CN104252582A - 一种具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法,通过将活钉螺存活率生长曲线进行拟合、修正,找出拟合度最好的生长曲线函数模型;将生长曲线函数模型中的生长曲线用来表示病毒在人体内的生长情况并对该生长曲线函数模型用时间求导,得到单位时间内病毒的生长变化情况;把生长变化情况当做传染病病毒的发生率系数,对发生率系数进行修正后得到传染病发生率系数;将传染病发生率系数与传染病的病毒传播过程结合,建立具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型。本发明对有效控制传染病传播、扩散具有较强的指导意义。
Description
技术领域
本发明属于传染病模型构建技术领域,尤其涉及一种具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法。
背景技术
每个病人对易感者S的有效接触率为传染率。在t时刻,单位时间内被所有病人传染的人数(即新增病人数)为疾病的发生率。假定接触率与系统内人口总数成正比,即U=kN,t时刻有效接触率为βN=β0kN,式中β=β0k是有效接触率在总人口N中的比例,即称为传染率系数。当有效接触率为βN时,发生率为βSI,即在时刻t产生的新病人数为βSI,它表示易感者S与患者I之间接触所产生的新病人数。这种发生率叫双线性发生率(bilinear),也称简单质量作用律(simple mass action law)。
当人口数量较大时,接触率与人口成比例显然是不切实际的,因为一个病人在单位时间内能接触的人是有限的。此时一般假设接触率为一个常数k,则有效接触率为β=β0k,而疾病的发生率就为βSI/N,此种发生率称为标准发生率。
有研究者指出,对人类和一些群居动物来说,标准发生率比双线性发生率更科学。所以很多模型都是在标准发生率基础上加以修正。有人研究了几种非线性发生率的霍乱病毒传播的动力学模型。从此,很多学者都在此基础上研究了不同的非线性形式的发生率,如更接近实际的饱和发生率。也有研究者使用以下形式的发生率:βSpIq或者然而,这些发生率并不能真正反映出传染病传播的具体过程,因为发生率由多种因素决定,其随时间是会发生变化的。
发明内容
本发明的目的在于提供一种具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法,旨在解决现有模型预测发生率并不能真正反映出传染病传播的具体过程的问题。
本发明是这样实现的,一种具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法,包括以下步骤:
S1、把一批活钉螺在同样的条件下埋入土中,每两个月取出一部分,检查存活率,然后用生长曲线进行拟合,并根据所得结果对生长曲线进行修正,根 据实验结果找出拟合度最好的生长曲线函数模型;
S2、将所述生长曲线函数模型中的生长曲线用来表示病毒在人体内的生长情况并对该生长曲线函数模型用时间求导,得到单位时间内病毒的生长变化情况;
S3、把所述生长变化情况当做传染病病毒的发生率系数,对所述发生率系数进行修正后得到传染病发生率系数;
S4、将所述传染病发生率系数与传染病的病毒传播过程结合,建立具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型。
优选地,在步骤S1中,所述拟合度最好的生长曲线函数模型用函数定义为:式中,k为生物所处环境的容纳量,a为潜在因素影响因子,b为修正因子,t为单位时间。
优选地,在步骤S2中,所述单位时间内病毒的生长变化情况用函数定义为:
优选地,在步骤S3中,所述传染病发生率系数用函数定义为:
式中,函数ω(t)是在函数g(t)上加入修正因子k1得到,其表示病毒的复制能力与传染病的传染能力的比例关系,k1、k是常数。
优选地,在步骤S4中,将所述传染病发生率系数与传染病的病毒传播过程结合包括以下具体步骤:
(1)假设系统中总人口数为N,新生儿出生率的比例为Z,其成功接种疫苗率为Bν,进入易感者S人群中的人数为ZN(1-Bν),另一部分免疫人群ZNBν则进入部分免疫类群W中;
(2)在单位时间t内,易感者S与病患者I有效接触所产生的新感染者数为S(t)I(t)ω(t),他们自动进入潜伏期;其中,ω(t)为所述传染病发生率系数;
(3)潜伏期人员经过一段时间后从潜伏期进入病患者群内的比例为ε,康复率(从患病人群到康复人群的比例)为α;
(4)一定比例ξ的康复者进入部分免疫人群W中,一段时间后,部分免疫比例dγ的人进入潜伏期E中,另一部分d(1-γ)则成为康复者,d指有效接触率,γ为接触次数,部分免疫群W中一部分则进入易感人群中,设比例为β。
相比于现有技术的缺点和不足,本发明具有以下有益效果:
(1)本发明首次利用拟合的生物生长曲线指数函数来表示病毒的生长衍化过程,比传统的把病毒的生长过程处理成常数更科学、合理,更符合传染病的生物传播过程。
(2)本发明对变系数的动力学非线性方程组进行局部稳定性分析,表明当控制免疫接种率在一定范围时,传染病不会扩散而成为地方病。通过全局指数 稳定性分析,得到使模型稳定的判定条件。
(3)用真实数据进行拟合,与传统理论模型相比较,本发明所建立的模型的理论数据和真实数据之间具有良好的相关性,而传统理论模型用真实数据仿真却显示为模型不收敛。据此,该传染病模型对有效控制传染病传播、扩散具有较强的指导意义。
