CN104376379B - 一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法 - Google Patents

一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法 Download PDF

Info

Publication number
CN104376379B
CN104376379B CN201410652879.8A CN201410652879A CN104376379B CN 104376379 B CN104376379 B CN 104376379B CN 201410652879 A CN201410652879 A CN 201410652879A CN 104376379 B CN104376379 B CN 104376379B
Authority
CN
China
Prior art keywords
mrow
msub
msubsup
epsiv
msup
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Active
Application number
CN201410652879.8A
Other languages
English (en)
Other versions
CN104376379A (zh
Inventor
陈政
欧鹏
曾鸣
冷媛
蒙文川
张翔
宋艺航
杨惠萍
欧阳邵杰
李春雪
史慧
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
North China Electric Power University
Research Institute of Southern Power Grid Co Ltd
Original Assignee
North China Electric Power University
Research Institute of Southern Power Grid Co Ltd
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by North China Electric Power University, Research Institute of Southern Power Grid Co Ltd filed Critical North China Electric Power University
Priority to CN201410652879.8A priority Critical patent/CN104376379B/zh
Publication of CN104376379A publication Critical patent/CN104376379A/zh
Application granted granted Critical
Publication of CN104376379B publication Critical patent/CN104376379B/zh
Active legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06Q—INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY [ICT] SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES; SYSTEMS OR METHODS SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G06Q10/00—Administration; Management
    • G06Q10/04—Forecasting or optimisation specially adapted for administrative or management purposes, e.g. linear programming or "cutting stock problem"
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06Q—INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY [ICT] SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES; SYSTEMS OR METHODS SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G06Q30/00—Commerce
    • G06Q30/02—Marketing; Price estimation or determination; Fundraising
    • G06Q30/0201—Market modelling; Market analysis; Collecting market data
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06Q—INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY [ICT] SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES; SYSTEMS OR METHODS SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G06Q50/00—Information and communication technology [ICT] specially adapted for implementation of business processes of specific business sectors, e.g. utilities or tourism
    • G06Q50/06—Energy or water supply

Landscapes

  • Business, Economics & Management (AREA)
  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Strategic Management (AREA)
  • Economics (AREA)
  • Development Economics (AREA)
  • General Business, Economics & Management (AREA)
  • Entrepreneurship & Innovation (AREA)
  • Marketing (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Accounting & Taxation (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Human Resources & Organizations (AREA)
  • Finance (AREA)
  • Tourism & Hospitality (AREA)
  • Game Theory and Decision Science (AREA)
  • Health & Medical Sciences (AREA)
  • Operations Research (AREA)
  • Quality & Reliability (AREA)
  • Data Mining & Analysis (AREA)
  • Public Health (AREA)
  • Water Supply & Treatment (AREA)
  • General Health & Medical Sciences (AREA)
  • Primary Health Care (AREA)
  • Separation By Low-Temperature Treatments (AREA)
  • Medicines Containing Antibodies Or Antigens For Use As Internal Diagnostic Agents (AREA)

Abstract

本发明公开了一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法。本发明采用双层规划模型研究零售商最优购售电决策：首先，分别构建零售商和用户群的最优规划模型，然后构建包含零售商和用户群两个利益相关方的完整的双层规划模型。本发明为零售商提供了在中期规划内制定双边合约购买决策及售电价格策略的依据，零售商可根据自己能够承受的风险力度，调整自身的双边合约购电量与售电价格，以制定考虑双边合约的最优购售电策略，在保障用户的用电可靠性同时，又能使自己制定的价格具有一定竞争力，保证自己的市场份额。

