CN104573167B

CN104573167B - 连接不完美匹配nurbs面片以形成适于有限元分析的计算机模型

Info

Publication number: CN104573167B
Application number: CN201410503337.4A
Authority: CN
Inventors: 斯蒂芬·哈特曼
Original assignee: Livermore Software Technology LLC
Current assignee: Livermore Software Technology LLC
Priority date: 2013-10-11
Filing date: 2014-09-26
Publication date: 2018-09-14
Anticipated expiration: 2034-09-26
Also published as: US20180129764A1; CN104573167A; US20150106065A1

Abstract

本申请公开了用于连接不完美匹配NURBS面片以形成适于有限元分析的计算机模型的技术。接收用于沿着物理边界连接在一起的第一和第二面片的定义，物理边界在不完美匹配的第一曲线和第二曲线中定义。两个曲线的节点矢量都被标准化，使得参数长度分别等于物理长度。具有较少数量的控制点的曲线作为主曲线，另一曲线作为从曲线。如果曲线部分重叠，则第一和第二曲线被调整，使得第一和第二投影点分别对应于共同曲线的起始和结束位置。通过计算从曲线的控制点与主曲线的控制点的依赖度，确定用于沿着物理边界数值连接面片的一组线性约束等式。面片、以及约束等式使得能够从中创建适于有限元分析的计算机模型。

Description

连接不完美匹配NURBS面片以形成适于有限元分析的计算机模型

技术领域

本发明总的涉及计算机辅助工程分析，更具体地涉及用于连接不完美匹配非均匀有理基础样条(Non-Uniform Rational Basis Splines，NURBS)面片以形成适于有限元分析(FEA)的计算机模型的方法和系统。

背景技术

随着计算机技术的进步，计算机辅助工程(CAE)和计算机辅助设计(CAD)已经被用于协助工程师/科学家来设计各种行业(例如，汽车、航空等)中的产品。一种首先发展的CAE技术是有限元分析(FEA)，它是在行业中广泛用于建模和求解与复杂系统(例如三维非线性结构设计和分析)相关的工程问题的计算机方法。FEA的名字源于被考虑的物体的几何形状被规定的方式。

FEA软件提供了几何形状描述的模型、以及模型(有时候指的是FEA网格模型)内的每个点的相关材料特性。在这个模型中，被分析的系统的几何形状由各种尺寸的实体、壳体以及梁表示，它们被称为单元。单元的顶点被称为节点。所述模型由有限数量的单元组成，它们被赋予材料名称，从而将单元与材料特性关联起来。因此所述模型表示被分析的物体沿着它周围的环境所占据的物理空间。然后FEA软件引用了表格，在表格中每种材料类型的特性(例如，应力-应变构成等式、杨氏模量、泊松比、导热性)都被制成表格。此外，还规定了物体的边界条件(也就是，负荷、物理约束等)。用这种方式，创建物体及其环境的模型。

此外，被称为计算机辅助设计(CAD)的行业被发展用于表示产品的几何形状，例如表面建模。在CAD中，使用了主要基于NURBS的曲线和表面。通常，产品的设计被封装在CAD系统中，并从CAD数据生成FEA网格模型。因此，FEA网格模型由产品的近似几何形状表示。通常采用半自动化方式执行这样的FEA网格模型的生成。为了克服这些缺陷，开发出了基于NURBS的FEA。

由于CAD和FEA的不同要求，存在与基于NURBS的FEA相关的缺点。其中的一个缺点与剪裁NURBS表面描述相关。特别地，剪裁NURBS表面包括下层的规则NURBS表面，具有定义下层的表面面片被显示或者不被显示的附加剪裁线。虽然剪裁NURBS在CAD中运行良好，但是它在FEA中的使用仍是当前研究中的主题，并不是最先进的。代替直接使用原始的剪裁NURBS表示，它将首先会被剪切为一组较小的规则NURBS面片。接下来必须为该较小的规则NURBS面片创建一组新的NURBS参数，以适用于FEA(例如，维持面片边界处的连续性)。但是创建一组NURBS参数是冗长且困难的任务。

因此，期望有用于连接不完美匹配NURBS面片以形成适于有限元分析的计算机模型的方法和系统。

发明内容

这部分用于概述本发明的某些方面并简要介绍一些优选的实施例。可以对此处的这部分以及摘要和名称做出简化和省略，以避免使得这部分的目的变得不明显。这样的简化或省略并不用于限制本发明的范围。

