CN104156015B - 一种基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法 - Google Patents

Abstract

本发明一种基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法，该方法具体如下4个步骤：步骤一：获得被控对象传递函数的一阶惯性延迟表达式；步骤二：导出被控对象在PI(比例积分)控制器作用下稳态振荡幅度的关系表达式；步骤三：确定PI控制器参数Kc和τ_i对稳态振荡幅度a的影响机理；步骤四：调节PI控制器参数，对控制系统被控量稳态振荡幅度进行调节。本发明构思科学、巧妙，经过实验验证，自适应和实时性强，为湿度精密控制过程提供了一种操作简便、快速、低成本的稳态精度提高方法，为实际工业控制系统的精密控制提供了一条新的途径。

Description

一种基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法

技术领域

本发明涉及一种基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法。该方法能实现通过动态调整控制器参数提高湿度的稳态控制精度。属于自动控制技术领域。

背景技术

湿度是湿度发生器、气候观测综合计量检定系统、卷烟、电子产品生产等场合需要精密控制的参量，湿度稳态精度的控制对产品质量的提高具有重要意义。目前湿度发生原理主要有：热力学方法(双温法、双压法、双温双压法)、双流法、膜渗透法和化学方法，鉴于后3种方法均涉及到气体质量流量及干气体低含水量等参数，难于实现较高的精度和宽的湿度范围，而双温双压法有利于拓展湿度发生器的湿度量程，控制方法灵活，准确度高，在对湿度精度要求高和对温度、气体压力和湿度综合控制的多参量系统中广泛应用。然而对湿度精密控制就需要有相应的高精度的传感器和执行机构，高精度传感器和执行机构一方面价格高，另一方面无论多高精度的传感器和执行机构，由于实际控制系统受执行机构和传感器死区及分辨率的影响使得各个被控量在达到稳态时并不能准确的稳定在设定值，而是在平衡位置附近以一定幅度一定周期波动，各个被控量的稳态振荡幅度、振荡周期和振荡相位这3个参数并不相同，这3个参数波动情况的不同会产生不同的稳态控制精度，如果通过动态调整控制器参数使各个被控量的稳态振荡幅度降低，从而获得较高的稳态控制精度，这种在不增加任何硬件成本和不改变硬件结构情况下使稳态控制精度得到提高的方法，具有一定现实意义。由双温双压湿度发生的相对湿度计算公式：

$RH=\frac{f(P_s,T_s)}{f(P_c,T_c)}\×\frac{e\left(T_s\right)}{e\left(T_c\right)}\×\frac{P_c}{P_s}---\left(1\right)$

式(1)中，RH为相对湿度，％；Ps和Pc分别为饱和器压力和测试室压力，kPa；Ts和Tc为饱和器温度和测试室温度，K；e为水(冰)的饱和蒸汽压力，kPa，可由Wexler方程计算得到；f为增强因子。

由式(1)可知，湿度的控制是通过饱和器和测试室内气体压力和温度的控制实现的，其精度取决于压力和温度的控制精度。然而，由于执行机构和测量传感器分辨率的限制，导致在到达稳态平衡状态时，温度和压力在平衡位置以一定周期波动，若两温度(或两压力)中一个温度(或压力)在正半周期，而另一个温度(或压力)处于负半周期，此时式(1)中的e(T_s)/e(Tc)或P_c/P_s项波动会增大，从而导致湿度误差增大。如果达到稳态平衡时，气体温度和压力以同周期、同相位的形式振荡，则e(T_s)/e(Tc)或P_c/P_s变化较小，即气体温度和压力稳态波动对湿度影响较小，如果能通过一定方法使气体温度和压力按照同周期、同相位的的形式振荡，这样即可使湿度的稳态控制精度提高。为此，本发明提出基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法，旨在湿度控制系统达到稳态平衡时，通过对控制器参数的自整定来使被控量稳态振荡幅度减小，从而提高湿度的控制精度。基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法的特点在于：在系统达到稳态平衡时，通过对控制器参数进行在线调整，从而提高控制系统中湿度的控制精度。

发明内容

针对实际控制系统受执行机构和传感器死区及分辨率的限制使得各个被控量在达到稳态时并不能准确的稳定在设定值，而是在平衡位置附近以一定幅度一定周期波动，本发明提供了基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法，它在不增加任何硬件成本和不改变硬件结构情况下通过对控制器参数的自整定来使被控量稳态振荡幅度减小，从而被控量湿度的稳态控制精度得到提高，为需要高精度湿度测量和控制的场合提供了成本低、有效的自动控制方法。

