CN104319758A - 一种柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法，包括以下步骤：1)得柔性直流输电系统的PCHD模型；2)预设柔性直流输电系统的能量函数，当VSC-HVDC系统的无源性时，则根据预设互联矩阵J_d及阻尼矩阵R_a(x)，改变系统原有的能量函数，得新的PCHD模型；3)选取VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点，然后构建所需的闭环存储函数H_d(x)，使所述闭环存储函数H_d(x)满足IDA-PB定理条件；4)得柔性直流输电系统的指数稳定IDA-PB控制器，然后根据指数稳定IDA-PB控制器控制柔性直流输电系统。本发明可以使柔性直流输电系统在受到大干扰或是系统参数无法精确预知时，具有良好的稳态、暂态特性，同时保持全局渐近稳定。

Description

一种柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法

技术领域

本发明属于换流站尤其是柔性直流输电系统换流站控制系统设计领域，涉及一种指数收敛控制方法，涉及一种柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法。

背景技术

基于电压源型换流器的柔性直流输电系统，其核心是利用全控型可关断电力电子器件和脉宽调制(PWM)技术。它既可以用于连接常规的交流电网，又可以向无源网络供电并改善其电能质量，并且可以实现有功功率和无功功率的独立控制及四象限运行，方便的连接多端直流输电系统，实现静止同步补偿器(STATCOM)等作用，对电网中无功功率进行补偿。基于上述优点，柔性直流输电技术被广泛应用于风能、太阳能等可再生、分布式电源并网，孤岛、城市配电网供电等领域。

VSC-HVDC由于其独特的技术优势而获得了广泛的应用。作为其核心技术的控制系统，目前大多采用传统PI控制器形式。而传统PI控制器，其参数整定及优化较为困难，且暂态调节过程较长，鲁棒性较差。而由于VSC-HVDC控制系统的非线性、强耦合、多输入的特点，采用其他方法的控制系统也往往难以在实现良好的动态性能、消除稳态误差的同时，依然保持大范围渐近稳定。

发明内容

本发明的目的在于克服上述现有技术的缺点，提供了一种性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法，该方法可以使柔性直流输电系统在受到大干扰或是系统参数无法精确预知时，具有良好的稳态、暂态特性，同时保持全局渐近稳定。

为达到上述目的，本发明所述的柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法包括以下步骤：

1)在三相静止坐标系下建立VSC-HVDC系统的数学模型，再通过坐标变换，得VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型，然后再将VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型转换为PCHD模型；

2)预设柔性直流输电系统的能量函数，检测VSC-HVDC系统的无源性，当VSC-HVDC系统的无源时，预设VSC-HVDC系统的互联矩阵J_d(x)及阻尼矩阵R_d(x)，然后根据预设的互联矩阵J_d(x)及阻尼矩阵R_d(x)改变系统原有的能量函数，得新的PCHD模型；

3)选取VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点，然后构建所需的闭环存储函数H_d(x)，使PCHD模型下的VSC-HVDC系统满足IDA-PB定理条件；

4)根据选取的VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点、闭环存储函数H_d(x)、互联矩阵J_d(x)及阻尼矩阵R_d(x)得柔性直流输电系统含积分稳定环节的指数稳定IDA-PB控制器，然后根据柔性直流输电系统含积分稳定环节的指数稳定IDA-PB控制器控制柔性直流输电系统。

步骤1)中，三相静止坐标系下建立的VSC-HVDC系统的数学模型为

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{{\mathrm{di}}_a}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sa}}-U_{\mathrm{dc}}(\frac{s_a+1}{2}-\frac{1}{3}\underset{j=a,b,c}{\mathrm{\Σ}}\frac{s_j+1}{2})-{\mathrm{Ri}}_a\\ L\frac{{\mathrm{di}}_b}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sb}}-U_{\mathrm{dc}}(\frac{s_b+1}{2}-\frac{1}{3}\underset{j=a,b,c}{\mathrm{\Σ}}\frac{s_j+1}{2})-{\mathrm{Ri}}_b\\ L\frac{{\mathrm{di}}_c}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sc}}-U_{\mathrm{dc}}(\frac{s_c+1}{2}-\frac{1}{3}\underset{j=a,b,c}{\mathrm{\Σ}}\frac{s_j+1}{2})-{\mathrm{Ri}}_c\\ C\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{dc}}}{\mathrm{dt}}=\frac{s_a+1}{2}{i}_a+\frac{s_b+1}{2}{i}_b+\frac{s_c+1}{2}{i}_c-i_{\mathrm{dc}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，u_sa、u_sb及u_sc分别为交流系统侧三相电压瞬时值，i_a、i_b及i_c分别为流入换流器的三相电流瞬时值，U_dc为直流侧电压值，i_dc为直流侧电流值，R为等效换流器损耗、线路损耗及变压器电阻损耗之和，L为换流器交流侧滤波电感，C为直流侧电容值，s_a、s_b及s_c分别为换流器三相开关函数，其取值为：