Description

一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法
技术领域
本发明是一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法，属于电力市场与经济领域的创新技术。
背景技术
零售商是连接用户与电力市场的纽带，一方面零售商需要在电力市场购买电力，另一方面零售商在充满竞争的市场中将购买的电力销售给用户。在电力市场中，零售商总是面临着如下两个问题：1)在进行购电决策时，零售商面临着电力市场价格波动带来的风险；2)在售电行为中，零售商既要应对用户负荷需求的不确定性，同时还要保证售电电价的竞争力以争取更多的用户，从而争取更多的用户份额。为规避电力市场价格及用户需求不确定性带来的风险，零售商常常选择风险价值较小的双边合约交易进行套期保值，以有效减少经营风险，而如何合理确定双边交易和竞价市场的购电策略以及规划期内向用户供电的售电价格，能够有效规避价格波动等不确定因素带来的风险，同时又能兼顾用户的利益，保障制定的价格具有一定的竞争力，成为零售商需要解决的重要难题。
目前，众多学者进行了一系列的研究，从零售商的风险与收益角度入手，通过建立零售商购售电收益分析模型，来寻求最优的零售商购售电策略组合，进而分析出零售商如何在购售电过程中规避市场风险，提高售电收益；但是这些研究均是建立在完全竞争的电力零售市场模式下，仅考虑了零售商通过竞价购买、销售电能的情景，未涉及双边合约交易对零售商收益和风险的影响。
由此可见，当前尚未有考虑双边交易情景的零售商购售电策略优化方法，本发明旨在建立此类模型，具有极大的创新意义与现实价值。
发明内容
本发明的目的是提出一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法，本发明在兼顾零售商和用户双方的利益的情况下解决零售商在中期规划内如何制定双边合约购买决策以及售电电价两个问题。基于本发明，零售商可根据自己能够承受的风险力度，制定考虑双边合约的最优购售电策略。
本发明考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法，采用双层规划模型研究零售商最优购售电决策：首先，分别构建零售商和用户群的最优规划模型，然后构建包含零售商和用户群两个利益相关方的完整的双层规划模型。
本发明考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法，具体包括如下步骤：
1)零售商和用户的决策过程
为模拟实际问题，将用户按照其对电价的反映特征进行分类，每一类称为一个用户群；零售商和用户的决策过程如下：首先，零售商制定双边交易购电的合约组合及对用户群的售电价格；其次，用户群选择供应电力的零售商，最后，零售商从现货市场购入电力；
2)考虑双边合约的零售商购售电决策的上层规划模型
上层规划是指零售商在一个特定的计划范围内确定双边交易的购电合约组合和售电给用户群的价格，在这个决策过程中，用户的需求由下层规划决定；将通过条件风险价值(CVaR)对现货市场价格和用户需求带来的不确定性进行建模；
根据用户特性，将用户划分为NF组，假定在规划期内，零售商向每组用户群提供的电价为差别电价(设售电价格为)，且用户对售电价格有较大的弹性，即若较高，则用户将选择其他零售商，以零售商预期利润最大化为目标，建立含CvaR的考虑双边交易的零售商购售电策略的上层规划模型如下：
11)目标函数
其中，Pb，n为双边合约b第n个合约曲线段的售电量；为零售商售电给用户群f的电价；为情景ε1中t时段零售商从现货市场购入的电量；ψ和μ(ε1)为计算CVaR的辅助变量；D为现货市场价格及用户需求的集合，ε1∈D；χ(ε1)为情景ε1发生的概率；T规划期内的为时间集合；F为用户群集合，f∈F；NF为用户群总数；为情景ε1中t时段零售商提供给用户群f的电量；为情景ε1中t时段现货市场的电价；Bt为t时段零售商签订的双边合约的集合，b∈Bt；NN为双边合约曲线的分段总数；为双边合约b第n段合约曲线的电价；ht为时段t的长度；ω为风险权重；α为CVaR的可信度；
式(1)表示，考虑双边合约的零售商购售电优化策略的目标函数包含两部分内容：1)利润期望值，本发明中利润期望值等于售电给用户获得的收入期望值减去从现货市场购电的成本，再减去双边合约的购电成本之差；2)条件风险价值(CvaR)与权重因子ω的乘积，这里参数ω对利润期望值和CVaR具有调节作用；
12)零售商利益最大化模型的约束条件：
其中，为双边合约b第n段合约曲线的售电量上限；Qt为规划周期开始之前，t时段零售商已购买的双边交易电量；g(·)为零售商的售电函数；
在上述约束条件中，式(2)表明每份合约的电量须符合双边合约曲线的相关要求；式(3)为每个情景下的电力供需平衡约束；式(4)为CvaR值的计算方法；式(6)表示在情形ε1下，t时零售商向用户群f提供的电量取决于售电价格θ；
3)用户群购电策略优化的下层规划模型
31)竞争对手的售电价格
