CN104200268B - 一种基于粒子群优化极限学习机的带钢出口厚度预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于粒子群优化极限学习机的带钢出口厚度预测方法，基本步骤如下：1)利用数据处理软件对带钢数据信号进行分析，选出对带钢出口厚度影响较大的4个参数，即轧制力，辊缝，轧制速度，电机电流，在带钢出口厚度的预测中作为输入变量输入到极限学习机中；2)用粒子群算法对极限学习机中的参数输入权值和隐含层偏置值进行选择优化，运用广义逆的方法分析决定输出权值，得到极限学习机中具有最小范数值的输出权值矩阵，以此得到最优的极限学习机参数；3)对上述所得最优的极限学习机进行模型构造；4)将步骤1)中的4个参数输入优化的极限学习机中对带钢出口厚度进行预测。运用本方法能够针对轧制生产过程进行分析，对轧件出口厚度进行预测，进而分析有关影响带钢质量的工艺参数并对轧制生产流程做出及时调整控制。

Description

一种基于粒子群优化极限学习机的带钢出口厚度预测方法

技术领域

本发明涉及一种用于预测带钢出口厚度的方法，尤其是一种基于粒子群优化极限学习机的带钢出口厚度预测方法。

背景技术

带钢厚度在轧制过程中占据着重要的地位，出口厚度的精度已经成为衡量带钢成品质量的重要指标，并且受到了国内外冶金工业的广泛关注。但是在实际的轧制过程中，带钢出口厚度有众多的影响因素，并且每个因素根据张力控制方法对带钢厚度产生不同的影响。目前，对带钢厚度控制预测普遍采用自动厚度控制(AGC)方法，但是这种方法的控制精度完全取决于控制模型的精度，所以使得厚度的精度预测受到了限制。近年来，神经网络被普遍应用于轧钢的预测中，但是由于其存在收敛速度慢，容易陷入局部最优和泛化性能低等缺点，使得神经网络在预测方面受到了限制。

为了避免上述问题，极限学习机作为一种新型的单隐层前馈神经网络，并以其快速的学习速度，较好的泛化性能和较少的调节参数得到了广泛应用。但是由于其输入权值和隐含层偏置值是随机选取的，所以导致极限学习机比传统的基于梯度的学习算法需要更多的隐含层节点，并且也容易导致系统的病态，为了解决这种问题许多国内外的学者对极限学习机进行了进一步的研究。

发明内容

针对极限学习机的输入权值和隐含层偏置值的随机选取会对输出权值的计算产生影响，并且使极限学习机比传统的基于参数调整的学习算法需要更多的隐含层节点，引起系统的病态导致泛化性能降低，本发明采用粒子群优化极限学习机，并应用于带钢出口厚度的预测中，提出了一种基于粒子群优化极限学习机的带钢出口厚度预测方法(PSO-ELMPA)，以此来降低预测误差，提高预测精度和鲁棒性。

本发明是通过下述技术方案实现的：

一种基于粒子群优化极限学习机的带钢出口厚度预测方法，其特征在于，步骤如下：

1)分析采集的带钢数据信号：采集对带钢出口厚度有影响的轧制力，轧制速度，电机电流，入口和出口温度，辊缝，前馈调节量，压力调节量各参数信号，运用数据处理软件对上述各参数信号进行分析，并将分析后的数据导入到excel表中，等待筛选；将带钢的出口厚度和与上述各参数的走势用图形表示，分析各参数与带钢出口厚度的正负相关性，与带钢出口厚度具有较大负相关的轧制力，轧制速度，电机电流，以及具有较大正相关的辊缝这4个参数被选中，在带钢出口厚度的预测中作为输入变量输入到极限学习机中；

2)采用粒子群算法对极限学习机中的参数输入权值和隐含层偏置值进行优化，运用广义逆的方法分析决定输出权值，得到极限学习机中具有最小范数值的输出权值矩阵，得到最优的极限学习机参数；

