CN104133373A - 基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法，通过采用基于过度参数化的扩展z变换分子的算法和带遗忘因子的递推最小二乘算法辨识室温被控对象的过程参数和延迟参数，并通过计算机实现在线辨识计算。本发明算法简单，实用性强，实现了对室温控制对象的过程参数和延迟参数的辨识，为室温控制系统的自适应控制提供了重要的手段，同时可可以作为对空调系统进行动态特性研究的一种有效手段。

Description

基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法

技术领域

本发明涉及一种基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法，属于空调系统控制技术领域。

背景技术

在空调系统的运行过程中，如室温控制对象，其过程参数和延迟时间往往会随着环境，负荷的变化而发生偏移，此时已经整定过的PID控制器的参数往往不能满足新的对象特性的需求，从而导致性能的下降。在室温控制对象的各项参数中，尤其是延迟时间的辨识，是其应用与控制领域的关键。而空调控制对象的过程参数和延迟时间通常是时变的，因此对时变的空调系统进行辨识更有实际意义。普遍情况下，采用递推的最小二乘算法对时变的空调控制模型进行在线辨识，但是该算法只能对空调系统的过程参数进行辨识，不能对延迟时间参数进行辨识。

发明内容

本发明提供了一种基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法，采用一种基于过度参数化的扩展z变换分子的方法和带遗忘因子的递推最小二乘算法实现了对室温控制对象过程参数和延迟参数的在线辨识。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：

基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法，包括以下步骤：

1)建立室温对象的数学模型；

2)采用基于过度参数化的扩展z变换分子的算法和带遗忘因子的递推最小二乘算法辨识室温被控对象的过程参数和延迟参数，并通过计算机实现在线辨识计算。

前述的步骤1)，建立室温对象的数学模型的具体过程为：

1-1)室温控制对象的数学模型G(s)为：

$G\left(s\right)=\frac{K_s}{T_s\·s+1}{e}^{-\mathrm{\τ}\·s}---\left(1\right)$

其中，s为拉普拉斯算子，K_s为放大系数，T_s为时间常数，τ为纯延迟时间；

1-2)对室温控制的数学模型的传递函数G_h(s)进行离散化，得到：

$G_h\left(s\right)=\frac{1-\exp (T\·s)}{s}---\left(2\right)$

其中，T为采样周期；

1-3)对室温被控对象的数学模型G(s)进行z变换后，得到离散化数学模型G(z^-1)为：

$G\left(z^{-1}\right)=\frac{B\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}\·z^{-d}=\frac{{\mathrm{bz}}^{-1}}{1-{\mathrm{az}}^{-1}}\·z^{-d}---\left(8\right)$

其中，d＝τ/T，b＝K_s(1-a)，

a，b均为待辨识室温控制数学模型的过程参数，d为待辨识的延迟参数。

前述的步骤2)对室温被控对象的过程参数和延迟参数进行辨识，包括以下步骤：

2-1)将式(8)中B(z^-1)·z^-d展开为多项式的形式B_m(z^-1)：

B_m(z^-1)＝b₁z^-1+b₂z^-2+...+b_mz^-m  (10)

其中，m-1为室温被控对象的最长延迟，则待辨识的室温被控模型G(z^-1)转换为G_m(z^-1)的形式：

$G_m\left(z^{-1}\right)=\frac{B\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}{z}^{-d}=\frac{B_m\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}=\frac{\widehat{b_1}{z}^{-1}+\widehat{b_2}{z}^{-2}+...+\widehat{b_m}{z_m}^{-m}}{1-\hat{a}{z}^{-1}}---\left(11\right)$

定义待辨识的参数向量为：

2-2)当向量值被估算出来后，参数向量中的即为要辨识的过程参数a；

2-3)对B(z^-1)·z^-d和B_m(z^-1)进行频率特性分析，令频率ω＝0时，与的零阶和一阶导数相等，即：

$B\left(z^{-1}\right)\·z^{-d}{|}_{{z=e}^{\mathrm{j\ω}}}={\hat{B}}_m\left(z^{-1}\right){|}_{{z=e}^{\mathrm{j\ω}}}---\left(12\right)$

$\frac{\mathrm{dB}\left(z^{-1}\right)\·z^{-d}{|}_{{z=e}^{\mathrm{j\ω}}}}{\mathrm{d\ω}}=\frac{d{\hat{B}}_m\left(z^{-1}\right){|}_{{z=e}^{\mathrm{j\ω}}}}{\mathrm{d\ω}}---\left(13\right)$

