CN104158783A - 一种基于优化调幅的无线光高效传输方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于优化调幅的无线光高效传输方法，按如下步骤进行：在发射端，系统产生需要发射的频域符号；频域信号产生实值的基带时域发射信号；计算优化调幅系数，并对各子载波上的频域符号进行缩放调幅和限幅时域发射信号加入直流偏置驱动发光二极管进行发射；在接收端，光电二极管将接收到的光信号转化为电信号，经过滤波、放大等处理后，得到时域的接收信号；对时域接收信号做快速傅里叶变换，得到频域接收信号并去除共轭对称部分；最后，经过星座解调得到最终的接收符号。本发明实现简单，降低了无线光通信OFDM系统的峰均功率比，降低发射端对功率放大器和LED灯线性度的要求，提高了交流信号发射功率降低系统的误码率。

Description

一种基于优化调幅的无线光高效传输方法

技术领域

本发明涉及一种基于优化调幅的无线光高效传输方法，属于无线光通信系统设计领域。

背景技术

无线光通信由于其频谱资源丰富，通信安全性好，发射功率大，电磁辐射少等优势，近些年来已经成为通信领域研究的热点。无线光通信可以采用简单的开关键控调制(OOK)或脉冲调制(PPM)等方式实现。为了能够实现无线光通信的高速数据传输，降低符号间干扰(ISI)，在无线光通信中引入正交频分复用技术，通过将调制好的符号在正交的子载波上并行发送，可以提供高速数据传输，对抗多径效应。

在无线光通信中常使用强度调制/直接检测(IM/DD)，因此无线光通信中OFDM调制后的时域发射信号需要保证为实值的正信号。目前有两种比较常用的光通信OFDM方法，直流偏置光OFDM(DCO-OFDM)和非对称削峰光OFDM(ACO-OFDM)。ACO-OFDM只在奇数子载波上传输调制符号，偶数子载波不发送符号，将经过IFFT得到的时域信号的负数部分丢弃，只保留正值部分。这样既能保证发送的时域信号是正的实信号，又能降低发射功率，节约资源，但是频率利用率较低，N个子载波只能发送N/4个符号，这种方法以牺牲数据速率为代价避免了加入直流偏置的功率损耗。DCO-OFDM即在经过OFDM调制后的时域发射信号上加入直流偏置，使得信号变为正值，这种方法实现简单，频率利用率高，但是增加了直流功耗。

一方面，与射频(RF)通信中的OFDM系统类似，无线光通信中的OFDM系统也存在着信号峰均功率比过高的问题。在无线光通信中，PAPR偏高会对发射机端功放的线性度提出很高的要求，此外，由于LED灯本身也存在着有限的线性范围，因此高PAPR会由于LED的非线性特性产生非线性失真，从而严重降低系统的整体性能。限幅(clipping)是RF通信中一种常用的降低系统PAPR的方法，实现简单，并且可以有效的降低系统的PAPR。通过不断降低限幅门限，可以不断的降低系统的PAPR，但是过多的限幅也将带来严重的限幅噪声，造成系统接收性能的下降。另一方面，无线光通信与射频通信不同，射频通信发射信号的交流功率是受限的，而光通信由于其需要同时实现照明和通信两个功能，因此主要的发射限制是光照强度。根据发光元件的特性，光强度与信号平均幅度成正比。因此对于采用在交流时域信号上叠加直流偏置的DCO-OFDM系统来说，发射端受限制的是直流发射功率，而交流信号可以进行一定程度的缩放。光通信中一种常用的方法是根据系统的线性范围，将所有交流信号缩放至恰好能够充满最大线性范围，来充分利用系统动态范围，改善系统性能，即无失真调幅。

由于在一个OFDM符号中，幅度很大的采样点出现的概率很小，因此如果适当加大调幅缩放的系数，使得即使有一小部分时域信号超出了系统的线性范围，所造成的损失很小，可以完全由增加的信号功率来抵消。本发明考虑通过在允许一定的限幅噪声的情况下优化调幅缩放系数，来实现无线光通信的高效发射。

发明内容

本发明提出了一种基于优化调幅的无线光高效传输方法，通过在允许一定的限幅噪声的情况下优化调幅缩放系数，来实现无线光通信的高效发射。

本发明采用的技术方案是一种基于优化调幅的无线光高效传输方法，该方法包括以下步骤：

1)在发射端，无线光通信OFDM系统的子载波数为N，信源产生的二进制数据源经过多进制正交幅度调制(M-QAM)，形成待发送的频域信号S＝[S₀,…,S_N/2-1]；