3)根据步骤2)中优化得到的极限学习机建立模型：首先建立三层的改进极限学习机的网络模型，其输入层有4个节点表示输入参数，输出层有一个节点表示对带钢出口厚度的预测结果，隐含层节点数是20个，向极限学习机输入经由步骤2)计算得到的其各层节点之间的最优权值；

4)将步骤1)选定的4个参数输入改进的极限学习机中，完成对带钢的出口厚度的预测。

所述的步骤2)采用粒子群算法对极限学习机中的参数进行优化的过程如下：

(1)初始化粒子群算法：设定种群大小为50，最大迭代次数Maxiter为300，最大惯性权值ω_max和最小惯性权值ω_min分别设定为1.2和0.4，两个学习因子c₁和c₂设定为2，限定粒子的最小速度v_min和最大速度v_max分别设定为-1和1，最小位置x_min和最大位置x_max分别设置为-1和1；

(2)随机初始化粒子群：采用粒子群算法对极限学习机中的参数进行优化，所以粒子群中的每个粒子P_i都由一系列极限学习机的输入权值ω_j和偏置值b_j构成，粒子可表示为P_i＝[ω₁₁,ω₁₂,...,ω_1H,ω₂₁,ω₂₂,...,ω_2H,...,ω_d1,ω_d2,...,ω_dH,b₁,b₂,...b_H],并且粒子中所有元素用处于[-1,1]范围内的数值随机初始化；其中ω_j＝(ω_j1,...,ω_jd)^T是连接输入层和第j个隐含层的输入权值向量，b_j是第j个隐含层神经元的偏置值；

(3)对适应值函数进行选择：一般情况下普遍运用均方根误差(RMSE)作为适应值函数，在迭代过程中使得均方根误差尽可能最小化，其计算公式如公式(1)所示：

其中n_v是校验样本数，β_ig(ω_i·x_j+b_i)为隐含层计算公式，t_j为每个样本期望输出值。

在极限学习机中，隐含层输出矩阵H的2范式条件数计算如公式(2)所示：

其中λ_max(H^TH)和λ_min(H^TH)分别是矩阵H^TH的最大和最小特征值；所述的2范式条件数κ₂(H)越接近1，就越容易得到全局最小值；

选取均方根误差(RMSE)和隐含层输出矩阵H的2范式条件数(COND)作为粒子群算法的适应值函数；其中隐含层输出矩阵H的条件数由训练样本得出，均方根误差在校验样本集上得到；适应值函数计算如公式(3)所示：

(4)初始化迭代次数t＝1；

(5)计算所有粒子的个体极值P_ib和群体极值P_g；每个粒子根据预设的适应值函数计算各自的适应值，并和当前的个体极值和群体极值进行比较，在P_ib和P_g的选择中，具有较小均方根误差和2范式条件数的粒子被选中，其计算公式为(4)和(5)；

其中分别是第i个粒子的均方根误差，第i个粒子最优的均方根误差，所有粒子中最优的均方根误差。 分别是第i个粒子的隐含层输出矩阵H的2范式条件数，第i个粒子最优的隐含层输出矩阵H的2范式条件数，所有粒子中最优的隐含层输出矩阵H的2范式条件数；

(6)根据如下速度和位置更新公式对每个粒子的速度和位置向量进行更新当位置向量进行更新时，组成粒子的所有元素都要限制在区间[-1,1]内。其更新公式为公式(6)和(7)；

V_i(t+1)＝ωV_i(t)+c₁r₁[P_ib-X_i(t)]+c₂r₂[P_g-X_i(t)] (6)

X_i(t+1)＝X_i(t)+V_i(t) (7)

其中t为当前迭代次数，ω是惯性权值，c₁和c₂是两个非负的学习因子，分别代表了粒子的自身学习能力和社会学习能力，r₁和r₂是0到1区间的随机数，速度被限制在由最大速度和最小速度所组成的区间[v_min,v_max]内；