本申请公开了用于连接不完美匹配NURBS面片以形成适于有限元分析的计算机模型的方法和系统。根据本发明的一方面，在计算机系统中接收第一和第二NURBS面片的定义。第一和第二NURBS面片将沿着物理边界连接在一起，物理边界在第一面片的第一曲线和第二面片的第二曲线中定义，第一曲线具有第一组控制点，第一组控制点具有相关的权重和对应的第一节点矢量；第二曲线具有第二组控制点，第二组控制点具有相关的权重和对应的第二节点矢量。第一曲线和第二曲线采用不同的控制点、权重和节点矢量定义。两个曲线的节点矢量均被标准化，使得参数长度分别等于物理长度。

表示物理边界的共同曲线被确定。所述共同曲线可以是第一曲线和第二曲线之间的重叠部分。接下来，采用以下方式调整(例如，按比例缩放和移位)第一和第二曲线节点矢量值：设置u＝0将会得到投影点设置u＝L_c将会得到投影点(参照图7C-7E)。在重叠部分具有较少数量的控制点的曲线被指定为主曲线，另一曲线被指定为从曲线。

通过计算从曲线的控制点与主曲线的控制点的依赖度，得到用于沿着物理边界数值连接第一和第二NURBS面片的一组线性约束等式。面片和沿着物理边界的这组约束等式一起，使得从中创建的计算机模型适用于有限元分析。

根据另一方面，使用主曲线和从曲线之间的虚拟插入和虚拟移除技术、或者选择性地使用图7F所示的S的伪逆来确定依赖度。

通过以下结合附图对具体实施方式的详细描述，本发明的其他目的、特征和优点将会变得显而易见。

附图说明

参照以下的描述、后附的权利要求和附图，将会更好地理解本发明的这些和其它特征、方面和优点，其中：

图1A-1C共同示出了根据本发明的实施例的用于连接不完美匹配NURBS面片以形成适于有限元分析的计算机模型的示范性过程的流程图；

图2是根据本发明的一个实施例的沿着物理边界连接在一起的示范性NURBS面片的示意图；

图3A-3B是根据本发明的实施例的示范性的部分重叠的NURBS面片的示意图；

图4是根据本发明的实施例的两个示范性不完美匹配NURBS面片、以及它们的相关控制点和节点矢量的平面图；

图5A-5C是根据本发明的实施例的示范性创建控制点依赖度的示意图；

图6A-6B是根据本发明的实施例的使用图1A-1B所示的示范性过程创建的示范性计算机模型的示意图；

图7A-7F是采用根据本发明的一个实施例的示范性方法连接在一起的不完美匹配NURBS面片的一系列示意图；以及

图8是计算机系统的主要组件的功能框图，本发明的实施例可在该计算机系统中实施。

具体实施方式

在以下的描述中，列出了许多特殊的细节，以提供对本发明的透彻理解。但是对于本领域的技术人员来说，很明显，本发明可以被实施而不需要这些特定的细节。此处的描述和表示是本领域的技术人员的常用手段，用于最有效地将它们的作用的实质传达给本领域的技术人员。在其它的例子中，没有详细描述已知的方法、程序和组件，以避免不必要地使本发明的某些方面变得不明显。

此处提及的“一个实施例”或者“实施例”意味着参照实施例描述的特定的特点、结构或者特征可以被包括在本发明的至少一个实施例中。说明书中各处的短语“在一个实施例中”的出现不必全部指代相同的实施例，也不是排斥其他实施例的单独或者选择性的实施例。此外，表示本发明的一个或多个实施例的过程流程图或者示意图中的方框的顺序并不固有地表示本发明中任何特定的顺序或者暗示任何限制。

此处将参照图1A-8讨论本发明的实施例。但是本领域的技术人员将会明白，此处参照这些附图给出的详细描述是用于解释的目的，本发明可延伸到这些限制的实施例之外。

首先参照图1A-1C，共同示出了根据本发明的一个实施例的用于连接不完美匹配NURBS面片以形成适于有限元分析的计算机模型的示范性过程100的流程图。过程100优选地在软件中实施，并参照其他附图进行理解，例如图2-8。