采用随机变量对竞争对手的价格进行模拟：设零售商s向用户群f提供的售电价格为随机变量θs，f，s＝1，...，Ns，Ns为竞争对手的总数；研究的零售商取值为s＝0，即在随机规划模型中，随机变量θs，f代表不同报价情景{θs，f(1)，...，θs，f(NU)}的随机输出量，其中NU为竞争对手报价方案的总数，假设竞争对手报价情景ε2发生的概率为χ(ε2)，
32)零售商的供电份额
定义决策变量ηf，s(ε2)为ε2情景下零售商s对用户群f的供电比例，由于决策变量ηf，s(ε2)是用户群f在拥有所有零售商提供的完全的售电价格信息基础上做出的决策，因此假设当用户确定ηf，s(ε2)时，θs，f(ε2)是已知的，此外，定义参数ηf，s为规划期开始之前，零售商s为用户群f提供的负荷比例；
ηf，0(ε2)是规划期间所研究零售商在ε2情景下向用户群f提供的电量比例，为简化计算，对所研究的零售商为用户群提供的供电比重采取如下算法：在t时段内ε1情景下零售商向用户群f所提供的负荷需求等于情景ε1下用户从零售商购买电量的期望值，其计算公式如下：
其中，情景ε1中t时段用户群f的用电需求；ηf，0(ε2)是规划期间零售商在情景ε2下向用户群f提供的电量比例，由式(7)可知，变量ηf，0(ε2)的最优值可直接带入式(6)进行求解；
33)用户更换零售商的成本
虚构用户群f放弃零售商s选择零售商s′的阻力成本Cf，rx，ss′，将用户选择另外一个零售商的成本计入模型内，设连续、非负变量为情景ε2下，用户群f的用电需求由零售商s转移为零售商s′提供的百分比，因此，用户群f在情景ε2下更改零售商的成本可表示为：
其中，Cf，rs(ε2)为情景ε2中用户群f更换零售商的成本；为用户群f在规划期内的负荷需求期望值；ηss′，f(ε2)为竞争对手报价为情景ε2时，用户群f供电量由零售商s转移到零售商s′的比重；U为竞争对手的竞价集合，ε2∈U；
34)零售商的供电份额平衡
零售商s在情景ε2下向用户群f提供的电力份额平衡公式如下：
其中，ηs′s，f(ε2)为竞争对手价格为情景ε2时，用户群f供电量由零售商s′转移到零售商s的比重；
35)用户群的购电成本，用户群的购电成本计算公式如下：
其中，θs，f(ε2)为情景ε2下零售商s售电给用户群f的价格；
6)用户群购电策略建模
根据上述推导，用户群f在竞价情景ε2中的下层规划可表示为：
约束条件：
在上述约束条件中，式(13)为每一个零售商的供电份额平衡约束；式(14)限定了用户群f的供电来自于零售商集合中的成员；式(15)和(16)为变量的非负约束；
4)考虑双边交易的零售商购售电策略优化的双层规划模型
综合零售商和用户群的最优规划模型，可得到双层规划模型如下：
约束条件：
其中自变量ηf，s(ε2)属于下面的函数的最优解集合：
5)双层规划模型转化为等价一阶混合整数规划模型
为能够直截了当地解决上层规划和下层规划中目标函数的双线性因子，现将双层规划模型转化为一个等价的一阶混合整数规划模型，再进行求解，模型的等价转化包含以下三个步骤：
51)利用KKT最优条件替代每个下层规划模型；
设为下层规划中用户群f在零售商竞争对手的竞价情景ε2中的拉格朗日乘子，的计算公式如下：
对f∈F和ε2∈U而言，下层规划模型中式(23)至式(27)的最优解的必要条件KKT可表示为：
将式(29)和(30)与式(32)进行合并，式(31)与式(33)进行合并，约束条件(38)和(39)能行重新组合，消除对偶变量和因此，KKT条件可改写为：
52)利用等效线性表达式确定互补松弛条件；
互补松弛条件(47)至(49)可表示为线性约束：
其中，M1和M2是足够大的常数；和为二进制辅助变量，
53)利用对偶理论将双线性函数转换为线性函数。利用线性函数对双层规划模型中目标函数(17)和约束条件(20)中的双线性式子中进行改写，
公式(5-23)至公式(5-27)的对偶问题可表示为：
设{ηf，s(ε2)，ηss′，f(ε2)}为式(23)至式(27)的可行解，为式(23)至式(27)对偶问题的可行解，根据强对偶定理可得到式(61)：
由式(61)可推导出非线性式子的表达式：
将式(62)带入式(22)，零售商在时期t内情景ε1中售电给用户群f得到的收入可表示为：
其中，为情景ε1中t时段零售商售电给用户群f的收入；
根据式(62)和式(63)，双线性式子可以表示为：
54)一阶混合整数线性规划，根据整合与变形，得到考虑双边交易的零售商购售电策略的双层规划模型的等价一阶混合整数线性规划模型如下：
约束条件为：
本发明的技术特点及有益效果：
本发明为电力市场中的零售商提供了在中期规划内制定双边合约购买决策及售电价格策略的依据，零售商可根据自己能够承受的风险力度，调整自身的双边合约购电量与售电价格，制定考虑双边合约的最优购售电策略，在保障用户的用电可靠性同时，又能使自己制定的价格具有一定竞争力，保证自己的市场份额。
附图说明
图1为本发明的实施例零售商A的售电价格。
图2为本发明的实施例零售商A的利润。
图3为本发明的实施例零售商A的售电价格和利润标准差的关系。
