CN104299450A

CN104299450A - 基于层次分析法和灰色模糊的车辆碰撞预警方法

Info

Publication number: CN104299450A
Application number: CN201410571503.4A
Authority: CN
Inventors: 陈晨; 李亚娟; 魏康文; 吕宁; 裴庆祺; 薛刚
Original assignee: Xidian University
Current assignee: Xidian University
Priority date: 2014-10-23
Filing date: 2014-10-23
Publication date: 2015-01-21
Anticipated expiration: 2034-10-23
Also published as: CN104299450B

Abstract

本发明公开了一种基于层次分析法和灰色模糊的车辆防碰撞预警方法，主要解决了现有技术中安全距离不准确的问题。其实现步骤是：1.构建车辆安全距离的层次分析结构，计算各层影响因素的权重向量；2.利用灰色模糊的方法，计算指标层影响因素的评价值；3.根据指标层影响因素的评价值对车辆的加速度和驾驶员的反应时间进行修正；4.利用车辆的运动学公式计算车辆的绝对安全距离和相对安全距离；5.根据绝对安全距离、相对安全距离和传感器检测到的车距，划分预警级别。本发明综合考虑了人的因素、车辆的因素、道路的因素和环境的因素对车辆安全距离的影响，给出了车辆防碰撞的预警，提高了车辆安全距离的准确性以及车辆行驶的安全性。

Description

基于层次分析法和灰色模糊的车辆碰撞预警方法

技术领域

本发明属于通信技术领域，主要涉及车辆自组织网络VANETs中保证行驶安全的多级预警方法，适用于高速公路、郊区等中高速运动场景。

背景技术

随着车辆拥有量的增加和道路状况的日益复杂，交通事故频繁发生，如何尽量避免事故的发生是VANETs领域中的一个重要的研究方向。因此，车辆碰撞预警系统CWS越来越受到人们的关注，其中Daimler-Benz的研究表明提前0.5s的报警能够使追尾和交叉碰撞产生的事故率减少50％以上。

Joan Garcia-Haro等人在文献“A Stochastic Model for Chain Collisions of VehiclesEquipped With Vehicular Communications”中提出了一种两车之间安全行驶的最小车间距离算法。文中给出了一种能够有效减少事故发生率的主动安全系统的概念，其中安全距离的判断是这一系统的重要组成部分。主要思想是：在假设两车前后行驶，即传统跟车模型的前提下，给出前后车三种不同相对运动状态下的安全距离，这三种状态包括：前车匀速行驶、前车匀加速行驶和前车以匀减速行驶。虽然文中给出了最小安全距离的定义，但是并没有据此对驾驶员进行预警。

Yuan-Lin Chen,Chong-An Wang等人在文献“Vehicle Safety Distance Warning System:A Novel Algorithm for Vehicle Safety Distance Calculating Between Moving Cars”中提出了一种基于车辆安全距离的多级预警系统，该系统提出了两种距离的求法，即障碍物距离和刹车安全距离，并通过比较这两种距离的大小，做出预警。如果障碍物距离大于刹车安全距离，则车辆处于安全的状态，反之车辆处于危险的状态。虽然文中对预警级别进行了划分，但是并没有进一步的说明，也没有考虑到驾驶员的状态对车辆安全的影响，因此计算出来的安全距离偏大。

发明内容

本发明的目的在于针对上述技术中没有考虑到驾驶员、车、路和环境因素对安全距离影响的缺点，提出一种基于AHP和灰色模糊的车辆碰撞预警方法，提高安全距离的准确性。

实现本发明目的技术方案是：采用定性分析和定量分析相结合的方式，从影响车辆安全的人为因素、车辆因素、环境因素和道路状况进行分析，利用层次分析法和灰色模糊结合运动学公式求解安全距离，并进一步根据安全距离进行预警级别划分。其具体步骤包括如下：

