CN104390733B - 一种地应力大小和方向的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种地应力大小和方向的确定方法，在测量应力的环氧树脂空心包体上沿圆周方向设置三个应变花，相邻应变花的夹角为120°，每个应变花上有四个应变片，每个应变花上的应变片依次旋转45°设置；造孔；洗孔；应力计的安装：空心包体定向送入测量孔内，让粘结剂充满应力计与岩石钻孔的空隙；应力解除：待粘结剂固化后，用金刚石钻头套钻解除，测试过程按解除深度采用应变仪记录解除过程的数据；本发明利用圆周方向上12个不同方向应变值，能够准确有效的计算出地应力和应力方向，为指导矿井施工提供了非常有效的帮助，进一步提高了矿井安全性。

Description

一种地应力大小和方向的确定方法

技术领域

本发明涉及一种地应力测量计算方法，尤其涉及的是一种地应力大小和方向的确定方法。

背景技术

近二十年来，世界上许多国家地下工程均开展了地应力的测量及应用研究工作，它无论在构造地质、地震预报和地球动力学研究上，还是在矿山开采、地下工程和能源开发等生产实践中均起到了越来越重要的作用，日益受到国内外学术界和工程界的重视。

对矿山开采而言，地应力是引起采矿工程围岩变形、支护结构损伤破坏、发生矿井动力现象的根本作用力，在诸多影响采矿工程稳定性的因素中，地应力是最主要和最根本的因素之一，准确的地应力资料是确定工程岩体力学属性，进行围岩稳定性分析和计算、矿井动力现象区域预测，实现采矿决策和设计科学化的必要前提条件。以前的采矿工程设计和施工中较少考虑地应力的影响，但随着采矿规模的不断扩大和不断向深部发展，地应力的影响会越加严重，不考虑地应力对井下工程设计和施工的影响，往往造成地下巷道围岩大变形和采场的坍塌破坏、冲击地压等矿井动力现象的发生，严重影响了矿井安全生产。

为了对矿井进行合理的开采设计和施工，首先应对影响矿井开采稳定性的各种因素进行充分的调查和分析，只有详细了解了这些工程影响因素，并通过数值计算和分析，才能作出技术合理、施工安全和经济效益好的工程设计和施工。如对矿山设计而言，只有掌握了工程区域的地应力条件，才能合理确定矿山总体布置，选取适当的采矿方法，确定巷道和采场的最佳断面形状、巷道位置、支护形式、支护结构参数和支护时间等，确保煤矿的安全生产。

因此，在采深较大的矿井开发时，要根据工程所处的不同构造部位和工程地质条件，掌握矿井所处的地应力状态，才能采取合理有效的预防矿井动力现象的技术措施，合理地确定采场布局和回采顺序，这对于保证巷道的相对稳定和生产的安全都具有重要意义。

从国内对地应力研究的深度和广度来看，在地震预报预测，石油勘查开发、水利水电建设行业中，地应力研究不论在理论和应用研究已走在其他行业的前列，而在矿井开采中进行地应力研究起步较晚，是摆在国内采矿界面前的一个重大的理论课题和实际问题，是矿井开采研究中的一个新理论、新思维、新趋势，特别是随着工程力学和工程稳定性研究由定性分析逐步转入定量计算，地应力测量数据成为岩体力学计算必不可少的基础数据，是矿井采场布局设计和地下工程设计的依据。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供了一种地应力大小和方向的确定方法，简便有效的计算出地应力的方向和大小。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明包括应力采集和应力计算，所述应力采集包括以下步骤：

(a)在测量应力的环氧树脂空心包体上沿圆周方向设置三个应变花，相邻应变花的夹角为120°，每个应变花上有四个应变片，每个应变花上的应变片依次旋转45°设置；

(b)造孔：先用金刚石钻头开孔，钻进到预测孔深，再用钻头同心钻进测量孔，

(c)洗孔：测量孔钻进完毕，观察岩芯的完整情况，若岩芯较为完整，且无大的节理裂隙面，则用清水冲洗，清除测量孔中的岩粉；如果岩芯不符合测试要求，则用130mm套芯，重复上一步的工作；

