CN104483832A - 基于t-s模型的气动比例阀模糊滑模自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于T-S模型的气动比例阀模糊滑模自适应控制方法，其特征在于，步骤为：第一步、T-S模型结构辨识；第二步、采用最小二乘支持向量机辨识T-S模型参数；第三步、基于辨识出的模型T-S模型设计模糊自适应控制器，对气动伺服系统进行控制，使得被控对象压力跟踪给定的参考信号。本发明以气动伺服系统为研究对象，以其输入输出数据辨识对象的T-S模型，然后基于辨识的模型实现对气动伺服系统控制。与现有的PID控制相比，采用本发明提供的控制方式，比例阀的输出压力的振荡和过冲明显变小，实现压力的平滑控制。本控制方式可以动态地适应被控对象的不确定因素。

Description

基于T-S模型的气动比例阀模糊滑模自适应控制方法

技术领域

本发明以气动伺服系统为研究对象，以其输入输出数据辨识对象的T-S模型，然后基于辨识模型实现对气动伺服系统的自适应控制。

背景技术

自然界实际系统基本上是非线性系统，建立一个复杂非线性系统的精确数学模型是相当困难的，有时甚至不可能做到的，系统辨识是系统建模的有效途径之一。所以辨识是一个重要而又复杂的问题，特别对基于输入输出数据的黑箱辨识成为其中的研究热点，已成为自动控制理论的一个十分活跃而又重要的分支。T-S模糊模型是一个通用逼近器，它把一个非线性系统当作多个线性子系统与其权重乘积之和。

气动技术以其自身独特的传动方式和优点，如清洁、结构简单、气体来源充足和成本相对较低，在食品加工、制药、包装工业中，气动系统可非常方便地实现多点定位和调速，能够快速准确地搬运物体，生产效率高，因此气动伺服系统特别是气动伺服定位系统得到越来越广泛的应用。但由于气体本身固有的可压缩性、阀口流动的非线性、气缸摩擦力的影响和气动系统的低阻尼特性等原因，气动伺服系统本质上属于非线性系统，整个伺服装置的精确数学模型难于描述。

为了更好地对气动伺服系统进行控制，需要知道系统的模型。另外，在采用自适应控制等一些先进控制手段时，也需要在线辨识系统的模型。T-S模糊模型把线性系统看成是多个非线性系统的加权组合，能以任意精度逼近非线性系统，易于表达复杂非线性系统的动态特性，同时可以将线性控制理论应用到非线性系统控制中。

发明内容

本发明要解决的技术问题是将T-S模糊模型应用在气动伺服系统中，以实现对气动伺服系统的自适应控制。

为了解决上述技术问题，本发明的技术方案是提供了一种基于T-S模型的气动比例阀模糊滑模自适应控制方法，其特征在于，步骤为：

第一步、T-S模型结构辨识

设定时间窗宽度为l，以时间窗内第k个采集数据 $x_k=\left[\begin{array}{ccc}{P}_k& {\stackrel{\·}{P}}_k& u_k\end{array}\right]$ 作为判断模糊聚类中心的依据，每个模糊聚类代表一条模糊规则，P_k为气动比例阀的压力，为气动比例阀的压力变化率，u_k为气动比例阀的控制量，x_k的势能p_k(x_k)为：

$p_k\left(x_k\right)=\left\{\begin{array}{cc}\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_k-x_j\left|\right|}^2)& k\≤l\\ \underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_k-x_j\left|\right|}^2)& k>l\end{array}\right.,$ α为给定参数，此时，时间窗内其他数据的势能更新为：

$p_k\left(x_j\right)=\left\{\begin{array}{cc}{p}_{k-1}\left(x_j\right)+\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_j-x_k\left|\right|}^2)& j=1,\·\·\·k-1,k\≤l\\ p_{k-1}\left(x_j\right)+\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_j-x_k\left|\right|}^2)-\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_j-x_{k-l}\left|\right|}^2)& j=k-l+1,\·\·\·,k-1,k>l\end{array}\right.,$ 则结构辨识的具体步骤为：

步骤1.1、初始化

给定参数r，α，设时间窗内第一个历史数据x₁为第一个模糊聚类的中心v₁，其势能p₁(x₁)＝1，模糊聚类的数量m＝1，数据数量k＝k+1；

步骤1.2、滚动时间窗，计算势能

计算第k个采集数据的势能p_k(x_k)，更新时间窗内其他数据的势能，若k＞l且x_k-l为第i个模糊聚类的中心，则从模糊聚类中心删除x_k-l，即调整类序号，v_q＝v_q+1，q＝i，…，m-1，模糊聚类的数量m＝m-1；

步骤1.3、类中心的增加和替代

对于第i个采集数据x_i，若有：

$p_k\left(x_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\max \{p_k\left(x_j\right),j=1,\·\·\·,k\}& k\≤l\\ \max \{p_k\left(x_j\right),j=k-l+1,\·\·\·,k\}& k>l\end{array}\right.,$ 判断x_i是否为某个模糊聚类的中心，若是，则进入步骤1.4，若不是，设：

δ_min＝min{exp(-α||x_i-v_j||)，j＝1，…，m}，设第j个模糊聚类的中心离x_i最近，如果则x_i替代v_j，即有v_j＝x_i，否则增加x_i为新的模糊聚类的中心，即有m＝m+1后，第m个模糊聚类的中心v_m＝x_i；

步骤1.4、删除类中心

对于距离最近的两个模糊聚类的中心v_i和v_j，设p_k(v_i)＜p_k(v_j)，计算式中：

d_min＝min{exp(-α||v_i-v_j||)，i＝1，…，m-1，j＝2，…，m}；

p_max＝max{p_k(v_q)，q＝1，…，m}；

若则删除类中心v_i，即调整类序号v_q＝v_q+1，q＝i，…，m-1，类数量m＝m-1，否则，进入步骤1.5；

步骤1.5、k＝k+1返回步骤1.2，直至辨识结束；

第二步、采用最小二乘支持向量机辨识T-S模型参数；

第三步、基于辨识出的模型T-S模型设计模糊自适应控制器，对气动伺服系统进行控制，使得被控对象压力跟踪给定的参考信号，其步骤为：

步骤3.1、滑模面的选择

气动伺服系统全局系统状态方程为：式中，A_i及B_i为权重，u为控制量，x＝[x₁ … x_k]是系统状态，m是规则数，h_i(x)是归一化隶属度函数 $h_i\left(x\right)={\mathrm{\μ}}_i\left(x\right)/\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i\left(x\right),{\mathrm{\μ}}_i\left(x\right)=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}\left(x_j\right),$ μ_ij(x_i)表示x_i属于F_i ^j的隶属度函数；

将气动伺服系统全局系统状态方程表示成不确定形式，用其它剩余权值来表示任一权值，则有：

$h_i\left(x\right)=1-\underset{j=1(j\≠i)}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{h}_j\left(x\right),$ 故有：