(1)构建影响车辆安全距离因素的层次分析结构，根据层次分析法，计算各层因素的权重向量Wⁿ,n＝1,2,3；

(2)根据各层的权重向量，利用灰色模糊法对影响车辆安全距离的因素进行综合评价：

2a)建立影响车辆安全距离因素的评价集V＝(V₁,V₂,V₃,V₄)和指标集U，并将评价集数值化为向量C；

V＝(V₁,V₂,V₃,V₄)＝C＝(10,8.5,6,3)；

2b)根据数值化向量C，k,k>3位专家对指标集中的因素进行打分，构成打分矩阵Y；

2c)构造白化权函数，并利用灰色统计法计算第j个因素属于评价灰类i的灰色统计数m_ij和总灰色统计数m_j，得到第j个因素属于评价灰类i的灰色权值r_j,i为：

2d)依次执行2c)计算因素层中的各个因素的灰色权值，由r_j,i构成的单因素矩阵灰

r_{j, i} = m_{i, j} / m_{j} = m_{i, j} / Σ_{i = v_{1}}^{v_{4}} m_{ij}

度模糊评价矩阵R；

其中，i∈v是评价等级，m是因素层的因素个数，j∈m是因素层的第j个因素，r_j,i是第j个因素属于评价等级i的灰色权值。

2e)根据层次分析法得到的各层的权重向量，计算对应于第三层因素指标层的第t个因素的总的权重向量w³ _t,h和指标层中第t个因素的评价向量B_t为：

w³ _t,h＝w² _t*w³ _h，

B_t＝W³ _t,h ^T*D_h，

其中，T是转置，D_h∈R是对应于指标层中第t个因素的灰色模糊评价矩阵的子矩阵，w² _t是第二层指标层中第t个因素的权重，w³ _h是对应于指标层中第t个因素的第三层的h个因素的权重向量；

2f)根据评价集的数值化向量C和评价向量B_t，得到指标层第t个因素的评价值Q_t为：

Q_t＝C*B_t ^T；

2g)依次执行步骤2e)到2f)计算出指标层中各个因素的评价向量Q：

Q＝(Q₁,...,Q_t)；

其中，t是指标层中因素的个数。

(3)根据指标层中各个因素的评价值，修正车辆的加速度a和驾驶员的反应时间tr：

a＝a×(Q₁×...×Q_l)/8.5，

tr＝tr×(Q₁×...×Q_r/8.5，

其中，Q_l∈Q是影响加速度的因素的评价结果，l是影响加速度的因素的个数，Q_r∈Q是影响驾驶员反映时间的因素的评价结果，r是影响驾驶员反映时间的因素的个数；

(4)根据修正的加速度和反应时间，结合运动学公式中，计算车辆行驶的相对安全距离S和绝对安全距离S_m；

(5)利用车辆传感器检测到的车距L、相对安全距离S和绝对安全距离S_m划分三级预警级别：

5a)第一级报警，当检测到的车距L大于绝对安全距离S_m时，车辆正常行驶；

5b)第二级报警，当检测到的车距L小于绝对安全距离S_m而大于相对安全距离S，发出预警，提醒驾驶员采取措施，停止加速或减速控制车距L；

5c)第三级报警，当检测到的车距L小于相对安全距离S时，发出预警，提醒驾驶员采取措施减速，如果驾驶员没有采取措施，则汽车自动制动。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

1)本发明从人的因素、车的因素、道路因素和环境因素四个方面，组成影响车辆安全距离的层次分析结构，根据层次分析结构计算得到的权重，提高了车辆距离的安全性；

2)本发明采用AHP-灰度模糊综合评价的方法，从定性和定量两个方面对人、车、路和环境进行评价，并根据评价结果对车辆的加速度和驾驶员的反应时间进行修正，提高了车辆安全距离的准确性。

附图说明

图1是本发明的总流程图；

图2是本发明中使用的层次分析法AHP和灰色模糊子流程图；

图3是本发明中计算安全距离的原理图；

图4是本发明中多级预警子流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案进行详细说明。

参照图1，本发明的具体实现步骤如下：

步骤1，构建影响车辆安全距离因素的层次分析结构，根据层次分析法，计算各层因素的权重向量Wⁿ,n＝1,2,3。

参照附图2，本步骤的具体实现如下：

1a)本发明将影响车辆安全距离的层次分析结构分为三层，第一层是决策层，第二层是指标层，第三层是因素层，其中第二层指标层有t个因素，这t个因素相对应的因素层有h个因素，如表1所示：

表1 本发明的层次分析结构

1b)将指标层和因素层中的因素分别进行两两比较，用各层因素比较的结果构成指标层的判断矩阵A和因素层的判断矩阵B_i,i∈t，判断矩阵A和B_i中两两因素比较结果的赋值标准，如表2所示：