2-4)通过式(12)和式(13)获得过程参数b，延迟参数d，和G_m(z^-1)中待辨识的参数之间的关系如下：

$\hat{b}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\widehat{b_i}---\left(14\right)$

$\hat{d}=[(\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}i\×\widehat{b_i})/\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\widehat{b_i}]-1---\left(15\right)$

即为要辨识的过程参数b，即为要辨识的延迟参数d；

2-5)将式(11)所述的G_m(z^-1)的模型写成最小二乘的形式：

y(k)＝h^T(k)θ+e(k)  (17)

其中，e(k)为实际输出与期望输出之间的误差，y(k)表示在k时刻室温控制系统的输出，u(k)表示k时刻室温控制的输入，

h(k)和θ表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}h\left(k\right)={[-y(k-1),u(k-1),u(k-2),...,u(k-m)]}^T\\ \mathrm{\θ}={[a,b_1,b_{2,}...,b_m]}^T\end{array}\right.---\left(18\right);$

2-6)定义函数J(θ)为：

$J\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{k=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(k\right){\left[e\left(k\right)\right]}^2---\left(21\right)$

其中，Λ(k)为遗忘因子；

2-7)得到带遗忘因子的递推最小二乘算法的规范化公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\θ}}\left(k\right)=\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)+K\left(k\right)[y\left(k\right)-h^T\left(k\right)\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)]\\ K\left(k\right)=P(k-1)h\left(k\right){[h^T\left(k\right)P(k-1)h\left(k\right)+\frac{1}{\mathrm{\Λ}\left(k\right)}]}^{-1}\\ P\left(k\right)=[I-K\left(k\right)h^T\left(k\right)]P(k-1)\end{array}\right.---\left(44\right)$

其中，K(k)为增益矩阵，P(k)是一个方阵。

前述的步骤2)中，通过计算机实现在线辨识的过程如下：

2-a)给定初始条件：

其中，ε为充分小的实向量，

P(0)＝a²I，其中，a为充分大的数，I为单位向量；

2-b)根据式(18)构造h(k)，其中，空调系统的输入y(k)和输出u(k)可由测量获得；

2-c)每获得一组新的数据y(k)、h(k)，根据式(44)构造K(k)和P(k)；

2-d)根据式(44)估算出新的参数向量a_k和b_1k,b_2k…,b_mk；

2-e)根据式(13)、(14)和(15)估算出新的b_k和d_k；

2-f)对d_k进行取整：d_k+1＝INT(d_k+0.5)

INT(x)表示求不大于x的最大整数；

2-g)令k＝k+1，返回步骤2-b)继续进行迭代计算，直至达到最大迭代次数。

本发明算法简单，实用性强，实现了对室温控制对象的过程参数和延迟参数的辨识，为室温控制系统的自适应控制提供了重要的手段，同时可可以作为对空调系统进行动态特性研究的一种有效手段。

附图说明

图1为递推最小二乘参数估计过程中信息的变换示意图；

图2为本发明的在线辨识算法参数辨识结构框图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式详细说明本发明。

本发明的基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法，主要包括以下几个部分：

1、建立室温对象的数学模型

室温控制对象通常可视为一阶惯性环节，并且由于室温被控对象通常都具有一段时间的延迟，故用一阶惯性加纯延迟的环节来表示室温控制的数学模型，具体表达式为：

$G\left(s\right)=\frac{K_s}{T_s\·s+1}{e}^{-\mathrm{\τ}\·s}---\left(1\right)$

其中，G(s)为室温控制的数学模型，K_s为放大系数，T_s为时间常数，τ为纯延迟时间，s为拉普拉斯算子。

由于空调系统需要连续的进行工作，所以其控制过程必然为一个连续系统。为了能够通过计算机对室温控制模型进行在线辨识，必须对室温控制的数学模型的传递函数表达式(连续过程)进行离散化，为此在连续系统中加入一个采样开关和一个零阶保持器，假定采样周期用T来表示，则室温控制的数学模型的传递函数G_h(s)可以表示为：

$G_h\left(s\right)=\frac{1-\exp (T\·s)}{s}---\left(2\right)$

假设室温被控对象的纯延迟时间τ是采样周期T的整数倍，令

d＝τ/T  (3)