$\stackrel{\·}{x}=(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)x+(B_i+\mathrm{\Δ}{B}_i)u,$ 式中：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{A}_i=\underset{j=1(j\≠i)}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{h}_j\left(x\right)(A_j-A_i)& \begin{array}{}\end{array}\begin{array}{}\end{array}\mathrm{\Δ}{B}_j=\underset{j=1(j\≠i)}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{h}_j\left(x\right)(B_j-B_i)\end{array};$

设气动伺服系统给定参考信号x_r，令z_r＝Tx_r，式中T为转换矩阵

$T=\left[\begin{array}{cc}{I}_{n-q}& -B_{11}{B}_{21}^{-1}\\ 0& I_q\end{array}\right].,$ 跟踪误差 $\tilde{z}=z-z_r,$ 式中z＝Tx，将 $\stackrel{\·}{x}=(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)x+(B_i+\mathrm{\Δ}{B}_i)u$ 非奇异线性变换，以跟踪误差为状态变量的方程为：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\tilde{z}}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{z}}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& {\tilde{A}}_{12}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{z}}_1\\ {\tilde{z}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& {\tilde{A}}_{12}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_{1r}\\ z_{2r}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{11}& \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{12}\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{21}& \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ B_{21}\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}{f}_u\\ f_m\end{array}\right],$ 其中的线性标称系统为：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\tilde{z}}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{z}}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& \widetilde{A_{12}}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{z}}_1\\ {\tilde{z}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ B_{21}\end{array}\right]u,$ 气动伺服系统的滑模面针对该线性标称系统设计的，则滑模面为：

式中，C₁和C₂为滑模面参数，通过极点配置求解；

步骤3.2、将步骤3.1中的以跟踪误差为状态变量的方程看成是步骤3.1中的线性标称系统与其确定扰动和不确定扰动的组合，其中，

确定扰动为 $\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{11}& \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{12}\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{21}& \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& {\tilde{A}}_{12}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_{1r}\\ z_{2r}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}\end{array}\right]u;$

不确定扰动为 $\left[\begin{array}{c}{f}_u\\ f_m\end{array}\right];$

针对标称系统、确定扰动、不确定扰动进行控制器设计，分别为u_l、u_s1、u_s2，则有u＝u_l+u_s1+u_s2，式中：

$u_l=-{\left(C_2{B}_{21}\right)}^{-1}[C_1({\tilde{A}}_{11}{\tilde{z}}_1+{\tilde{A}}_{12}{\tilde{z}}_2)+C_2({\tilde{A}}_{21}{\tilde{z}}_1+{\tilde{A}}_{22}{\tilde{z}}_2)+\mathrm{\Φ}{S}^r],$ 式中：

$\stackrel{\·}{S}=-\mathrm{\Φ}{S}^r,$

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{S}=C_1({\tilde{A}}_{11}{\tilde{z}}_1+{\tilde{A}}_{12}{\tilde{z}}_2)+C_1({\tilde{A}}_{11}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{12}{z}_{2r}+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{11}{z}_1+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{12}{z}_2+\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}u+f_u)+C_2({\tilde{A}}_{21}{\tilde{z}}_1\\ +{\tilde{A}}_{22}{\tilde{z}}_2)+C_2({\tilde{A}}_{21}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{22}{z}_{2r}+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{21}{z}_1+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{22}{z}_2+\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}u+B_{21}u+f_m)\end{array},$

Φ＝diag(φ₁，…，φ_q)，φ_i＞0，i＝1，…，q， $S^r={\left[\begin{array}{ccc}{S}_1^r& \·\·\·& S_q^r\end{array}\right]}^T,$ r是一个小于1的常数，r＝c/p，c和p都是奇数，并且有：

$S^T\mathrm{\Φ}{S}^r=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_i{S}_i^{r+1}\≥\underset{i}{\min }\left({\mathrm{\φ}}_i\right)\left[{\left(\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{S}_i^2\right)}^{(r+1)/2}\right]=\underset{i}{\min }\left({\mathrm{\φ}}_i\right){\left|\right|S\left|\right|}^{r+1}>0;$

u_s1＝-G^-1H，式中：

G为可逆矩阵， $G=(C_1\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}+C_2\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}+C_2{B}_{21});$

$H=C_1({\tilde{A}}_{11}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{12}{z}_{2r}+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{11}{z}_1+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{12}{z}_2+\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}{u}_l)+C_2({\tilde{A}}_{21}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{22}{z}_{2r}+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{21}{z}_1+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{22}{z}_2+\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}{u}_l);$

$u_{s2}=G^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_1\mathrm{sgn}\left(S_1\right)F(S_1/|\left|S\right|\left|\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\α}}_m\mathrm{sgn}\left(S_m\right)F(S_m/|\left|S\right|\left|\right)\end{array}\right],$ 式中：

α_i，i＝1，…，m，采用如下的自适应律：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\δ}{\mathrm{\α}}_i=0& \left|S_i\right|\≤b_i\\ \mathrm{\δ}{\mathrm{\α}}_i=-{\mathrm{\η}}_i\frac{\∂S^T\stackrel{\·}{S}}{\∂{\mathrm{\α}}_i}=-{\mathrm{\η}}_i{S}_i\mathrm{sgn}\left(S_i\right)F(S_i/|\left|S\right|\left|\right))& \left|S_i\right|>b_i\end{array},$ 式中，δα_i表示α_i增量，η_i是学习律，S_i表示向量S的第i个变量，F(S_i/||S||)表示隶属度函数F_j(S_i/||S||)中模糊集正或负为非零的值。

优选地，所述第二步包括：

步骤2.1、设气动伺服系统是2阶系统，并且令状态量为压力和压力变化率即： $x={\left[\begin{array}{cc}P& \stackrel{\·}{P}\end{array}\right]}^T,$ 其连续模型为：对于规则i，如果P为F_i ¹，是F_i ²，则有 $\stackrel{\·}{x}=A_{i}x+B_{i}u,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,m,$ 式中， $A_i=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ a_{i21}& a_{i22}\end{array}\right],B_i=\left[\begin{array}{c}0\\ b_i\end{array}\right],$ 采样周期T_s＝0.01秒，令状态量为n时刻的压力和压力变化率 $x_n={\left[\begin{array}{cc}{P}_n& {\stackrel{\·}{P}}_n\end{array}\right]}^T$ 对公式离散化有：对于规则i，如果P_n是F_i1，是F_i2，则有：

x_n+1＝A_dix_n+B_diu_n+D_i，式中：

$A_{\mathrm{di}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.01\\ w_{i1}& w_{i2}\end{array}\right],B_{\mathrm{di}}=\left[\begin{array}{c}0\\ w_{i3}\end{array}\right],D_i=\left[\begin{array}{c}{c}_i\\ d_i\end{array}\right],$ 并且有：

$\left\{\begin{array}{c}{w}_{i1}=0.01a_{i21}\\ w_{i2}=1+0.01a_{i22}\\ w_{i3}=0.01b_i\end{array}\right.,$ 将状态量和控制量作为输入 $x=\left[\begin{array}{ccc}{P}_n& {\stackrel{\·}{P}}_n& u_n\end{array}\right],$ 模型输出为n+1时刻的压力变化率这样对于规则i，有：

