CN104296897B - 基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法，在星箭连接环不同位置设置多组测点组，每组由三个(0°，45°，90°)的应变花(或应变测试光纤)分别测量三个测点的应变，可以直接利用材料力学相关公式计算，也可以由事先在地面试验中标定出的载荷‑应变关系利用结构的线弹性特性预示星箭连接环受到的实际界面载荷。卫星发射阶段中每一步计算和每一个测量值都会由微处理器准确、实时地处理和记录。本发明避免了直接测力方案中因在星箭之间串联力传感器造成的对整体刚度和强度的削弱，同时采用应变测量还减轻了测量装置的重量。通过仿真试验此方法的有效性也得到验证。

Description

基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法

技术领域

本发明涉及计算星箭六自由度界面力的方法，具体涉及一种直接利用材料力学相关公式计算出、或者由事先在地面试验中标定出的载荷-应变关系并根据结构的线弹性特性预示星箭连接环受到的实际界面载荷的方法，具体涉及基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法。

背景技术

为了保证航天器及其各分系统和部组件能够经受住发射段和动力飞行段的恶劣动力学环境，必须对其进行充分的动力学环境试验。在传统的加速度控制振动试验中，试验夹具的机械阻抗与真实飞行构型中安装结构存在很大的差异，仅采用加速度条件作为控制条件可能导致严重的“过试验”问题。

20世纪90年代初，NASA的JPL实验室最早将力限试验技术应用于航天器振动试验中。力限振动试验在传统振动试验加速度控制的基础上，通过限制试验夹具与试验件之间的界面力，使振动试验中界面处的响应更接近真实的动力学环境，从而能够很好地缓解振动“过试验”问题。国内在力限控制技术研究和应用方面尚处于研究探索阶段，航天器设计部门和试验部门已认识到发展力限控制技术的重要性和迫切性。

力限振动试验需要通过发射段实测获得星箭界面力谱作为振动试验的输入，另外振动试验过程中也需要测量振动台输入到卫星中的界面力并由伺服反馈调整振动台的工作电流。在运载火箭与卫星之间串入压电式力传感器作为测力装置虽然很直接，但其一般为点式连接，会改变原有筒式连续结构从而导致强度和刚度的削弱，引起结构承载的巨大风险。

发明内容

针对现有技术中的缺陷，为避免在试验夹具与试验件之间串联力传感器，本发明提出了一种通过测量星箭连接环应变，计算星箭六自由度界面力的方法。

根据本发明提供的一种基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法，包括步骤：

在星箭连接环不同位置设置多组测点组，每组由三个(0°，45°，90°)的应变花或应变测试光纤分别测量三个测点的应变，直接利用材料力学相关公式计算出或者由事先在地面试验中标定出的载荷-应变关系利用结构的线弹性特性预示星箭连接环受到的实际界面载荷。

优选地，通过测量星箭界面环不同位置的应变间接地计算星箭界面力。

优选地，每个测点用应变花或应变测试光纤测量三个方向的应变以得到该点的纵向应变、环向应变和剪应变。

优选地，直接利用材料力学相关公式计算出或者在地面试验中事先进行应变片的标定，并根据结构的线弹性特性对发射阶段星箭连接环实时界面载荷进行预示。

优选地，所有应变花或应变测试光纤都接入微处理器进行高速、实时的运算和数据存储。

优选地，包括如下步骤：

对于直接利用材料力学相关公式推算六自由度星箭界面力，具体如下：

将星箭连接环考虑为圆薄壁环，采用梁弯曲时的平面截面假设，对星箭连接环进行受力分析；

假定薄壁环受到的载荷为F＝[Q_x Q_y N_z M_x M_y T_z]^T，其中：Q_x和Q_y分别为x方向、y方向剪力，N_z为轴力，M_x和M_y分别为x方向、y方向弯矩，T_z为扭矩，则，薄壁环受到的正应力σ为

$\mathrm{\σ}=\frac{M_x}{I_x}y-\frac{M_y}{I_y}x+\frac{N_z}{A}=\frac{M_x}{\mathrm{\π}{R}^{2}t}\sin \mathrm{\θ}-\frac{M_y}{\mathrm{\π}{R}^{2}t}\cos \mathrm{\θ}+\frac{N_z}{2\mathrm{\πRt}}---\left(1\right)$