(7)更新粒子群的惯性权值ω：利用一种自适应惯性权值，参数ω根据以下公式随着迭代次数的增加线性减小，其公式为(8)；

其中ω_max是最大惯性权值，ω_min是最小惯性权值，T和t分别是迭代的总次数和当前的迭代次数；

(8)迭代次数t+1，直到达到最大迭代次数Maxiter；最终得到最优的极限学习机输入权值和隐含层偏置值存在于群体极值P_g中，并通过广义逆计算得到输出权值，得到最优的极限学习机，其计算公式为(9)：

其中,β＝(β₁,...,β_H)^T为极限学习机连接隐含层与输出层的输出权值，T＝(t₁,...,t_N)^T为极限学习机的输出值，为隐含层输出矩阵的广义逆计算。

本发明采用上述优化方法，利用粒子群算法优化极限学习机的输入权值和隐含层偏置值，采用广义逆的方法分析决定输出权值，并将优化的极限学习机用于带钢出口厚度预测，在优化输入权值和隐含层偏置值的过程中，不仅考虑了校验集的均方根误差，而且参考了隐含层输出矩阵的2范式条件值，所以得到了具有最小范数的输出权值矩阵。和传统极限学习机的对比实验表明，本发明具有更好的泛化性能和鲁棒性，并且系统处于较好的状态。此外，该算法降低了预测误差提高了预测精度。

附图说明

图1是轧制力与带钢出口厚度的关系图。

图2是辊缝与带钢出口厚度的关系图。

图3是轧制速度与带钢出口厚度的关系图。

图4是电机电流与带钢出口厚度的关系图。

图5是传统极限学习机(ELM)带钢出口厚度预测结果图。

图6是粒子群优化极限学习机(PSO-ELMPA)的带钢出口厚度预测结果图。

具体实施方式

一、本发明的理论依据：

1、极限学习机的提出

极限学习机是一种新型的单隐层前馈神经网络(SLFNs)学习算法，在2004年由黄广斌提出。在极限学习机中，连接输入层和隐含层的输入权值以及隐含层的偏置值随机选取，连接隐含层和输出层的输出权值由广义逆方法分析决定。

给定一个训练数据集L＝{(x(n),t(n)),n＝1,2,...,N}，其中x(n)＝(x₁(n),...,x_d(n))^T∈R^d，t(n)＝(t₁(n),...,t_m(n))^T∈R^m。一个具有激活函数g(·)和H个隐含层神经元节点的极限学习机可以表示为公式(Ⅰ)：

公式(Ⅰ)也可以以矩阵的方式表示如公式(Ⅱ)和(Ⅲ)所示：

Hβ＝T (Ⅱ)

其中，

其中ω_j＝(ω_j1,...,ω_jd)^T∈R^d是连接输入层和第j个隐含层的输入权值向量，b_j是第j个隐含层神经元的偏置值，β_j＝(β_j1,...,β_jm)^T是连接第j个隐含层神经元和输出层的输出权值向量。

所以，对输出权值的决定就是对给定的线性系统找出其最小二乘解，具有最小范数的线性系统的最小二乘解表示为公式(Ⅳ)：

其中是矩阵H的广义逆。最小二乘解是唯一的，并在所有的最小二乘解中具有最小的范数值。极限学习机应用广义逆的方法在保证快速学习速度的同时得到优越的泛化性能。

在公式(Ⅳ)中定义的解是公式(Ⅱ)中线性系统的一个最小二乘解，并且在所有的最小二乘解中具有最小的范数值。不仅使预测误差最小化，而且使输出权值具有最小的量级，所以在所有的最小二乘解中获取了最好的泛化性能。

2、粒子群算法

粒子群算法是一种基于种群的随机优化技术，在1995年由Kennedy和Eberhart提出。在粒子群算法中，每个粒子都是d维搜索空间中的候选解，速度向量可以使粒子在搜索空间中飞行探索，并在若干次迭代之后找出全局最优的位置向量。第i个粒子在第t次迭代时位置向量表示为X_i(t)＝[x_i1,x_i2,...,x_id]，速度向量表示为V_i(t)＝[v_i1,v_i2,...,v_id]。