附图说明
图1是本发明实施例中带有疫苗接种和病毒生长特性的SEIRW模型流程图;
图2是本发明实施例中当定理2满足时系统(8)的时间-人数图;
图3是本发明实施例中当定理3满足时系统的时间-人数图;
图4是本发明实施例中当参数a不同时w(t)随时间变化图;
图5是本发明实施例中不同a值时感染者E(t)的轨线图;
图6是本发明实施例中当a=0.045,Z=3*10-3时,根据系统(28)所描述的各变量随时间变化图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白,以下结合附图及实施例,对本发明进行进一步详细说明。应当理解,此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明,并不用于限定本发明。
实施例1模型的构建
本发明提供了一种具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法,包括以下步骤:
S1、把一批活钉螺在同样的条件下埋入土中,每两个月取出一部分,检查存活率,然后用生长曲线进行拟合,并根据所得结果对生长曲线进行修正,根据实验结果找出拟合度最好的生长曲线函数模型
在步骤S1中,生长曲线法是用于描述和预测生物、微生物的生长发育以及某些经济特性和技术的一种很重要的方法。它的特点是初期生长较缓慢,随着一些条件发生改变,在某一时间段内增长速度逐步增大,当到达某一界限值后,生长速度又逐步缓慢,到最后停止增长,趋于平稳。生长曲线的这些特点决定了其在生命科学领域中的广泛应用。徐雷等(徐雷,夏结来等.S型曲线的一种新的拟合方法--拟分布函数法[J].数理医药学杂志,2001,14(6):484-486.)通过研究钉螺的生长情况对生长曲线进行了拟合。本申请把一批活钉螺在同样的条件下埋入土中,每两个月取出一部分,检查存活率,然后用生长曲线进行拟合,并根据所得结果对生长曲线进行修正。生长曲线函数主要有三类:
Pearl模型:
Ridenour模型:
Gompertz模型:y=kabt (3)
实验结果表明,式(1)具有更好的拟合度,其形式相对简单,便于计算处理。此生长曲线较好的反映了钉螺的生长情况。此外,它也可以用来表示植物叶、根内的细胞生长情况以及细菌在生物体内、培养基内的生长函数。生长曲线函数作为评价生物的生长情况得到了较好的应用。
S2、将所述生长曲线函数模型中的生长曲线用来表示病毒在人体内的生长情况并对该生长曲线函数模型用时间求导,得到单位时间内病毒的生长变化情况
在步骤S2中,利用上述式(1)中的生长曲线来表示病毒在人体内的生长情况,它表示为时间和病毒数量关系式。将式(1)对时间求导,得到如下函数:
式(4)中,a,b,k为参数,均为常数,g(t)表示单位时间内病毒的生长变化情况。式(1)中,参数k表示生物所处环境的容纳量,a为生物种群的内禀增长率,在模型中表示受潜在因素影响的相对水平,定义为潜在因素影响因子,而b表示修正因子。通常,病毒在体内的生长情况与其对他人的感染能力息息相关,就流感病毒而言,当病人所携带的病毒数越多,其呼吸或咳嗽等产生的病毒浓度就高,那么感染他人的能力就越强。因此,在本发明中,把式(4)作为传染病病毒的发生率系数。它是关于时间的函数,随着时间的变化而发生变化。它与前面提到的标准发生率、双线性发生率、饱和发生率不同,更能科学表示传染病病毒随时间的传染能力。因为标准发生率和双线性发生率系数β通常设为常数,也即表示在传染病的发展始末,传染能力都相同,这显然是不合理的。
S3、把所述生长变化情况当做传染病病毒的发生率系数,对所述发生率系数进行修正后得到传染病发生率系数
在步骤S3中,利用式(4)作为发生率系数,由于其随时间发生变化,因此它可以表示病毒的衍化过程,如果加以修正,也可以表示病毒在生态环境发生变化时的感染能力,在一定程度上解决了目前传染病动力学模型所面临的无法反映病毒衍化情况的困境。因此,本发明将采用如下函数ω(t)来表示传染病发生率系数:
式(5)中,函数ω(t)是在函数g(t)上加入修正因子k1得到,其表示病毒的复制能力与传染病的传染能力的比例关系。式(5)中k1k是常数,因此我们把 它合并成k来表示。所以,本发明实施例中,用如下函数来表示传染病的发生率系数:
S4、将所述传染病发生率系数与传染病的病毒传播过程结合,建立具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型
在步骤S4中,除了引入所提出的含有时间变量的发生率系数函数,在本发明所建模型还考虑对易感者接种疫苗。根据传染病的病毒传播过程,我们建立了如下模型,模型的流程图如图1所示。
从图1中可以看出,按照流行病学观点,根据一些主要传染病如A型流感、SARS、AIDS、HBV等的特点,在任意时刻t,把人群分为5部分,分别是:易感者S(t),他们可能会被病毒感染,并且对该传染病没有免疫性;潜伏者E(t),指的是那些已经被感染,但是尚未表现出临床特征,即没有发病的人群;病患者I(t),指已经被该病毒感染,并已经表现出临床特性,而且能够感染易感者的人群;康复者R(t),是指那些从病患状态康复出来,随着时间流失对病毒只有部分免疫性的人群。因此,假设康复者进入下一个人群即部分免疫人群W(t)中。康复者在从病患状态康复过程中,随着时间变化、病毒生态环境的变化以及病毒自身的演变,又可能被病毒感染,因此只有部分免疫性,例如流感、SARS、百日咳等。环境是宿主赖以生存的条件之一,也是宿主外的病原体生存的重要条件,它将影响病毒传播的有效性。传染病的环境因素可导致二次传染病大面积爆发,因此,在本发明的模型中还需考虑环境因素。
