二光学部分被单独配置，以便对于所述光学元件的每个经选择的耦出角度的光，存在由所述第一光学部分接收并重新定向到所述光学元件的所述经选择的耦出角度的光，并且存在由所述第二光学部分接收并重新定向到从所述光学元件的所述经选择的耦出角度的对应光，从而如远场中看到的从所述光学元件发出的总光束具有均一颜色。

2.根据权利要求1所述的光学元件，其中所述均一颜色对应于所述平均颜色c_A。

3.根据任一前述权利要求所述的光学元件，其中所述第一部分和第二部分之间的交叉点由t_A确定。

4.根据任一前述权利要求所述的光学元件，其中所述第一光学部分具有曲面，以用于接收从所述波长转换元件发出的光，并将所述光折射向所述光学元件的光输出表面。

5.根据任一前述权利要求所述的光学元件，其中所述第一光学部分是平凸透镜。

6.根据任一前述权利要求所述的光学元件，其中所述第二光学部分具有第一表面和第二曲面，所述第一表面用于接收并折射从所述波长转换元件发出的光，所述第二曲面用于接收在所述平面折射的所述光，并且将所述光反射向所述光学元件的光输出表面。

7.根据权利要求6所述的光学元件，其中所述第一表面是平面。

8.根据权利要求6所述的光学元件，其中所述第一表面是曲面。

9.根据权利要求6到8的任一项所述的光学元件，其中所述第二光学部分的所述第二曲面被分为具有不同曲率的两段。

10.根据任一前述权利要求所述的光学元件，其中从所述光学元件发出的所述光具有高斯强度分布。

11.一种照明设备，包括：

光源；

波长转换元件，被布置以便由所述光源发出的光穿过所述波长转换元件；和

根据权利要求1到10的任一项所述的光学元件，其被布置为接收由所述波长转换元件发出的光。

12.根据权利要求11所述的照明设备，其中所述光源为发光二极管。

13.根据权利要求11所述的照明设备，其中所述波长转换元件为磷光体元件。