通过坐标变换，得VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{{\mathrm{di}}_d}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d-{\mathrm{\ωLi}}_q-s_d\frac{U_{\mathrm{dc}}}{2}\\ L\frac{{\mathrm{di}}_q}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q+{\mathrm{\ωLi}}_d-s_q\frac{U_{\mathrm{dc}}}{2}\\ C\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{dc}}}{\mathrm{dt}}=\frac{3}{4}{s}_d{i}_d+\frac{3}{4}{s}_q{i}_q-i_{\mathrm{dc}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，s_d及s_q分别为开关函数在dq坐标系下的分量，i_d及i_q分别为交流电流在dq坐标系下的分量，u_sd及u_sq分别为交流电压在dq坐标系下的分量，ω为交流发电机运转角速度；

设i_dc＝U_dc/R_dc，再将VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型转换为PCHD模型，所述PCHD模型为

$\stackrel{\·}{x}=[J\left(x\right)-R\left(x\right)]\frac{\∂H}{\∂x}\left(x\right)+g\left(x\right)u---\left(3\right)$

其中：

$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{Li}}_d\\ {\mathrm{Li}}_q\\ {\mathrm{CU}}_{\mathrm{dc}}\end{array}\right],g\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],J\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}0& -\mathrm{\ωL}& -\frac{3}{4}{s}_d\\ \mathrm{\ωL}& 0& -\frac{3}{4}{s}_q\\ \frac{3}{4}{s}_d& \frac{3}{4}{s}_q& 0\end{array}\right]={-J}^T\left(x\right)$

$R\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}R& 0& 0\\ 0& R& 0\\ 0& 0& \frac{3}{{2R}_{\mathrm{dc}}}\end{array}\right]=R^T\left(x\right)>0,u=\left[\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sd}}\\ u_{\mathrm{sq}}\\ 0\end{array}\right].$

步骤2)中，预设所述柔性直流输电系统的系统能量函数为：

$H\left(x\right)=\frac{1}{2L}{x}_1^2+\frac{1}{2L}{x}_2^2+\frac{1}{3C}{x}_3^2---\left(4\right)$

然后配置预设的互联矩阵J_d(x)、阻尼矩阵R_d(x)，改变式(4)原有的能量函数，得新的PCHD模型，所述新的PCHD模型为

$\stackrel{\·}{x}=[J_d\left(x\right)-R_d\left(x\right)]\frac{{\∂H}_d}{\∂x}\left(x\right)---\left(5\right)$

其中，系统新的能量函数H_d(x)＝H(x)+H_a(x)，

步骤3)中选取的VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点为：

$x^{*}={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1^{*}& x_2^{*}& x_3^{*}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{Li}}_d^{*}& {\mathrm{Li}}_q^{*}& {\mathrm{CU}}_{\mathrm{dc}}^{*}\end{array}\right]}^T---\left(6\right)$

由IDA-PB控制原理，可知选取的VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点x^*、J(x)、R(x)、H(x)、g(x)，需要找到函数β(x)、J_a(x)、R_a(x)和一个向量函数K(x)，且满足

$\begin{array}{c}[(J(x,\mathrm{\β}\left(x\right))+J_a\left(x\right))-(R\left(x\right)+R_a\left(x\right))]K\left(x\right)\\ =-[J_a\left(x\right)-R_a\left(x\right)]\frac{\∂H}{\∂x}\left(x\right)+g(x,\mathrm{\β}\left(x\right))u\end{array}---\left(7\right)$

由于PCHD结构不变条件，则有

$J_d\left(x\right)=J\left(x\right)+J_a\left(x\right)={-J}_d^T\left(x\right)---\left(8\right)$

$R_d\left(x\right)=R\left(x\right)+R_a\left(x\right)=R_d^T\left(x\right)\≥0---\left(9\right)$

设互联矩阵J_d(x)＝J(x)，阻尼矩阵R_d(x)＝R(x)+R_a(x)，其中，阻尼矩阵R_a(x)为：

$R_a\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{a1}& 0& r_{a5}\\ 0& r_{a2}& r_{a7}\\ r_{a4}& r_{a6}& r_{a3}\end{array}\right]---\left(10\right)$

构建所需的闭环存储函数H_d(x)，其中，所述闭环存储函数H_d(x)为

$H_d\left(x\right)=\frac{1}{2L}{(x_1-x_1^{*})}^2+\frac{1}{2L}{(x_2-x_2^{*})}^2+\frac{1}{3C}{(x_3-x_3^{*})}^2---\left(11\right)$

由IDA-PB定理，得

H_a(x)＝H_d(x)-H(x)   (12)

$K\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{K}_1\\ K_2\\ K_3\end{array}\right]=\frac{{\∂H}_a}{\∂x}\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}-\frac{x_1^{*}}{L}\\ -\frac{x_2^{*}}{L}\\ -\frac{{2x}_3^{*}}{3C}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{-i}_d^{*}\\ {-i}_q^{*}\\ -\frac{2}{3}{U}_{\mathrm{dc}}^{*}\end{array}\right]---\left(13\right).$