(d)应力计的安装：空心包体定向送入测量孔内，让粘结剂充满应力计与岩石钻孔的空隙；

(e)应力解除：待粘结剂固化后，用金刚石钻头套钻解除，测试过程按解除深度采用应变仪记录解除过程的数据；

所述应力大小的计算方法如下：

式中：ε_ij——第i个应变花第j个应变片测得的解除应变值，i＝1～3，j＝1～4，

θ_i——第i个应变花对应的极角，

——第i个应变花第j个应变片对应的角度，

K_i——应变片的修正系数；

其中：

$K_1=d_1(1-v_1{v}_2)(1-{2v}_1+\frac{R_1^2}{{\mathrm{\ρ}}^2})+v_1{v}_2$

$K_2=(1-v_1)d_2{\mathrm{\ρ}}^2+d_3+v_1\frac{d_4}{{\mathrm{\ρ}}^2}+\frac{d_5}{{\mathrm{\ρ}}^4}$

$K_3=d_6(1+\frac{R_1^2}{{\mathrm{\ρ}}^2})$

$d_1=\frac{1}{1-{2v}_1+m^2+n(1-m^2)}$

$d_2=\frac{12(1-n)m^2(1-m^2)}{R_2^{2}D}$

$d_3=\frac{1}{D}[m^4(4m^2-3)(1-n)+x_1+n]$

$d_4=\frac{-4R_1^2}{D}[m^6(1-n)+x_1+n]$

$d_5=\frac{3R_1^2}{D}[m^4(1-n)+x_1+n]$

$d_6=\frac{1}{1+m^2+n(1-m^2)}$

$\begin{array}{cc}n=\frac{G_1}{G_2}& m=\frac{R_1}{R_2}\end{array}$

D＝(1+x₂n)[x₁+n+(1-n)(3m²-6m⁴+4m⁶)]

+(x₁-x₂n)m²[(1-n)m⁶+x₁+n]

x₁＝3-4v₁

x₂＝3-4v₂

R₁为空心包体内半径；R₂为测量孔的半径；G₁、G₂分别为包体材料环氧树脂和岩石的剪切模量；v₁、v₂分别为空心包体材料和岩石的泊松比；ρ为应变片在空心包体中的径向距离。

所述应力值方程为12个观测值方程，解六个应力分量的未知量，利用最小二乘法原理，得到求解应力分量最佳值的正规方程组：

$\left[\begin{array}{cccc}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k1}^2& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k1}{A}_{k2}& ......& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k1}{A}_{k6}\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k2}{A}_{k1}& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k2}^2& ......& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k2}{A}_{k6}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k6}{A}_{k1}& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k6}{A}_{k2}& ......& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k6}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_x\\ {\mathrm{\σ}}_y\\ {\mathrm{\σ}}_z\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{zx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k1}{\mathrm{\ϵ}}_k\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k2}{\mathrm{\ϵ}}_k\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k6}{\mathrm{\ϵ}}_k\end{array}\right]$

由此解得由钻孔坐标系表达的岩体六个应力分量后，把它们转换到大地坐标系中去，再根据下式求解它的三个主应力：

${\mathrm{\σ}}_1=2^{\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \frac{\mathrm{\ω}}{3}+\frac{1}{3}{J}_1}$

${\mathrm{\σ}}_2=2^{\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left(\frac{\mathrm{\ω}+2\mathrm{\π}}{3}\right)+\frac{1}{3}{J}_1}$

${\mathrm{\σ}}_3=2^{\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left(\frac{\mathrm{\ω}+4\mathrm{\π}}{3}\right)+\frac{1}{3}{J}_1}$

式中：

$\mathrm{\ω}={\cos }^{-1}[-\frac{Q}{2}/\sqrt{-{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}]$

$p=-\frac{1}{3}{J}_1^2+J_2$

$Q=-\frac{2}{27}{J}_1^3+\frac{1}{3}{J}_1{J}_2-J_3$

式中J₁、J₂和J₃为应力张量的第一、第二和第三不变量；

主应力方向由下式：

(σ_x-σ_i)l_i+τ_xym_i+τ_zxn_i＝0

τ_xyl_i+(σ_y-σ_i)m_i+τ_vzn_i＝0

τ_zxl_i+τ_yzm_i+(σ_z-σ_i)n_i＝0

其中任二式和方向余弦关系式：

$l_i^2+m_i^2+n_i^2=1$

联立解得，

主应力的倾角α_i和方位角β_i为：

α_i＝sin^-1n_i

${\mathrm{\β}}_i={\mathrm{\β}}_0-{\sin }^{-1}\frac{m_i}{\sqrt{1-n_i^2}}$

式中：β₀为大地坐标系X轴的方位角，如X轴为正北方向，则β₀＝0。

本发明相比现有技术具有以下优点：本发明利用圆周方向上12个不同方向应变值，能够准确有效的计算出地应力和应力方向，为指导矿井施工提供了非常有效的帮助，进一步提高了矿井安全性。