一种基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：获得被控对象传递函数的一阶惯性延迟表达式。

实际控制系统中，温度和压力控制系统可表示成一阶惯性延迟系统或通过模型降阶方法简化为一阶惯性延迟系统，一阶惯性延迟系统传递函数可表示为：

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{ke}}^{-\mathrm{\θ}s}}{\mathrm{\τ}s+1}---\left(2\right)$

其中，k为放大倍数，τ为时间常数，θ为系统延迟，s为拉普拉斯变换因子。

通过阶跃响应实验，可确定(2)中的k、τ和θ3个参数的值，即获得被控系统的一阶惯性延迟系统的传递函数表达式。

步骤二：导出被控对象在PI控制器作用下稳态振荡幅度的关系表达式。

(1)稳态振荡幅度的表达式的导出

受限制或低输入分辨率的反馈控制会导致极限环。对输入分辨率的一个简单的代表就是使用一个被量化的输入，如图1所示。量化器的输出为

u_q＝q·round(u/q) (3)

其中，u和u_q分别为量化器的输入和输出；q为量化步长，这里量化器代表受限的执行机构分辨率；round为取整函数。

图2为带有量化器的反馈系统，其中G(s)为控制对象或控制过程传递函数，K(s)为控制器，y和r分别为过程输出和参考输入，u为被控量。由于执行器低分辨率导致了阶梯式的输入，从而使得控制对象输出y以幅度a在平衡位置震荡，其中a为从波谷到波峰的总幅度(如图3)。

对于如图2所示的含有量化器的反馈系统。若控制器中有积分作用存在，则极限环是不可避免的。

稳态时，输出y的平均值等于参考输入r，即y_ss＝r，对应的输入

$u_{ss}=\frac{y_{ss}}{G\left(0\right)}=\frac{r}{G\left(0\right)}---\left(4\right)$

其中G(0)为过程的稳态增益，由于测量噪声的存在，一般情况下，u_ss不可能正好等于量化器级别q_i，则量化器输出u_q必然至少在两个量化器级间震荡。

假定该过程由图4所示的周期性持续输入u(t)信号激励。该信号由不带迟滞环的继电器产生。其中q₁、q₂为极限值，t₁为一个振荡周期内u_q保持q₂的时间，t₂为一个振荡周期内u_q保持q₁的时间，T为振荡周期(T＝t₁+t₂)，该信号可表示为频域上一系列时延项。不失一般性，假定q₂＝0，q₁＝q，则：

$u_q\left(s\right)=\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-Ts}-e^{-(t_1+T)s}+e^{-2Ts}-e^{-(t_1+2T)s}+...)---\left(5\right)$

将此信号作用到式(2)表示的过程，输出信号会出现震荡。震荡的最大或最小值存在于集合最小或最大值存在于集合在θ+T＜t＜θ+t₁+T范围内最大值为

$y\left(s\right)=\frac{{\mathrm{ke}}^{-\mathrm{\θ}s}}{\mathrm{\τ}s+1}\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-Ts})---\left(6\right)$

转换到时域得

$y\left(t\right)=kq(1-e^{-(t-\mathrm{\θ}-T)/\mathrm{\τ}}+e^{-(t-\mathrm{\θ}-t_1)/\mathrm{\τ}}+e^{-(t-\mathrm{\θ})/\mathrm{\τ}})---\left(7\right)$

这样，最大或最小值为

$y(t_1+T+\mathrm{\θ})=kq(1-e^{-t_1/\mathrm{\τ}}+e^{-T/\mathrm{\τ}}+e^{-(t_1+T)/\mathrm{\τ}})---\left(8\right)$

因此，最大或最小值可扩展为

$y_{ext1}=kq(1-e^{-t_1/\mathrm{\τ}}+e^{-T/\mathrm{\τ}}+e^{-(t_1+T)/\mathrm{\τ}}+e^{-2T/\mathrm{\τ}}+...)---\left(9\right)$

即

$y_{ext1}=kq(1-e^{-t_1/\mathrm{\τ}})(1+e^{-T/\mathrm{\τ}}+e^{-2T/\mathrm{\τ}}+e^{-3T/\mathrm{\τ}}...)---\left(10\right)$

当n→∞时，(e^-T/τ)ⁿ→0，式(9)的有限和为

$\underset{n\→\mathrm{\∞}}{\lim }\underset{m=0}{\overset{n}{\Σ}}{\left(e^{-T/\mathrm{\τ}}\right)}^m=\frac{1}{1-e^{-T/\mathrm{\τ}}}---\left(11\right)$

则

$y_{ext1}=kq\frac{1-e^{-t_1/\mathrm{\τ}}}{1-e^{-T/\mathrm{\τ}}}---\left(12\right)$

同样地，可导出在θ+t₁+T＜t＜θ+2T范围内最大值：

$y_{ext2}=-kq\frac{e^{-T/\mathrm{\τ}}(1-e^{-t_1/\mathrm{\τ}})}{1-e^{-T/\mathrm{\τ}}}---\left(13\right)$

