CN104680527A - 一种基于自相关算法的混合沙粒径及级配的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于自相关算法的混合沙粒径及级配的测量方法，包括测量多组均匀沙平均粒径，建立校准图和得到混合沙粒径和级配三个步骤。通过数码相机拍摄均匀沙图像，利用自相关算法做出相关性曲线，利用相关性曲线回升计算平均粒径并建立混合沙的校准图；对混合沙也经自相关算法做出相关性代表曲线，加入到校准图中利用非线性规划解出各组分均匀沙的面积比，将面积比转换为质量比后得到级配，计算得平均粒径，绘制质量累积曲线和质量分布曲线，得到中值粒径。利用本发明可实现野外和实地的实时测量，通过通用易得的设备即可实现对混合沙的粒径与级配的准确测量。

Description

一种基于自相关算法的混合沙粒径及级配的测量方法

技术领域

本发明涉及一种混合沙粒径及级配的测量方法，特别适用于粒径在1-10mm之间的泥沙粒径及级配测量。

背景技术

泥沙与人类社会密切相关，一方面细沙可以淤灌农田，肥沃土地，粗沙可作建筑材料，另一方面泥沙颗粒会影响水利水运工程的建设成本和运营安全，因此泥沙颗粒粒径的测定对于河道整治，水库清淤等都具有重要的指导意义。泥沙粒径是泥沙最为基本的特性，是决定泥沙起动、输移与沉降等运动状态最重要的参数。传统的泥沙测量方法主要有筛分法、沉降法和激光衍射法。筛分法是最为传统的泥沙粒径测量方法，但需要在实验室内完成，耗时繁琐；沉降法对粒径的范围有严格要求，适用于0.062mm～1mm之间的细沙；激光衍射法则同样只适用于细沙，对外部环境十分敏感，对水质要求严苛，且实验仪器昂贵，无法普及推广使用。所以发明一种快捷简便，适用粒径范围广，设备成本低，可实地实时精确测量泥沙粒径及级配的技术具有十分重要的意义。

发明内容

针对上述问题，本发明提供一种操作简便，适用范围广，设备成本低，可以在实地实时精确测量泥沙粒径及级配的方法。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：一种基于自相关算法的混合沙粒径及级配的测量方法，包括以下步骤，

(1)选定涵盖目标混合沙尺寸范围的M组均匀沙，依次得到M组均匀沙的相关性代表曲线，并计算每组均匀沙的平均粒径，所述M为大于1的整数；具体包括以下子步骤：

(1.1)将沙样平铺在黑色平板上，用玻璃平板压平，移走玻璃板后放置尺寸标定物；

(1.2)通过数码相机拍摄沙样的图像；所述数码相机镜头与沙样所在的平面垂直，所述数码相机的距地距离H固定；

(1.3)通过图像中的尺寸标定物，确定实际长度与像素长度的比例关系；

(1.4)对图像进行灰度处理，得到灰度图像；对灰度图像进行图像增强处理，将灰度图像加大对比度；

(1.5)在加大对比度的灰度图像上选定目标区域，所述目标区域内不包括尺寸标定物；将目标区域从初始位置分别向上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向移动相同的位移S；当向上、下、左、右四个方向移动时，步长为L，位移步数为t，位移距离z＝L×t，最大步数为q且满足S＝q×L；当向左上、左下、右上、右下四个方向移动时，步长为位移步数为t，最大步数为位移S大于沙样的像素长度，且不超过灰度图像的边界，分别计算在八个方向上每移动一步后新的目标区域y与初始目标区域x之间的相关性r，相关性的计算公式为：

$r=\frac{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}(x_i^{\′}-\stackrel{\‾}{x^{\′}})(y_i^{\′}-\stackrel{\‾}{y^{\′}})}{\sqrt{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{(x_i^{\′}-\stackrel{\‾}{x^{\′}})}^2}\sqrt{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{(y_i^{\′}-\stackrel{\‾}{y^{\′}})}^2}}---\left(1\right)$