2)为了满足无线光通信基带信号为实值，无线光通信系统中OFDM调制的子载波映射按照下面公式进行，满足共轭对称性：

$X_k=\left\{\begin{array}{cc}{S}_k,& k=1,...,N/2-1\\ S_{N-k}^{*},& k=N/2+1,...,N-1,\\ 0,& k=0,N/2\end{array}\right.$

其中(·)^*表示取复数共轭；

3)频域信号经过N点的IFFT后转为实值的时域OFDM信号如下：

$x\left(n\right)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{X}_k{e}^{j2\mathrm{\πkn}/N},n=\mathrm{0,1},...,N-1,$

其中为虚数单位；

4)对经过IFFT后获得的时域发射信号进行平均功率归一化，则有

$E\left[x^2\left(n\right)\right]={\mathrm{\σ}}_x^2=1;$

5)根据不同的信道特征，以及发射端的线性范围，在存在限幅噪声的条件下，优化调幅系数α，使得系统总容量最大；求得优化的调幅系数后，对时域信号进行缩放；

6)系统发射端的动态范围记为[0,2A]，将经过调幅缩放后的时域信号αx(n)通过最大幅度为A的限幅器，限幅后的时域发射信号y(n)满足：

$y\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cc}A,& x\left(n\right)>A/\mathrm{\&alpha;}\\ \mathrm{\&alpha;x}\left(n\right),& \left|x\left(n\right)\right|\&le;A/\mathrm{\&alpha;}\\ -A,& x\left(n\right)<-A/\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right.;$

7)将经过限幅后的时域信号加上直流偏置，即y_dc(n)＝y(n)+B，其中B为直流偏置的大小，由于时域信号的对称性，取直流偏置B＝A；加上直流偏置后的信号驱动LED将电信号转换为光信号发射；

8)在接收端，光接收模块中首先光电二极管将光信号转换为时域电信号，经过放大、滤波等模块后，获得时域的接收信号

9)时域信号作N点FFT变换后得到频域接收信号最后经过星座解调解得最终的接收符号

所述步骤5)中优化调幅系数的具体方法为：

51)信号经过限幅后可以将限幅的效果等效成限幅噪声的形式，即

y(n)＝αx(n)+v(n)，其中v(n)表示限幅噪声，满足：

$v\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cc}A-\mathrm{\&alpha;x}\left(n\right),& x\left(n\right)>A/\mathrm{\&alpha;}\\ 0,& \left|x\left(n\right)\right|\&le;A/\mathrm{\&alpha;}\\ -A-\mathrm{\&alpha;x}\left(n\right),& x\left(n\right)<-A/\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right.;$

通过x(n)的统计分布特性，计算限幅噪声v(n)的均值和方差；

$E\left[v\left(n\right)\right]={\&Integral;}_{A/\mathrm{\&alpha;}}^{\&infin;}(A-\mathrm{\&alpha;x})\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}+{\&Integral;}_{-\&infin;}^{-A/\mathrm{\&alpha;}}(-A-\mathrm{\&alpha;x})\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}=0,$

$\begin{array}{c}E\left[v^2\left(n\right)\right]={\&Integral;}_{A/\mathrm{\&alpha;}}^{\&infin;}{(A-\mathrm{\&alpha;x})}^2\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}+{\&Integral;}_{-\&infin;}^{-A/\mathrm{\&alpha;}}{(-A-\mathrm{\&alpha;x})}^2\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}\\ =({\mathrm{\&alpha;}}^2+A^2)\mathrm{erfc}\left(\frac{A}{\sqrt{2}\mathrm{\&alpha;}}\right)-\frac{2\mathrm{A\&alpha;}}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{A^2}{2{\mathrm{\&alpha;}}^2}}\end{array},$

其中余补误差函数 $\mathrm{erfc}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\&pi;}}}{\&Integral;}_x^{\&infin;}{e}^{-t^2}\mathrm{dt};$

52)各子载波上的等效信噪比可以写成：

${\mathrm{\&gamma;}}_k=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}^2{\left|H_k\right|}^{2}E\left[x^2\left(n\right)\right]}{{\left|H_k\right|}^{2}E{[v}^2\left(n\right)]+{\mathrm{\&sigma;}}_w^2},$

其中表示高斯白噪声的功率大小，H_k为各子载波上的信道系数；

根据香农公式，各子载波单位带宽上的信道容量为C_k＝log₂(1+γ_k)，调幅系数的优化目标函数为系统总容量最大，即：

$\max C=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{\log }_2(1+{\mathrm{\&gamma;}}_k)$

