CN104202110B - 一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法及装置 - Google Patents

Abstract

本发明涉及通信领域，公开了一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法及装置，能够在保证全部准互补配对序列之间相互正交的同时获得最大的序列数目，而且可以有效抑制正交频分复用系统的峰值平均功率比。本发明的方法包括：选择子序列长度为L的初始互补配对序列集合；对初始互补配对序列集合进行循环左移操作，生成移位等价的L个配对序列集合；利用“二叉树迭代法”对L个移位等价的配对序列集合分别进行N次迭代操作，则总共可以生成2^N·L个相互正交的准互补配对序列集合。当初始互补配对序列集合在循环左移之后依然具有理想的非周期相关性能时，本发明提供的相互正交的准互补配对序列集合成为传统的相互正交的互补配对序列集合。

Description

一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法及装置

技术领域

本发明涉及通信领域，特别涉及一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法及装置。

背景技术

正交频分复用(OFDM)是一项各个子载波之间相互正交的多载波调制方式，能够有效抑制多径干扰，因此成为第四代移动通信的核心技术。为了进一步提升在低信噪比下的工作能力，通常将OFDM与码分多址(CDMA)技术相结合，从而形成多载波码分多址(MC-CDMA)或者称为正交频分复用码分多址(OFDM-CDMA)技术。对于MC-CDMA，该技术不仅可以利用OFDM调制方式提升频谱效率并对抗多径干扰，还可以利用扩频序列获得处理增益，使通信系统在极低的信噪比下依然保持正常工作。

作为MC-CDMA的一项关键技术，扩频序列对系统性能起着重要的作用。扩频序列的序列数目决定了系统最大可容纳的处于激活状态的用户的数量，而扩频序列的相关性能则直接影响到多址干扰或多路复用干扰的程度。那么，关于扩频序列的研究具有重要的意义。对于传统的CDMA技术，人们主要致力于地址码序列的数量和相关性能。然而，当CDMA技术与OFDM技术结合之后，还会带来额外的问题，就是峰值平均功率比(PAPR)问题。过高的PAPR将导致发射机功放超出线形范围，从而大大降低工作效率。为了解决这个问题，人们开始关注互补配对序列，该类序列由两个子序列构成，这两个子序列的异相非周期自相关函数之和恒等于0，即互补配对序列具有理想的非周期自相关性能。目前已经证明，互补配对序列能够有效地抑制PAPR到3dB以下。但是，众所周知，互补序列集合中的序列数目不大于子序列的数目，因此互补配对序列集合中最多只能有两个互补配对序列，这远远不能满足MC-CDMA系统的容量要求。

考虑到实际的MC-CDMA系统在接收机进行解扩之前已经利用OFDM的循环前缀完成了对多径干扰的抑制，因此并不需要扩频序列具有理想的非周期相关性能，而只要满足正交条件就可以了。那么，放宽对相关性能的要求，人们研究了相互正交的互补配对序列集合。该类扩频序列集合既可以有效抑制PAPR，也可以在一定程度上增加可用的互补配对序列数目。然而，为了保持互补配对序列的理想的非周期自相关性能，相互正交的互补配对序列集合的序列数目依然受到限制，这直接限制了MC-CDMA系统的系统容量，使得该系统不能容纳更多的用户同时工作。

发明内容

本发明的目的是提供一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法及装置，能够实现正交性能、序列数目和PAPR抑制这三个扩频序列指标之间的最优平衡，即不仅可以获得最大的序列数目，还可以保证这些序列之间全部正交，同时也能有效抑制PAPR。

本发明提供的一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法及装置，当满足特定条件时，可以保证全部序列都具有理想的非周期自相关性能，能够生成相互正交的互补配对序列集合，因此本发明提供的相互正交的准互补配对序列集合能够包含传统的相互正交的互补配对序列集合作为它的一个特例。

本发明提供的一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法及装置，当不满足所述“特定条件”时，集合中的序列并不能全部具有理想的非周期自相关性能，因此为了区别传统的相互正交的互补配对序列集合，将其称之为相互正交的“准”互补配对序列集合。

一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法，包括：

根据实际通信系统的处理增益要求，确定初始配对序列集合并确定迭代次数N；

对初始配对序列集合循环左移，生成移位等价的L个配对序列集合

对所生成的L个移位等价的配对序列集合，按照“二叉树迭代法”迭代N次，则总共生成2^N·L个相互正交的准互补配对序列集合，表示为其中，第m₀个移位等价的配对序列集合对应生成