图4为本发明的实施例ω＝0时零售商A的购电策略。
图5为本发明的实施例ω＝100时零售商A的购电策略。
具体实施方式
本发明提出一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法，为了兼顾解决利益双方各自面临的问题，本发明采用双层规划模型研究零售商最优购售电决策：首先，分别构建零售商和用户群的最优规划模型，然后构建包含零售商和用户群两个利益相关方的完整的双层规划模型。在零售商与用户的决策中，零售商的收入由销售给用户的电量决定，而用户售电量则是由用户根据零售商和其竞争对手的报价决定的，因此，考虑双边交易的零售商最优购售电决策可用双层规划模型进行求解。
本发明的方法包括：根据条件风险价值(CVaR)对现货市场价格和用户需求带来的不确定性，建立考虑双边合约的零售商购售电决策的上层规划模型，其目标函数包括两部分内容：一部分为利润期望值，另一部分为条件风险价值(CvaR)与权重因子ω的乘积；从用户角度出发，以用户自身利益最大化为目标建立考虑双边合约的零售商购售电决策的上层规划模型，目标函数包括用户群的购电成本与更改零售商的成本；综合零售商和用户群的最优规划模型，建立包含零售商和用户群两个利益相关方的完整的双层规划模型；将双层规划模型转化为一个等价的一阶混合整数规划模型，以便能够直接解决上层规划和下层规划中目标函数的双线性因子，实现对模型的求解；模型的等价转化包含三个步骤：第一，利，第二，利用等效线性表达式确定互补松弛条件，第三，利用对偶理论将双线性函数转换为线性函数。本发明的具体步骤如下：
1、为模拟实际问题，将用户按照其对电价的反映特征进行分类，每一类称为一个用户群。零售商和用户的决策过程如下：
首先，零售商制定双边交易购电的合约组合及对用户群的售电价格；
然后，用户群选择供应电力的零售商。当所有的零售商提供了售电价格后，每个用户群就要选择购电策略，确定由哪些零售商提供电力及每个零售商的供电比重；
最后，零售商从现货市场购入电力。在确定远期合约组合和售电价格后，根据当前时段的用户用电需求，零售商必须决定规划内每个阶段从现货市场购入的电量。
2、考虑双边合约的零售商购售电决策的上层规划模型
上层规划是指零售商在一个特定的计划范围内确定双边交易的购电合约组合和售电给用户群的价格，在这个决策过程中，用户的需求由下层规划决定。本发明将通过条件风险价值(CVaR)对现货市场价格和用户需求带来的不确定性进行建模。
根据用户特性，将用户划分为NF组。假定在规划期内，零售商向每组用户群提供的电价为差别电价(设售电价格为)，且用户对售电价格有较大的弹性，即若较高，则用户将选择其他零售商。以零售商预期利润最大化为目标，建立含CvaR的考虑双边交易的零售商购售电策略的上层规划模型如下：
1)目标函数
其中，Pb，n为双边合约b第n个合约曲线段的售电量；为零售商售电给用户群f的电价；为情景ε1中t时段零售商从现货市场购入的电量；ψ和μ(ε1)为计算CVaR的辅助变量；D为现货市场价格及用户需求的集合，ε1∈D；χ(ε1)为情景ε1发生的概率；T规划期内的为时间集合；F为用户群集合，f∈F；NF为用户群总数；为情景ε1中t时段零售商提供给用户群f的电量；为情景ε1中t时段现货市场的电价；Bt为t时段零售商签订的双边合约的集合，b∈Bt；NN为双边合约曲线的分段总数；为双边合约b第n段合约曲线的电价；ht为时段t的长度；ω为风险权重；α为CVaR的可信度。
式(1)表示，考虑双边合约的零售商购售电优化策略的目标函数包含两部分内容：1)利润期望值，本发明中利润期望值等于售电给用户获得的收入期望值减去从现货市场购电的成本，再减去双边合约的购电成本之差；2)条件风险价值(CvaR)与权重因子ω的乘积，这里参数ω对利润期望值和CVaR具有调节作用。
2)零售商利益最大化模型的约束条件为：
其中，为双边合约b第n段合约曲线的售电量上限；Qt为规划周期开始之前，t时段零售商已购买的双边交易电量；g(·)为零售商的售电函数。
在上述约束条件中，式(2)表明每份合约的电量须符合双边合约曲线的相关要求；式(3)为每个情景下的电力供需平衡约束；式(4)为CvaR值的计算方法；式(6)表示在情形ε1下，t时零售商向用户群f提供的电量取决于售电价格θ。
3、用户群购电策略优化的下层规划模型
1)竞争对手的售电价格
采用随机变量对竞争对手的价格进行模拟：设零售商s向用户群f提供的售电价格为随机变量θs，f，s＝1，...，NS，NS为竞争对手的总数。我们所研究的零售商取值为s＝0，即在随机规划模型中，随机变量θs，f代表不同报价情景{θs，f(1)，...，θs，f(NU)}的随机输出量，其中NU为竞争对手报价方案的总数。假设竞争对手报价情景ε2发生的概率为χ(ε2)。
在此，需要指出的是：代表所零售商向用户群f提供的售电价格，在上层规划中，即对零售商而言它是一个连续变量。然而在下层规划中，即对于用户群f来说，是已知变量。
2)零售商的供电份额
在下层规划中，用户群需要决定由哪些零售商进行供电及这些零售商各自的供电比例。定义决策变量ηf，s(ε2)为ε2情景下零售商s对用户群f的供电比例。