将系统总容量对调幅系数求偏导，并令其等于0，即令解得优化的调幅系数α。

本发明的有益效果主要体现在如下几个方面：

(1)适用于无线光通信典型的频率选择性信道，在已知发射机线性范围和一定的信道信息条件下，就可以计算出优化后的缩放系数，实现简单。

(2)、在允许一定程度的限幅噪声的条件下优化调幅系数，尽可能充分利用系统的线性范围，其增加的交流信号功率可以抵消限幅噪声导致的信号失真，系统PAPR和BER性能都得到了改善。

(3)、PAPR的降低减轻了对系统发射机中功放的线性度要求，并且在优化过程中考虑了系统的线性范围，避免了由于过多的非线性失真而导致的系统性能恶化。

附图说明

图1是本发明提出的一种基于优化调幅的无线光高效传输方法系统框图。

图2是系统发射端非线性特性的简化模型。

图3是本发明方法与无线光通信中不允许存在限幅噪声的情况下无失真调幅方法的单位带宽系统容量比较。

图4是本发明与无失真调幅方法的PAPR互补累计概率分布曲线图。

图5是在光信道条件下，系统线性范围中参数A＝3.16时，采用本发明方法与无失真调幅方法的系统误码率曲线。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步说明：

如图1所示，本发明的具体实施步骤如下：

1)在发射端，无线光通信OFDM系统的子载波数为N，信源产生的二进制数据源经过多进制正交幅度调制(M-QAM)，形成待发送的频域信号S＝[S₀,…,S_N/2-1]。

2)为了满足无线光通信基带信号为实值，无线光通信系统中OFDM调制的子载波映射按照下面公式进行，满足共轭对称性：

$X_k=\left\{\begin{array}{cc}{S}_k,& k=1,...,N/2-1\\ S_{N-k}^{*},& k=N/2+1,...,N-1,\\ 0,& k=0,N/2\end{array}\right.$

其中(·)^*表示取复数共轭。

3)频域信号经过N点的IFFT后转为实值的时域OFDM信号如下：

$x\left(n\right)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{X}_k{e}^{j2\mathrm{\&pi;kn}/N},n=\mathrm{0,1},...,N-1.$

其中为虚数单位。

4)根据中心极限定律，时域信号x(n)可以近似为相互独立的高斯随机变量，并且均值为0，方差为信号的平均功率，即E[x(n)]＝0，其中E[·]表示取期望。对经过IFFT后获得的时域发射信号进行平均功率归一化，则有 $E\left[x^2\left(n\right)\right]={\mathrm{\&sigma;}}_x^2=1;$

5)为了充分利用系统的线性范围并且降低系统的峰均功率比，根据不同的信道特征，以及发射端的线性范围，在允许一定程度的限幅噪声的条件下，优化调幅系数，对时域信号进行缩放，使得系统总容量最大。

6)系统发射端的动态范围记为[0,2A]，将经过调幅缩放后的时域信号αx(n)通过最大幅度为A的限幅器，其中α>0是标量调幅系数，对时域OFDM信号进行缩放。限幅后的时域发射信号y(n)满足：

$y\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cc}A,& x\left(n\right)>A/\mathrm{\&alpha;}\\ \mathrm{\&alpha;x}\left(n\right),& \left|x\left(n\right)\right|\&le;A/\mathrm{\&alpha;}\\ -A,& x\left(n\right)<-A/\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right..$

7)将经过限幅后的时域信号加上直流偏置，即y_dc(n)＝y(n)+B，其中B为直流偏置的大小，由于时域信号的对称性，取直流偏置B＝A。加上直流偏置后的信号驱动LED将电信号转换为光信号发射。

8)光通信中一种无失真调幅方法是将每个OFDM时域符号都缩放至系统的最大线性范围内，无失真调幅系数计算为：

而本发明方法在允许一定程度的限幅噪声存在，其调幅系数具体优化如下：

8.1)信号经过限幅后可以将限幅的效果等效成限幅噪声的形式，即y(n)＝αx(n)+v(n)，其中v(n)表示限幅噪声，满足：

$v\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cc}A-\mathrm{\&alpha;x}\left(n\right),& x\left(n\right)>A/\mathrm{\&alpha;}\\ 0,& \left|x\left(n\right)\right|\&le;A/\mathrm{\&alpha;}\\ -A-\mathrm{\&alpha;x}\left(n\right),& x\left(n\right)<-A/\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right..$

通过x(n)的统计分布特性，可以计算限幅噪声v(n)的均值和方差。假设时域信号x(n)平均功率已归一化，即有则可以近似为均值为0，方差为1的高斯分布随机变量，概率密度函数为则限幅噪声的均值和方差计算为：

