CN104159311B

CN104159311B - 一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法

Info

Publication number: CN104159311B
Application number: CN201410414601.7A
Authority: CN
Inventors: 石硕; 梁楠; 顾学迈; 叶亮; 刘通; 周才发; 王泽蒙; 田斯; 朱师妲
Original assignee: Harbin Institute of Technology
Current assignee: Harbin Institute of Technology
Priority date: 2014-08-21
Filing date: 2014-08-21
Publication date: 2018-04-10
Anticipated expiration: 2034-08-21
Also published as: CN104159311A

Abstract

一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，本发明涉及一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法。本发明是要解决目前采用联合分配方法分配带宽和功率从而实现最大化信道容量的算法中，没有考虑到主用户在一定时间间隔内出现的概率不同的问题而提出的一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法。该方法是通过步骤一、确定优化目标为最小化系统通信时延步骤二、对代入的情况下的目标函数采用牛顿迭代法求解，得到最优解和步骤三、求得D_ij最优数值解D_ij ^*等步骤实现的。本发明应用于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配领域。

Description

一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法

技术领域

本发明涉及基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配领域。

背景技术

随着无线电技术的飞速发展，用户将需要各种各样的无线通信方式来满足生活的需求，而无线局域网(Wireless Local Area Networks，WLAN)、第三代通用移动通信系统(Third Generation Universal Mobile Telecommunication Systems，3G-UMTS)、IEEE802.11、全球微波互联接入(Worldwide Interoperability for Microwave Access，WiMAX)等无线通信技术在服务质量(Quality of Service，QoS)、时延、成本等方面都存在着差异，因此用户可以根据需求来选择接入不同的网络。多种无线电接入技术(Multi-Radio Access Technology，Multi-RAT)系统是一个网络内可以支持多种无线接入技术实现多种服务的网络，用户通过可接入Multi-RAT的终端，可以同时地接入不同的网络，在不同的情况下选择接入最适合当前用户服务需求的网络接入方式，从而改善QoS及提高频谱利用率，并且可以达到降低功耗，节约成本等目标。但是由于Multi-RAT的出现，导致稀缺的频谱资源更加紧缺，基于认知无线电的方法因为可以提高频谱利用率而被引入到Multi-RAT系统中。随着认知无线电的发展，认知无线电网络中接入技术呈现异构性，这种网络叫做异构认知无线网络(Heterogeneous Wireless Cognitive Networks，HWCNs)，也有文献称之为认知异构网(Cognitive Heterogeneous Networks，CHNs)。

在包含Multi-RAT的异构网络中，用户可以无缝地在RAT之间进行切换，选择可以在特定需求下提供最好服务的RAT，从而提高用户QoS。但是由于网络内带宽、移动终端功率等资源的限制，需要将这些资源合理的分配，从而实现提高整个网络的吞吐量以及降低功耗等目标。因此，有很多研究开始关注包含Multi-RAT的异构网络中的资源分配问题。其中包括：采用吸引子组成模型(Attractor Composition Model)，使得每个节点可以自动的决定将无线资源分配给不同的网络应用；在认知异构网络环境下，由于功率限制，采用频谱资源和功率资源的联合分配方法来提高信道容量；基于异构网络环境中不同接入技术的特点而进行的联合资源分配方法，该方法在资源利用率和QoS之间进行了折中；在语音通信和视频通信中，通过给不同的用户分配不同的RAT，从而实现最大化网络容量以及每个用户的QoS需求。在语音通信中，采用基于延迟接收算法的分配方案，在视频通信中，采用启发式算法。

在文献中，Piamrat K等学者提出在异构无线认知网络中，采用联合分配算法分配带宽和功率，从而实现最大化信道容量。仿真结果表明，通过使用该算法，可以提高信道容量。但是，该文献中仅考虑了数据传输的上行链路，没有考虑端到端通信情况的性能。端到端效用体现了整个链路的质量，仅仅考虑源节点处接入带宽的优化而不考虑整体链路质量是没有意义的，因此需要从端到端通信的角度考虑资源的分配及接入带宽的优化。此外，CHEN F等学者提出了在异构无线认知网络中的优化资源分配方法，假设认知节点具有通过将数据分割同时与多个RAT通信的能力，通过设置分流比以及源节点的功率分配实现最小端到端通信时延。但是在文章中没有考虑到不同网络中主用户在一定时间间隔内出现的概率不同，会导致数据传输所需时间不同，仅考虑在干扰容限限制下分配数据包，可能会导致所得的时延并非最小。