过程100开始于步骤102，在其上安装有应用模块的计算机系统(例如，图8的计算机800)中接收第一和第二NURBS面片的定义。所述应用模块可以是用于创建基于NURBS的有限元分析计算机模型的软件。有时候，用于该目的的软件被称为预处理器(用于预处理输入文件，使其变得适于工程分析(例如有限元分析))。如图2所示，第一和第二NURBS面片202-204将沿着物理边界210(例如，物理曲线或者共享曲线)连接在一起。物理边界210在第一NURBS面片202的第一曲线212和第二NURBS面片204的第二曲线214中定义。第一曲线212由第一组控制点、它们的相关权重和对应的第一组节点矢量值表示，第二曲线214由第二组控制点、它们的相关权重和对应的第二组节点矢量值表示。根据本发明的一方面，第一曲线212和第二曲线214被不同地定义，但却在某公差范围内表示相同的物理边界210。换句话说，第一曲线212和第二曲线214是部分匹配或者不完美匹配的。公差可以由应用模块的用户规定或者采用已知的方法在应用模块内部定义。

接下来，在步骤104，第一曲线的节点矢量值被标准化，使得参数长度等于它的物理长度。类似地，在步骤106，第二曲线的节点矢量值被标准化。标准化曲线的一个示范性程序是首先计算曲线的物理长度(例如，通过数值积分)，然后表示曲线的节点矢量被按比例缩放，使得第一和最后的节点矢量值之间的差异匹配物理长度。

在步骤111，确定表示物理边界的共同曲线(或者共享曲线)。所述共同曲线可以是第一和第二曲线之间的重叠部分。两个示范性的部分重叠的NURBS面片在图3A-3B中示出。

接下来，在步骤112，采用以下方式调整(例如，按比例缩放和移位)第一和第二曲线节点矢量值：设置u＝0将会得到投影点设置u＝L_c将会得到投影点(参照图7C-7E)。换句话说，作为调整的结果，第一和第二投影点分别对应于共同曲线的起始和结束位置。

接下来步骤113，沿着重叠部分具有较少数量的控制点的第一和第二曲线中的一个被指定为主曲线，另一个被指定为从曲线。图4是沿着物理边界410连接在一起的两个示范性NURBS面片402-404的示意图，分别具有第一曲线412和第二曲线414。第一曲线412由第一组控制点422(空心点)定义，第二曲线414由第二组控制点424(实心点)定义。第一曲线412被指定为主曲线，第二曲线414被指定为从曲线，因为第一曲线412中具有较少数量的控制点。

最后，在步骤114，确定沿着物理边界数值连接第一和第二NURBS面片的一组线性约束等式。所述约束等式基于主曲线的控制点(独立控制点)和从曲线的控制点(依赖控制点)之间的依赖度。使用这一组约束等式来限制从曲线到主曲线的位移，第一和第二NURBS面片可以沿着共同的物理边界一致变形。依赖度可计算如下：在步骤114a中通过执行从共同曲线到从曲线的第一组一个或多个节点矢量插入操作，确定第一依赖关系；在步骤114b中通过执行从共同曲线到主曲线的第二组一个或多个节点矢量插入操作，确定第二依赖关系；以及在步骤114c中从第一和第二依赖关系计算线性约束等式。

第一和第二NURBS面片、以及沿着物理边界的控制点的约束等式使得从中创建适于有限元分析的计算机模型。

为了示范依赖度是如何被计算的，图5A-5C示出了一系列的附图。如图5A所示，主曲线502由一组主控制点522(用圆点示出)和对应的节点矢量值512(示为“|”)定义，从曲线504由一组从控制点544(用三角形示出)和对应的节点矢量值514(示为“X”)定义。为了确定从曲线的控制点544对主曲线的控制点522的依赖度，有两个步骤：虚拟节点矢量值插入和虚拟节点矢量值移除。

在虚拟节点矢量插入程序中，不是已经包括在主曲线的节点矢量中的任何从曲线的节点矢量值都被虚拟插入到主曲线的节点矢量中。虚拟插入的节点矢量值的依赖度被计算。图5B示出了不是已经包括在主曲线中的从曲线的节点矢量值516被插入到主曲线502中。被插入的节点矢量值516的对应控制点526被转换为新的控制点532(用空心圆示出)。在这个例子中，有两个从曲线的节点矢量值516没有已经在主曲线中。对于其它情形，可存在其它数量的控制点。