$E\left[v\left(n\right)\right]={\&Integral;}_{A/\mathrm{\&alpha;}}^{\&infin;}(A-\mathrm{\&alpha;x})\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}+{\&Integral;}_{-\&infin;}^{-A/\mathrm{\&alpha;}}(-A-\mathrm{\&alpha;x})\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}=0,$

$\begin{array}{c}E\left[v^2\left(n\right)\right]={\&Integral;}_{A/\mathrm{\&alpha;}}^{\&infin;}{(A-\mathrm{\&alpha;x})}^2\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}+{\&Integral;}_{-\&infin;}^{-A/\mathrm{\&alpha;}}{(-A-\mathrm{\&alpha;x})}^2\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}\\ =({\mathrm{\&alpha;}}^2+A^2)\mathrm{erfc}\left(\frac{A}{\sqrt{2}\mathrm{\&alpha;}}\right)-\frac{2\mathrm{A\&alpha;}}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{A^2}{2{\mathrm{\&alpha;}}^2}}\end{array},$

其中余补误差函数 $\mathrm{erfc}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\&pi;}}}{\&Integral;}_x^{\&infin;}{e}^{-t^2}\mathrm{dt}.$

8.2)各子载波上的等效信噪比可以写成：

${\mathrm{\&gamma;}}_k=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}^2{\left|H_k\right|}^{2}E\left[x^2\left(n\right)\right]}{{\left|H_k\right|}^{2}E{[v}^2\left(n\right)]+{\mathrm{\&sigma;}}_w^2},$

其中表示高斯白噪声的功率大小，H_k为各子载波上的信道系数。

根据香农公式，各子载波单位带宽上的信道容量为C_k＝log₂(1+γ_k)。调幅系数的优化目标函数为系统总容量最大，即：

$\max C=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{\log }_2(1+{\mathrm{\&gamma;}}_k).$

将系统总容量对调幅系数求偏导，并令其等于0，即令解得优化的调幅系数α。

9)在接收端，光接收模块中首先光电二极管将光信号转换为时域电信号，经过放大、滤波等模块后，获得时域的接收信号

10)时域信号作N点FFT变换后得到频域接收信号最后经过星座解调解得最终的接收符号

如图2所示，无线光通信的发射机具有一定限度的动态工作范围，一方面，发射端的功放的线性度有限，另一方面将电信号转化为光信号的关键器件LED也有一定的线性范围，并且是影响光通信发射机线性范围的主要因素。当信号幅度过大时，由于系统的有限动态范围和非线性响应，会造成一定程度的非线性失真，从而导致系统性能的恶化。为了模拟系统的有限动态范围，我们采用图2所示的简化系统线性度模型，并且记系统的线性范围为[0,2A]。

图3比较了无失真调幅方法与本发明方法在不同光信噪比下的系统容量，其中系统动态范围[0,2A]，A＝3.16，仿真采用4QAM调制，128子载波，光信道带宽30M，由于光强度正比于信号幅度，为了更好的衡量和比较无线光通信系统的性能，定义了无线光通信中的光信噪比从图中可以看到，本发明方法的容量理论值与采用蒙特卡洛仿真获得的结果非常相近。并且本发明方法的单位带宽系统容量优于采用无失真调幅。当系统信噪比大于25dB时，由于不存在限幅噪声，采用无失真调幅方法的等效工作信噪比非常大，因此系统容量略微超过了本发明方法。

图4比较了无失真调幅方法与本发明方法两种发射方案的PAPR。从图中可以看出，本发明方法有效降低了系统的PAPR，因此可以减轻对系统发射机功放等器件的线性度要求。

图5比较了在光信道下，本发明方法和无失真调幅方法的BER性能。从图中可以看出，由于实际每个OFDM符号中幅度很大的信号点出现概率很小，因此本发明方法允许一定程度的限幅失真就可以在一定程度上进一步放大交流信号，因此转化为有效的信噪比，更大限度的利用了系统的线性范围，因此在BER性能上优于无失真调幅算法。

Claims (2)

1.一种基于优化调幅的无线光高效传输方法，其特征在于：该传输方法按以下步骤进行：

1)在发射端，无线光通信OFDM系统的子载波数为N，信源产生的二进制数据源经过多进制正交幅度调制，形成待发送的频域信号S＝[S₀,…,S_N/2-1]；

2)为了满足无线光通信基带信号为实值，无线光通信系统中OFDM调制的子载波映射按照下面公式进行，满足共轭对称性：

$X_k=\left\{\begin{array}{cc}{S}_k,& k=1,...,N/2-1\\ S_{N-k}^{*},& k=N/2+1,...,N-1,\\ 0,& k=0,N/2\end{array}\right.$