图1中,假设系统中总人口数为N,总人口以比例Z的新生儿出生率进入易感人群中,所有人群中的自然死亡率为μ,设μ不等于生成率。η为由于传染病导致的死亡率。ω(t)为疾病的发生率系数,即为时变系数。因此在单位时间内,由于易感者S与病患者I有效接触所产生的新感染者数为S(t)I(t)ω(t),他们自动进入潜伏期,通常I(t)ω(t)表示传染病的传染能力。单位时间内从潜伏期进入病患者群内的比例为ε,康复率(从患病人群到康复人群的比例)为α。
本模型中,还要考虑一个重要的因素就是对易感者进行疫苗接种。对易感者进行免疫接种,是政府采取的控制传染病扩散或爆发的有利工具之一。如HBV(乙型肝炎)、百日咳等,对易感者或新生儿注射疫苗进行接种,目前在很多国家已经取得很大的成效。为了获得对传染病的免疫性而不是自然感染,疫苗能够给免疫系统提供外界抗体,而且,获得性抗体能够快速对疾病的自然感染免疫,以此达到抵抗剧烈传染的目的。在本发明中,假定疫苗用于新生儿中,由于新生儿的免疫系统不完善,注射疫苗后新生儿较难产生抗体。因此,一般采取短期内连续多剂注射法,可使疾病阻断率达到90%以上。本发明模型假定给新生儿的成功接种疫苗率为Bν,他们对该传染病完全免疫,因此,进入易感者人群中的人数为ZN(1-Bν),另一部分免疫人群ZNBν则进入免疫类群中。
尽管康复者最初因感染疾病获得一定的免疫性,但是随着时间和环境的变 化以及病毒的变异和演化,宿主对该传染病的免疫性逐渐减弱。因此,假定一定比例ξ的康复者进入部分免疫人群W中。一段时间后,部分免疫比例dγ的人进入潜伏期E中,另一部分d(1-γ)则成为康复者,d指有效接触率,γ为接触次数。部分免疫群W中一部分则进入易感人群中,设比例为β。
根据图1建立如下的SEIRW五元非线性方程组:
式(7)中,a,b,k>0发生率系数,f=zN(1-Bv),j=zNBv。不难看出,发生率系数w(t)是连续的,并且一致有界的,w(t)∈[0,ka/4],当t=lnb/a时达到最大值ka/4。
实施例2模型稳定性分析
在本实施例中,通过分析平衡点的稳定性来讨论系统变量的趋势,具体包括以下步骤:
1、SEIRW模型的简化
令x(t)=[S(t),E(t),I(t),R(t),W(t)]T,表示一个转置矩阵,为模型的五维欧氏空间。由于我们定义范数假设有一个正数r,我们定义上述实施例1中式(7)也可以写成如下形式:
式中,
B=[-1,1,0,0,0]T,a1=m,a2=m+e,a3=m+h+a,a4=m+x,a5=d+m+b,C=[f,0,0,0,j]T,F(x(t))=S(t)I(t)。
令G(t,x)=Bw(t)F(x(t))+C。由于G(t,0)10,显然式(8)可以看成是对线性自治系统的非零时变扰动。系统的初始条件为:
式(9)的解是一个函数:x:[0,ギ)有一个局部受限的导数,并对所有t违[0,)的值均满足式(7)和(9)。假定解是存在的,下面的假设也是成立的:H1:存在一个实数r>0,使||F(u)-F(v)||£r||u-v||,对于所有的都有F(0)=0,而且除此之外,方程G(t,x)可以看成是一个连续的映射:[0,ゴ)Wr 为了分析系统(8)的稳定性,我们需要证明如下引理成立。
引理1:对扰动函数G(t,x)满足如下条件:
||G(t,x)||£d||x||, (10);
式(10)中,d是一个非负常数,即
证明:根据(8),我们可以得到:
||G(t,x)||2=||BwSI+C||2
=[BwSI+C]T[BwSI+C]
=2(wSI)2-2f(wSI)+f2+j2
=(wSI)2+(f-wSI)2+j2
由于只有部分易感者受病毒感染而进入潜伏期人群中,下列条件是成立的,mN(1-Bv)3wSI,即f-wSI30,不难得到:(wSI)2+(f-wSI)2£(wSI+f-wSI)2=f2。而且,由于S表示易感人群,即S31,那么可以得到||x||31,因此有||G(t,x)||2£f2+j2£(f2+j2)||x||2。显然,存在一个非负常数满足||G(t,x)||£d||x||。证明完毕。
2、SEIRW模型的稳定性分析
首先,先研究系统(7)的线性部分:
的稳定性。我们可以得到如下定理:
定理1:对于m>0,e>0,h>0,a>0,x>0和b>0,线性式(11)是渐进稳定的。
证明:知道如果特征方程式(12)中所有的根均有负实部,则式(11)是 渐进稳定的;否则如有一个根有正实部则系统不稳定。式(11)的特征方程如下:
它也可以写成如下多项式形式:
(λ+a1)(λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4)=0, (12)
式中:b1=a2+a3+a4+a5,b2=(a2+a3)(a4+a5)+a2a3+a4a5-xd(1-g),
b3=a4a5(a2+a3)+a2a3(a4+a5)-xd(1-g)(a2+a3),
b4=a2a3a4a5-a2a3xd(1-g)-ed ga x。