根据式(6)、(7)(8)、(9)(10)、(11)、(12)及(13)得

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}-R-r_{a1}& -\mathrm{\ωL}& -\frac{3}{4}{s}_d-r_{a5}\\ \mathrm{\ωL}& -R-r_{a2}& -\frac{3}{4}{s}_q-r_{a7}\\ \frac{3}{4}{s}_d-r_{a4}& \frac{3}{4}{s}_q-r_{a6}& -\frac{3}{{2R}_{\mathrm{dc}}}-r_{a3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1\\ K_2\\ K_3\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{ccc}{r}_{a1}& 0& r_{a5}\\ 0& r_{a2}& r_{a7}\\ r_{a4}& r_{a6}& r_{a3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\\ \frac{2}{3}{U}_{\mathrm{dc}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sd}}\\ u_{\mathrm{sq}}\\ 0\end{array}\right]\end{array}---\left(14\right)$

通过求解关于K₁及K₂标量方程，得柔性直流输电系统的IDA-PB控制器为

$s_d=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_d-i_d^{*})r_{a1}+\frac{2}{3}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a5}+u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d^{*}-{\mathrm{\ωLi}}_q^{*}]---\left(15\right)$

$s_q=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_q-i_q^{*})r_{a2}+\frac{2}{3}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a7}+u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q^{*}+{\mathrm{\ωLi}}_d^{*}]$

其中

$\left\{\begin{array}{c}\frac{K_1}{K_3}{r}_{a1}+r_{a4}=0\\ \frac{K_2}{K_3}{r}_{a2}+r_{a6}=0\\ r_{a3}+\frac{K_1}{K_3}{r}_{a5}+\frac{K_2}{K_3}{r}_{a7}=0\end{array}\right.---\left(16\right)$

令注入阻尼矩阵R_a(x)为反对称矩阵，然后根据所述反对称矩阵及式(16)得到使PCHD模型指数稳定的IDA-PB控制器为：

$s_d=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_d-i_d^{*})r_{a1}+\frac{i_d^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a1}+u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d^{*}-{\mathrm{\ωLi}}_q^{*}]---\left(17\right)$

$s_q=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_q-i_q^{*})r_{a2}+\frac{i_q^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a2}+u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q^{*}+{\mathrm{\ωLi}}_d^{*}]$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{a1}>-R\\ r_{a2}>-R\\ i_d^{*2}{r}_{a1}+i_q^{*2}{r}_{a2}<\frac{{2U}_{\mathrm{dc}}^{*2}}{{3R}_{\mathrm{dc}}}\end{array}\right.---\left(18\right)$

然后加入积分稳定环节，式(17)化解为：

$s_d=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_d-i_d^{*})(r_{a1}+\frac{r_{i1}}{s})+\frac{i_d^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})(r_{a1}-\frac{r_{i1}}{s})+u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d^{*}-{\mathrm{\&omega;Li}}_q^{*}]---\left(19\right)$

$s_q=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_q-i_q^{*})(r_{a2}+\frac{r_{i2}}{s})+\frac{i_q^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})(r_{a2}+\frac{r_{i2}}{s})+u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q^{*}+{\mathrm{\&omega;Li}}_d^{*}]$

其中，r_i1＞0；r_i2＞0，s为积分算子，然后根据式(19)对柔性直流输电系统进行控制。

本发明具有以下有益效果：

本发明所述的柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法针对VSC-HVDC系统非线性、强耦合及多输入的特点，基于VSC-HVDC输电系统的端口受控耗散哈密顿(PCHD)模型，通过对互联矩阵和阻尼矩阵进行配置，得到其指数收敛型的无源的控制器，并在控制器中加入积分稳定环节，使得柔性直流输电系统在受到大干扰或是系统参数无法精确预知时，具有良好的稳态、暂态特性的同时，依然保持全局渐近稳定，控制器的设计过程中，无需依据IDA-PB定理求解偏微分方程，大大简化了计算量，采用本发明设计的控制系统，可有效提高VSC-HVDC系统的稳定性、暂态特性及鲁棒性。

附图说明

图1为VSC换流器电路结构；

图2为含有积分稳定器的IDA-PB控制系统结构图；

图3为两端VSC换流器的IDA-PB控制结构图；

图4为系统直流电压阶跃响应曲线；

图5为系统参数大范围改变时直流电压阶跃响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

本发明所述的柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法包括以下步骤：

1)在三相静止坐标系下建立VSC-HVDC系统的数学模型，再通过坐标变换，得VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型，然后再将VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型转换为PCHD模型；

2)预设柔性直流输电系统的能量函数，检测VSC-HVDC系统的无源性，当VSC-HVDC系统的无源时，预设VSC-HVDC系统的互联矩阵J_d(x)及阻尼矩阵R_d(x)，然后根据预设的互联矩阵J_d(x)及阻尼矩阵R_d)x)改变系统原有的能量函数，得新的PCHD模型；

3)选取VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点，然后构建所需的闭环存储函数H_d(x)，使PCHD模型下的VSC-HVDC系统满足IDA-PB定理条件；