式中，w_i＝[w_i1 w_i2 w_i3]^T，则整个系统输出为：

$y=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i(w_i^{T}x+d_i);$

步骤2.2、将输入数据x_j代入则有：

根据结构风险最小化原理，综合考虑函数复杂度和拟合误差，回归问题可以表示为约束优化问题：

$\begin{array}{c}\underset{w_i,b,c}{\min }\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i^T{w}_i+\frac{C}{2}\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{e}_j^2\\ s.t.e_j=y_j-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)\end{array},$ 为了求解上述优化问题，把约束优化问题转化成无约束的优化问题，构造拉格朗日方程：

$L=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i^T{w}_i+\frac{C}{2}\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{e}_j^2+\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_j[y_j-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)],$ 根据KKT条件有 $\begin{array}{c}\frac{\∂L}{\∂w_i}=0\→w_i=\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_j{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}{x}_j\\ \frac{\∂L}{\∂b_i}=0\→\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_j{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}=0\\ \frac{\∂L}{\∂e_j}=0\→{\mathrm{\α}}_j=C{e}_j\\ \frac{\∂L}{\∂{\mathrm{\α}}_j}=0\→\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)+e_j-y_j=0\end{array},$ 从该方程组中消去e_j，w_i，可得到：

$\left[\begin{array}{cccccc}0& \·\·\·& 0& {\mathrm{\μ}}_{1,k-l+1}& \·\·\·& {\mathrm{\μ}}_{1,k}\\ \·& & \·& \·& & \·\\ \·& \·\·\·& \·& \·& \·\·\·& \·\\ \·& & \·& \·& & \·\\ 0& \·\·\·& 0& {\mathrm{\μ}}_{m,k-l+1}& \·\·\·& {\mathrm{\μ}}_{m,k}\\ {\mathrm{\μ}}_{1,k-l+1}& \·\·\·& {\mathrm{\μ}}_{m,k-l+1}& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{i,k-l+1}{\mathrm{\μ}}_{i,k-l+1}{Q}_{k-l+1,k-l+1}+\frac{1}{C}& \·\·\·& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{i,\mathrm{kl}+1}{\mathrm{\μ}}_{i,k}{Q}_{k,k-l+1}\\ \·& & \·& \·& & \·\\ \·& \·\·\·& \·& \·& \·\·\·& \·\\ \·& & \·& \·& & \·\\ {\mathrm{\μ}}_{1,k}& \·\·\·& {\mathrm{\μ}}_{m,k}& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{i,k}{\mathrm{\μ}}_{i,k-l+1}{Q}_{,k-l+1,k}& \·\·\·& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{i,k}{\mathrm{\μ}}_{i,k}{Q}_{k,k}+\frac{1}{C}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ \·\\ \·\\ \·\\ d_m\\ {\mathrm{\α}}_{k-l+1}\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\α}}_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \·\\ \·\\ \·\\ 0\\ y_{k-l+1}\\ \·\\ \·\\ \·\\ y_k\end{array}\right]$

，式中：i＝1，…m，j＝k-l+1，…，k，可求出d₁ … d_m及α_k-l+1 … α_k，再带入到 $\begin{array}{c}\underset{w_i,b,c}{\min }\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i^T{w}_i+\frac{C}{2}\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{e}_j^2\\ s.t.e_j=y_j-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)\end{array}$ 的第一式中，即可辨识出离散T-S模型参数，再通过 $\left\{\begin{array}{c}{w}_{i1}=0.01a_{i21}\\ w_{i2}=1+0.01a_{i22}\\ w_{i3}=0.01b_i\end{array}\right.,$ 得出连续T-S模型的参数。

本发明以气动伺服系统为研究对象，以其输入输出数据辨识对象的T-S模型，然后基于辨识的模型实现对气动伺服系统控制。与现有的PID控制相比，采用本发明提供的控制方式，比例阀的输出压力的振荡和过冲明显变小，实现压力的平滑控制。本控制方式可以动态地适应被控对象的不确定因素。

附图说明

图1为气动伺服系统辨识和控制框图；

图2为输入变量隶属度函数；

图3为输出变量隶属度函数；

图4为模糊滑模自适应控制流程图；

图5为比例阀内部的进气状态示意图；

图6为比例阀内部的平衡状态示意图；

图7为比例阀内部的排气状态示意图；

图8为本发明的自适应控制的结果，图中横坐标为时间，单位s，众坐标为压力，单位psi；

图9为常规PID控制的结构，图中横坐标为时间，单位s，众坐标为压力，单位psi。

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐述本发明。应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。此外应理解，在阅读了本发明讲授的内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。

本发明基于T-S模型，T-S模型最早在1985年提出来的，它把一个非线性系统当作多个线性子系统与其权重乘积之和，可表示为：

规则i：如果x₁为F_i ¹，且…，且x_k为F_i ^k，则

$\stackrel{\·}{x}=A_{i}x+B_{i}u,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,m---\left(1\right)$

式(1)中x＝[x₁ … x_k]是系统状态，m是规则数，若设μ_ij(x_i)表示x_i属于F_i ^j的隶属度函数，直积运算采用求积法，则

${\mathrm{\μ}}_i\left(x\right)=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Π}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}\left(x_j\right).---\left(2\right)$

式(2)中μ_i(x)表示x属于规则i的隶属度函数，模糊化采用单点模糊集合，清晰化采用加权平均法，则可得到全局系统状态方程：

$\stackrel{\·}{x}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(x\right)A_{i}x+\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(x\right)B_{i}u.---\left(3\right)$

式(4)中：h_i(x)是归一化隶属度函数因为μ_i(x)≥0， $\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i\left(x\right)>0,$ 所以0≤h_i(x)≤1且 $\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{h}_i\left(x\right)=1.$

气动伺服系统离散T-S模型为

设气动伺服系统是2阶系统，并且令状态量为压力和压力变化率即：

$x={\left[\begin{array}{cc}P& \stackrel{\·}{P}\end{array}\right]}^T,$ 其连续模型为：

规则i：如果P为F_i ¹，是F_i ²，则：

$\stackrel{\·}{x}=A_{i}x+B_{i}u,i=\mathrm{1,2},\·\·\·,m---\left(4\right)$

式(4)中： $A_i=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ a_{i21}& a_{i22}\end{array}\right],B_i=\left[\begin{array}{c}0\\ b_i\end{array}\right]$

采样周期T_s＝0.01秒，令状态量为n时刻的压力和压力变化率：

$x_n={\left[\begin{array}{cc}{P}_n& {\stackrel{\·}{P}}_n\end{array}\right]}^T,$ 对公式(4)离散化有：

规则i：如果P_n是F_i1，是F_i2，则：

x_n+1＝A_dix_n+B_diu_n+D_i      (5)

式(5)中：

$A_{\mathrm{di}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.01\\ w_{i1}& w_{i2}\end{array}\right],B_{\mathrm{di}}=\left[\begin{array}{c}0\\ w_{i3}\end{array}\right],D_i=\left[\begin{array}{c}{c}_i\\ d_i\end{array}\right],$ 并且有