由于决策变量ηf，s(ε2)是用户群f在拥有所有零售商提供的完全的售电价格信息基础上做出的决策，因此假设当用户确定ηf，s(ε2)时，θs，f(ε2)是已知的。此外，定义参数ηf，s为规划期开始之前，零售商s为用户群f提供的负荷比例。
ηf，0(ε2)是规划期间我们所研究零售商在ε2情景下向用户群f提供的电量比例。为简化计算，对所研究的零售商为用户群提供的供电比重采取如下算法：在t时段内ε1情景下零售商向用户群f所提供的负荷需求等于情景ε1下用户从零售商购买电量的期望值。其计算公式如下：
其中，情景ε1中t时段用户群f的用电需求；ηf，0(ε2)是规划期间零售商在情景ε2下向用户群f提供的电量比例。由式(7)可知，变量ηf，0(ε2)的最优值可直接带入式(6)进行求解。
3)用户更换零售商的成本
虚构用户群f放弃零售商s选择零售商s′的阻力成本Cf，rx，ss′，将用户选择另外一个零售商的成本计入模型内。设连续、非负变量为情景ε2下，用户群f的用电需求由零售商s转移为零售商s′提供的百分比。因此，用户群f在情景ε2下更改零售商的成本可表示为：
其中，Cf，rs(ε2)为情景ε2中用户群f更换零售商的成本；为用户群f在规划期内的负荷需求期望值；ηss′，f(ε2)为竞争对手报价为情景ε2时，用户群f供电量由零售商s转移到零售商s′的比重；U为竞争对手的竞价集合，ε2∈U。
4)零售商的供电份额平衡
零售商s在情景ε2下向用户群f提供的电力份额平衡公式如下：
其中，ηs′s，f(ε2)为竞争对手价格为情景ε2时，用户群f供电量由零售商s′转移到零售商s的比重。
5)用户群的购电成本。
用户群的购电成本由两部分组成：1)用户向本文研究的零售商购电支付的成本；2)向零售商的竞争对手支付的购电成本。因此，用户群的购电成本计算公式如下：
其中，θs，f(ε2)为情景ε2下零售商s售电给用户群f的价格。
6)用户群购电策略建模
根据上述推导，用户群f在竞价情景ε2中的下层规划可表述为：
约束条件：
在上述约束条件中，式(13)为每一个零售商的供电份额平衡约束；式(14)限定了用户群f的供电来自于零售商集合中的成员；式(15)和(16)为变量的非负约束。
需要指出的是，式(12)至式(16)建立的用户群下层规划仅仅是用户群f在零售商竞价为情景ε2下的模型，其他用户群与竞价情景中的下层规划模型与此类似。
4、考虑双边交易的零售商购售电策略优化的双层规划模型
综合得到双层规划模型如下：
约束条件：
其中自变量ηf,s(ε2)属于下面的函数的最优解集合：
在式(17)至(27)中，为下层规划模型式(23)至(27)中需要优化的变量，而在上层规划式(17)至公式(21)中，ηf,s(ε2)作为的最优解带入模型进行寻优。
5、双层规划模型转化为等价一阶混合整数规划模型
为能够直截了当地解决上层规划和下层规划中目标函数的双线性因子，现将双层规划模型转化为一个等价的一阶混合整数规划模型，再进行求解。模型的等价转化包含以下三个步骤：
1)利用KKT最优条件替代每个下层规划模型
设为下层规划中用户群f在零售商竞争对手的竞价情景ε2中的拉格朗日乘子。的计算公式如下：
其中，和分别为与等式约束(24)和(25)相关的拉格朗日乘子，和分别是不等式约束(26)和(27)的拉格朗日乘子。
对f∈F和ε2∈U而言，下层规划模型中式(23)至式(27)的最优解的必要条件KKT可表示为：
将式(29)和(30)与式(32)进行合并，式(31)与式(33)进行合并，约束条件(38)和(39)能行重新组合，消除对偶变量和因此，KKT条件可改写为：
2)利用等效线性表达式确定互补松弛条件；
互补松弛条件(47)至(49)可表示为线性约束：
其中，M1和M2是足够大的常数；和为二进制辅助变量。
3)利用对偶理论将双线性函数转换为线性函数。利用线性函数对双层规划模型中目标函数(17)和约束条件(20)中的双线性式子中进行改写。
公式(5-23)至公式(5-27)的对偶问题可表示为：
设{ηf，s(ε2)，ηss′，f(ε2)}为式(23)至式(27)的可行解，为式(23)至式(27)对偶问题的可行解。根据强对偶定理可得到式(61)：
由式(61)可推导出非线性式子的表达式：
将式(62)带入式(22)，零售商在时期t内情景ε1中售电给用户群f得到的收入可表示为：
其中，为情景ε1中t时段零售商售电给用户群f的收入。
根据式(62)和式(63)，双线性式子可以表示为：
4)一阶混合整数线性规划。根据整合与变形，得到考虑双边交易的零售商购售电策略的双层规划模型的等价一阶混合整数线性规划模型如下：
约束条件为：
6、模型应用
为了便于说明模型的使用方法，假定规划周期中期为一年。零售商在全年开始的之时，即1月做出最优的双边交易购电合约决策。同时，1月零售商使用本文提出的模型确定的最优售电价格，并与每种类型的用户签订年度售电协议。然后，2月开始时，1月的电力市场的价格和用户需求是已知的，此时零售商必须制定下一年(2月至13月)的双边交易购电合约策略。由此可见，电力市场价格和用户需求等信息不断更新，促使零售商不断使用模型决定后续12个月(2月-13月)购电的双边合约购组合，同时，为仅在2月与用户签订的年度购电合约确定最优售电价格。因此，零售商每个月都会利用所提供的模型，制定后续12个月(规划期)的购电双边合约组合及对每个用户群的售电价格。