4)根据选取的VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点、闭环存储函数H_d(x)、互联矩阵J_d(x)及阻尼矩阵R_d(x)得柔性直流输电系统含积分稳定环节的指数稳定IDA-PB控制器，然后根据柔性直流输电系统含积分稳定环节的指数稳定IDA-PB控制器控制柔性直流输电系统。

步骤1)中，三相静止坐标系下建立的VSC-HVDC系统的数学模型为

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{{\mathrm{di}}_a}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sa}}-U_{\mathrm{dc}}(\frac{s_a+1}{2}-\frac{1}{3}\underset{j=a,b,c}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{s_j+1}{2})-{\mathrm{Ri}}_a\\ L\frac{{\mathrm{di}}_b}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sb}}-U_{\mathrm{dc}}(\frac{s_b+1}{2}-\frac{1}{3}\underset{j=a,b,c}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{s_j+1}{2})-{\mathrm{Ri}}_b\\ L\frac{{\mathrm{di}}_c}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sc}}-U_{\mathrm{dc}}(\frac{s_c+1}{2}-\frac{1}{3}\underset{j=a,b,c}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{s_j+1}{2})-{\mathrm{Ri}}_c\\ C\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{dc}}}{\mathrm{dt}}=\frac{s_a+1}{2}{i}_a+\frac{s_b+1}{2}{i}_b+\frac{s_c+1}{2}{i}_c-i_{\mathrm{dc}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，u_sa、u_sb及u_sc分别为交流系统侧三相电压瞬时值，i_a、i_b及i_c分别为流入换流器的三相电流瞬时值，U_dc为直流侧电压值，i_dc为直流侧电流值，R为等效换流器损耗、线路损耗及变压器电阻损耗之和，L为换流器交流侧滤波电感，C为直流侧电容值，s_a、s_b及s_c分别为换流器三相开关函数，其取值为：

通过坐标变换，得VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{{\mathrm{di}}_d}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d-{\mathrm{\&omega;Li}}_q-s_d\frac{U_{\mathrm{dc}}}{2}\\ L\frac{{\mathrm{di}}_q}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q+{\mathrm{\&omega;Li}}_d-s_q\frac{U_{\mathrm{dc}}}{2}\\ C\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{dc}}}{\mathrm{dt}}=\frac{3}{4}{s}_d{i}_d+\frac{3}{4}{s}_q{i}_q-i_{\mathrm{dc}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，s_d及s_q分别为开关函数在dq坐标系下的分量，i_d及i_q分别为交流电流在dq坐标系下的分量，u_sd及u_sq分别为交流电压在dq坐标系下的分量，ω为交流发电机运转角速度；

设i_dc＝U_dc/R_dc，再将VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型转换为PCHD模型，所述PCHD模型为

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=[J\left(x\right)-R\left(x\right)]\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;x}\left(x\right)+g\left(x\right)u---\left(3\right)$

其中：

$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{Li}}_d\\ {\mathrm{Li}}_q\\ {\mathrm{CU}}_{\mathrm{dc}}\end{array}\right],g\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],J\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}0& -\mathrm{\&omega;L}& -\frac{3}{4}{s}_d\\ \mathrm{\&omega;L}& 0& -\frac{3}{4}{s}_q\\ \frac{3}{4}{s}_d& \frac{3}{4}{s}_q& 0\end{array}\right]={-J}^T\left(x\right)$

$R\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}R& 0& 0\\ 0& R& 0\\ 0& 0& \frac{3}{{2R}_{\mathrm{dc}}}\end{array}\right]=R^T\left(x\right)>0,u=\left[\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sd}}\\ u_{\mathrm{sq}}\\ 0\end{array}\right]$

步骤2)中，预设所述柔性直流输电系统的系统能量函数为：

$H\left(x\right)=\frac{1}{2L}{x}_1^2+\frac{1}{2L}{x}_2^2+\frac{1}{3C}{x}_3^2---\left(4\right)$

然后配置预设的互联矩阵J_d(x)、阻尼矩阵R_d(x)，改变式(4)原有的能量函数，得新的PCHD模型，所述新的PCHD模型为

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=[J_d\left(x\right)-R_d\left(x\right)]\frac{{\&PartialD;H}_d}{\&PartialD;x}\left(x\right)---\left(5\right)$

其中，系统新的能量函数H_d(x)＝H(x)+H_a(x)，

步骤3)中选取的VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点为：

$x^{*}={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1^{*}& x_2^{*}& x_3^{*}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{Li}}_d^{*}& {\mathrm{Li}}_q^{*}& {\mathrm{CU}}_{\mathrm{dc}}^{*}\end{array}\right]}^T---\left(6\right)$

由IDA-PB控制原理，可知选取的VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点x^*、J(x)、R(x)、H(x)、g(x)，需要找到函数β(x)、J_a(x)、R_a(x)和一个向量函数K(x)，且满足