适应值函数决定了一个粒子与最优解的接近程度，每个粒子都包含迭代所经过的两个最优向量，P_ib＝(P_b,1,P_b,2,…,P_b,d)和P_g＝(P_g,1,P_g,2,…,P_g,d)。前者是第i个粒子所经过的最优位置向量，后者是整个种群所经过的最优向量。每一次迭代，粒子根据P_ib和P_g的影响调整速度向量。粒子每次迭代的向量调整公式如公式(6)和(7)所示。惯性权值ω的调整如公式(8)所示。

二、本发明的实现过程：

(1)分析采集的带钢数据信号：轧制工艺数据来自具有9个机架的出口厚度为1.3毫米的轧机。为了预测带钢的出口厚度，将对其有影响的轧制力，轧制速度，电机电流，温度，辊缝、前馈调节量，压力调节量等数据信号运用数据处理软件ibaAnalyzer中进行分析，并将分析后的数据导入到excel中筛选使用。

轧机具有9个机架，由于第1个到第8个机架的数据信号对带钢的出口厚度存在一定的延迟，所以选择第9个机架的相关数据信号进行实验。

由于样本数据在带钢出口厚度的预测中作用重大，所以样本数据的选择必须覆盖整个数据空间并具有代表性。为了保证数据集选择的合理性，将带钢的出口厚度和其他的数据信号进行相关性对比，对比关系曲线图如图1到图4所示。分析各参数与带钢出口厚度的正负相关性，与带钢出口厚度具有较大负相关的轧制力，轧制速度，电机电流，以及具有较大正相关的辊缝这4个参数被选中，所以将对出口厚度较为敏感的轧制力，辊缝，轧制速度，电机电流4个参数作为极限学习机的输入变量。

2)用粒子群算法对极限学习机中的参数输入权值和隐含层偏置值进行选择优化，运用广义逆的方法分析决定输出权值，得到极限学习机中具有最小范数值的输出权值矩阵，进而得到最优的极限学习机参数。

步骤2)中粒子群算法优化极限学习机的过程如下：

(1)初始化粒子群算法：设定种群大小为50，最大迭代次数Maxiter为300，最大惯性权值ω_max和最小惯性权值ω_min分别设定为1.2和0.4，两个学习因子c₁和c₂设定为2，限定粒子的最小速度v_min和最大速度v_max分别设定为-1和1，最小位置x_min和最大位置x_max分别设置为-1和1；

(2)随机初始化粒子群：采用粒子群算法对极限学习机中的参数进行优化，所以粒子群中的每个粒子P_i都由一系列极限学习机的输入权值ω_j和偏置值b_j构成，粒子可表示为P_i＝[ω₁₁,ω₁₂,...,ω_1H,ω₂₁,ω₂₂,...,ω_2H,...,ω_d1,ω_d2,...,ω_dH,b₁,b₂,...b_H],并且粒子中所有元素用处于[-1,1]范围内的数值随机初始化；其中ω_j＝(ω_j1,...,ω_jd)^T是连接输入层和第j个隐含层的输入权值向量，b_j是第j个隐含层神经元的偏置值；

(3)对适应值函数进行选择：一般情况下普遍运用均方根误差(RMSE)作为适应值函数，在迭代过程中使得均方根误差尽可能最小化，其计算公式如公式(1)所示：

其中n_v是校验样本数，β_ig(ω_i·x_j+b_i)为隐含层计算公式，t_j为每个样本期望输出值。

在极限学习机中，隐含层输出矩阵H的2范式条件数计算如公式(2)所示：

其中λ_max(H^TH)和λ_min(H^TH)分别是矩阵H^TH的最大和最小特征值；所述的2范式条件数κ₂(H)越接近1，就越容易得到全局最小值；

选取均方根误差(RMSE)和隐含层输出矩阵H的2范式条件数(COND)作为粒子群算法的适应值函数；其中隐含层输出矩阵H的条件数由训练样本得出，均方根误差在校验样本集上得到；适应值函数计算如公式(3)所示：