式中，x′_i和y′_i分别表示目标区域移动前后的区域内的对应像素点的灰度值，和则表示这两个区域的所有像素点灰度的平均值；

(1.6)以位移距离为横坐标，对应的相关性r的值为纵坐标，在同一坐标系下绘制八个移动方向的相关性曲线；

(1.7)确定八条相关性曲线各自达到第一次回升顶点时的位移距离，根据步骤1.3得到的比例关系，将位移距离转换成实际长度；

(1.8)选取八个方向计算得到的实际长度的平均值作为该组沙样的平均粒径；

(1.9)将八个移动方向的相关性曲线拟合成一条代表该沙样的相关性代表曲线；

(2)在同一坐标系下绘制M组均匀沙的相关性代表曲线，作为混合沙的校准图；

(3)对目标混合沙重复步骤1.1‐1.6，绘制其相关性代表曲线，其中，步骤1.5中选定P个目标区域，每个目标区域均得到八个方向的相关性曲线，将P×8个相关性曲线拟合成一条混合沙的相关性代表曲线，P为大于1的整数；

(4)结合步骤3得到的混合沙的相关性代表曲线和步骤2得到的混合沙的校准图，利用非线性规划方法，得到各组分均匀沙在混合沙图像中所占的面积比；具体为：

设计变量x：x＝[x₁,x₂,…x_j…,x_m]^T，x_j为第j组分均匀沙在混合沙图像中的面积比；

目标函数f(x)： $\min .f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(A_{i}x-b_i)}^2;$

式中A_i＝[a_i,1,a_i,2…a_i,j…a_i,m],a_i,j为对应于第j组分均匀沙的目标区域移动了第i个步长时的相关性值，b_i为目标混合沙的目标区域移动了第i个步长时的相关性值，n为M组均匀沙中平均粒径最小的组分的相关性代表曲线达到第一次回升顶点时的移动步长序号；

等式约束条件为：x₁+x₂+...+x_m＝1，即所有组分均匀沙在混合沙图像中所占的面积百分比的总和为1；

不等式约束条件为：0≤x_j≤1，即任意组分的均匀沙在混合沙图像中的面积百分比在0～1之间；

求解出各组分均匀沙在混合沙图像中所占的面积比；

(5)将步骤4得到的面积比转换为质量比，具体计算公式如下：

$x_j=\frac{n_j\mathrm{\π}{\left(\frac{r_j}{2}\right)}^2}{n_1\mathrm{\π}{\left(\frac{r_1}{2}\right)}^2+n_2\mathrm{\π}{\left(\frac{r_2}{2}\right)}^2+...+n_m\mathrm{\π}{\left(\frac{r_m}{2}\right)}^2}---\left(2\right)$

式中x_j为步骤4得的第j组分均匀沙组分在混合沙图像中的面积百分比，r_j为该组分均匀沙的平均粒径，利用式(2)求解出各组分均匀沙在混合沙图像中的数量比n_j；

$y_j=\frac{\mathrm{\ρ}\×n_j\frac{4}{3}\mathrm{\π}{\left(\frac{r_j}{2}\right)}^3}{\frac{4}{3}\mathrm{\ρ}[n_1\mathrm{\π}{\left(\frac{r_1}{2}\right)}^3+n_2\mathrm{\π}{\left(\frac{r_2}{2}\right)}^3+...+n_m\mathrm{\π}{\left(\frac{r_m}{2}\right)}^3]}---\left(3\right)$

把n_j带入到式(3)中计算出各组分均匀沙在混合沙中的质量百分比y_j，即得到了该混合沙的粒径级配；

(6)根据粒径级配计算得到该混合沙的平均粒径；

(7)根据粒径级配绘制质量累积曲线，依据质量累积曲线计算得出中值粒径；

(8)对质量累积曲线求导得到质量分布曲线。

本发明的有益效果是：本发明采用的测量设备均为常用设备，具有通用性，伴随数码科技的发展，设备成本将越来越低；本发明适用范围广，对任意粒径、任意级配下的混合沙都可进行测量；本发明操作简单可行，对外界环境要求低，适用于野外和现场测量；本发明基于的自相关算法不受目标颗粒物层叠、掩盖等影响；本发明基于的自相关算法只需少量取样，校准曲线可以多次使用；本发明基于的自相关算法精确到像素程度，经大量实验结果表明，与传统筛分法的测量结果十分吻合。