式中，I_x和I_y分别为x方向、y方向的截面惯性矩，x,y为测点所处位置的横、纵坐标值，A为截面面积，R为截面半径，t为截面厚度，θ为测点在圆周上的角度位置；

薄壁环受到的剪应力τ为

$\mathrm{\τ}=-\frac{Q_x}{\mathrm{\πRt}}\sin \mathrm{\θ}+\frac{Q_y}{\mathrm{\πRt}}\cos \mathrm{\θ}+\frac{T_z}{2\mathrm{\π}{R}^{2}t}---\left(2\right)$

式中，前两项 为横向力引起的剪应力，第三项为扭矩引起的剪应力；

因此，只需取薄壁环圆周的三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)，其中θ₁，θ₂，θ₃分别为测点12、3在圆周上的角度位置，有：

BF＝σ (3)

式中，F为载荷，应力 $\mathrm{\σ}={\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_1}& {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_2}& {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_3}& {\mathrm{\τ}}_{{\mathrm{\θ}}_1}& {\mathrm{\τ}}_{{\mathrm{\θ}}_2}& {\mathrm{\τ}}_{{\mathrm{\θ}}_3}\end{array}\right]}^T,$ 分别为测点1、2、3的所处位置的正应力，分别为测点1、2、3的所处位置的剪应力；

则矩阵B为：

由式(3)可知，由薄壁环圆周三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)的应力能够计算得到载荷F，而应力根据材料本构关系由应变得到。

优选地，同时测量测点的纵向应变、环向应变和剪应变。

则有：

其中，ε_z为测点纵向应变，ε_90°为应变花90°敏感栅应变，ε_θ为测点环向应变，ε_0°为应变花0°敏感栅应变，γ_θz为测点剪应变，ε_45°为应变花45°敏感栅应变；

对于各向同性弹性材料，基于平面应力假设，有：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\σ}=E/\left(({\mathrm{\ϵ}}_z+{\mathrm{v\ϵ}}_{\mathrm{\θ}})(1-v^2)\right)\\ \mathrm{\τ}=2{\mathrm{\μ\ϵ}}_{\mathrm{\θz}}={\mathrm{\μ\γ}}_{\mathrm{\θz}}\end{array}\right.----\left(6\right)$

其中，σ为测点正应变，τ为测点剪应变，E为弹性模量和ν为泊松比，λ和μ为拉梅常数，可用弹性模量E和泊松比ν表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\λ}=\frac{\mathrm{Ev}}{(1+v)(1-2v)}\\ \mathrm{\μ}=\frac{E}{2(1+v)}\end{array}\right.---\left(7\right)$

取薄壁环圆周三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)，则有：

σ＝K₁K₂ε (8)

式中，应变下标θ₁、θ₂、θ₃表示应变片在薄壁环圆周的位置，上标0°、45°、90°表示每个应变片中不同敏感栅的角度；

则矩阵K₁为：

$K_1=\left[\begin{array}{ccccccccc}E/(1-v^2)& \mathrm{Ev}/(1-v^2)& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& E/(1-v^2)& \mathrm{Ev}/(1-v^2)& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& E/(1-v^2)& \mathrm{Ev}/(1-v^2)& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{\μ}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{\μ}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{\μ}\end{array}\right]---\left(9\right)$

矩阵K₂为：

$K_2=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -1& -1& 0& 0& 0& 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& -1& -1& 0& 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1& -1& 0& 0& 2\end{array}\right]---\left(10\right)$

由式(3)和(8)，得到：

F＝B^-1K₁K₂ε (11)

因此，在薄壁环圆周三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)布置应变片，能够由式(11)计算得到载荷F。

与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：

1、根据本发明提供的测量星箭界面力的方法，可以大大减轻测量装置的重量，同时也避免了对星箭连接环原有结构的影响。

2、根据本发明提供的测量星箭界面力的方法，在测量过程中可以选择在地面试验中事先进行应变片的标定，根据结构的线弹性特性，可以提高测量的快速性和准确性。

3、本发明避免了直接测力方案中因在星箭之间串联力传感器造成的对整体刚度和强度的削弱，同时应变测量还减轻了测量装置的重量。通过仿真试验此方法的有效性也得到验证。

附图说明

通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：

图1、图2为将星箭连接环考虑为薄壁圆环的示意图；

图3为方案中使用的应变片示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施例对本发明进行详细说明。以下实施例将有助于本领域的技术人员进一步理解本发明，但不以任何形式限制本发明。应当指出的是，对本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进。这些都属于本发明的保护范围。

