CN104608768B - 一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置及方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于汽车主动安全技术领域，特别涉及一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置及方法，该辨别装置，包括：设置在本车前端中央的毫米波雷达、用于采集本车车速的车速传感器，所述毫米波雷达用于采集前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离，所述前方目标车辆与本车的相位角指：两车连线方向与本车前进方向的夹角，所述两车连线方向指前方车里后端中央与本车前端中央连线的方向；该辨别装置还包括：用于根据本车车速、前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离判断前方车辆是进入弯道还是进行换道的数据处理单元。

Description

一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置及方法

技术领域

本发明属于汽车主动安全技术领域，特别涉及一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置及方法。

背景技术

车辆主动安全系统能够大大降低驾驶员的劳动强度，并提高车辆行驶的安全性。雷达传感器(毫米波雷达)在车辆主动安全领域内被大量采用，通过分析车辆间的相对运动状态，可以对车辆运行安全性进行判断，当存在事故风险时可以对驾驶员进行报警。

通常而言，雷达所输出的数据是两车间的相对距离、相对角度和相对速度。在正常情况下，对上述3个参数进行分析判断即可准确了解前方其他车辆的运动状态。

从雷达返回的数据而言，前方车辆的运动状态存在两类相似的情况：第一种为前方车辆发生车道变换(简称换道)，第二种情况为前方车辆由直道进入弯道而自车还处于直道的情况。从雷达数据而言，这两种情况下雷达的数据特性较为相似，都是前方车辆相对于自车发生一定的横向运动。从目前主动安全系统的工作算法而言，暂时还没有考虑这两种情况，这也造成了一定的安全隐患，例如自适应巡航控制系统在遇到这种情况时系统可能会发生跟车错误。

发明内容

本发明的目的在于提出一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置及方法。

为实现上述技术目的，本发明采用如下技术方案予以实现。

技术方案一：

一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置包括：设置在本车前端中央的毫米波雷达、用于采集本车车速的车速传感器，所述毫米波雷达用于采集前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离，所述前方目标车辆与本车的相位角指：两车连线方向与本车前进方向的夹角，所述两车连线方向指前方车里后端中央与本车前端中央连线的方向；

所述前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置还包括：用于根据本车车速、前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离判断前方车辆是进入弯道还是进行换道的数据处理单元。

本技术方案的特点和进一步改进在于：

所述前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置还包括设置在本车内的CAN总线，所述数据处理单元通过CAN总线分别电连接毫米波雷达和车速传感器。

所述毫米波雷达为ESR毫米波雷达，所述车速传感器为OEM车速传感器。

所述毫米波雷达的采样频率为10Hz，所述车速传感器的采样频率为10Hz。

所述数据处理单元为单片机或ARM处理器。

技术方案二：

一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别方法，基于上述一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置，包括以下步骤：

步骤1，车速传感器实时采集本车车速，同时毫米波雷达实时采集前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离；车速传感器实时将采集的本车车速发送至数据处理单元，毫米波雷达将采集的前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离发送至数据处理单元；

步骤2，所述数据处理单元根据从设定时刻开始获取N个连续的采样时刻的车辆运行数据，得出所述从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标；所述车辆运行数据包括本车车速、前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离，所述预设二维直角坐标系的原点为设定时刻本车毫米波雷达所在位置，所述预设二维直角坐标系的y轴正向为本车前进方向；

步骤3，针对从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标，分别进行圆弧曲线拟合、缓和曲线拟合和多项式曲线拟合；得出所述三种曲线拟合的确定系数；

步骤4，当所述多项式曲线拟合的确定系数大于所述圆弧曲线拟合的确定系数且大于所述缓和曲线拟合的确定系数时，判断前方目标车辆正在进行换道；否则，判断前方车辆正在进入弯道。

本技术方案的特点和进一步改进在于：

在步骤2中，所述设定时刻根据以下过程进行确定：数据处理单元判断本车运行起始时刻前方目标车辆与本车的相位角是否超过设定角度阈值，如果是，则本车运行起始时刻为设定时刻，如果否，则数据处理单元在每个采样时刻判断前方目标车辆与本车的相位角是否超过设定角度阈值，将前方目标车辆与本车的相位角超过设定角度阈值的任一采样时刻作为设定时刻。