附图说明

图1是利用本发明的方法进行测量的测量装置示意图；

图2是本发明的实现流程图；

图3是实施例1中均匀沙与混合沙灰度处理后的图像,(a)、(b)、(c)、(d)、(e)分别为选取的5组均匀沙，(f)为待测的混合沙沙样；

图4是实施例1中混合沙灰度图像增强后的示意图；

图5是实施例1的校准图；

图6是实施例1中本发明与筛分法所测量的混合沙质量累积曲线的比较图；

图7是实施例1中本发明与筛分法所测量的混合沙质量分布曲线的比较图；

图8是实施例2中本发明与筛分法所测量的混合沙平均粒径的比较图；

图9是实施例2中本发明与筛分法所测量的混合沙中值粒径d₅₀的比较图；

图中，黑色平板1、三脚架2、水平仪3、数码相机4、尺寸标定物5、玻璃板6、目标沙样7、计算机8。

具体实施方式

以下实例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。

自相关算法可以捕捉沙样的纹理，利用沙样表面存在的纹理得到相应的相关性曲线，相关性曲线总是随着目标区域的移动先降低再回升，利用相似纹理的相关性回升可测量泥沙的平均粒径。不同粒径的沙相关性曲线不同，在同一分辨率下，细沙的相关性曲线降落更快，曲线更陡，依据此可以绘制不同粒径的均匀沙在同一分辨率下的相关性代表曲线，建立校准图。

同理，混合沙也有其相关性代表曲线，把它加入校准图，利用非线性规划方法可解得各组分均匀沙在图像中的面积比。将面积比转换为质量百分比后得到该混合沙的粒径级配并可计算目标混合沙平均粒径，根据粒径极配绘制质量累计曲线，依据质量累积曲线计算得出中值粒径，对质量累计曲线求导可得质量分布曲线。

实施例1：

图1显示了一套可实现本发明所述测量方法的测量设备，该测量设备由图像采集设备及计算机组成。所述图像采集设备包括黑色平板1、三脚架2、水平仪3、数码相机4、尺寸标定物5和玻璃板6；所述数码相机4与计算机8相连。

如图2所示，本发明是一种基于自相关算法的混合沙粒径及级配的测量方法，包括以下步骤，

(1)选取平均粒径1-10mm的5组均匀沙，依次得到5组均匀沙的相关性代表曲线，并计算每组均匀沙的平均粒径；具体包括以下子步骤：

(1.1)将沙样平铺在黑色平板1上，用玻璃平板7压平，移走玻璃板7后放置尺寸标定物5；

(1.2)通过数码相机4拍摄沙样的图像；所述数码相机4镜头与沙样所在的平面垂直，所述数码相机4的距地距离H固定；

(1.3)通过图像中的尺寸标定物5，确定实际长度与像素长度的比例关系；

(1.4)如图3所示，对图像进行灰度处理，得到灰度图像；如图4所示，对灰度图像进行图像增强处理，将灰度图像加大对比度；图3中(a)、(b)、(c)、(d)、(e)分别为选取的5组均匀沙，(f)为待测的混合沙沙样；图3中的尺寸标定物5都为10mm，拍摄图像时相机距地距离为47cm，图像的分辨率都为0.03mm/pixel；

(1.5)在加大对比度的灰度图像上选定目标区域，所述目标区域内不包括尺寸标定物5；将目标区域从初始位置分别向上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向移动相同的位移S；当向上、下、左、右四个方向移动时，步长为L，位移步数为t，位移距离z＝L×t，最大步数为q且满足S＝q×L；当向左上、左下、右上、右下四个方向移动时，步长为位移步数为t，最大步数为位移S大于沙样的像素长度，且不超过灰度图像的边界，分别计算在八个方向上每移动一步后新的目标区域y与初始目标区域x之间的相关性r，相关性的计算公式为：

$r=\frac{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}(x_i^{\′}-\stackrel{\‾}{x^{\′}})(y_i^{\′}-\stackrel{\‾}{y^{\′}})}{\sqrt{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{(x_i^{\′}-\stackrel{\‾}{x^{\′}})}^2}\sqrt{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{(y_i^{\′}-\stackrel{\‾}{y^{\′}})}^2}}---\left(1\right)$