震荡幅度a＝y_ext1-y_ext2，即

$a=kq\frac{1-e^{-t_1/\mathrm{\τ}}+e^{-T/\mathrm{\τ}}-e^{-(T-t_1)/\mathrm{\τ}}}{1-e^{-T/\mathrm{\τ}}}---\left(14\right)$

式(14)中a依赖于t₁和T，为此必须确定它们的值。

(2)t₁和T的导出

由图2可知，

u(s)＝K(s)[r(s)-y(s)] (15)

其中r(s)＝r₀/s，y(s)＝G(s)u_q(s)，t₀为暂态过程时间，K_c为PI控制器增益系数，τ_I为PI控制器积分时间常数，r₀为PI控制器输入。

$u_q\left(s\right)=\frac{q_2}{s}+\frac{q_1-q_2}{s}(e^{-t_{0}s}-e^{-(t_0+t_1)s})---\left(16\right)$

考虑PI控制器，将式(16)代入(15)，并转换成时域形式，则有

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\τ}}_I}\{r_0\left(t+{\mathrm{\τ}}_I\right)-{\mathrm{kq}}_1\[\left({\mathrm{\τ}}_I-\mathrm{\τ}\right)\left(1-e^{-\left(t-\mathrm{\θ}\right)/\mathrm{\τ}}\right)+t-\mathrm{\θ}\]+k\left(q_1-q_2\right)\[\left({\mathrm{\τ}}_I-\mathrm{\τ}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-\mathrm{\θ}\right)/\mathrm{\τ}}\right)+t-t_0-\mathrm{\θ}\]-\\ k\left(q_1-q_2\right)\[\left({\mathrm{\τ}}_I-\mathrm{\τ}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-t_1-\mathrm{\θ}\right)/\mathrm{\τ}}\right)+t-t_0-t_1-\mathrm{\θ}\]\end{array}---\left(17\right)$

当θ<t<t₀+θ时，

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}---\left(18\right)$

在区间t₀+θ<t<t₀+t₁+θ，

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0\left(t+{\mathrm{\&tau;}}_I\right)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\\ k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\end{array}---\left(19\right)$

同样地，对于区间t₀+t₁+θ<t<t₀+t₁+t₂+θ，

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_I\right)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+k\left(q_1-q_2\right)\\ \&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(20\right)$

上式中，

其中

$n=round\left(\frac{u\left(t\right)}{q_1-q_2}\right)---\left(21\right)$

其中round为取整函数。

将t＝t₀，t＝t₀+t₁，t＝t₀+t₁+t₂分别代入式(18)，(19)，(20)得：

$u\left(t_0\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t_0+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}---\left(22\right)$

$\begin{array}{c}u\left(t_0+t_1\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0\left(t_0+t_1+{\mathrm{\&tau;}}_I\right)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_0+t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t_0+t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\\ k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(23\right)$

$\begin{array}{c}u(t_0+t_1+t_2)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_0+t_1+t_2-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_0+t_1+t_2-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\\ k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_2-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t_2-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(24\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，结合式(22)～(24)，得：

$(r_0-{\mathrm{kq}}_2)t_1-k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{kq}}_1({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(e^{-(t_0-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}}-e^{-(t_0+t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+k(q_1-q_2)({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})=0---\left(25\right)$

$\begin{array}{c}\left(r_0-{\mathrm{kq}}_1\right)t_2+k\left(q_1-q_2\right)\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{kq}}_1\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(e^{-\left(t_0+t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/t}-e^{-\left(t_0+t_1++t_2-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+\\ k\left(q_1-q_2\right)\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(e^{-\left(t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}-e^{-\left(t_1+t_2-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)-k\left(q_1-q_2\right)\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_2-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)=0\end{array}---\left(26\right)$

特别地，当τ＝τ_I时，式(18)～(20)可分别变为：

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\mathrm{\&theta;})\}---\left(27\right)$

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;(t-\mathrm{\&theta;})\&rsqb;+k(q_1-q_2)(t-t_0-\mathrm{\&theta;})\}---\left(28\right)$

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\mathrm{\&theta;})+k(q_1-q_2)(t-t_0-\mathrm{\&theta;})-k(q_1-q_2)(t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;})\}---\left(29\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，将t＝t₀，t＝t₀+t₁+t₂，t＝t₀+t₁分别代入式(27)，(28)，(29)并求解得：

$t_1=\frac{k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}}{r_0-{\mathrm{kq}}_2}---\left(30\right)$

$t_2=\frac{k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}}{{\mathrm{kq}}_1-r_0}---\left(31\right)$