为了研究式(11)的平衡点稳定性,需要研究式(12)中根的分布。对于式(12)中左侧的第一部分,我们有l=-a1<0,很明显,式(11)的平衡点是渐进稳定的。因此,仅仅需要考虑如下特征方程:λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4=0。
由于a4a5=(m+x)(d+m+b)=m(d+m+b)+xd+x(m+b)>xd>xd(1-g),显然,b1>0,b2>0,b3>0。而且,可以更进一步得到b4>0,这是因为:
a2a3a4a5=a2a3m(d+m+b)+a2a3x(m+b)+a2a3xd
=a2a3m(d+m+b)+a2a3x(m+b)+a2a3xd(1-g)+a2a3xd g (13);
=a2a3m(d+m+b)+a2a3x(m+b)+a2a3xd(1-g)+g xd(m+e)(m+h+a)
>a2a3xd(1-g)-ea xd g
根据Routh-Hurwitz规则,只要满足如下条件,特征方程式(12)中的所有根都有负实部:
V1=b1b2-b3>0 (14);
和
下面将证明(14)和(15)成立。
根据方程(12)我们有:
b1b2-b3=(a2+a3+a4+a5)[(a2+a3)(a4+a5)+a2a3+a4a5-xd(1-g)]
-[a4a5(a2+a3)+a2a3(a4+a5)-xd(1-g)(a2+a3)]
=(a2+a3+a4+a5)(a2+a3)(a4+a5)+a2a3(a2+a3)
+(a4a5-d x+d xg)(a4+a5)
由于a4a5-d x+d xg=m(d+m+b)+x(d g+m+b)>0,可以得到:b1b2-b3>0。因此,第一个条件(14)是成立的。
由于:
很明显条件式(15)也是成立的,即V2>0。证明完毕。
注释1:从定理1中可以得出:γ的大小不影响系统(11)的平衡性。也就是说,系统的平衡性与部分免疫到潜伏者人群中的比例无关。
下面,将研究带非零时变扰动项的式(8)的稳定性。
定义1假如一个连续函数f:[0,a)[0,)是严格递增的,并且f(0)=0,那么f属于k-class函数。如果当时,a=+¥和那么f属于κ∞-class函数。
定义2对于一个连续函数j:[0,a)触[0,)[0,),假设对于每个确定的s,函数j(r,s)是一个关于γ的k-class函数;对每个确定的γ,当时,函数j(r,s)是一个关于s的递减方程并且那么j属于K-class方程。
定义3假如存在与t0>0无关的正常数b和c,对于每个和独立于t0的T30满足:||x(t0)||^a||x(t)||b,t t0 T。
那么系统的解是一致最终有界的,而且最终的界是b。
引理2[定理4.18,[102]]假设是包括原点的定义域,对于"t30和 是一个连续可微函数满足:
式中,a1和a2是k-class函数,J(x)是连续的正定函数。令r>0使并假设那么对每个初始状态x(t0)满足存在一个与x(t0)和u无关的K-class函数j和T30,使得式(8)的解满足:
||x(t)||j(||x(t0)||,t t0),"t0#t t0+T, (16),
通过使用以上的定义和引理,可以得到如下定理:
定理2式(8)是渐进稳定的,如果存在一个对称正定矩阵P,满足
ATP+PA=-I和f2+j2<1/(2lmax(P))2, (18);
式(18)中,I是一个单位矩阵,和分别表示最大和最小的特征值。
证明:选取如下Lyapunov函数:
V(t,x)=xTPx (19)
那么下面的关系成立:
lmin(P)||x||2#V(x)lmax(P)||x||2(20)
这就表明此Lyapunov函数是有界的。
不难看出,系统(19)是关于t和x的函数,沿系统(8)的轨线对Lyapunov函数求导,得到
方程(21)中右端的前两个表达式是沿着系统(8)的线性部分的轨迹对Lyapunov函数求导的结果,第三个表达式是扰动的结果。
沿系统(8)的线性部分对(19)求导,可得:
对比(21)右端的前两个表达式,很容易得到:
从定理1可知,矩阵A一个Hurwitz矩阵,线性系统(11)是渐进稳定的,因此,ATP+PA是正定的。不失一般性,令ATP+PA=-Q,式中Q是一个对称正定矩阵。我们可以得到:
而且,也可以得到如下关系式:
通过引理1和关系(22)与(23),可以得到:
因此,如果d<lmin(Q)/(2 lmax(P)),则即系统(8)是渐进稳定的。
显然,d的界取决于对Q的选择。因此,如何选择Q使lmin(Q)/lmax(P)达到最大是一个挑战。文献[103]已经证明了当Q=I,即ATP+PA=-I,则该结论成立。
从引理1,我们有如果f2+j2<1/(2 lmax(P))2,则系统(2.3)是渐进稳定的。完成证明。
注释2从定理2可知,如果满足条件:f2+j2<1/(2 lmax(P))2,那么系统(8)是渐进平衡的。这个条件暗示了由于f=zN(1-Bv),j=zNBv,而Bv是通过免疫接种率,只要使Bv控制到一定数值,系统的平衡点将处于稳定状态。从生物学意义上说,只要控制对新生儿接种率都高于一定数值,则该传染病就不会扩展开来,从而成为地方病。
新生儿由于免疫系统的不完善性,注射疫苗后,不一定会产生抗体,因此,一般采取在一定时间段内配合多剂注射的方式,使新生儿产生抗体,是控制传染病爆发或扩散的有力措施之一。
在上文证明引理1和定理2时,利用了:
||G(t,x)||2£f2+j2£(f2+j2)||x||2.