则室温被控对象的数学模型G(s)采用离散信号处理中应用最为广泛的z变换，即可得到离散化的数学模型G(z^-1)为：

$G\left(z^{-1}\right)=z(\frac{z-e^{T\·s}}{s}\·\frac{K_s{e}^{(-\mathrm{\τ}\·s)}}{1+T_s\·s})=\frac{B\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}\·z^{-d}=\frac{{\mathrm{bz}}^{-1}}{1-{\mathrm{az}}^{-1}}\·z^{-d}---\left(4\right)$

其具体推导过程如下：

$\left\{\begin{array}{c}G\left(z^{-1}\right)=z(\frac{1-e^{T\·s}}{s}\·\frac{K_s\·e^{(-\mathrm{\τ}\·s)}}{1+T_s\·s})=z\left(\frac{K_s}{s\·(1+T_s\·s)}\right)(1-z^{-1})z^{-d}\\ =K_{s}z(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T_s}})(1-z^{-1})z^{-d}=K_s(1-z^{-d})z^{-d}(\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-e^{-T/T_s}})\\ =K_s\frac{z^{-d}(1-e^{-T/T_s})}{z-e^{-T/T_s}}\end{array}\right.---\left(5\right)$

令

$a=e^{-T/T_s}---\left(6\right)$

b＝K_s(1-a)  (7)

将式(5)转化为z变换的标准化形式：

$G\left(z^{-1}\right)=\frac{B\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}\·z^{-d}=\frac{{\mathrm{bz}}^{-1}}{1-{\mathrm{az}}^{-1}}\·z^{-d}---\left(8\right)$

根据式(8)得到空调系统的差分方程，如下：

y_in(k+1)＝at_in(k)+bu(k-d)  (9)

其中，a、b为待辨识的室温控制数学模型的过程参数，d为待辨识的延迟参数，

y_in(k)表示在k时刻室温控制系统的输出，u(k-d)表示k-d时刻室温控制的输入。

从式(9)看出，室温被控对象某一时刻的输出可由前一时刻的输出和输入推导得到，从而表明了这个辨识算法可以一直迭代下去。

根据被控对象的输入输出数据实时辨识出a、b和d后，即可以根据式(3)、式(6)和式(7)计算获得室温被控对象数学模型中的放大系数K_s、时间常数T_s和纯延迟时间τ。

2、对室温对象进行在线辨识

在假设室温被控对象延迟时间为已知并且不变的情况下，普通的递推最小二乘方法能够很容易地辨识出a、b这两个室温对象时变的过程参数。但普通的递推最小二乘算法却无法辨识出室温被控对象延迟参数d。本发明采用基于过度参数化的扩展z变换分子的算法和带遗忘因子的递推最小二乘算法实现了包括室温被控对象的延迟参数d在内的参数在线辨识。参见图2，具体实现方法如下：

2.1基于过度参数化的扩展z变换分子的算法

将式(8)中G(z^-1)的分子B(z^-1)·z^-d展开为多项式的形式B_m(z^-1)，B_m(z^-1)具有如下形式：

B_m(z^-1)＝b₁z^-1+b₂z^-2+...+b_mz^-m  (10)

其中，m-1为室温被控对象可能的最长延迟，则待辨识的室温被控模型G(z^-1)可以转换为G_m(z^-1)的形式：

$G_m\left(z^{-1}\right)=\frac{B\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}{z}^{-d}=\frac{B_m\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}=\frac{\widehat{b_1}{z}^{-1}+\widehat{b_2}{z}^{-2}+...+\widehat{b_m}{z_m}^{-m}}{1-\hat{a}{z}^{-1}}---\left(11\right)$

记，在G_m(z^-1)中待辨识的参数向量为其中带“^”符号的参数代表该参数将被辨识。

当向量值被估算出来后，该向量中的即为所要辨识的空调系统的过程参数a，G(z^-1)分子项中的B(z^-1)·z^-d的过程参数b和延迟参数d，则可以通过如下的基于过度参数化的扩展z变换分子的算法计算获得。

首先对B(z^-1)·z^-d和B_m(z^-1)进行频率特性分析，令频率ω＝0时，与的零阶和一阶导数相等，即：

$B\left(z^{-1}\right)\·z^{-d}{|}_{{z=e}^{\mathrm{j\ω}}}={\hat{B}}_m\left(z^{-1}\right){|}_{{z=e}^{\mathrm{j\ω}}}---\left(12\right)$