表2 判断矩阵A和B_i的赋值标准

赋值	标准
		1	同等重要
2	介于同等重要与略微重要之间
		3	略微重要
4	介于略微重要与明显重要之间
		5	明显重要
6	介于明显重要与十分明显重要之间
		7	十分明显重要
8	介于明显重要与十分明显重要之间
		9	绝对重要

根据表2中判断矩阵A和B_i的赋值标准，本发明的指标层判断矩阵A和因素层的判断矩阵B_i为：

A = [\begin{matrix} 1 & 5 & 7 & 3 \\ 1 / 5 & 1 & 2 & 1 / 3 \\ 1 / 7 & 1 / 2 & 1 & 1 / 2 \\ 1 / 3 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}] B_{1} = [\begin{matrix} 1 & 6 & 9 & 2 \\ 1 / 6 & 1 & 3 & 1 / 3 \\ 1 / 9 & 1 / 3 & 1 & 1 / 6 \\ 1 / 2 & 3 & 6 & 1 \end{matrix}],

B_{2} = [\begin{matrix} 1 & 3 & 6 \\ 1 / 3 & 1 & 2 \\ 1 / 6 & 1 / 2 & 1 \end{matrix}] B_{3} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 / 2 & 1 & 3 \\ 1 / 3 & 1 / 3 & 1 \end{matrix}] B_{4} = [\begin{matrix} 1 & 1 / 2 & 3 \\ 2 & 1 & 6 \\ 1 / 3 & 1 / 6 & 1 \end{matrix}];

1c)根据指标层和因素层的判断矩阵，计算指标层和因素层的权重向量Wⁿ，

X×Wⁿ＝α×Wⁿ，

其中，X是判断矩阵，X∈{A,B_i}，α是对应于判断矩阵X的最大特征值；

根据上面的公式结合本发明实例的判断矩阵A和B_i，得到的指标层和因素层的权重W²和W³，如表3所示：

表3 指标层和因素层的权重

1d)根据最大特征值α，对判断矩阵A和B_i进行一致性检测，计算一致性比率CR：

CR = \frac{CI}{RI} = \frac{(α - n) / (n - 1)}{RI},

其中，CI是一致性指标，RI是平均一致性指标，RI的值与判断矩阵的维数n有关，可根据表4查出来；

若一致性比率CR<0.10，则层次单排序结果具有一致性，反之，则重新调整判断矩阵。

表4 平均随机一致性指标RI

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
										RI	0.00	0.00	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45

根据指标层和因素层的判断矩阵A和B_i，计算A和B_i的一致性指标，结果如表5所示：

表5 判断矩阵A和B_i的一致性指标

判断矩阵	最大特征值α	一致性指标CR
			A	α＝4.1085	CR<0.1
B₁	α＝4.0458	CR<0.1
			B₂	α＝3	CR<0.1
B₃	α＝3.0536	CR<0.1
			B₄	α＝3	CR<0.1

从表5可知，本发明中的判断矩阵均具有一致性。

步骤2,根据权重向量，利用灰色模糊方法对影响车辆安全距离的因素进行综合评价。

参照图2，本步骤的具体实现步骤如下：

2a)建立评价级V，本发明中设置评价等级V＝“优、良、中、差”＝(V1，V2，V3，V4)四个等级，将评价等级数值化为向量C＝(10，8.5，6，3)；

2b)根据评价等级V的数值化向量C，k位专家对因素层中的因素进行打分，用打分结果构成打分矩阵Y：

其中，k>3,y_kj是第k个专家对指标集中第j个因素的打分值；

2c)根据评价等级V的数值化向量C和打分矩阵Y构造如下白化权函数：

f_{1} (y_{kj}) = \{\begin{matrix} y_{kj} / 9.5 & y_{kj} &Element; [0,9.5] \\ 1 & y_{kj} &Element; (9, + \infty) \\ 0 & y_{kj} &Element; (- \infty, 0) \end{matrix} f_{2} (y_{kj}) = \{\begin{matrix} y_{kj} / 8.5 & y_{kj} &Element; [0,8.5] \\ 2 - y_{kj} / 8.5 & y_{kj} &Element; (8.5, 17] \\ 0 & y_{kj} &NotElement; [0,17] \end{matrix},

f_{3} (y_{kj}) = \{\begin{matrix} y_{kj} / 6 & y_{kj} &Element; [0,6] \\ 2 - y_{kj} / 6 & y_{kj} &Element; (6,12] \\ 0 & y_{kj} &NotElement; [0,12] \end{matrix} f_{4} (y_{kj}) = \{\begin{matrix} 1 & y_{kj} &Element; [0,3] \\ (6 - y_{kj}) / (6 - 3) & y_{kj} &Element; (3,6] \\ 0 & y_{kj} &NotElement; [0,6] \end{matrix};