附图说明

图1是本发明应力计的结构示意图；

图2是环氧树脂筒上应变从的示意图；

图3是图2的截面图；

图4是单个应变花上应变片的分布示意图。

具体实施方式

下面对本发明的实施例作详细说明，本实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，本实施例包括设置于岩石钻孔12外的安装杆1、定向器3和定向销5，设置于岩石钻孔12内的环氧树脂筒7、固定销9、活塞杆11、出胶孔13和导向头15；所述定向器3设置在安装杆1上用以旋转安装杆1定向，定向器3上连接定向器导线2，安装杆1的顶部和环氧树脂筒7连接，安装杆1的顶部开设连接孔，定向销5通过连接孔连接安装杆和环氧树脂筒7，环氧树脂筒7的外壁上设有应变从16，应变从16连接读数电缆4，环氧树脂筒7的内部设有空腔8，空腔8内装填粘胶剂，活塞杆11的首端套设在环氧树脂筒7的空腔8内，活塞杆11为空心结构，所述空心结构连通空腔8，环氧树脂筒7上开设通孔，所述固定销9穿过所述通孔定位所述活塞杆11，出胶孔13设置在活塞杆11的末端且与出胶孔13连通，导向头15固定在活塞杆11上。

环氧树脂筒7的端部设有第一密封圈6，导向头15上设有第二密封圈14，第一密封圈6和第二密封圈14将岩石钻孔12与环氧树脂筒7、活塞杆11之间的空隙10形成封闭空间。

如图2、图3和图4所示，应变从16上包覆环氧树脂外层，应变从16包裹在环氧树脂筒7外部。应变从16包括三个应变花，所述应变花沿环氧树脂筒7圆周方向分布，相邻应变花的夹角为120°。每个应变花上有四个应变片，每个应变花上的应变片依次旋转45°设置。

该应力计的使用方法如下：

(a)造孔：先用130mm金刚石钻头开孔，钻进到预测孔深，再用36mm钻头同心钻进测量孔，长度约33cm。

(b)洗孔：测量孔钻进完毕，观察岩芯的完整情况。若岩芯较为完整，且无大的节理裂隙面，则用清水冲洗，清除测量孔中的岩粉；如果岩芯不符合测试要求，则用130mm套芯，重复上一步的工作。

(c)应力计的安装：把应力计的环氧树脂筒7内腔装满粘结剂，并用固定销9固定活塞杆11，再用安装杆1定向送入测孔内，推动安装杆1，切断固定销9，粘结剂从出胶孔13排出，充满应力计与岩石钻孔12的空隙。

(d)应力解除：待粘结剂固化后，用130mm金刚石钻头套钻解除，测试过程按解除深度采用便携式防爆电阻应变仪进行解除过程的数据记录。

应力大小的计算方法如下：

式中：ε_ij——第i个应变花第j个应变片测得的解除应变值，i＝1～3，j＝1～4，

θ_i——第i个应变花对应的极角，

——第i个应变花第j个应变片对应的角度，

K_i——应变片的修正系数；

其中：

$K_1=d_1(1-v_1{v}_2)(1-{2v}_1+\frac{R_1^2}{{\mathrm{\ρ}}^2})+v_1{v}_2$

$K_2=(1-v_1)d_2{\mathrm{\ρ}}^2+d_3+v_1\frac{d_4}{{\mathrm{\ρ}}^2}+\frac{d_5}{{\mathrm{\ρ}}^4}$

$K_3=d_6(1+\frac{R_1^2}{{\mathrm{\ρ}}^2})$

$d_1=\frac{1}{1-{2v}_1+m^2+n(1-m^2)}$

$d_2=\frac{12(1-n)m^2(1-m^2)}{R_2^{2}D}$

$d_3=\frac{1}{D}[m^4(4m^2-3)(1-n)+x_1+n]$

$d_4=\frac{-4R_1^2}{D}[m^6(1-n)+x_1+n]$

$d_5=\frac{3R_1^2}{D}[m^4(1-n)+x_1+n]$

$d_6=\frac{1}{1+m^2+n(1-m^2)}$

$\begin{array}{cc}n=\frac{G_1}{G_2}& m=\frac{R_1}{R_2}\end{array}$

D＝(1+x₂n)[x₁+n+(1-n)(3m²-6m⁴+4m⁶)]

