CN104458512A - 一种测量颗粒群分形维数的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种测量颗粒群分形维数的方法，属于颗粒群尺度检测领域，包括S1测量颗粒群中各个粒子体积和各个体积的粒子数量，获得粒子体积v与数量n间的分布关系v-n；S2计算颗粒群的k阶矩M_k；S3将分布关系v-n转换为x-y关系、计算获得无量纲k阶矩并进一步计算获得分形维数D_f的关系式；S4遍历筛选出数值位于1至3之间且符合所述关系式的分形维数D_f，即获得颗粒群的分形维数。本发明方法无需测量颗粒物几何形态，也无需对单颗粒物逐个进行测量，是一种简便、快捷、高效获取颗粒群分形维数的方法。

Description

一种测量颗粒群分形维数的方法

技术领域

本发明属于颗粒群尺度特征检测领域，更具体地，涉及一种新型的测量颗粒群分形维数的方法。

背景技术

分形维数是复杂形体不规则性的量度，反映了分形形体占据空间的有效性(Falconer,Kenneth.Fractal Geometry.New York:Wiley,2003)。具有统计意义上的自相似的分形结构的大气颗粒物的复杂的形态可以用分形维数来表示。分形维数体现了颗粒群组成的均匀程度，能够较好地表征颗粒群的粒度整体分布，与颗粒物比表面积等物理性质有直接关系。

当颗粒物分形维数越小时，其比表面积越大，对有毒物质的吸附性也越强，被人体吸收后所造成的危害也就越大。颗粒物的粒度分布与人们的健康息息相关，影响到其进入人体的能力及其在人体中的沉积位置。当空气中的颗粒物含量过多时，会明显的降低能见度。总之，对颗粒物的分形维数进行科学精确的定量分析，能为研究颗粒物的来源、健康效应以及颗粒物对气候、能见度等的影响提供依据，也有助于推动大气颗粒物的毒理学研究。因此，颗粒群或者颗粒物的分形维数的获取具有十分重要的意义。

目前，关于颗粒物分形维数的测量常采用实验观察法，实验观察法的实验手段一般是通过显微镜观察颗粒物的形态，再利用构造步长法、盒维数法、回旋半径法等来分析测得的数据，从而计算出分形维数。其中，(1)构造步长法通过标定步长r来估测颗粒轮廓线的周长L；(2)盒维数法即用直径为ε的圆盒子去覆盖轮廓边界，若覆盖边界所需的盒子数量为N，通 过公式计算得到分形维数D_f；(3)回旋半径法假定粒子为球形且密度均匀，通过统计原始粒子的大小及位置来计算颗粒物的回旋半径，再根据Weber提出的公式来计算分形维数(S.K.Friedlander,C.Xiong.Measurments of fractal-like atmospheric particles.Journal of Aerosol Science,2000,31:226-227.)，该公式如下：

N_p＝A(R_g/R₀)^Df

式中，N_p为初粒子数量，A为结构因子，R_g为颗粒物的旋转半径，R₀为原始粒子平均粒径，D_f为分形维数。 

以上方法存在以下不足：(1)构造步长法及盒维数法属于手动测算，获得的数据较少、精度低且对目标细节的敏感度低；(2)回旋半径法中R_g与原始粒子的大小及位置有关，不仅需要测量初粒子的大小，还需测量初粒子在颗粒团中的精确位置。总之，以上各种测量分形维数方法都具有误差大、准确度低、以及处理效率低的问题。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种测量颗粒群分形维数的方法，其目的在于只测量颗粒群中各种粒子体积和粒子数量，然后计算获得颗粒群的分形维数，克服现有技术中因测量颗粒物几何形态所产生的误差以及需对单个颗粒物逐个进行测量所导致的巨大工作量，从而提高了获得颗粒群分形维数的效率和准确性。

为实现上述目的，本发明提供了一种测量颗粒群分形维数的方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1：测量颗粒群中各个粒子体积和归属于各种不同体积下的粒子数量，获得粒子体积v与数量n间的分布关系v-n；