$\left\{\begin{array}{c}{w}_{i1}=0.01a_{i21}\\ w_{i2}=1+0.01a_{i22}\\ w_{i3}=0.01b_i\end{array}\right.---\left(6\right)$

将状态量和控制量作为输入 $x=\left[\begin{array}{ccc}{P}_n& {\stackrel{\·}{P}}_n& u_n\end{array}\right],$ 模型输出为n+1时刻的压力变化率这样有规则i：

$y_i=w_i^{T}x+d_i---\left(7\right)$

其中w_i＝[w_i1 w_i2 w_i3]^T，整个系统输出为：

$y=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_i(w_i^{T}x+d_i)---\left(8\right)$

本发明提供的一种基于T-S模型的气动比例阀模糊滑模自适应控制方法可应用在如图5至图7所示的比例阀上。结合图纸，该比例阀进气时，外部输入指令信号1，MCU根据预置量程与传感器信号11进行比较，当前压力低于目标压力时，MCU控制进气阀门2开启，气源从进气口8通过先导回路由进气阀门2导入先导压力腔4，推动活塞杆5向下运动，排气密封7关闭比例阀输出口10与排气口6之间回路，排气密封7被关闭的同时，进气密封9被开启，进气口8和输出口10连通。

该比例阀处于平衡时：

MCU根据预置量程不断地将指令信号1与传感器信号11进行比较，当前压力等于目标压力时，进气阀门2关闭，同时当前输出压力在先导压力腔4下方与先导压力腔4形成平衡，进气密封9被关闭，排气密封7同时也关闭，输出压力保持平衡。

该比例阀排气时：

MCU根据预置量程不断地将指令信号1与传感器信号11进行比较，当前压力大于目标压力时，排气阀门3打开，先导腔4压力降低，输出压力在先导压力腔4下方压力大于与先导压力腔4的压力，排气密封7被打开，输出压力于排气口6之间连通，比例阀卸压。

结合图4，本发明提供的一种基于T-S模型的气动比例阀模糊滑模自适应控制方法的输入变量为 $x=\left[\begin{array}{ccc}{P}_n& {\stackrel{\·}{P}}_n& u_n\end{array}\right],$ 输出变量P_n为n时刻的压力，为n时刻的压力变化率，u_n为控制量，选用高斯函数作为隶属度函数，其步骤如下：

第一步、T-S模型结构辨识

本发明的T-S模型结构辨识基于时间窗内数据进行辨识的，时间窗宽度为l，当有一个新数据加入时，最早的一个数据相应地从时间窗内滚动出去，这个滚动的数据区间随时间变化，故类中心点仅限于时间窗内数据，只要数据在时间窗内，其势能最大，就成为类中心，不管其是否为最近采集的数据。

时间窗内数据x_k的势能作为判断模糊聚类中心的依据，其定义如下

$p_k\left(x_k\right)=\left\{\begin{array}{cc}\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_k-x_j\left|\right|}^2)& k\≤l\\ \underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_k-x_j\left|\right|}^2)& k>l\end{array}\right.---\left(9\right)$

式(9)中x_k是第k个采集的数据，k是采集数据的序号，l是时间窗宽度，即辨识的数据数量。此时时间窗内其它数据的势能更新为：

$p_k\left(x_j\right)=\left\{\begin{array}{cc}{p}_{k-1}\left(x_j\right)+\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_j-x_k\left|\right|}^2)& j=1,\·\·\·k-1,k\≤l\\ p_{k-1}\left(x_j\right)+\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_j-x_k\left|\right|}^2)-\exp (-\mathrm{\α}{\left|\right|x_j-x_{k-l}\left|\right|}^2)& j=k-l+1,\·\·\·,k-1,k>l\end{array}\right.---\left(10\right)$

结构辨识的具体步骤为：

1)初始化

给定参数r，α，设第一个数据x₁为类中心v₁，其势能P₁(x₁)＝1，类数量m＝1，数据数量k＝k+1

2)滚动时间窗，计算势能

采集数据x_k，滚动时间窗，按式(9)计算x_k势能，按式(10)更新时间窗内其它数据势能。

如果k＞l且x_k-l为类中心，从类中心删除x_k-l，即调整类序号，假设x_k-l是类中心v_i，v_q＝v_q+1，q＝i，…，m-1，类数量m＝m-1。

3)类中心的增加和替代

对于第i个采集数据x_i，若有：

$p_k\left(x_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\max \{p_k\left(x_j\right),j=1,\·\·\·,k\}& k\≤l\\ \max \{p_k\left(x_j\right),j=k-l+1,\·\·\·,k\}& k>l\end{array}\right.---\left(11\right)$

，判断x_i是否为某个模糊聚类的中心，若是，则进入步骤4)，若不是，设：

δ_min＝min{exp(-α||x_i-v_j||)，j＝1，…，m}      (12)

设v_j是离x_i最近的类中心，如果则x_i替代类中心v_j，即：v_j＝x_i，否则增加x_i为类中心，即：m＝m+1，v_m＝x_i

4)删除类中心

d_min＝min{exp(-α||v_i-v_j||)，i＝1，…，m-1，j＝2，…，m}      (13)

p_max＝max{p_k(v_q)，q＝1，…，m}      (14)

设v_i和v_j是距离最近的两个类中心，并设p_k(v_i)＜p_k(v_j)

如果则删除类中心v_i，即调整类序号v_q＝v_q+1，q＝i，…，m-1，类数量m＝m-1。

5)k＝k+1返回步骤2)，直至辨识结束。

第二步、采用最小二乘支持向量机辨识T-S模型参数

将输入数据x_j代入到公式(8)有：

$f\left(x_j\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)---\left(15\right)$

根据结构风险最小化原理，综合考虑函数复杂度和拟合误差，回归问题可以表示为约束优化问题：

$\begin{array}{c}\underset{w_i,b,c}{\min }\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i^T{w}_i+\frac{C}{2}\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{e}_j^2\\ s.t.e_j=y_j-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)\end{array}---\left(16\right)$

为了求解上述优化问题，把约束优化问题转化成无约束的优化问题，构造拉格朗日方程：

$L=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i^T{w}_i+\frac{C}{2}\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{e}_j^2+\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_j[y_j-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)]---\left(17\right)$

根据KKT条件有

$\begin{array}{c}\frac{\∂L}{\∂w_i}=0\→w_i=\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_j{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}{x}_j\\ \frac{\∂L}{\∂b_i}=0\→\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_j{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}=0\\ \frac{\∂L}{\∂e_j}=0\→{\mathrm{\α}}_j=C{e}_j\\ \frac{\∂L}{\∂{\mathrm{\α}}_j}=0\→\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)+e_j-y_j=0\end{array}---\left(18\right)$

