CN104375108A - 一种基于lsqr的低场核磁共振二维谱反演算法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种基于LSQR(LeastSquaresQRDecomposition，最小二乘QR分解)的低场核磁共振二维谱反演算法，属于核磁共振信号处理领域。本发明的优点表现为：本发明与目前国内外文献报道的其他低场核磁共振反演算法相比，其借助“L”曲线自适应选择合适的迭代次数，得到的解更能体现真实的谱分布；通过迭代修正来实现非负限制，计算精度高，鲁棒性好，在不同信噪比数据情况下，能够得到稳定的反演结果。
Description
技术领域
本发明涉及核磁共振信号处理领域，涉及一种低场核磁共振二维谱反演算法，具体地说，是一种基于LSQR的低场核磁共振二维谱反演算法。
背景技术
低场核磁共振设备凭借成本相对低廉、易于小型化，以及工业集成等优势，已经在能源、食品、农业、医学等领域得到广泛应用。低场核磁共振分析技术是这些领域中一种重要的检测手段。核磁共振采集到的原始信号中包含有丰富但难以理解的样品结构信息，需要通过反演才能得到提供反应直观信息的时域谱。其中，CPMG（Carr-Purcell-Meiboom -Gill）序列速度快，是低场核磁共振中最常用的序列之一。研究者常常利用CPMG原始数据和样品横向弛豫时间、纵向弛豫时间的分布特点，进行时域谱反演的相关研究。时域谱可分为一维谱和二维谱，一维谱可以为研究者分析样品的组成、性质等提供重要的依据。但是，随着低场核磁共振应用的不断深入，研究者们发现实验得到的一维谱可能存在峰的交叠。解决这一问题通常需要进行多次额外实验或者引入其它辅助手段，这无疑会增加实验的复杂度，而且大多数辅助手段都只有在满足特定条件时才能使用。一维谱的交叠问题已经影响到低场核磁共振分析技术应用领域的继续拓展，二维谱技术应运而生。二维谱不仅简化了原有流程，而且从二维的角度进行分析，具有得天独厚的优势，可以为分析样品提供更多有价值的信息。
二维谱反演需要处理的数据量巨大，这给二维反演带来了极大地挑战，加上国外相关企业的技术垄断，只提供仪器租赁和有偿的解释服务，国内二维反演技术的发展受到极大的限制。目前，国内研究者大都使用基于截断奇异值分解(Truncated singular value decomposition, TSVD)的二维反演算法，并取得了很多成果。顾兆斌等人在国内首次实现了TSVD的二维反演算法，在信噪比（Signal to Noise Ratio, SNR）较高的情况下能够得到可靠的反演结果，其后很多学者在此基础上进行了大量改进，如谭茂金等在2013年在论文《A new inversion method for (T2, d) 2D NMR logging and fluid typing》提出的TSVD与LSQR混合反演算法，周小龙等2013年发表的论文《基于TSVD的NMR二维谱反演算法》中提出的逐步求精的TSVD迭代算法等。国外研究者则以显式增加罚函数的正则化算法为主，对解的某些性质进行限制，以得到合理的反演结果。一般采用的是标准Tikhonov正则化形式，惩罚项用于限制解的范数，这种方式的问题求解策略也相对成熟，如Honerkamp J等在1990年发表的论文《Tikhonovs regularization method for ill-posed problems: A comparison of different methods for the determination of the regularization parameter》中提出的标准Tikhonov求解算法，Yi-Qiao Song等在2013年发表的论文《Magnetic resonance of porous media (MR-PM): A perspective》中提出的基于BRD算法求解Tikhonov正则化问题的二维反演算法等。此外还有对斜率和曲率进行平滑的正则化形式，如Provencher S W等在1982年发表的论文《CONTIN: A general purpose constrained regularization program for inverting noisy linear algebraic and integral equations》中提出的CONTIN算法，Ricard C A等在2012年的著作《Parameter Estimation and Inverse Problems (Second Edition)》中提出的高阶Tikhonov正则化的反演算法等。这些增加罚函数的正则化算法的关键在于如何选择一个合适的正则化因子，现有正则化因子的选择算法不能适用于所有场合，因而需要一定的人为干预。