下面结合附图及实施例说明如下：
实施例1：以短期规划为例，研究考虑双边交易的零售商的购售电行为。设规划周期为两个小时，有两份可供选择的双边合约，且零售商在任何时段签订都是有效的，每份合约的双边合约曲线包括两个阶段。表1给出了每分合约的详细参数，包括合约电价、可供容量等。
表1双边合约曲线信息
设现货市场价格和用户需求为四种情景，每种情景发生的概率相等。只考虑一个用户群。表2列出了每一时期和每一情景下，用户需求和现货市场价格。
表2用户负荷需求和现货市场价格信息
算例中共含三个零售商，其中一个为研究对象(零售商A)，另外两个为竞争对手(零售商B，零售商C)。设零售商B与零售商C的售电价格为四种情景，每种情景发生的概率相等。表3是每种情景下，竞争对手提供的售电价格。表4给出算例中三个零售商对用户群的初始供电份额，ηf，s。表5是用户群更改零售商供电的相关成本Cf，rx，ss′。
表3竞争对手提供的售电价格(元/MWh)
表4零售商对用户群的初始供电份额
表5用户更换零售商的成本(元/MWh)
设置信水平α为0.95，求解不同权重因子ω下考虑双边合约的零售商A利益最大化的最优解。表6是不同ω值下零售商A的利润期望值、利润标准差和CVaR值。
表6不同ω下零售商A的利润期望值及风险情况
表7给出了不同ω值下零售商A向用户群供电的最优售电价格。随着ω值的增加，售电价格也增加。因为ω增加零售商A需要购买大量的双边合约，而双边合约的购电成本往往高于从现货市场中的购电成本，从而导致售电价格也增加。
表7零售商A的售电价格(元/MWh)
表8是零售商A的购电情况。从表中可以看到，双边合约的购电量随参数ω增加而增加。表明零售商规避风险的力度越大，远期合约购买的电量越多。
表8零售商A的购电情况(单位：MWh)
实施例2：以某地的实际情况对考虑双边合约的零售商的购售电优化策略进行研究。规划周期为一年，全年分为72个时段，即每个月分为6个时段。6个时段依次为周一非尖峰时段、周一尖峰时段、其他工作日非尖峰时段、其他工作日尖峰时段、周末非尖峰时段、周末尖峰时段，尖峰时段为{11，12，13，14，19，20，21，22}时；其他时段为非尖峰时段。
共有三个用户群，分别为居民用户、商业用户和工业用户，表9列出了三个用户群的特征。图1是零售商A对三个用户群的差别电价。现货市场价格和用户需求均由matlab利用过去5年的数据进行仿真模拟。
表9用户群信息
设双边合约共有3种月份合约和4种季度合约，且这两类合约又均包括尖峰合约和基础合约两种合约。表10提供了每份合约的第一段双边合约曲线的电力价格和电量上限。每份合约还有另外9个电量相等的阶段，后续每阶段的价格在前一阶段的基础上增加10％。
表10双边合约曲线信息
共有4个零售商(零售商A、零售商B、零售商C和零售商D)，零售商A为研究对象，其余三个为零售商A的竞争对手。为简化计算，假定之前零售商均没有签订任何双边交易的合约，即设零售商A的竞争对手的售电价格为5种情景，每种情景发生的概率相等，他们的售电价格均随机生成，见表11。
表11竞争对手的供电价格信息(元/MWh)
表12是四个零售商向所有用户群供电的初始比例ηf，s。假定每个用户群更改零售商的成本均相同。
表12零售商的初始供电比例(％)
求解置信水平α为0.95时不同风险参数ω下的最优解。图2显示的是ω＝0和ω＝100时，调整后的零售商A获得的利润分布概率。图3是零售商A给每个用户群的电力价格与利润标准差的关系。从图中可以看到，利润标准差的最小值对应着最高的售电价格。
图4和图5分别是ω＝0和ω＝100时零售商A的购电策略，验证了双边合约的购电量随ω增加而增加。图4中，ω＝0，此时零售商A采取的是风险中性的购电策略。在这种情况下，零售商从电力市场购买的电量居多，购买的远期合约较少。而图5中，与风险中性的情况相比，零售商A对风险的规避力度更大，且零售商A购买的总电量减少了。这种风险规避的行为提高了零售商A的售电价格，从而导致竞争对手的电力价格更具有竞争力，致使零售商A失去了较多的市场份额。
通过两个算例可知，考虑双边交易的零售商的购售电策略取决于零售商的风险喜好程度，如果零售商属于风险喜好型，即ω＝0，零售商更倾向于从现货市场购买电力，此时零售商的售电价格较低，在某些情况下能够增加零售商的市场份额，但是零售商面临的风险也较大，在某些情况下零售商会出现亏损状态。如果零售商属于风险厌恶型，即ω＝100，零售商更愿意从双边交易中购买大量电力，这这种情况下，零售商的购电成本较高，其售电价格也相对较高，在某些情况下零售商会损失部分市场份额，虽然零售商获得的利润较少，但是不会出现亏损情况。因此，在制定实际的购售电策略下，零售商可根据自己能够承受的风险力度，制定考虑双边合约的最优购售电策略。