S2：计算获得所述颗粒群的2阶距M₂、表征所述颗粒群的所有粒子体 积之和的1阶矩M₁、表征所述颗粒群粒子总数的0阶矩M₀，

所述颗粒群的k阶矩M_k计算公式如下：

$M_k={\∫}_0^{\∞}{v}^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}$

式中：v为粒子体积，n为体积为v的粒子数量，k为k阶，k取任意实数；

k＝0时，即获得0阶矩M₀；

k＝1时，即获得1阶矩M₁；

k＝2时，即获得2阶矩M₂；

S3：计算获得关于所述颗粒群分形维数D_f的关系式，其具体包括如下子步骤：

(3-1)依据S1和S2获得的数据将分布关系v-n变换为x-y关系，其中：

y＝(M₁/M₀ ²)*n

x＝M₀v/M₁

式中，n为体积为v的粒子数量，M₀为0阶矩，M₁为1阶矩；

(3-2)计算获取无量纲k阶矩

$M_k^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^k\mathrm{ydx}=\frac{1}{2}((k^2-k)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-k^2+k+2)$

式中，M₀为0阶矩，M₁为1阶矩，M₂为2阶矩，k为k阶，k取任意实数；

(3-3)根据无量纲k阶矩取值和计算获得关于所述颗粒群的分形维数D_f的关系式：

$1=\frac{D_f{M}_1^2({\∫}_0^{\∞}{x}^{-1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})}{M_0{M}_2-M_1^2}$

式中，D_f为颗粒群分形维数，M₀为0阶矩，M₁为1阶矩，M₂为2阶矩；

S4：根据S1中所述分布关系v-n、0阶矩M₀、1阶矩M₁、2阶矩M₂以及S2中x-y关系，从数值1～3范围中依次选择多个代入子步骤(3-3)中关于所述颗粒群的分形维数D_f的关系式中，以此方式遍历筛选出数值位于1至3之间的分形维数D_f，即为所述颗粒群的分形维数D_f。

进一步的，子步骤(3-2)中无量纲k阶矩的计算获取过程具体包括：

先计算获得所述的第一关系式：

$\begin{array}{c}{M}_k^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^k\mathrm{ydx}\\ ={\∫}_0^{\∞}{\left(\frac{M_0}{M_1}v\right)}^k\frac{n\left(v\right)\mathrm{dv}}{M_0}\\ ={\∫}_0^{\∞}{\left(\frac{M_0}{M_1}\right)}^k\frac{v^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}}{M_0}\\ ={\left(\frac{M_0}{M_1}\right)}^k\frac{1}{M_0}{\∫}_0^{\∞}{v}^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}\\ ={\left(\frac{M_0}{M_1}\right)}^k\frac{1}{M_0}{M}_k\end{array}$

接着对v^k在v₀＝M₁/M₀处作泰勒级数展开，并取三阶精度，获取v^k关系式：

$\begin{array}{c}{v}^k={\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k+k{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}(v-\frac{M_1}{M_0})+\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{(v-\frac{M_1}{M_0})}^2\\ =\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{v}^2-k(k-2){\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}v+\frac{(k-1)(k-2)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k\end{array}$

然后根据所述v^k关系式和k阶距M_k，计算获得M_k的第一关系式：

$\begin{array}{c}{M}_k={\∫}_0^{\∞}{v}^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}\\ =\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{\∫}_0^{\∞}{v}^{2}n\left(v\right)\mathrm{dv}-k(k-2){\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}{\∫}_0^{\∞}\mathrm{vn}\left(v\right)\mathrm{dv}+\frac{(k-1)(k-2)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{\∫}_0^{\∞}{v}^{0}n\left(v\right)\mathrm{dv}\\ =\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{M}_2-k(k-2){\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}{M}_1+\frac{(k-1)(k-2)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{M}_0\\ =\frac{1}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{M}_0(k(k-1)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-2k(k-2)+(k-1)(k-2))\\ =\frac{1}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{M}_0(k(k-1)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-k^2+k+2)\end{array}$

