CN104598433A - 一种基于对称稀疏矩阵技术的cu三角分解求取电力系统节点阻抗矩阵的方法 - Google Patents

Abstract

一种基于对称稀疏矩阵技术的CU三角分解求取电力系统节点阻抗矩阵Z的方法，属于电力系统分析计算领域。主要包括以下步骤：读入n节点系统各线路支路数据；形成节点导纳矩阵Y；根据Y阵元素的稀疏性和对称性对Y阵进行CU三角分解；按对称性回代求取Z阵元素；写Z阵数据到数据文件。本发明根据CU三角分解法元素结构的特点，提出CU合成矩阵的概念，方便对计算过程的理解而且节省存贮单元；采用对称稀疏矩阵技术不但省去了大量元素的计算，而且可简化所有uij元素的计算，继而大大提高了Z阵元素的求取速度。本发明方法原理简单、计算快捷。用本发明对IEEE-30、-57、-118节点系统进行验算，与不考虑对称性与稀疏性的CU三角分解法相比，计算速度提高约45％。

Description

一种基于对称稀疏矩阵技术的CU三角分解求取电力系统节点阻抗矩阵的方法

技术领域

本发明属于电力系统分析计算领域，涉及一种基于对称稀疏矩阵技术的CU三角分解快速求取电力系统节点阻抗矩阵的方法。

背景技术

在电力系统中用三角分解法求取节点阻抗矩阵Z时一般都使用A＝LDU三角分解法，但实际上，由于计算过程和计算变量的不同，LDU三角分解法的计算效率远低于CU三角分解法，因此用CU三角分解法求取Z阵元素应该是更好的选择。但在传统的CU三角分解法中，一般均未考虑利用元素的稀疏性和对称性，从而导致大量零元素的计算，使计算效率大大降低。

电力系统计算中稀疏矩阵技术运用很广，主要为省去大量零元素的存贮及计算，加快高斯消元法的计算速度。矩阵元素的存贮方案也很多，如按坐标存贮、按顺序存贮、按链表存贮等等。尽管这些存贮方式可以省去不少存贮单元，但计算速度并没有达到最优效果，而且这些存贮方式结构复杂，且对角元素与非对角元素分开存贮也使得存取过程繁琐，特别不利于对称矩阵中的数据处理。实际上，这些存贮方式主要为减少存贮单元，对存贮过程的简化或存贮速度的提高并没有特别优势。而且这些存贮方式主要用于高斯消元法中，极少用于三角分解法中。由于传统的稀疏矩阵技术一般不考虑矩阵元素结构的特点对非零元素进行存贮，这种存贮方式在进行CU三角分解计算时无法利用C、U因子阵元素的对称性、稀疏性及其相互间的关系等特点。因此如果将传统的稀疏矩阵技术用于三角分解法中，其计算过程较繁琐复杂、计算速度较慢、计算效果也并不理想。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种基于对称稀疏矩阵技术的CU三角分解求取电力系统节点阻抗矩阵的方法。

本发明是通过以下技术方案实现的。

本发明包括以下步骤：

步骤1：读入n节点系统各线路支路数据；

步骤2：形成节点导纳矩阵Y；

步骤3：根据Y阵元素及其在三角分解过程中的稀疏性和对称性结构进行A＝CU三角分解；

步骤3中具体实施过程如下：

(1)提出合成矩阵的概念。下式左侧为4阶Y阵，在此基础上建立C、U二个因子阵，其中C阵是下三角阵，c_ii≠1；U阵是单位上三角阵，u_ii＝1。根据其因子阵结构的特点，可建立下式右侧的4阶合成矩阵。

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cccc}{Y}_{11}& Y_{12}& Y_{13}& Y_{14}\\ Y_{21}& Y_{22}& Y_{23}& Y_{24}\\ Y_{31}& Y_{32}& Y_{33}& Y_{34}\\ Y_{41}& Y_{42}& Y_{43}& Y_{44}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& u_{12}& u_{13}& u_{14}\\ c_{21}& c_{22}& u_{23}& u_{24}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}& u_{34}\\ c_{41}& c_{42}& c_{43}& c_{44}\end{array}\right]\end{array}$

(2)合成阵中，C、U阵各元素与Y阵元素的关系如下。

$\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}=Y_{11}& u_{12}=Y_{12}/c_{11}& u_{13}=Y_{13}/c_{11}& u_{14}=Y_{14}/c_{11}\\ & c_{22}=& u_{23}=& u_{24}=\\ c_{21}=Y_{21}& Y_{22}-c_{21}{u}_{12}& (Y_{23}-c_{21}{u}_{13})/c_{22}& (Y_{24}-c_{21}{u}_{14})/c_{22}\\ & c_{32}=& c_{33}=& u_{34}=\\ c_{31}=Y_{31}& Y_{32}-c_{31}{u}_{12}& Y_{33}-(c_{31}{u}_{13}+c_{32}{u}_{23})& [Y_{34}-(c_{31}{u}_{14}+c_{32}{u}_{24})]/c_{33}\\ & c_{42}=& c_{43}=& c_{44}=\\ c_{41}=Y_{41}& Y_{42}-c_{41}{u}_{12}& Y_{43}-(c_{41}{u}_{13}+u_{42}{u}_{23})& Y_{44}-(c_{41}{u}_{14}+c_{42}{u}_{24}+c_{43}{u}_{34})\end{array}\right]$