在虚拟节点矢量插入已经被执行后，节点矢量移除被执行，用于移除不在从曲线中的任何主曲线的节点矢量值。之后计算虚拟移除的节点矢量值的依赖度。如图5C所示，节点矢量值518被移除，两个对应的控制点538被转换为一个控制点542(用灰色圆点示出)。需要注意的是，节点矢量值518不存在于从曲线中。得到的主曲线的控制点522、532、542与从曲线的控制点544相同。

图6A-6B示出了根据本发明的实施例的使用过程100连接NURBS面片从而创建的示范性计算机模型。在这个例子中，创建带有孔的规则面片。

首先，定义没有孔610的规则NURBS面片602。接下来移除孔610所在处的一组“单元”604。最后，围绕孔610的一组面片612被定义，并沿着边界与具有所述被移除的一组单元的面片连接起来。沿着边界的“X”表示控制点622。可采用图1A-1C所示的过程100来完成连接两个面片。

现在参照图7A-7F，示出了沿着物理边界(“共同曲线”715)连接在一起以形成适于FEA的计算机模型的两个示范性的不完美匹配NURBS面片(“面片-1”701和“面片-2”702)。“共同曲线”715是第一曲线“曲线-1”711和第二曲线“曲线-2”712之间的重叠部分。“曲线-1”711和“曲线-2”712分别是“面片-1”701和“面片-2”702的边界曲线。此外，“曲线-1”711由控制点定义，“曲线-2”712由控制点定义。

所有的曲线都是由控制点、以及控制点处的节点矢量、多项式阶数和权重定义的NURBS曲线。典型的第p度NURBS曲线由等式(1)定义如下：

其中：

(n+1)是控制点的数量；

(m+1)是节点的数量(m＝n+p+1)；

P_i是控制点；

w_i是控制点P_i处的权重；

p是曲线的多项式阶数(度)；

U(u₀,u₁,..,u_m)是节点矢量，包含实数的非减序列；

N_i,p(u)是第p度B样条基础函数(递归地定义)；

接下来曲线被标准化，使得参数长度等于物理长度。为了计算图7B所示的NURBS曲线710的长度L 720，使用了以下的等式(2)-(4)。

L＝L_p+...+L_m-1-p (3)

一旦计算了两个曲线(也就是，“曲线-1”711和“曲线-2”712)的各自的弧线长度，就按比例缩放和移位两个节点矢量。例如曲线的初始节点矢量被列为U＝(a,...,a,u_p+1,...,u_m-p-1,b,...,b)。有(p+1)项“a”和“b”。使用等式(5)计算弧线长度。

现在参照图7C，分别示出了“曲线-1”711和“曲线-2”712上的投影点和这两个点标记重叠部分(或者共同曲线715)的起始和结束。以如下方式移位标准化的节点矢量：0位于处，L_c＝b₁＝a₂位于处。L_c是共同曲线715的弧线长度。在这个例子中，只有“曲线-1”711的标准化节点矢量被移位“-a₁”。因此，“曲线-1”711和“曲线-2”712的各节点矢量和表示如下：

接下来，沿着重叠部分(共同曲线715)具有较少控制点的曲线被指定为主曲线。另一曲线被指定为从曲线。在图7D所示的例子中，“曲线-1”711被指定为从曲线，而“曲线-2”712被指定为主曲线，因为沿着“曲线-2”712的重叠部分715有四个控制点，而“曲线-1”711有六个控制点。“曲线-1”711的节点矢量是“曲线-2”712的节点矢量是

此外，在以下的例子中示出节点插入操作的方法：

节点被插入节点矢量u＝[u₁,u₂,...,u_m]中。

然后计算比率如下：对于k-p+1≤i≤k，

接下来插入加权的控制点如下：

根据一方面，本发明涉及一个或多个可执行在此描述的功能的计算机系统。计算机系统800的例子在图8中示出。计算机系统800包括一个或多个处理器，例如处理器804。处理器804连接到计算机系统内部通信总线802。关于该示范性的计算机系统，有各种软件实现的描述。在读完这一描述后，相关技术领域的人员将会明白如果使用其它计算机系统和/或计算机架构来实施本发明。