$\begin{array}{c}[(J(x,\mathrm{\&beta;}\left(x\right))+J_a\left(x\right))-(R\left(x\right)+R_a\left(x\right))]K\left(x\right)\\ =-[J_a\left(x\right)-R_a\left(x\right)]\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;x}\left(x\right)+g(x,\mathrm{\&beta;}\left(x\right))u\end{array}---\left(7\right)$

由于PCHD结构不变条件，则有

$J_d\left(x\right)=J\left(x\right)+J_a\left(x\right)={-J}_d^T\left(x\right)---\left(8\right)$

$R_d\left(x\right)=R\left(x\right)+R_a\left(x\right)=R_d^T\left(x\right)\&GreaterEqual;0---\left(9\right)$

设互联矩阵J_d(x)＝J(x)，阻尼矩阵R_d(x)＝R(x)+R_a(x)，其中，阻尼矩阵R_a(x)为：

$R_a\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{a1}& 0& r_{a5}\\ 0& r_{a2}& r_{a7}\\ r_{a4}& r_{a6}& r_{a3}\end{array}\right]---\left(10\right)$

构建所需的闭环存储函数H_d(x)，其中，所述闭环存储函数H_d(x)为

$H_d\left(x\right)=\frac{1}{2L}{(x_1-x_1^{*})}^2+\frac{1}{2L}{(x_2-x_2^{*})}^2+\frac{1}{3C}{(x_3-x_3^{*})}^2---\left(11\right)$

由IDA-PB定理，得

H_a(x)＝H_d(x)-H(x)   (12)

$K\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{K}_1\\ K_2\\ K_3\end{array}\right]=\frac{{\&PartialD;H}_a}{\&PartialD;x}\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}-\frac{x_1^{*}}{L}\\ -\frac{x_2^{*}}{L}\\ -\frac{{2x}_3^{*}}{3C}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{-i}_d^{*}\\ {-i}_q^{*}\\ -\frac{2}{3}{U}_{\mathrm{dc}}^{*}\end{array}\right]---\left(13\right).$

根据式(6)、(7)(8)、(9)(10)、(11)、(12)及(13)得

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}-R-r_{a1}& -\mathrm{\&omega;L}& -\frac{3}{4}{s}_d-r_{a5}\\ \mathrm{\&omega;L}& -R-r_{a2}& -\frac{3}{4}{s}_q-r_{a7}\\ \frac{3}{4}{s}_d-r_{a4}& \frac{3}{4}{s}_q-r_{a6}& -\frac{3}{{2R}_{\mathrm{dc}}}-r_{a3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1\\ K_2\\ K_3\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{ccc}{r}_{a1}& 0& r_{a5}\\ 0& r_{a2}& r_{a7}\\ r_{a4}& r_{a6}& r_{a3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\\ \frac{2}{3}{U}_{\mathrm{dc}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sd}}\\ u_{\mathrm{sq}}\\ 0\end{array}\right]\end{array}---\left(14\right)$

通过求解关于K₁及K₂标量方程，得柔性直流输电系统的IDA-PB控制器为

$s_d=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_d-i_d^{*})r_{a1}+\frac{2}{3}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a5}+u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d^{*}-{\mathrm{\&omega;Li}}_q^{*}]---\left(15\right)$

$s_q=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_q-i_q^{*})r_{a2}+\frac{2}{3}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a7}+u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q^{*}+{\mathrm{\&omega;Li}}_d^{*}]$

其中

$\left\{\begin{array}{c}\frac{K_1}{K_3}{r}_{a1}+r_{a4}=0\\ \frac{K_2}{K_3}{r}_{a2}+r_{a6}=0\\ r_{a3}+\frac{K_1}{K_3}{r}_{a5}+\frac{K_2}{K_3}{r}_{a7}=0\end{array}\right.---\left(16\right)$

令注入阻尼矩阵R_a(x)为反对称矩阵，然后根据所述反对称矩阵及式(16)得到使PCHD模型指数稳定的IDA-PB控制器为：

$s_d=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_d-i_d^{*})r_{a1}+\frac{i_d^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a1}+u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d^{*}-{\mathrm{\&omega;Li}}_q^{*}]---\left(17\right)$

$s_q=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_q-i_q^{*})r_{a2}+\frac{i_q^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a2}+u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q^{*}+{\mathrm{\&omega;Li}}_d^{*}]$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{a1}>-R\\ r_{a2}>-R\\ i_d^{*2}{r}_{a1}+i_q^{*2}{r}_{a2}<\frac{{2U}_{\mathrm{dc}}^{*2}}{{3R}_{\mathrm{dc}}}\end{array}\right.---\left(18\right)$

然后加入积分稳定环节，式(17)化解为：

$s_d=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_d-i_d^{*})(r_{a1}+\frac{r_{i1}}{s})+\frac{i_d^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})(r_{a1}-\frac{r_{i1}}{s})+u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d^{*}-{\mathrm{\&omega;Li}}_q^{*}]---\left(19\right)$

$s_q=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_q-i_q^{*})(r_{a2}+\frac{r_{i2}}{s})+\frac{i_q^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})(r_{a2}+\frac{r_{i2}}{s})+u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q^{*}+{\mathrm{\&omega;Li}}_d^{*}]$