所述的初始配对序列集合是互补配对序列集合，具体为：

两个互补配对序列和各自都具有理想的非周期自相关性能；

两个互补配对序列和之间具有理想的非周期互相关性能；

互补配对序列包含两个子序列和同时互补配对序列包含两个子序列和

四个子序列和的长度都是L，可以统一表示为其中，表示子序列的第l个元素，0≤l≤L-1，i，j∈{0，1}。

所述的循环左移操作是将初始配对序列集合S^<0，0>中所有子序列循环左移m₀位，即其中，循环左移m₀位之后所获得的子序列为

所述的“二叉树迭代法”，包括：

选择移位等价的初始配对序列集合

按照如下约束条件迭代N次，

并且

其中，符号“”表示两个子序列之间的级联操作，1≤n≤N，并且

一种相互正交的准互补配对序列集合生成装置，包括：

初始配对序列集合选择单元，用于根据实际通信系统的处理增益要求，确定初始配对序列集合并确定迭代次数N；

循环左移单元，用于对初始配对序列集合循环左移，生成移位等价的L个配对序列集合

“二叉树迭代法”迭代单元，用于对所生成的L个移位等价的配对序列集合，按照“二叉树迭代法”迭代N次，则总共生成2^N·L个相互正交的准互补配对序列集合，表示为其中，第m₀个移位等价的配对序列集合对应生成

所述的初始配对序列集合选择单元，用于选择的初始配对序列集合是互补配对序列集合，具体为：

两个互补配对序列和各自都具有理想的非周期自相关性能；

两个互补配对序列和之间具有理想的非周期互相关性能；

互补配对序列包含两个子序列和同时互补配对序列包含两个子序列和

四个子序列和的长度都是L，可以统一表示为其中，表示子序列的第l个元素，0≤l≤L-1，i，j∈{0，1}。

所述的循环左移单元，用于进行的循环左移操作是将初始配对序列集合S^<0，0>中所有子序列循环左移m₀位，其中，循环左移m₀位之后所获得的子序列为

所述的“二叉树迭代法”迭代单元，用于完成N次迭代操作，包括：

选择移位等价的初始配对序列集合

按照如下约束条件迭代N次，

并且

其中，符号“”表示两个子序列之间的级联操作，1≤n≤N，并且

本发明提供的一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法，通过选择子序列长度为L的初始互补配对序列集合，对其进行循环左移操作，然后利用“二叉树迭代法”对循环左移后的初始互补配对序列集合进行N次迭代操作，总共可以生成2^N·L个相互正交的准互补配对序列集合。

采用本发明提供的方法，所生成的所有准互补配对序列之间相互正交，并且这些准互补配对序列的数目达到了最大，即准互补配对序列的数目等于准互补配对序列的处理增益。

当满足“特定条件”，即初始互补配对序列集合在循环左移之后依然具有理想的非周期相关性能，此时，本发明所提供的相互正交的准互补配对序列集合成为传统的相互正交的互补配对序列集合，因此传统的相互正交的互补配对序列集合可以看作本发明所提供的相互正交的准互补配对序列集合的一个特例。

附图说明

图1是本发明提供的一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法流程图；

图2是本发明提供的“二叉树迭代法”示意图；

图3是本发明提供的一种相互正交的准互补配对序列集合生成装置结构图；

图4-a是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，0>中的第1个配对序列的非周期自相关函数分布图；

图4-b是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，0>中的第1个配对序列和第2个配对序列之间的非周期互相关函数分布图；

图5-a是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，4>中的第1个配对序列的非周期自相关函数分布图；

图5-b是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，4>中的第1个配对序列和第2个配对序列之间的非周期互相关函数分布图；

图5-c是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，4>中的第1个配对序列和配对序列集合S^<2，5>中的第1个配对序列之间的非周期互相关函数分布图；

