CN104268327B - 一种获得矩形空气薄膜振动声辐射阻抗的方法 - Google Patents
一种获得矩形空气薄膜振动声辐射阻抗的方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种获得矩形空气薄膜振动声辐射阻抗的方法，其特征是首先定义矩形空气薄膜的坐标系，建立半空间矩形薄膜振动声辐射阻抗计算表达式，通过利用积分变换将四重积分降为二重积分，通过极坐标变换消除奇异积分，最后将复杂的声辐射阻抗表达式转变为不含奇异积分的二重积分，通过编程在数学软件里即可实现计算，无需手工推导每一步的计算表达式，也无需使用相对复杂的高斯求积方法，大大降低了计算的复杂程度，并为形如半空间矩形薄膜振动声辐射阻抗计算表达式且积分区间为矩形的其它积分计算，如矩形薄板的振动声辐射阻抗计算，提供了算法上的参考。
Description
技术领域
本发明涉及声学领域中一种用于计算矩形空气薄膜振动声辐射阻抗的方法，尤其涉及一种能够计算半空间、需要考虑矩形空气薄膜振动高阶模态的、包含四重积分的、含有奇异积分的矩形空气薄膜振动声辐射阻抗的计算方法。
背景技术
声辐射阻抗计算，主要根据振动单元的类型、几何形状、辐射环境来决定声辐射计算方法。
现有技术中，在空气薄膜振动声辐射阻抗计算以及处理这种类型的积分时，学者们均用到了变量代换方法，比如：已有学者在采用变量代换之后，将四重积分根据m、n、p、q的不同取值进行讨论，并最终将四重积分转换为多项式的求和，在处理奇异性问题时，采用一个假设值来代替。也有学者在进行变量代换后采用高斯求积方法，并提出采用合理选取积分点来避开奇异点。也有学者在采用变量代换的基础上，讨论了m、n、p、q的取值，并根据这些取值，将阻抗的积分分为多个二重积分之和，并采用不同的方法将二重积分转换为一重积分，计算速度较快，但是积分转换过程均需要通过手工转换，较为繁琐。
这些方法在处理相应类型阻抗计算时都很有效果。但具体使用较为复杂，有的需要讨论模态取值、有的需要手工转换甚至有的需要利用高斯求积方法。由于这些方法分别存在有技术难点，使其难以简单、快速地得到应用。
发明内容
本发明为了避免上述现有技术所存在的不足，提供一种有效、快速且简单的获得矩形空气薄膜振动声辐射阻抗的方法，以降低计算过程的复杂程度和手工计算的时间。
本发明为解决技术问题采用如下技术方案：
本发明获得矩形空气薄膜振动声辐射阻抗的方法，所述矩形空气薄膜是指将空间分为两个半空间的平面上的宽度为2a、长度为2b、面积为S的呈矩形的空气薄膜，其特征是所述方法按如下步骤进行：
步骤a、定义坐标系
以所述空气薄膜的几何中心为坐标原点，y轴平行于空气薄膜的长度方向，x轴平行于空气薄膜的宽度方向，z轴垂直于空气薄膜所在平面，以自坐标原点朝向半空间的声波辐射方向为z轴正向，所述x轴、y轴和z轴的正方向满足右手定则；
步骤b、建立空气薄膜振动的声辐射阻抗表达式
按式(1)计算空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq：
式(1)中j为虚数单位，kf、Zf分别为形成空气薄膜的空气的特征波数和特征阻抗，m为x方向的模态序数，n表示y方向的模态序数，dS(M)为空气薄膜的(m,n)阶模态的积分微元，dS(M0)为空气薄膜的(p,q)阶模态的积分微元，以空气薄膜的面积S为积分区域，φmn(x,y)为空气薄膜的(m,n)阶模态的振型，φpq(x0,y0)为空气薄膜的(p,q)阶模态的振型，p为x0方向的模态序数，q表示y0方向的模态序数，(x,y)和(x0,y0)分别为积分区域内的任意一点，(x,y)和(x0,y0)的取值相等或不相等，并有：
G(x,y,x0,y0)为二维格林函数，并有：
k0为半空间中声传播介质的特征波数
则有：空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq的表达式如式(5)所示：
所述式(5)为奇异积分
步骤c、通过积分变换将式(5)降为二重积分并消除奇异积分
令：
式中，κ、、τ、γ为变量代换后的积分变量，各积分变量的积分区间如式(10)，由式(6)得：
由式(8)获得对变量x和x0进行坐标变换的雅可比Jx：
由式(9)获得为对变量y和y0进行坐标变换的雅可比Jy：
将式(6)、(7)、(8)、(9)代入式(5)则有：
式(10)中，
对式(10)进行极坐标变换，令
式中，ρ为极坐标中的极径，其积分范围由式(10)的积分变量κ、τ决定，并且可知ρ>0，θ为极坐标中的极角，其积分范围由式(10)的积分变量κ、τ决定，并且可知θ>0；此时，式(10)降为二重积分，并且消除式中二维格林函数项的奇异性，再利用数值方法对式(10)进行积分，获得矩形空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq。
与已有技术相比，本发明有益效果体现在：
1、本发明采用变量代换和极坐标变换的方法，将复杂的四重积分降为较为简单二重积分并消除奇异积分，使得在其后的积分计算过程中无需考虑奇异积分，并且无需使用相对复杂的高斯求积方法，通过编程将这些过程在数学软件中进行计算，可以大大降低计算过程的复杂程度和手工计算时间。
2、本发明中空气薄膜振动声辐射阻抗的计算方法可以广泛应用与空气薄膜振动声辐射阻抗表达式结构相似且积分区间也为矩形对称区间的其它场合中。
3、利用本发明方法获得矩形空气薄膜振动声辐射阻抗，进而可进一步获得矩形开口声传递率及声传递损失。
附图说明
图1为本发明所述半空间壁面上空气薄膜示意图；