(4)初始化迭代次数t＝1；

(5)计算所有粒子的个体极值P_ib和群体极值P_g；每个粒子根据预设的适应值函数计算各自的适应值，并和当前的个体极值和群体极值进行比较，在P_ib和P_g的选择中，具有较小均方根误差和2范式条件数的粒子被选中，其计算公式为(4)和(5)；

其中分别是第i个粒子的均方根误差，第i个粒子最优的均方根误差，所有粒子中最优的均方根误差。 分别是第i个粒子的隐含层输出矩阵H的2范式条件数，第i个粒子最优的隐含层输出矩阵H的2范式条件数，所有粒子中最优的隐含层输出矩阵H的2范式条件数；

(6)根据如下速度和位置更新公式对每个粒子的速度和位置向量进行更新当位置向量进行更新时，组成粒子的所有元素都要限制在区间[-1,1]内。其更新公式为公式(6)和(7)；

V_i(t+1)＝ωV_i(t)+c₁r₁[P_ib-X_i(t)]+c₂r₂[P_g-X_i(t)] (6)

X_i(t+1)＝X_i(t)+V_i(t) (7)

其中t为当前迭代次数，ω是惯性权值，c₁和c₂是两个非负的学习因子，分别代表了粒子的自身学习能力和社会学习能力，r₁和r₂是0到1区间的随机数，速度被限制在由最大速度和最小速度所组成的区间[v_min,v_max]内；

(7)更新粒子群的惯性权值ω：利用一种自适应惯性权值，参数ω根据以下公式随着迭代次数的增加线性减小，其公式为(8)；

其中ω_max是最大惯性权值，ω_min是最小惯性权值，T和t分别是迭代的总次数和当前的迭代次数；

(8)迭代次数t+1，直到达到最大迭代次数Maxiter；最终得到最优的极限学习机输入权值和隐含层偏置值存在于群体极值P_g中，并通过广义逆计算得到输出权值，得到最优的极限学习机，其计算公式为(9)：

其中,β＝(β₁,...,β_H)^T为极限学习机连接隐含层与输出层的输出权值，T＝(t₁,...,t_N)^T为极限学习机的输出值，为隐含层输出矩阵的广义逆计算。

3)对优化的极限学习机建立模型：首先建立三层的改进极限学习机的网络模型，其输入层有4个节点表示输入参数，输出层有一个节点表示对带钢出口厚度的预测结果，隐含层节点数是20个，极限学习机各层节点之间的权值通过步骤2)优化计算得出。

4)将步骤1)改进的极限学习机中对带钢的出口厚度进行预测。将步骤1)选定的4个参数输入步骤2)所得出的优化的极限学习机中，用于带钢出口厚度的预测中，并与传统的极限学习机进行结果对比，以此验证本发明的有效性。

1.实验初始化。粒子群优化极限学习机带钢出口厚度预测算法(PSO-ELMPA)与传统的极限学习机进行对比实验，实验结果的评价性能由均方根误差(RMSE)和条件值(COND)的大小来衡量。

在样本数据数的选取中，运用数据处理软件将取样区间设定为0.2s所导出的样本数足够反映轧机的状况。经过数据的筛选，最终选取300和数据进行实验。在传统极限学习机的预测实验中，选取250个数据作为训练样本，50个作为测试样本。在PSO-ELMPA的预测实验中，选取150个样本作为训练样本，50个为校验样本，50个为测试样本。

2.实验结果分析。将轧制力，辊缝，轧制速度和电机电流输入极限学习机中得到带钢出口厚度的预测值，为了便于分析实验结果，传统极限学习机(ELM)和粒子群优化极限学习机(PSO-ELMPA)的带钢出口厚度预测结果曲线如图5,6所示。图5所示的传统极限学习机带钢出口厚度预测方法中，带钢出口厚度的期望值和预测值的均方根误差很小，所以极限学习机适合带钢出口厚度的预测。但是图6所示的粒子群优化极限学习机的预测方法中预测值更接近期望值，并且RMSE和COND值都比ELM算法的小。