右边的不等式可能导致||G(t,x)||的更大的界,从而导致定理2.2的稳定判据的保守性。为避免这个问题,我们用不等式来得出下面的结论。
定理3假设存在一对称正定矩阵P和T30,对所有t30,0<q<1和 x蜽而且条件成立,那么对所有||x(t0)||£rk,系统(8)是渐进稳定的,其解是最终一致有界,而且满足:
式中 b表示系统(8)的解的最终边界。
证明:类似于定理2的证明,选择一个Lyapunov函数
V(t,x)=xTPx,
并且令ATP+PA=-I,式中I表示单位矩阵。沿着系统(8)的轨迹,可得出Lyapunov函数的导数为:
那么对于任何||x||32slmax(P)/q,有:
根据引理2,可以得到:
a1(||x||)=lmin(P)||x||2,a2(||x||)=lmax(P)||x||2,J(x)=(1-q)||x||2和u=2slmax(P)/q.
根据引理2和a1和a2逆函数,可以得到:
不失一般性,可以选择 显然它是K-class函数。
根据即2slmax(P)/q<rk,我们可以得到证明完毕。
注释3与定理2相比,定理3的稳定性条件更加宽松,也即说,推迟传染病爆发或控制成为地方病的条件更容易满足。更重要的是,定理3提供了系统解的非常有价值的边界条件。在后面的数值拟合中我们将利用这些条件找出使传染病延缓或消亡等的具体情况,这些条件中很重要的一点就是控制对新生儿的接种率以及控制从易感者到潜伏者的发生率。
2、带时滞的SEIRW模型
对由易感者与感染者有效接触而产生的新病人采取治疗等措施,可以使发病延迟,即引起时滞。因此,通过在S和I中分别引入时变时滞t(t),研究时变时滞t(t)>0对模型平衡点的影响。引入时滞后,系统(7)可以转换为:
用紧凑矩阵的形式可以将上述方程组表示为:
式中H(x(t-t(t)))=BS(t-t(t))I(t-t(t)).其它的参数与系统(8)相同。
本节中,将引入下列假设:
i)函数t(t)是定义在R+上、非负的、有界的并且是连续可微分的,满足 式中为方程τ(t)对时间t的导数。
ii)存在两个对角矩阵L=diag{l1,...,l5}和F=diag{f1,...,f5},对任何x,y∈R和x≠y,下列不等式成立
令τ=sup{τ(t):t∈R+},我们用C5[-τ,0]来定义范数为||φ||=max-τ≤s≤0|φ(s)|的5维连续函数φ(s)=[φ1(s),...,φ5(s)]T:[-τ,0]→R5的Banach空间。本节中,假定系统(28) 的所有解都满足如下初始条件:
xi(q)=fi(q)对所有的
式中φ=[φ1,...,φ5]T:C5[-τ,0]。众所周知,根据泛函微分方程的基本理论,系统(28)有唯一解x(t)=[x1(t),...,x5(t)]T满足初始条件(29)。
定义4如果下列条件满足:
对所有的t∈R+,i=1,...5,式中一个常数
则系统(28)的解x(t)=[x1(t),...,x5(t)]T将在R+上是有界的。
下面,将利用Young不等式和Dini导数原理证明解的边界,根据这两个原理,可以得到如下引理。
引理3假如a≥0,b≥0,p>1,q>1,并有1/p+1/q=1,就可以得到如下不等式:
引理4假设u(t)是定义在R+上的可微函数,那么对于任何t∈R+,函数|u(t)|的右上Dini导数D+|u(t)|是存在的,其表达式如下:
式中
(1)解的边界
为了使系统(28)在数学上是可解的、在流行病学上是有意义的,证明所有的状态变量对于任何时间是非负的和有界的是非常重要。下面我们将证明带有正初始值的系统(28)的所有解在任何时间都是正的。
定理4假设(S1)和(S2)存在,那么系统(28)的所有解在R+上都是有定义和有界的。
证明:令x(t)=[x1(t),...,x5(t)]T是在t=0时带有初始函数的系统(28)任意解,系统(28)可以转换成如下形式:
计算右上导数D+(|xi(t)|r),i=1,...,5,有:
进而,可以得到:
因此存在一个足够大的常数w满足对于所有t≥0,其中i=1,...,5,
和||φ||≤w。
所以得到|xi(t)|<w。实际上,假如它不是正确的,则存在某一个i和时间t1>0满足对任何-τ≤t≤t1和j=1,2,...,5,|xi(t1)|=w,D+|xi(t1)|r≥0和|xj(t)|≤w。然而,从(2.22b)和(2.22c),可以得到:
与前面相矛盾。因此,对所有t≥0,都有|xi(t)|≤w。系统(28)的解x(t)=[x1(t),...,x5(t)]T都是在R+上都是有定义和有界的。证明完毕。
(2)全局指数稳定性
通过建立新的Lyapunov泛函和利用矩阵分析技术,将确定系统(28)全局指数稳定性的判据。
定理5假设(S1)和(S2)成立。如果下列条件满足:存在一个5维的正定矩阵P,对角矩阵α=diag(α1,...,α5)>0,F=diag{f1,...,f5}和一个常数a>0,使的对所有t∈R+,λmin(D(t))≥a,其中 则系统(28)是全局指数稳定的。
证明:令x(i)(t)=[xi1(t),...,xi5(t)]T,i=1,2,是对所有θ∈[-τ,0],满足初始条件x(i)(t)=fi(q)的系统(28)的两个解,其中
令z(t)=x(1)(t)-x(2)(t)=[z1(t),...,z5(t)],式中zi(t)=x1i(t)-x2i(t),i=1,...,5,那么系统(28)可以转换成如下形式:
其中,H(z(t-t(t)))=[H1(z1(t-t(t))),...,H5(z5(t-t(t)))]T,和Hi(zi(t-t(t)))=Hi(x1i(t-t(t)))-Hi(x2i(t-t(t)));令ε为一个常数。构造如下Lyapunov泛函:
通过定理4可知,对所有t∈R+,x(t)是有定义的并且有界的,这就意味着z(t)在R+上是有界。进而,可以得到V(t,zt)在R+上是有界的。
沿着系统(28)的解,Lyapunov泛函的导数为:
由于: 和HT(z(t))αH(z(t))≤zT(t)FTαFz(t),进而可以得到:
令
因此,有对于所有的可以推知,存在一个常数ε>0,对于所有的t∈R+,使λmin(D1(t,ε))≥a。因此,最终可以得到
这就意味着:
V(t)≤V(0),t≥0. (36)
通过(34)和假设(S2),可以得到:
对所有t≥0,
和
式中,和M=λmax(P)+max1≤i≤5{Li}。注意到根据假设(S2)可推知系统(38)的第一个不等式是成立的,所以有
因此,通过(36)~(38),可以得到:对所有式中M0=M/λmin(P)≥1是一个常数,并且是独立于系统(2.21)的所有解。因此,可以得到系统(28)是指数渐进稳定的。证明完毕。
在定理1中,如果选择α=σE,其中σ>0是一个常数,并且E是一个单位矩阵。于是,有:
因此,得到如下推论作为定理1的一个特例。
推论1假定(S1)成立。如果存在五维对称正定矩阵P,常数σ>0,满足
其中t∈R+.
则系统(28)是全局指数稳定的。
由于ω(t)∈[0,ka/4],当时间t=ln b/a时,ω(t)达到最大值。从(35)可知:
令
因此,对所有的t∈R+,可得式中
据此,可得如下推论:
推论2假定(S1)成立。如存在五维对称正定矩阵P,对角矩阵α=diag(α1,...,α5)>0和常数满足:对所有其中 那么系统(2.21)的全局指数稳定的。
3、仿真与分析
前文对引入了反映病毒的生长曲线相关的传染病模型进行了计算分析,那么其究竟在生物学中有没有意义以及反映了什么样的生物学意义还不是很确定,本节将引入一些参数值并带入该传染病模型中,研究模型的稳定性情况。本节除了分析病毒的生长曲线对模型的稳定性的影响,还重点分析引入的人为干预行为如对新生儿的免疫疫苗接种和由于社会医疗条件的逐渐进步而使人类免疫能力增加等,对传染病传播的阻断或延缓的具体影响。
(1)系统的稳定性验证
验证定理2和3的稳定性条件的影响。首先,我们验证当定理2的稳定性条件满足时,系统(8)是渐进稳定的。按照参数的生物学意义,令m=1.5′10-3,e=0.85,h=0.65,a=0.88x=0.85,d=0.85,b=0.35。不难得到,存在一个对称正定矩阵P,满足ATP+PA=-I:
其特征值0.2212,0.3088,0.4920,1.4456和13.8226。于是可以得到lmin(P)=0.2212和lmax(P)=13.8226。由于ω(t)的边界值小于1,可知ak/4£1。在这种情况下,我们还令a=0.45,b=0.25,k=8,N=1000,z=2.0×10-3。用METLAB软件编程,并调整这些数据,进行仿真,得到的结果如图3所示。结合图2可知,当总人口为1000时,在一定的人口出生率下,系统(7)是渐进稳定的,也即通过控制模型中的参数,传染病可以得到有效控制而不致爆发。
从图2中还可以看出,随着时间的增加,各参数均发生变化:易感者S逐渐增大,当时间大约为15之后,逐渐稳定;潜伏者E的数目逐渐减小,当t>10之后,其数目也趋于稳定;患者I的数目也逐渐降低,当时间到达10后,其数目也降到最低,并维持一定的数目;康复者R和免疫者W的数目逐渐增大,当时间t>10之后到达最大,并维持稳定。当到达平衡后,几个变量的大小次序为:R>S>W>E>I。
除此之外,还发现,无论各参数初始值为多少,到达平衡后,以上五个人群的数目大小次序依然维持。这说明:要控制传染病的爆发,必须使患者的数目最小,康复者的数目最大,只有这两者达到一定的数目,才能使传染病控制在局部甚至消亡。
(2)接种率对系统的影响
进一步验证定理3的有效性。首先,假定r=500,q=0.65,可得: z=0.01266,进而得到如下关系式:
2£f2+j2<2.2112和
从上式中可以得到参数Bv范围:0.3375<Bv<0.6625,进而可得||x(t0)||£63.25。假定x(t0)=[40 20 15 10 20]T,不难看出,当满足定理3,系统(8)是渐进稳定的。这意味着:控制新生儿的接种率,是阻断或延缓传染病爆发的有力工具。当新生儿的接种率控制在一定范围内,则可以使传染病不爆发而控制在一定范围内,使其成为发病率较低的地方病。
更重要的是,令s=1.425,就可以得到系统(8)的边界值b=479.1,而b是病毒的生长曲线中的参数,调节b的大小,则系统的平衡发生变化。而这就意味着,病毒的生长曲线的参数的大小,也即病毒的生长情况与传染病的爆发与否息息相关。s和b的值的大小是影响系统(8)的稳定性的非常重要的参数。在模型中引入的反映疾病发生率的病毒生长曲线,其从直观上反映了病毒的毒力,在传染病的数学模型中,表示疾病发生率是可行的,而且比现有的模型中 发生率是常数的情形更能反映病毒随时间的变化,其传染性是变化的,这也符合病毒在环境变化过程中由于复制能力的变化,其传染能力发生变化的医学原理。
图3表示控制新生儿接种率时传染病的时间-人数图。从图3中可以看出,当定理3满足时,系统是渐进稳定的。当到达平衡时,患者群I达到最小,而易感者和康复者达到最大。这说明:控制新生儿的接种率,可以使患者达到最低值,使传染病的传播消亡或控制成为地方病。
(3)发生率系数对系统的影响
本节引入的随时间变化的发生率系数,即病毒的生长曲线的导数,是首次应用于传染病的数学建模中,它反映了病毒的毒力随时间变化而不同。从生物学意义上说,该系数更能表达病毒在传播过程中具有遗传变异、随生态环境发生变化等特点,因此,用病毒的生长曲线来表示传染病的发生率系数,比已有的常数发生率系数更科学、更符合生物学意义。
图4表示发生率系数w(t)随时间t的变化曲线。从图4中可以看出,随着时间的增大,当参数a增大,发生率系数降低,并逐渐趋于0。而且,进一步发现,当0<a<1和时间t=2时,发生率系数是一个常数,即都为0.3,而与发生率系数的其他参数无关。因此,如果我们令t0=0,当时间t小于2时,则系统(8)的解的极值范围是随时间变化的,其余时间则为常数。这也说明:这个时间点是一个转折期,政府可以根据这个时间点来制定控制策略,使传染病在此时间段内能够控制下来,使传染病不扩散开来。
参数a的大小,对系统的稳定性也有较大的关系。如图5表示a值不同时,潜伏者即感染人数E随时间t的轨线图。从图5中可以看出,随着a的增大,感染人数逐渐下降;当a一定时,潜伏者先增大,当到达一定极值后逐渐减小,当t>10后,逐渐趋于稳定,这与图2的结果相符合。从图5中还可以看出a值不同,但当t=2时,E(t)的值为定值。a为病毒生长曲线的指数,其随病毒或其所处状态不同而不同,这就更表明我们所引入病毒的发生率系数的正确性。
(4)时滞对系统的影响
时滞在传染病模型中也会影响传染病的稳定状态。本节中的时滞是指易感者由于自身的免疫系统而使感染病毒滞后的一段时间。人群的免疫系统的强弱就决定了时滞时间的长短,而人群的免疫系统,除了与自己的免疫系统有关,还与其生活环境有关,加强社会的总体医疗水平和提高人们的保健意识是增强人类免疫系统的关键。而时滞时间的长短也决定了传染病爆发或延后的时间。图6为考虑时滞后模型各变量随时间的轨迹图。
令滞后时间为τ(t)=1+1/2sin(t),也就是说假设因易感者的免疫能力而使病毒感染延后1年多时间,再令a=0.045,Z=3*10-3和F=diag{ZN,ZN,ZN,ZN,ZN},其它参数与定理2一样,可得进而,不难得出假设(S1)和(S2)是成立的。选取根据推论2.2可知,存在一个五维的对称正定 矩阵P,对角矩阵:α=diag(2.2773,2.7832,3.0514,1.7118,2.3170)>0使λmin(D(t))=0.9130,式中:
因此,可以看出,存在一个常数对所有t∈R+,使故根据推论2,如图6所示,系统(28)是全局指数稳定。从图6中可以看出,在考虑时滞的情况下,各参数随着时间变化而变化,最终都趋于稳定:患者I和感染者E很快减小,并且逐渐趋于稳定,当N=1000时,患者I小于1,可以说疾病几乎处于消亡状态。而对于易感者S和康复者R而言,随着时间的增加,它们的变化比患者的变化缓慢,但最终也趋于稳定。这说明:被节引入的时滞对传染病有一定影响:时滞使传染病的感染延缓,并使感染者数目下降,传染病很快达到消亡。这就决定了我们要找到增加时滞时间的方法:加强社会的总体医疗水平和提高人们的保健意识以增加人类的免疫能力,从而达到使该传染病消亡的目的。
4、总结
在本发明实施例中,首次引入反映病毒随时间变化的发生率系数的传染病模型:SEIRW模型,在该模型中还引入人类对传染病传播的干扰行为:对新生儿的免疫接种和治疗等措施。具有时变系数的五维方程的稳定性得到了有效研究,并对传染病的趋势进行了预测。本发明的目的之一就是获得相对精确的条件以使传染病不会无限制的扩散开来而逐渐消亡。通过仿真和分析,本发明的主要结论如下:
(1)在一定条件下,系统是稳定的
调节各系数的值,在某一人口出生率下,通过仿真可知,系统是稳定的,即经过一定时间后,模型的各变量达到稳态,传染病得到控制而不爆发。在各变量逐渐达到稳态的过程中,易感者人群、康复者和免疫者的数目逐渐增大到最后维持不变达到稳定;潜伏者人群、患者人群逐渐减小最后不变。到达平衡时,康复者数目最大,而患者数目最小。而且,调节各参数初始值,到达平衡后,五个人群的数目大小次序依然维持。这说明:要控制传染病的爆发,必须使患者的数目最小,康复者的数目最大,只有这两者达到一定的比例,才能使传染病控制在局部甚至消亡。
(2)接种率为一定范围时,可阻断传染病的传播
保持一些参数不变,当参数Bv满足范围0.3375<Bv<0.6625,系统达到稳定。这意味着:控制新生儿的接种率,是阻断或延缓传染病爆发的有力工具。当新生儿的接种率控制在此范围内,则可以使传染病不爆发而控制在局部,使其成 为发病率较低的地方病,这是阻断传染病爆发的最低条件之一。当到达平衡时,患者群I达到最小,而易感者和康复者达到最大。模型中其他参数变化很小,如自然死亡率,在一定时期内不会变化,只有通过调节变化幅度较大的接种率,使系统达到稳态,从而有效控制传染病的爆发。因此,调节接种率,是政府可行的控制传染病传播的有力措施之一。
(3)病毒的生长曲线用于表示发生率系数是可行的
调节表达传染病发生率系数的生长曲线中的参数a,b的值,系统的平衡会发生变化。当参数a,潜在因素影响因子增大,发生率系数降低,并逐渐趋于0;随着a的增大,感染人数逐渐下降;当a一定时,随着时间的增加,潜伏者先增大,当到达一定极值后逐渐减小,当t>10后,逐渐趋于稳定。从图中还可以看出,尽管a值不同,但当t=2时,E(t)一定。当0<a<1时,a为病毒生长曲线的指数,其随病毒或其所处状态不同而不同,这就更表明我们所引入病毒的发生率系数的正确性。而且比现有的模型中发生率是常数的情形更能反映病毒随时间的变化,其传染性是变化的,这也符合病毒在环境变化过程中由于复制能力的变化,其传染能力发生变化的医学原理。
(4)时滞使传染病的爆发延后,也是控制传染病发展的重要参数
本章中的时滞是指易感者由于自身的免疫系统而使感染病毒滞后的一段时间。考虑时滞时,各参数随着时间变化情况:患者I和感染者E很快减小,并逐渐趋于稳定,当N=1000时,患者I小于1个,可以说疾病几乎处于消亡状态。而对于易感者S和康复者R而言,随着时间的增加,它们的变化比患者的变化缓慢,但最终也趋于稳定。研究还表明,时滞使传染病的感染延缓,并使感染者数目下降,传染病稳定而不爆发或消亡的时间提前。这就决定了我们要找到增加时滞时间的方法:加强社会的总体医疗水平和提高人们的保健意识以增加人类的免疫能力,从而达到使该传染病消亡的目的。
在本发明中,涉及到的各参数如下表1所示:
表1 基本参数
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已,并不用以限制本发明,凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等,均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (5)
1.一种具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法,其特征在于,包括以下步骤:
S1、把一批活钉螺在同样的条件下埋入土中,每两个月取出一部分,检查存活率,然后用生长曲线进行拟合,并根据所得结果对生长曲线进行修正,根据实验结果找出拟合度最好的生长曲线函数模型;
S2、将所述生长曲线函数模型中的生长曲线用来表示病毒在人体内的生长情况并对该生长曲线函数模型用时间求导,得到单位时间内病毒的生长变化情况;
S3、把所述生长变化情况当做传染病病毒的发生率系数,对所述发生率系数进行修正后得到传染病发生率系数;
S4、将所述传染病发生率系数与传染病的病毒传播过程结合,建立具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型。
2.如权利要求1所述的具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法,其特征在于,在步骤S1中,所述拟合度最好的生长曲线函数模型用函数定义为:式中,k为生物所处环境的容纳量,a为潜在因素影响因子,b为修正因子,t为单位时间。
3.如权利要求2所述的具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法,其特征在于,在步骤S2中,所述单位时间内病毒的生长变化情况用函数定义为:
4.如权利要求3所述的具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法,其特征在于,在步骤S3中,所述传染病发生率系数用函数定义为:
式中,函数ω(t)是在函数g(t)上加入修正因子k1得到,其表示病毒的复制能力与传染病的传染能力的比例关系,k1、k是常数。
5.如权利要求4所述的具有病毒生长阶段特点的传染病数学模型的构建方法,其特征在于,在步骤S4中,将所述传染病发生率系数与传染病的病毒传播过程结合包括以下具体步骤:
(1)假设系统中总人口数为N,新生儿出生率的比例为Z,其成功接种疫苗率为Bν,进入易感者S人群中的人数为ZN(1-Bν),另一部分免疫人群ZNBν则进入部分免疫类群W中;
(2)在单位时间t内,易感者S与病患者I有效接触所产生的新感染者数为S(t)I(t)ω(t),他们自动进入潜伏期;其中,ω(t)为所述传染病发生率系数;
(3)潜伏期人员经过一段时间后从潜伏期进入病患者群内的比例为ε,康复率(从患病人群到康复人群的比例)为α;
(4)一定比例ξ的康复者进入部分免疫人群W中,一段时间后,部分免疫比例dγ的人进入潜伏期E中,另一部分d(1-γ)则成为康复者,d指有效接触率,γ为接触次数,部分免疫群W中一部分则进入易感人群中,设比例为β。
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