从式(18)方程组中消去e_j，w_i，可得到

$\left[\begin{array}{cccccc}0& \·\·\·& 0& {\mathrm{\μ}}_{1,k-l+1}& \·\·\·& {\mathrm{\μ}}_{1,k}\\ \·& & \·& \·& & \·\\ \·& \·\·\·& \·& \·& \·\·\·& \·\\ \·& & \·& \·& & \·\\ 0& \·\·\·& 0& {\mathrm{\μ}}_{m,k-l+1}& \·\·\·& {\mathrm{\μ}}_{m,k}\\ {\mathrm{\μ}}_{1,k-l+1}& \·\·\·& {\mathrm{\μ}}_{m,k-l+1}& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{i,k-l+1}{\mathrm{\μ}}_{i,k-l+1}{Q}_{k-l+1,k-l+1}+\frac{1}{C}& \·\·\·& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{i,\mathrm{kl}+1}{\mathrm{\μ}}_{i,k}{Q}_{k,k-l+1}\\ \·& & \·& \·& & \·\\ \·& \·\·\·& \·& \·& \·\·\·& \·\\ \·& & \·& \·& & \·\\ {\mathrm{\μ}}_{1,k}& \·\·\·& {\mathrm{\μ}}_{m,k}& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{i,k}{\mathrm{\μ}}_{i,k-l+1}{Q}_{,k-l+1,k}& \·\·\·& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_{i,k}{\mathrm{\μ}}_{i,k}{Q}_{k,k}+\frac{1}{C}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ \·\\ \·\\ \·\\ d_m\\ {\mathrm{\α}}_{k-l+1}\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\α}}_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \·\\ \·\\ \·\\ 0\\ y_{k-l+1}\\ \·\\ \·\\ \·\\ y_k\end{array}\right]---\left(19\right)$

其中：i＝1，…m，j＝k-l+1，…，k

利用公式(19)可求出d₁ … d_m，α_k-l+1 … α_k，再带入到(16)式第一式中，即可辨识出离散T-S模型参数，再通过公式(6)得出连续T-S模型(4)的参数。

第三步、基于辨识出的模型T-S模型设计模糊自适应控制器，对气动伺服系统进行控制，使得被控对象压力跟踪给定的参考信号，气动伺服系统T-S模型辨识及其自适应控制框图如图1所示。

3.1滑模面的选择

将式(3)表示成不确定形式，用其它剩余权值来表示任一权值

$h_i\left(x\right)=1-\underset{j=1(j\≠i)}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{h}_j\left(x\right)---\left(20\right)$

故有：

$\stackrel{\·}{x}=(A_i+\mathrm{\Δ}{A}_i)x+(B_i+\mathrm{\Δ}{B}_i)u---\left(21\right)$

式(21)中： $\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{A}_i=\underset{j=1(j\≠i)}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{h}_j\left(x\right)(A_j-A_i)& \begin{array}{}\end{array}\begin{array}{}\end{array}\mathrm{\Δ}{B}_j=\underset{j=1(j\≠i)}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{h}_j\left(x\right)(B_j-B_i)\end{array}$

假设系统跟踪给定参考信号x_r，令z_r＝Tx_r，T为转换矩阵，跟踪误差：式中z＝Tx，将(21)式非奇异线性变换，以跟踪误差为状态变量的方程为：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\tilde{z}}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{z}}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& {\tilde{A}}_{12}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{z}}_1\\ {\tilde{z}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& {\tilde{A}}_{12}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_{1r}\\ z_{2r}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{11}& \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{12}\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{21}& \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ B_{21}\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}{f}_u\\ f_m\end{array}\right]---\left(22\right)$

不确定非线性系统(22)中的线性标称系统为

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\tilde{z}}}_1\\ {\stackrel{\·}{\tilde{z}}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& \widetilde{A_{12}}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{z}}_1\\ {\tilde{z}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ B_{21}\end{array}\right]u---\left(23\right)$

系统的滑模面针对线性标称系统(23)设计的，滑模面为

$S=C_1{\tilde{z}}_1+C_2{\tilde{z}}_2=0---\left(24\right)$

式(24)中，C₁和C₂为滑模面参数，通过极点配置求解。

3.2基于线性标称系统的控制器设计

可以将式(22)看着是线性标称系统(23)与其确定扰动

$\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{11}& \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{12}\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{21}& \mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& {\tilde{A}}_{12}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_{1r}\\ z_{2r}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}\\ \mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}\end{array}\right]u$ 和不确定扰动 $\left[\begin{array}{c}{f}_u\\ f_m\end{array}\right]$ 的组合。

针对标称系统、确定扰动、不确定扰动进行控制器设计，分别为u_l、u_s1、u_s2，且有

u＝u_l+u_s1+u_s2.      (25)

取指数到达律，即

$\stackrel{\·}{S}=-\mathrm{\Φ}{S}^r---\left(26\right)$

式(26)中：

Φ＝diag(φ₁，…，φ_q)，φ_i＞0，i＝1，…，q， $S^r={\left[\begin{array}{ccc}{S}_1^r& \·\·\·& S_q^r\end{array}\right]}^T,$ r是一个小于1的常数，r＝c/p，c和p都是奇数。并且有

$S^T\mathrm{\Φ}{S}^r=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_i{S}_i^{r+1}\≥\underset{i}{\min }\left({\mathrm{\φ}}_i\right)\left[{\left(\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}{S}_i^2\right)}^{(r+1)/2}\right]=\underset{i}{\min }\left({\mathrm{\φ}}_i\right){\left|\right|S\left|\right|}^{r+1}>0.---\left(27\right)$

由式(23)、(24)、(26)知

$u_l=-{\left(C_2{B}_{21}\right)}^{-1}[C_1({\tilde{A}}_{11}{\tilde{z}}_1+{\tilde{A}}_{12}{\tilde{z}}_2)+C_2({\tilde{A}}_{21}{\tilde{z}}_1+{\tilde{A}}_{22}{\tilde{z}}_2)+\mathrm{\Φ}{S}^r].---\left(28\right)$

3.3基于确定扰动的控制器设计

由式(22)和式(24)知

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{S}=C_1({\tilde{A}}_{11}{\tilde{z}}_1+{\tilde{A}}_{12}{\tilde{z}}_2)+C_1({\tilde{A}}_{11}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{12}{z}_{2r}+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{11}{z}_1+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{12}{z}_2+\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}u+f_u)+C_2({\tilde{A}}_{21}{\tilde{z}}_1\\ +{\tilde{A}}_{22}{\tilde{z}}_2)+C_2({\tilde{A}}_{21}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{22}{z}_{2r}+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{21}{z}_1+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{22}{z}_2+\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}u+B_{21}u+f_m).\end{array}---\left(29\right)$

将式(25)、(28)代入到式(29)中有

$\stackrel{\·}{S}=H+C_1{f}_u+C_2{f}_m-\mathrm{\Φ}{S}^r+G{u}_{s1}+G{u}_{s2},---\left(30\right)$

其中

$H=C_1({\tilde{A}}_{11}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{12}{z}_{2r}+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{11}{z}_1+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{12}{z}_2+\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}{u}_l)+C_2({\tilde{A}}_{21}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{22}{z}_{2r}+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{21}{z}_1+\mathrm{\Δ}{\tilde{A}}_{22}{z}_2+\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}{u}_l)---\left(31\right)$