为了验证本发明算法的预测精度和鲁棒性，运行20次对比实验的结果如表1所示，从表1可以清楚的得出PSO-ELMPA的RMSE和COND值比传统的ELM小，并且最优的隐含层节点数为20，所以本方法具有较高的预测精度和较好的鲁棒性。

表1对比实验结果

Claims (1)

1.一种基于粒子群优化极限学习机的带钢出口厚度预测方法，其特征在于，步骤如下：

1)分析采集的带钢数据信号：采集对带钢出口厚度有影响的轧制力，轧制速度，电机电流，入口和出口温度，辊缝，前馈调节量，压力调节量各参数信号，运用数据处理软件对上述各参数信号进行分析，并将分析后的数据导入到excel表中，等待筛选；将带钢的出口厚度和与上述各参数的走势用图形表示，分析各参数与带钢出口厚度的正负相关性，与带钢出口厚度具有较大负相关的轧制力，轧制速度，电机电流，以及具有较大正相关的辊缝这4个参数被选中，在带钢出口厚度的预测中作为输入变量输入到极限学习机中；

2)采用粒子群算法对极限学习机中的参数输入权值和隐含层偏置值进行优化，运用广义逆的方法分析决定输出权值，得到极限学习机中具有最小范数值的输出权值矩阵，得到最优的极限学习机参数；

3)根据步骤2)中优化得到的极限学习机建立模型：首先建立三层的改进极限学习机的网络模型，其输入层有4个节点表示输入参数，输出层有一个节点表示对带钢出口厚度的预测结果，隐含层节点数是20个，向极限学习机输入经由步骤2)计算得到的其各层节点之间的最优权值；

4)将步骤1)选定的4个参数输入改进的极限学习机中，完成对带钢的出口厚度的预测；

所述的步骤2)采用粒子群算法对极限学习机中的参数进行优化的过程如下：

(1)初始化粒子群算法：设定种群大小为50，最大迭代次数Maxiter为300，最大惯性权值ω_max和最小惯性权值ω_min分别设定为1.2和0.4，两个学习因子c₁和c₂设定为2，限定粒子的最小速度v_min和最大速度v_max分别设定为-1和1，最小位置x_min和最大位置x_max分别设置为-1和1；

(2)随机初始化粒子群：采用粒子群算法对极限学习机中的参数进行优化，所以粒子群中的每个粒子P_i都由一系列极限学习机的输入权值ω_j和偏置值b_j构成，粒子可表示为P_i＝[ω₁₁,ω₁₂,...,ω_1H,ω₂₁,ω₂₂,...,ω_2H,...,ω_d1,ω_d2,...,ω_dH,b₁,b₂,...b_H],并且粒子中所有元素用处于[-1,1]范围内的数值随机初始化；其中ω_j＝(ω_j1,...,ω_jd)^T是连接输入层和第j个隐含层的输入权值向量，b_j是第j个隐含层神经元的偏置值；

(3)对适应值函数进行选择：一般情况下普遍运用均方根误差(RMSE)作为适应值函数，在迭代过程中使得均方根误差尽可能最小化，其计算公式如公式(1)所示：

$RMSE=\sqrt{\frac{{\Σ}_{j=1}^{n_v}\left|\right|{\Σ}_{i=1}^H{\mathrm{\β}}_{i}g({\mathrm{\ω}}_i\·x_j+b_i)-t_j|{|}_2^2}{n_v}}---\left(1\right)$

其中n_v是校验样本数，β_ig(ω_i·x_j+b_i)为隐含层计算公式，t_j为每个样本期望输出值；

在极限学习机中，隐含层输出矩阵H的2范式条件数计算如公式(2)所示：

${\mathrm{\κ}}_2\left(H\right)=\sqrt{\frac{{\mathrm{\λ}}_{max}\left(H^{T}H\right)}{{\mathrm{\λ}}_{min}\left(H^{T}H\right)}}---\left(2\right)$

