CN104596466B - 大口径光学非球面元件的两段轮廓拼接测量方法 - Google Patents

Abstract

大口径光学非球面元件的两段轮廓拼接测量方法，涉及非光学球面元件。首先提出一种基于曲率半径不变原理对齐重叠区域数据点的方法。其次根据多体系统运动学理论、斜率差值和逆推法建立两段面形轮廓拼接的初步优化数学模型。最后根据初步拼接数学模型的仿真结果，对初步拼接误差进行线性最小二乘拟合，去除累积误差，提出最终的两段拼接优化算法。利用Taylor Hobson轮廓仪和辅助测量夹具对150mm的平面光学元件进行测量实验并用拼接优化算法进行数据处理，实验结果表明，拼接误差的标准偏差最大为0.868μm，能满足磨削阶段光学元件的高精度面形检测要求。

Description

大口径光学非球面元件的两段轮廓拼接测量方法

技术领域

本发明涉及非光学球面元件，尤其是涉及一种大口径光学非球面元件的两段轮廓拼接测量方法。

背景技术

在光学系统中使用大口径非球面元件能够有效地矫正像差，改善像质，减少光学元件数量，从而减小光学系统的外形尺寸和重量，使光学系统或仪器的光学性能大大提高。因此，大口径非球面元件正越来越多地被用于空间光学、军事、高科技民用等领域。但是，非球面轮廓测量设备主要由国外垄断，大口径轮廓测量设备或价格高昂或难以得到，所以大口径非球面光学元件加工精度和效率的提高受到了相当大程度的制约。因此，采用可获得的小口径高精度检测设备，通过拼接测量的方法实现对大口径非球面的准确测量具有重要意义和广阔的应用前景。

目前，针对大口径非球面光学元件的检测问题，国内外许多学者对基于激光干涉仪的子孔径拼接技术进行了研究，王孝坤等(王孝坤等.子孔径拼接干涉检测凸非球面的研究[J].光学学报，2010，30(7):2023-2026.)提出利用子孔径拼接干涉检测凸非球面的新方法，并实现非零位补偿法对大口径非球面的测量；Axel(Axel.Accuracy evaluation forsub-aperture interferometry measurements of a synchrotron mirror usingvirtual experiments[J].Precision Engineering,2011,35(2)：183-190.)等应用辅助设备对非球面的子孔径拼接测量技术进行了实验研究。然而子孔径拼接的方法并不适用于只经过磨削的光学元件，这是因为磨削加工主要保证元件面型精度，磨削加工后的元件透明度不高，无法产生干涉现象。因此利用小量程高精度轮廓仪拼接检测磨削阶段的大口径光学元件轮廓具有现实意义。贾立德等(贾立德等.高陡度保形光学镜面多段拼接测量方法[J].中国机械工程，2009,20(10)：1159-1162)针对高陡度保形光学镜面提出了基于多段拼接的坐标测量方法，但并没有给出相应的拼接算法以及坐标拼接测量中重叠区域对齐的解决方法。

发明内容

为解决上述问题，本发明的目的在于提供可解决重叠区域数据点对齐的关键问题，并能够实现磨削阶段光学元件的高精度检测的一种大口径光学非球面元件的两段轮廓拼接测量方法。

本发明包括以下步骤：

1)假设相邻两段面形轮廓的测量值分别为(x_i，y_i，z_i)和(x_j，y_j，z_j)，其中i＝1，2，3...m和j＝1，2，3...n；根据多体系统运动学理论，为了实现两段坐标的归一化，其运算结果如下：

$\left(\begin{array}{c}{x}_j^{\text{'}}\\ y_j^{\text{'}}\\ z_j^{\text{'}}\\ 1\end{array}\right)=R\×T\×\left(\begin{array}{c}{x}_j\\ y_j\\ z_j\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{\ΔZ}\\ 0\end{array}\right)---\left(1\right)$

$R=\left(\begin{array}{cccc}\cos \mathrm{\θ}& 0& -\sin \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& 0& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(2\right)$

$T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& P\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(3\right)$

θ＝α+Δα；P＝L+ΔL (4)

式(1)即为两段面形轮廓拼接初步优化数学模型，式中(x'_j,y'_j,z'_j)为(x_j,y_j,z_j)在第一段轮廓(x_i,y_i,z_i)坐标系下的表示；R为工件绕Y轴旋转的运动矩阵；T为工件沿X平移的运动矩阵；θ为工件绕Y轴旋转的总旋转角度，包括由于轮廓仪测量限制而给定的旋转角度α和未知的旋转运动误差Δα；P为工件沿X轴运动的总平移量，包括由于轮廓仪测量限制而给定的平移量L和未知的平移运动误差ΔL；ΔZ为传感器在Z轴方向上的移动误差；