其中，r_i1＞0；r_i2＞0，s为积分算子，然后根据式(19)对柔性直流输电系统进行控制。

从理论上可以证明，含有积分稳定器的IDA-PB控制系统仍然具有全局稳定性，其控制框图如图2所示，其中虚线框内为积分稳定器部分，其余为指数稳定型的IDA-PB控制器，可以看出，与传统PI控制方式相比，含有积分稳定环节的IDA-PB控制器，由电压环节及电流环节同时直接参与控制输出，因而具有更快的调节能力。

本发明设计的VSC-HVDC控制器结构如图3所示。它由功率控制器、IDA-PB控制器、锁相测量环节及PWM矢量调制环节构成，其中，整流侧功率控制器采用定有功功率、定无功功率控制，逆变侧功率控制器采用定直流电压及定无功功率控制，IDA-PB控制器分别采用上述设计的3种控制策略及含积分稳定器的控制策略，锁相环节用于提供电压矢量定向控制和脉冲触发生成所需的基准相位，调制方式采用空间矢量调制。

下面通过仿真验证本方法的有效性。

在PSCAD/EMTDC软件环境下VSC-HVDC输电系统进行仿真，系统参数取为：交流侧电压100kV，变压器变比100/10，交流电抗器等效电感15mH，交流电抗器等效电阻0.314Ω，直流母线电容500μF，额定直流电压20kV，电网频率50Hz，开关频率1800Hz，并以系统容量10MVA、直流母线电压20kV对系统进行标幺化处理。调制方式采用空间矢量调制，IDA-PB控制器的阻尼常数值均取：r_a1＝r_a2＝10。

仿真1：在3s与4s之间设置直流母线电压由1pu阶跃变化至0.75pu，再回到1pu，如图4所示，U_dc为控制直流电压参考值；U_dc1为互联结构不变的IDA-PB控制器的响应曲线；U_dc2为传统工程整定方法的PI控制器响应曲线，对比可知：1)稳态时，两种方法都能较好地控制输出直流电压；2)暂态时，传统PI控制器下，跟踪速度较慢，调节时间较长，在阻尼比接近工程最佳阻尼比0.707的情况下，需要一个半周期的调节过程，才能重新回到稳态，且大约有11％超调；而指数稳定的IDA-PB控制器下，调解过程中无超调，且跟踪响应速度快，跟踪精度高，验证了IDA-PB控制器优良的暂态稳定性。

仿真2：检验在参数不准确预知时，使用含积分稳定环节的IDA-PB控制，系统的全局稳定性。仿真参数：两侧交流电抗器等效电感为1mH，逆变侧等效电阻为0.030Ω，其余参数仍为表1所示额定值，如图5所示，图5中，U_dc1为指数稳定型IDA-PB控制器响应曲线；U_dc2为PI控制器响应曲线，可以看出，含积分环节的IDA-PB控制方式下，直流电压依然有较好的稳、暂态特性；而PI控制方式下，由于系统阻尼减小，已经失去稳定性，直流电压曲线不断震荡升高，c因此验证了本发明设计的IDA-PB控制器具有全局稳定性。

Claims (5)

1.一种柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)在三相静止坐标系下建立VSC-HVDC系统的数学模型，再通过坐标变换，得VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型，然后再将VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型转换为PCHD模型；

2)预设柔性直流输电系统的能量函数，检测VSC-HVDC系统的无源性，当VSC-HVDC系统的无源时，预设VSC-HVDC系统的互联矩阵J_d(x)及阻尼矩阵R_d(x)，然后根据预设的互联矩阵J_d(x)及阻尼矩阵R_d(x)改变系统原有的能量函数，得新的PCHD模型；

3)选取VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点，然后构建所需的闭环存储函数H_d(x)，使PCHD模型下的VSC-HVDC系统满足IDA-PB定理条件；

4)根据选取的VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点、闭环存储函数H_d(x)、互联矩阵J_d(x)及阻尼矩阵R_d(x)得柔性直流输电系统含积分稳定环节的指数稳定IDA-PB控制器，然后根据柔性直流输电系统含积分稳定环节的指数稳定IDA-PB控制器控制柔性直流输电系统。

2.根据权利要求1所述的柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法，其特征在于，步骤1)中，三相静止坐标系下建立的VSC-HVDC系统的数学模型为