在步骤2中，得出所述从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标的过程为：

得出从设定时刻开始第1个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标(x_p1,y_p1)；x_p1＝r_1*sinθ₁,y_p1＝r_1*cosθ₁，其中，r₁表示从设定时刻开始第1个采样时刻前方目标车辆与本车的相对距离，θ₁表示从设定时刻开始第1个采样时刻前方目标车辆与本车的相位角；

得出从设定时刻开始第1个采样时刻本车在预设二维直角坐标系的位置坐标(x_h1,y_h1)，x_h1＝0，y_h1＝0；

令n＝2,3,…,N，得出从设定时刻开始第n个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标(x_pn,y_pn)；x_pn＝r_n*sinθ_n，y_pn＝y_hn+r_n*cosθ_n，其中，r_n表示从设定时刻开始第n个采样时刻前方目标车辆与本车的相对距离，θ_n表示从设定时刻开始第n个采样时刻前方目标车辆与本车的相位角，y_hn＝y_h(n-1)+v_n*Δt，y_h(n-1)表示从设定时刻开始第n-1个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的纵坐标，v_n表示从设定时刻开始第n个采样时刻本车的速度，Δt表示每两个相邻的采样时刻之间的时间间隔。

在步骤1中，当前方目标车辆位于本车右前方时，前方目标车辆与本车的相位角为正值，当前方目标车辆位于本车左前方时，前方目标车辆与本车的相位角为负值。

在步骤3中，圆弧曲线拟合的表达式为：

(x₁-a)²+(y₁-b)²＝R²

其中，x₁表示圆弧曲线的横坐标，y₁表示圆弧曲线的纵坐标，a表示圆弧曲线的圆心横坐标，b表示圆弧曲线的圆心纵坐标；R表示圆弧曲线的半径；

缓和曲线拟合的表达式为：

其中，x₂表示圆弧曲线的横坐标，y₂表示圆弧曲线的纵坐标；l表示缓和曲线长度，l₀表示缓和曲线全长，R'表示缓和曲线的曲率半径；

多项式曲线拟合的表达式为：

其中，x₃表示多项式曲线的横坐标，y₃表示多项式曲线的纵坐标；a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆分别表示多项式曲线的6个多项式系数。

本发明的有益效果为：本发明提供一种前方车辆进入弯道和进行换道的辨别装置及其辨识方法，可以用于辨识出前方车辆到底是发生了哪种行为，从而为车辆主动安全系统提供支持。

附图说明

图1为本发明的一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置的结构示意图；

图2为本发明的工作流程示意图；

图3为本发明中前方目标车辆进入弯道时的坐标示意图；

图4为本发明中前方目标车辆进行换道时的坐标示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明：

参照图1，为本发明的一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置的结构示意图。该前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置包括毫米波雷达，该毫米波雷达设置在本车前端中央(前保险杠正中央)，用于采集前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离，所述前方目标车辆与本车的相位角指：两车连线方向与本车前进方向的夹角，所述两车连线方向指前方车里后端中央与本车前端中央连线的方向。本发明实施例中，毫米波雷达为ESR毫米波雷达为ESR毫米波雷达，其距离测量精度为0.5m，角度精度为0.5°，采样频率为10Hz。

上述前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置还包括车速传感器，该车速传感器安装在车轮轴上，用于采集本车车速。本发明实施例中，车速传感器为OEM车速传感器，其采样精度为0.01km/h，采样频率为10Hz。

本发明实施例中，还设置有数据处理单元，用于根据本车车速、前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离判断前方车辆是进入弯道还是进行换道。数据处理单元的输入端分别电连接毫米波雷达的输出端以及车速传感器的输出端，数据处理单元可以采用多种硬件平台实现，例如数据处理单元为单片机或ARM处理器。

在数据处理单元中，判断前方车辆是进入弯道还是进行换道可以采用多种实现方式，下面举例说明其中的一种实现方式。数据处理单元用于获取N个连续的采样时刻的车辆运行数据，N为大于1的自然数，所述车辆运行数据包括本车车速、前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离；所述数据处理单元用于根据N个连续的采样时刻的车辆运行数据，得出N个连续采样时刻前方目标车辆在二维直角坐标系的坐标；所述数据处理单元用于针对N个连续采样时刻前方目标车辆在二维直角坐标系的坐标，进行圆弧曲线拟合、缓和曲线拟合和多项式曲线拟合；所述数据处理单元用于得出三种曲线拟合的确定系数，用于在多项式曲线拟合的确定系数大于圆弧曲线拟合的确定系数且大于缓和曲线拟合的确定系数时，判断前方目标车辆正在进行换道；所述数据处理单元用于在圆弧曲线拟合的确定系数大于等于多项式曲线拟合的确定系数或缓和曲线拟合的确定系数大于等于多项式曲线拟合的确定系数时，判断前方车辆正在进入弯道。