$G=(C_1\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{11}+C_2\mathrm{\Δ}{\tilde{B}}_{21}+C_2{B}_{21}).---\left(32\right)$

假设G为可逆矩阵，u_s1设计为

u_s1＝-G^-1H.      (33)

3.4基于不确定扰动的控制器设计

采用自适应模糊滑模控制消除不确定扰动对系统的影响。将式(33)带入到式(30)有：

$\stackrel{\·}{S}=-\mathrm{\Φ}{S}^r+C_1{f}_u+C_2{f}_m+G{u}_{s2}---\left(34\right)$

假设令||C₁||||f_u||+||C₂||||f_m||≤β，令u_s2＝G^-1u_f，带入式(29)得：

$S^T\stackrel{\&CenterDot;}{S}\&le;-S^T\mathrm{\&Phi;}{S}^r+S^T{u}_f+\left|\right|S\left|\right|\left(\right|\left|C_1\right|\left|\right|\left|f_u\right||+|\left|C_2\right|\left|\right|\left|f_m\right|\left|\right)<S^T{u}_f+\frac{\mathrm{\&beta;}{S}^{T}S}{\left|\right|S\left|\right|}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}(S_i{u}_{\mathrm{fi}}+\frac{\mathrm{\&beta;}{S}_i^2}{\left|\right|S\left|\right|})---\left(35\right)$

其中S_i表示向量S的第i个变量，u_fi为控制向量u_f的第i个控制量

假设输入变量S_i/||S||、输出变量u_fi的模糊集分为负、零、正。为方便起见，其隶属度函数如图2和图3所示。

由式(35)知，为保证可推导出下列模糊规则：

规则1：如果S_i/||S||是负，则u_fi是正；

规则2：如果S_i/||S||是零，则u_fi是零；

规则3：如果S_i/||S||是正，则u_fi是负；

这样采用中心去模糊，u_fi可表示为：

$u_{\mathrm{fi}}=\frac{\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_{\mathrm{ij}}{F}_j(S_i/|\left|S\right|\left|\right)}{\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{F}_j(S_i/|\left|S\right|\left|\right)}---\left(36\right)$

其中F_j＝{正，零，负}是输入隶属度函数，g_ij，i＝1，2，m，j＝1，2，3是对应的输出模糊单点值。由图2的输入变量隶属度函数可知u_fi可简化为：

$u_{\mathrm{fi}}=\underset{j=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_{\mathrm{ij}}{F}_j(S_i/|\left|S\right|\left|\right)---\left(37\right)$

由于输出模糊单值相对应0是对称的，故上式还可进一步简化为：

u_fi＝α_isgn(S_i)F(S_i/||S||)      (38)

式(38)中F(S_i/||S||)表示隶属度函数F_j(S_i/||S||)中模糊集正或负为非零的值为最小化到达律，α_i采用下面的自适应律：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\&delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i=0& \left|S_i\right|\&le;b_i\\ \mathrm{\&delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i=-{\mathrm{\&eta;}}_i\frac{\&PartialD;S^T\stackrel{\&CenterDot;}{S}}{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_i}=-{\mathrm{\&eta;}}_i{S}_i\mathrm{sgn}\left(S_i\right)F(S_i/|\left|S\right|\left|\right))& \left|S_i\right|>b_i\end{array}---\left(39\right)$

δα_i表示α_i增量，η_i是学习律。当|S_i|≤b_i时，不调整α_i，当|S_i|＞b_i时，δα_i＜0。考虑不确定扰动，系统最终状态不可能一直保持在滑模面上，而是在滑模面附近波动。如果只要S_i≠0，就调整α_i，α_i不断减小，导致系统抖动加大。

将式(38)带入到式(35)有：

$S^T\stackrel{\&CenterDot;}{S}<\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{S}_i({\mathrm{\&alpha;}}_i\mathrm{sgn}\left(S_i\right)F(S_i/|\left|S\right|\left|\right)+\frac{\mathrm{\&beta;}{S}_i}{\left|\right|S\left|\right|}),S\&NotEqual;0---\left(40\right)$

如果F(S_i/||S||)＝1，当α_i满足下列条件时，式(36)右端为负

$\left|{\mathrm{\&alpha;}}_i\right|>\mathrm{\&beta;}\max \left(\right|\frac{S_i}{\left|\right|S\left|\right|}\left|\right)---\left(41\right)$

如果F(S_i/||S||)＜1，sgn(S_i)F(S_i/||S||)＝sgn(S_i)S_i/(γ_i||S||)，当α_i满足下列条件时，式(40)右端为负：

|α_i|＞βγ_i      (42)

由式(39)的自适应律可知，α_i＜0，当|S_i|＞b_i时，其值越来越小，通过自适应最后能满足式(41)和(42)。

由以上可知，模糊自适应滑模控制器能够保证系统到达滑模面，其最终的表达式为：

$u_{s2}=G^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_1\mathrm{sgn}\left(S_1\right)F(S_1/|\left|S\right|\left|\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&alpha;}}_m\mathrm{sgn}\left(S_m\right)F(S_m/|\left|S\right|\left|\right)\end{array}\right]---\left(43\right)$

如图8及图9所示，为本发明提供的控制方式与一般PID控制的比较结果，其中，被控对象的不确定因素组成为：A、气源压力的差异；B、先导阀动作特性的差异；C、比例阀下游被控对象的差异；D、比例阀主阀机械响应的差异。由此，可以得出如下结论：采用本控制方式，比例阀的输出压力的振荡和过冲明显变小，实现压力的平滑控制。本控制方式可以动态地适应被控对象的不确定因素。

Claims (2)

1.一种基于T-S模型的气动比例阀模糊滑模自适应控制方法，其特征在于，步骤为：

第一步、T-S模型结构辨识

设定时间窗宽度为l，以时间窗内第k个采集数据 $x_k=\left[\begin{array}{ccc}{P}_k& {\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_k& u_k\end{array}\right]$ 作为判断模糊聚类中心的依据，每个模糊聚类代表一条模糊规则，P_k为气动比例阀的压力，为气动比例阀的压力变化率，u_k为气动比例阀的控制量，x_k的势能p_k(x_k)为：

$p_k\left(x_k\right)=\left\{\begin{array}{cc}\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}\exp (-\mathrm{\&alpha;}{\left|\right|x_k-x_j\left|\right|}^2)& k\&le;l\\ \underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}\exp (-\mathrm{\&alpha;}{\left|\right|x_k-x_j\left|\right|}^2)& k>l\end{array}\right.,$ α为给定参数，此时，时间窗内其他数据的势能更新为：

$p_k\left(x_j\right)=\left\{\begin{array}{cc}{p}_{k-1}\left(x_j\right)+\exp (-\mathrm{\&alpha;}{\left|\right|x_j-x_k\left|\right|}^2)& j=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;k-1,k\&le;l\\ p_{k-1}\left(x_j\right)+\exp (-\mathrm{\&alpha;}{\left|\right|x_j-x_k\left|\right|}^2)-\exp (-\mathrm{\&alpha;}{\left|\right|x_j-x_{k-l}\left|\right|}^2)& j=k-l+1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k-1,k>l\end{array}\right.,$ 则结构辨识的具体步骤为：