本发明通过测量星箭连接环应变计算星箭六自由度界面力的方法，在星箭连接环不同位置设置多组测点组，每组由三个(0°，45°，90°)的应变花(或应变测试光纤)分别测量三个测点的应变，可以直接利用材料力学相关公式推算出或者由事先在地面试验中标定出的载荷-应变关系根据结构的线弹性特性预示星箭连接环受到的实际界面载荷。卫星发射阶段中每一步计算和每一个测量值都会由微处理器准确、实时地处理和记录。本发明避免了直接测力方案中因在星箭之间串联力传感器造成的对整体刚度和强度的削弱，同时应变测量还减轻了测量装置的重量。通过仿真试验此方法的有效性也得到了验证。

通过测量星箭连接环不同位置的应变间接地计算星箭六自由度界面力。避免了直接测力方案中因在星箭之间串联力传感器造成的对整体刚度和强度的削弱。

每个测点用应变花(或应变测试光纤)测量三个方向的应变，相对于力传感器减轻了测量装置的重量。

可以选择在地面试验中事先进行应变片的标定，并根据结构的线弹性特性对发射阶段星箭连接环实时载荷进行计算。这样可以在一定程度上避免建模和数据计算对测量结果造成的误差，提高测量速度和精度。

所有应变花(或应变测试光纤)都接入微处理器进行高速、实时的运算和数据存储。可以满足对星箭连接环所受载荷实时的测量和记录。

对于直接利用材料力学相关公式计算六自由度星箭界面力，更为具体的描述如下：

将星箭连接环考虑为圆薄壁环，采用梁弯曲时的平面截面假设，对星箭连接环进行受力分析；

假定薄壁环受到的载荷为F＝[Q_x Q_y N_z M_x M_y T_z]^T，其中：Q_x和Q_y分别为x方向、y方向剪力，N_z为轴力，M_x和M_y分别为x方向、y方向弯矩，T_z为扭矩，则，薄壁环受到的正应力σ为

$\mathrm{\σ}=\frac{M_x}{I_x}y-\frac{M_y}{I_y}x+\frac{N_z}{A}=\frac{M_x}{\mathrm{\π}{R}^{2}t}\sin \mathrm{\θ}-\frac{M_y}{\mathrm{\π}{R}^{2}t}\cos \mathrm{\θ}+\frac{N_z}{2\mathrm{\πRt}}---\left(1\right)$

式中，I_x和I_y分别为x方向、y方向的截面惯性矩，x,y为测点所处位置的横、纵坐标值，A为截面面积，R为截面半径，t为截面厚度，θ为测点在圆周上的角度位置；

薄壁环受到的剪应力τ为

式中，前两项 为横向力引起的剪应力，第三项为扭矩引起的剪应力；

因此，只需取薄壁环圆周上的一组测点位置(θ₁，θ₂，θ₃)，其中θ₁，θ₂，θ₃分别为测点1、2、3在圆周上的角度位置，有：

BF＝σ (3)

式中，F为载荷，应力 $\mathrm{\σ}={\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_1}& {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_2}& {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_3}& {\mathrm{\τ}}_{{\mathrm{\θ}}_1}& {\mathrm{\τ}}_{{\mathrm{\θ}}_2}& {\mathrm{\τ}}_{{\mathrm{\θ}}_3}\end{array}\right]}^T,$ 分别为测点1、2、3的所处位置的正应力，分别为测点1、2、3的所处位置的剪应力；

则矩阵B为：

由式(3)可知，由薄壁环圆周三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)的应力能够计算得到界面载荷F，而应力可根据材料本构关系由应变得到。

因此从理论上，只要能够测量得到薄壁环三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)的应变，就可以得到载荷F。

薄壁环上每个位置应变片方位设计如图3所示。

则有：

其中，ε_z为测点纵向应变，ε_90°为应变花90°敏感栅应变，ε_θ为测点环向应变，ε_0°为应变花0°敏感栅应变，γ_θz为测点剪应变，ε_45°为应变花45°敏感栅应变；

对于各向同性弹性材料，基于平面应力假设，有：

其中，σ为测点正应变，τ为测点剪应变，E为弹性模量和ν为泊松比，λ和μ为拉梅常数，可用弹性模量E和泊松比ν表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\λ}=\frac{\mathrm{Ev}}{(1+v)(1-2v)}\\ \mathrm{\μ}=\frac{E}{2(1+v)}\end{array}\right.---\left(7\right)$