其中，f₁(y_kj)是评价等级v₁的白化权函数，f₂(y_kj)是评价等级v₂的白化权函数，f₃(y_kj)是评价等级v₃的白化权函数，f₄(y_kj)是评价等级v₄的白化权函数。

2d)根据评价等级v_i的白化权函数f_i(y_kj)，计算第j个因素的灰色统计数m_ij和总灰色统计数m_j：

m_{j} = Σ_{i = v_{1}}^{v_{4}} m_{ij}

m_{ij} = Σ_{k = 1}^{k} f_{i} (y_{kj}),

其中，m_ij表示指标集第j个因素属于第i个评价等级的灰色统计数，m_j表示第j个因素的总灰色统计数；

2e)根据第j个因素的灰色统计数m_j，计算第j个因素属于第i个评价等级的灰色权值r_ji：

r_ji＝m_ij/m_j，

2f)重复执行步骤2d)到2e),得到灰色模糊评价矩阵R为：

其中，i∈v是评价等级，m是因素层的因素个数，j∈m是因素层的第j个因素，r_ji是第j个因素属于评价等级i的灰色权值；

2g)根据层次分析法得到的各层的权重向量，计算因素层中h个因素的总权重向量w³ _t,h和指标层第t个因素的评价向量B_t为：

w³ _t,h＝w² _t*w³ _h，

B_t＝W³ _t,h ^T*D_h，

其中，T是转置，D_h∈R是指标层中第t个因素的灰色模糊评价矩阵R的子矩阵，w² _t是指标层中第t个因素的权重，w³ _h∈w³是指标层第t个因素对应于因素层的h个因素的权重子向量；

2h)根据数值化向量C和评价向量B_t，计算指标层第t个因素的评价值Q_t：

Q_t＝C*B_t ^T；

步骤3：重复执行步骤2f)到2g)计算指标集中各个因素的评价向量Q：

Q＝(Q₁,...,Q_t,…)；

其中，t是指标层中因素的个数。

步骤4：根据指标层中各个因素的评价值，修正车辆的加速度a和驾驶员的反应时间tr：

a＝a×(Q₁×...×Q_l)/8.5，

tr＝tr×(Q₁×...×Q_r)/8.5，

其中，Q_l∈Q是影响加速度的因素的评价结果，l是影响加速度的因素的个数，Q_r∈Q是影响驾驶员反映时间的因素的评价结果，r是影响驾驶员反映时间的因素的个数。

步骤5：根据修正的加速度和反应时间，结合运动学公式，计算车辆行驶的相对安全距离S和绝对安全距离S_m。

参照附图3，本步骤对车辆行驶的相对安全距离S和绝对安全距离S_m的具体计算，可分为如下四种情况：

5a)设两车同向行驶，根据车辆运动学公式，计算两车的绝对安全距离S_m：

S_m＝V_b×(tr+t₂/2)+V_b ²/(2×a_b)，

其中，V_b是后车的速度，t₂是制动协作时间，a_b是后车修正后的加速度；

5b)设两车同向行驶，前车匀速且前车速度小于后车速度时，计算两车的相对安全距离S为：

S = \{\begin{matrix} Vb \times tr + {&Integral;}_{tr}^{te} Vb (t) dt = Vb \times te - \frac{1}{6} \times \frac{a_{b}}{t_{2}} \times {(te - tr)}^{3} - Va \times te, te &Element; (tr, tr + t_{2}) \\ Vb \times (tr + t_{2}) - \frac{1}{6} \times t_{2} + {&Integral;}_{tr + t_{2}}^{te} (Vb - \frac{1}{2} \times t_{2} \times a_{b} - a_{b} \times (te - tr - t_{2})) dt, te > tr + t_{2} \end{matrix}