+(x₁-x₂n)m²[(1-n)m⁶+x₁+n]

x₁＝3-4v_i

x₂＝3-4v₂

R₁为空心包体内半径；R₂为测量孔的半径；G₁、G₂分别为包体材料环氧树脂和岩石的剪切模量；v₁、v₂分别为空心包体材料和岩石的泊松比；ρ为应变片在空心包体中的径向距离。

所述应力值方程为12个观测值方程，解六个应力分量的未知量，利用最小二乘法原理，得到求解应力分量最佳值的正规方程组：

$\left[\begin{array}{cccc}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k1}^2& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k1}{A}_{k2}& ......& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k1}{A}_{k6}\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k2}{A}_{k1}& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k2}^2& ......& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k2}{A}_{k6}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k6}{A}_{k1}& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k6}{A}_{k2}& ......& \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k6}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_x\\ {\mathrm{\σ}}_y\\ {\mathrm{\σ}}_z\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{yz}}\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{zx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k1}{\mathrm{\ϵ}}_k\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k2}{\mathrm{\ϵ}}_k\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_{k6}{\mathrm{\ϵ}}_k\end{array}\right]$

由此解得由钻孔坐标系表达的岩体六个应力分量后，把它们转换到大地坐标系中去，再根据下式求解它的三个主应力：

${\mathrm{\σ}}_1=2^{\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \frac{\mathrm{\ω}}{3}+\frac{1}{3}{J}_1}$

${\mathrm{\σ}}_2=2^{\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left(\frac{\mathrm{\ω}+2\mathrm{\π}}{3}\right)+\frac{1}{3}{J}_1}$

${\mathrm{\σ}}_3=2^{\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left(\frac{\mathrm{\ω}+4\mathrm{\π}}{3}\right)+\frac{1}{3}{J}_1}$

式中：

$\mathrm{\ω}={\cos }^{-1}[-\frac{Q}{2}/\sqrt{-{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}]$

$p=-\frac{1}{3}{J}_1^2+J_2$

$Q=-\frac{2}{27}{J}_1^3+\frac{1}{3}{J}_1{J}_2-J_3$

式中J₁、J₂和J₃为应力张量的第一、第二和第三不变量；

主应力方向由下式：

(σ_x-σ_i)l_i+τ_xym_i+τ_zxn_i＝0

τ_xyl_i+(σ_y-σ_i)m_i+τ_yzn_i＝0

τ_zxl_i+τ_yzm_i+(σ_z-σ_i)n_i＝0

其中任二式和方向余弦关系式：

$l_i^2+m_i^2+n_i^2=1$

联立解得，

主应力的倾角α_i和方位角β_i为：

α_i＝sin^-1n_i

${\mathrm{\β}}_i={\mathrm{\β}}_0-{\sin }^{-1}\frac{m_i}{\sqrt{1-n_i^2}}$

式中：β₀为大地坐标系X轴的方位角，如X轴为正北方向，则β₀＝0。

Claims (1)

1.一种地应力大小和方向的确定方法，其特征在于，包括应力采集和应力计算，所述应力采集包括以下步骤：

(a)应变从包裹在环氧树脂筒外部，在测量应力的环氧树脂空心包体上沿圆周方向设置三个应变花，相邻应变花的夹角为120°，每个应变花上有四个应变片，每个应变花上的应变片依次旋转45°设置；

(b)造孔：先用金刚石钻头开孔，钻进到预测孔深，再用钻头同心钻进测量孔，

(c)洗孔：测量孔钻进完毕，观察岩芯的完整情况，若岩芯较为完整，且无大的节理裂隙面，则用清水冲洗，清除测量孔中的岩粉；如果岩芯不符合测试要求，则用130mm套芯，重复上一步的工作；

(d)应力计的安装：空心包体定向送入测量孔内，让粘结剂充满应力计与岩石钻孔的空隙；

(e)应力解除：待粘结剂固化后，用金刚石钻头套钻解除，测试过程按解除深度采用应变仪记录解除过程的数据；

所述应力大小的计算方法如下：

式中：ε_ij——第i个应变花第j个应变片测得的解除应变值，i＝1～3，j＝1～4，

θ_i——第i个应变花对应的极角，

——第i个应变花第j个应变片对应的角度，

K_i——应变片的修正系数；

其中：

$K_1=d_1(1-v_1{v}_2)(1-2v_1+\frac{R_1^2}{{\mathrm{\ρ}}^2})+v_1{v}_2$

$K_2=(1-v_1)d_2{\mathrm{\ρ}}^2+d_3+v_1\frac{d_4}{{\mathrm{\ρ}}^2}+\frac{d_5}{{\mathrm{\ρ}}^4}$