$T=t_1+t_2=k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}\left(\frac{1}{{\mathrm{kq}}_1-r_0}+\frac{1}{r_0-{\mathrm{kq}}_2}\right)---\left(32\right)$

当τ≠τ_I时，对式(22)～(24)进行数值求解，可得到t₁，t₂和T，然后代入式(14)即可求得被控系统稳态振荡幅度a。

步骤三：确定PI控制器参数Kc和τ_I对稳态振荡幅度a的影响机理。

通过实验和仿真确定Kc和τ_I对稳态振荡幅度a的影响规律，为稳态过程中通过适当调节Kc和τ_I降低稳态振荡幅度a，提高稳态控制精度奠定基础。

步骤四：调节PI控制器参数，对控制系统被控量稳态振荡幅度进行调节。

3、优点及功效：本发明所具有的有益效果是：

(1)为实际工业控制系统的精密控制过程提供了一种操作简便、快速、低成本的稳态精度提高方法，在不增加硬件成本情况下，使被控对象控制精度大大提高。

(2)实时性强。本发明提供的稳态精度调节方法是实时在线调整，具有很强实时性。

(3)自适应能力强。该方法可适用于PI控制器作用下的任何一阶惯性延迟系统(或可简化为一阶惯性延迟系统的过程)，不依赖于具体控制对象参数。

(4)成本低。稳态控制精度的提高并没有通过更换更高分辨率的执行机构和传感器(高分辨率的执行机构和传感器，价格高)，因此本发明具有低成本的功效。

附图说明

图1平滑信号量化示意图；

图2含有量化器的反馈系统示意图；

图3含有量化器的反馈系统响应曲线图；

图4输入信号曲线图；

图5振荡幅度a随Kc的变化示意图；

图6振荡幅度a随τ_I的变化示意图；

图7稳态条件下温度和压力随时间的变化曲线(不同周期、不同相位)；

图8稳态条件下温度和压力随时间的变化曲线(同周期、同相位)。

各图的符号说明如下：

u：量化器输入(即控制器输出)；u_q：量化器输出；r：参考输入；y：被控量输出；K：控制器传递函数；G：被控对象传递函数；a：被控对象稳态振荡幅度；T：振荡周期；q₁和q₂为量化器的两个相邻量化水平；t₁：在一个振荡周期内u_q保持在q₂的时间；t₂：在一个振荡周期内u_q保持在q₁的时间；t₀：暂态过程时间；K_c：PI控制器增益系数；τ_I：PI控制器积分时间常数。

具体实施方式

本发明提供了一种基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：获得被控气体温度和压力的传递函数的一阶惯性延迟表达式。

实际控制系统中，气体温度和压力控制系统可表示成一阶惯性延迟系统或通过模型降阶方法简化为一阶惯性延迟系统，一阶惯性延迟系统传递函数可表示为：

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{ke}}^{-\mathrm{\&theta;}s}}{\mathrm{\&tau;}s+1}---\left(2\right)$

其中，k为放大倍数，τ为时间常数，θ为系统延迟，s为拉普拉斯变换因子。

通过阶跃响应实验，可确定(2)中的k、τ和θ3个参数的值，即获得被控系统的一阶惯性延迟系统的传递函数表达式。

步骤二：导出系统在PI控制器作用下稳态振荡幅度的关系表达式。

(1)稳态振荡幅度的表达式的导出

受限制或低输入分辨率的反馈控制会导致极限环，如图1所示。量化器的输出为

u_q＝q·round(u/q) (3)

其中，u和u_q分别为量化器的输入和输出；q为量化步长，这里的量化器代表受限的执行机构分辨率；round为取整函数。

图2为带有量化器的反馈系统，其中G(s)为控制对象或控制过程传递函数，K(s)为控制器，y和r分别为过程输出和参考输入，u为被控量。由于执行器低分辨率导致了阶梯式的输入，从而使得控制对象输出y以幅度a在平衡位置震荡，如图3。

对于如图2所示的含有量化器的反馈系统。若控制器中有积分作用存在，则极限环是不可避免的。

稳态时，输出y的平均值y_ss等于参考输入r，即y_ss＝r，对应的输入

$u_{ss}=\frac{y_{ss}}{G\left(0\right)}=\frac{r}{G\left(0\right)}---\left(4\right)$

其中G(0)为过程的稳态增益，u_ss为控制器平均值，由于测量噪声的存在，一般情况下，u_ss不可能正好等于量化器级别q_i，量化器输出u_q必然至少在两个量化器级间震荡。

假定式(1)表示的过程由图4所示的周期性持续输入u(t)信号激励。该信号由不带迟滞环的继电器产生。其中q₁、q₂为极限值，t₁为一个振荡周期内u_q保持q₂的时间，t₂为一个振荡周期内u_q保持q₁的时间，T为振荡周期(T＝t₁+t₂)，该信号可表示为频域上一系列时延项。不失一般性，假定q₂＝0，q₁＝q，则：