其中，Va是前车的速度，te是两车速度相等的时间；

5c)设两车同向行驶，前车加速且前车速度小于后车速度时，计算两车的相对安全距离S为：

S = \{\begin{matrix} Vb \times (tr + \frac{1}{2} \times t_{2}) + \frac{{Vb}^{2}}{2 \times a_{b}} + Vb \times te - \frac{{Vb}^{2}}{2 \times a} - \frac{{Va}^{2} - {Vb}^{2}}{2 \times a} \\ Vb \times (tr + \frac{1}{2} \times t_{2}) + \frac{{Vb}^{2}}{2 \times a_{b}} - \frac{{Va}^{2}}{2 \times a} \end{matrix}

其中，a是前车的加速度；

5d)设两车同向行驶，前车减速且前车速度大于后车速度时，计算两车的相对安全距离S为：

S = \{\begin{matrix} Vb \times te - Va \times te - \frac{1}{2} \times a \times {te}^{2}, te &Element; (0, tr), \\ Vb \times tr + {&Integral;}_{tr}^{te} (Vb - \frac{1}{2} \times a_{b} \times (t - tr)) dt - (Va \times te + \frac{1}{2} \times a \times {te}^{2}), te (tr, tr + t_{2}), \\ Vb \times (tr + t_{2}) - \frac{1}{6} \times a_{b} \times {t_{2}}^{2} + {&Integral;}_{t_{1} + t_{2}}^{te} (Vb - \frac{1}{2} \times a_{b} \times t_{2} - a_{b} \times (t - tr - t_{2})) dt - Va \times te - \frac{1}{2} \times a \times {te}^{2}, te > tr + t_{2}, \end{matrix}