最后，将M_k第一关系式代入所述的第一关系式，获得

$M_k^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^k\mathrm{ydx}=\frac{1}{2}((k^2-k)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-k^2+k+2).$

进一步的，子步骤(3-3)中计算获得关于所述颗粒群的分形维数D_f的关系式的具体过程为：

先取计算获得到无量纲化的正倒数阶矩

$M_{{1/D}_f}^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^{{1/D}_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{2}((\frac{1}{D_f^2}-\frac{1}{D_f})\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-\frac{1}{D_f^2}+\frac{1}{D_f}+2)$

D_f为所述颗粒群的分形维数；

接着取计算获得到无量纲化的负倒数阶矩

$M_{{-1/D}_f}^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^{{1/D}_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{2}((\frac{1}{D_f^2}+\frac{1}{D_f})\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-\frac{1}{D_f^2}-\frac{1}{D_f}+2)$

然后，将无量纲化正倒数阶矩减去无量纲化负倒数阶矩得到关于分形维数D_f的公式，

$D_f=\frac{M_0{M}_2-M_1^2}{({\∫}_0^{\∞}{x}^{{-1/D}_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{{1/D}_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})M_1^2}$

最后，对上述关于分形维数D_f的公式作变换即获得关于所述颗粒群的分形维数D_f的关系式：

$1=\frac{D_f{M}_1^2({\∫}_0^{\∞}{x}^{-1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})}{M_0{M}_2-M_1^2}$

进一步的，步骤S1中采用激光粒度仪器测量所述颗粒群的粒子尺寸和数量，以获得所述粒子体积v与数量n间的分布关系v-n。

步骤S4中所述遍历计算采用计算机程序完成，初始值拟定为1，以0.01为步长进行递加，即1.01为第二个值，代入计算，得到f(D_f)值，以f(D_f)减去1，如果该f(D_f)减去1获得的绝对值小于10^-5，则认定该D_f为该系统的分形维数。由于遍历计算的工作量非常大，采用自行研发的程序完成。还可以将该程序以模块形式集成在测量仪器的工控机或者计算机中，通过测量仪器的测量端测出了颗粒群的v-n关系，工控机或计算机即可直接输出该颗粒群的分形维数，是一种简便、快捷、高效获取颗粒群分形维数的方法。

实际计算过程中，还可以以其他任何方便计算的步长进行递加，比如0.001或者0.005等，总之，只要方便计算并且不影响计算精度即可。

任何颗粒系统的分形维数D_f均在1～3之间，这是由分形维数本身的物理意义决定的。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

本发明方法仅仅是通过激光粒度仪器或其他仪器测量颗粒群中包含的各个粒子的体积和数量，然后计算该颗粒群的k阶距M_k、0阶矩M₀，1阶 矩M₁为，2阶矩M₂，以及无量纲k阶矩接着进一步通过一系列的工程计算获得关于该颗粒群的分形维数D_f的关系式，然后通过计算机程序对满足该关系式的D_f值进行筛分，得到颗粒群的分形维数。本发明方法无需测量颗粒物几何形态，也无需对单颗粒物逐个进行测量，是一种简便、快捷、高效获取颗粒群分形维数的方法。

附图说明

图1(a)是TiO₂颗粒群的粒子体积v与数量n间的分布关系v-n；

图1(b)是柴油机尾管排放物颗粒群的粒子体积v与数量n间的分布关系v-n；

图1(c)是汽油机尾管排放物颗粒群的粒子体积v与数量n间的分布关系v-n；

图2是TiO₂颗粒群、柴油机尾管排放物颗粒群以及汽油机尾管排放物颗粒群的x-y关系；

图3为TiO₂颗粒群、柴油机尾管排放物颗粒群以及汽油机尾管排放物颗粒群分形维数的函数图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