$u_q\left(s\right)=\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-Ts}-e^{-(t_1+T)s}+e^{-2Ts}-e^{-(t_1+2T)s}+...)---\left(5\right)$

将此信号作用到式(2)表示的过程，输出信号会出现震荡。震荡的最大或最小值存在于集合最小或最大值存在于集合在θ+T＜t＜θ+t₁+T范围内最大值为

$y\left(s\right)=\frac{{\mathrm{ke}}^{-\mathrm{\&theta;}s}}{\mathrm{\&tau;}s+1}\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-Ts})---\left(6\right)$

转换到时域得

$y\left(t\right)=kq(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;}-T)/\mathrm{\&tau;}}+e^{-(t-\mathrm{\&theta;}-t_1)/\mathrm{\&tau;}}+e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})---\left(7\right)$

这样，最大或最小值为

$y(t_1+T+\mathrm{\&theta;})=kq(1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}}+e^{-T/\mathrm{\&tau;}}+e^{-(t_1+T)/\mathrm{\&tau;}})---\left(8\right)$

因此，最大或最小值可扩展为

$y_{ext1}=kq(1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}}+e^{-T/\mathrm{\&tau;}}+e^{-(t_1+T)/\mathrm{\&tau;}}+e^{-2T/\mathrm{\&tau;}}+...)---\left(9\right)$

即

$y_{ext1}=kq(1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}})(1+e^{-T/\mathrm{\&tau;}}+e^{-2T/\mathrm{\&tau;}}+e^{-3T/\mathrm{\&tau;}}...)---\left(10\right)$

当n→∞时，(e^-T/τ)ⁿ→0，式(10)的有限和为

$\underset{n\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\underset{m=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\left(e^{-T/\mathrm{\&tau;}}\right)}^m=\frac{1}{1-e^{-T/\mathrm{\&tau;}}}---\left(11\right)$

则

$y_{ext1}=kq\frac{1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}}}{1-e^{-T/\mathrm{\&tau;}}}---\left(12\right)$

同样地，可导出在θ+t₁+T＜t＜θ+2T范围内最大值：

$y_{ext2}=-kq\frac{e^{-T/\mathrm{\&tau;}}(1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}})}{1-e^{-T/\mathrm{\&tau;}}}---\left(13\right)$

振荡幅度a＝y_ext1-y_ext2，即

$a=kq\frac{1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}}+e^{-T/\mathrm{\&tau;}}-e^{-(T-t_1)/\mathrm{\&tau;}}}{1-e^{-T/\mathrm{\&tau;}}}---\left(14\right)$

式(14)中a依赖于t₁和T，为此必须确定t₁和T的值。

(2)t₁和T的导出

由图2可知，

u(s)＝K(s)[r(s)-y(s)] (15)

其中为PI控制器传递函数，K_c和τ_I分别为PI控制器的放大倍数和积分时间常数，r(s)＝r₀/s，其中r₀为控制器输入，y(s)＝G(s)u_q(s)，

$u_q\left(s\right)=\frac{q_2}{s}+\frac{q_1-q_2}{s}(e^{-t_{0}s}-e^{-(t_0+t_1)s})---\left(16\right)$

考虑PI控制器，将式(16)代入(15)，并转换成时域形式，则有

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_1}\{r_0\left(t+{\mathrm{\&tau;}}_I\right)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-\\ k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\end{array}---\left(17\right)$

当θ<t<t₀+θ时，

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}---\left(18\right)$

在区间t₀+θ<t<t₀+t₁+θ，

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0\left(t+{\mathrm{\&tau;}}_I\right)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\\ k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\end{array}---\left(19\right)$

同样地，对于区间t₀+t₁+θ<t<t₀+t₁+t₂+θ，

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0\left(t-{\mathrm{\&tau;}}_I\right)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+k\left(q_1-q_2\right)\\ \&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(20\right)$

上式中，

其中：

$n=round\left(\frac{u\left(t\right)}{q_1-q_2}\right)---\left(21\right)$

其中round为取整函数。

将t＝t₀，t＝t₀+t₁，t＝t₀+t₁+t₂分别代入式(18)，(19)，(20)得：

$u\left(t_0\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t_0+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}---\left(22\right)$

$\begin{array}{c}u\left(t_0+t_1\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0\left(t_0+t_1+{\mathrm{\&tau;}}_I\right)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_0+t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t_0+t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\\ k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(23\right)$

$\begin{array}{c}u(t_0+t_1+t_2)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_0+t_1+t_2-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_0+t_1+t_2-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\\ k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-k\left(q_1-q_2\right)\&lsqb;\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_2-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+t_2-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(24\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，结合式(22)～(24)，得：