LSQR(Least Squares QR，最小二乘QR分解)是求解最小二乘问题的一种有效算法，已经在地震层析成像等领域的反问题求解中得到了广泛应用。LSQR迭代不需要预先形成TSVD法中的子空间，避免了由截断引起的虚假轮廓的出现，因而比TSVD法更具鲁棒性。同时，LSQR直接对原始问题进行求解，无需选择正则化因子。但是，与大部分迭代反演算法类似，具有实际应用价值的解往往出现在迭代的早期，之后的迭代虽然可以进一步减小拟合误差，解的结构却会逐渐背离真实的谱分布。
发明内容
本发明的目的是针对现有技术中的不足，根据CPMG原始数据，提出一种基于LSQR的低场核磁共振二维谱反演算法，该算法能够提高反演运算的计算精度和鲁棒性，以得到清晰、准确的二维谱。
为实现上述目的，本发明采取的技术方案是：
一种基于LSQR的低场核磁共振二维谱反演算法，包括如下步骤：
a.读取低场核磁共振设备采集得到的CPMG原始数据文件；
b.对原始数据进行预处理操作得到反演核心矩阵K和信号幅值m；
c.根据核心矩阵K的线性关系预设一个LSQR迭代的最大迭代次数；
d.进行LSQR迭代，得到每次迭代后的反演结果和残差的范数；
e.根据不同迭代次数对应的反演结果的范数和残差的范数，绘出“L形”曲线；
f.计算“L形”曲线曲率，定义拐角位置为LSQR迭代的最优解位置；
g.使用迭代修正的方式进行约束，抑制负峰的产生，输出二维谱。
步骤c中所述的最大迭代次数是通过大量仿真实验发现的，可将其设置为核心矩阵的秩。
步骤d中所述的反演结果是反映真实谱分布的一维数组。
步骤e中所述的“L形”曲线形成原理为：随着迭代的进行，拟合误差会不断减小并向预设阈值靠近，所以迭代次数越大，拟合误差越小；由于采样噪声无法避免，并且问题的解不连续依赖于观测数据的变化，迭代次数越大，解的复杂度也越大，如果在直角坐标系中以反演结果的范数和残差的范数为坐标绘图，就会得到一个“L形”的曲线。
步骤g中所述的迭代修正的方式包括如下步骤：
5.1.设置最小拟合误差E，检测反演结果s中有没有负项，有负项转到步骤5.2，无负项转到步骤5.3；
5.2.将反演结果s中的负项置零，得到s + ，计算残差△m=m-Ks ＋ ，判断‖△m‖/‖m‖<E是否成立，是转到步骤5.3，否则将误差分摊到s，转到步骤5.1；
5.3.得到符合真实谱分布的s，输出二维谱。
本发明优点在于：
本发明与目前国内外文献报道的其他低场核磁共振反演算法相比，其借助“L”曲线自适应选择合适的迭代次数，得到的解更能体现真实的谱分布；通过迭代修正来实现非负限制，计算精度高；鲁棒性好，在不同信噪比数据情况下，能够得到稳定的反演结果。
附图说明
图1是本发明的主要操作过程示意图。
图2是本发明“L”形曲线示意图。
图3是本发明迭代修正步骤流程图。
图4(a)—图4(f)是本发明信噪比为200的仿真实验结果示意图：其中图4(a)是构造高斯峰二维谱图；图4(b)是CPMG数据串；图4(c)是本发明算法的反演结果；图4(d)是本发明算法的“L”曲线定位结果；图4(e)是LSQR与TSVD混合算法反演结果；图4(f)是直接LSQR法反演结果。
图5(a)—图5(f)是本发明信噪比为10的仿真实验结果示意图：其中图5(a)是构造高斯峰二维谱图；图5(b)是CPMG数据串；图5(c)是本发明算法的反演结果；图5(d)是本发明算法的“L”曲线定位结果；图5(e)是LSQR与TSVD混合算法反演结果；图5(f)是直接LSQR法反演结果。
图6(a)—图6(d)是本发明实验案例结果示意图：其中图6(a)是低浓度溶液反演结果；图6(b)是低浓度溶液“L”曲线定位图；图6(c)是加入高浓度溶液反演结果；图6(d)是加入高浓度溶液“L”曲线定位图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明提供的具体实施方式作详细说明。
如附图1所示，一种基于LSQR的低场核磁共振二维谱反演算法，包括如下步骤：
a.读取低场核磁共振设备采集得到的CPMG原始数据文件。
读取低场核磁共振设备采集得到的CPMG原始数据文件，提取出数据文件中包含的采样时间和特定时刻的采样数据M等信息。
b.对原始数据进行横向弛豫时间、纵向弛豫时间布点，矩阵的拼接、张量积等预处理操作得到反演核心矩阵K和信号幅值m。