式中，x′_i和y′_i分别表示目标区域移动前后的区域内的对应像素点的灰度值，和则表示这两个区域的所有像素点灰度的平均值；

(1.6)以位移距离为横坐标，对应的相关性r的值为纵坐标，在同一坐标系下绘制八个移动方向的相关性曲线；

(1.7)确定八条相关性曲线各自达到第一次回升顶点时的位移距离，根据步骤1.3得到的比例关系，将位移距离转换成实际长度；

(1.8)选取八个方向计算得到的实际长度的平均值作为该组沙样的平均粒径；

(1.9)将八个移动方向的相关性曲线拟合成一条代表该沙样的相关性代表曲线；所述拟合具体为：每一步上、下、左、右四个方向的相关性值取平均得r₁，将位移距离z和r₁带入多项式r＝p₁+p₂z^0.5+p₃z+p₄z^1.5+p₅z²+p₆z^2.5+p₇z³+p₈z^3.5+p₉z⁴+p₁₀z^4.5解出多项式的系数p₁，p₂…，p₁₀，再把新的位移距离带入到多项式中，求解出每一步的相关性平均值r₂，以r₂和左上、左下、右上、右下四个方向的相关性值的平均值为纵坐标，新的位移距离为横坐标，做出该沙样的相关性代表曲线；

(2)如图5所示，在同一坐标系下绘制5组均匀沙的相关性代表曲线，作为混合沙的校准图；经步骤(1.8)测得这5组均匀沙的平均粒径分别为2.48mm、2.82mm、3.34mm、4.38mm、5.12mm，在图5中的符号分别为点划线、实现、带叉号虚线、带点实线和虚线；

(3)对目标混合沙重复步骤1.1‐1.6，绘制其相关性代表曲线，其中，步骤1.5中选定P个目标区域，每个目标区域均得到八个方向的相关性曲线，将P×8个相关性曲线拟合成一条混合沙的相关性代表曲线，P为大于1的整数；具体拟合步骤同步骤(1.9)；图3(f)为目标混合沙经步骤1.4的灰度处理图，图4为目标混合沙灰度图经图像增强后的图像；

(4)结合步骤3得到的混合沙的相关性代表曲线和步骤2得到的混合沙的校准图，利用非线性规划方法，得到各组分均匀沙在混合沙图像中所占的面积比；具体为：

设计变量x：x＝[x₁,x₂,…x_j…,x_m]^T，x_j为第j组分均匀沙在混合沙图像中的面积比；

目标函数f(x)： $\min .f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(A_{i}x-b_i)}^2;$

式中A_i＝[a_i,1,a_i,2…a_i,j…a_i,m],a_i,j为对应于第j组分均匀沙的目标区域移动了第i个步长时的相关性值，b_i为目标混合沙的目标区域移动了第i个步长时的相关性值，n为M组均匀沙中平均粒径最小的组分的相关性代表曲线达到第一次回升顶点时的移动步长序号；

等式约束条件为：x₁+x₂+...+x_m＝1，即所有组分均匀沙在混合沙图像中所占的面积百分比的总和为1；

不等式约束条件为：0≤x_j≤1，即任意组分的均匀沙在混合沙图像中的面积百分比在0～1之间；

求解出各组分均匀沙在混合沙图像中所占的面积比；

(5)将步骤4得到的面积比转换为质量比，具体计算公式如下：

$x_j=\frac{n_j\mathrm{\π}{\left(\frac{r_j}{2}\right)}^2}{n_1\mathrm{\π}{\left(\frac{r_1}{2}\right)}^2+n_2\mathrm{\π}{\left(\frac{r_2}{2}\right)}^2+...+n_m\mathrm{\π}{\left(\frac{r_m}{2}\right)}^2}---\left(2\right)$

式中x_j为步骤4得的第j组分均匀沙组分在混合沙图像中的面积百分比，r_j为该组分均匀沙的平均粒径，利用式(2)求解出各组分均匀沙在混合沙图像中的数量比n_j；

$y_j=\frac{\mathrm{\ρ}\×n_j\frac{4}{3}\mathrm{\π}{\left(\frac{r_j}{2}\right)}^3}{\frac{4}{3}\mathrm{\ρ}[n_1\mathrm{\π}{\left(\frac{r_1}{2}\right)}^3+n_2\mathrm{\π}{\left(\frac{r_2}{2}\right)}^3+...+n_m\mathrm{\π}{\left(\frac{r_m}{2}\right)}^3]}---\left(3\right)$