2)假设在第一段测量数据(x_i,y_i,z_i)，i＝1，2，3...m中重叠部分数据为(x_a,y_a,z_a)，a＝1，2，3...t，t<m；第二段测量数据(x_j,y_j,z_j)，q＝1，2，3...n中重叠部分数据为(x_b,y_b,z_b)，b＝1，2，3...t，t<n；两段面形轮廓斜率k_ai、k_bi可以用该段数据点集中每相邻两点间的斜率来表示，而两组斜率点集k_ai、k_bi中对应数据点之差k_i即为工件绕Y轴旋转的总旋转角度θ的正切值；

$k_{\mathrm{ai}}=\frac{z_{a+1}-z_a}{x_{a+1}-x_a},\mathrm{ai}=\mathrm{1,2,3}...t-1,a=\mathrm{1,2,3}...t-1---\left(5\right)$

$k_{\mathrm{bi}}=\frac{z_{b+1}-z_b}{x_{b+1}-x_b},\mathrm{bi}=\mathrm{1,2,3}...t-1,b=\mathrm{1,2,3}...t-1---\left(6\right)$

k_i＝k_bi-k_ai,ai、bi、i＝1,2,3...t-1 (7)

$\mathrm{\&theta;}=\arctan \frac{\underset{i=1}{\overset{t-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{k}_i}{t-1}---\left(8\right)$

3)设点集(x'_j,y'_j,z'_j)中重叠部分的数据为(x_c,y_c,z_c)，c＝1，2，3...t，t<n；在理想条件下，(x_c,y_c,z_c)与(x_a,y_a,z_a)是重叠区域面形在同一坐标系下的表示，因此是相等的；将求得的总旋转角度θ，代入式(9)～(11)，可求得P、ΔZ；式中r_i表示X方向上的偏差量，s_i表示Z方向上的偏差量；

$\left(\begin{array}{c}{r}_i\\ 0\\ s_i\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\\ 1\end{array}\right)-R\&times;\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\\ 1\end{array}\right),i=\mathrm{1,2,3}...t---\left(9\right)$

$p=\frac{1}{t}\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_i---\left(10\right)$

$\mathrm{\&Delta;Z}=\frac{1}{t}\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_i---\left(11\right)$

4)对齐重叠区域数据点，如方程组(12)所示，所述对齐重叠区域数据点的方法如下：

首先，分别对相邻段重叠区域的两组数据进行非球面方程最小二乘拟合，得到两条不同的重叠部分拟合曲线；方程组(12)中式(1)所示为非球面方程，其中a为非球面类型选择因子，当a＝1时，可选择按照轴对称非球面方程进行拟合；当a＝0时，可选择按照非轴对称非球面方程进行拟合；c＝R^-1，R为非球面基础曲率半径，C_s＝1/R_s，R_s＝-R_y+Ax²+Bx⁴+Cx⁶+Dx⁸+Ex¹⁰+Fx¹²，其中，R_s为非球面副轴半径，R_x为非球面主轴基础半径，R_y为非球面副轴基础半径，A，B，C，D，E，F为非球面副轴系数，k为非球面系数；

其次，依据第一段轮廓中重叠区域的测量值(x_a,y_a,z_a)求得重叠区域在点集(x_a,y_a,z_a)下对应的曲率值r_a，a＝1,2,3...t，并以其为基准，方程组(12)中式(2)所示为求解各点曲率半径的公式；

然后，取第二段轮廓中重叠区域的测量值(x_b,y_b,z_b)以及前后非重叠区域的部分测量值为数据点集(x_d,y_d,z_d)，d＝1,2,3...t+s，其中s为多取的非重叠区域数据点数，并按照方程组(12)中式(2)求得数据点集(x_d,y_d,z_d)对应的曲率值r_d，d＝1,2,3...t+s；

最后，将第二组曲率值r_d与第一组基准曲率值r_a进行匹配，即在r_d中顺序找出一组r_d'，d'＝1,2,3...t，使得数据点集r_d'与r_a中对应点的差值之和最小，则r_d’即为理论上的第二段重叠部分数据，F为匹配后的最小曲率差值之和，如方程组(12)中式(3)所示；