$\frac{\mathrm{dB}\left(z^{-1}\right)\·z^{-d}{|}_{{z=e}^{\mathrm{j\ω}}}}{\mathrm{d\ω}}=\frac{d{\hat{B}}_m\left(z^{-1}\right){|}_{{z=e}^{\mathrm{j\ω}}}}{\mathrm{d\ω}}---\left(13\right)$

通过以上的公式，可以推导获得过程参数b和延迟参数d，和G_m(z^-1)中待辨识的参数之间的关系如下：

$\hat{b}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\widehat{b_i}---\left(14\right)$

$\hat{d}=[(\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}i\×\widehat{b_i})/\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\widehat{b_i}]-1---\left(15\right)$

另外为了和离散模型统一，延迟参数必须由一个整数来表示，为此对进行取整：

$\hat{d}=\mathrm{INT}(\hat{d}+0.5)---\left(16\right)$

INT(x)表示求不大于x的最大整数。

由以上的内容可以看出，对室温被控对象延迟参数和过程参数的辨识最终可以转化为对G_m(z^-1)中参数向量θ＝[a,b₁,b₂，···,b_m]^T的在线辨识。

2.2带遗忘因子的最小二乘算法

最小二乘法的基本结果有两种形式：一种是经典的一次完成算法，另一种是现代的递推算法。最小二乘一次完成算法比较适合理论研究，但编制程序时占用的存储空间较多，计算量大，所以多用于离线系统的辨识。最小二乘递推算法的基本思想是新的估计值等于前一次的估计值加上修正项，这样不仅可以减少计算量和存储量，而且能实现系统的在线辨识。

将式(11)中的G_m(z^-1)的模型写成最小二乘的形式：

y(k)＝h^T(k)θ+e(k)  (17)

上式中，e(k)为实际输出与期望输出之间的误差，

y(k)和h(k)都是可观测数据，θ是待估计的参数，h(k)和θ可以表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}h\left(k\right)={[-y(k-1),u(k-1),u(k-2),...,u(k-m)]}^T\\ \mathrm{\θ}={[a,b_1,b_{2,}...,b_m]}^T\end{array}\right.---\left(18\right)$

对于k＝1,2,…,L(L＝m+1)，式(17)构成一个线性方程组，可以将其写成：

y_L(k)＝h_L ^T(k)θ+e_L(k)  (19)

式中

$y_L=\left[\begin{array}{c}y\left(1\right)\\ y\left(2\right)\\ .\\ .\\ .\\ y\left(L\right)\end{array}\right],e_L=\left[\begin{array}{c}e\left(1\right)\\ e\left(2\right)\\ .\\ .\\ .\\ e\left(L\right)\end{array}\right]$

$h_L=\left[\begin{array}{cccc}-y\left(0\right)& u\left(0\right)& ...& u(1-m)\\ -y\left(1\right)& u\left(1\right)& ...& u(2-m)\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ -y(L-1)& u(L-1)& ...& u(L-m)\end{array}\right]---\left(20\right)$

为了求得参数θ的估计值，极小化函数J(θ)可使模型的输出最好地预报系统的输出。令：

$J\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{k=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(k\right){\left[e\left(k\right)\right]}^2=\underset{k=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(k\right){[y\left(k\right)-h^T\left(k\right)\mathrm{\θ}]}^2={(y_L-H_L\mathrm{\θ})}^T{\mathrm{\Λ}}_L(y_L-H_L\mathrm{\θ})---\left(21\right)$

式中，Λ(k)为遗忘因子，对所有的k，Λ(k)都必须是正数。y_L指的是公式(20)中的列向量，而y(k)指的是列向量中的某一个，h^T(k)和H_L也是同理。

引入遗忘因子的目的是为了考虑观测数据的可信度，如果认为现在时刻的数据比过去时刻的数据可靠，那么现在时刻的加权值就要大于过去时刻的。加权矩阵Λ_L一般是正定矩阵，它与遗忘因子的关系如下：

Λ_L＝diag[Λ(1),Λ(2),...,Λ(L)]  (22)

设使得 $J\left(\mathrm{\θ}\right){|}_{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{WLS}}}=J{\left(\mathrm{\θ}\right)}_{\min },$ 则有

$\frac{\∂J\left(\mathrm{\θ}\right)}{\∂\mathrm{\θ}}{|}_{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{WLS}}}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{(y_L-H_L\mathrm{\θ})}^T{\mathrm{\Λ}}_L(y_L-H_L\mathrm{\θ})=0---\left(23\right)$