把n_j带入到式(3)中计算出各组分均匀沙在混合沙中的质量百分比y_j，即得到了该混合沙的粒径级配；

(6)根据粒径级配计算得到该混合沙的平均粒径；计算公式为：

$M_d=\frac{\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{y}_j{r}_j}{\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{y}_j}$

式中y_j表示第j组均匀沙所占的质量百分比，r_j表示第j组均匀沙的平均粒径；

(7)如图6所示，根据粒径级配绘制质量累积曲线，依据质量累积曲线计算得出中值粒径；图6中实线表示利用本发明测量所得的质量累积曲线，虚线为采用传统筛分法所得到的质量累积曲线，结果表明采用本发明的测量方法与传统筛分法十分吻合；

(8)如图7所示，对质量累积曲线求导得到质量分布曲线；图7中实线为采用本发明测量方法所得的质量分布曲线，虚线为采用传统筛分法所得的质量分布曲线，结果表明，采用本发明的测量方法，可以得到与传统筛分法接近的结果。

实施例2：

将本发明方法应用于60组混合沙，同样利用图1所示的测量设备。测量步骤与实施例1相同，经步骤6后得到这60组混合沙的平均粒径，如图8所示，经步骤8后得到这60组混合沙的中值粒径，如图9所示。

将本发明方法测量得到的平均粒径与传统筛分法的测量结果进行比较，比较结果如图8所示，纵轴表示利用本发明即基于自相关算法所测量的平均粒径大小，横轴表示利用传统筛分法所测量的平均粒径的大小，每一个符号圆圈代表一组目标混合沙测得的平均粒径结果，结果贴近1:1所在的虚线，落在两条实线(1/2线与2倍线)之间，说明基于自相关算法的混合沙的平均粒径测量结果与传统的筛分法测量结果十分吻合。

将本发明方法测量得到的中值粒径与传统筛分法的测量结果进行比较，比较结果如图9所示，纵轴表示利用本发明即基于自相关算法所测量的中值粒径大小，横轴表示利用传统筛分法所测量的中值粒径的大小，每一个符号圆圈代表一张目标混合沙测得的中值粒径结果，结果贴近1:1所在的虚线，落在两条实线(1/2线与2倍线)之间，说明基于自相关算法的混合沙的中值粒径测量结果与传统的筛分法测量结果十分吻合。

本发明以1-10mm间的混合沙的测量为例，不局限于此粒径范围内的混合沙的粒径及级配的测量，任意粒径的混合沙的测量都在本发明的保护范围内。

Claims (1)

1.一种基于自相关算法的混合沙粒径及级配的测量方法，其特征在于，包括以下步骤，

(1)选定涵盖目标混合沙尺寸范围的M组均匀沙，依次得到M组均匀沙的相关性代表曲线，并计算每组均匀沙的平均粒径，所述M为大于1的整数；具体包括以下子步骤：

(1.1)将沙样平铺在黑色平板(1)上，用玻璃平板(7)压平，移走玻璃板(7)后放置尺寸标定物(5)；

(1.2)通过数码相机(4)拍摄沙样的图像；所述数码相机(4)镜头与沙样所在的平面垂直，所述数码相机(4)的距地距离H固定；

(1.3)通过图像中的尺寸标定物(5)，确定实际长度与像素长度的比例关系；

(1.4)对图像进行灰度处理，得到灰度图像；对灰度图像进行图像增强处理，将灰度图像加大对比度；

(1.5)在加大对比度的灰度图像上选定目标区域，所述目标区域内不包括尺寸标定物(5)；将目标区域从初始位置分别向上、下、左、右、左上、左下、右上、右下八个方向移动相同的位移S；当向上、下、左、右四个方向移动时，步长为L，位移步数为t，位移距离z＝L×t，最大步数为q且满足S＝q×L；当向左上、左下、右上、右下四个方向移动时，步长为位移步数为t，最大步数为位移S大于沙样的像素长度，且不超过灰度图像的边界，分别计算在八个方向上每移动一步后新的目标区域y与初始目标区域x之间的相关性r，相关性的计算公式为：