首先详细说明本发明方法的步骤：

S1：激光粒度仪器测量颗粒群中各个粒子体积和各个体积的粒子数量， 获得粒子体积v与数量n间的分布关系v-n；

本发明中采用的激光粒度仪器的性能参数介绍如下表1。

表1 激光粒度仪器的性能参数表

S2：计算获得表征所述颗粒群粒子总数的0阶矩M₀、表征所述颗粒群的所有粒子体积之和的1阶矩M₁、以及2阶距M₂，

所述颗粒群的k阶矩M_k计算公式如下：

$M_k={\∫}_0^{\∞}{v}^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}$

式中：v为单个粒子体积，n为体积为v的粒子数量，k为k阶，k取任意实数；

k＝0时，即获得0阶矩M₀；

k＝1时，即获得1阶矩M₁；

k＝2时，即获得2阶矩M₂；

S3：计算获得所述颗粒群的分形维数D_f的关系式，其具体包括如下子 步骤：

(3-1)依据S1和S2获得的数据将分布关系v-n变换为x-y关系，其中：

y＝(M₁/M₀ ²)*n

x＝M₀v/M₁

式中，n为体积为v的粒子数量，M₀为0阶矩，M₁为1阶矩；

(3-2)计算获取无量纲k阶矩

先计算获得所述的第一关系式：

$\begin{array}{c}{M}_k^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^k\mathrm{ydx}\\ ={\∫}_0^{\∞}{\left(\frac{M_0}{M_1}v\right)}^k\frac{n\left(v\right)\mathrm{dv}}{M_0}\\ ={\∫}_0^{\∞}{\left(\frac{M_0}{M_1}\right)}^k\frac{v^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}}{M_0}\\ ={\left(\frac{M_0}{M_1}\right)}^k\frac{1}{M_0}{\∫}_0^{\∞}{v}^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}\\ ={\left(\frac{M_0}{M_1}\right)}^k\frac{1}{M_0}{M}_k\end{array}$

接着对v^k在v₀＝M₁/M₀处作泰勒级数展开，并取三阶精度，获取v^k关系式：

$\begin{array}{c}{v}^k={\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k+k{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}(v-\frac{M_1}{M_0})+\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{(v-\frac{M_1}{M_0})}^2\\ =\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{v}^2-k(k-2){\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}v+\frac{(k-1)(k-2)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k\end{array}$

值得说明的是，v^k必定在v₀＝M₁/M₀处作泰勒级数展开，如果在其他值做泰勒展开，则无法本发明方法中分形维数D_f的关系式。

然后根据所述v^k关系式和k阶距M_k，计算获得M_k的第一关系式：

$\begin{array}{c}{M}_k={\∫}_0^{\∞}{v}^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}\\ =\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{\∫}_0^{\∞}{v}^{2}n\left(v\right)\mathrm{dv}-k(k-2){\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}{\∫}_0^{\∞}\mathrm{vn}\left(v\right)\mathrm{dv}+\frac{(k-1)(k-2)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{\∫}_0^{\∞}{v}^{0}n\left(v\right)\mathrm{dv}\\ =\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{M}_2-k(k-2){\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}{M}_1+\frac{(k-1)(k-2)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{M}_0\\ =\frac{1}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{M}_0(k(k-1)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-2k(k-2)+(k-1)(k-2))\\ =\frac{1}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{M}_0(k(k-1)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-k^2+k+2)\end{array}$

最后，将M_k第一关系式代入所述的第一关系式，获得：

$M_k^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^k\mathrm{ydx}=\frac{1}{2}((k^2-k)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-k^2+k+2)$

式中，M₀为0阶矩，M₁为1阶矩，M₂为2阶矩，k为k阶，k取任意实数；

(3-3)根据无量纲k阶矩取值和计算获得分形维数D_f的关系式：

首先，取计算获得到无量纲化的正倒数阶矩

$M_{{1/D}_f}^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^{{1/D}_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{2}((\frac{1}{D_f^2}-\frac{1}{D_f})\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-\frac{1}{D_f^2}+\frac{1}{D_f}+2)$