$(r_0-{\mathrm{kq}}_2)t_1-k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{kq}}_1({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(e^{-(t_0-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}}-e^{-(t_0+t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+k(q_1-q_2)({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})=0---\left(25\right)$

$\begin{array}{c}\left(r_0-{\mathrm{kq}}_1\right)t_2+k\left(q_1-q_2\right)\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{kq}}_1\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(e^{-\left(t_0+t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}-e^{-\left(t_0+t_1++t_2-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)+\\ k\left(q_1-q_2\right)\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(e^{-\left(t_1-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}-e^{-\left(t_1+t_2-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)-k\left(q_1-q_2\right)\left({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;}\right)\left(1-e^{-\left(t_2-\mathrm{\&theta;}\right)/\mathrm{\&tau;}}\right)=0\end{array}---\left(26\right)$ 特别地，当τ＝τ_I时，式(18)～(20)可分别变为：

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\mathrm{\&theta;})\}---\left(27\right)$

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;(t-\mathrm{\&theta;})\&rsqb;+k(q_1-q_2)(t-t_0-\mathrm{\&theta;})\}---\left(28\right)$

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\mathrm{\&theta;})+k(q_1-q_2)(t-t_0-\mathrm{\&theta;})-k(q_1-q_2)(t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;})\}---\left(29\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，将t＝t₀，t＝t₀+t₁+t₂，t＝t₀+t₁分别代入式(27)，(28)，(29)并求解得：

$t_1=\frac{k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}}{r_0-{\mathrm{kq}}_2}---\left(30\right)$

$t_2=\frac{k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}}{{\mathrm{kq}}_1-r_0}---\left(31\right)$

$T=t_1+t_2=k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}(\frac{1}{{\mathrm{kq}}_1-r_0}+\frac{1}{r_0-{\mathrm{kq}}_2})---\left(32\right)$

当τ≠τ_I时，对式(22)～(24)进行数值求解，可得到t₁，t₂和T。

步骤三：确定PI控制器参数K_c和τ_I对稳态振荡幅度的影响机理。

通过实验和仿真结果表明：1)如图5，Kc对振荡幅度a的调节作用很小或无影响，但其影响被控制系统的暂态性能，因此Kc不用于调节振荡幅度a；2)如图6，在满足被控系统稳定性前提下，随着τ_I的增大，振荡幅度a减小，但τ_I增加到一定程度后，随着τ_I的增大，振荡幅度a减小幅度变小，表明τ_I对a的调节作用也是有限的。由此可得出如下调节规则：增大τ_I使振荡幅度a减小，实现对a的在线调整，当τ_I增大对a不明显时，调整过程结束。

步骤四：采用稳定边界法确定PI控制器初始参数，待控制对象达到稳态后，通过调整K_c和τ_I对控制系统被控量稳态振荡幅度进行调节，以使稳态振荡幅度最小。

实例：为了验证所提出方法的可行性，针对如下气流场如式(33)的压力对象模型和式(34)的温度对象模型，这两个模型通过阶跃响应实验获得。

$G\left(s\right)=\frac{0.172}{32.7s+1}{e}^{-4.4s}---\left(33\right)$

$G\left(s\right)=\frac{0.7}{182.7s+1}{e}^{-30s}---\left(34\right)$

进行验证。

首先由稳定边界法整定PI初始参数，温度模型PI控制器参数：Kc₁＝6.643，τ_i1＝200；压力模型PI控制器参数：Kc₂＝18.7，τ_i2＝35。假定压力和温度控制系统执行机构分辨率(即量化步长)为0.03，气体压力和温度设定值分别为25kPa和25℃。试验结果如图7所示。由图7可知，压力振荡周期约为温度振荡周期的2倍，且温度和压力反向振荡，此时求解得到的湿度误差较大。利用本发明提出的方法将压力模型PI控制器参数τ_i2从35在线修改为30，Kc₂从18.7在线修改为12.8，试验结果如图8所示。由图8可以看出，温度和压力呈同周期、同相位波动，由此获得的湿度稳态控制精度大大提高。

实践证明：本发明一种基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法在不改变任何硬件的情况下为精密控制过程提供了一种操作简便、快速、低成本的稳态精度提高方法，为实际工业控制系统的精密控制提供了一条新的途径。

Claims (1)

1.一种基于双温双压湿度发生原理的湿度稳态精度提高方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：获得被控对象传递函数的一阶惯性延迟表达式；

实际控制系统中，温度和压力控制系统可表示成一阶惯性延迟系统或通过模型降阶方法简化为一阶惯性延迟系统，一阶惯性延迟系统传递函数可表示为：

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{ke}}^{-\mathrm{\&theta;}s}}{\mathrm{\&tau;}s+1}---\left(2\right)$