$r=\frac{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}(x_i^{\′}-\stackrel{\‾}{x^{\′}})(y_i^{\′}-\stackrel{\‾}{y^{\′}})}{\sqrt{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{(x_i^{\′}-\stackrel{\‾}{x^{\′}})}^2}\sqrt{\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{(y_i^{\′}-\stackrel{\‾}{y^{\′}})}^2}}---\left(1\right)$

式中，x′_i和y′_i分别表示目标区域移动前后的区域内的对应像素点的灰度值，和则表示这两个区域的所有像素点灰度的平均值；

(1.6)以位移距离为横坐标，对应的相关性r的值为纵坐标，在同一坐标系下绘制八个移动方向的相关性曲线；

(1.7)确定八条相关性曲线各自达到第一次回升顶点时的位移距离，根据步骤1.3得到的比例关系，将位移距离转换成实际长度；

(1.8)选取八个方向计算得到的实际长度的平均值作为该组沙样的平均粒径；

(1.9)将八个移动方向的相关性曲线拟合成一条代表该沙样的相关性代表曲线；

(2)在同一坐标系下绘制M组均匀沙的相关性代表曲线，作为混合沙的校准图；

(3)对目标混合沙重复步骤1.1‐1.6，绘制其相关性代表曲线，其中，步骤1.5中选定P个目标区域，每个目标区域均得到八个方向的相关性曲线，将P×8个相关性曲线拟合成一条混合沙的相关性代表曲线，P为大于1的整数；

(4)结合步骤3得到的混合沙的相关性代表曲线和步骤2得到的混合沙的校准图，利用非线性规划方法，得到各组分均匀沙在混合沙图像中所占的面积比；具体为：

设计变量x：x＝[x₁,x₂,…x_j…,x_m]^T，x_j为第j组分均匀沙在混合沙图像中的面积比；

目标函数f(x)： $\min .f\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{(A_{i}x-b_i)}^2;$

式中A_i＝[a_i,1,a_i,2…a_i,j…a_i,m],a_i,j为对应于第j组分均匀沙的目标区域移动了第i个步长时的相关性值，b_i为目标混合沙的目标区域移动了第i个步长时的相关性值，n为M组均匀沙中平均粒径最小的组分的相关性代表曲线达到第一次回升顶点时的移动步长序号；

等式约束条件为：x₁+x₂+...+x_m＝1，即所有组分均匀沙在混合沙图像中所占的面积百分比的总和为1；

不等式约束条件为：0≤x_j≤1，即任意组分的均匀沙在混合沙图像中的面积百分比在0～1之间；

求解出各组分均匀沙在混合沙图像中所占的面积比；

(5)将步骤4得到的面积比转换为质量比，具体计算公式如下：

$x_j=\frac{n_j\mathrm{\π}{\left(\frac{r_j}{2}\right)}^2}{n_1\mathrm{\π}{\left(\frac{r_1}{2}\right)}^2+n_2\mathrm{\π}{\left(\frac{r_2}{2}\right)}^2+...+n_m\mathrm{\π}{\left(\frac{r_m}{2}\right)}^2}---\left(2\right)$

式中x_j为步骤4得的第j组分均匀沙组分在混合沙图像中的面积百分比，r_j为该组分均匀沙的平均粒径，利用式(2)求解出各组分均匀沙在混合沙图像中的数量比n_j；

$y_j=\frac{\mathrm{\ρ}\×n_j\frac{4}{3}\mathrm{\π}{\left(\frac{r_j}{2}\right)}^3}{\frac{4}{3}\mathrm{\ρ}[n_1\mathrm{\π}{\left(\frac{r_1}{2}\right)}^3+n_2\mathrm{\π}{\left(\frac{r_2}{2}\right)}^3+...+n_m\mathrm{\π}{\left(\frac{r_m}{2}\right)}^3]}---\left(3\right)$

把n_j带入到式(3)中计算出各组分均匀沙在混合沙中的质量百分比y_j，即得到该混合沙的粒径级配；

(6)根据粒径级配计算得到该混合沙的平均粒径；

(7)根据粒径级配绘制质量累积曲线，依据质量累积曲线计算得出中值粒径；

(8)对质量累积曲线求导得到质量分布曲线。