二维反演问题就是求解如公式(1)所示的具有两个核的Fredholm积分方程，τ 2表示各回波波峰的回波时刻，τ 1表示等待时间，S(T 2 ，T 1 ) 表示横向弛豫时间为T 2、纵向弛豫时间为T 1的物质的含量，M表示特定时刻的采样数据：
。
将公式(1)中的弛豫时间、离散化后可以用矩阵的形式表示如公(2)所示：
。
其中(上标表示矩阵中元素位置的索引，TE表示CPMG序列中的回波时间，TW为等待时间)，上标T表示矩阵转置。
对于公式(2)，可以利用矩阵的张量积将两个核合成一个核，合并后公式如(3)式所示：m=Ks (3)。
其中m=vect(M)，s=vect(S)，K=K 2 K 1 ，vect表示将矩阵按列拼接，形成一个列向量，表示两个矩阵的张量积。这样转换之后，二维反演问题就变成一个已知m和K求s的问题，其中矩阵K称为反演的核心矩阵。
为了得到符合真实情况的谱分布，要对T 2 、T 1 进行布点，布点方法是在以10为底的对数空间内均匀布点，布点数目根据具体实验情况而定，实验精度要求越高，布点数目越多，一般为了节约计算时间将布点数目设为64。
该步骤中所述的数据预处理主要包括：T 2 、T 1 布点；按照公式(2)中K 1 、K 2 的定义计算得到K 1 、K 2 ；利用矩阵的张量积转化K 1 、K 2 得到K；使用矩阵的拼接方法得到信号幅值m等操作。
c.根据核心矩阵K的线性关系预设一个LSQR迭代的最大迭代次数。
“L”曲线需要对不同迭代次数的结果进行遍历，为了避免资源的浪费和数据过多对拐点定位的干扰，需要根据矩阵的线性关系预设一个最大的迭代次数，经过大量仿真实验验证发现，可将最大迭代次数设置为核心矩阵的秩。
d.进行LSQR迭代，得到每次迭代后的反演结果和残差的范数，所述的反演结果是反映真实谱分布的一维数组。
进行LSQR迭代运算，每次迭代结束时，将反演结果（反映真实谱分布的一维数组）记录下来，并计算每次反演结果与采集数据的残差，残差计算公式如下：
（4）。
e.根据不同迭代次数对应的反演结果的范数和残差的范数，绘出“L形”曲线。该步骤中所述的“L形”曲线形成原理为：随着迭代的进行，拟合误差会不断减小并向预设阈值靠近，所以迭代次数越大，拟合误差越小；由于采样噪声无法避免，并且问题的解不连续依赖于观测数据的变化，迭代次数越大，解的复杂度也越大，如果在直角坐标系中以反演结果的范数和残差的范数为坐标绘图，就会得到一个“L形”的曲线。
根据每次迭代的反演结果和残差，在直角坐标系中以(log(‖Ks λ -m‖2)，log(‖s λ‖2))点对为坐标绘图(s λ表示使用LSQR算法第λ次迭代得到的一组解) ，通常会得到一个“L形”的曲线，如附图2所示。该曲线横坐标表示拟合残差，纵坐标对应解的复杂度。对于拟合误差来说，迭代次数越大越好；对于解的复杂度来说，迭代次数越小越好。显然，权衡以上两点，合适的λ值应该是“L形”曲线拐角位置对应的λ，所以我们将此种“L形”曲线拐点位置定义为最优解的位置。
f.计算“L形”曲线曲率，定义拐角位置为LSQR迭代的最优解位置。该步骤可由以下步骤获得：
4.1根据公式(5)计算“L形”曲线每个点的曲率，式中，，sλ表示使用LSQR算法第λ次迭代得到的一组解,
（5）。
4.2 对“L形”曲线的曲率进行遍历，找到曲率最大的点的坐标（即拐角位置），将拐角位置所在的解作为最优解。
g.使用迭代修正的方式进行约束，抑制负峰的产生，输出二维谱。如图3所示，所述的迭代修正步骤如下：
5.1 设置最小拟合误差E，检测反演结果s中有没有负项，有负项转到步骤5.2，无负项转到步骤5.3；
5.2 将反演结果s中的负项置零，得到s + ，计算残差△m=m-Ks ＋ ，判断‖△m‖/‖m‖<E是否成立，是转到步骤5.3，否则将误差分摊到s，转到步骤5.1；
5.3 得到符合真实谱分布的s，输出二维谱。
本发明的效果能够通过以下实验进一步说明。
1.仿真实验：
实验首先构造一个中心位于(T 1 ，T 2 )=(100,10)ms处的高斯峰作为理想的T1-T2谱，然后向正演结果中加入一定程度的高斯白噪声，得到不同信噪比的仿真数据。
2.仿真实验结果及结果分析
图4和图5分别是信噪比为200（仿真低场下的高信噪比数据）和信噪比为10（仿真低场下的低信噪比数据）的仿真结果，这两幅图中(a)图显示的是构造的高斯峰二维谱；(b)图是原始数据正演得到的8条CPMG数据串；(c)图是本发明提出的基于LSQR的二维谱反演算法反演结果；(d)图是“L”曲线以及自动定位结果；(e)图是使用LSQR与TSVD混合算法的反演结果；(f)图是直接LSQR法的反演结果。