为了使数据处理单元能够顺利接收到毫米波雷达和车速传感器的输出信号，在本发明中还设置有CAN总线1，该CAN总线为车载CAN总线，数据处理单元通过CAN总线分别电连接毫米波雷达和车速传感器。如果毫米波雷达的输出信号为RS485信号，则需要在毫米波雷达和CAN总线1之间设置485转CAN转换器，实现两种不同的总线数据之间的格式转换。本发明实施例中，485转CAN转换器的转换频率为10赫兹。

参照图2，为本发明的工作流程示意图；为了对本发明的一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置作出更清楚的说明，下面简要说明本发明的一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置的工作流程。

当本车沿所在车道直行时，车速传感器实时采集本车车速，同时毫米波雷达实时采集前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离；车速传感器实时将采集的本车车速发送至数据处理单元，毫米波雷达将采集的前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离发送至数据处理单元。本发明实施例中，当前方目标车辆位于本车右前方时，前方目标车辆与本车的相位角为正值，当前方目标车辆位于本车左前方时，前方目标车辆与本车的相位角为负值。

数据处理单元根据从设定时刻开始获取N个连续的采样时刻的车辆运行数据，得出所述从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标，N为大于1的自然数。车辆运行数据包括本车车速、前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离，预设二维直角坐标系的原点为设定时刻本车毫米波雷达所在位置，预设二维直角坐标系的y轴正向为本车前进方向。

具体地说，毫米波雷达和车速传感器的采样频率一致，上述说明中采样时刻指的是毫米波雷达和车速传感器采样时刻。而设定时刻根据以下过程进行确定：数据处理单元判断本车运行起始时刻前方目标车辆与本车的相位角是否超过设定角度阈值(例如15度)，如果是，则说明前方目标车辆在本车运行起始时刻正在进行换道或者正在进入弯道，此时将本车运行起始时刻为设定时刻；如果否，则说明前方目标车辆在本车运行起始时刻正在沿本车所在车道直行，此时数据处理单元在每个采样时刻判断前方目标车辆与本车的相位角是否超过设定角度阈值，将前方目标车辆与本车的相位角超过设定角度阈值的任一采样时刻作为设定时刻，例如，将前方目标车辆与本车的相位角超过设定角度阈值的第一采样时刻作为设定时刻。

本发明实施例中，预设二维直角坐标系的x轴正向可以设置为本车前进方向向左旋转90度的方向或者本车前进方向向右旋转90度的方向。下面以x轴正向为本车前进方向向右旋转90度的方向为例进行说明。

参照图3，为本发明中前方目标车辆进入弯道时的第一坐标示意图；参照图4，为本发明中前方目标车辆进行换道时的第二坐标示意图；本发明实施例中，得出所述从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标的过程为：

得出从设定时刻开始第1个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标(x_p1,y_p1)，x_p1表示横坐标，y_p1表示纵坐标；x_p1＝r_1*sinθ₁,y_p1＝r_1*cosθ₁，其中，r₁表示从设定时刻开始第1个采样时刻(也就是设定时刻)前方目标车辆与本车的相对距离，θ₁表示从设定时刻开始第1个采样时刻前方目标车辆与本车的相位角。在得出从设定时刻开始第1个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标的同时，得出从设定时刻开始第1个采样时刻本车在预设二维直角坐标系的位置坐标(x_h1,y_h1)，其中，x_h1表示横坐标，y_h1表示纵坐标，由于从设定时刻开始第1个采样时刻就是设定时刻，显然有x_h1＝0，y_h1＝0。