$\left\{\begin{array}{c}z=a\&CenterDot;\frac{-c\&CenterDot;x^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\&CenterDot;c^2\&CenterDot;x^2}}+(1-a)[-R_x+\sqrt{R_x^2-x^2}+\frac{C_s{y}^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\&CenterDot;C_s^2\&CenterDot;y^2}}]---\left(1\right)\\ r=\left|\frac{{(1+{\left(z^{\text{'}}\right)}^2)}^{3/2}}{z^{\text{'}\text{'}}}\right|---\left(2\right)\\ F=\min \underset{a,d^{\text{'}}=1}{\overset{t}{\mathrm{\&Sigma;}}}{r}_{d^{\text{'}}}-r_a,a,d^{\text{'}}=\mathrm{1,2,3}...t---\left(3\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

5)针对工件运动误差对拼接检测结果的影响进行相应的仿真，初步仿真结果中拼接误差图均呈一定角度偏转，并近似为一条直线，这是因为初步两段拼接数学模型运算中引入了相应的累积误差，所以针对初步拼接后的轮廓可进行累积误差的进一步优化，提高拼接测量精度，具体方法为：先利用式(15)所示的线性最小二乘拟合方程拟合拼接误差数据，得到斜率值对应的偏转角度β和Z方向的偏差b，再将β和b补偿回初步的两段拼接数学模型中，如式(16)和式(17)所示。最终得到累积误差拟合后的两段拼接数学模型，如式(18)所示，其中R₁是补偿后的旋转矩阵，是补偿后的总旋转角度，w是补偿后的Z方向误差，(x″_j,y″_j,z″_j)为最后拼接优化算法所得(x_j,y_j,z_j)在第一段坐标系下的表示。

z＝tanβ*x+b (15)

$\left(\begin{array}{c}{x}_j^{\text{'}\text{'}}\\ y_j^{\text{'}\text{'}}\\ z_j^{\text{'}\text{'}}\\ 1\end{array}\right)=R_1\&times;T\&times;\left(\begin{array}{c}{x}_j\\ y_j\\ z_j\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ w\\ 0\end{array}\right)---\left(18\right)$

本发明首先提出一种基于曲率半径不变原理对齐重叠区域数据点的方法。其次根据多体系统运动学理论、斜率差值和逆推法建立两段面形轮廓拼接的初步优化数学模型。最后根据初步拼接数学模型的仿真结果，对初步拼接误差进行线性最小二乘拟合，去除累积误差，提出最终的两段拼接优化算法。利用Taylor Hobson轮廓仪和辅助测量夹具对150mm的平面光学元件进行测量实验并用拼接优化算法进行数据处理，实验结果表明，拼接误差的标准偏差最大为0.868μm，能满足磨削阶段光学元件的高精度面形检测要求。

附图说明

图1为本发明实施例的原理图。

图2为本发明实施例的仿真流程图。

图3为本发明实施例仿真中的整段面形轮廓图。

图4为本发明实施例仿真中的分段轮廓示意图(第二段轮廓设置1′旋转误差和1μm平移误差为例)。

图5为本发明实施例仿真中不同旋转误差下的初步拼接结果图。

图6为本发明实施例仿真中不同平移误差下的初步拼接结果图。

图7为本发明实施例仿真中有无对齐重叠段数据时的拼接结果比较图。

图8为本发明实施例的拼接结果图。其中，(a)、(b)、(c)表示三组不同的实验结果。曲线1为初步拼接结果，曲线2为累积误差拟合后的拼接结果。

具体实施方式

以下实施例将结合附图对本发明作进一步说明。

如图1所示，将被测工件表面轮廓分为AB段和CD段。X方向为轮廓仪传感器水平运动方向，Z方向为轮廓仪传感器垂直测量方向。首先在状态1下测量AB段轮廓；之后将工件绕坐标轴平移和旋转至状态2，使工件重新回到传感器量程范围内，测量CD段轮廓；并保证两段轮廓间有一定的重叠区域，为CB段；最后通过重叠区域面形将分段轮廓进行拼接，重构出被测工件面形轮廓。在测量过程中，由于工件的旋转和平移运动，会引入未知的运动误差，即绕Y轴的旋转误差以及沿X轴的平移误差；此外，在工件运动至下一状态前，需要先抬起轮廓仪传感器使其离开工件表面，避免传感器损伤，待工件运动完成后，再重新下压传感器，因此由于传感器的运动也存在着沿Z方向的移动误差。重叠区域内工件的面形轮廓始终保持不变，所以当工件运动至状态2后，重叠区域面形轮廓的斜率差值可以认为是由旋转运动引起的，即斜率差值等于工件绕Y轴旋转的总旋转角度θ的正切值。