其中，k为放大倍数，τ为时间常数，θ为系统延迟，s为拉普拉斯变换因子；

通过阶跃响应实验，可确定(2)中的k、τ和θ3个参数的值，即获得被控系统的一阶惯性延迟系统的传递函数表达式；

步骤二：导出被控对象在PI控制器作用下稳态振荡幅度的关系表达式；

(1)稳态振荡幅度的表达式的导出

受限制低输入分辨率的反馈控制会导致极限环，对输入分辨率的一个简单的代表就是使用一个被量化的输入，量化器的输出为

u_q＝q·round(u/q) (3)

其中，u和u_q分别为量化器的输入和输出；q为量化步长，这里量化器代表受限的执行机构分辨率；round为取整函数；

带有量化器的反馈系统，其中G(s)为控制对象或控制过程传递函数，K(s)为控制器，y和r分别为过程输出和参考输入，u为被控量，由于执行器低分辨率导致了阶梯式的输入，从而使得控制对象输出y以幅度a在平衡位置震荡，其中a为从波谷到波峰的总幅度；

对于含有量化器的反馈系统，若控制器中有积分作用存在，则极限环是不可避免的；

稳态时，输出y的平均值等于参考输入r，即y_ss＝r，对应的输入

$u_{ss}=\frac{y_{ss}}{G\left(0\right)}=\frac{r}{G\left(0\right)}---\left(4\right)$

其中G(0)为过程的稳态增益，由于测量噪声的存在，一般情况下，u_ss不可能正好等于量化器级别q_i，则量化器输出u_q必然至少在两个量化器级间震荡；

假定该过程由周期性持续输入u(t)信号激励，该信号由不带迟滞环的继电器产生，其中q₁、q₂为极限值，t₁为一个振荡周期内u_q保持q₂的时间，t₂为一个振荡周期内u_q保持q₁的时间，T为振荡周期,其中T＝t₁+t₂，该信号可表示为频域上一系列时延项，不失一般性，假定q₂＝0，q₁＝q，则：

$u_q\left(s\right)=\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-Ts}-e^{-(t_1+T)s}+e^{-2Ts}-e^{-(t_1+2T)s}+...)---\left(5\right)$

将此信号作用到式(2)表示的过程，输出信号会出现震荡，震荡的最大或最小值存在于集合最小或最大值存在于集合在θ+T＜t＜θ+t₁+T范围内最大值为

$y\left(s\right)=\frac{{\mathrm{ke}}^{-\mathrm{\&theta;}s}}{\mathrm{\&tau;}s+1}\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-Ts})---\left(6\right)$

转换到时域得

$y\left(t\right)=kq(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;}-T)/\mathrm{\&tau;}}+e^{-(t-\mathrm{\&theta;}-t_1)/\mathrm{\&tau;}}+e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})---\left(7\right)$

这样，最大或最小值为

$y(t_1+T+\mathrm{\&theta;})=kq(1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}}+e^{-T/\mathrm{\&tau;}}+e^{-(t_1+T)/\mathrm{\&tau;}})---\left(8\right)$

因此，最大或最小值可扩展为

$y_{ext1}=kq(1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}}+e^{-T/\mathrm{\&tau;}}+e^{-(t_1+T)/\mathrm{\&tau;}}+e^{-2T/\mathrm{\&tau;}}+...)---\left(9\right)$

即

$y_{ext1}=kq(1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}})(1+e^{-T/\mathrm{\&tau;}}+e^{-2T/\mathrm{\&tau;}}+e^{-3T/\mathrm{\&tau;}}...)---\left(10\right)$

当n→∞时，(e^-T/τ)ⁿ→0，式(9)的有限和为

$\underset{n\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\underset{m=0}{\overset{n}{\&Sigma;}}{\left(e^{-T/\mathrm{\&tau;}}\right)}^m=\frac{1}{1-e^{-T/\mathrm{\&tau;}}}---\left(11\right)$

则

$y_{ext1}=kq\frac{1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}}}{1-e^{-T/\mathrm{\&tau;}}}---\left(12\right)$

同样地，可导出在θ+t₁+T＜t＜θ+2T范围内最大值：

$y_{ext2}=-kq\frac{e^{-T/\mathrm{\&tau;}}(1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}})}{1-e^{-T/\mathrm{\&tau;}}}---\left(13\right)$

震荡幅度a＝y_ext1-y_ext2，即

$a=kq\frac{1-e^{-t_1/\mathrm{\&tau;}}+e^{-T/\mathrm{\&tau;}}-e^{-(T-t_1)/\mathrm{\&tau;}}}{1-e^{-T/\mathrm{\&tau;}}}---\left(14\right)$