因此，在充分考虑到异构无线认知网端到端通信过程中不同RAT所在网络中主用户到达的过程，由于主用户的到达过程是一个泊松过程，因此可以根据接入带宽情况、主用户的平均到达次数以及将会带来的时延来分配数据包，从而实现认知用户(SecondaryUser，SU)最小化数据传输的整体时延，使得等效的信道容量最大，并且由于整个传输过程时间的缩短，可以节约整个过程中的能源消耗，有利于绿色通信的实现。并且在本发明中，实现了功率、带宽以及数据的联合分配，通过多个参数的联合分配，从而提高整个网络的性能

发明内容

本发明的目的是为了解决目前采用联合分配方法分配带宽和功率从而实现最大化信道容量的算法中，没有考虑到主用户在一定时间间隔内出现的概率不同的问题，而提出的一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法。

上述的发明目的是通过以下技术方案实现的：

步骤一、在M个认知用户的情况下，根据约束条件构建认知异构网络端到端系统模型，确定优化目标为最小化系统通信时延其中，M≥1，t_i表示SU_i通过Multi-RAT传输数据D_i所需的总时间，t_ij表示SU_i通过RAT_j发送数据的时间，i＝1，2，...，M，j＝1，2，...，N；Multi-RAT为多种无线电接入技术系统；PU表示各网络中的主用户，PU＝[PU₁，PU₂，…，PU_N]，PU_N表示N个主用户；SU表示各网络中的认知用户，SU＝[SU₁，SU₂...SU_M]，SU_M表示M个认知用户；RAT表示无线接入技术；

步骤二、在给定SU_i通过RAT_j传输的数据量情况下，约束条件为RAT_j有限的可用带宽总量B_j和SU_i的有限可用功率总量P_i时，为验证目标函数的凹凸性，将目标函数简化为f₁(B，P)，然后证明函数f₁(B，P)为凸函数，采用凸优化方法，构建拉格朗日算子并利用KKT条件，对代入的情况下的目标函数采用牛顿迭代法求解，得到最优解和其中，i＝1，2，...M；B＝[B₁，B₂...B_N]表示SU接入到各个网络时的带宽；B为目标函数中B_ij的简化，即表示RAT分配给SU通信的带宽，P为目标函数中P_ij的简化，表示SU分配给通过RAT通信的功率；P_ij表示SU_i分配给通过RAT_j通信的功率，D_ij表示SU_i通过RAT_j传输的数据量；B_ij表示RAT_j分配给SU_i通信的带宽，i＝1，2，...，M，j＝1，2，...，N；

步骤三、根据和条件下，求解应分配给每个RAT的数据D_ij，并将D_ij代入步骤二中，重新迭代求解带宽和功率值，然后再进行步骤三，直到两次计算差值小于给定阈值，迭代停止，求得D_ij最优数值解D_ij ^*；即完成了一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法。

发明效果

本发明的目的是提供一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，提出基于凸优化方法对认知异构网络中的功率、带宽以及数据进行联合分配的算法，以解决现有认知异构网络资源分配方法中存在的功率消耗高、传输时延长、资源分配非最优等问题。

为了验证本发明的性能，考虑2个SUs用3个RATs传输数据。在图1中，设定SUs的功率为30mW，RATs带宽为5MHz，给定RAT₂和RAT₃的λ_j值，传输数据为300Mbits，在分配数据前，设定分配给每个RAT的数据为100Mbit，测试随着RAT₁的λ_j值的增长，由于分配数据，时延可以减少的百分比。从图1中可以看出，λ_j越大，本发明提出的算法对系统性能的改进越明显。

并且在图2中，测试了参考文献中提出算法的时延以及本发明中提出的算法在分配数据前后的时延。RATs的带宽设定为：1.4MHz，5MHz and 20MHz，RAT的λ_j设为1，0.01and0.1，SUs的功率为30mW。在图2中可以看出，分配数据前，随着传输数据的增多，本发明提出的算法在时延方面优于参考文献中算法，而在分配数据后，系统时延可以被大大的缩减。因为在本发明中，通过引入主用户到达概率来改进优化函数，并且对功率、带宽以及数据都进行了分配，从而实现系统传输数据时延最小的目标。

附图说明

图1为具体实施方式一提出的数据分配后时延可以缩减的百分比示意图；

图2为具体实施方式一提出的不同数据传输量时时延的比较示意图；

图3为实施例提出的时延与λ_j的关系示意图；

图4为异构认知无线网络HWCN模型示意图，其中，BS(Base Station)表示各网络中的基站；

图5为具体实施方式一提出的一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法流程图。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，具体是按照以下步骤制备的：