其中λ_max(H^TH)和λ_min(H^TH)分别是矩阵H^TH的最大和最小特征值；所述的2范式条件数κ₂(H)越接近1，就越容易得到全局最小值；

选取均方根误差(RMSE)和隐含层输出矩阵H的2范式条件数(COND)作为粒子群算法的适应值函数；其中隐含层输出矩阵H的条件数由训练样本得出，均方根误差在校验样本集上得到；适应值函数计算如公式(3)所示：

$f=RMSE+COND=\sqrt{\frac{{\Σ}_{j=1}^{n_v}\left|\right|{\Σ}_{i=1}^H{\mathrm{\β}}_{i}g({\mathrm{\ω}}_i\·x_j+b_i)-t_j|{|}_2^2}{n_v}}+{\mathrm{\κ}}_2\left(H\right)---\left(3\right)$

(4)初始化迭代次数t＝1；

(5)计算所有粒子的个体极值P_ib和群体极值P_g；每个粒子根据预设的适应值函数计算各自的适应值，并和当前的个体极值和群体极值进行比较，在P_ib和P_g的选择中，具有较小均方根误差和2范式条件数的粒子被选中，其计算公式为(4)和(5)；

$P_{ib}=\left\{\begin{array}{cc}{P}_i& ({\mathrm{RMSE}}_{P_i}<{\mathrm{RMSE}}_{P_{ib}})and({\mathrm{COND}}_{P_i}<{\mathrm{COND}}_{P_{ib}})\\ P_{ib}& else\end{array}\right.---\left(4\right)$

$P_g=\left\{\begin{array}{cc}{P}_i& ({\mathrm{RMSE}}_{P_i}<{\mathrm{RMSE}}_{P_g})and({\mathrm{COND}}_{P_i}<{\mathrm{COND}}_{P_g})\\ P_g& else\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中分别是第i个粒子的均方根误差，第i个粒子最优的均方根误差，所有粒子中最优的均方根误差； 分别是第i个粒子的隐含层输出矩阵H的2范式条件数，第i个粒子最优的隐含层输出矩阵H的2范式条件数，所有粒子中最优的隐含层输出矩阵H的2范式条件数；

(6)根据如下速度和位置更新公式对每个粒子的速度和位置向量进行更新当位置向量进行更新时，组成粒子的所有元素都要限制在区间[-1,1]内；其更新公式为公式(6)和(7)；

V_i(t+1)＝ωV_i(t)+c₁r₁[P_ib-X_i(t)]+c₂r₂[P_g-X_i(t)] (6)

X_i(t+1)＝X_i(t)+V_i(t) (7)

其中t为当前迭代次数，ω是惯性权值，c₁和c₂是两个非负的学习因子，分别代表了粒子的自身学习能力和社会学习能力，r₁和r₂是0到1区间的随机数，速度被限制在由最大速度和最小速度所组成的区间[v_min,v_max]内；

(7)更新粒子群的惯性权值ω：利用一种自适应惯性权值，参数ω根据以下公式随着迭代次数的增加线性减小，其公式为(8)；

$\mathrm{\&omega;}={\mathrm{\&omega;}}_{max}-t\frac{({\mathrm{\&omega;}}_{\max }-{\mathrm{\&omega;}}_{\min })}{T}---\left(8\right)$

其中ω_max是最大惯性权值，ω_min是最小惯性权值，T和t分别是迭代的总次数和当前的迭代次数；

(8)迭代次数t+1，直到达到最大迭代次数Maxiter；最终得到最优的极限学习机输入权值和隐含层偏置值存在于群体极值P_g中，并通过广义逆计算得到输出权值，得到最优的极限学习机，其计算公式为(9)：

其中,β＝(β₁,...,β_H)^T为极限学习机连接隐含层与输出层的输出权值，T＝(t₁,...,t_N)^T为极限学习机的输出值，为隐含层输出矩阵的广义逆计算。