图6-a是实施例二所生成的配对序列集合S^<2，3>中的第1个配对序列的非周期自相关函数分布图；

图6-b是实施例二所生成的配对序列集合S^<2，3>中的第1个配对序列和第2个配对序列之间的非周期互相关函数分布图；

图6-c是实施例二所生成的配对序列集合S^<2，5>中的第2个配对序列和配对序列集合S^<2，7>中的第1个配对序列之间的非周期互相关函数分布图。

具体实施方式

下面结合附图和具体的实施例对本发明作进一步说明。

如图1所示，本发明提供的一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法的流程，具体包括：

步骤S101，根据实际通信系统的处理增益要求，确定初始配对序列集合和迭代次数N；

步骤S102，对初始配对序列集合循环左移，生成移位等价的L个配对序列集合；

步骤S103，对所生成的L个移位等价的配对序列集合，按照“二叉树迭代法”迭代N次，则总共生成2^N·L个相互正交的准互补配对序列集合。

如图2所示，本发明提供的“二叉树迭代法”，具体包括：

将子序列长度为L的移位等价初始配对序列集合按照所述的约束条件迭代一次之后生成两个子序列长度为2L的配对序列集合和

所生成的两个配对序列集合和按照所述的约束条件再迭代一次，则每一个配对序列集合又可以生成两个子序列长度为4L的配对序列集合，即生成和生成和

依此类推，则迭代N次之后总共生成2^N个子序列长度为2^N·L的配对序列集合，表示为

如图3所示，本发明提供的一种相互正交的准互补配对序列集合生成装置，具体包括：

初始配对序列集合选择单元301，用于根据实际通信系统的处理增益要求，确定初始配对序列集合S^<0，0>和迭代次数N；

循环左移单元302，用于将初始配对序列集合S^<0，0>中所有子序列循环左移m₀位；

“二叉树迭代法”迭代单元303，用于完成N次迭代操作。

本发明提供的一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法，对于给定的子序列长度L的初始配对序列集合和迭代次数N，其技术效果包括：

总共可以生成2^N·L个准互补配对序列集合；

所述的每个准互补配对序列集合包含两个准互补配对序列，则总共生成了2^N+1·L个准互补配对序列；

所述的每个准互补配对序列包含两个子序列；

所述的每个子序列的长度为2^N·L，则每个准互补配对序列的处理增益为2^N+1·L；

所述的总共2^N+1·L个准互补配对序列之间相互正交；

所述的相互正交的准互补配对序列的个数等于准互补配对序列的处理增益，则本发明所提供的生成方法达到了扩频序列设计的理论界限；

所生成的2^N·L个准互补配对序列集合中，前2^N个配对序列集合(或者表示为)由S^<0，0>迭代生成，它们都是互补配对序列集合，即集合中的两个配对序列之间具有理想的非周期互相关性能，并且这两个配对序列各自都具有理想的非周期自相关性能；

当S^<0，0>的循环左移m₀位之后的配对序列集合依然为互补配对序列集合时，则由迭代生成的2^N个配对序列集合都是互补配对序列集合。

下面以两个具体的实施例详细说明本发明提供的方法。

实施例一

设初始互补配对序列集合为其中，符号“+”表示“1”，符号“-”表示“-1”，子序列的长度为L＝4。

对初始互补配对序列集合S<0，0>分别循环左移1位、2位和3位，则可以获得与S^<0，>移位等价的三个配对序列集合 和

可以验证，在所生成的三个移位等价的配对序列集合S^<0.1>、S^<0.2>和S^<0.3>中，S^<0.2>依然是互补配对序列集合，而S^<0.1>和S^<0.3>不是互补配对序列集合。

通过所述的“二叉树迭代法”，分别对上述四个移位等价的配对序列集合S^<0.0>、S^<0.1>、S^<0.2>和S^<0.3>进行迭代操作。

设迭代次数N＝2，则经过两次迭代之后可得2^N·L＝16个相互正交的准互补配对序列集合，具体包括：

实施例一所生成的16个准互补配对序列集合中，(或者表示为)和(或者表示为)分别由S^<0，0>和S^<0，2>迭代2次生成，它们都是互补配对序列集合。

图4-a是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，0>中的第1个配对序列的非周期自相关函数分布图，从图中可以看出，具有理想的非周期自相关性能。

图4-b是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，0>中的第1个配对序列和第2个配对序列之间的非周期互相关函数分布图，从图中可以看出，和之间具有理想的非周期互相关性能。

根据图4-a和图4-b，实施例一所生成的配对序列集合S^<2，0>是一个互补配对序列集合。

类似于S^<2，0>，可以验证也都是互补配对序列集合，此处省略。

实施例一所生成的16个准互补配对序列集合中，和分别由S^<0，1>和S^<0，3>迭代2次生成。因为S^<0，1>和S^<0，3>不是互补配对序列集合，因此由它们迭代生成的和也都不是互补配对序列集合，但是这些准互补配对序列之间都是相互正交的。

图5-a是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，4>中的第1个配对序列的非周期自相关函数分布图，从图中可以看出，不具有理想的非周期自相关性能；

图5-b是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，4>中的第1个配对序列和第2个配对序列之间的非周期互相关函数分布图，从图中可以看出，和之间不具有理想的非周期互相关性能，而只是相互正交；

图5-c是实施例一所生成的配对序列集合S^<2，4>中的第1个配对序列和配对序列集合S^<2，5>中的第1个配对序列之间的非周期互相关函数分布图，从图中可以看出，和之间相互正交；