步骤一、假设HWCN已经融合，SU可以接入所有的RAT，因此SU可以在端到端的通信过程中，接入多个拥有空闲频谱资源的异构网络；假设PU的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；假设PU服务时间为常数；在M(M≥1)个认知用户的情况下，根据约束条件构建认知异构网络端到端系统模型，确定优化目标为最小化系统通信时延其中，t_i表示SU_i通过Multi-RAT传输数据D_i所需的总时间，t_ij表示SU_i通过RAT_j发送数据的时间，i＝1，2，...，M，j＝1，2，...，N；Multi-RAT为多种无线电接入技术(Multi-RadioAccess Technology，Multi-RAT)系统是一个网络内可以支持多种无线接入技术实现多种服务的网络，用户通过可接入Multi-RAT的终端，可以同时地接入不同的网络，在不同的情况下选择接入最适合当前用户服务需求的网络接入方式，从而改善QoS及提高频谱利用率，并且可以达到降低功耗，节约成本等目标；Multi-RAT可以包含无线局域网(WirelessLocal Area Networks，WLAN)、第三代通用移动通信系统(Third Generation UniversalMobile Telecommunication Systems，3G-UMTS)、IEEE802.11、全球微波互联接入(Worldwide Interoperability for Microwave Access，WiMAX)等无线通信技术；

当SU_i与SU_j进行端到端通信时，由于PU发起通信请求的概率不同，在不同的RAT中，SU被中断的概率也就不同；在有限的SU总功率，及每个RAT的有限带宽的限制下，根据PU发起通信请求的概率分配各个RAT传输数据量的大小，从而使得通信的时间长度最短，即等效的信道容量最大；令t表示SU_i与SU_j进行端到端通信的总时长；t_i为SU_i与SU_j进行端到端通信时，数据在RAT_i所在网络中传输的时间，则通信时长t＝maxt_i；PU(Primary User)表示各网络中的主用户，PU＝[PU₁，PU₂，…，PU_N]，PU_N表示N个主用户；SU表示各网络中的认知用户，SU＝[SU₁，SU₂...SU_M]，SU_M表示M个认知用户如图4；RAT(Radio Access Technology)表示无线接入技术，不同的网络采用不同的接入技术，RAT可以表示WLAN(Wireless Local AreaNetwork)，Wimax(Worldwide Interoperability for Microwave Access)，LTE(3GPP LongTerm Evolution)等；

步骤二、验证最小化系统通信时延即目标函数的凹凸性，证明目标函数的凹凸性，将目标函数简化为f(B，D，P)，可以证明f(B，D，P)既不是凸函数，也不是凹函数；在给定SU_i通过RAT_j传输的数据量情况下，约束条件为RAT_j有限的可用带宽总量B_j和SU_i的有限可用功率总量P_i时，为验证目标函数的凹凸性，将目标函数简化为f₁(B，P)，然后证明函数f₁(B，P)为凸函数，采用凸优化方法，构建拉格朗日算子并利用KKT条件，对代入的情况下的目标函数采用牛顿迭代法求解，得到最优解和可以任意给定；可以设定为随机数，也可以设定为均分D_i，其中，B＝[B₁，B₂...B_N]表示SU接入到各个网络时的带宽；B为目标函数中B_ij的简化，即表示RAT分配给SU通信的带宽，D为目标函数中D_ij的简化，表示SU通过RAT传输的数据量；P为目标函数中P_ij的简化，表示SU分配给通过RAT通信的功率；P_ij表示SU_i分配给通过RAT_j通信的功率，D_ij表示SU_i通过RAT_j传输的数据量；B_ij表示RAT_j分配给SU_i通信的带宽，i＝1，2，...，M，j＝1，2，...，N；

步骤三、根据和条件下，求解应分配给每个RAT的数据D_ij，并将D_ij代入步骤二中，重新迭代求解带宽和功率值，然后再进行步骤三，直到两次计算差值小于给定阈值(即两次计算带宽差值小于给定阈值和计算两次功率值差值小于给定阈值)，迭代停止，求得D_ij最优数值解D_ij ^*如图5；即完成了一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法。

本实施方式效果：

本实施方式的目的是提供一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，提出基于凸优化方法对认知异构网络中的功率、带宽以及数据进行联合分配的算法，以解决现有认知异构网络资源分配方法中存在的功率消耗高、传输时延长、资源分配非最优等问题。

为了验证本实施方式的性能，考虑2个SUs用3个RATs传输数据。在图1中，设定SUs的功率为30mW，RATs带宽为5MHz，给定RAT₂和RAT₃的λ_j值，传输数据为300Mbits，在分配数据前，设定分配给每个RAT的数据为100Mbit，测试随着RAT₁的λ_j值的增长，由于分配数据，时延可以减少的百分比。从图1中可以看出，λ_j越大，本实施方式提出的算法对系统性能的改进越明显。

并且在图2中，测试了参考文献中提出算法的时延以及本实施方式中提出的算法在分配数据前后的时延。RATs的带宽设定为：1.4MHz，5 MHz and 20MHz，RAT的λ_j设为1，0.01 and 0.1，SUs的功率为30mW。在图2中可以看出，分配数据前，随着传输数据的增多，本实施方式提出的算法在时延方面优于参考文献中算法，而在分配数据后，系统时延可以被大大的缩减。因为在本实施方式中，通过引入主用户到达概率来改进优化函数，并且对功率、带宽以及数据都进行了分配，从而实现系统传输数据时延最小的目标。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一中求得确定优化目标为最小化系统通信时延中的t_ij具体推导过程为：