图2为本发明实施例中，长宽比为1的矩形空气薄膜振动声辐射阻抗计算验证结果；
具体实施方式
参见图1，本实施例中矩形空气薄膜振动声辐射阻抗计算方法，矩形空气薄膜是指将空间分为两个半空间的平面上的宽度为2a、长度为2b、面积为S的呈矩形的空气薄膜，其特征是方法按如下步骤进行：
步骤a、定义坐标系
以空气薄膜的几何中心为坐标原点，y轴平行于空气薄膜的长度方向，x轴平行于空气薄膜的宽度方向，z轴垂直于空气薄膜所在平面，以自坐标原点朝向半空间的声波辐射方向为z轴正向，x轴、y轴和z轴的正方向满足右手定则，如图1所示；
步骤b、建立空气薄膜振动的声辐射阻抗表达式
按式(1)计算空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq：
式(1)中j为虚数单位，kf、Zf分别为形成空气薄膜的空气的特征波数和特征阻抗，m为x方向的模态序数，n表示y方向的模态序数，dS(M)为空气薄膜的(m,n)阶模态的积分微元，dS(M0)为空气薄膜的(p,q)阶模态的积分微元，以空气薄膜的面积S为积分区域，φmn(x,y)为空气薄膜的(m,n)阶模态的振型，φpq(x0,y0)为空气薄膜的(p,q)阶模态的振型，p为x0方向的模态序数，q表示y0方向的模态序数，(x,y)和(x0,y0)分别为积分区域内的任意一点，(x,y)和(x0,y0)的取值相等或不相等，均处在积分区域中，并有：
G(x,y,x0,y0)为二维格林函数，并有：
k0为半空间中声传播介质的特征波数
则有：空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq的表达式如式(5)所示：
式(5)为一个四重积分，积分区间为(-a,a),(-b,b)，(-a,a),(-b,b)，积分函数包含四个余弦项，且二维格林函数中包含较为复杂的根号项，在x＝x0且y＝y0处，分母为零，致使积分函数趋于无穷大，直接积分是无法积出来的，这时该积分为奇异积分。
步骤c、通过积分变换将式(5)降为二重积分并消除奇异积分
令：
式中，κ、、τ、γ为变量代换后的积分变量，各积分变量的积分区间如式(10)，由式(6)得：
由式(8)获得对变量x和x0进行坐标变换的雅可比Jx：
由式(9)获得为对变量y和y0进行坐标变换的雅可比Jy：
将式(6)、(7)、(8)、(9)代入式(5)则有：
式(10)中，
式(11)、(12)、(13)和(14)中，可以分别对积分变量、γ进行积分，将式(11)、(12)、(13)和(14)中的四重积分降为积分变量为κ、τ的二重积分，而式(10)中的二维格林函数项经过积分变换也仅包含积分变量κ、τ，从而将式(10)由四重积分降低为积分变量为的二重积分。这时，式(10)虽然由四重积分降为二重积分，但二维格林函数项在x＝x0且y＝y0处，即κ＝0且τ＝0处依然趋于无穷大，式(25)依然为奇异积分。为消除奇异积分，再对式(10)进行极坐标变换，令：
式中，ρ为极坐标中的极径，其积分范围由式(10)的积分变量κ、τ决定，并且可知ρ>0，θ为极坐标中的极角，其积分范围由式(10)的积分变量κ、τ决定，并且可知θ>0；此时，式(10)降为二重积分，并且消除式中二维格林函数项的奇异性，再利用数值方法对式(10)进行积分，获得矩形空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq，利用矩形空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq，可按如下过程进一步获得矩形开口声传递率及声传递损失。
当m＝p，n＝q时，Zmnpq＝Zmnmn，将Zmnmn代入式(16)，获得标称阻抗Zs。
由式(17)获得入射角为平行声波入射的矩形开口第(m,n)阶模态的声传递率
式(17)中，为矩形开口内的声传递矩阵，A、B、C、D代表矩阵中的元素，对于空气来说，kz,mn为开口内部z方向的波数，kf、Zf分别为矩形开口内部介质的特征波数和特征阻抗，ρ0为空气密度，c为空气中的声速，l为开口深度，F′mn、均为中间变量，Re表示实部，||表示取模。
利用声传递率叠加可求得入射角为的平行声波入射的矩形开口的声传递率如式(18)所示：
对入射角极限θlim(0°≤θlim≤90°)内各平行入射声波声传递率进行积分，可得到散射声场入射条件下的矩形开口的声传递率τd如式(19)所示：
式(19)中θi为入射声波与z轴正向的夹角，0°≤θi≤θlim，为入射声波与x轴正向的夹角，
将τd替代式(20)中的τ即可得到散射声场入射条件下的矩形开口的声传递损失TL：
TL＝-10log10(τ) (20)
本实施例中矩形空气薄膜为将空间分为两个半空间的壁面上的空气薄膜，空气薄膜振动向一侧半空间辐射声波。在通过积分变换将四重积分降为二重积分、极坐标变换及后续的积分计算中无需进行复杂的手工推导，也无需使用相对复杂的高斯求积方法，通过编程可以直接调用数学软件(如Matlab)中的数值计算指令进行计算。
方法的检验
为了验证本实施例中矩形空气薄膜振动声辐射阻抗计算方法，对壁面上2a＝2b＝1米的矩形薄膜在无限大半空间辐射阻抗计算结果与文献中的结果进行对比。
图2所示，本发明方法计算的结果与文献《Formulas of acoustics》中的结果几乎相等，阻抗中包含实部和虚部，实部指的是辐射阻，虚部表示辐射抗，图2中Re表示实部，Im表示虚部，带piston标记的表示文献中的结果，未标的是本发明计算结果，从图2中可以看出，实部结果二者相同，虚部结果二者也相等。