根据图5-a和图5-b，实施例一所生成的配对序列集合S^<2，4>不是一个互补配对序列集合。

类似于S^<2，4>，可以验证也都不是互补配对序列集合，但是中32个准互补配对序列之间都是相互正交的，此处省略。

实施例二

设初始互补配对序列集合为其中，子序列的长度为L＝2。

对初始互补配对序列集合S^<0，0>循环左移1位，则可以获得与S^<0，0>移位等价的一个配对序列集合可以验证，S^<0，1>也是互补配对序列集合。

通过所述的“二叉树迭代法”，分别对上述两个移位等价的配对序列集合S^<0，0>和S^<0，1>进行迭代操作。

设迭代次数N＝2，则经过两次迭代之后可得2^N·L＝8个相互正交的准互补配对序列集合，具体包括：

实施例二所生成的8个配对序列集合分别由S^<0，0>和S^<0，1>迭代2次生成，因为S^<0，0>和S^<0，1>都是互补配对序列集合，所以也都是互补配对序列集合。

实施例二满足“特定条件”，即初始互补配对序列集合S^<0，0>在循环左移之后依然具有理想的非周期相关性能。此时，实施例二所生成的相互正交的准互补配对序列集合成为传统的相互正交的互补配对序列集合。因此，实施例二可以验证，传统的相互正交的互补配对序列集合能够看作本发明所提供的相互正交的准互补配对序列集合的一个特例。

图6-a是实施例二所生成的配对序列集合S^<2，3>中的第1个配对序列的非周期自相关函数分布图，从图中可以看出，具有理想的非周期自相关性能。

图6-b是实施例二所生成的配对序列集合S^<2，3>中的第1个配对序列和第2个配对序列之间的非周期互相关函数分布图，从图中可以看出，和之间具有理想的非周期互相关性能。

根据图6-a和图6-b，实施例二所生成的配对序列集合S^<2，3>是一个互补配对序列集合。

类似于S^<2，3>，可以验证也都是互补配对序列集合，此处省略。

图6-c是实施例二所生成的配对序列集合S^<2，5>中的第2个配对序列和配对序列集合S^<2，7>中的第1个配对序列之间的非周期互相关函数分布图，从图中可以看出，和之间相互正交；

类似于和可以验证，实施例二所生成的中16个互补配对序列之间都是相互正交的，此处省略。

Claims (8)

1.一种相互正交的准互补配对序列集合生成方法，包括：

根据实际通信系统的处理增益要求，确定初始配对序列集合 $S^{<\mathrm{0,0}>}=\left[\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{0,0}}^{<\mathrm{0,0}>};& S_{\mathrm{0,1}}^{<\mathrm{0,0}>}\\ S_{\mathrm{1,0}}^{<\mathrm{0,0}>};& S_{\mathrm{1,1}}^{<\mathrm{0,0}>}\end{array}\right],$ 并确定迭代次数N；

对初始配对序列集合循环左移，生成移位等价的L个配对序列集合

对所生成的L个移位等价的配对序列集合，按照“二叉树迭代法”迭代N次，则总共生成2^N·L个相互正交的准互补配对序列集合，表示为其中，第m₀个移位等价的配对序列集合对应生成 $S^{\{N,m_N^{\left(m_0\right)}\}},2^N\&CenterDot;m_0\&le;m_N^{\left(m_0\right)}\&le;2^N\&CenterDot;(m_0+1)-1$

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的初始配对序列集合是互补配对序列集合，具体为：

两个互补配对序列和各自都具有理想的非周期自相关性能；

两个互补配对序列和之间具有理想的非周期互相关性能；

互补配对序列包含两个子序列和同时互补配对序列包含两个子序列和

四个子序列和的长度都是L，可以统一表示为 $S_{i,j}^{<\mathrm{0,0}>}=(S_{i,j}^{<\mathrm{0,0}>}\left(0\right),S_{i,j}^{<\mathrm{0,0}>}\left(1\right),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,S_{i,j}^{<\mathrm{0,0}>}(L-1)),$ 其中，表示子序列的第l个元素，0≤l≤L-1，i，j∈{0，1}。

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的循环左移操作是将初始配对序列集合S^<0，0>中所有子序列循环左移m₀位，即 其中，循环左移m₀位之后所获得的子序列为