(3)从合成阵可以看出，C、U阵各元素之间在任何情况下均有规律性的对应关系：如u_ij＝c_ji/c_ii，这使得任一对角元以右的u_ij元素与对角元以下的c_ji元素尽管数值不等，但非零元素的位置对称。利用此特点，只需计算对角元以下非零的c_ji元素，就可根据u_ij＝c_ji/c_ii关系得到对角元以右非零的u_ij元素，从而大大简化对非零的u_ij元素的计算。

(4)从合成阵可以看出，在同一行的c_ij、u_ij元素之间，所有元素的计算都类似于对对角元左侧的c_ij元素逐个进行消元，只是消元过程结束后对角元右侧的各个u_ij元素均要除以其所在行的对角元素c_ii。

(5)假设c₃₁≠0，则对c₁₁元素之下的c₃₁元素要进行消元。先定义c₁₁元素为对角元素，c₁₁右侧的所有u_1j元素均定义为交叉元素，c₃₁元素定义为消元元素，则c₃₁右侧的所有元素均定义为计算元素。消元过程中若不考虑元素的稀疏性，则要计算c₃₁元素右侧的所有元素c₃₂、c₃₃、u₃₄。若采用稀疏性技术，则仅仅计算不为零的c₃₁元素所在行与不为零的u_1j元素所在列相交的计算元素，从而大大减少相应元素的计算。

(6)当对角元左侧的c₃₁、c₃₂元素被消元后，将c₃₃右侧非零的u₃₄元素(以及与u₃₄元素同行的任一非零元素u_4j)除以其所在列的对角元素c₂₂，并直接赋值给c₃₃以下的c₄₃(以及与c₄₃元素同列的任一非零元素c_i3)元素。

此时(5)和(6)所采用的就是对称稀疏性技术。该技术不但利用元素的稀疏性省去了大量元素的计算，而且利用了元素的对称性，可简化所有u_ij元素的计算。

依次循环，完成合成阵所有元素的计算，得到C、U因子阵的合成阵。

步骤4：根据CUZ_k＝E_k回代求取Z_k阵对角元Z_kk及以上的非对角元素；

步骤5：根据对称性求取对角元Z_kk以左的非对角元素；

步骤6：将Z阵写入数据文件以备后续程序使用。

考虑到程序的结构化，所形成的Z阵数据文件可由下一个程序调用执行。

本发明方法具有以下几点优点。

(1)三角分解后的C、U阵放在一个合成阵中不但方便对计算过程的理解而且节省存贮单元。

(2)三角分解过程中，合成阵中的C、U阵非零元素位置始终对称，可省去大量判断语句；且在求得对角元以下非零的c_ji元素后除以其所在列相应的对角元素c_ii，就可得对角元以右非零的u_ij元素，可简化所有u_ij元素的计算。

(3)三角分解过程中，只需计算非零的c_ji元素所在行与非零的u_ij元素所在列相交的元素，从而大大减少计算元素的计算量，快速完成前代过程。

附图说明

图1为传统的不考虑元素稀疏性和对称性的CU三角分解法求取Z阵元素流程图。

图2为本发明方法求取Z阵元素流程图。

具体实施方式

本发明将通过以下实施例作进一步说明。

实施例1。

分别用传统的不考虑元素稀疏性和对称性的CU三角分解法(图1)以及本发明方法(图2)对IEEE-30、-57、-118节点系统的Y阵求其Z阵元素，并比较其“分解”和“分解+回代”过程的平均计算时间。计算结果如表1所示。

表1 稀疏性及对称性对CU三角分解法“分解”和“分解+回代”过程时间的影响

T₁：传统的CU三角分解法在“分解”过程的平均计算时间

T₂：本发明方法在“分解”过程的平均计算代时间

T₁₁：传统的CU三角分解法在“分解+回代”过程的平均计算时间

T₂₁：本发明方法在“分解+回代”过程的平均计算时间

根据表1可以看出： 

无论是“分解”过程还是“分解+回代”过程，本发明方法的计算速度大大优于传统方法的计算速度。

以IEEE-118节点系统为例，在“分解”过程中，本发明方法的平均计算时间仅占传 统方法时间的1.03％；而在“分解+回代”过程中，本发明方法也仅占传统方法时间的56.46％。这是由于本发明方法仅针对三角分解过程，而未针对回代过程的缘故。且随着节点数的增加，本发明方法在“分解”过程的优势也随之增加，但由于求取Z阵元素的回代过程所需的计算时间较长，因此本发明方法在“分解+回代”过程的优势不会随着节点数的增加而明显增加，但基本保持在计算时间减少约45％的水平。

此外，实施例1主要为讨论稀疏性和对称性对“分解”过程的影响，并没有考虑“回代”过程中对方程的进一步简化所得到的计算速度的提高。如果考虑E阵结构的特殊性，则“分解+回代”过程的计算速度还可在此基础上提高不少。

上述计算结果表明，在CU三角分解法中引入本发明的对称稀疏矩阵技术可大大加快求取电力系统Z阵元素的速度。

本方法可以采用任何一种编程语言和编程环境实现，这里采用C++编程语言，开发环境是Visual C++。

Claims (1)

1.一种基于对称稀疏矩阵技术的CU三角分解求取电力系统节点阻抗矩阵的方法，其特征包括以下步骤：

步骤1：读入n节点系统各线路支路数据；

步骤2：形成节点导纳矩阵Y；

步骤3：根据Y阵元素及其在三角分解过程中的稀疏性和对称性结构进行A＝CU三角分解；

步骤4：根据CUZ_k＝E_k回代求取Z_k阵对角元Z_kk及以上的非对角元素；

步骤5：根据对称性求取对角元Z_kk以左的非对角元素；

步骤6：将Z阵写入数据文件。