取薄壁环圆周三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)，则有：

σ＝K₁K₂ε (8)

式中，应变下标θ₁、θ₂、θ₃表示应变片在薄壁环圆周的位置，上标0°、45°、90°表示每个应变片中不同敏感栅的角度；

则矩阵K₁为：

矩阵K₂为：

由式(3)和(8)，得到：

F＝B^-1K₁K₂ε (11)

因此，在薄壁环圆周三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)布置应变片，能够由式(11)计算得到载荷F。

以上对本发明的具体实施例进行了描述。需要理解的是，本发明并不局限于上述特定实施方式，本领域技术人员可以在权利要求的范围内做出各种变形或修改，这并不影响本发明的实质内容。

Claims (6)

1.一种基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法，其特征在于，包括步骤：

在星箭连接环不同位置设置多组测点组，每组由三个0°，45°，90°的应变花或应变测试光纤分别测量三个测点的应变，直接利用材料力学相关公式计算或者由事先在地面试验中标定出的载荷-应变关系根据结构的线弹性特性预示星箭连接环受到的实际界面载荷；

还包括如下步骤：

对于直接利用材料力学相关公式推算六自由度星箭界面力，具体过程如下：

将星箭连接环考虑为圆薄壁环，采用梁弯曲时的平面截面假设，对星箭连接环进行受力分析；

假定薄壁环受到的载荷为F＝[Q_x Q_y N_z M_x M_y T_z]^T，其中：Q_x和Q_y分别为x方向、y方向剪力，N_z为轴力，M_x和M_y分别为x方向、y方向弯矩，T_z为扭矩，则，薄壁环受到的正应力σ为

$\mathrm{\σ}=\frac{M_x}{I_x}y-\frac{M_y}{I_y}x+\frac{N_z}{A}=\frac{M_x}{{\mathrm{\πR}}^{2}t}sin\mathrm{\θ}-\frac{M_y}{{\mathrm{\πR}}^{2}t}cos\mathrm{\θ}+\frac{N_z}{2\mathrm{\π}Rt}---\left(1\right)$

式中，I_x和I_y分别为x方向、y方向的截面惯性矩，x,y为测点所处位置的横、纵坐标值，A为截面面积，R为截面半径，t为截面厚度，θ为测点在圆周上的角度位置；

薄壁环受到的剪应力τ为

$\mathrm{\τ}=-\frac{Q_x}{\mathrm{\π}Rt}sin\mathrm{\θ}+\frac{Q_y}{\mathrm{\π}Rt}cos\mathrm{\θ}+\frac{T_z}{2{\mathrm{\πR}}^{2}t}---\left(2\right)$

式中，前两项为横向力引起的剪应力，第三项为扭矩引起的剪应力；

因此，只需取薄壁环圆周上的一组测点位置θ₁，θ₂，θ₃，其中θ₁，θ₂，θ₃分别为测点1、2、3在圆周上的角度位置，有：

BF＝σ (3)

式中，F为载荷，应力 $\mathrm{\σ}={\left[\begin{array}{cccccc}{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_1}& {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_2}& {\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_3}& {\mathrm{\τ}}_{{\mathrm{\θ}}_1}& {\mathrm{\τ}}_{{\mathrm{\θ}}_2}& {\mathrm{\τ}}_{{\mathrm{\θ}}_3}\end{array}\right]}^T,$ 分别为测点1、2、3的所处位置的正应力，分别为测点1、2、3的所处位置的剪应力；