如图2～6所示，利用轮廓仪测量大口径光学元件的表面轮廓时，需要根据轮廓仪的量程相应地对工件进行平移和旋转运动，这势必将引入运动误差，即初步拼接算法中所提的Δα和ΔL。工件的运动是由固定工件的夹具来完成的，由于夹具一般都是机械结构，在平移和旋转工件时引入的运动误差比轮廓仪传感器本身的检测误差(轮廓仪传感器的检测精度能达到0.1μm)要大的多，所以工件运动误差对拼接检测结果将有很大影响。如图2所示，对建立的初步拼接优化数学模型进行仿真，流程如下:首先在Matlab中生成理论方程为y＝a+bx+cx²+dx³+ex⁴+fx⁵+gx⁶+hx⁷的非球面轮廓，具体参数设置如表1，同时添加正态分布的随机函数作为轮廓仪传感器的检测误差(误差的仿真系数为0.1μm，与轮廓仪传感器的检测精度相匹配)，从而获得整段面形轮廓数据，并以此作为单次测量的基准数据，如图3所示；然后将整段面形轮廓分为两段，使其有一定重叠区域，第一段轮廓只设置表示传感器检测误差的随机函数(仿真系数为0.1μm)；为了验证在不同旋转误差和平移误差下初步拼接算法的准确性，第二段轮廓设置如表2所示的参数，并进行两组不同仿真，第一组设置平移误差为1μm不变，旋转误差分别为1′、10′、20′、30′、40′、50′和60′，第二组设置旋转误差为1′不变，平移误差分别为1μm、2μm、3μm、4μm、5μm以及10μm。图4是第二段轮廓以1′旋转误差和1μm平移误差为例的分段轮廓示意图。如图5所示，随着旋转误差增大，拼接检测结果变化并不明显，当把旋转误差控制在60′以内时，拼接误差标准偏差最大为0.66μm。如图6所示，随着工件平移误差增大，拼接误差也明显增大，当把平移误差控制在5μm以内时，拼接误差标准偏差最大为3μm。但是，初步仿真结果中拼接误差均呈一定角度偏转，并近似为一条直线，按照步骤5利用最终的两段轮廓拼接优化算法处理图5和图6的数据后，所得的拼接误差不存在累积误差，其标准偏差在0.16μm，能满足磨削阶段光学元件的面形检测要求。

表1

a	-0.964
		b	-0.0902
c	0.0158
		d	-5.76×10-4
e	1.06×10-5
		f	-1.12×10-7
g	6.36×10-10
		h	-1.49×10-12

表2

传感器检测误差系数	0.1μm
		工件平移量	10mm
工件旋转量	5°

在实际测量中，一方面由于工件在X方向上的水平移动存在着一定的运动误差，另一方面传感器接触到工件表面时由于相互间的作用力会使得传感器在X方向产生一定的偏移量，从而造成两段重叠部分的数据点并不能够精确的匹配。因此，如何精确对齐相邻段重叠区域的数据点，使得因重叠数据点不匹配而引起的拼接误差降到最小，是拼接数据处理中的关键问题。如图7所示，为了验证提出的重叠区域数据点对齐方法，本发明设置如表3所示参数进行仿真并作对比。其中第一组是将分段轮廓数据直接运用初步拼接算法，得到拼接测量结果与整段面形轮廓相比的误差值；第二组是将分段轮廓数据先进行重叠区域数据点对齐的优化，然后再运用初步拼接算法。当重叠段数据点未对齐时，两段拼接后的轮廓与整段轮廓相比的误差标准偏差为0.66μm；而当对齐重叠段数据点后，两段拼接后的轮廓与整段轮廓相比的误差标准偏差为0.16μm。