其中(·)^*表示取复数共轭；

3)频域信号经过N点的IFFT后转为实值的时域OFDM信号如下：

$x\left(n\right)=\frac{1}{\sqrt{N}}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{X}_k{e}^{j2\mathrm{\&pi;kn}/N},n=\mathrm{0,1},...,N-1;$

其中为虚数单位；

4)对经过IFFT后获得的时域发射信号x(n)进行平均功率归一化，则有其中E[·]表示取期望；

5)根据不同的信道特征以及发射端的线性范围，在存在限幅噪声的条件下，优化调幅系数α，使得系统总容量最大；求得优化的调幅系数后，对时域信号进行缩放；

6)系统发射端的动态范围记为[0,2A]，将经过调幅缩放后的时域信号αx(n)通过最大幅度为A的限幅器，限幅后的时域发射信号y(n)满足：

$y\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cc}A,& x\left(n\right)>A/\mathrm{\&alpha;}\\ \mathrm{\&alpha;x}\left(n\right),& \left|x\left(n\right)\right|\&le;A/\mathrm{\&alpha;}\\ -A,& x\left(n\right)<-A/\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right.;$

7)将经过限幅后的时域信号加上直流偏置，即y_dc(n)＝y(n)+B，其中B为直流偏置的大小，由于时域信号的对称性，取直流偏置B＝A；加上直流偏置后的信号驱动LED将电信号转换为光信号发射；

8)在接收端，光接收模块中首先光电二极管将光信号转换为时域电信号，经过放大、滤波等模块后，获得时域的接收信号

9)时域信号作N点FFT变换后得到频域接收信号最后经过星座解调解得最终的接收符号

2.根据权利要求1所述的基于优化调幅的无线光高效传输方法，其特征在于：所述步骤5)中优化调幅系数的具体方法为：

51)信号经过限幅后可以将限幅的效果等效成限幅噪声的形式，即

y(n)＝αx(n)+v(n)，其中v(n)表示限幅噪声，满足：

$v\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cc}A-\mathrm{\&alpha;x}\left(n\right),& x\left(n\right)>A/\mathrm{\&alpha;}\\ 0,& \left|x\left(n\right)\right|\&le;A/\mathrm{\&alpha;}\\ -A-\mathrm{\&alpha;x}\left(n\right),& x\left(n\right)<-A/\mathrm{\&alpha;}\end{array}\right.;$

通过x(n)的统计分布特性，计算限幅噪声v(n)的均值和方差；

$E\left[v\left(n\right)\right]={\&Integral;}_{A/\mathrm{\&alpha;}}^{\&infin;}(A-\mathrm{\&alpha;x})\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}+{\&Integral;}_{-\&infin;}^{-A/\mathrm{\&alpha;}}(-A-\mathrm{\&alpha;x})\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}=0,$

$\begin{array}{c}E\left[v^2\left(n\right)\right]={\&Integral;}_{A/\mathrm{\&alpha;}}^{\&infin;}{(A-\mathrm{\&alpha;x})}^2\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}+{\&Integral;}_{-\&infin;}^{-A/\mathrm{\&alpha;}}{(-A-\mathrm{\&alpha;x})}^2\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{dx}\\ =({\mathrm{\&alpha;}}^2+A^2)\mathrm{erfc}\left(\frac{A}{\sqrt{2}\mathrm{\&alpha;}}\right)-\frac{2\mathrm{A\&alpha;}}{\sqrt{2\mathrm{\&pi;}}}{e}^{-\frac{A^2}{2{\mathrm{\&alpha;}}^2}}\end{array},$

其中余补误差函数 $\mathrm{erfc}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\&pi;}}}{\&Integral;}_x^{\&infin;}{e}^{-t^2}\mathrm{dt};$

52)各子载波上的等效信噪比可以写成：

${\mathrm{\&gamma;}}_k=\frac{{\mathrm{\&alpha;}}^2{\left|H_k\right|}^{2}E\left[x^2\left(n\right)\right]}{{\left|H_k\right|}^{2}E{[v}^2\left(n\right)]+{\mathrm{\&sigma;}}_w^2},$

其中表示高斯白噪声的功率大小，H_k为各子载波上的信道系数；

根据香农公式，各子载波单位带宽上的信道容量为C_k＝log₂(1+γ_k)，调幅系数的优化目标函数为系统总容量最大，即：

$\max C=\underset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}{\log }_2(1+{\mathrm{\&gamma;}}_k)$

将系统总容量对调幅系数求偏导，并令其等于0，即令解得优化的调幅系数α。