计算机系统800还包括主存储器808，优选随机存取存储器(RAM)，还可包括辅助存储器810。辅助存储器810包括例如一个或多个硬盘驱动器812和/或一个或多个可移除存储驱动器814，它们代表软磁盘驱动器、磁带驱动器、光盘驱动器等。可移除的存储驱动器814用已知的方式从可移除存储单元818中读取和/或向可移除存储单元818中写入。可移除存储单元818代表可以由可移除存储驱动器814读取和写入的软盘、磁带、光盘等。可以理解，可移除存储单元818包括其上存储有计算机软件和/或数据的计算机可读媒介。

在可选实施例中，辅助存储器810可包括其它类似的机制，允许计算机程序或者其它指令被装载到计算机系统800。这样的机制包括例如可移除存储单元822和接口820。这样的例子可包括程序盒式存储器和盒式存储器接口(例如，视频游戏设备中的那些)、可移除存储芯片(例如可擦除的可编程只读存储器(EPROM))、通用串行总线(USB)闪存、或者PROM)以及相关的插槽、以及其它可移除存储单元822和允许软件和数据从可移除存储单元822传递到计算机系统800的接口820。通常，计算机系统800由操作系统(OS)软件控制和管理，操作系统执行例如进程调度、存储器管理、网络连接和I/O服务。

可能还设有连接到总线802的通信接口824。通信接口824允许软件和数据在计算机系统800和外部设备之间传递。通信接口824的例子包括调制解调器、网络接口(例如以太网卡)、通信端口、个人计算机存储卡国际协会(PCMCIA)插槽和卡等等。计算机800基于一组特定的规则(也就是，协议)通过数据网络与其它计算设备通信。通用协议的其中一种是在互联网中通用的TCP/IP(传输控制协议/互联网协议)。通常，通信接口824将数据文件组合处理成较小的数据包以通过数据网络传输，或将接收到的数据包重新组合成原始的数据文件。此外，通信接口824处理每个数据包的地址部分以使其到达正确的目的地，或者中途截取发往计算机800的数据包。在这份文件中，术语“计算机程序媒介”和“计算机可用媒介”都用来指代媒介，例如可移除存储驱动器814和/或设置在硬盘驱动器812中的硬盘。这些计算机程序产品是用于将软件提供给计算机系统800的手段。本发明涉及这样的计算机程序产品。

计算机系统800还包括输入/输出(I/O)接口830，它使得计算机系统800能够接入显示器、键盘、鼠标、打印机、扫描器、绘图机、以及类似设备。

计算机程序(也被称为计算机控制逻辑)作为应用模块806存储在主存储器808和/或辅助存储器810中。也可通过通信接口824接收计算机程序。这样的计算机程序被执行时，使得计算机系统800执行如在此所讨论的本发明的特征。特别地，当执行该计算机程序时，使得处理器804执行本发明的特征。因此，这样的计算机程序代表计算机系统800的控制器。

在本发明采用软件实现的实施例中，该软件可存储在计算机程序产品中，并可使用可移除存储驱动器814、硬盘驱动器812、或者通信接口824加载到计算机系统800中。应用模块806被处理器804执行时，使得处理器804执行如在此所述的本发明的功能。

主存储器808可被加载一个或多个应用模块806，所述应用模块806可被一个或多个处理器804执行以实现期望的任务，所述处理器可具有或不具有通过I/O接口830输入的用户输入。在运行中，当至少一个处理器804执行一个应用模块806时，结果被计算并存储在辅助存储器810(也就是，硬盘驱动器812)中。计算的结果(例如，主曲线和从曲线的依赖度)依据用户的指令，以文字或者图形表示的方式通过I/O接口830报告给用户。

虽然参照特定的实施例对本发明进行了描述，但是这些实施例仅仅是解释性的，并不用于限制本发明。本技术领域的人员可得到暗示，对具体公开的示范性实施例做出各种修改和改变。例如，虽然采用矩形平面视图示出了第一和第二NURBS面片，但是在本发明中也可以使用其它形状来实现相同的目的。此外，虽然图5A-5C示出了任意简化的例子，但是本发明对任何NURBS面片/曲线中的控制点/节点矢量值不设限制。总之，本发明的范围不限于在此公开的特定示范性实施例，对本技术领域人员来说暗含的所有修改都将被包括在本申请的精神和范围以及后附权利要求的范围内。