步骤6：利用车辆传感器检测到的车距L、相对安全距离S和绝对安全距离S_m，划分三级预警级别。

参照附图4，本步骤的具体划分如下：

第一级报警，当检测到的车距L大于绝对安全距离S_m时，车辆正常行驶；

第二级报警，当检测到的车距L小于绝对安全距离S_m而大于相对安全距离S，发出预警，提醒驾驶员采取措施，停止加速或减速控制车距L；

第三级报警，当检测到的车距L小于相对安全距离S时，发出预警，提醒驾驶员采取措施减速，如果驾驶员没有采取措施，则汽车自动制动。

Claims

1.一种基于层次分析法和灰色模糊的车辆碰撞预警方法，包括以下步骤：

2a)建立影响车辆安全距离因素的评价集V＝(V₁,V₂,V₃,V₄)，并将评价集数值化为向量C；

V＝(V₁,V₂,V₃,V₄)＝C＝(10,8.5,6,3)；

2b)根据数值化向量C，k位专家对因素层中的因素进行打分，构成打分矩阵Y；

2c)构造白化权函数，并利用灰色统计法计算第j个因素属于评价灰类i的灰色统计数m_ij和总灰色统计数m_j，得到第j个因素属于评价灰类i的灰色权值r_ji为：

r_{j, i} = m_{i, j} / m_{j} = m_{ij} / Σ_{i = v_{1}}^{v_{4}} m_{ij}

2d)依次执行2c)计算因素层中的各个因素的灰色权值，由r_j,i构成的单因素矩阵灰度模糊评价矩阵R；

w³ _t,h＝w² _t*w³ _h，

{B_{t} {= W}^{3}}_{t, h}^{T} * D_{h},

Q_t＝C*B_t ^T；

Q＝(Q₁,...,Q_t)；

其中，t是指标层中因素的个数。

a＝a×(Q₁×...×Q_l)/8.5，

tr＝tr×(Q₁×...×Q_r/8.5，

5b)第二级报警，当检测到的车距L小于绝对安全距离S_m而大于相对安全距离S发出预警，提醒驾驶员采取措施，停止加速或减速控制车距L；

2.根据权利要求书1所述的方法，其中步骤(1)所述的根据层次分析法，计算各层因素的权重向量Wⁿ，按如下步骤进行：

1a)设影响车辆安全距离因素的结构为三层，第一层是决策层，第二层是指标层，第三层是因素层，且指标层有t个因素，第二层指标层中第t个因素相对应的因素层有h个因素；

1b)将指标层和因素层中的因素分别进行两两比较，用各层因素比较的结果构成指标层的判断矩阵A和因素层的判断矩阵B_i,i∈t；

A = [\begin{matrix} 1 & a_{li} & . . . & a_{1 t} \\ a_{i 1} & 1 & . . . & a_{2 t} \\ . & . & . \\ . & . & 1 & . \\ . & . & . \\ a_{t 1} & a_{ti} & . . . & 1 \end{matrix}], B_{i} = [\begin{matrix} 1 & b_{1, j} & . . . & b_{1, h} \\ b_{j, 1} & 1 & . . . & b_{2, h} \\ . & . & . \\ . & . & 1 & . \\ . & . & . \\ b_{h, 1} & b_{h, j} & . . . & 1 \end{matrix}],

其中，a_ti表示指标层中第t个因素与第i个因素对决策层的相对重要性，且满足b_hj表示因素层中第h个因素与第j个元素的相对重要性，且满足

1c)根据指标层和因素层的判断矩阵，计算指标层和因素层的权重向量Wⁿ：

X×Wⁿ＝α×Wⁿ；

1d)根据最大特征值α，进行一致性检测，计算一致性比率CR：

CR = \frac{CI}{RI} = \frac{(α - k) / (k - 1)}{RI};

其中，CI是一致性指标，RI是平均一致性指标，k是判断矩阵的维数，若一致性比率CR<0.10，则层次单排序结果具有一致性，反之，则应重新调整判断矩阵。

3.根据权利要求书1所述的方法，其中步骤(4)所述的车辆行驶的绝对安全距离S_m和相对安全距离S，按如下四种情况进行计算：

4a)设两车同向行驶，根据车辆运动学公式，两车的绝对安全距离S_m为：

S_m＝V_b×(tr+t₂/2)+V_b ²/(2×a_b)；

其中，V_b是后面车辆的速度，t₂是车辆的制动协作时间，a_b是后面车辆修正后的加速度。

4b)设两车同向行驶，前车匀速且前车速度小于后车速度时，两车的相对安全距离S为：

S = \{\begin{matrix} Vb \times tr + {&Integral;}_{tr}^{te} Vb (t) dt = Vb \times te - \frac{1}{6} \times \frac{a_{b}}{t_{2}} \times {(te - tr)}^{3} - Va \times te, te &Element; (tr, tr + t_{2}) \\ Vb \times (tr + t_{2}) - \frac{1}{6} \times a_{b} \times t_{2} + {&Integral;}_{tr + t_{2}}^{te} (Vb - \frac{1}{2} \times t_{2} \times a_{b} - a_{b} \times (te - tr - t_{2})) dt, te > tr + t_{2} \end{matrix}

其中，Va是前车的速度，te是两车速度相等的时间；

4c)设两车同向行驶，前车加速且前车速度小于后车速度时，两车的相对安全距离S为：

S = \{\begin{matrix} Vb \times (tr + \frac{1}{2} \times t_{2}) + \frac{{Vb}^{2}}{2 \times a_{b}} + Vb \times te - \frac{{Vb}^{2}}{2 \times a} - \frac{{Va}^{2} - {Vb}^{2}}{2 \times a} \\ Vb \times (tr + \frac{1}{2} \times t_{2}) + \frac{{Vb}^{2}}{2 \times a_{b}} - \frac{{Va}^{2}}{2 \times a} \end{matrix}

其中，a是前车的加速度。

4d)设两车同向行驶，前车减速且前车速度大于后车速度时，两车的相对安全距离S为：

S = \{\begin{matrix} Vb \times te - Va \times te - \frac{1}{2} \times a \times {te}^{2}, te &Element; (0, tr), \\ Vb \times tr + {&Integral;}_{tr}^{te} (Vb - \frac{1}{2} \times a_{b} \times (t - tr)) dt - (Va \times te + \frac{1}{2} \times a \times {te}^{2}), te &Element; (tr, tr + t_{2}), \\ Vb \times (tr + t_{2}) - \frac{1}{6} \times a_{b} \times {t_{2}}^{2} + {&Integral;}_{t_{1} + t_{2}}^{te} (Vb - \frac{1}{2} {\times a}_{b} \times t_{2} - a_{b} \times (t - tr - t_{2})) dt - Va \times te - \frac{1}{2} \times a \times {te}^{2}, te > tr + t_{2} \end{matrix} .