展开上式，得到正则方程

$\left({H_L}^T{\mathrm{\Λ}}_L{H}_L\right){\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{WLS}}={H_L}^T{\mathrm{\Λ}}_L{y}_L---\left(24\right)$

当H_L ^TΛ_Ly_L是正则矩阵时，有

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{WLS}}={\left({H_L}^T{\mathrm{\Λ}}_L{H}_L\right)}^{-1}{H_L}^T{\mathrm{\Λ}}_L{y}_L---\left(25\right)$

且

$\frac{{\∂}^{2}J\left(\mathrm{\θ}\right)}{{\∂}^2\mathrm{\θ}}{|}_{{\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{WLS}}}={{2H}_L}^T{\mathrm{\Λ}}_L{H}_L>0---\left(26\right)$

所以满足式(25)的使并且是唯一的，在此是带遗忘因子的最小二乘估计值。

为了能够实时辨识出动态系统的特性，在用最小二乘进行参数估计时，需要把它转化成一种有效的递推参数估计。递推参数估计，是当辨识系统在运行时，每取得一次新的观测数据后，就在前次估计的基础上，利用新引入的观测数据对前次估计的结果，根据递推算法进行修正，从而递推得出新的参数估计值。这样随着新的观测数据的逐次引入，一次接着一次进行参数的估计，直到参数估计值达到满意的精确程度为止。

最小二乘递推算法估计过程中数据信息的变换见图1，其基本思想可以概括成：

将的表达式(25)转化如下形式：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{\mathrm{WLS}}={\left({H_L}^T{\mathrm{\Λ}}_L{H}_L\right)}^{-1}{H_L}^T{\mathrm{\Λ}}_L{y}_L=P\left(L\right){H_L}^T{\mathrm{\Λ}}_L{y}_L={\left[\underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(i\right)h\left(i\right)h^T\left(i\right)\right]}^{-1}\left[\underset{i=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(i\right)h\left(i\right)y\left(i\right)\right]---\left(28\right)$

令：

$\left\{\begin{array}{c}{p}^{-1}\left(k\right)={H_k}^T{\mathrm{\Λ}}_k{H}_k=\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(i\right)h\left(i\right)h^T\left(i\right)\\ p^{-1}(k-1)={H_{k-1}}^T{\mathrm{\Λ}}_{k-1}{H}_{k-1}=\underset{i=1}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(i\right)h\left(i\right)h^T\left(i\right)\end{array}\right.---\left(29\right)$

式中

$H_k=\left[\begin{array}{c}{h}^T\left(1\right)\\ h^T\left(2\right)\\ ...\\ h^T\left(k\right)\end{array}\right],{\mathrm{\Λ}}_k=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Λ}\left(1\right)& & & 0\\ & \mathrm{\Λ}\left(2\right)& & \\ & & ...& \\ 0& & & \mathrm{\Λ}\left(k\right)\end{array}\right]---\left(30\right)$

$H_{k-1}=\left[\begin{array}{c}{h}^T\left(1\right)\\ h^T\left(2\right)\\ ...\\ h^T(k-1)\end{array}\right],{\mathrm{\Λ}}_{k-1}=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{\Λ}\left(1\right)& & & 0\\ & \mathrm{\Λ}\left(2\right)& & \\ & & ...& \\ 0& & & \mathrm{\Λ}(k-1)\end{array}\right]---\left(31\right)$

h(i)是一个列向量，它是H_L第i行向量的转置；P(k)是一个方阵，它的维数取决于未知参数的个数，而与观测次数无关，如果未知参数的个数是n，则P(k)的维数为n×n。

由式(29)可得

$p^{-1}\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(i\right)h\left(i\right)h^T\left(i\right)+\mathrm{\Λ}\left(k\right)h^T\left(k\right)h\left(k\right)=p^{-1}(k-1)+\mathrm{\Λ}\left(k\right)h^T\left(k\right)h\left(k\right)---\left(32\right)$

设

y_k-1＝[y(1),y(2),...,y(k-1)]^T  (33)

则式(28)可以转换为：

$\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)={\left({H_{k-1}}^T{\mathrm{\Λ}}_{k-1}{H}_{k-1}\right)}^{-1}{H_{k-1}}^T{\mathrm{\Λ}}_{k-1}{y}_{k-1}=P(k-1)\left[\underset{i=1}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(i\right)h\left(i\right)y\left(i\right)\right]---\left(34\right)$