Claims (1)

1.一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法，其特征在于采用双层规划模型研究零售商最优购售电决策：首先，分别构建零售商和用户群的最优规划模型，然后构建包含零售商和用户群两个利益相关方的完整的双层规划模型；
具体包括如下步骤：
1)零售商和用户的决策过程
为模拟实际问题，将用户按照其对电价的反映特征进行分类，每一类称为一个用户群；零售商和用户的决策过程如下：首先，零售商制定双边交易购电的合约组合及对用户群的售电价格；其次，用户群选择供应电力的零售商，最后，零售商从现货市场购入电力；
2)考虑双边合约的零售商购售电决策的上层规划模型
上层规划是指零售商在一个特定的计划范围内确定双边交易的购电合约组合和售电给用户群的价格，在这个决策过程中，用户的需求由下层规划决定；将通过条件风险价值(CVaR)对现货市场价格和用户需求带来的不确定性进行建模；
根据用户特性，将用户划分为NF组，假定在规划期内，零售商向每组用户群提供的电价为差别电价，设售电价格为且用户对售电价格有较大的弹性，即若较高，则用户将选择其他零售商，以零售商预期利润最大化为目标，建立含CvaR的考虑双边交易的零售商购售电策略的上层规划模型如下：
11)目标函数
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>max</mi> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>F</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Pb,n为双边合约b第n个合约曲线段的售电量；为零售商售电给用户群f的电价；为情景ε1中t时段零售商从现货市场购入的电量；ψ和μ(ε1)为计算CVaR的辅助变量；D为现货市场价格及用户需求的集合，ε1∈D；χ(ε1)为情景ε1发生的概率；T规划期内的为时间集合；F为用户群集合，f∈F；NF为用户群总数；为情景ε1中t时段零售商提供给用户群f的电量；为情景ε1中t时段现货市场的电价；Bt为t时段零售商签订的双边合约的集合，b∈Bt；NN为双边合约曲线的分段总数；θb，n为双边合约b第n段合约曲线的电价；ht为时段t的长度；ω为风险权重；α为CVaR的可信度；
式(1)表示，考虑双边合约的零售商购售电优化策略的目标函数包含两部分内容：1)利润期望值，本发明中利润期望值等于售电给用户获得的收入期望值减去从现货市场购电的成本，再减去双边合约的购电成本之差；2)条件风险价值CvaR与权重因子ω的乘积，这里参数ω对利润期望值和CVaR具有调节作用；
12)零售商利益最大化模型的约束条件：
<mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mover> <mi>P</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>F</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>F</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为双边合约b第n段合约曲线的售电量上限；Qt为规划周期开始之前，t时段零售商已购买的双边交易电量；g(·)为零售商的售电函数；
在上述约束条件中，式(2)表明每份合约的电量须符合双边合约曲线的相关要求；式(3)为每个情景下的电力供需平衡约束；式(4)为CvaR值的计算方法；式(6)表示在情形ε1下，t时零售商向用户群f提供的电量取决于售电价格θ；
3)用户群购电策略优化的下层规划模型
31)竞争对手的售电价格
采用随机变量对竞争对手的价格进行模拟：设零售商s向用户群f提供的售电价格为随机变量θs,f，s＝1,...,NS，NS为竞争对手的总数，我们所研究的零售商取值为s＝0，即在随机规划模型中，随机变量θs,f代表不同报价情景{θs,f(1),...,θs,f(NU)}的随机输出量，其中NU为竞争对手报价方案的总数，假设竞争对手报价情景ε2发生的概率为χ(ε2),
32)零售商的供电份额
定义决策变量ηf,s(ε2)为ε2情景下零售商s对用户群f的供电比例，由于决策变量ηf,s(ε2)是用户群f在拥有所有零售商提供的完全的售电价格信息基础上做出的决策，因此假设当用户确定ηf,s(ε2)时，θs,f(ε2)是已知的，此外，定义参数ηf,s为规划期开始之前，零售商s为用户群f提供的负荷比例；
ηf,0(ε2)是规划期间我们所研究零售商在ε2情景下向用户群f提供的电量比例，为简化计算，对所研究的零售商为用户群提供的供电比重采取如下算法：在t时段内ε1情景下零售商向用户群f所提供的负荷需求等于情景ε1下用户从零售商购买电量的期望值，其计算公式如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，情景ε1中t时段用户群f的用电需求；ηf,0(ε2)是规划期间零售商在情景ε2下向用户群f提供的电量比例，由式(7)可知，变量ηf,0(ε2)的最优值可直接带入式(6)进行求解；
33)用户更换零售商的成本
虚构用户群f放弃零售商s选择零售商s′的阻力成本Cf,rx,ss′，将用户选择另外一个零售商的成本计入模型内，设连续、非负变量为情景ε2下，用户群f的用电需求由零售商s转移为零售商s′提供的百分比，因此，用户群f在情景ε2下更改零售商的成本可表示为：
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，Cf,rs(ε2)为情景ε2中用户群f更换零售商的成本；为用户群f在规划期内的负荷需求期望值；ηss′,f(ε2)为竞争对手报价为情景ε2时，用户群f供电量由零售商s转移到零售商s′的比重；U为竞争对手的竞价集合，ε2∈U；
34)零售商的供电份额平衡
零售商s在情景ε2下向用户群f提供的电力份额平衡公式如下：
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，ηs′s,f(ε2)为竞争对手价格为情景ε2时，用户群f供电量由零售商s′转移到零售商s的比重；
35)用户群的购电成本，用户群的购电成本计算公式如下：
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，θs,f(ε2)为情景ε2下零售商s售电给用户群f的价格；
36)用户群购电策略建模
根据上述推导，用户群f在竞价情景ε2中的下层规划可表示为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>min</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
约束条件：
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在上述约束条件中，式(13)为每一个零售商的供电份额平衡约束；式(14)限定了用户群f的供电来自于零售商集合中的成员；式(15)和(16)为变量的非负约束；
4)考虑双边交易的零售商购售电策略优化的双层规划模型
综合零售商和用户群的最优规划模型，可得到双层规划模型如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>max</mi> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>F</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
约束条件：
<mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mover> <mi>P</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>F</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>F</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中自变量ηf,s(ε2)属于下面的函数的最优解集合：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>min</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
5)双层规划模型转化为等价一阶混合整数规划模型
为能够直截了当地解决上层规划和下层规划中目标函数的双线性因子，现将双层规划模型转化为一个等价的一阶混合整数规划模型，再进行求解，模型的等价转化包含以下三个步骤：
51)利用KKT最优条件替代每个下层规划模型；
设为下层规划中用户群f在零售商竞争对手的竞价情景ε2中的拉格朗日乘子，的计算公式如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对f∈F和ε2∈U而言，下层规划模型中式(23)至式(27)的最优解的必要条件KKT可表示为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <msup> <mi>S</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(29)和(30)与式(32)进行合并，式(31)与式(33)进行合并，约束条件(38)和(39)能行重新组合，消除对偶变量和因此，KKT条件可改写为：
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>40</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>41</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>5</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>42</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>43</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>44</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>45</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>46</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>47</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>48</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>5</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>49</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
52)利用等效线性表达式确定互补松弛条件；
互补松弛条件(47)至(49)可表示为线性约束：
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>50</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>51</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>52</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>5</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>53</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>54</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>}</mo> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>55</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>}</mo> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>56</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，M1和M2是足够大的常数；和为二进制辅助变量；
53)利用对偶理论将双线性函数转换为线性函数，利用线性函数对双层规划模型中目标函数(17)和约束条件(20)中的双线性式子中进行改写，
设{ηf,s(ε2),ηss′,f(ε2)}为式(23)至式(27)的可行解，为式(23)至式(27)对偶问题的可行解，根据强对偶定理可得到式(61)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>61</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由式(61)可推导出非线性式子的表达式：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>62</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(62)带入式(22)，零售商在时期t内情景ε1中售电给用户群f得到的收入可表示为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>63</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为情景ε1中t时段零售商售电给用户群f的收入；
根据式(62)和式(63)，双线性式子可以表示为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> </mfrac> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>64</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
54)一阶混合整数线性规划，根据整合与变形，得到考虑双边交易的零售商购售电策略的双层规划模型的等价一阶混合整数线性规划模型如下：
(MILBP)
约束条件为：
<mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mover> <mi>P</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>66</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>F</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>67</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>F</mi> </msub> </munderover> <msubsup> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mi>t</mi> <mi>E</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>N</mi> </msub> </munderover> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>68</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>&amp;mu;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>69</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;pi;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> </mfrac> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>70</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>R</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </munder> <mi>&amp;chi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>D</mi> <mo>.</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>71</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>72</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>S</mi> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>73</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>5</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>74</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>s</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>75</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>76</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>77</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>78</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>f</mi> <mi>R</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>f</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>79</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>81</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>Q</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mi>D</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>5</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>4</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>1</mn> </msub> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>82</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <msup> <mi>ss</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <msup> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>83</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mn>1</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>}</mo> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>f</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>U</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>84</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
CN201410652879.8A 2014-11-17 2014-11-17 一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法 Active CN104376379B (zh)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201410652879.8A CN104376379B (zh) 2014-11-17 2014-11-17 一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201410652879.8A CN104376379B (zh) 2014-11-17 2014-11-17 一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN104376379A CN104376379A (zh) 2015-02-25
CN104376379B true CN104376379B (zh) 2018-03-23