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{{\mathrm{di}}_a}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sa}}-U_{\mathrm{dc}}(\frac{s_a+1}{2}-\frac{1}{3}\underset{j=a,b,c}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{s_j+1}{2})-{\mathrm{Ri}}_a\\ L\frac{{\mathrm{di}}_b}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sb}}-U_{\mathrm{dc}}(\frac{s_b+1}{2}-\frac{1}{3}\underset{j=a,b,c}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{s_j+1}{2})-{\mathrm{Ri}}_b\\ L\frac{{\mathrm{di}}_c}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sc}}-U_{\mathrm{dc}}(\frac{s_c+1}{2}-\frac{1}{3}\underset{j=a,b,c}{\mathrm{\&Sigma;}}\frac{s_j+1}{2})-{\mathrm{Ri}}_c\\ C\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{dc}}}{\mathrm{dt}}=\frac{s_a+1}{2}{i}_a+\frac{s_b+1}{2}{i}_b+\frac{s_c+1}{2}{i}_c-i_{\mathrm{dc}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，u_sa、u_sb及u_sc分别为交流系统侧三相电压瞬时值，i_a、i_b及i_c分别为流入换流器的三相电流瞬时值，U_dc为直流侧电压值，i_dc为直流侧电流值，R为等效换流器损耗、线路损耗及变压器电阻损耗之和，L为换流器交流侧滤波电感，C为直流侧电容值，s_a、s_b及s_c分别为换流器三相开关函数，其取值为：

通过坐标变换，得VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}L\frac{{\mathrm{di}}_d}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d-{\mathrm{\&omega;Li}}_q-s_d\frac{U_{\mathrm{dc}}}{2}\\ L\frac{{\mathrm{di}}_q}{\mathrm{dt}}=u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q+{\mathrm{\&omega;Li}}_d-s_q\frac{U_{\mathrm{dc}}}{2}\\ C\frac{{\mathrm{dU}}_{\mathrm{dc}}}{\mathrm{dt}}=\frac{3}{4}{s}_d{i}_d+\frac{3}{4}{s}_q{i}_q-i_{\mathrm{dc}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，s_d及s_q分别为开关函数在dq坐标系下的分量，i_d及i_q分别为交流电流在dq坐标系下的分量，u_sd及u_sq分别为交流电压在dq坐标系下的分量，ω为交流发电机运转角速度；

设i_dc＝U_dc/R_dc，再将VSC-HVDC系统在dq旋转坐标系下的数学模型转换为PCHD模型，所述PCHD模型为

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=[J\left(x\right)-R\left(x\right)]\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;x}\left(x\right)+g\left(x\right)u---\left(3\right)$

其中：

$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{Li}}_d\\ {\mathrm{Li}}_q\\ {\mathrm{CU}}_{\mathrm{dc}}\end{array}\right],g\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],J\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}0& -\mathrm{\&omega;L}& -\frac{3}{4}{s}_d\\ \mathrm{\&omega;L}& 0& -\frac{3}{4}{s}_q\\ \frac{3}{4}{s}_d& \frac{3}{4}{s}_q& 0\end{array}\right]={-J}^T\left(x\right)$

$R\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}R& 0& 0\\ 0& R& 0\\ 0& 0& \frac{3}{{2R}_{\mathrm{dc}}}\end{array}\right]=R^T\left(x\right)>0,u=\left[\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sd}}\\ u_{\mathrm{sq}}\\ 0\end{array}\right].$

3.根据权利要求2所述的柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法，其特征在于，步骤2)中，预设所述柔性直流输电系统的系统能量函数为：

$H\left(x\right)=\frac{1}{2L}{x}_1^2+\frac{1}{2L}{x}_2^2+\frac{1}{3C}{x}_3^2---\left(4\right)$

然后配置预设的互联矩阵J_d(x)、阻尼矩阵R_d(x)，改变式(4)原有的能量函数，得新的PCHD模型，所述新的PCHD模型为

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=[J_d\left(x\right)-R_d\left(x\right)]\frac{{\&PartialD;H}_d}{\&PartialD;x}\left(x\right)---\left(5\right)$

其中，系统新的能量函数H_d(x)＝H(x)+H_a(x)，

4.根据权利要求3所述的柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法，其特征在于，步骤3)中选取的VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点为：

$x^{*}={\left[\begin{array}{ccc}{x}_1^{*}& x_2^{*}& x_3^{*}\end{array}\right]}^T={\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{Li}}_d^{*}& {\mathrm{Li}}_q^{*}& {\mathrm{CU}}_{\mathrm{dc}}^{*}\end{array}\right]}^T---\left(6\right)$

由IDA-PB控制原理，可知选取的VSC-HVDC系统所需的稳态平衡点x^*、J(x)、R(x)、H(x)、g(x)，需要找到函数β(x)、J_a(x)、R_a(x)和一个向量函数K(x)，且满足

$\begin{array}{c}[(J(x,\mathrm{\&beta;}\left(x\right))+J_a\left(x\right))-(R\left(x\right)+R_a\left(x\right))]K\left(x\right)\\ =-[J_a\left(x\right)-R_a\left(x\right)]\frac{\&PartialD;H}{\&PartialD;x}\left(x\right)+g(x,\mathrm{\&beta;}\left(x\right))u\end{array}---\left(7\right)$

由于PCHD结构不变条件，则有

$J_d\left(x\right)=J\left(x\right)+J_a\left(x\right)={-J}_d^T\left(x\right)---\left(8\right)$

$R_d\left(x\right)=R\left(x\right)+R_a\left(x\right)=R_d^T\left(x\right)\&GreaterEqual;0---\left(9\right)$