(1)设定目标函数的约束条件为：在有限认知用户功率有限优化RAT带宽以及SU_i通过RAT传输数据D_ij和是定值D_i：

其中，B_ij，P_ij，D_ij≥0，i≤1，2，...，M，j＝1，2，...，N；

(2)令β_ij表示SU_i接入到RAT_j的信道带宽利用率，则由香农公式，每条信道容量C_ij为：

式(17)中，N₀表示噪声功率谱密度，C_ij表示SU_i接入到RAT_j的信道容量；

(3)将SU_i与SU_j通信时，PU_j发出通信请求带来的时延用De_ij表示：

式(18)中T_j为PU_j的服务时间；x_j表示PU_j发起通信请求的次数；在Δt_ij内，PU_j发起通信请求的平均次数用表示；由于假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j，因此在Δt_ij内，PU_j发起通信请求的平均次数

其中，Δt_ij表示SU_i通过RAT_j发送数据D_ij的时间，SU_i为第i个SU，i＝1，2，...，M，PU_j表示采用RAT_j的网络中的第j个PU，j＝1，2，...，N；M＝1表示，单个认知用户情况下的最小化系统通信时延，M＞1，表示M个认知用户情况下的最小化系统通信时延；

(4)根据(1)、(2)和(3)计算得到i＝1，2，...，M，j＝1，2，...，N；其中，t_ij表示SU_i通过RAT_j发送数据的时间。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤二中在给定SU_i通过RAT_j传输的数据量情况下，约束条件为RAT_j有限的可用带宽总量B_j和SU_i的有限可用功率总量P_j时，为验证目标函数的凹凸性，将目标函数简化f₁(B，P)，证明函数f₁(B，P)为凸函数具体过程为：

(1)证明f(B，D，P)的凹凸性：

为验证目标函数凹凸性，将目标函数简化为f(B，D，P)，其中B为目标函数中B_ij的简化，即表示RAT分配给SU通信的带宽，D为目标函数中D_ij的简化，表示SU通过RAT传输的数据量；P为目标函数中P_ij的简化，表示SU分配给通过RAT通信的功率；

令则：

f的一阶主子式为： f的二阶主子式为：

f的三阶主子式为：由于凸函数要求Hessian矩阵半正定，即dety_i≥0；而凹函数要求Hessian矩阵办负定，即奇数阶顺序主子式小于等于0，偶数阶顺序主子式大于等于0；因此f(B，D，P)不是凸函数，也不是凹函数；

(2)在给定SU_i通过RAT_j传输的数据量情况下，约束条件为RAT_j有限的可用带宽总量B_j和SU_i的有限可用功率总量P_i时，证明目标函数简化后的函数f₁(B，P)为凸函数；

1)最小化系统通信时延即优化问题转化为：

约束条件：

B_ij，P_ij≥0 (26)

其中，

证明此条件下上述问题为一个非负条件下的凸优化问题；

2)证明：是凸函数

为验证代入的情况下的目标函数的凹凸性，将代入的情况下的目标函数简化为函数f₁(B，P)；

f₁的一阶主子式为：

f₁的二阶主子式为：

因此，是凸函数；

其中，λ为代入的情况下的目标函数中λ_j的简化，即假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；为代入的情况下的目标函数中的简化，即为给定的SU_i通过RAT_j传输的数据量其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：步骤二中采用凸优化方法，构建拉格朗日算子并利用KKT条件，对代入的情况下的目标函数采用牛顿迭代法求解，得到最优解和具体过程为：

1)定义拉格朗日函数

其中，μ_j，为拉格朗日乘子；假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；T_j为PU_j的服务时间；B_j表示RAT_j可用的带宽总量；P_i表示SU_i的可用功率总量；

2)KKT条件为：

B_ij≥0 (36)

μ_j≥0 (37)

P_ij≥0 (41)

因此

B_ij＝[B_ij ^*]⁺ (44)

其中，[B_ij ^*]⁺＝max{0，B_ij ^*}，B_ij ^*为根据下式求得的数值解；

因此

P_ij＝[P_ij ^*]⁺ (46)