本施例表明，本发明方法能够很好地预测半空间矩形空气薄膜的声辐射阻抗。
Claims (1)
1.一种获得矩形空气薄膜振动声辐射阻抗的方法，所述矩形空气薄膜是指将空间分为两个半空间的平面上的宽度为2a、长度为2b、面积为S的呈矩形的空气薄膜，其特征是所述方法按如下步骤进行：
步骤a、定义坐标系
以所述空气薄膜的几何中心为坐标原点，y轴平行于空气薄膜的长度方向，x轴平行于空气薄膜的宽度方向，z轴垂直于空气薄膜所在平面，以自坐标原点朝向半空间的声波辐射方向为z轴正向，所述x轴、y轴和z轴的正方向满足右手定则；
步骤b、建立空气薄膜振动的声辐射阻抗表达式
按式(1)计算空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq：
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式(1)中j为虚数单位，kf、Zf分别为形成空气薄膜的空气的特征波数和特征阻抗，m为x方向的模态序数，n表示y方向的模态序数，dS(M)为空气薄膜的(m,n)阶模态的积分微元，dS(M0)为空气薄膜的(p,q)阶模态的积分微元，以空气薄膜的面积S为积分区域，φmn(x,y)为空气薄膜的(m,n)阶模态的振型，φpq(x0,y0)为空气薄膜的(p,q)阶模态的振型，p为x0方向的模态序数，q表示y0方向的模态序数，(x,y)和(x0,y0)分别为积分区域内的任意一点，(x,y)和(x0,y0)的取值相等或不相等，并有：
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G(x,y,x0,y0)为二维格林函数，并有：
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k0为半空间中声传播介质的特征波数
则有：空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq的表达式如式(5)所示：
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<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
所述式(5)为奇异积分
步骤c、通过积分变换将式(5)降为二重积分并消除奇异积分
令：
式中，κ、、τ、γ为变量代换后的积分变量，各积分变量的积分区间如式(10)，由式(6)得：
由式(8)获得对变量x和x0进行坐标变换的雅可比Jx：
由式(9)获得为对变量y和y0进行坐标变换的雅可比Jy：
<mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfenced open='|' close='|'>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&PartialD;</mo>
<mi>y</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&PartialD;</mo>
<mi>&tau;</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&PartialD;</mo>
<mi>y</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>&PartialD;</mo>
<mi>&gamma;</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mfrac>
<msub>
<mrow>
<mo>&PartialD;</mo>
<mi>y</mi>
</mrow>
<mn>0</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>&PartialD;</mo>
<mi>&tau;</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<msub>
<mrow>
<mo>&PartialD;</mo>
<mi>y</mi>
</mrow>
<mn>0</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>&PartialD;</mo>
<mi>&gamma;</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>=</mo>
<mfenced open='|' close='|'>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mtd>
<mtd>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
将式(6)、(7)、(8)、(9)代入式(5)则有：
式(10)中，
对式(10)进行极坐标变换，令
式中，ρ为极坐标中的极径，其积分范围由式(10)的积分变量κ、τ决定，并且可知ρ＞0，θ为极坐标中的极角，其积分范围由式(10)的积分变量κ、τ决定，并且可知θ＞0；此时，式(10)降为二重积分，并且消除式中二维格林函数项的奇异性，再利用数值方法对式(10)进行积分，获得矩形空气薄膜振动的声辐射阻抗Zmnpq。
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