D_f为所述颗粒群的分形维数；

接着，取计算获得到无量纲化的负倒数阶矩

$M_{{-1/D}_f}^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^{{1/D}_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{2}((\frac{1}{D_f^2}+\frac{1}{D_f})\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-\frac{1}{D_f^2}-\frac{1}{D_f}+2)$

然后，将无量纲化正倒数阶矩减去无量纲化负倒数阶矩得到关于分形维数D_f的公式，

$D_f=\frac{M_0{M}_2-M_1^2}{({\∫}_0^{\∞}{x}^{{-1/D}_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{{1/D}_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})M_1^2}$

最后，对上式作变化即获得所述分形维数D_f的关系式：

$1=\frac{D_f{M}_1^2({\∫}_0^{\∞}{x}^{-1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})}{M_0{M}_2-M_1^2}$

式中，D_f为颗粒群分形维数，M₀为0阶矩，M₁为1阶矩，M₂为2阶矩；

值得说明的是，D_f的值为1～3之间的任意实数，k为任意实数，则以及必定为k的集合内，则可以取或者

S4：根据S1中所述分布关系v-n、0阶矩M₀、1阶矩M₁、2阶矩M₂以及S2中x-y关系，从数值1～3范围中依次选择多个代入子步骤(3-3)中关于所述颗粒群的分形维数D_f的关系式中，以此方式遍历筛选出数值位于1至3之间的分形维数D_f，即为所述颗粒群的分形维数D_f。

步骤所述遍历计算，采用计算机程序完成，初始值拟定为1，以0.01为步长进行递加，即1.01为第二个值，代入计算，得到f(D_f)值，以f(D_f)减去1，如果该f(D_f)减去1获得的绝对值小于10^-5，则认定该D_f为该系统的分形维数。其计算量非常大，采用自行编程的程序完成。还可以将该程序以模块形式集成在测量仪器的工控机中，当测量端测出了颗粒群的v-n 关系，工控机即可直接输出该颗粒群的分形维数，是一种简便、快捷、高效获取颗粒群分形维数的方法。

图1(a)是TiO₂颗粒群的粒子体积v与数量n间的分布关系v-n，图1(b)是柴油机尾管排放物颗粒群的粒子体积v与数量n间的分布关系v-n，图1(c)是汽油机尾管排放物颗粒群的粒子体积v与数量n间的分布关系v-n，以上均采用表1所示的激光粒度仪器测量获得。

测量过程具体为：购买50g钛白粉作为TiO₂颗粒群，采用空气采样器分别采集500ml柴油机尾管排放物颗粒群和500ml汽油机尾管排放物颗粒群，将以上三个样品分别直接放入激光粒度仪器中，开启测量，即可获得各自的布关系v-n。

根据如下公式将分布关系v-n变换为x-y关系获得如图2，其中：

y＝(M₁/M₀ ²)*n

x＝M₀v/M₁

图2所示为TiO₂颗粒群、柴油机尾管排放物颗粒群以及汽油机尾管排放物颗粒群的x-y关系。进行该换算有助于简化后续的计算过程，使计算结果直接易懂，并且具有一定的物理意义。

根据本发明方法获得的关于颗粒群分形维数D_f的关系式：

$1=\frac{D_f{M}_1^2({\∫}_0^{\∞}{x}^{-1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})}{M_0{M}_2-M_1^2}$

再结合TiO₂颗粒群、柴油机尾管排放物颗粒群以及汽油机尾管排放物颗粒群各自的0阶矩M₀，1阶矩M₁，2阶矩M₂即可遍历计算以获得各自的分形维数。该过程由计算机程序完成。

还可以令 $f\left(D_f\right)=\frac{D_f{M}_1^2({\∫}_0^{\∞}{x}^{-1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})}{M_0{M}_2-M_1^2}$