式(14)中a依赖于t₁和T，为此必须确定它们的值；

(2)t₁和T的导出

u(s)＝K(s)[r(s)-y(s)] (15)

其中r(s)＝r₀/s，y(s)＝G(s)u_q(s)，t₀为暂态过程时间，K_c为PI控制器增益系数，τ_I为PI控制器积分时间常数，r₀为PI控制器输入；

$u_q\left(s\right)=\frac{q_2}{s}+\frac{q_1-q_2}{s}(e^{-t_{0}s}-e^{-(t_0+t_1)s})---\left(16\right)$

考虑PI控制器，将式(16)代入(15)，并转换成时域形式，则有

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+k(q_1-q_2)\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-t_0-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-\\ k(q_1-q_2)\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\end{array}---\left(17\right)$

当θ<t<t₀+θ时，

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}---\left(18\right)$

在区间t₀+θ<t<t₀+t₁+θ，

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\\ k(q_1-q_2)\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-t_0-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(19\right)$

同样地，对于区间t₀+t₁+θ<t<t₀+t₁+t₂+θ，

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+k(q_1-q_2)\\ \&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-t_0-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-k(q_1-q_2)\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(\mathrm{20}\right)$

上式中，

其中

$n=round\left(\frac{u\left(t\right)}{q_1-q_2}\right)---\left(21\right)$

其中round为取整函数；

将t＝t₀，t＝t₀+t₁，t＝t₀+t₁+t₂分别代入式(18)，(19)，(20)得：

$u\left(t_0\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t_0+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_0-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}---\left(22\right)$

$\begin{array}{c}u(t_0+t_1)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t_0+t_1+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_0+t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_0+t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\\ k(q_1-q_2)\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(23\right)$

$\begin{array}{c}u(t_0+t_1+t_2)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_0+t_1+t_2-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_0+t_1+t_2-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;+\\ k(q_1-q_2)\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_1-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;-k(q_1-q_2)\&lsqb;({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_2-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+t_2-\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\}\end{array}---\left(24\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，结合式(22)～(24)，得：

$(r_0-{\mathrm{kq}}_2)t_1-k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{kq}}_1({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(e^{-(t_0-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}}-e^{-(t_0+t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+k(q_1-q_2)({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})=0---\left(25\right)$

$\begin{array}{c}(r_0-{\mathrm{kq}}_1)t_2+k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}-{\mathrm{kq}}_1({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(e^{-(t_0+t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}}-e^{-(t_0+t_1\mathrm{++}{t}_2-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})+\\ k(q_1-q_2)({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(e^{-(t_1-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}}-e^{-(t_1+t_2-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})-k(q_1-q_2)({\mathrm{\&tau;}}_I-\mathrm{\&tau;})(1-e^{-(t_2-\mathrm{\&theta;})/\mathrm{\&tau;}})=0\end{array}---\left(26\right)$

特别地，当τ＝τ_I时，式(18)～(20)可分别变为：

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\mathrm{\&theta;})\}---\left(27\right)$

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1\&lsqb;(t-\mathrm{\&theta;})\&rsqb;+k(q_1-q_2)(t-t_0-\mathrm{\&theta;})\}---\left(28\right)$

$u\left(t\right)=\frac{Kc}{{\mathrm{\&tau;}}_I}\{r_0(t+{\mathrm{\&tau;}}_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\mathrm{\&theta;})+k(q_1-q_2)(t-t_0-\mathrm{\&theta;})-k(q_1-q_2)(t-t_0-t_1-\mathrm{\&theta;})\}---\left(29\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，将t＝t₀，t＝t₀+t₁+t₂，t＝t₀+t₁分别代入式(27)，(28)，(29)并求解得：

$t_1=\frac{k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}}{r_0-{\mathrm{kq}}_2}---\left(30\right)$

$t_2=\frac{k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}}{{\mathrm{kq}}_1-r_0}---\left(31\right)$

$T=t_1+t_2=k(q_1-q_2)\mathrm{\&theta;}(\frac{1}{{\mathrm{kq}}_1-r_0}+\frac{1}{r_0-{\mathrm{kq}}_2})---\left(32\right)$

当τ≠τ_I时，对式(22)～(24)进行数值求解，可得到t₁，t₂和T，然后代入式(14)即可求得被控系统稳态振荡幅度a；

步骤三：确定PI控制器参数Kc和τ_I对稳态振荡幅度a的影响机理；

通过实验和仿真确定Kc和τ_I对稳态振荡幅度a的影响规律，为稳态过程中通过适当调节Kc和τ_I降低稳态振荡幅度a，提高稳态控制精度奠定基础；

步骤四：调节PI控制器参数，对控制系统被控量稳态振荡幅度进行调节。