步骤1.1、初始化

给定参数r，α，设时间窗内第一个历史数据x₁为第一个模糊聚类的中心v₁，其势能p₁(x₁)＝1，模糊聚类的数量m＝1，数据数量k＝k+1；

步骤1.2、滚动时间窗，计算势能

计算第k个采集数据的势能p_k(x_k)，更新时间窗内其他数据的势能，若k＞l且x_k-l为第i个模糊聚类的中心，则从模糊聚类中心删除x_k-l，即调整类序号，v_q＝v_q+1，q＝i，…，m-1，模糊聚类的数量m＝m-1；

步骤1.3、类中心的增加和替代

对于第i个采集数据x_i，若有：

$p_k\left(x_i\right)=\left\{\begin{array}{cc}\max \{p_k\left(x_j\right),j=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k\}& k\&le;l\\ \max \{p_k\left(x_j\right),j=k-l+1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,k\}& k>l\end{array}\right.,$ 判断x_i是否为某个模糊聚类的中心，若是，则进入步骤1.4，若不是，设：

δ_min＝min{exp(-α||x_i-v_j||)，j＝1，…，m}，设第j个模糊聚类的中心离x_i最近，如果则x_i替代v_j，即有v_k＝x_i，否则增加x_i为新的模糊聚类的中心，即有m＝m+1后，第m个模糊聚类的中心v_m＝x_i；

步骤1.4、删除类中心

对于距离最近的两个模糊聚类的中心v_i和v_j，设p_k(v_i)＜p_k(v_j)，计算式中：

d_min＝min{exp(-α||v_i-v_j||)，i＝1，…，m-1，j＝2，…，m}；

p_max＝max{p_k(v_q)，q＝1，…，m}；

若则删除类中心v_i，即调整类序号v_q＝v_q+1，q＝i，…，m-1，类数量m＝m-1，否则，进入步骤1.5；

步骤1.5、k＝k+1返回步骤1.2，直至辨识结束；

第二步、采用最小二乘支持向量机辨识T-S模型参数；

第三步、基于辨识出的模型T-S模型设计模糊自适应控制器，对气动伺服系统进行控制，使得被控对象压力跟踪给定的参考信号，其步骤为：

步骤3.1、滑模面的选择

气动伺服系统全局系统状态方程为：式中，A_i及B_i为权重，u为控制量，x＝[x₁ … x_k]是系统状态，m是规则数，h_i(x)是归一化隶属度函数 $h_i\left(x\right)={\mathrm{\&mu;}}_i\left(x\right)/\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_i\left(x\right),{\mathrm{\&mu;}}_i\left(x\right)=\underset{j=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Pi;}}}{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{ij}}\left(x_j\right),$ μ_ij(x_i)表示x_i属于F_i ^j的隶属度函数；

将气动伺服系统全局系统状态方程表示成不确定形式，用其它剩余权值来表示任一权值，则有：

$h_i\left(x\right)=1-\underset{j=1(j\&NotEqual;i)}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_j\left(x\right),$ 故有：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=(A_i+\mathrm{\&Delta;}{A}_i)x+(B_i+\mathrm{\&Delta;}{B}_i)u,$ 式中：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\&Delta;}{A}_i=\underset{j=1(j\&NotEqual;i)}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_j\left(x\right)(A_j-A_i)& \begin{array}{}\end{array}\begin{array}{}\end{array}\mathrm{\&Delta;}{B}_j=\underset{j=1(j\&NotEqual;i)}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_j\left(x\right)(B_j-B_i)\end{array};$

设气动伺服系统给定参考信号x_r，令z_r＝Tx_r，式中，T为转换矩阵，跟踪误差式中z＝Tx，将非奇异线性变换，以跟踪误差为状态变量的方程为：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& {\tilde{A}}_{12}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{z}}_1\\ {\tilde{z}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& {\tilde{A}}_{12}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_{1r}\\ z_{2r}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{11}& \mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{12}\\ \mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{21}& \mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ B_{21}\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{11}\\ \mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{21}\end{array}\right]u+\left[\begin{array}{c}{f}_u\\ f_m\end{array}\right],$ 其中的线性标称系统为：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{z}}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& \widetilde{A_{12}}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{z}}_1\\ {\tilde{z}}_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ B_{21}\end{array}\right]u,$ 气动伺服系统的滑模面针对该线性标称系统设计的，则滑模面为：

式中，C₁和C₂为滑模面参数，通过极点配置求解；

步骤3.2、将步骤3.1中的以跟踪误差为状态变量的方程看成是步骤3.1中的线性标称系统与其确定扰动和不确定扰动的组合，其中，

确定扰动为 $\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{11}& \mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{12}\\ \mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{21}& \mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{11}& {\tilde{A}}_{12}\\ {\tilde{A}}_{21}& {\tilde{A}}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_{1r}\\ z_{2r}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{11}\\ \mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{21}\end{array}\right]u;$

不确定扰动为 $\left[\begin{array}{c}{f}_u\\ f_m\end{array}\right];$

针对标称系统、确定扰动、不确定扰动进行控制器设计，分别为u_l、u_s1、u_s2，则有u＝u_l+u_s1+u_s2，式中：

$u_l=-{\left(C_2{B}_{21}\right)}^{-1}[C_1({\tilde{A}}_{11}{\tilde{z}}_1+{\tilde{A}}_{12}{\tilde{z}}_2)+C_2({\tilde{A}}_{21}{\tilde{z}}_1+{\tilde{A}}_{22}{\tilde{z}}_2)+\mathrm{\&Phi;}{S}^r],$ 式中：

$\stackrel{\&CenterDot;}{S}=-\mathrm{\&Phi;}{S}^r,$

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{S}=C_1({\tilde{A}}_{11}{\tilde{z}}_1+{\tilde{A}}_{12}{\tilde{z}}_2)+C_1({\tilde{A}}_{11}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{12}{z}_{2r}+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{11}{z}_1+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{12}{z}_2+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{11}u+f_u)+C_2({\tilde{A}}_{21}{\tilde{z}}_1\\ +{\tilde{A}}_{22}{\tilde{z}}_2)+C_2({\tilde{A}}_{21}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{22}{z}_{2r}+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{21}{z}_1+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{22}{z}_2+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{21}u+B_{21}u+f_m)\end{array},$

Φ＝diag(φ₁，…，φ_q)，φ_i＞0，i＝1，…，q， $S^r={\left[\begin{array}{ccc}{S}_1^r& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& S_q^r\end{array}\right]}^T,$ r是一个小于1的常数，r＝c/p，c和p都是奇数，并且有：