Family

ID=52555274

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN201410652879.8A Active CN104376379B (zh) 2014-11-17 2014-11-17 一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法

Country Status (1)

Country Link
CN (1) CN104376379B (zh)

Families Citing this family (10)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN105005828A (zh) * 2015-07-31 2015-10-28 南方电网科学研究院有限责任公司 电力交易决策数据的处理方法和系统
JP6384502B2 (ja) * 2016-02-25 2018-09-05 オムロン株式会社 売電タイミング最適制御システム、売電タイミング最適制御方法および売電タイミング最適制御プログラム
CN107578139A (zh) * 2016-07-05 2018-01-12 华北电力大学 基于CVaR的售电公司购电组合策略
CN106228466A (zh) * 2016-08-01 2016-12-14 中国南方电网有限责任公司电网技术研究中心 电力零售公司购电组合方案设计方法与系统
CN108932570A (zh) * 2017-05-23 2018-12-04 南京理工大学 一种考虑用户效用与市场份额的售电商收益风险优化方法
CN107392362A (zh) * 2017-07-07 2017-11-24 武汉理工大学 一种带上下界的双向委托代理模型的联盟优化方法
CN107633423A (zh) * 2017-08-31 2018-01-26 珠海格力电器股份有限公司 资源处理方法和装置
CN109993357A (zh) * 2019-03-26 2019-07-09 中国电力科学研究院有限公司 一种考虑中标概率的售电商多目标投标报价策略计算方法
CN112906975A (zh) * 2021-03-17 2021-06-04 广东电网有限责任公司电力调度控制中心 一种双层优化方法及其装置
CN116523481A (zh) * 2023-05-09 2023-08-01 山东理工大学 上层零售商定价与下层微网独立决策的双层协同优化方法

Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN103679357A (zh) * 2013-12-06 2014-03-26 国网山东省电力公司 基于价格和激励的电力需求响应的智能决策方法

Family Cites Families (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US7274975B2 (en) * 2005-06-06 2007-09-25 Gridpoint, Inc. Optimized energy management system

Patent Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN103679357A (zh) * 2013-12-06 2014-03-26 国网山东省电力公司 基于价格和激励的电力需求响应的智能决策方法

Non-Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
"不确定市场下的一种二层规划最优竞价模型";万仲平 等;《电力系统自动化》;20041010;第28卷(第19期);12-16 *
"基于二层优化的配电网交易整合模型";雷霞 等;《电工技术学报》;20110228;第26卷(第2期);195-200、206 *

Also Published As

Publication number Publication date
CN104376379A (zh) 2015-02-25

Similar Documents

Publication Publication Date Title
CN104376379B (zh) 一种考虑双边交易的零售商购售电策略的优化方法
Heredia et al. On optimal participation in the electricity markets of wind power plants with battery energy storage systems
Conejo et al. Decision making under uncertainty in electricity markets
Baillo et al. Optimal offering strategies for generation companies operating in electricity spot markets
Herranz et al. Optimal demand-side bidding strategies in electricity spot markets
O'Neill et al. Efficient market-clearing prices in markets with nonconvexities
Mahmoudi et al. Modelling demand response aggregator behavior in wind power offering strategies
US8224743B2 (en) System and method for a hybrid clock and proxy auction
Sharma et al. Strategic bidding for wind power producers in electricity markets
Flach et al. Long-term optimal allocation of hydro generation for a price-maker company in a competitive market: latest developments and a stochastic dual dynamic programming approach
CN108182507A (zh) 一种计及不确定性的售电商最优电价决策方法
Vespermann et al. Risk trading in energy communities
Fang et al. A double auction model for competitive generators and large consumers considering power transmission cost
Kang et al. Supplier bidding strategy based on non-cooperative game theory concepts in single auction power pools
CN105321103A (zh) 一种基于主从博弈的直购电双边交易的合同电价制定方法
May et al. A multi-agent reinforcement learning approach for investigating and optimising peer-to-peer prosumer energy markets
Sioshansi et al. The cost of anarchy in self-commitment-based electricity markets
Johnathon et al. A proposed hedge-based energy market model to manage renewable intermittency
González et al. A competitive and profitable multi-agent autonomous broker for energy markets
Oprea et al. A motivational local trading framework with 2-round auctioning and settlement rules embedded in smart contracts for a small citizen energy community
Sheybani et al. Put option pricing and its effects on day-ahead electricity markets
Lopes et al. Agent-based simulation of retail electricity markets: Bilateral trading players
US20230252285A1 (en) Spatio-temporal graph neural network for time series prediction
Aranha et al. Risk-constrained optimal dynamic trading strategies under short-and long-term uncertainties
Zhang et al. Continuous double auction for cloud market: Pricing and bidding analysis

Legal Events

Date Code Title Description
C06 Publication
PB01 Publication
C10 Entry into substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant