CN104217628A - 积坐标系数学演算盘和演算法 - Google Patents

Abstract

“积坐标系数学演算盘(简称“积盘”)和演算法”是进行形象、系统化数学教学(或自学)的设备和方法。“积盘”是新型广泛的“形”(动图)、“数”(变数)对应系统，能把函数的“函线”(即图像)进行微分变换使其降次简化和直观量化(如把二次抛物线降、简为斜、截式直线)因而能使许多数学问题变得简明好懂。演算法是依据已知，在“积盘”中组建起“形”、“数”对应的数学“模型”进行“演算”(在演示题意、算理、显现数量关系或算式的同时“算”出答案)式教学来帮人认识理解抽象的数学问题，使人加深理解印象、克服死记和遗忘以提高教学效率和质量。能演算或演证从简单的四则运算、分数比例、一二次函数，直到微积分方面的数学问题。它有普通、精致、微机三种型号，微机型效果最好。

Description

积坐标系数学演算盘和演算法

所属技术领域：

它是数学中的新坐标系，是个新型广泛的“形”(动图)、“数”(变数)对应系统，它是体现新教学理念进行形数对应系统规律的数学教学(或自学)的设备和方法。 

背景技术：

就我们所知道的，和从最近查阅检索到的相关资料看，国内外还没有见有这种或类似这种坐标系和数学教学的设备和方法。与之类似的也只有我们自己在2007年1月31日获得的第605788号外观设计专利证书，但那只有外观上与之类似，实质上，特征、性能、用途方法上却根本不同。 

本发明的目的： 

一、为帮助人们，尤其是青少年们更好地认识理解、记忆活用那些抽象难懂的数学概念、公式、法则、定理，使之会归类、分析、解决数学问题，以提高数学教学或自学的效率和质量。 

二、向公众提供一个学习、研究数学的工具和平台——“积坐标系”。 

本发明的内容： 

一、积坐标系； 

二、积坐标系数学演算盘(简称“积盘”)和演算法； 

一、积坐标系： 

我们把x和y这两个数轴垂直相交于原点O，并把这两数轴上的实数x和y(作为矩形的两边长)两两交差相乘得矩形面积数s[s＝xy，当x、y为整数时可乘得(……，-100，-99，-98，……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……，98，99，100，……)²项两整数之乘积数s，图1、图35]。我们把这个由以射线为一条对角线、x和y轴为两边的矩形面积数s组成的、以原点o为中心 x和y为两坐标轴的“积数”系统，叫“二维积坐标系”(简称“积系”)。“积系”中能看得见的两整数之“积数”S叫“明数”，那许多非两整数之“积数”S(如2.3×3＝6.9和0.8×5＝4之类)叫“暗数”用[S]表示。 

三维空间“积系”中的“积数”V(V＝xyz)是以空间向量(或射线)为对角线的长方体的体积数。以V(体积)为常数的变式xyz＝V(常数)对应的是空间三维“积系”中的一个等积曲面……。 

1、“积系”的特征和性能： 

“积系”中二、四象限内的“积数s＜0，用细体(或红色，即赤字、负数)数字印制，x和y轴上的积数”S＝0，用印制(表示s的值为0，图1、图35)。“积数”S是以射线(或向量)为对角线、x和y轴为两边的矩形“y o x s”的面积数(图2，为表示简便，X和y轴上的积数可简化为s)。 

“积数”S关于原点o成中心对称，关于一、三象限角平分线R_o和二、四象限角平分线-R_o成轴对称，|s|关于x和y轴成轴对称。m_y(其截距y在y轴上)这组平行线上的明数s，恰是以y为公差的等差数列；I_x(其截距x在x轴上)这组平行线上的s，恰是以x为公差的等差数列(图1、图35)。m_10y和I_10x(x，y∈z)线上“积数”s的字体较粗大，它们把积系中的积数s分成了多个矩形区域，能帮人迅速找到所要找的较大的S。“积系”内两边分别平行于两坐标轴的矩形四顶点上的四数恰成比例，两对对角顶点上的两数之积相等(这恰是比例的基本性质)；由多条m_y和I_x线交织成的连边矩形各顶点上的数恰成连比例  $\frac{d}{c}=\frac{e}{b}=\frac{f}{a}=......=\frac{A=d+e+f+......}{B=a+b+c+......}$ (图3、图35)。 

“积系”能把许多函数的“函线”(即图像)进行一阶微分变换，使其降次简化和直观量化，如能把“直系”(直角坐标系的“简称”)中y＝kx+b的斜、截式“函线”降次简化为“积系”中的截距水平式直线m_k(k在y轴上)，把y＝ax²+bx 的二次抛物线“函线”降次简化为“积系”的斜、截式直线形抛物线_aR_b(a为斜率，b为y轴上的截距，图1、35或图24、31)，把y(或s)＝aⁿ(常数a≠0)的“函线”降次简化为“积系”的直角折线(图34)，并能从这些被直观量化了的“函线”上直观得其函数值，因此使许多相关的数学问题变得简明好懂。 

“积系”也是个八卦数阵，±R_o线把其四个象限内的“积数”S等分成八个部分；三维“积系”的八个象限，更是个八卦数阵[xoy、xoz、yoz三个平面把三维“积系”中的|v|(v＝xyz)等分成八个立体部分]。 

“积系”内的“积数”S相互关联、对称、对应，知其一、二，可利用其对称、对应等特性而知其相关的许多。如已知m₁线上的已知数a时，即知与a相关的-a、|a|、ka、a²、……等；同时知等积线s＝a及线上所有a，线上的“明数”a可一目了然(图4)；同时可知s＝a关于原点O对称的等积线s＝a(在相对象限里)、关于x和y两轴对称的两条等积线s＝-a(在相邻两象限里)，线上的“明数”-a一目了然。从中可见： 

<1>、在“积系”中，已知一个数a时，能知与a相关的多个数，从已知数a能计算得的-a、等，都能演算得之； 

<2>、在“积系”中，已知数a，能像电流那样快的同时如数地传遍全等积线s＝a、能像电磁那样同时如数地把等积线s＝a(关于原点和两轴线)对称、对应到相对和相邻的象限里。 

再如，已知a、b两个数时，与之相关的a+b、a-b；ab、a²+b²，a²-b²；(a±b)²＝a²±2ab+b²等等，都可以从这个“积系”中看或近似的看出来(图5、35)。因 此，“积系”能演示整数的四则或多则运算。 

2、“积系”与“直系”的关系： 

“直系”中有x和y两个变数，对应着x和y两条坐标轴线和一个动点p(x，y)，动点成线。“积系”中有x、y和S三个变数，对应着x和y两条坐标轴线和一个动态矩形“yoxs”的面积(图2、35，图35是图1的扩展和细化)，当x、y、s三个变数变化时，这矩形的两边和面积在应变，故“积系”包含“直系”。两系同轴共面，两系联合并利用其中的m_y、I_x、“等积线”S＝xy、_aR_b等等动线，能组建许多形数对应的数学“模型”与抽象的数学公式“形”、“数”对应来“演算”(即演示题意、显现数量关系，得出算式的同时“算”出答案)许多数学问题。 

二、积坐标系数学演算盘和演算法 

印有或制有大小详略不同“积系”的平面盘或光盘，用作“演算式”数学教学(或自学)的设备，叫做“积坐标系数学演算盘”，简称“积盘”。“积盘”中有许多函数的“函线”和“模型”。根据(足够的)已知条件，在“积盘”中找出问题所属函数的“函线”，驱动m_y、I_x、“等积线”S＝xy、箭头→等运动组建起形、数对应的数学“模型”后，那已知和未知条件及其之间的关系即可显现(从而可得出解题的算式)，那所要求的未知条件的位置和大小即被决定，并能从“模型”中看(或叫演算)出来。这“根据已知，找出函线，建起模型，演示算理、呈现数量关系、得出算式、演答案方法，叫“演算法”，简称“演法”。 

附图说明：

图1、图35是x·y＝s(积数)的积数系统——“积系”，其中的动态矩形yoxs是这“积系”的抽象和概括。图35又是图1的扩展和细化，是较详细的“数图”。图2是“积坐标系数学演算盘”——“积盘”，其中的动态矩形yoxs是“积系”，平行于x、y轴的直线m_y、I_x是正比例函数s＝ay、s＝kx(a、k是不为零的常数)的“函线”，s＝xy(s是不为零的常数)是双曲线形的“等积线”(曲线上的s 值都相等)，斜(a)截(b)式直线_aR_b是二次函数s＝ax²+bx(a≠0、b是常数)的“函线”。这些动态的“函线”、“等积线”及其他线和“积系”组合成“积盘”。这些动线在“积盘”中运动，相互配合能组建起各种数学“模型”进行“演算式”数学教学。图3、4、5......32都是图1、2、35的部分或侧面，是演算相关的具体问题用的。图34中的直角折线是s＝aⁿ(a≠0)的“函线”和“模型”；图33、36、37......41都是图34的部分和侧面，是演算相关的具体问题用的。图42是三角函数的“函线”和“模型”，是演算三角函数方面的基本问题用的。图43是排列组合方面的“函线”和“模型”，是演算排列组合方面的问题用的。图44至图50是演算简单幂函数的微积分用的。只有在“具体实施方式”中、在具体演算各相关问题时，才能较明白的说明上述各附图。 

具体实施方式：

“积盘”中的主要函线、模型及其用途用法： 

“积盘”是个新型广泛的“形”(动图)、“数”(变数)对应系统。它容量大，用途广，能演算从加减法口诀、四则运算、比例分数、一二次函数、三角函数，到指数对数、排列组合、微积分初步等许多方面的数学问题。现由浅入深依次详细的把实施该发明的方式方法说明如下： 

少儿最需要形数对应系统规律的演算式教学方法，因此前边的浅显部分需要多讲细讲，后边的深难部分需要概讲略讲。 

一、一级加减运算(或运动)的“函线”、“模型”及其用途用法 

(一)、“函线”：m₁(或I₁)线(图1、6、7、8)是“积系”的“面积数轴”(以面积为单位的)、是一级运算的“函线”或加减混合运算的运算线(m_k线是高级面积数轴、是二级乘除运算的“函线”或乘除混合运算的运算线)。在m₁线上，从某一整数点(即某个整数对应的点)起的右、左运动，即为演示简单整数的加、减混合运算[在m_k线上，从某一点(即某个数)起的正、负向运动，即演示简单的乘、除混合运算]。 

(二)、“模型”：图6中动态矩形“①s”(x或y轴上带圈的数，可以省去其上的圈)是一级加减运算的“模型”。变数x与S之间的对应，即动态矩形“模型”或图示的写照： 

(三)、二数之和差公式：a+b＝c、a＝c-b、b＝c-a的“模型”(图7)及其用途用法： 

图7所示的a、b、c(各是20以内的正整数)三数的和差关系，显然是二数和差公式的形象“模型”。从图中可见有：a+b＝c、a＝c-b、b＝c-a。 

这是个“形”、“数”对应的事实规律，小儿能懂。 

用它能演算：从10内整数的认识(用方格内的形象图，叫它们站起队来点数)，基数、序数，简单加减运算的意义和方法，再到和差关系等许多最基础的数学知识。 

在用图7所示的最简单的一级运算“模型”演算“凑十法”时，要在这实验性演算的同时，把两加数与“和”说出声(如图7中的8八+5五＝13十三， 或7七+9九＝16十六之类)，说熟形成口诀(20内整数的加、减法口诀，共16句，不难)。 

这口诀能快准地一口说出(20内整数的)和差关系公式中的a、b、c三数，是重要的基础知识和能力。如“7七+x(八)＝15十五”中的x＝8可不加考虑地一口说出来；多位数竖式加减，用这口诀将更快准。两位数的加法，可不用竖式用口诀很快得出“和”。如87+59的思考形式、过程和口诀是： (注意：口诀顺序是，先十位后个位，注意进十，一步得“和”)，“和”146可很快得出。 

多位数加法也可不用竖式，用横式和加法口诀一步很快得出“和”，如： 

(口诀顺序，由低位到高位，上下左右同位对准，注意进十，按口诀依次写出“和”)。 

(四)、用一级运算的“函线”、“模型”演算相关问题： 

例1.小明有3元钱，哥给了8元，现要买13元一支的笔，缺欠多少钱？过了几天爸爸给了6元，买这支笔后还剩几元？ 

演算(图8)：表示出题意和已知条件建起“模型”，从中可见：爸爸给钱之前买笔的钱不够、缺欠2元(即-2元或负2元)，等爸爸给6元后买笔，或拿爸 爸给的6元钱去还钱，就不欠而余4元了。这些实际情况，表现在演、算上，是各不相同的，但各有实实在在的算理算法。 

仿此方法，可演算许多这类题，从中可引导启发学生去发现： 

(1)、数的加减即物量的增减，可在m₁线上表示，m₁线是加减混合运算线。加是向右(或正向)运动，加几就向右运动几个单位；减是向左(或负向)运动，减几就向左运动几个单位。可见加减号即运动的方向，数字即运动的单位数。 

(2)、不同名数、单位时，的确不能相加减；交换加、减数的前后位置，“和”不变。 

(3)、加减运算，即在m₁线上的右、左运动，运动即运算；运动产生数，运动是有正反(或负)方向和运动的单位数两部分组成的，因此数是由符号(±号)和运动的单位数(即绝对值)两部分组成的。 

(4)，加减混合运算，即在m₁线上，从第一个数对应的点起，各数按其符号指引的方向运动其绝对值个单位的“接力运动”。 

(5)、负数的意义和表示：比0小的数，减少、欠缺的数，在数轴上(不管从哪点起)向左(正向的反方向)运动的单位数，正数的相反数或正数前边加个负号表示的数，……。 

(五)、在加减运算的形象“模型”(图7、6、8)或抽象“模型”a+b＝c(a、b、c∈z)中，a、b、c三数，知其任二，即可决定或演算得那未知的第三。这是个客观规律，表示这个客观规律的抽象算式就是c(未知)＝a+b，a(未知)＝c-b，b(未知)＝c-a。 

二、正反比例s＝xy的“函线”、“模型”及其用途用法 

s＝xy(x、y、s都不为0)中，y(或x)为常数时，即动态矩形y o x s (图2)一边定，另一边与面积S成正比例函数关系，“函线”是m_y(或I_x)，“模型”是半动态矩形yoxs.S为常数时，矩形的面积定，形状变，x和y成反比例关系。这部分内容多而复杂，现由浅入深依次说明如下： 

(一)、s＝xy＝(1-9)(1-9)的函线、模型及其用途用法： 

这里有m_1-9(或I_1-9)条函线和多个矩形模型(图9)。这恰是真实形象、系统规律、积商关系可见的九九乘法运算(或乘除法口诀)表，比抽象的乘法口诀表好理解、记忆和运用。它是二级运算的基础。 

可通过(用其矩形“模型”)演算“小明1天吃8个苹果，5天吃几个？照这样吃法，40个苹果能吃几天？小明5天吃了40个苹果，平均1天吃几个？(设x轴为时间，y轴为‘吃速’，S为‘吃数’)”这类题使儿童认识理解：乘、除法的意义(相同加、减数加减法的简便法)和表示式；等分、包含两种除法的意义、特征和表示式；积商关系公式及活用；相关实际应用题的演、算方法等许多问题。 

乘、除法口诀也和加、减法口诀一样，能一口快准地说出积商关系公式xy＝s(x、y、s都不为0)、中的三数，说出相关简单方程的解，是二级乘除运算的重要基础知识和能力，用此形象“模型”的演、算去帮助儿童更好地认识理解、记忆活用这些公式，意义重大。 

(二)、s＝xy＝(a+b+c)(m+n+f)(字母为整数)的“函线”、“模型”及其用途用法 

从“模型”(图10)中可见： 

s＝xy＝(a+b+c)(m+n+f)＝ma+mb+mc+na+nb+nc+fa+fb+fc 

即多项式乘除法法则是：项两两相乘，每两项之积S都是个矩形的面积，面 积多有重叠；总积S等于：项两两相乘积之代数和(正负面积可抵消)。——这是个客观事实规律。 

这个一般事实规律中的特例有： 

s＝(a+b+c)(a+b+c)＝(a+b+c)²＝？ 

从“模型”(参见图10)中可见：因(m+n+f)变为(a+b+c)，因此项两两之积出现了特点：a²+b²+c²在R_o线上，其余的恰关于R_o线对称、相等。因此恰有： 

s＝(a+b+c)²＝a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc。——这也是个客观事实规律。 

s＝(a+b+c+d)²＝？；s＝m(a+b+c)＝？；(a+b)²＝？(图10、图35)从模型中不难看出。 

两位数的平方数，从“模型”(图35)中可见：只用乘法口诀和简单心算可一步得答案。如：45²＝(40+5)³＝(40²+2×40×5+5²＝1600+25+400＝)1625+400＝2025。特点是：十位数的平方数的末两位数都是0。因此“十、个位数的平方和”，可用乘法口诀不用思考地一气写成；“2倍的十、个位数之积”简单易记，可用心算加到“十、个位数的平方和”上得出答案。全过程是“口诀加心算，一步得答案”： 

${45}^2=\left\{\begin{array}{c}1625\\ 40\end{array}\right\}=2025;$ ${67}^2=\left\{\begin{array}{c}3649\\ 84\end{array}\right\}4489$

学会此法，百内整数的平方数可很快心算或口算出来，意义重大。 

(三)、归一、分数、比例连比例的函线、模型及其用途用法 

1.归一问题：如，张三用a元钱买了c斤肉，照这样，1元、b元各能买几斤？若买n斤需几元？ 

演解(图11)法：在I_x(x＝a)线上找出已知的后，即建起了矩形“模型”

得出归一(即1元买k斤)可见，b元能买d斤，若买n斤需m元，这是个事实规律。这“模型”的写照： 

$\frac{\left(k\right)}{I}=\frac{c}{a},\frac{\left(d\right)}{b}=\frac{c}{a},\frac{c}{a}=\frac{n}{\left(m\right)}$ 或 $\frac{\left(k\right)}{I}=\frac{\left(d\right)}{b}=\frac{c}{a}=\frac{n}{\left(m\right)}$ (括号内的是未知数)，就是解此题的算式。属这类归一的应用题有很多，因此这“模型”及其对应的抽象“模型”(即上述公式)就是演、算这类题的“模型”。 

2.分数“模型”：在m₁线上找出分数(a，b不为0)的分子分母后，即按照分数的意义把分数表示在m₁线上了，分数单位显然是m₁线上的“1”(1个方格面积数，图11或12)。这样(分母或标准已定，单位相同了)，同分母分数的加、减运算，就变为分母不变分子(整数)在m₁线上的右、左运动了。可见分母是个标准，很重要，它不动。 

把m₁线向上(或下)平移k(或)个单位后产生的新分数和原分数相等(图11、12)即这是个事实规律，这便实际地演证了分数的基本性质及其算理。 

求“已知数c(c∈z)的是多少？”的演算法(图12)是：平移m₁线过I_a线上的已知数c而得到m_k线时，m_k线与I_b线交点上的(d)即为所要求的，单位恰是k(k＝c÷a)。 

图11、12所示的“模型”所表达的事实规律及其表达式(图13)： 

就是分数、比例模型。模型中的数量分两类(份类和量类)四数(子、母和部、整)，附带有分数单位或比例系数k；四数中，知其“两类任三”，即可建起矩形“模型”演或算(用以上“模型”或公式)得那未知的第四。 

若知“整”求“部”时(演算见图13中的实线箭头)，得式恰是“分数乘 法”，若知“部”求“整”时(图13中的虚线箭头)，得式恰是“分数除法，而又恰等于‘颠倒了分子分母的’分数乘法”。 

二者的算理和顺序都是：由已知先求单位，再求所要求的(即几个单位)；二者的算理都是事实规律。只因意义和运动路线之长短(即单位数之多少)不同而结果不同。 

分数问题有许多，因此用这分数的形象、抽象两“模型”能演、算许多分数问题。如演算和的和、差、积、商。演法(图14)是：把和分别表示在m₁和I₁线上，分子分母两两相乘后，恰是按照分数的基本性质进行了通分(得 和)和乘法运算，得出了这两分数的： 

积是和是 $\frac{21+20}{35}=\frac{41}{35},$ 差是商是或一举多得，非常快准，算理自明。 

通分后，过公母35的m₁(份)〔或I₅(份)〕是这异分母分数的“份类”线，平行于该线的m(量)[或I(量)，图14中的虚线]是这异分母分数的“量类”线，若再已知某份(或量)“两类任三”时，即可演算得相应的量(或份)。这分数比例模型的联合应用，再用等积线S＝xy来帮助，可演算许多较复杂的分数比例方面的问题。 

3.比例连比例模型： 

已知乙甲两数之比是b∶a(即a、b不为0)，甲数是c，求乙数和甲、乙两数的“和”、“差”数。 

分析：比和分数、比例式和分数模型原本是一回事，因此，分数模型也是比例模型(图13、15)。 

演算法：把已知表示出来建起分数比例模型(图15)，从模型中可见： 

所求的乙及甲、乙的“和”、“差”分别是：(d)及(f)、(e)。解此题的 算式(即模型的写照)是：由比例的基本性质得a(d)＝bc，  $\left(d\right)=\frac{\mathrm{bc}}{a};$ $\left(e\right)=\frac{c(a-b)}{a};$ $\left(f\right)=\frac{c(a+b)}{a}.$

从图11、12、13、14、15所示的归一、分数、比例及连比例的模型来看，归一、分数、比例和连比例三者原本是一个模型，即一个事实规律。属于这个事实规律的数学问题有许多，因此能用这模型真实生动地演算许多分数比例方面的数学题。如， 

配制黑火药的火硝、硫磺、木炭三原料的重量比是：15∶2∶3，①要配制160公斤这样的黑火药，需要硝、磺、炭各多少公斤？②若只有10公斤硫磺，最多能配制这样的黑火药多少公斤？需要配上硝、炭各多少公斤？ 

演算(图16中的始终和始→终)：表示出已知建起模型，从中可见：①的答案是：硝120公斤，磺16公斤，炭24公斤；②的答案是：最多能配制100公斤，需配上硝75公斤，炭15公斤。一举多得，非常快准，算理自明，各部分的算式可见；也可用从中可见的各个比例算式去验算演得的各答案。 

通过大量演算分数比例问题后，可引导学生去发现如下事实规律(或这类知识的结构)： 

<1>在分数比例的基本“模型”(图13、14)中，子、母、部、整四个(包括通分后的四个)，知其任三即可演算得其未知的第四；若再有其他已知条件或间接已知条件，在等积线的帮助下，可连续组建多个分数比例基本“模型”，演算许多较复杂的分数比例方面的问题。 

<2>把m₁线向上、下平移k、1/k个单位到m_k、m_1/k时，即把表示在m₁线上的分数(或比)的分子分母同乘或除以k(图12)，则得：即实际验证了分数的基本性质；再把m_k线向上、下平移一个单位到m_k+1、m_k-1时， 则由 $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$ 可得 $\frac{d+b}{b}=\frac{c+a}{a},$ $\frac{d-b}{b}=\frac{c-a}{a},$ $\frac{d+b}{d-b}=\frac{c+a}{c-a}$ 等多个等式，这在“积盘”中都是事实规律(图12).这便用“积盘”中的事实规律实际验证了比例方面的多个基本定理。 

(四)、正反比例s＝xy的函线、模型及其用途用法 

当y＝k(常数k∈z)时，是正比例函数s＝kx，“函线”是m_k(图17)，“模型”是动态矩形“koxs”。从“模型”中可见x与s的对应情况是： 

S＝……，-3k，-2k，-k，0，k，2k，3k，……m_k

x＝……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……m₁线或x轴 

与这正比例函数相关的数学题有很多，如行程问题(速度k，时间x，路程s)，流水问题、工程问题等等。因此用这正比例函线、模型能形象生动地演算许多与正比例函数相关的数学问题。 

当s为常数时，是反比例函数xy＝s或 (x、y、s都不为0)“函线”是不包括0的x或y轴，“模型”是面积s一定、两边长对应变化的动态矩形“yoxs”(图18，常数s＞o)。从“模型”中可见两边长x与y之间的对应变化情况是： 

从中可见： 

<1>、在m_k线(图17，m_k线即高级面积数轴、乘除混合运算线)上的运动即为乘除运算：如s沿所在的m_k线运动到k，即再沿m_k线运动a个单位即为：s÷x·a＝ka。 

<2>、在xy＝s(s≠o为常数)中，x扩大或者缩小多少倍，y就相应地缩小或 扩大相同的倍数；这是个事实规律。与这个事实规律相关的事物有许多，如，路程一定时，速度与时间互成反比例关系；工作量一定时，工效与工时互成反比例关系等等。因此能用这“模型”演算与之相关的许多数学题。如， 

从甲地到乙地24公里，若把时速为v的车速提高1公里，就提前2个小时到，求车的时速v。 

演算(图19)：表示出题意和已知建起“模型”，从中可见： 

A、在y轴上，向上移动长为1的动线段到当两端上的v和v+1(通过等积线s＝24折回到x轴上)对应到x轴上的线段的长恰为2时，y轴上的v(＝3)即为所要求的速度v(＝3)。——这是个事实规律。 

B、从“模型”中可见，显然有数量关系式： 

$\frac{24}{v}-\frac{24}{v+1}=2,$ 解之也得v＝3。 

<3>、x(或y)可无限小到接近于0，但永远不会为0，因为s(矩形面积)不为0，这就是0不能做除数、做分母的算理。 

三、一次函数s＝kx+b(k，b为常数，k≠0)的函线、模型及其用途用法 

1、函线是m_k线(图20)，模型是动态平行四边形“boxs”.s＝kx+b中的k、b和x、s这四个量分别与这平行四边形的高和三个顶点相对应，因此能用这函线、模型演算与这一次函数相关的许多数学题。动态模型的写照即x与s的对应： 

s＝……，s₁，……，b，……，s₂，……，s，……，m_k线 

x＝……，x₁，……，0，……，x₂，……，x，……m₁或x轴线 

当b＝0时，一次函数s＝kx+b简变为它的特例：正比例函数s＝kx(k为常数)，模型由平行四边形简变为矩形。 

2、演解相关的方程和不等式：如演解：-3x+6≥12、-9。 

演解法(图21)：找出这一组题的共同函线m_-3及其上的常数b＝6建起平行四边形“模型”“0，6，12，x＝-2”，从中可见： 

方程-3x+6＝12的解是x＝-2、-3x+6＝-9的解是x＝5。 

以其中方程的解为准，可见-3x+6＞12、-9的解集是x＜-2、x＜5；一举多得、非常快准。 

从中可见： 

A、一次方程或不等式是相关一次函数的特例或部分；b和k为常数时，x和s成为一一对应的函数反函数关系；在一次函数的四个变数中，表示出已知数k、b、s(或x)建起模型后，那未知的x(或s)的大小和位置就被确定并从“模型”中看(或叫演算)出来了。——这是个事实规律。 

B、演算得x需要两步： 

①、移动平行四边形“模型”的bs边使b＝0、使平行四边形变为矩形(图20)，即用等式的第一个基本性质消去常数b；②、将矩形的s顶点垂直对应到x轴上求得方程的解x，也即用等式的第二个基本性质，两边同除以k，求得方程式的解。 

一次函数的函线、模型和等差数列a_n＝a₁+(n-1)d的函线、模型类同，不同的只是：等差数列中的自变量n∈N，因此a_n＝a₁+(n-1)d的演法(图22)是：a_n的函线是m_d(d＝k、a₁＝b)，n从x轴上的1起步。可看等差数列的模型是一次函数的特例。用一次函数的函线、模型还能演算与等差数列相关的许多问题。 

C、已知s＝kx+b中四个变量中的任意三个，即可建起平行四边形“模型”，那未知的第四量的位置和大小即被决定、即被演或算而得之。 

四、二次函数s＝ax²+bx(a、b为常数，a≠0)的函线、模型及其用途用法 

函线是以a为斜率、b为y轴上截距的直线_aR_b，模型是直角梯形s₁ x₁ x₂ s₁(x₁与x₂同号)或变态直角梯形s₂ x₁ x₂ s₂(x₁与x₂异号)见11页上的图23，“积盘”把二次函数的“函线”(或图像)降次简化为直观量化的斜截式直线_aR_b了。 

(一)、s＝x²的函线、模型及其用途用法 

S＝x²是s＝ax²+bx的特(a＝1、b＝0)例，s＝x²的函线是1R_o＝R_o，模型是变态直角梯形“sx₁ x₂s”(图24).这直线型二次抛物线R_o的顶点、极直、对称(关于原点)等情况和x与函数s之间的对应情况，看得更清楚： 

S＝…，s，…，36，…，9，…，0，…，9，…36，…，s，…R_o线 

x＝…，x₁，…，-6，…，-3，…，0，…，3，…6，…，x₂，…x轴 

x轴上的±x与R_o线上的(±x)²＝s相对应，总有： 

(±x)²＝x²＝s；其中在第一象限的正根叫算数根。因此能用这模型、函线演算与二次乘、开方相关的许多问题。如的演算法(图24)是： 

在R_o线上找出关于原点对称的两个9，9对应在x轴上的-3和+3即为所求。演算得 的演法是：因R_o线上最小是0，没有-9，因此无实数根。若把R_o线绕原点旋转90°到-R_o时，-R_o线上有两个-9，对应到y轴上的是±3，故有i即旋转90°。 

(二)、s＝x²+bx的函线、模型及其用途用法 

函线是R_b(R_b//R_o)，模型是梯形(x₁与x₂同号时)或变态梯形(x₁与x₂异号时)“sx₁x₂s”(图25)。式中的x²和bx分别与两正方形和两矩形的面积相对应。其变形式s＝x²+bx＝x(x+b)与两个大矩形“x₁sx₂o”和“-x₁ ox₂s”的面积相对应。 

从R_b线上可见：顶点极小值对称点(S_O点)等 等。x与s的对应情况： 

s＝………，s，…………，0，…，……，0，……，s，……，R_b线 

x＝……，x₁＜o，……，-b，……，……，0，……，x₂，……，x轴 

二次方程式x²+bx+c＝0(b、c为常数)，即x²+bx＝-c；因x²+bx＝s，得-c＝s。在R_b线上关于S_O点对称的两个s(＝-c)对应在x轴上的x₁和x₂就是方程x²+bx+c＝o的解。 

从图25中可见有如下事实规律： 

①、-x₁·x₂＝s＝-c，即x₁·x₂＝c(两根之积等于常数项)；x₁+x₂＝-b(两根之和等于一次项系数的相反数)。——这恰是韦达定理。 

②、从图26中可见：——这是个事实规律，这恰是二次方程的求根公式。 

③、s＝-x²+bx的函线是-R_b(-R_b和R_b关于y轴对称，相交于b点，图27)，模型是直角梯形“sx₁ x₂s”(x₁、x₂同号时)。±R_b两函线上关于y轴对称的两数是相反数。 

④、-R_b线上关于S_O对称两点的两坐标数之“和”、“积”分别相等于b、S，即x+y＝b、x·y＝S。这“和”、“积”两线的组合图形(图27)对应的抽象算式就是不定解方程组： 

$\left\{\begin{array}{c}x+y=b......\\ x\&CenterDot;y=s......\end{array}\right.$ 或二次函数s＝-x²+bx。 

当b和S为常数时，方程组将有定解，二次函数变为一元二次方程，它们的解相同，从模型中可看(或叫演算)出来。因此能用函线±R_b演示s＝±x²+bx或演解相关的方程或不等式±x₂+bx≥S(b和S为常数时)。演法是：在±R_b线上 找出已知的两个s，两s对应在x轴上的x₁和x₂即为其方程的解；再以x₁和x₂为标准，经观察可得其不等式的解集(参见图25、27)。 

(5)当x和y为正数、b和S不定时，模型被限制在第一象限内(见图28中实线-R_b和S＝xy)。当“和”b一定(即-R_b线不动)，“积”S(等积线)变，变到虚线s＝xy、变到x＝y(即-R_b与S虚线相切于S_o点)时，s有极大值(s再变大时无解了)；当“积”s一定(即实线的等积线s＝xy不动)时，“和”b变(即“和”线-R_b变、变到虚线的-R_b)、变到x＝y时(b再变小时就无实数解了)，b有极小值

用图28所示的模型，还能演证(x、y为正数)。 

通过演算(或演证)可发现：这看似不相关的 

$\left\{\begin{array}{c}x+y=b......\\ x\&CenterDot;y=s......\end{array}\right.,$ S＝-x²+bx、(x、y为正数)三个公式，原本是一个事实规律(或模型)的不同方面或部分。 

(三)、S＝ax²+bx+c(a，b不为0)的函线、模型及其用途用法 

函线是_aR_b，模型是“Sx₁x₂S”，对称点S_o不在-R_o线上了，而在直角Δ“0，b”的斜边中点上了，有极小值是(图29；图23，a＝tgα)。 

也可把原式化为则函线由_aR_b变为R_b÷a或R_b/a(图30； )，模型是对称点仍在-R_o线上，的极小值是方程的解 $x_{\mathrm{1,2}}=-\frac{b}{2a}\&PlusMinus;m(m=\frac{\sqrt{b^2-4\mathrm{ac}}}{2a})=\frac{-b\&PlusMinus;\sqrt{b^2-4\mathrm{ac}}}{2a}.$

用此函线和模型能演算与一元二次函数、方程、不等式及其相关的许多数学问题，如演算：|2x²+10x|≥12。 

演法(图31)：找出这组题所属的共同函线₂R₁₀，函线上积数S＝|12|对应在x 轴上的x₁＝-6、x₂＝-3、x₃＝-2、x₄＝1即为|2x²+10x|＝12的解集；以此解集为准，即可见|2x²+10x|＞12的解集是：x₁＜-6、-3＜x₂＜-2、x₃＞1；|2x²+10x|＜12的解集是：-6＜x₁＜-3、-2＜x₂＜1。 

若把原式|2x²+10x|≥12的两边同除以2简化为|x²+5x|≥6，其函线也简化为R₅，S＝|6|，结果是：解集全不变(即同解)。从中可见：把二次(或一次)函数式两边同乘或除以一个不为0的数后，函数式、函线、“模型”变了，但相关的方程和不等式的解集都不变，这是个事实规律。 

凡与二次函数相关的简单数学问题，大都可用二次函数的函线、模型演算或演示。如等差数列a_n＝a₁+(n-1)d的前n项和 $S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}=\frac{d}{2}{n}^2+a_{1}n$ (n∈N，因a₁在I₁线上，故(n-1)变为n。因为属于s＝ax²+bx(不同的只是a₁＝b的a₁在I₁线上，不在y轴上，函线是射线图32)。 如a₁＝1、d＝2的奇数等差数列的前n项和S_n的函线是射线(即1→R₁，也即R_o线的一部分)；a₁＝2、d＝2的偶数等差数列前n项和的函线是射线2→R₂；a₁＝2、d＝-4的等差数列前n项和的函线是射线2→_-2R₂(图32)。 

五、三级运算S＝aⁿ(a≠0)的函线和模型及其用途用法 

函线和模型是在R_o和(或_aR_o)两直线之间、从“1”(m₁与I₁之交点)起的“直角折线”：线(图33、34)。 

S＝aⁿ(a≠0)中的a、n、s三变数分别与这“直角折线”的第1折点、折次(折线n折动的次数)、第n折点(折动n次到达的积点)相对应。 

a在m₁(或I₁)线上，是决定折线方向和速度的。在m₁线上找到a¹后，即找出了线建起了直角折线模型。n从“1”点起(即 $\left\{\begin{array}{c}n=0\\ s=a^0=1\end{array}\right.$ )，n到a¹(即 $\left\{\begin{array}{c}n=1\\ s=a^1=a\end{array}\right.$ )， (折方向90°)到R_o线上的a²时为正方向2(即 $\left\{\begin{array}{c}n=2\\ s=a^2\end{array}\right.$ )，……；n从“1”点起沿I₁线到线上的a¹时为负方向1(即 $\left\{\begin{array}{c}n=-1\\ s=a^{-1}=\frac{1}{a}\end{array}\right.$ )，再(折向90°)到R_o线上的时为负向2(即 $\left\{\begin{array}{c}n=-2\\ s=a^{-2}=\frac{1}{a^2}\end{array}\right.$ )，……。 

折线n总是从“1”点起辗转折动在R_o与(或_aR_o)两直线之间形成直角折线模型演示S＝aⁿ(a≠0)的变化情况。a、n、s三变数中一个变为常数时，模型的变化受限，其余两个对应成函数关系；两个变为常数时，模型被确定，第三个未知数的大小和位置被决定，函数变为方程或不等式。这是三级运算或高速运动，模型复杂多变。但它对应的“直角折线模型”是“积系”中的客观事实规律，不管多么复杂多变，都可用其放大、清晰的模型去演算它。 

R_o和(或_aR_o)是“直角折线”的两条边界线、是函数的特例：偶、奇函数线。 

当a＜0时，“直角折线”绕原点o旋转折动在R_o与两直线之间形成“回转放大或收缩”形的“直角折线”模型，S正负摆动，S→o或±∞(图34)。 

a＝0时，与y轴重合，形成不了“直角折线”，故a≠0；a＝1时，与R_o重合，“直角折线”缩变为点“1”，S≡1；a＝-1时，与R_o垂直相交于原点，“直角折线”变为以原点o为中心、边长为2的正方形，S＝±1。故a＝±1时函数变为恒等式了。 

当a为常数时，“直角折线”的“折次”n与积点S在直角折线上的同一个动点(n，s)上相互对应成广义的指数函数S＝aⁿ(常数a≠0)。当常数-1＜a＜0、a＜-1时，n对应的函数S的情况复杂多变，一般不去细研究，在此不多讲。 

(一)、S＝aⁿ(常数a＞0、a≠1)的函线、模型及其用途用法 

其函线和模型仍是直角折线，但因常数a＞0、a≠1，所以这直角折线模型被限制在了第一象限内(图33)。其中总有：S＞o，a^o＝“1”、a¹＝a； $a^{-2}=\frac{1}{a^2},......,a^{-n}=\frac{1}{a^n};$ ${\left(\frac{1}{a}\right)}^{-1}=a,......,{\left(\frac{1}{a}\right)}^{-n}=a^n$ 等事实规律。“直角折线”上关于“1”点(不等长)对称两点上的两S是互倒数，其中(或_aR_o)与m₁、I₁交点上的两S是1次互倒数。 

n与s在直角折线上同一个动点(n，s)上成一一对应的指数与对数函数。n是折线的长、是非十进数的实数；s是矩形的面积数。a、n一定，s的大小和位置即被决定；a、s一定，n的大小和位置即被决定。因此可用a、n的算式aⁿ表示S，可用a、s的算式loga^s表示n，故有如下两式： 

S＝aⁿ(常数a＞0、a≠1)；n＝log_as(常数a＞0、a≠1、S＞0)。这两式的形式虽不同，但表示的却是同一个“模型”或规律的两个侧面。同理，n＝log_as可表示或代换aⁿ＝S中的n而得恒等式S＝aⁿ可代换n＝log_as中的S而得恒等式，两恒等式都简便成了只有两个变数的式子了。 

这“直角折线”模型(图33)的真实写照即变数n与S的对应式： 

从模型(图33)中n与S的对应中可发现： 

(1)、对数，即(在s＝aⁿ中或在折线上)“a(a＞0、a≠1)定，变数S对应的(a的指数)n”这句话的简称，对数n是直角折线的“折次”或折线长、是由a和S共同决定的。n的整数部分(整折次)是对数的首数，小数部分(非整折次)是对数的尾数、是非十进的无理数。 

(2)、指数和对数两函数关系式S＝aⁿ和n＝log_as(常数a＞0、a≠1、S＞0)本是同一个事实规律(即直角折线模型)的两个相互一一对应的方面。有S＞0，a^o＝1、a¹＝a，……；定有：零和负数无对数，1的对数是0、底的对数是1； 

(3)、若S₁＝S₂＞0，不管常数a(a＞0、a≠1)是几，总有对应的n₁＝n₂；反之也然，故有“等式两边可同取、去同底的对数”之法则。从图33中还可见：若a取倒数n取相反数-n时，S不变。这个事实规律的算式表示是即“底取倒、指取反、值不变”。因此，可简化为n＝loga^s。 

(4)、当常数a＝10时，折线上有了特、优点：各个折段上S的有效数字都是1至9，只有小数点位置的不同(图33)，因此有： 

有效数字及其排序相同的数，其对数的尾数相同，…..。专家制有“常用对数表”供人们查用。因很有用而常用，故叫常用对数。 

(5)、aⁿ＝S(即S₁＝S₂＞0)，可两边同取以10或b(b＞0、b≠1)为底的对数得：nlog10^a＝log10^s得(换底公式)。从这公式和图33中的实际看：换底公式即对数n等于s、a的同底对数之比。如2ⁿ＝8中的n＝3、从这换底公式中还可见：loga^s与logs^a恰是互倒数，故有公式： $\log a^s=\frac{1}{\log s^a}$

(二)、S＝aⁿ(常数n∈z)的函线和模型及其用途用法 

函线和模型仍是直角折线因n为常数而折次固定不变；变数a沿m₁线自变(驱动线绕原点旋转、折线n的位置形状在应变，但折次不变)，s应变(图36)。a与s同在n次折线上相互对应变化，成幂与反幂函数： 

s＝aⁿ(n∈z)与(常数n为非零偶数时s＞0，在R_o线上)。 

从图36中可见： 

(1)、是a乘n次方得s，反之，是s开n次方又回到了a。 

(2)、常数n为偶数时，函数s恰在R_o线上(即s的轨迹是R_o线)，s＞0，s的函线是R_o线；它的反函数a总在m₁线上，即a的函线是m₁，a≠0。总有s＝f(-a)＝f(a)；(s＞0、n≠0)。 

(3)、n为奇数时，函数s在动直线上、s(矩形面积)点的轨迹或函线是：顶点在原点、对称轴是x轴、张口朝右(或对称轴是y轴、张口朝上，n是负奇数时)的抛物线(图36，是n＝±3时的)。总有s＝f(-a)＝-f(a)；中的s与a同号。 

(4)、n＝0时，绕原点旋转、a在m₁线上运动，因折次n＝0而a＝“1”、s＝“1”，即s≡“1”；n＝1时，s＝a，s的函线是m₁线；n＝-1时，S的函线是I₁线。 

(5)、指数为分数(如)或小数(小数可化为分数)时，可先把a乘以分子(m)次方，接着再开分母(n)次方演算得(图38中实线单线箭头)。这虽是事实规律，但因对数的尾数是无理数，是演算不准而只能演得近似值的。若a＞1、m＞n＝2，可演得：演法见图38中虚线双箭头。 

(6)、在S＝aⁿ(常数n∈z)或其形象模型中，当a或s再变为常数时，模型被定型，对应的公式S＝aⁿ(常数)变为相关的方程或不等式，那个未知数(即方程式或不等式的解集)，简单的，可从模型中看(或演算)出来。如a⁴＝81中的a＝±3。 

演：把旋转到时，n＝4对应的s恰都是R_o线上的81，故a＝±3。 

算：∵a⁴＝81＝(±3)⁴(由演证得的在s＝aⁿ(a≠0)中，“s相等n相同时，a必相等”之算理)，∴a＝±3。 

(三)、S＝aⁿ(常数S≠0，a≠0或±1)的函线和模型及其用途用法 

函线和模型仍是直角折线(图37；s＜0时，等积线s在二、四象限内；s＞0时，等积线s在一、三象限内；图38是他的第一象限部分)。 

找出已知等积线s≠0，旋转R₀线到时即建起了s＝aⁿ(常数s≠0)的动态直角折线模型(图37)，a与n在(“1”到定等积线s之间的)动态直角折线 

上对应，表示式是： 

(常数s≠0，变数n为偶数时s恰在R_o线上)与n＝log_as(常数s≠0，变数a＞0a≠1时)。 

从折线模型(图37)中可见： 

(1)、a沿m₁线从正极大趋向“1”时，对应的折次n逐渐由极小变大，a＝s时，n＝1，a趋向“1”时，n趋向正无穷大，a＝1时，折次n无穷大，故a≠1。0＜a＜1时，a变为原来的倒数，n变为原来的相反数。当a＜0时，情况较复杂，暂不多讲。 

(2)、(常数)是a乘n次方得s，反之(常数)是s开n次方反回到a。这个事实规律的算式表示是：或 是把a乘以m次方得s，再把s开n次方得(图38)。这个事实规律的算式表示是： (a≠0；m，n∈z；n是偶数时，a^m＞0)。 

(3)、在S＝aⁿ(常数S≠0)或它的直角折线模型(图37)中，若a或n再为常数时，折线模型被定型、公式S＝aⁿ即变为相关的方程或不等式，简单的解集还能从模型中看(或叫演算)出来。如a⁵＝-32中的a＝-2；a⁶＝64中的a＝±2； 中的m＝？因n＝-3时，s＝8(图37、38)，即解之得m＝6。若用“底取倒，指取反，值不变”之法化简原式得可见也得m＝6。 

(四)、等比数列a_n＝a₁q^n-1(a₁，q为常数，n∈z)的函线和模型及其用途用法 

s＝aⁿ(常数a≠0，n∈z)中的s就是个以a为公比的特殊的等比数列，因此把a换成q，把s＝aⁿ(常数a≠0，n∈z)的直角折线模型中的偶、奇次函线R_o、 同乘以a₁便是等比数列a_n＝a₁q^n-1(a₁，q是不为0的常数，n∈z)的直角折线模型 

是其奇、偶次函线(图39；a_o＝a₁q^-1、a_-1＝a₁q^-2)。 

从模型中可见： 

(1)、公式a_n＝a₁q^n-1中的常数a₁和q与a₁R_o和的斜率对应，因此旋转R_o到a₁R_o、即可建起图39所示的等比数列“直角折线”模型。变数n和a_n与从a_o或a₁点起的“直角折线”的折次和第n次的折点相对应。因此，知a₁和q即能建起和利用a_n＝a₁q^n-1的“直角折线”模型演算a_n＝a₁q^n-1及其相关的数学问题。 

(2)、除首、末项a₁、a_n外，每项都是其前、后项的“等比中项”每项的“项数”n都是其前、后项“项数”的“等差中项”

(3)、以线上的线段(n和m同为奇数)为对角线、一条边平行(或 垂直)于一条坐标轴的矩形，另条对角线两端的积数相等，且恰是a_n与a_m的等比中项(图39)。 

(4)、在“直角折线”的整“折点”上的等比数列a_n中，确有 $\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$ 的事实规律，因此总有公式： $q=\sqrt[n-m]{\frac{a_n}{a_m}}(n,m{\&Element;z}^{+},n>m).$ 此公式恰比等差数列的求公差d的公式(n，m∈z⁺，n＞m)高了一级运算。这能帮人理解和对比记忆这两个公式。 

(5)、q＜0时，折线绕原点旋转折动，a_n正负摆动趋向于0或±∞。|q|＜1时，a_n是无穷递缩等比数列，a_n→0。这些情况较细微复杂，需把模型放得很大才能演算。 

(6)、当a_n＝a₁q^n-1(常数a₁、q不为0，n∈z)中的n或a_n再为常数时，公式对应的折线模型被定型、公式变为相关的方程或不等式，即可用这形象、抽象两模型去演、算之。 

(五)、二项式 ${(a+b)}^n=c_n^0{b}^n+c_n^1{b}^{n-1}{a}^1+......+{(-1)}^n{c}_n^k{b}^{n-k}{a}^k+......+c_n^n{a}^n$ (n、k∈z、n＞k＞0)的“去系数项”的函线和模型及其用途用法 

函线和模型是：n为奇数时，在(n为偶数时在R_o、)两直线上的bⁿ、aⁿ两点之间的直角折线： 

(图40；n+1＝k) 

的每个整折点上的积数，依次是(a+b)ⁿ的各“去系数项”(各项系数 可算得)。 

线段是折线的规模(简称“模”)，n为偶数时，“模”在R_o线上。 

已知a、b、n时，可找出两直线(R_o线不用找)和bⁿ、aⁿ两点建起模型。(a+b)ⁿ的通项(n，k∈z)中的“去系数项”b^n-ka^k可演得，系数可算得。因此能用这模型演、算得n不很大时(a+b)ⁿ的各项及其相关的简单问题。 

从(a+b)ⁿ的各“去系数项”的直角折线模型中可发现： 

(1)、二项式的各“去系数项”与折线的各折点相对应；“去系数项”是以为公比的等比数列。 

(2)、a与b异号时，二项式变为(a-b)ⁿ，演算时，折线绕原点折动，“去系数项”正负摆动，故通项变为把线上的“去系数项”取相反数以代即可。 

(3)、若把“模”降一次变为时，以为“模”的折线上各“去系数项”之和(b^n-1+b^n-2a+......+a^n-1)与(a-b)的积恰等于aⁿ-bⁿ。这个事实规律就是公式：aⁿ-bⁿ＝(a-b)(a^n-1+a^n-2b+......+b^n-1)。 

当n是偶数时(n-1即为奇数，模不在R_o线上)，有aⁿ+bⁿ＝(a+b)(a^n-1-a^n-2b+......+a²b^n-2b^n-1)；当n是奇数(n-1即为偶数，模在R_o线上)。这些抽象公式，在它们的积系模型中，都是些事实规律。如：a²-b²＝(a+b)(a-b)；a³-b³＝(a-b)(a²+ab+b²)；a⁴-b⁴(4是偶数)＝(a-b)(a³+a²b+ab²+b³)或a⁴-b⁴＝(a+b)(a³-a²b+ab²-b³)。 

(六)、 $\underset{x\&RightArrow;\&infin;}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e\&ap;2.71828$ 的模型及其用途用法 

的函线和模型是直角折线： 

(图41) 

x→∞时，a→“1”，n→∞，s＝e→2.71828。 

这个事实规律可用部分x的值去演(用图41的模型法)、算(把x的值代入上式算出e)以验证之。如x＝1时，原式变为2¹，演、算都得e＝2；x＝2时，原式变为演、算都得e≈2.25；x＝3时，原式变为演、算都得e≈2.37；x＝4时，原式变为演、算都得e≈2.44，……；x＝1000时，原式变为演(虽是事实规律，但难演准确)、算得e≈2.717。总之，当x→∞时，

若设 $\frac{1}{x}=y,$ 则 $x=\frac{1}{y},$ x→∞时y→0，原式变为 $\underset{y\&RightArrow;0}{\lim }{(1+y)}^{\frac{1}{y}}=e.$ 演  $(y=\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},......),$ 算可得： 

$\left\{\begin{array}{cc}y=\frac{1}{2},& \frac{1}{3},\\ e={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=2.25& {\left(\frac{4}{3}\right)}^3=2.37,\end{array}\right.$

$\begin{array}{cc}\frac{1}{4},..................,& \frac{1}{1000}(y\&NotEqual;-1),..........\\ {\left(\frac{5}{4}\right)}^4\&ap;2.44......,& {\left(\frac{1001}{1000}\right)}^{1000}\&ap;2.717.......\end{array}$

可见和这两式表示的是同一个事实规律，有同一个形象模型。 

演算至此可发现： 

<1>、“直系”中函数的“函线”(即图像)是经过计算、描点、连线得出的近似图像；“积盘”中的“函线”是函数对应的动点的轨迹，是生动连续较精确且富有趣味性和说服力的。函数沿“函线”的运动，是面积的增减，是积分 运动或运算。 

<2>、“积盘”能演示“六则运算”，演证电子计算器的算理算法：已知数a(a≠0)在“积盘”中是关于原点O对称的一对等积线s＝a(a＜0时在二、四象限内)，它交在m₁(或I₁)线上的a沿m₁线正、负向运动即为加、减运算。I_a线上的a正、负向运动即为乘法运算；线运动到时即为a÷b＝k(归一运算)。m₁线上的a沿“直角折线”运动到aⁿ即“a乘n次方”得aⁿ；等积线s＝a上的a沿“直角折线”逆向折动n次到m₁线上的即把a开n次方得(参见图38)。每一则运算(或运动)都有两条路线。每一则运算后得的结果F，就又是一条新的已知等积线S＝F，它可以重复着如上的六则运算。因此，一个较复杂的算式，可用“积盘”来演算。 

数a(或F)在S＝a、m_y、I_x、“直角折线”等线上的运动(或运算)之速度如同电流之快，因此，上述演示的六则运算的算理算法，即为电子计算器的算理算法。 

六、三角函数的函线、模型及其用途用法 

以上用“积盘”演算的多是动点s(x，y)作直、折线运动的情况，现在来看动点s(x，y)在“积系”中做圆周运动的情况。 

在“积系”中，_aR_o或_kR_o从与x轴同向重合的位置起，绕原点做旋转运动时，与x轴的夹角是变角α，α的终边_αR₀或_kR_o线上点s(x，y)的轨迹是圆(见图42左边)，点s(x，y)对应的os＝r(圆半径)、x、y三变数恰组成动态直角三角形sox，其三边之六个比就是三角函数： 

$\sin \mathrm{\&alpha;}=\frac{y}{r},\cos \mathrm{\&alpha;}=\frac{x}{r},\mathrm{tg\&alpha;}=\frac{y}{x},\mathrm{ctg\&alpha;}=\frac{x}{y},\sec \mathrm{\&alpha;}\frac{r}{x},\csc \mathrm{\&alpha;}\frac{r}{y}.$

这六个比值的大小与角α的大小相关，与os＝r的长短无关。当r＝1个单位长(即单位圆)时，正、余弦被简化为sinα＝y、cosα＝x；又因动态直角Δsox∽ΔT01 (见图42左边)，……，因此有tgα＝(I₁线上的)T、ctgα＝(m₁线上的)t、secα＝(_kR_o线上的)OT、cscα＝(_kR_o线上的)ot。因此，动点s(x，y)的纵、横坐标线m_y(|y|≤1)、I_x(|x|≤1)，I₁、m₁线，_αR₀或_kR_o线，分别是六个三角函数的“函线”。因角α或α对应的弧长自变时，(通过_αR₀线)六个三角函数值各在其“函线”上应变，角α定，六个三角函数值各在其“函线”上被决定，即“一角对应六值”(见图42左边)，故叫三角函数。反之，某个三角函数值定，通过过此值的_αR₀，对应的角α和α+2kπ(k∈z)被决定，其余五个三角函数值也被决定，即“一值对应多角和五值”。 

变角α有o和正、负无穷大，即为实数；变角α与其对应的孤长I(实数)恰是一一对应关系，因此可用孤长I来表示角(即弧度制)；因此有：360°＝2πr(r＝1时)＝2π，则有(弧度)和1(弧度)这两个基本公式，从而推算得：

由单位园、角和角的终边、六条三角函数线和六条三角函数曲线组成的综合模型(图42)，就是三角函数的“函线和模型”。它是个事实规律、是三角函数的角、值互逆对应系统，较复杂。从其角α自变，通过_αR₀线对应在六“函线”上的六个三角函数在应变的周期运动中，可见各角，尤其是各特殊角的三角函数值，可发现各三角函数的周期、奇偶、增减、值域和极值等等。用它能演算三角函数方面的许多问题。演算法是：由浅入深、由简到繁，一次一题一图就会变复杂为简单；表示出已知条件，建起模型，从模型中观察发现规律和答案。要用演示和演算出来的形象生动的事实规律和答案帮助学生认识理解、记忆活用那三角函数方面的许多公式、法则和定理。 

从三角函数的函线和模型中可发现： 

(1)、同角三角函数的基本关系式：sin²α+cos²α＝1等三个“平方和、差等于 1”的公式，其算理是“勾股定理”；sinα·cscα＝1等三个“同角两函数之积等于1”的公式，算理是“倒数关系”，二者的“积点”都在等积s＝1上； 两公式的算理是“三角函数的定义”，两公式之间互为倒数。这八个基本公式，简明好懂，图形清楚，使人印象深好记用。 

(2)、诱导公式：都是些事实规律的写照或算式表示，如_αR₀的正端和单位园交得的终边相同的弧度角α与α+2kπ(k∈z)的六个三角函数分别相等；_αR₀、_-αR₀的正负两端和单位园交得的弧度角-α与α(正负角)或2π-α与α(互补角)、π+α与-的六个三角函数的绝对值分别相等，符号“看(函线上的)方向”(图42左边)；这些形象生动的事实规律的算式表示就是诱导公式。用“模型”演证的好处就是使人能更好的认识理解，加深印象不易遗忘。 

(3)、三角函数和反三角函数，是这同一个运动规律中相互对应的两个方面，本不难认识理解，只因旋转运动的周期性、重复性和表示式中符号的复杂而令人生畏，只要用放大的模型去仔细演示、演算，图、式对应，会化难为易的。 

(4)、恰是sinα和cosα的“和”(cosα+sinα＝b)、“积”(cosα·sinα＝S，S≠0)、)线(图42左边)。已知这b和单位园时，可用-R_b演算得cosα和sinα或由韦达定理得-sin²α+bsinα+S＝0而解得cosα和sinα。若已知α和β两角，也可用这类“和”、“积”线和m₁、等积线演证2sinαcosβ＝sin(α+β)+sin(α-β)之类的和差与积的关系。 

＜5＞、用三角函数模型演算三角函数题。如，(1)演解：已知 求2π内的α和α的其余五个三角函数，演法(图42左边)是：线与单位园交得的弧度角和即为所求的α；对应在其余五条“函线”上的数即为所求。(2)、演解已知求2π内的α和sin2α。演法：以_αR₀线负向 的为半径画弧交I₁于T＝±1，此时_αR₀的正向与单位园交得的2π内的即为所求的α，

(6)、从放大的模型中来看，在这弧(即角或x)、y(即sinx)无限趋近0的过程中，当孤、y极近0时，孤、y等速同进入I₁线与单位园的切点，孤、y相等，比值为1，即 $\frac{y\&RightArrow;0}{a=x\&RightArrow;0}=\underset{x\&RightArrow;0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$

七、排列和组合(m、n∈z⁺，m≥n)的综合模型及其用途用法 

(一)、设排列数 $A_m^n=m(m-1)(m-2)......(m-n+1)=S$ (即)的模型是(图43上图中)m₁线上的有向箭头线。 

公式中的m、n、S三变数，分别与这箭头的“箭尾”、“跨数”(箭头跨过的连续正整数的个数)、“跨积”(跨过的连续正整数之乘积)相对应。 

1、在这m、n、S三变数中，知其任一，其余二者互成函数关系，可用这动态箭头模型演算之。如： 

①、的演算：箭尾m＝8定，“跨数”n与“跨积”S对应变化情况见图 

箭头的“跨数”n=1，2，3，4，5，6，7演算得的排 列数或“跨积”S＝8，(8×7＝)56，336，56×30＝1680，……m₁线上的“跨积”。 

②、的演算：箭头“跨数”n＝2，“箭尾”m与“跨积”S对应情况见图43“上图”中的模型： 

若(n＝4、6等偶数)＝s时，对应的动图就不是三角形而是直角梯形了，s为其斜线R_-1上“隔项”之积。如或42×20(m＝7时)或......；或......。 

2、在m、n、S这三变数中，知其任二时，变成相关的方程或不等式。如： 

①、演解 $A_8^n=\mathrm{56,58,336,345,1680},$ 这五个方程。 

演法(见图43上图)：在模型中找出动箭头当n＝2时，s＝8×7＝56 

即演解得：中的n＝2；(因58不是8×7或8×7×6的连乘积)无解；中的n＝3；无解，中的n＝4。 

②、演解 $A_m^4=\mathrm{24,120,250,360,480}.$

演法(图43上图)：在模型中找出动箭头当m＝4时，“跨积”s＝24，即演解得： $A_m^4=24(=1\&times;2\&times;3\&times;4=2\&times;12)$ 中的m＝4、 中的m＝5、无解(从模型上看没有4个连续正整数之积为250的，故无解)、(12×30即R_-1线上的“隔项”积)中的m＝6、无解。 

从中发现：动箭头的“跨数”为2时，不管箭头向左或右运动多少单位，“跨积”S恰在R_-1与I_m两线的交点上；n为偶数4、6、8、……时，S恰是R_-1线上的“隔项”连乘积。 

3、演证排列方面的恒等变形式： 

①、演示的恒等变形。演法是：在模型中找出其箭头并向左依次移动1、2、3、……(见下图实线箭头) 

这样，S＝336依次发生了“缩”(缩小)、“扩”(扩大)。把变后的排列式前边乘以所“缩”除以所“扩”，即得形变而S不变的恒等式： 

$A_8^3=\frac{8}{8-3}{A}_{8-1}^3=\frac{8(8-1)}{(8-3)(8-3-1)}{A}_{8-2}^3=\frac{8\&times;7\&times;6}{5\&times;4\&times;3}{A}_{8-3}^3=......=336.$ 若把这箭头依次向右运动(或平移)1、2、3、……(见上图中的虚线箭头)时，即得恒等式：  $A_8^3=\frac{8-3+1}{8+1}{A}_{8+1}^3=\frac{6\&times;7}{9\&times;10}{A}_{8+2}^3=......=336.$

一般地，  $A_m^n==\frac{m}{m-n}{A}_{m-1}^n=\frac{m(m-1)}{(m-n)(m-n-1)}{A}_{m-2}^n=\frac{m(m-1)(m-2)}{(m-n)(m-n-1)(m-n-2)}{A}_{m-2}^n=......$ $=\frac{m-n+1}{m+1}{A}_{m+1}^n\frac{(m-n+1)(m-n+2)}{(m+1)(m+2)}{A}_{m+2}^n=.......$ 或 $A_{m-1}^n=\frac{m-n}{m}{A}_m^n;$ $A_{m-1}^n=\frac{m+1}{m-n+1}{A}_m^n;.......$

再如(从模型中可见)(即箭头左移2且增长了1个单位)。 

一般地， $A_m^n=......=\frac{m(m-1)}{(m-n)(m-n-1)(m-n-2)}{A}_{m-2}^{n+1}=.......$ 或  $A_{m-2}^{n+1}=\frac{(m-n)(m-n-1)(m-n-2)}{m(m-1)}{A}_m^n.$

通过用模型实际演算发现： 

(1)、模型(图43)线的下一项(m-n)到“1”恰是(m-n)！，它与“跨积”S之积恰等于m！，为恒等变形，再除以(m-n)！后，恰好得公式

(2)、使(常数)恒等变形的要点是：弄清因m、n的增减S“缩”、“扩，”了多少，把变形后的排列式乘所“缩”除所“扩”。“缩”或“扩”的倍数，都是从m和(m-n)开始依次排开的相邻整数的连乘积，相邻整数的个数等于m或n增、减的单位数。 

(二)、组合数的模型。由组合的定义和乘法原理知：排列数恰是组合数的P_n倍，即从而得组合数公式： 

(P_n＝n！)，这组合数公式的模型是图43中的下图： 

逆向等长双箭头这双箭头模型与排列的大同小异，不同的是多了个(在|m_-1|线上的)逆向等长的箭头，在公式上多了个分母：n的阶乘n！。 

1、中的m、n、(＝F)三变数分别与双箭头模型中上箭头的“箭尾”、两箭头的“跨数”、两箭头的“跨积”之“比值”相对应。这也有m、n、F三者中知其任一，其余二者间成函数关系，知其任二，公式变为相关方程或不等式的情况。如： 

①从逆向等长两箭头模型中明显见有： 

从中可发现： 

(1)、上箭尾m＝8为偶数时，时，对应的F值中有一个值最大(为奇数时，对应的F值中有两个相等的值最大)。F值从最大向两边依次减小直到1。 

(2)、m一定，n和m-n对应的两个F值相等。这在模型中是个事实规律。用算式表示就是公式： $C_m^n=C_m^{m-n}.$

②、分析：∵m≥n，∴这里的m≥3；“跨数”n等于3，即上箭头的箭尾m在等于大于3的正整数范围内运动(下箭头n＝3不变)，可演算得m与F的对应如下： 

箭尾m＝3，4，5，6，7，8，9，10，11，…… 

组合F＝1，4，10，20，35，56，84，120，165，…… 

2、演解与组合相关的方程或不等式：方程和不等式是其相关函数的特例或部分，这里也如此。相关方程或不等式，可从逆向两箭头模型中去演找答案。从这类函数题可见：这n为未知数时，方程一般有两解且这两解之和恰等于m。的演法是：下箭头定，上箭头动。动到 m≥7时有演得其解集是m≥7。 

3、演证组合式的恒等变形。如演证的恒等变形： 

演法(图43下图)：使n＝3不变，上箭头m＝8的位置变、m应变。如上箭头向左平移1、2、……、k(k+3≤m)，则变为…..，F值就缩小8倍扩大8-3＝5倍(这和排列的情况类同)。把乘以所“缩”除以所“扩”即得恒等式： 

$C_8^3=\frac{8}{8-3}{C}_{8-1}^3=\frac{8\&times;7}{5\&times;7}{C}_{8-2}^3=\frac{8\&times;7\&times;6}{5\&times;4\&times;3}{C}_{8-3}^3=.......$

若上箭头向右平移1、2、……、k(k+3≤m)，则得： 

$C_8^3=\frac{8-3+1}{8+1}{C}_{8+1}^3=\frac{(8-3+1)(8-3+2)}{(8+1)(8+2)}{C}_{8+2}^3=.......$

一般地， $C_m^n=\frac{m}{m-n}{C}_{m-1}^n=\frac{m(m-1)}{(m-n)(m-n-1)}{C}_{m-2}^n=......$ $=\frac{m-n+1}{m+1}{C}_{m+1}^n=\frac{(m-n+1)(m-n+2)}{(m+1)(m+2)}{C}_{m+2}^3=.......$

或有： $C_{m-1}^n=\frac{m-n}{m}{C}_m^n......\left(I\right)$ 式； $C_{m+1}^n=\frac{m+1}{m-n+1}{C}_m^n;C_{m-2}^n=\frac{(m-n)(m-n-1)}{m(m-1)}{C}_m^n;$ 等等变形恒等公式。 

再如，从逆向两箭头模型中可见有： 

$C_{10}^3=\frac{10(3+1)}{6\&times;7}{C}_{10-1}^{3+1};......;C_{10}^3=\frac{10}{3}{C}_{10-1}^{3-1};.......$

一般地， $C_m^n=\frac{m(n+1)}{(m-n)(m-n-1)}{C}_{m-1}^{n+1}=......;C_m^n=\frac{m}{n}{C}_{m-1}^{n-1}=......;$ 或有：  $C_{m-1}^{n-1}=\frac{n}{m}{C}_m^n......\left(\mathrm{II}\right)$ 式。 

通过演算可发现，由于m、n的增、减而使组合式形变、因而组合数F有“扩”、“缩”，找形变前后的关系式，使人深感繁难。若用两箭头模型去实际一演示，就可见：组合数F“缩”、“扩”了多少。弄清了F的“扩”、“缩”，把变形后的组合式乘以所“缩”除以所“扩”，便可化难为易地得到所要求的恒等变形式。 

4、演证相关公式：公式在前边的实际演算中，早已发现了这个事实规律。现在来演证要先在模型中实际演算： 

$C_{8-1}^3+C_{8-1}^{3-1}=\frac{7\&times;6\&times;5}{1\&times;2\&times;3}+\frac{7\&times;6}{1\&times;2}=\frac{7\&times;6\&times;5+7\&times;6\&times;3}{1\&times;2\&times;3}=\frac{(5+3)\&times;(7\&times;6)}{1\&times;2\&times;3}=\frac{8\&times;7\&times;6}{1\&times;2\&times;3}=C_8^3$ 之类的题，再进行一般证明。 

一般证明(用上述演证得的I、II式)： 

∵ $C_{m-1}^n+C_{m-1}^{n-1}=\frac{m-n}{m}{C}_m^n+\frac{n}{m}{C}_m^n=(\frac{m-n}{m}+\frac{n}{m})C_m^n=C_m^n,$

∴ $C_m^n=C_{m-1}^n+C_{m-1}^{n-1}.$ (证毕)。 

八、演算简单幂函数s＝xⁿ(x≠0，常数n∈z)的微积分 

(一)、演算一次函数s＝kx+b(k、b为常数，k≠0)的微积分 

一次函数s＝kx+b的函线和模型是动态平行四边形b o x s(图20、44)。公式中的变数kx和常数b分别与动态矩形k o x a和静态矩形(图中有点的矩形)的面积数相对应(常数b对应的矩形面积、形状不变，位置可随x的变而变)。当x＝0时，s＝b；当x变到x+Δx时， 

s＝k(x+Δx)+b。 

从模型中可见： 

(1)、自变量x变化时，函线s的变化速度(即变化率、微分)始终是常数k。 

(2)、x变到(x+Δx)时，函数s在x到(x+Δx)区间内的平均变化率当然是： 

$\frac{f(x+\mathrm{\&Delta;x})-f\left(x\right)}{(x+\mathrm{\&Delta;x})-x}=\frac{k(x+\mathrm{\&Delta;x})+b-(\mathrm{kx}+b)}{(x+\mathrm{\&Delta;x})-x}=\frac{\mathrm{k\&Delta;x}}{\mathrm{\&Delta;x}}=k.$ 这和从模型中看到的一样。 

我们要求的是s在x处的“即时速度”s′(即微分)。因为一次函数s的变化率处处相等于常数k，所以x到(x+Δx)的平均变化率k就是一次函数s在x处的变化率s′，即s′＝k。即一次函数s＝kx+b的微分是其常数k。 

(3)、从一次函数s＝kx+b的平行四边形模型(图44)中，就见到了s′＝k，x沿x轴运动，就是s′＝k的不定积分运算(矩形面积)；x在区间[2，5]时，就是定积分

(4)、常函数(即常数)不变化，其变化率(即微分)当然是0。 

(二)、演算二次函数s＝x²(x≠0)的微积分 

s＝x²的函线和模型是R_o线和以o→R_o为对角线，x、y两轴为两边的动态正方形xoxs(x＝y)。x和s分别与这正方形的边长、面积相对应(图45；x＜0时，正方形在第三象限)。 

从这正方形模型中可见： 

(1)、|x|→∞，s→∞；函数s的变化速度(即变化率)处处不同(不像一次函数，处处相同等于常数k)。s在x处的变化速度(叫“即时速度”、微分)，显然是这动态正方形的两个边长之和x+x＝2x[在(x+Δx)处的就是2(x+Δx)]。这便是用s＝x²的正方形模型演证得了s＝x²的导函数s′＝2x。在这正方形模型中，当x沿m₁线(或x轴或y轴)从2运动到4时，这正方形面积S就相应地从2²依次逐步地积累增加到4²，共积累增加了4²-2²＝12。这个运动过程，用算式表示就是定积分运算： ${\&Integral;}_2^{4}2\mathrm{xdx}=\frac{2}{1+1}{x}^{1+1}=x^2{|}_2^4=4^2-2^2=12.$

(2)、用以往关于微积分的理论、证法求证s＝x²的s′＝2x。 

函数s＝x²在区间[x，(x+Δx)]内的平均变化速度当然是“函数差与自变量差”的比： 

$\frac{f(x+\mathrm{\&Delta;x})-f\left(x\right)}{(x+\mathrm{\&Delta;x})-x}=\frac{{(x+\mathrm{\&Delta;x})}^2-x^2}{(x+\mathrm{\&Delta;x})-x}=......=2x+\mathrm{\&Delta;x}.$ 因这区间内s是增函数，因此这平均速度比要求的x处的“即时速度”要高，不是所求的，x处的“即时速度”才是所要求的。怎样求x处的“即时速度”(即微分)呢？ 

若使(即使两线趋向重合、Δx→0、取极限，使变化了的正方形又变回到原正方形)时，又见s＝x²在x处的变化率是x+x＝2x。这使Δx→0(即取极限)的运动过程的算式表示就是： 

$s^{\&prime;}=\underset{\mathrm{\&Delta;x}\&RightArrow;0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\&Delta;x})-f\left(x\right)}{(x+\mathrm{\&Delta;x})-x}=\underset{\mathrm{\&Delta;x}\&RightArrow;0}{\lim }(2x+\mathrm{\&Delta;x})=2x.$ 和从其模型中直接演证得的一样。 

(3)、从函数s＝x²的“函线”R_o和它的导函数s′＝2x的“函线”m₂的上下对应情况(图46)中可见： 

A、比s＝x²低一次的项x的2倍(2x)恰是其s′＝2x，且s(在R₀线上)与s′(在m₂线上)上下对应；比s＝x²高一次的“去系数项”x³乘以“指数的倒数” (即)，恰是其原函数(常数)的主值这s′、s、F恰在直角折线 上两相邻折段构成的直角三角形(x，x²，x³或x²，x³，x⁴)的三个顶点上(图47)。 

B、当x＝0时，s＝s′＝0(图46)；|x|＜n＝2时，s＜s′；|x|＝n＝2时，s＝s′＝4；|x|＞n＝2时，s＞s′。 

(4)、从s＝x²-6x和s′＝2x-6的“函线”R_-6和m₂上看(见图48)，s′＝0时S_极小＝-9。这便佐证了：导数为0时，原函数为极值。 

(三)、演算s＝x³(x≠0)的微积分 

s＝x³的三维“积系”模型是个动态的正方形v＝x³＝s(图49)。从中可见：函数s＝x³在x处的“即时变化速度”(即变化率、微分)s′，显然是这正方体的 上、前、右面的三个可变的正方形平面的面积x²，即s′＝3x²。x变时，s＝v＝x³逐步积累变大或变小。 

s＝x³的二维“积系”模型是直角折线(图47或50)。这从三维“积系”模型演证得的s′＝3x²，在这二维“积系”模型中难以直接看到，需要“先求其某小区间内的平均变化率，再取极限”的方法去式证之： 

s在小区间[x，(x+Δx)]内的平均变化率是： (图50)。使(即使Δx→0、3xΔx和Δx²→0)，这个取极限、求微分的运动，用算式表示就是： 

$s^{\&prime;}=\underset{\mathrm{\&Delta;x}\&RightArrow;0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\&Delta;x})-f\left(x\right)}{(x+\mathrm{\&Delta;x})-x}=......=\underset{\mathrm{\&Delta;x}\&RightArrow;0}{\lim }({3x}^2+3\mathrm{x\&Delta;x}+{\mathrm{\&Delta;x}}^2)={3x}^2$ (和用三维积系模型演得的一样)。 

从图50所示的s＝x³的模型中可发现： 

(1)、比s＝x³低一次的x²乘以次数n＝3恰是s＝x³的s′＝3x²、高一次的x⁴，除以次数n+1＝4，恰是s＝x³的原函数的主值。s′、s、F恰在折线模型两相邻折段组成的直角三角形的三个顶点上(图50，三角形比二次的向右移了一步)。s′与s或s与F恰在一个折段的两端点上，知其一即知其二。 

(2)、折线上相邻的三个折点上，恰是s＝xⁿ的s′、s、F的“去系数”项(组成一个直角三角形)，知其任一即可演得其任二，也可以演得s″、s″′等。 

(3)、从s＝x³和s′＝3x²两函线 ₃R_o的对应(图50)中可发现：|x|＝0时，s＝s′＝0；|x|＜n＝3时，s＜s′＝27；|x|＝n＝3时，s＝s′＝27；|x|＞n＝3时，s＞s′＝27。可见：当s＝xⁿ中的|x|＝n时，s(＝xⁿ)＝s′。 

演算：

①的演法(图50)是：[找出被积函数s′＝3x²的原函数旋转从积累到时，线上x³所得的面积差(4³-2³)＝56即为①的解。这演解的算式表示就是：① ${\&Integral;}_2^4{3x}^2\mathrm{dx}=\frac{3}{2+1}{x}^{2+1}=x^3{|}_2^4=4^3-2^3=56.$

②的演法和①题的类同，转从积累到线上的x³对应到线上所得的面积差即为②的解。③题和②的不同之处是：积分范围不同，结果不同。若s′＝x⁵时，就在n＝5+1＝6的动折线上(x⁶在R₀线上运动)进行演算。 

演算并不简单，演算说明了这些抽象的算题都是些形象生动的事实规律，用以帮人认识理解这些算题。 

(四).演算幂函数s＝xⁿ(x≠0，常数n∈z)的微积分 

s＝xⁿ的二维积系模型是直角折线从模型上可看出s′＝nx^n-1、看出的多不准确，现在来证明： 

s＝xⁿ在小区间[x，(x+Δx)]内的平均变化率当然是： 

$\frac{f(x+\mathrm{\&Delta;x})-f\left(x\right)}{(x+\mathrm{\&Delta;x})-x}=\frac{{(x+\mathrm{\&Delta;x})}^n-x^n}{(x+\mathrm{\&Delta;x})-x}=\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;$

$=c_n^1{x}^{n-1}+c_n^2{x}^{n-2}\mathrm{\&Delta;x}+......+c_n^{n-2}{\mathrm{x\&Delta;x}}^{n-2}+{\mathrm{\&Delta;x}}^{n-1}$ (这个平均变化率比x处的高或低，不 是所求的)。 

使(即使各级无穷小量Δx、……、Δx^n-1→0，也即取极限求x处的变化率——求微分的运动或运算)。 

这个运动的算式表示就是： $s^{\&prime;}=\underset{\mathrm{\&Delta;x}\&RightArrow;0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\&Delta;x})-f\left(x\right)}{(x+\mathrm{\&Delta;x})-x}=\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;$ $=\underset{\mathrm{\&Delta;x}\&RightArrow;0}{\lim }(c_n^1{x}^{n-1}+c_n^2{x}^{n-1}\mathrm{\&Delta;x}+......+c_n^{n-2}\mathrm{x\&Delta;}{x}^{n-2}+{\mathrm{\&Delta;x}}^{n-1})={\mathrm{nx}}^{n-1}.$

从s＝xⁿ的直角折线模型(图50)中可发现： 

(1)、我们从s＝x¹、x²、x³、……、xⁿ(1至n个折段的折线模型)一路演(使)、算(由其小区间内的平均速度，到取极限求得微分)得出了：s＝xⁿ的s′＝nx^n-1；s与s′在其折线模型的同一个折段的两端，知其一即能知其二；因此能依次演得其相邻的导函数或原函数s′＝nx^n-1，s″＝n(n-1)x^n-2，…….或 $F_1=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1},F_2=\frac{1}{n+2}\&CenterDot;\frac{1}{n+1}{x}^{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}{x}^{n+2},.......$ ……。“积系”中的这些事实规律能帮人认识理解那些不难记用而难以理解的公式。 

(2)、用折线模型中的演法演算s＝xⁿ的s′＝nx^n-1，比“直系”的“曲线上割线转到切线”的图示，更直观量化、真实好懂，更能看清各级无穷小量及其趋向0的速度、遥远无穷的过程和终极结果以便更好地认识理解极限和微分。只有认识理解了微分、学会求微分公式的[求(x，x+Δx)内的“平均速度”和取极限求x处的“即时速度”]两步(不加“求差”)法，才能用此通用的两步法去证得那些更为抽象函数(如三角函数)的微分公式，信服、记用那些微分公式。 

(3)、“积系”的突出特点是对数式进行了一阶微分变换，降次简化和直观量化了函数的图像或函线，能建立起许多形数对应的数学模型，使许多抽象难懂的数学问题简变得形象生动、系统规律、简明好懂。 

(4)、在s＝xⁿ(x≠0，常数n∈z)或∫nx^n-1dx＝？中，当n为偶数时，s的函线是R_o线；对应的是R_o线上0→xⁿ为对角线的正方形的面积；对应的是R_o线上以0→bⁿ与0→aⁿ对应的两个正方形面积的差：aⁿ-bⁿ，n为奇数时，s是以线上0→xⁿ为对角线、x和y两轴为两边的矩形的面积；对应的是线上两个矩形的面积之差。积分数就是面积数。 

(5)、定积分的六个基本性质，大都能从直角折线模型中看出来；奇函数f(x)的 ${\&Integral;}_{-a}^{a}f\left(x\right)\mathrm{dx}=0,$ 偶函数f(x)的 ${\&Integral;}_{-a}^{a}f\left(x\right)\mathrm{dx}=2{\&Integral;}_o^{a}f\left(x\right)\mathrm{dx}$ (见图50)更能看出来。 

实施该发明的方案和最佳方案 

1.普通型：把需要的、大小详略各不相同的“积系”，印制在像地图那样精致的纸或塑料平面上制成“积盘”，贴、挂或平放起来或放在桌面上，用透明直尺代替I_x、m_y、_aR_b、→等线，依据已知条件组织各种数学模型，进行演算式数学教学或自学。 

2.精致型：把需要的、大小详略不同的“积系”，印制在铁质薄平面上制成“积盘”(印制的像地图那样精致)，两端带磁的I_x、m_y、_aR_b、→等线被吸附在其边沿处备用来组建数学模型，悬挂或平放起来用，依据已知条件，驱动上述I_x、m_y等各线组建各种数学模型进行较精准的演算式数学教学或自学。其中，印制的大而精的“积盘”叫演算式数学教学的“地图”，简称“数图”，可用来演示、演算、验证简单数学问题，如17与(-13)的乘积是几？几的是-21？6元能买42斤芹菜，1、4、13元各能买几斤？x²-4x-5≤0的解集是什么？log_0.58＜log₂0.5对吗？......等问题的答案可从这“数图”上很快找到。 

3、微机型：积系的特点之一是，积数s多而密集重复、叠加，演算时，用不着的积数碍事、影响。若把需用的大小详略各不相同的“积盘”制成微机光盘储存在微 机里，进行演算时，需用那种“积盘”就调那种，需要缩小或放大的就缩小放大之。用键盘和鼠标调控光线形式的I_x、m_y、_aR_b、→、s＝a等线，组建光线形式的形数对应数学模型进行更快、准的演算。演算像以前的图示那样，不需用的图、数不出现，需凸显的图、数就凸显；按箭头指引的程序和方向进行快、准的演算，既克服了积系中数多而互相碍事、影响的弱点，又提高了演算的速度、准度，效果更明显。因此，微机型方案，是实施该发明的最佳方案。 

若再把演算的内容和过程制成微机程序教案，用键盘、鼠标调控，按程序教案进行影视教学，就更好了。 

Claims (6)

1.“积坐标系数学演算盘(简称“积盘”)和演算法”属数学教学(或自学)的设备和方法，目前还没见有这种设备和方法，其中“积坐标系”的特征是个x·y＝s的“积数”系统(图1)，其中“积盘”的特征与“积坐标系”的相同且能组织(或组建)“形”(动图)、“数”(变数)对应的数学“模型”进行形象系统的“演算式”数学教学(或自学)，“演算法及特征”是利用已知条件在“积盘”中找出“函线”，组织数学“模型”进行演算式数学教学。

2.按权利1讲的“积坐标系”，其特征是一、三象限内的二、四象限内的x、y轴上的s＝0，x、y和s三变数与系统中动态矩形yoxs的边长和面积相对应(图2)，它对许多函数的“函线”(即图像)进行了一阶微分变换使之降次简化和直观量化(如把二次抛物线降、减为斜截式直线，把高次函数降、减为直角折线)，因而使许多数学问题变得简明好懂。

3.按权利1讲的“积盘”，其特征除与“积坐标系”的相同外还有能组织(或组建)“形”(动图)、“数”(变数)对应的数学“模型”进行形象系统的“演算式”数学教学(或自学)。

4.按权利1讲的“积盘”，其特征是有0≤s＝xy≤10²(x，y∈z⁺，即百内乘除法口诀表，图9)、0≤s≤50²、0≤s≤100²、|S|≤1²、|S|≤10²、|S|≤100²(图1)和万内偶数、奇数、奇素数等大小、详略、用途各不同的多种“积盘”盘面。

5.按权利要求1讲的“积盘”，其特征是有把“积盘”印制在纸张、塑料等薄平面材料上的“普通型”，印制在薄铁板上、把带磁的I_x、m_y、_aR_b、→等线附着在边沿处备用的“精致型”，把“积盘”制成光盘用微机组织光线形式的数学模型进行更快、准演算的“微机型”三种型号。

6.按权利要求1讲的“演算法”，其特征是，利用已知条件在“积盘”中找出相关函数的“函线”，再驱使I_x、m_y、s＝xy、_aR_b、→等线(图2)运动组织起“形”、“数”对应的数学“模型”进行“演算(在演示题意、算理，显现数量关系或算式的同时“算”出答案)式”数学教学的具体“演算法”是：

<1>、在“积盘”中找出一级运算公式a+b＝c的“函线”m₁线，驱使I_x＝a+b组织起“形”、“数”对应数学“模型”——动态矩形(图7、8、6)演算与a+b＝c相关的数学问题。

<2>、在“积盘”中驱使m_y、I_x运动，组织起公式 (a+b-c)²的“形”、“数”对应数学“模型”(图9、10)演算(或演示、演证)百内整数的乘、除问题，两数的积商关系及简单的乘除问题，多项式乘法及相关问题，多项式的平方公式及相关问题。

<3>、在“积盘”中驱使m_y、I_x、“→”等线运动组织起归一、分数、比例问题的形、数对应数学模型(图11、12)演算简单的归一、分数、比例方面的问题。

<4>、在“积盘”中驱使m_y(y＝1、k)和I_x(x＝c、1、b、a...、B)运动，利用已知组织起连比公式 $\frac{d}{c}=\frac{k}{1}=\frac{e}{b}=\frac{f}{a}=......=\frac{A=d+k+e+f+......}{B=c+1+b+a+......}$ 的“形”、“数”对应数学“模型”——连边矩形clba......BA......fekd(图3)，演算(包括演示和演证)与这连比式相关的分数、比例、连比例方面的许多问题。

<5>、在“积盘”中找出正比例函数s＝kx(常数k≠0)的“函线”m_k，驱使I_x运动组织起其“形”、“数”对应数学“模型”——半动态矩形koxs(图17)，演算与正比例函数相关的许多数学问题。

<6>、在“积盘”中找出正(或反)比例函数S＝xy(或常数s≠0，x、y≠0)的“函线”——等积线xy＝s(图2，时，等积线S在一、三象限内，时在二、四象限内)，驱使I_x或m_y运动组织起其数学“模型”——面积为常数S的动态矩形yoxs(图2)，演算与反比例函数相关的许多数学问题。

<7>、在“积盘”中找出一次函数S＝kx+b(k、b为常数，k≠0)的“函线”m_y＝k(或I_k)，驱使箭头(b在m_k线上)平行运动到组织起数学“模型”——动态平行四边形boxs(图20)，演算与一次函数相关的一次方程、不等式、应用题、等差数列等方面的许多数学问题。

<8>、在“积盘”中找出二次函数S＝x²的函线R_o，驱使I_x运动组织起其数学“模型”——以R_o为对角线、两坐标轴为两边的变态直角梯形sx₁x₂s(图24)，演算与S＝x²相关的二次乘、开方方面的许多问题。

<9>、在“积盘”中找出函数S＝x²+bx(b为常数)的函线R_b(图25、26)和“积和”方程组 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{xy}=s.........\left(1\right)\\ x+y=b......\left(2\right)\end{array}\right.$ 的“函线”-R_b、等积线组织起综合数学“模型”(图27)，演算(或演示、演证)与之相关的许多数学问题。

<10>在“积盘”中找出二次函数s＝ax²+bx(a、b为常数，a≠0)的“函线”——斜截式直线_aR_b，驱使I_x运动组织起其数学“模型”——变态直角梯形Sx₁x₂S(图29)，演算与二次函数相关的许多数学问题。

<11>在“积盘”中找出三级运算S＝aⁿ(常数a≠0，n∈z)

的“函线”和数学“模型”——直角折线“1”在m₁和I₁的交点上，a在m₁线上，n为偶数时s在R_o线上，n为奇数时，s在上，n为小数或分数时，s在折线的某折段上)，演算与这广义指数函数相关的许多数学问题。

<12>、在“积盘”中找出指数、对数函数S＝aⁿ(常数a≠1)、n＝loga^s(常数a≠0，)的共同“函线”和“模型”——直角折线(图33)，演算与这指、对函数相关的数学问题。

当常数a＝10时，就是常用对数的“函线”和“模型”，能演算与常用对数相关的一些简单问题。

<13>、在“积盘”中找出等比数列a_n＝a₁q^n-1(a₁、q为常数且不为0)的“函线”和“模型”这等比数列相关的数学问题。

<14>、在“积盘”中找出二项式展开式 的“去系数项”(aⁿ+a^n-1b+……+a^n-kb^k+……+ab^n-1+b^x)的“函线”和“模型”：演算与二项式相关的一些数学问题。

<15>、在“积盘”中找出幂函数S＝aⁿ(常数n∈z，自变量a≠0的“函线”和“模型”——直角折线(图36)，绕原点0旋转线，演算与幂函数相关的许多数学问题。

<16>、在“积盘”中找出反幂函数S＝aⁿ(常数s≠0，a、n≠0)的“函线”和“模型”——直角折线(图37)绕原点0旋转线使a与折次n在折线上相互对应，演算与之相关的乘、开n次方的数学问题。

<17>、在“积盘”中旋转_αR₀线，产生单位园和三角函数的“函线和模型”(图42)，用这“函线和模型”演算或演证三角函数和反三角函数方面的基本问题和公式。

<18>、在“积盘”中找出排列 $A_m^n=m(m-1)(m-2)......(m-n+1)=s$ 的模型(图43上图)和组合的逆向双箭头模型

(图43下图)演算或演证排列和组合方面的数学问题或公式。

<19>、在“积盘”中找出幂函数S＝xⁿ和S＝(x+Δx)ⁿ(n为常数)的“函线”和“模型”，(图50)，驱使旋转到演算幂函数的微积分及相关的数学问题。