表3

传感器检测误差系数	0.1μm
		工件平移量	10mm
工件旋转量	5°
		工件平移的误差系数	1μm
工件旋转的误差系数	1′

表4

如图8和表4所示，利用Taylor Hobson公司的PGI 1240轮廓仪及辅助测量夹具，针对本发明提出的两段轮廓拼接优化算法进行实验验证。PGI 1240轮廓仪的量程为200mm，分辨率为0.8nm；辅助测量夹具可实现XY方向移动，量程为410mm×110mm，并配有sigma公司的高精度角位台GOHT-60A35B，可实现绕Y轴的旋转运动。同时该夹具配备数显表，显示精度为1μm。选取200mm×200mm的平面光学元件进行实验。实验方案为：1)对平面光学元件进行规划划分，选取150mm的一条轮廓线作为整段轮廓，并将该轮廓线划分为两段长均为85mm和75mm的分段，重叠部分长度为10mm；2)工件的平移运动通过转动夹具X轴的手轮来实现，并通过数显表读数来控制移动距离，工件的旋转运动通过在转动角位台旋钮来实现。3)先对150mm的整段轮廓进行测量，再对85mm的第一条分段轮廓进行测量，接着平移旋转运动工件后对第二条分段轮廓进行测量；4)对该轮廓线进行三组重复实验。分别使用初步拼接数学模型和最终拼接数学模型处理实验数据，当累积误差去除后拼接误差标准偏差最大为0.868μm，满足磨削阶段大口径光学元件的面形检测要求。

Claims (1)

1.大口径光学非球面元件的两段轮廓拼接测量方法，其特征在于包括以下步骤：

1)假设相邻两段面形轮廓的测量值分别为(x_i，y_i，z_i)和(x_j，y_j，z_j)，其中i＝1，2，3...m和j＝1，2，3...n；根据多体系统运动学理论，为了实现两段坐标的归一化，其运算结果如下：

$\left(\begin{array}{c}{x}_j^{\&prime;}\\ y_j^{\&prime;}\\ z_j^{\&prime;}\\ 1\end{array}\right)=R\&times;T\&times;\left(\begin{array}{c}{x}_j\\ y_j\\ z_j\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{\&Delta;}Z\\ 0\end{array}\right)---\left(1\right)$

$R=\left(\begin{array}{cccc}cos\mathrm{\&theta;}& 0& -sin\mathrm{\&theta;}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ sin\mathrm{\&theta;}& 0& \cos \mathrm{\&theta;}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(2\right)$

$T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& P\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(3\right)$

θ＝α+Δα；P＝L+ΔL (4)

式(1)即为两段面形轮廓拼接初步优化数学模型，式中(x'_j,y'_j,z'_j)为(x_j,y_j,z_j)在第一段轮廓(x_i,y_i,z_i)坐标系下的表示；R为工件绕Y轴旋转的运动矩阵；T为工件沿X平移的运动矩阵；θ为工件绕Y轴旋转的总旋转角度，包括由于轮廓仪测量限制而给定的旋转角度α和未知的旋转运动误差Δα；P为工件沿X轴运动的总平移量，包括由于轮廓仪测量限制而给定的平移量L和未知的平移运动误差ΔL；ΔZ为传感器在Z轴方向上的移动误差；

2)假设在第一段测量数据(x_i,y_i,z_i)，i＝1，2，3...m中重叠部分数据为(x_a,y_a,z_a)，a＝1，2，3...t，t<m；第二段测量数据(x_j,y_j,z_j)，j＝1，2，3...n中重叠部分数据为(x_b,y_b,z_b)，b＝1，2，3...t，t<n；两段面形轮廓斜率k_ai、k_bi可以用该段数据点集中每相邻两点间的斜率来表示，而两组斜率点集k_ai、k_bi中对应数据点之差k_i即为工件绕Y轴旋转的总旋转角度θ的正切值；

$k_{ai}=\frac{z_{a+1}-z_a}{x_{a+1}-x_a},ai=1,2,3...t-1,a=1,2,3...t-1---\left(5\right)$

$k_{bi}=\frac{z_{b+1}-z_b}{x_{b+1}-x_b},bi=1,2,3...t-1,b=1,2,3...t-1---\left(6\right)$

k_i＝k_bi-k_ai,ai、bi、i＝1,2,3...t-1 (7)

$\mathrm{\&theta;}=\arctan \frac{\underset{i=1}{\overset{t-1}{\&Sigma;}}{k}_i}{t-1}---\left(8\right)$

3)设点集(x'_j,y'_j,z'_j)中重叠部分的数据为(x_c,y_c,z_c)，c＝1，2，3...t，t<n；在理想条件下，(x_c,y_c,z_c)与(x_a,y_a,z_a)是重叠区域面形在同一坐标系下的表示，因此是相等的；将求得的总旋转角度θ，代入式(9)-(11)，可求得P、ΔZ；式中r_i表示X方向上的偏差量，s_i表示Z方向上的偏差量；

$\left(\begin{array}{c}{r}_i\\ 0\\ s_i\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\\ 1\end{array}\right)-R\&times;\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\\ 1\end{array}\right),i=1,2,3...t---\left(9\right)$