其中，[P_ij ^*]⁺＝max{0，P_ij ^*}；P_ij ^*为根据下式求得的数值解；

3)B_ij ^*、P_ij ^*是对式(45)和式(47)组成的非线性方程组采用牛顿迭代方法求解得到的结果；

牛顿迭代方法求解非线性方程组方法如下：

a、给出初值B_ij ⁰、P_ij ⁰；

b、在B_ij ⁰、P_ij ⁰处做二元Taylor展开，并取其线性部分：

令B_ij-B_ij ⁰＝ΔB_ij，P_ij-P_ij ⁰＝ΔP_ij

若：

则

同理，

当max(ΔB_ij，ΔP_ij)＜ε时，停止迭代从而得到和ε表示计算的误差容限；

在更新μ_j ^k和时，考虑如下函数：

采用梯度法计算μ_j ^k和

其中，ξ＞0是用梯度法求解μ_j ^k时的迭代步长；同理，

其中，ζ＞0是用梯度法求解时的迭代步长；其中，μ_j ^k为第k次求得的拉格朗日乘子μ_j，为第k次求得的拉格朗日乘子其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：步骤三中根据和条件下来求解应分配给每个RAT的数据D_ij，并将D_ij代入步骤二中，重新迭代求解带宽和功率值，然后再进行步骤三，直到两次计算差值小于给定阈值(即两次计算带宽差值小于给定阈值和计算两次功率值差值小于给定阈值)，迭代停止，求得D_ij最优数值解D_ij ^*具体过程为：

(1)在给定和条件下，求D_ij的最优解，将目标函数转化为：

约束条件：

其中，

De_ij与前面求法相同，各符号含义也与前面陈述相同；

(2)在已知信道容量的情况下，确定如何分配数据可以使Multi-RAT传输数据的时间最短，从而将目标函数转化为：

因此：

假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；

(3)在已知信道容量的情况下，通过Multi-RAT传输数据的时间最短，使得最容易的方法是Multi-RAT传输的时间相同，即：

解得

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

本实施例一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，具体是按照以下步骤制备的：

步骤一、假设HWCN已经融合，SU可以接入所有的RAT，因此SU可以在端到端的通信过程中，接入多个拥有空闲频谱资源的异构网络。假设PU的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j。假设PU服务时间为常数。在M(M≥1)个认知用户的情况下，根据约束条件构建认知异构网络端到端系统模型，确定优化目标为最小化系统通信时延其中，t_i表示SU_i通过Multi-RAT传输数据D_i所需的总时间，t_ij表示SU_i通过RAT_j发送数据的时间，i＝1，2，...，M，j＝1，2，...，N；其中，Multi-RAT为多种无线电接入技术(Multi-RadioAccess Technology，Multi-RAT)系统是一个网络内可以支持多种无线接入技术实现多种服务的网络，用户通过可接入Multi-RAT的终端，可以同时地接入不同的网络，在不同的情况下选择接入最适合当前用户服务需求的网络接入方式，从而改善QoS及提高频谱利用率，并且可以达到降低功耗，节约成本等目标。Multi-RAT可以包含无线局域网(WirelessLocal Area Networks，WLAN)、第三代通用移动通信系统(Third Generation UniversalMobile Telecommunication Systems，3G-UMTS)、IEEE802.11、全球微波互联接入(Worldwide Interoperability for Microwave Access，WiMAX)等无线通信技术。

为了验证本算法的性能，考虑2个SUs用3个RATs传输数据。在图1中，设定SUs的功率为30mW，RATs带宽为5MHz，给定RAT₂(下角标是i＝2)和RAT₃(下角标是i＝3)的λ_j值，传输数据为D_i＝300Mbits，在分配数据前，设定分配给每个RAT的数据为测试随着RAT₁(下角标是i＝1)的λ_j值的增长，由于分配数据，时延可以减少的百分比；其中，SUs为SU的复数；RATs为RAT复数；

当SU_i与SU_j进行端到端通信时，由于PU发起通信请求的概率不同，在不同的RAT中，SU被中断的概率也就不同。在有限的SU总功率，及每个RAT的有限带宽的限制下，根据PU发起通信请求的概率分配各个RAT传输数据量的大小，从而使得通信的时间长度最短，即等效的信道容量最大。令t表示SU_i与SU_j进行端到端通信的总时长；t_i为SU_i与SU_j进行端到端通信时，数据在RAT_i所在网络中传输的时间，则通信时长t＝maxt_i。PU(Primary User)表示各网络中的主用户，PU＝[PU₁，PU₂，…，PU_N]，PU_N表示N个主用户；SU表示各网络中的认知用户，SU＝[SU₁，SU₂...SU_M]，SU_M表示M个认知用户；RAT(Radio Access Technology)表示无线接入技术，不同的网络采用不同的接入技术，RAT可以表示WLAN(Wireless Local AreaNetwork)，Wimax(Worldwide Interoperability for Microwave Access)，LTE(3GPP LongTerm Evolution)等。

其中求得的确定优化目标为最小化系统通信时延中的t_ij具体推导过程为：

其中，B_ij，P_ij，D_ij≥0，i＝1，2，...，M，j＝1，2，...，N；

(3)将SU_i与SU_j通信时，PU_j发出通信请求带来的时延用De_ij表示

(4)根据(1)、(2)和(3)计算得到i＝1，2，...，M，j＝1，2，...，N；其中，t_ij表示SU_i通过RAT_j发送数据的时间。

步骤二、验证最小化系统通信时延即目标函数的凹凸性，证明目标函数的凹凸性，将目标函数简化为f(B，D，P)，然后证明f(B，D，P)的凹凸性：

为验证目标函数凹凸性，将目标函数简化为f(B，D，P)，其中B为目标函数中B_ij的简化，即表示RAT分配给SU通信的带宽，D为目标函数中D_ij的简化，表示SU通过RAT传输的数据量；P为目标函数中P_ij的简化，表示SU分配给通过RAT通信的功率。

令则：

的一阶主子式为：

的二阶主子式为：

的三阶主子式为：由于凸函数要求Hessian矩阵半正定，即det y_i≥0；而凹函数要求Hessian矩阵办负定，即奇数阶顺序主子式小于等于0，偶数阶顺序主子式大于等于0。因此f(B，D，P)不是凸函数，也不是凹函数。在给定SU_i通过RAT_j传输的数据量情况下，约束条件为RAT_j有限的可用带宽总量B_j和SU_i的有限可用功率总量P_i时，为验证目标函数的凹凸性，将目标函数简化f₁(B，P)，证明函数f₁(B，P)为凸函数具体过程为：

1)最小化系统通信时延即优化问题转化为：

约束条件：

B_ij，P_ij≥0 (26)

其中，

证明此条件下上述问题为一个非负条件下的凸优化问题。

2)证明：是凸函数

的一阶主子式为：

的二阶主子式为：因此，是凸函数。

其中，λ为代入的情况下的目标函数中λ_j的简化，即假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；为代入的情况下的目标函数中的简化，即为给定的SU_i通过RAT_j传输的数据量

采用凸优化方法，构建拉格朗日算子并利用KKT条件，对代入的情况下的目标函数采用牛顿迭代法求解，得到最优解和过程为：

1)定义拉格朗日函数

其中，μ_j，为拉格朗日乘子。假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；T_j为PU_j的服务时间；B_j表示RAT_j可用的带宽总量；P_i表示SU_i的可用功率总量；

2)KKT条件为：

B_ij≥0 (36)

μ_j≥0 (37)

P_ij≥0 (41)

因此

B_ij＝[B_ij ^*]⁺ (44)

其中，[B_ij ^*]⁺＝max{0，B_ij ^*}，B_ij ^*为根据下式求得的数值解。

因此

P_ij＝[P_ij ^*] (46)

其中，[P_ij ^*]⁺＝max{0，P_ij ^*}。P_ij ^*为根据下式求得的数值解。

3)B_ij ^*、P_ij ^*是对式(45)和式(47)组成的非线性方程组采用牛顿迭代方法求解得到的结果。

牛顿迭代方法求解非线性方程组方法如下：

a、给出初值B_ij ⁰、P_ij ⁰。

b、在B_ij ⁰、P_ij ⁰处做二元Taylor展开，并取其线性部分：

令B_ij-B_ij ⁰＝ΔB_ij，P_ij-P_ij ⁰＝ΔP_ij

若：

则

同理，

当max(ΔB_ij，ΔP_ij)＜ε时，停止迭代从而得到和ε表示计算的误差容限。

在更新μ_j ^k和时，考虑如下函数：

采用梯度法计算μ_j ^k和

其中，ξ＞0是用梯度法求解μ_j ^k时的迭代步长。同理，

其中，是用梯度法求解时的迭代步长；其中，μ_j ^k为第k次求得的拉格朗日乘子μ_j，为第k次求得的拉格朗日乘子

可以任意给定；可以设定为随机数，也可以设定为均分D_i，其中，i＝1，2，...M；B＝[B₁，B₂...B_N]表示SU接入到各个网络时的带宽；B为目标函数中B_ij的简化，即表示RAT分配给SU通信的带宽，D为目标函数中D_ij的简化，表示SU通过RAT传输的数据量；P为目标函数中P_ij的简化，表示SU分配给通过RAT通信的功率；P_ij表示SU_i分配给通过RAT_j通信的功率，D_ij表示SU_i通过RAT_j传输的数据量；B_ij表示RAT_j分配给SU_i通信的带宽，i＝1，2，...，M，j＝1，2，...，N；

步骤三、根据和条件下，求解应分配给每个RAT的数据D_ij，并将D_ij代入步骤二中，重新迭代求解带宽和功率值，然后再进行步骤三，直到两次计算差值小于给定阈值(即两次计算带宽差值小于给定阈值和计算两次功率值差值小于给定阈值)，迭代停止，求得D_ij最优数值解D_ij ^*具体过程为：