由于以上函数关系中，0阶矩M₀、1阶矩M₁、2阶矩M₂等对于一定的 颗粒群均为已知数，x-y关系与分布关系v-n是一一对应的，分布关系v-n对于一定的颗粒群即为一定的，则函数f(D_f)是关于D_f的函数，而D_f的取值范围为1～3之间，根据以上所知，可以计算并求解出f(D_f)与D_f间的关系并绘制出该函数图。

图3为TiO₂颗粒群、柴油机尾管排放物颗粒群以及汽油机尾管排放物颗粒群分形维数的函数图。该函数与直线f(D_f)＝1的交点即为各自系统的分形维数，得到汽油机尾管排放物颗粒群、柴油机尾管排放物颗粒群以及TiO₂颗粒群的分形维数分别为2.14、2.22、2.44。

通过以上说明可知，本发明方法先测量获得颗粒群的分布关系v-n，接着进行一系列的工程计算以构造出关于颗粒群的分形维数D_f的关系式，进行遍历计算即可获得颗粒群的分形维数。可通过激光粒度仪器结合计算机直接获得分形维数，无需人工测量，也无需对单个颗粒进行测量，是一种简便、快捷、高效、精确的获取分形维数的方法。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种测量颗粒群分形维数的方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1：测量颗粒群中各个粒子体积和归属于各种不同体积下的粒子数量，获得粒子体积v与数量n间的分布关系v-n；

S2：计算获得所述颗粒群的2阶距M₂、表征所述颗粒群的所有粒子体积之和的1阶矩M₁、表征所述颗粒群粒子总数的0阶矩M₀，

所述颗粒群的k阶矩M_k计算公式如下：

$M_k={\∫}_0^{\∞}{v}^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}$

式中：v为粒子体积，n为体积为v的粒子数量，k为k阶，k取任意实数；

k＝0时， $M_0={\∫}_0^{\∞}n\left(v\right)\mathrm{dv},$ 即获得0阶矩M₀；

k＝1时， $M_1={\∫}_0^{\∞}\mathrm{vn}\left(v\right)\mathrm{dv},$ 即获得1阶矩M₁；

k＝2时， $M_2={\∫}_0^{\∞}{v}^{2}n\left(v\right)\mathrm{dv},$ 即获得2阶矩M₂；

S3：计算获得关于所述颗粒群分形维数D_f的关系式，其具体包括如下子步骤：

(3-1)依据S1和S2获得的数据将分布关系v-n变换为x-y关系，其中：

y＝(M₁/M₀ ²)*n

x＝M₀v/M₁

式中，n为体积为v的粒子数量，M₀为0阶矩，M₁为1阶矩；

(3-2)计算获取无量纲k阶矩

$M_k^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^k\mathrm{ydx}=\frac{1}{2}((k^2-k)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-k^2+k+2)$

式中，M₀为0阶矩，M₁为1阶矩，M₂为2阶矩，k为k阶，k取任意实数；

(3-3)根据无量纲k阶矩取值和计算获得关于所述颗粒群的分形维数D_f的关系式：

$1=\frac{D_f{M}_1^2({\∫}_0^{\∞}{x}^{-1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})}{M_0{M}_2-M_1^2}$

式中，D_f为颗粒群分形维数，M₀为0阶矩，M₁为1阶矩，M₂为2阶矩；

S4：根据S1中所述分布关系v-n、0阶矩M₀、1阶矩M₁、2阶矩M₂以及S2中x-y关系，从数值1～3范围中依次选择多个代入子步骤(3-3)中关于所述颗粒群的分形维数D_f的关系式中，以此方式遍历筛选出数值位于1至3之间的分形维数D_f，即为所述颗粒群的分形维数D_f。