Claims

1.一种用于连接不完美匹配非均匀有理基础样条NURBS面片以形成适于有限元分析的计算机模型的方法，其特征在于，所述方法包括：

在其上安装有应用模块的计算机系统中接收第一NURBS面片和第二NURBS面片的定义，所述第一和第二NURBS面片沿着物理边界连接在一起，所述物理边界在第一NURBS面片的第一曲线和第二NURBS面片的第二曲线中定义，所述第一曲线具有第一组控制点、相关的权重和对应的第一多个节点矢量值；所述第二曲线具有第二组控制点、相关的权重和对应的第二多个节点矢量值，其中所述第一组控制点和所述第一多个节点矢量值与所述第二组控制点和所述第二多个节点矢量值不同；

将所述第一多个节点矢量值标准化，使得所述第一NURBS面片中所述第一曲线的参数长度等于所述第一曲线的物理长度；

将所述第二多个节点矢量值标准化，使得所述第二NURBS面片中所述第二曲线的参数长度等于所述第二曲线的物理长度；

确定共同曲线为所述第一和第二曲线的重叠部分以表示所述物理边界；

调节所述第一和第二曲线，使得第一和第二投影点分别对应于所述共同曲线的起始和结束位置；

指定所述第一和第二曲线中沿着所述共同曲线具有较少数量的控制点的一者作为主曲线，另一者作为从曲线；以及

通过计算从曲线的控制点与主曲线的控制点的依赖度，确定用于沿着物理边界数值连接第一和第二NURBS面片的一组线性约束等式，从而所述第一和第二NURBS面片、以及沿着所述物理边界的控制点的所述一组线性约束等式使得能够从中创建适于有限元分析的计算机模型。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述计算从曲线的控制点与主曲线的控制点的依赖度还包括：

通过从共同曲线到从曲线的第一组节点插入操作确定第一依赖关系；

通过从共同曲线到主曲线的第二组节点插入操作确定第二依赖关系；以及从所述第一和第二依赖关系计算所述一组线性约束等式。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述一组线性约束等式数值约束所述计算机模型中的所述从曲线的控制点的节点位移依赖于所述主曲线的控制点的节点位移。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述应用模块用于创建所述计算机模型。

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述物理边界由用户规定。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述第一曲线和第二曲线在从所述物理边界测量的公差范围内近似。

7.一种用于连接不完美匹配非均匀有理基础样条NURBS面片以形成适于有限元分析的计算机模型的系统，其特征在于，所述系统包括：

输入/输出接口；

存储器，用于存储应用模块的计算机可读代码；

与所述存储器相连的至少一个处理器，所述至少一个处理器执行所述存储器中的计算机可读代码，使得所述应用模块执行以下操作：

接收第一NURBS面片和第二NURBS面片的定义，所述第一和第二NURBS面片沿着物理边界连接在一起，所述物理边界在第一NURBS面片的第一曲线和第二NURBS面片的第二曲线中定义，所述第一曲线具有第一组控制点、相关的权重和对应的第一多个节点矢量值；所述第二曲线具有第二组控制点、相关的权重和对应的第二多个节点矢量值，其中所述第一组控制点和所述第一多个节点矢量值与所述第二组控制点和所述第二多个节点矢量值不同；

8.根据权利要求7所述的系统，其特征在于，所述计算从曲线的控制点与主曲线的控制点的依赖度还包括：

通过从共同曲线到主曲线的第二组节点插入操作确定第二依赖关系；以及

从所述第一和第二依赖关系计算所述一组线性约束等式。

9.根据权利要求7所述的系统，其特征在于，所述一组线性约束等式数值约束所述计算机模型中的所述从曲线的控制点的节点位移依赖于所述主曲线的控制点的节点位移。

10.根据权利要求7所述的系统，其特征在于，所述应用模块用于创建所述计算机模型。

11.根据权利要求7所述的系统，其特征在于，所述物理边界由用户规定。

12.根据权利要求11所述的系统，其特征在于，所述第一曲线和第二曲线在从所述物理边界测量的公差范围内近似。