则矩阵B为：

$B=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& \frac{1}{2\mathrm{\π}Rt}& \frac{{\mathrm{sin\θ}}_1}{{\mathrm{\πR}}^{2}t}& -\frac{{\mathrm{cos\θ}}_1}{{\mathrm{\πR}}^{2}t}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2\mathrm{\π}Rt}& \frac{{\mathrm{sin\θ}}_2}{{\mathrm{\πR}}^{2}t}& -\frac{{\mathrm{cos\θ}}_2}{{\mathrm{\πR}}^{2}t}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2\mathrm{\π}Rt}& \frac{{\mathrm{sin\θ}}_3}{{\mathrm{\πR}}^{2}t}& -\frac{{\mathrm{cos\θ}}_3}{{\mathrm{\πR}}^{2}t}& 0\\ -\frac{{\mathrm{sin\θ}}_1}{\mathrm{\π}Rt}& \frac{{\mathrm{cos\θ}}_1}{\mathrm{\π}Rt}& 0& 0& 0& \frac{1}{2{\mathrm{\πR}}^{2}t}\\ -\frac{{\mathrm{sin\θ}}_2}{\mathrm{\π}Rt}& \frac{{\mathrm{cos\θ}}_2}{\mathrm{\π}Rt}& 0& 0& 0& \frac{1}{2{\mathrm{\πR}}^{2}t}\\ -\frac{{\mathrm{sin\θ}}_3}{\mathrm{\π}Rt}& \frac{{\mathrm{cos\θ}}_3}{\mathrm{\π}Rt}& 0& 0& 0& \frac{1}{2{\mathrm{\πR}}^{2}t}\end{array}\right]---\left(4\right)$

由式(3)可知，由薄壁环圆周三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)的应力能够计算得到界面载荷F，而应力根据材料本构关系由应变得到。

2.根据权利要求1所述的基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法，其特征在于，通过测量星箭连接环不同位置的应变间接地计算星箭界面力。

3.根据权利要求1所述的基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法，其特征在于，每个测点用应变花或应变测试光纤测量三个方向的应变以得到该点的纵向应变、环向应变和剪应变。

4.根据权利要求1所述的基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法，其特征在于，直接利用材料力学相关公式计算出或者在地面试验中事先进行应变片的标定，并利用结构的线弹性特性对发射阶段星箭连接环实时界面载荷进行预示。

5.根据权利要求1所述的基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法，其特征在于，所有应变花或应变测试光纤都接入微处理器进行高速、实时的运算和数据存储。

6.根据权利要求1所述的基于星箭连接环应变测量的星箭六自由度界面力计算方法，其特征在于，同时测量测点的纵向应变、环向应变和剪应变；

则有：

其中，ε_z为测点纵向应变，ε_90°为应变花90°敏感栅应变，ε_θ为测点环向应变，ε_0°为应变花0°敏感栅应变，γ_θz为测点剪应变，ε_45°为应变花45°敏感栅应变；

对于各向同性弹性材料，基于平面应力假设，有：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\σ}=E/\left(\right({\mathrm{\ϵ}}_z+{\mathrm{\ν\ϵ}}_{\mathrm{\θ}}\left)\right(1-{\mathrm{\ν}}^2\left)\right)\\ \mathrm{\τ}=2{\mathrm{\μ\ϵ}}_{\mathrm{\θ}z}={\mathrm{\μ\γ}}_{\mathrm{\θ}z}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，σ为测点正应变，τ为测点剪应变，E为弹性模量和ν为泊松比，λ和μ为拉梅常数，可用弹性模量E和泊松比ν表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\λ}=\frac{E\mathrm{\ν}}{(1+\mathrm{\ν})(1-2\mathrm{\ν})}\\ \mathrm{\μ}=\frac{E}{2(1+\mathrm{\ν})}\end{array}\right.---\left(7\right)$

取薄壁环圆周三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)，则有：

σ＝K₁K₂ε (8)

式中，应变下标θ₁、θ₂、θ₃表示应变片在薄壁环圆周的位置，上标0^°、45^°、90^°表示每个应变片中不同敏感栅的角度；

则矩阵K₁为：

$K_1=\left[\begin{array}{ccccccccc}E/(1-{\mathrm{\ν}}^2)& E\mathrm{\ν}/(1-{\mathrm{\ν}}^2)& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& E/(1-{\mathrm{\ν}}^2)& E\mathrm{\ν}/(1-{\mathrm{\ν}}^2)& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& E/(1-{\mathrm{\ν}}^2)& E\mathrm{\ν}/(1-{\mathrm{\ν}}^2)& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{\μ}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{\μ}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{\μ}\end{array}\right]---\left(9\right)$

矩阵K₂为：

$K_2=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -1& -1& 0& 0& 0& 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& -1& -1& 0& 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& -1& -1& 0& 0& 2\end{array}\right]---\left(10\right)$

由式(3)和(8)，得到：

F＝B^-1K₁K₂ε (11)

因此，在薄壁环圆周三个位置(θ₁，θ₂，θ₃)布置应变片，能够由式(11)计算得到载荷F。