$p=\frac{1}{t}\underset{i=1}{\overset{t}{\&Sigma;}}{r}_i---\left(10\right)$

$\mathrm{\&Delta;}Z=\frac{1}{t}\underset{i=1}{\overset{t}{\&Sigma;}}{s}_i---\left(11\right)$

4)对齐重叠区域数据点，如方程组(12)所示，所述对齐重叠区域数据点的方法如下：

首先，分别对相邻段重叠区域的两组数据进行非球面方程最小二乘拟合，得到两条不同的重叠部分拟合曲线；方程组(12)中式(1)所示为非球面方程，其中a为非球面类型选择因子，当a＝1时，可选择按照轴对称非球面方程进行拟合；当a＝0时，可选择按照非轴对称非球面方程进行拟合；c＝R^-1，R为非球面基础曲率半径，C_s＝1/R_s，R_s＝-R_y+Ax²+Bx⁴+Cx⁶+Dx⁸+Ex¹⁰+Fx¹²，其中，R_s为非球面副轴半径，R_x为非球面主轴基础半径，R_y为非球面副轴基础半径，A，B，C，D，E，F为非球面副轴系数，k为非球面系数；

其次，依据第一段轮廓中重叠区域的测量值(x_a,y_a,z_a)求得重叠区域在点集(x_a,y_a,z_a)下对应的曲率值r_a，a＝1,2,3...t，并以其为基准，方程组(12)中式(2)所示为求解各点曲率半径的公式；

然后，取第二段轮廓中重叠区域的测量值(x_b,y_b,z_b)以及前后非重叠区域的部分测量值为数据点集(x_d,y_d,z_d)，d＝1,2,3...t+s，其中s为多取的非重叠区域数据点数，并按照方程组(12)中式(2)求得数据点集(x_d,y_d,z_d)对应的曲率值r_d，d＝1,2,3...t+s；

最后，将第二组曲率值r_d与第一组基准曲率值r_a进行匹配，即在r_d中顺序找出一组r_d'，d'＝1,2,3...t，使得数据点集r_d'与r_a中对应点的差值之和最小，则r_d’即为理论上的第二段重叠部分数据，F为匹配后的最小曲率差值之和，如方程组(12)中式(3)所示；

$\left\{\begin{array}{cc}z=a\&CenterDot;\frac{-c\&CenterDot;x^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\&CenterDot;c^2\&CenterDot;x^2}}+(1-a)\&lsqb;-R_x+\sqrt{R_x^2-x^2}+\frac{C_s{y}^2}{1+\sqrt{1-(1+k)\&CenterDot;C_s^2\&CenterDot;y^2}}\&rsqb;& \left(1\right)\\ r=\frac{\left|{(1+{\left(z^{\&prime;}\right)}^2)}^{3/2}\right|}{z^{\&prime;\&prime;}}& \left(2\right)\\ F=\min \underset{a,d^{\&prime;}=1}{\overset{t}{\&Sigma;}}{r}_{d^{\&prime;}}-r_a,d^{\&prime;}=1,2,\mathrm{3...}t& \left(3\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

5)针对工件运动误差对拼接检测结果的影响进行相应的仿真，初步仿真结果中拼接误差图均呈一定角度偏转，并近似为一条直线，这是因为初步两段拼接数学模型运算中引入了相应的累积误差，所以针对初步拼接后的轮廓可进行累积误差的进一步优化，提高拼接测量精度，具体方法为：先利用式(15)所示的线性最小二乘拟合方程拟合拼接误差数据，得到斜率值对应的偏转角度β和Z方向的偏差b，再将β和b补偿回初步的两段拼接数学模型中，如式(16)和式(17)所示，是补偿后的总旋转角度，最终得到累积误差拟合后的两段拼接数学模型，如式(18)所示，其中R₁是补偿后的旋转矩阵，w是补偿后的Z方向误差，(x″_j,y″_j,z″_j)为最后拼接优化算法所得(x_j,y_j,z_j)在第一段坐标系下的表示；

z＝tanβ*x+b (15)

$\left(\begin{array}{c}{x}_j^{\&prime;\&prime;}\\ y_j^{\&prime;\&prime;}\\ z_j^{\&prime;\&prime;}\\ 1\end{array}\right)=R_1\&times;T\&times;\left(\begin{array}{c}{x}_j\\ y_j\\ z_j\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ w\\ 0\end{array}\right)---\left(18\right).$