$S^T\mathrm{\&Phi;}{S}^r=\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&phi;}}_i{S}_i^{r+1}\&GreaterEqual;\underset{i}{\min }\left({\mathrm{\&phi;}}_i\right)\left[{\left(\underset{i=1}{\overset{q}{\mathrm{\&Sigma;}}}{S}_i^2\right)}^{(r+1)/2}\right]=\underset{i}{\min }\left({\mathrm{\&phi;}}_i\right){\left|\right|S\left|\right|}^{r+1}>0;$

u_s1＝-G^-1H，式中：

G为可逆矩阵， $G=(C_1\mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{11}+C_2\mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{21}+C_2{B}_{21});$

$H=C_1({\tilde{A}}_{11}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{12}{z}_{2r}+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{11}{z}_1+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{12}{z}_2+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{11}{u}_l)+C_2({\tilde{A}}_{21}{z}_{1r}+{\tilde{A}}_{22}{z}_{2r}+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{21}{z}_1+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{A}}_{22}{z}_2+\mathrm{\&Delta;}{\tilde{B}}_{21}{u}_l);$

$u_{s2}=G^{-1}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\&alpha;}}_1\mathrm{sgn}\left(S_1\right)F(S_1/|\left|S\right|\left|\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&alpha;}}_m\mathrm{sgn}\left(S_m\right)F(S_m/|\left|S\right|\left|\right)\end{array}\right],$ 式中：

α_i，i＝1，…，m，采用如下的自适应律：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\&delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i=0& \left|S_i\right|\&le;b_i\\ \mathrm{\&delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i=-{\mathrm{\&eta;}}_i\frac{\&PartialD;S^T\stackrel{\&CenterDot;}{S}}{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_i}=-{\mathrm{\&eta;}}_i{S}_i\mathrm{sgn}\left(S_i\right)F(S_i/|\left|S\right|\left|\right))& \left|S_i\right|>b_i\end{array},$ 式中，δα_i表示α_i增量，η_i是学习律，S_i表示向量S的第i个变量，F(S_i/||S||)表示隶属度函数F_j(S_i/||S||)中模糊集正或负为非零的值。

2.如权利要求1所述的一种基于T-S模型的气动比例阀模糊滑模自适应控制方法，其特征在于：所述第二步包括：

步骤2.1、设气动伺服系统是2阶系统，并且令状态量为压力和压力变化率即： $x={\left[\begin{array}{cc}P& \stackrel{\&CenterDot;}{P}\end{array}\right]}^T,$ 其连续模型为：对于规则i，如果P为F_i ¹，是F_i ²，则有 $\stackrel{\&CenterDot;}{x}=A_{i}x+B_{i}u,i=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m,$ 式中， $A_i=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ a_{i21}& a_{i22}\end{array}\right],B_i=\left[\begin{array}{c}0\\ b_i\end{array}\right],$ 采样周期T_s＝0.01秒，令状态量为n时刻的压力和压力变化率 $x_n={\left[\begin{array}{cc}{P}_n& {\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_n\end{array}\right]}^T$ 对公式离散化有：对于规则i，如果P_n是F_i1，是F_i2，则有：

x_n+1＝A_dix_n+B_diu_n+D_i，式中：

$A_{\mathrm{di}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.01\\ w_{i1}& w_{i2}\end{array}\right],B_{\mathrm{di}}=\left[\begin{array}{c}0\\ w_{i3}\end{array}\right],D_i=\left[\begin{array}{c}{c}_i\\ d_i\end{array}\right],$ 并且有：

$\left\{\begin{array}{c}{w}_{i1}=0.01a_{i21}\\ w_{i2}=1+0.01a_{i22}\\ w_{i3}=0.01b_i\end{array}\right.,$ 将状态量和控制量作为输入 $x=\left[\begin{array}{ccc}{P}_n& {\stackrel{\&CenterDot;}{P}}_n& u_n\end{array}\right],$ 模型输出为n+1时刻的压力变化率这样对于规则i，有：

式中，w_i＝[w_i1 w_i2 w_i3]^T，则整个系统输出为：

$y=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_i(w_i^{T}x+d_i);$

步骤2.2、将输入数据x_j代入则有：

根据结构风险最小化原理，综合考虑函数复杂度和拟合误差，回归问题可以表示为约束优化问题：

$\begin{array}{c}\underset{w_i,b,c}{\min }\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_i^T{w}_i+\frac{C}{2}\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_j^2\\ s.t.e_j=y_j-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)\end{array},$ 为了求解上述优化问题，把约束优化问题转化成无约束的优化问题，构造拉格朗日方程：

$L=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_i^T{w}_i+\frac{C}{2}\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_j^2+\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_j[y_j-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)],$ 根据KKT条件有 $\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;L}{\&PartialD;w_i}=0\&RightArrow;w_i=\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_j{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{ij}}{x}_j\\ \frac{\&PartialD;L}{\&PartialD;b_i}=0\&RightArrow;\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&alpha;}}_j{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{ij}}=0\\ \frac{\&PartialD;L}{\&PartialD;e_j}=0\&RightArrow;{\mathrm{\&alpha;}}_j=C{e}_j\\ \frac{\&PartialD;L}{\&PartialD;{\mathrm{\&alpha;}}_j}=0\&RightArrow;\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)+e_j-y_j=0\end{array},$ 从该方程组中消去e_j，w_i，可得到：

$\left[\begin{array}{cccccc}0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0& {\mathrm{\&mu;}}_{1,k-l+1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&mu;}}_{1,k}\\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ 0& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 0& {\mathrm{\&mu;}}_{m,k-l+1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&mu;}}_{m,k}\\ {\mathrm{\&mu;}}_{1,k-l+1}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&mu;}}_{m,k-l+1}& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_{i,k-l+1}{\mathrm{\&mu;}}_{i,k-l+1}{Q}_{k-l+1,k-l+1}+\frac{1}{C}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_{i,\mathrm{kl}+1}{\mathrm{\&mu;}}_{i,k}{Q}_{k,k-l+1}\\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& & \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&mu;}}_{1,k}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& {\mathrm{\&mu;}}_{m,k}& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_{i,k}{\mathrm{\&mu;}}_{i,k-l+1}{Q}_{,k-l+1,k}& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_{i,k}{\mathrm{\&mu;}}_{i,k}{Q}_{k,k}+\frac{1}{C}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ d_m\\ {\mathrm{\&alpha;}}_{k-l+1}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ {\mathrm{\&alpha;}}_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ 0\\ y_{k-l+1}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ y_k\end{array}\right],$ 式中：i＝1，…m，j＝k-l+1，…，k，可求出d₁ … d_m及α_k-l+1 … α_k，再带入到 $\begin{array}{c}\underset{w_i,b,c}{\min }\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_i^T{w}_i+\frac{C}{2}\underset{j=k-l+1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}_j^2\\ s.t.e_j=y_j-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{ij}}(w_i^T{x}_j+d_i)\end{array}$ 的第一式中，即可辨识出离散T-S模型参数，再通过 $\left\{\begin{array}{c}{w}_{i1}=0.01a_{i21}\\ w_{i2}=1+0.01a_{i22}\\ w_{i3}=0.01b_i\end{array}\right.,$ 得出连续T-S模型 $\stackrel{\&CenterDot;}{x}=A_{i}x+B_{i}u$ 的参数。