将这两组实验进行对比分析，可以看出在高信噪比环境下，3种算法都能得到比较好的反演结果，其中LSQR与TSVD的混合反演算法会有虚假小峰产生。但是在低信噪比环境下，传统的LSQR算法严重受到噪声的干扰，计算出的反演结果没有任何的实际应用价值；LSQR与TSVD的混合反演算法得到的反演结果中也产生了大量的虚假轮廓，这将给实际分析和后续处理带来很大的干扰；而LSQR与“L”曲线相结合的反演算法结果依然很清晰，仍能提供有价值的参考信息。
为了进一步验证本发明算法的抗噪性能，表1列举了信噪比分别为300、200、100、60、30、10、5、1的仿真数据的处理结果。由表1可知，本发明的算法能够在不同信噪比数据的情况下得到更稳定的结果；LSQR与TSVD的混合反演算法的拟合误差比本发明算法大，在不同信噪比数据的情况下得到的结果也比较稳定，但由于使用了TSVD，截断效应很容易在反演谱中产生虚假轮廓；直接LSQR算法之一5在信噪比为100以上时才能得到比较好的反演结果。
。
3.实验案例：
本实验使用NIUMAG公司的NMI-20低场核磁共振分析仪进行采样，采样序列为IR-CPMG，TW设置为0~2500ms内对数均匀分布的8个点（对应界面参数DL1），TE设为0.235ms，累加次数NS为4。实验样品为预先制备的两种不同浓度的CuSO4溶液，分别密封在两个无核磁信号的色谱瓶中。
4.实验案例结果及结果分析：
实验首先在无磁试管中放入装有低浓度溶液的色谱瓶进行采样，使用本发明算法反演得到了图6(a)所示的T1-T2谱，图6(b)显示了“L”曲线的定位位置；然后再向试管中放入装有高浓度溶液的色谱瓶（色谱瓶足够小，保证样品均处于设备的匀场区域），得到了图6(c)所示的T1-T2谱，图6(d)为对应的“L”曲线的定位位置。
通常，在水中添加无磁性重金属离子会影响质子的弛豫时间，添加的离子浓度越高，采集到的CPMG信号衰减越快，质子的弛豫时间越短，在二维谱中的位置就越靠近原点。该实验中，加入高浓度的CuSO4溶液后，在T1-T2谱中更靠近原点的位置又出现了一个谱峰，说明样品中出现了更短弛豫时间的成分，进而证明了无磁性重金属离子对质子影响的论断。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员，在不脱离本发明方法的前提下，还可以做出若干改进和补充，这些改进和补充也应视为本发明的保护范围。
Claims (5)
1.一种基于LSQR的低场核磁共振二维谱反演算法，其特征在于，包括如下步骤：
a.读取低场核磁共振设备采集得到的CPMG原始数据文件；
b.对原始数据进行预处理操作得到反演核心矩阵K和信号幅值m；
c.根据核心矩阵K的线性关系预设一个LSQR迭代的最大迭代次数；
d.进行LSQR迭代，得到每次迭代后的反演结果和残差的范数；
e.根据不同迭代次数对应的反演结果的范数和残差的范数，绘出“L形”曲线；
f.计算“L形”曲线曲率，定义拐角位置为LSQR迭代的最优解位置；
g.使用迭代修正的方式进行约束，抑制负峰的产生，输出二维谱。
2.根据权利要求1所述的基于LSQR的低场核磁共振二维谱反演算法，其特征在于，步骤c中所述的最大迭代次数是通过大量仿真实验发现的，可将其设置为核心矩阵的秩。
3.根据权利要求1所述的基于LSQR的低场核磁共振二维谱反演算法，其特征在于，步骤d中所述的反演结果是反映真实谱分布的一维数组。
4.根据权利要求1所述的基于LSQR的低场核磁共振二维谱反演算法，其特征在于，步骤e中所述的“L形”曲线形成原理为：随着迭代的进行，拟合误差会不断减小并向预设阈值靠近，所以迭代次数越大，拟合误差越小；由于采样噪声无法避免，并且问题的解不连续依赖于观测数据的变化，迭代次数越大，解的复杂度也越大，如果在直角坐标系中以反演结果的范数和残差的范数为坐标绘图，就会得到一个“L形”的曲线。
5.根据权利要求1所述的基于LSQR的低场核磁共振二维谱反演算法，其特征在于，步骤g中所述的迭代修正的方式包括如下步骤：
5.1.设置最小拟合误差E，检测反演结果s中有没有负项，有负项转到步骤5.2，无负项转到步骤5.3；
5.2.将反演结果s中的负项置零，得到s + ，计算残差△m=m-Ks ＋ ，判断‖△m‖/‖m‖<E是否成立，是则转到步骤5.3，否则将误差分摊到s，转到步骤5.1；
5.3.得到符合真实谱分布的s，输出二维谱。
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