(1)在给定和条件下，求D_ij的最优解，将目标函数转化为：

约束条件：

其中，

De_ij与前面求法相同，各符号含义也与前面陈述相同。

因此：

假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；

解得

测试了参考文献中提出算法的时延以及本实施中提出的算法在分配数据前后的时延。RATs的带宽设定为：1.4MHz，5MHz and20MHz，RAT的λ_j设为1，0.01and0.1，SUs的功率为30mW。在图2中可以看出，分配数据前，随着传输数据的增多，本实施例中提出的算法在时延方面优于参考文献中算法，而在分配数据后，系统时延可以被大大的缩减。其中，参考文献：作者Choi Y，Kim H，Han S，et al.论文题目″Joint resource allocation forparallel multi-radio access in heterogeneous wireless networks″出版信息Wireless Communication，IEEE Transactions，2010，9(11)，3324-3329。

此外，还对时延与λ_j的关系进行了测试。参数设定为：RAT的带宽分别为：1.4MHz，5MHz和20MHz，SU的功率为30mW，SU传输的数据分别设定为：300Mbits和30Mbits。在图3中可以看出，随着λ_j的增长，时延也会增长。但是本实施例中提出的算法引起的时延比参考文献中的小，并且由于数据分配，系统的时延可以被显著的减少。其中，时延减少百分比percent的定义为：

其中delay₁为数据分配前的时延，delay₂为数据分配后的时延。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims

1.一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，其特征在于：该方法具体通过以下步骤实现：

步骤一、在M个认知用户的情况下，根据约束条件构建认知异构网络端到端系统模型，确定优化目标为最小化系统通信时延其中，M≥1，t_i表示SU_i通过Multi-RAT传输数据D_i所需的总时间，t_ij表示SU_i通过RAT_j发送数据的时间，i＝1,2,...,M，j＝1,2,...,N；Multi-RAT为多种无线电接入技术系统；PU表示各网络中的主用户，PU＝[PU₁,PU₂,…,PU_N]，PU_N表示N个主用户；SU表示各网络中的认知用户，SU＝[SU₁,SU₂...SU_M]，SU_M表示M个认知用户；RAT表示无线接入技术；

步骤二、在给定SU_i通过RAT_j传输的数据量情况下，约束条件为RAT_j有限的可用带宽总量B_j和SU_i的有限可用功率总量P_i时，为验证目标函数的凹凸性，将目标函数简化为f₁(B,P)，然后证明函数f₁(B,P)为凸函数，采用凸优化方法，构建拉格朗日算子并利用KKT条件，对代入的情况下的目标函数采用牛顿迭代法求解，得到最优解和其中，B＝[B₁,B₂...B_N]表示SU接入到各个网络时的带宽；B为目标函数中B_ij的简化，即表示RAT分配给SU通信的带宽，P为目标函数中P_ij的简化，表示SU分配给通过RAT通信的功率；P_ij表示SU_i分配给通过RAT_j通信的功率，D_ij表示SU_i通过RAT_j传输的数据量；B_ij表示RAT_j分配给SU_i通信的带宽，i＝1,2,...,M，j＝1,2,...,N；

步骤三、根据和条件下求解应分配给每个RAT的数据D_ij，并将D_ij代入步骤二中，重新迭代求解带宽和功率值，然后再进行步骤三，直到两次计算差值小于给定阈值，迭代停止，求得D_ij最优数值解D_ij ^*。

2.根据权利要求1所述一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，其特征在于：步骤一中求得确定优化目标为最小化系统通信时延中的t_ij具体推导过程为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mi>M</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，B_ij,P_ij,D_ij≥0，i＝1,2,...,M，j＝1,2,...,N；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>De</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式(18)中T_j为PU_j的服务时间；x_j表示PU_j发起通信请求的次数；在Δt_ij内，PU_j发起通信请求的平均次数用表示；PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j，因此在Δt_ij内,PU_j发起通信请求的平均次数

<mrow> <mover> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>&Delta;t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，Δt_ij表示SU_i通过RAT_j发送数据D_ij的时间，SU_i为第i个SU，i＝1,2,...,M，PU_j表示采用RAT_j的网络中的第j个PU，j＝1,2,...,N；M＝1表示，单个认知用户情况下的最小化系统通信时延，M>1,表示M个认知用户情况下的最小化系统通信时延；

(4)根据(1)、(2)和(3)计算得到其中，t_ij表示SU_i通过RAT_j发送数据的时间。

3.根据权利要求1所述一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，其特征在于：步骤二中在给定SU_i通过RAT_j传输的数据量情况下，约束条件为RAT_j有限的可用带宽总量B_j和SU_i的有限可用功率总量P_i时，为验证目标函数的凹凸性，将目标函数简化f₁(B,P)，证明函数f₁(B,P)为凸函数具体过程为：