令n＝2,3,…,N，得出从设定时刻开始第n个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标(x_pn,y_pn)，x_pn表示横坐标，y_pn表示纵坐标；x_pn＝r_n*sinθ_n，y_pn＝y_hn+r_n*cosθ_n，其中，r_n表示从设定时刻开始第n个采样时刻前方目标车辆与本车的相对距离，θ_n表示从设定时刻开始第n个采样时刻前方目标车辆与本车的相位角，y_hn＝y_h(n-1)+v_n*Δt，y_h(n-1)表示从设定时刻开始第n-1个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的纵坐标，v_n表示从设定时刻开始第n个采样时刻本车的速度，Δt表示每两个相邻的采样时刻之间的时间间隔。

本发明实施例中，毫米波雷达和车速传感器的采样频率均为10Hz，即每0.1秒采集一次数据，则每两个相邻的采样时刻之间的时间间隔Δt为0.1s。N的值设为20，这样，数据处理单元可以根据2s时间窗口内的20组坐标数据判断前方目标车辆的行为，能够满足实时性的要求。

在得出所述从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标之后，针对从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标，分别进行圆弧曲线拟合、缓和曲线拟合和多项式曲线拟合；得出所述三种曲线拟合的确定系数。

本发明实施例中，圆弧曲线拟合的表达式为：

(x₁-a)²+(y₁-b)²＝R²

其中，x₁表示圆弧曲线的横坐标，y₁表示圆弧曲线的纵坐标，a表示圆弧曲线的圆心横坐标(前车行驶轨迹的圆心横坐标)，b表示圆弧曲线的圆心纵坐标(前车行驶轨迹的圆心纵坐标)；R表示圆弧曲线的半径(前车行驶轨迹的半径)。

缓和曲线拟合的表达式为：

其中，x₂表示圆弧曲线的横坐标，y₂表示圆弧曲线的纵坐标；l表示缓和曲线长度，l₀表示缓和曲线全长，R'表示缓和曲线的曲率半径。

多项式曲线拟合的表达式为：

其中，x₃表示多项式曲线的横坐标，y₃表示多项式曲线的纵坐标；a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆分别表示多项式曲线的6个多项式系数。由于多项式次数过大会造成计算量过大，曲线复杂，并且降低数据处理单元的运算效率，而多项式次数太小又不能充分拟合，本发明中，将多项式方程的最大次数定为5。

本发明实施例中，将圆弧曲线拟合的确定系数表示为将缓和曲线拟合的确定系数表示为将多项式曲线拟合的确定系数表示为通过确定系数的大小可以判断曲线的拟合优度(确定系数的取值范围为[0,1]，确定系数的值越接近1，说明曲线的拟合优度越高)。由于前方车辆在进入弯道时的行驶轨迹类似于圆弧曲线和缓和曲线，而前方车辆进行换道时的轨迹曲线类似于多项式曲线，所以当多项式曲线拟合的确定系数大于圆弧曲线拟合的确定系数且大于缓和曲线拟合的确定系数时，判断前方目标车辆正在进行换道；否则，如果圆弧曲线拟合的确定系数大于等于多项式曲线拟合的确定系数或缓和曲线拟合的确定系数大于等于多项式曲线拟合的确定系数时，判断前方车辆正在进入弯道。

综上所述，本发明的基本原理是通过使用车载毫米波雷达检测前方车辆相对于本车的相位角和相对距离，同时利用车速传感器检测本车速度，并将其发送给数据处理单元。假设本车沿直线行驶，从某一时刻开始，以本车位置为原点，建立二维直角坐标系，通过雷达数据计算前方车辆的坐标，随着时间推移，坐标原点不变，通过本车车速和雷达数据可以得到一系列前方车辆的位置坐标点，对前方车辆的位置坐标点用圆弧曲线、缓和曲线或多项式曲线进行拟合，通过确定系数的大小区分前方车辆进入弯道和换道，若圆弧曲线或缓和曲线方程的确定系数大于多项式方程的确定系数，则前方车辆被判定为进入弯道，若多项式方程的确定系数同时大于圆弧曲线和缓和曲线方程的确定系数，则判定为换道。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (5)

1.一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别方法，应用于前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别装置，所述辨别装置包括：设置在本车前端中央的毫米波雷达、用于采集本车车速的车速传感器以及数据处理单元；所述毫米波雷达用于采集前方目标车辆与本车的相位角以及前方目标车辆与本车的相对距离，其中，所述前方目标车辆与本车的相位角指：两车连线方向与本车前进方向的夹角，所述两车连线方向指前方车里后端中央与本车前端中央连线的方向；所述数据处理单元用于根据本车车速、前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离判断前方车辆是进入弯道还是进行换道；