$K_3=d_6(1+\frac{R_1^2}{{\mathrm{\ρ}}^2})$

$d_1=\frac{1}{1-2v_1+m^2+n(1-m^2)}$

$d_2=\frac{12(1-n)m^2(1-m^2)}{R_2^{2}D}$

$d_3=\frac{1}{D}\[m^4(4m^2-3)(1-n)+x_1+n\]$

$d_4=\frac{-4R_1^2}{D}\[m^6(1-n)+x_1+n\]$

$d_5=\frac{3R_1^2}{D}\[m^4(1-n)+x_1+n\]$

$d_6=\frac{1}{1+m^2+n(1-m^2)}$

$n=\frac{G_1}{G_2}$

$m=\frac{R_1}{R_2}$

D＝(1+x₂n)[x₁+n+(1-n)(3m²-6m⁴+4m⁶)]

+(x₁-x₂n)m²[(1-n)m⁶+x₁+n]

x₁＝3-4v₁

x₂＝3-4v₂

R₁为空心包体内半径；R₂为测量孔的半径；G₁、G₂分别为包体材料环氧树脂和岩石的剪切模量；v₁、v₂分别为空心包体材料和岩石的泊松比；ρ为应变片在空心包体中的径向距离；

所述应力值方程为12个观测值方程，解六个应力分量的未知量，利用最小二乘法原理，得到求解应力分量最佳值的正规方程组：

$\left[\begin{array}{cccc}\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k1}^2& \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k1}{A}_{k2}& \mathrm{......}& \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k1}{A}_{k6}\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k2}{A}_{k1}& \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k2}^2& \mathrm{......}& \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k2}{A}_{k6}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k6}{A}_{k1}& \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k6}{A}_{k2}& \mathrm{......}& \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k6}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_x\\ {\mathrm{\σ}}_y\\ {\mathrm{\σ}}_z\\ {\mathrm{\τ}}_{xy}\\ {\mathrm{\τ}}_{yz}\\ {\mathrm{\τ}}_{zx}\end{array}\right]=E\left[\begin{array}{c}\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k1}{\mathrm{\ϵ}}_k\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k2}{\mathrm{\ϵ}}_k\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ \underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}{A}_{k6}{\mathrm{\ϵ}}_k\end{array}\right]$

由此解得由钻孔坐标系表达的岩体六个应力分量后，把它们转换到大地坐标系中去，再根据下式求解它的三个主应力：

${\mathrm{\σ}}_1=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \frac{\mathrm{\ω}}{3}+\frac{1}{3}{J}_1$

${\mathrm{\σ}}_2=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left(\frac{\mathrm{\ω}+2\mathrm{\π}}{3}\right)+\frac{1}{3}{J}_1$

${\mathrm{\σ}}_3=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos \left(\frac{\mathrm{\ω}+4\mathrm{\π}}{3}\right)+\frac{1}{3}{J}_1$

式中：

$\mathrm{\ω}={\cos }^{-1}\[-\frac{Q}{2}/\sqrt{-{\left(\frac{p}{3}\right)}^3}\]$

$p=-\frac{1}{3}{J}_1^2+J_2$

$Q=-\frac{2}{27}{J}_1^3+\frac{1}{3}{J}_1{J}_2-J_3$

式中J₁、J₂和J₃为应力张量的第一、第二和第三不变量；

主应力方向由下式:

(σ_x-σ_i)l_i+τ_xym_i+τ_zxn_i＝0

τ_xyl_i+(σ_y-σ_i)m_i+τ_yzn_i＝0

τ_zxl_i+τ_yzm_i+(σ_z-σ_i)n_i＝0

其中任二式和方向余弦关系式：

$l_i^2+m_i^2+n_i^2=1$

联立解得，

主应力的倾角α_i和方位角β_i为：

α_i＝sin^-1n_i

${\mathrm{\β}}_i={\mathrm{\β}}_0-{\sin }^{-1}\frac{m_i}{\sqrt{1-n_i^2}}$

式中：β₀为大地坐标系X轴的方位角，如X轴为正北方向，则β₀＝0。