4.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的“二叉树迭代法”，包括：

选择移位等价的初始配对序列集合

按照如下约束条件迭代N次，

$S^{<n,m_n^{\left(m_0\right)}>=}\left[\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{0,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}{S}_{\mathrm{1,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>};& S_{\mathrm{0,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}{S}_{\mathrm{1,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\\ S_{\mathrm{0,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}(-S_{\mathrm{1,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>});& S_{\mathrm{0,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}(-S_{\mathrm{1,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>})\end{array}\right],$ 并且

$S^{<n,m_n^{\left(m_0\right)}+1>=}\left[\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{1,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}{S}_{\mathrm{0,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>};& S_{\mathrm{1,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}{S}_{\mathrm{0,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\\ S_{\mathrm{1,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}(-S_{\mathrm{0,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>});& S_{\mathrm{1,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}(-S_{\mathrm{0,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>})\end{array}\right],$

其中，符号“”表示两个子序列之间的级联操作，1≤n≤N，并且 $2^{n-1}\&CenterDot;m_0\&le;m_{n-1}^{\left(m_0\right)}\&le;2^{n-1}\&CenterDot;(m_0+1)-1.$

5.一种相互正交的准互补配对序列集合生成装置，包括：

初始配对序列集合选择单元，用于根据实际通信系统的处理增益要求，确定初始配对序列集合 $S^{<\mathrm{0,0}>}=\left[\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{0,0}}^{<\mathrm{0,0}>};& S_{\mathrm{0,1}}^{<\mathrm{0,0}>}\\ S_{\mathrm{1,0}}^{<\mathrm{0,0}>};& S_{\mathrm{1,1}}^{<\mathrm{0,0}>}\end{array}\right],$ 并确定迭代次数N；

循环左移单元，用于对初始配对序列集合循环左移，生成移位等价的L个配对序列集合

“二叉树迭代法”迭代单元，用于对所生成的L个移位等价的配对序列集合，按照“二叉树迭代法”迭代N次，则总共生成2^N·L个相互正交的准互补配对序列集合，表示为其中，第m₀个移位等价的配对序列集合对应生成 $S^{\{N,m_N^{\left(m_0\right)}\}},2^N\&CenterDot;m_0\&le;m_N^{\left(m_0\right)}\&le;2^N\&CenterDot;(m_0+1)-1$

6.如权利要求5所述的装置，其特征在于，所述的初始配对序列集合选择单元，用于选择的初始配对序列集合是互补配对序列集合，具体为：

两个互补配对序列和各自都具有理想的非周期自相关性能；

两个互补配对序列和之间具有理想的非周期互相关性能：

互补配对序列包含两个子序列和同时互补配对序列包含两个子序列和

四个子序列和的长度都是L，可以统一表示为 $S_{i,j}^{<\mathrm{0,0}>}=(S_{i,j}^{<\mathrm{0,0}>}\left(0\right),S_{i,j}^{<\mathrm{0,0}>}\left(1\right),\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,S_{i,j}^{<\mathrm{0,0}>}(L-1)),$ 其中，表示子序列的第l个元素，0≤l≤L-1，i，j∈{0，1}。

7.如权利要求5所述的装置，其特征在于，所述的循环左移单元，用于进行的循环左移操作是将初始配对序列集合S^<0，0>中所有子序列循环左移m₀位，即其中，循环左移m₀位之后所获得的子序列为

8.如权利要求5所述的装置，其特征在于，所述的“二叉树迭代法”迭代单元，用于完成N次迭代操作，包括：

选择移位等价的初始配对序列集合

按照如下约束条件迭代N次，

$S^{<n,m_n^{\left(m_0\right)}>=}\left[\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{0,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}{S}_{\mathrm{1,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>};& S_{\mathrm{0,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}{S}_{\mathrm{1,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\\ S_{\mathrm{0,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}(-S_{\mathrm{1,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>});& S_{\mathrm{0,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}(-S_{\mathrm{1,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>})\end{array}\right],$ 并且

$S^{<n,m_n^{\left(m_0\right)}+1>=}\left[\begin{array}{cc}{S}_{\mathrm{1,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}{S}_{\mathrm{0,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>};& S_{\mathrm{1,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}{S}_{\mathrm{0,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\\ S_{\mathrm{1,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}(-S_{\mathrm{0,0}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>});& S_{\mathrm{1,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>}\mathrm{\&Theta;}(-S_{\mathrm{0,1}}^{<n-1,m_{n-1}^{\left(m_0\right)}>})\end{array}\right],$

其中，符号“”表示两个子序列之间的级联操作，1≤n≤N，并且 $2^{n-1}\&CenterDot;m_0\&le;m_{n-1}^{\left(m_0\right)}\&le;2^{n-1}\&CenterDot;(m_0+1)-1.$