其特征在于，所述辨别方法包括以下步骤：

步骤1，所述车速传感器实时采集本车车速，同时所述毫米波雷达实时采集前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离；所述车速传感器实时将采集的本车车速发送至所述数据处理单元，所述毫米波雷达将采集的前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离发送至所述数据处理单元；

步骤2，所述数据处理单元根据从设定时刻开始获取N个连续的采样时刻的车辆运行数据，得出所述从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标；所述车辆运行数据包括本车车速、前方目标车辆与本车的相位角、以及前方目标车辆与本车的相对距离，所述预设二维直角坐标系的原点为设定时刻本车毫米波雷达所在位置，所述预设二维直角坐标系的y轴正向为本车前进方向；

步骤3，针对从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标，分别进行圆弧曲线拟合、缓和曲线拟合和多项式曲线拟合；得出所述三种曲线拟合的确定系数；

步骤4，当所述多项式曲线拟合的确定系数大于所述圆弧曲线拟合的确定系数且大于所述缓和曲线拟合的确定系数时，判断前方目标车辆正在进行换道；否则，判断前方车辆正在进入弯道。

2.如权利要求1所述的一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别方法，其特征在于，在步骤2中，所述设定时刻根据以下过程进行确定：数据处理单元判断本车运行起始时刻前方目标车辆与本车的相位角是否超过设定角度阈值，如果是，则本车运行起始时刻为设定时刻，如果否，则数据处理单元在每个采样时刻判断前方目标车辆与本车的相位角是否超过设定角度阈值，将前方目标车辆与本车的相位角超过设定角度阈值的任一采样时刻作为设定时刻。

3.如权利要求1所述的一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别方法，其特征在于，在步骤2中，得出所述从设定时刻开始N个连续的采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标的过程为：

得出从设定时刻开始第1个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标(x_p1，y_p1)；x_p1＝r₁*sinθ₁，y_p1＝r₁*cosθ₁，其中，r₁表示从设定时刻开始第1个采样时刻前方目标车辆与本车的相对距离，θ₁表示从设定时刻开始第1个采样时刻前方目标车辆与本车的相位角；

得出从设定时刻开始第1个采样时刻本车在预设二维直角坐标系的位置坐标(x_h1，y_h1)，x_h1＝0，y_h1＝0；

令n＝2，3，...，N，得出从设定时刻开始第n个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的位置坐标(x_pn，y_pn)；x_pn＝r_n*sinθ_n，y_pn＝y_hn+r_n*cosθ_n，其中，r_n表示从设定时刻开始第n个采样时刻前方目标车辆与本车的相对距离，θ_n表示从设定时刻开始第n个采样时刻前方目标车辆与本车的相位角，y_hn＝y_h(n-1)+v_n*Δt，y_h(n-1)表示从设定时刻开始第n-1个采样时刻前方目标车辆在预设二维直角坐标系的纵坐标，v_n表示从设定时刻开始第n个采样时刻本车的速度，Δt表示每两个相邻的采样时刻之间的时间间隔。

4.如权利要求1或3所述的一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别方法，其特征在于，在步骤1中，当前方目标车辆位于本车右前方时，前方目标车辆与本车的相位角为正值，当前方目标车辆位于本车左前方时，前方目标车辆与本车的相位角为负值。

5.如权利要求1所述的一种前方目标车辆进入弯道和进行换道的辨别方法，其特征在于，在步骤3中，圆弧曲线拟合的表达式为：

(x₁-a)²+(y₁-b)²＝R²

其中，x₁表示圆弧曲线的横坐标，y₁表示圆弧曲线的纵坐标，a表示圆弧曲线的圆心横坐标，b表示圆弧曲线的圆心纵坐标；R表示圆弧曲线的半径；

缓和曲线拟合的表达式为：

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其中，x₂表示圆弧曲线的横坐标，y₂表示圆弧曲线的纵坐标；l表示缓和曲线长度，l₀表示缓和曲线全长，R′表示缓和曲线的曲率半径；

多项式曲线拟合的表达式为：

<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>3</mn> <mn>3</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>5</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>6</mn> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>3</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mrow>

其中，x₃表示多项式曲线的横坐标，y₃表示多项式曲线的纵坐标；a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆分别表示多项式曲线的6个多项式系数。