在给定SU_i通过RAT_j传输的数据量情况下，约束条件为RAT_j有限的可用带宽总量B_j和SU_i的有限可用功率总量P_i时，证明目标函数简化后的函数f₁(B,P)为凸函数；

1)最小化系统通信时延转化为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <msub> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>max</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>M</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

约束条件：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&le;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mi>M</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

B_ij,P_ij≥0 (26)

其中，

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>De</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mover> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>&Delta;t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

2)证明：是凸函数

为验证代入的情况下的目标函数的凹凸性，将代入的情况下的目标函数简化为函数f₁(B,P)；

<mrow> <mo>&dtri;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>B</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>P</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>&lambda;</mi> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mi>P</mi> <mrow> <msup> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>C</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>C</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>+</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>C</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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▽²f₁的一阶主子式为：

▽²f₁的二阶主子式为：

因此，是凸函数；

其中，λ为代入的情况下的目标函数中λ_j的简化，即假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；为代入的情况下的目标函数中的简化，即为给定的SU_i通过RAT_j传输的数据量C的定义为C＝ln(1+P/B)。

4.根据权利要求1所述一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，其特征在于：步骤二中采用凸优化方法，构建拉格朗日算子并利用KKT条件，对代入的情况下的目标函数采用牛顿迭代法求解，得到最优解和具体过程为：

1)定义拉格朗日函数

其中，μ_j,为拉格朗日乘子；假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；T_j为PU_j的服务时间；B_j表示RAT_j可用的带宽总量；P_i表示SU_i的可用功率总量；

2)KKT条件为：

<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&dtri;</mo> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>log</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mo>&dtri;</mo> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mi>log</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mi>l</mi> <mi>o</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&GreaterEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

B_ij≥0 (36)

μ_j≥0 (37)

<mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>B</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&le;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

P_ij≥0 (41)

<mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&le;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>43</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

因此

B_ij＝[B_ij ^*]⁺ (44)

其中，[B_ij ^*]⁺＝max{0,B_ij ^*}，B_ij ^*为根据下式求得的数值解；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&dtri;</mo> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mi>log</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>D</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mi>log</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&mu;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>45</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

因此

P_ij＝[P_ij ^*]⁺ (46)

其中，[P_ij ^*]⁺＝max{0,P_ij ^*}；P_ij ^*为根据下式求得的数值解；

牛顿迭代方法求解非线性方程组方法如下：

a、给出初值B_ij ⁰、P_ij ⁰；

b、在B_ij ⁰、P_ij ⁰处做二元Taylor展开，并取其线性部分：

令B_ij-B_ij ⁰＝ΔB_ij，P_ij-P_ij ⁰＝ΔP_ij

若：

<mrow> <mi>J</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msup> <mo>,</mo> <msup> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mfenced open = "|" close = "|"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msup> <mo>,</mo> <msup> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>&NotEqual;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>49</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

则

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>1</mn> </msup> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&Delta;B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>1</mn> </msup> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&Delta;P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>50</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

同理，

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>k</mi> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&Delta;B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>k</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>k</mi> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>&Delta;P</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>k</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>51</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

当max(ΔB_ij,ΔP_ij)＜ε时，停止迭代从而得到和ε表示计算的误差容限；

在更新μ_j ^k和时，考虑如下函数：

采用梯度法计算μ_j ^k和

其中，ξ＞0是用梯度法求解μ_j ^k时的迭代步长；同理，

5.根据权利要求1所述一种基于凸优化方法的认知异构网络联合资源分配的方法，其特征在于：步骤三中根据和条件下来求解应分配给每个RAT的数据D_ij，并将D_ij代入步骤二中，重新迭代求解带宽和功率值，然后再进行步骤三，直到两次计算差值小于给定阈值，迭代停止，求得D_ij最优数值解D_ij ^*具体过程为：

(1)将目标函数转化为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <msub> <mi>t</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>M</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>max</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>;</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>M</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>55</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

约束条件：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mi>M</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>56</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，

(2)在已知信道容量的情况下，确定如何分配数据使Multi-RAT传输数据的时间最短，从而将目标函数转化为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>De</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>&Delta;t</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>59</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

因此：

假设PU_j的到达过程服从泊松分布过程，到达率为λ_j；

(3)在已知信道容量的情况下，通过Multi-RAT传输数据的时间最短，使得Multi-RAT传输的时间相同，即：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mover> <mi>C</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>l</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mi>M</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>61</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

解得

<mrow> <msub> <msup> <mi>D</mi> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mover> <mi>C</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <mfrac> <msub> <mover> <mi>C</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&lambda;</mi> <mi>j</mi> </msub> <msub> <mi>T</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>62</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>