2.如权利要求1所述的一种测量颗粒群分形维数的方法，其特征在于，子步骤(3-2)中无量纲k阶矩的计算获取过程具体包括：

先计算获得所述的第一关系式：

$\begin{array}{c}{M}_k^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^k\mathrm{ydx}\\ ={\∫}_0^{\∞}{\left(\frac{M_0}{M_1}v\right)}^k\frac{n\left(v\right)\mathrm{dv}}{M_0}\\ ={\∫}_0^{\∞}{\left(\frac{M_0}{M_1}\right)}^k\frac{v^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}}{M_0}\\ ={\left(\frac{M_0}{M_1}\right)}^k\frac{1}{M_0}{\∫}_0^{\∞}{v}^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}\\ ={\left(\frac{M_0}{M_1}\right)}^k\frac{1}{M_0}{M}_k\end{array}$

接着对v^k在v₀＝M₁/M₀处作泰勒级数展开，并取三阶精度，获取v^k关系式：

$\begin{array}{c}{v}^k={\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k+k{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}(v-\frac{M_1}{M_0})+\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{(v-\frac{M_1}{M_0})}^2\\ =\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{v}^2-k(k-2){\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}v+\frac{(k-1)(k-2)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k\end{array}$

然后根据所述v^k关系式和k阶距M_k，计算获得M_k的第一关系式：

$\begin{array}{c}{M}_k={\∫}_0^{\∞}{v}^{k}n\left(v\right)\mathrm{dv}\\ =\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{\∫}_0^{\∞}{v}^{2}n\left(v\right)\mathrm{dv}-k(k-2){\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}{\∫}_0^{\∞}\mathrm{vn}\left(v\right)\mathrm{dv}+\frac{(k-1)(k-2)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{\∫}_0^{\∞}{v}^{0}n\left(v\right)\mathrm{dv}\\ =\frac{k(k-1)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-2}{M}_2-k(k-2){\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^{k-1}{M}_1+\frac{(k-1)(k-2)}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{M}_0\\ =\frac{1}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{M}_0(k(k-1)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-2k(k-2)+(k-1)(k-2))\\ =\frac{1}{2}{\left(\frac{M_1}{M_0}\right)}^k{M}_0(k(k-1)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-k^2+k+2)\end{array}$

最后，将M_k第一关系式代入所述的第一关系式，获得 $M_k^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^k\mathrm{ydx}=\frac{1}{2}((k^2-k)\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-k^2+k+2).$

3.如权利要求2所述的一种测量颗粒群分形维数的方法，其特征在于，子步骤(3-3)中计算获得关于所述颗粒群的分形维数D_f的关系式的具体过程为：

首先，取计算获得到无量纲化的正倒数阶矩

$M_{1/D_f}^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^{1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{2}((\frac{1}{D_f^2}-\frac{1}{D_f})\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-\frac{1}{D_f^2}+\frac{1}{D_f}+2)$

D_f为所述颗粒群的分形维数；

接着，取计算获得到无量纲化的负倒数阶矩

$M_{-1/D_f}^{*}={\∫}_0^{\∞}{x}^{-1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{2}((\frac{1}{D_f^2}+\frac{1}{D_f})\frac{M_0{M}_2}{M_1^2}-\frac{1}{D_f^2}-\frac{1}{D_f}+2)$

然后，将无量纲化正倒数阶矩减去无量纲化负倒数阶矩得到关于分形维数D_f的公式，

$D_f=\frac{M_0{M}_2-M_1^2}{M_1^2({\∫}_0^{\∞}{x}^{-1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})}$

最后，对上述关于分形维数D_f的公式作变换即获得关于所述颗粒群的分形维数D_f的关系式：

$1=\frac{D_f{M}_1^2({\∫}_0^{\∞}{x}^{-1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{\∞}{x}^{1/D_f}y\left(x\right)\mathrm{dx})}{M_0{M}_2-M_1^2}$

4.如权利要求1所述的一种测量颗粒群分形维数的方法，其特征在于，步骤S1中采用激光粒度仪器测量所述颗粒群的粒子尺寸和数量，以获得所述粒子体积v与数量n间的分布关系v-n。