设互联矩阵J_d(x)＝J(x)，阻尼矩阵R_d(x)＝R(x)+R_a(x)，其中，阻尼矩阵R_a(x)为：

$R_a\left(x\right)=\left[\begin{array}{ccc}{r}_{a1}& 0& r_{a5}\\ 0& r_{a2}& r_{a7}\\ r_{a4}& r_{a6}& r_{a3}\end{array}\right]---\left(10\right)$

构建所需的闭环存储函数H_d(x)，其中，所述闭环存储函数H_d(x)为

$H_d\left(x\right)=\frac{1}{2L}{(x_1-x_1^{*})}^2+\frac{1}{2L}{(x_2-x_2^{*})}^2+\frac{1}{3C}{(x_3-x_3^{*})}^2---\left(11\right)$

由IDA-PB定理，得

H_a(x)＝H_d(x)-H(x)   (12)

$K\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}{K}_1\\ K_2\\ K_3\end{array}\right]=\frac{{\&PartialD;H}_a}{\&PartialD;x}\left(x\right)=\left[\begin{array}{c}-\frac{x_1^{*}}{L}\\ -\frac{x_2^{*}}{L}\\ -\frac{{2x}_3^{*}}{3C}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{-i}_d^{*}\\ {-i}_q^{*}\\ -\frac{2}{3}{U}_{\mathrm{dc}}^{*}\end{array}\right]---\left(13\right).$

5.根据权利要求4所述的柔性直流输电系统全局稳定的指数收敛控制方法，其特征在于，根据式(6)、(7)(8)、(9)(10)、(11)、(12)及(13)得

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}-R-r_{a1}& -\mathrm{\&omega;L}& -\frac{3}{4}{s}_d-r_{a5}\\ \mathrm{\&omega;L}& -R-r_{a2}& -\frac{3}{4}{s}_q-r_{a7}\\ \frac{3}{4}{s}_d-r_{a4}& \frac{3}{4}{s}_q-r_{a6}& -\frac{3}{{2R}_{\mathrm{dc}}}-r_{a3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{K}_1\\ K_2\\ K_3\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{ccc}{r}_{a1}& 0& r_{a5}\\ 0& r_{a2}& r_{a7}\\ r_{a4}& r_{a6}& r_{a3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\\ \frac{2}{3}{U}_{\mathrm{dc}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{sd}}\\ u_{\mathrm{sq}}\\ 0\end{array}\right]\end{array}---\left(14\right)$

通过求解关于K₁及K₂标量方程，得柔性直流输电系统的IDA-PB控制器为

$s_d=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_d-i_d^{*})r_{a1}+\frac{2}{3}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a5}+u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d^{*}-{\mathrm{\&omega;Li}}_q^{*}]---\left(15\right)$

$s_q=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_q-i_q^{*})r_{a2}+\frac{2}{3}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a7}+u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q^{*}+{\mathrm{\&omega;Li}}_d^{*}]$

其中

$\left\{\begin{array}{c}\frac{K_1}{K_3}{r}_{a1}+r_{a4}=0\\ \frac{K_2}{K_3}{r}_{a2}+r_{a6}=0\\ r_{a3}+\frac{K_1}{K_3}{r}_{a5}+\frac{K_2}{K_3}{r}_{a7}=0\end{array}\right.---\left(16\right)$

令注入阻尼矩阵R_a(x)为反对称矩阵，然后根据所述反对称矩阵及式(16)得到使PCHD模型指数稳定的IDA-PB控制器为：

$s_d=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_d-i_d^{*})r_{a1}+\frac{i_d^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a1}+u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d^{*}-{\mathrm{\&omega;Li}}_q^{*}]---\left(17\right)$

$s_q=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_q-i_q^{*})r_{a2}+\frac{i_q^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})r_{a2}+u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q^{*}+{\mathrm{\&omega;Li}}_d^{*}]$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{a1}>-R\\ r_{a2}>-R\\ i_d^{*2}{r}_{a1}+i_q^{*2}{r}_{a2}<\frac{{2U}_{\mathrm{dc}}^{*2}}{{3R}_{\mathrm{dc}}}\end{array}\right.---\left(18\right)$

然后加入积分稳定环节，式(17)化解为：

$s_d=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_d-i_d^{*})(r_{a1}+\frac{r_{i1}}{s})+\frac{i_d^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})(r_{a1}-\frac{r_{i1}}{s})+u_{\mathrm{sd}}-{\mathrm{Ri}}_d^{*}-{\mathrm{\&omega;Li}}_q^{*}]---\left(19\right)$

$s_q=\frac{2}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}[(i_q-i_q^{*})(r_{a2}+\frac{r_{i2}}{s})+\frac{i_q^{*}}{U_{\mathrm{dc}}^{*}}(U_{\mathrm{dc}}-U_{\mathrm{dc}}^{*})(r_{a2}+\frac{r_{i2}}{s})+u_{\mathrm{sq}}-{\mathrm{Ri}}_q^{*}+{\mathrm{\&omega;Li}}_d^{*}]$

其中，r_i1＞0；r_i2＞0，s为积分算子，然后根据式(19)对柔性直流输电系统进行控制。