于是有

$p^{-1}(k-1)\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)=\underset{i=1}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Λ}\left(i\right)h\left(i\right)y\left(i\right)---\left(35\right)$

令

y_k＝[y(1),y(2),...,y(k)]^T  (36)

利用式(32)和(35)可得：

$\widehat{\mathrm{\θ}}\left(k\right)={\left({H_k}^T{\mathrm{\Λ}}_k{H}_k\right)}^{-1}{H_k}^T{\mathrm{\Λ}}_k{y}_k=\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)+P\left(k\right)h\left(k\right)\mathrm{\Λ}\left(k\right)[y\left(k\right)-h^T\left(k\right)\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)]---\left(37\right)$

定义增益矩阵K(k)为：

K(k)＝P(k)h(k)Λ(k)  (38)

则式(37)转化为：

$\widehat{\mathrm{\θ}}\left(k\right)=\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)+K\left(k\right)[y\left(k\right)-h^T\left(k\right)\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)]---\left(39\right)$

式(32)可以写成：

P(k)＝[P^-1(k-1)+Λ(k)h^T(k)h(k)]^-1  (40)

利用矩阵反演公式：

(A+CC^T)^-1＝A^-1-A^-1C(I+C^TA^-1C)^-1C^TA^-1  (41)

则式(40)可以转化为：

$P\left(k\right)=[I-\frac{P(k-1)h\left(k\right)h^T\left(k\right)}{h^T\left(k\right)P(k-1)h\left(k\right)+{\mathrm{\Λ}}^{-1}\left(k\right)}]P(k-1)---\left(42\right)$

将上式代入式(38)，可得

$K\left(k\right)=P(k-1)h\left(k\right){[h^T\left(k\right)P(k-1)h\left(k\right)+\frac{1}{\mathrm{\Λ}\left(k\right)}]}^{-1}---\left(43\right)$

整理后可得带遗忘因子的递推最小二乘算法的规范化公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\θ}}\left(k\right)=\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)+K\left(k\right)[y\left(k\right)-h^T\left(k\right)\widehat{\mathrm{\θ}}(k-1)]\\ K\left(k\right)=P(k-1)h\left(k\right){[h^T\left(k\right)P(k-1)h\left(k\right)+\frac{1}{\mathrm{\Λ}\left(k\right)}]}^{-1}\\ P\left(k\right)=[I-K\left(k\right)h^T\left(k\right)]P(k-1)\end{array}\right.---\left(44\right)$

当Λ(k)＝1，任取k时，带遗忘因子的最小二乘参数估计递推算法就简化成最小二乘参数估计递推算法。遗忘因子可以在(0,1]范围内选择。如果1/Λ＝1，意味着所有采样数据都是等同加权的，如果1/Λ<<1，则表示对新近获得的数据给予充分大的权因子，从而削弱过去的观测数据的作用。

通过计算机对室温对象进行在线辨识的具体过程为：

1)给定初始条件：

其中，ε为充分小的实向量，

P(0)＝a²I，其中，a为充分大的数，I为单位向量；

2)根据式(18)构造h(k)，其中，空调系统的输入y(k)和输出u(k)可由测量获得；

3)每获得一组新的数据y(k)、h(k)，根据式(42)和式(43)构造K(k)和P(k)；

4)根据式(39)估算出新的参数向量a_k和b_1k,b_2k…,b_mk；

5)根据式(13)、(14)和(15)估算出新的b_k和d_k；

6)对d_k进行取整；

7)令k＝k+1，返回步骤2)继续进行迭代计算，直至达到最大迭代次数。

Claims (4)

1.基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立室温对象的数学模型；

2)采用基于过度参数化的扩展z变换分子的算法和带遗忘因子的递推最小二乘算法辨识室温被控对象的过程参数和延迟参数，并通过计算机实现在线辨识计算。

2.根据权利要求1所述的基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法，其特征在于，所述步骤1)，建立室温对象的数学模型的具体过程为：

1-1)室温控制对象的数学模型G(s)为：

$G\left(s\right)=\frac{K_s}{T_s\&CenterDot;s+1}{e}^{-\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;s}---\left(1\right)$

其中，s为拉普拉斯算子，K_s为放大系数，T_s为时间常数，τ为纯延迟时间；

1-2)对室温控制的数学模型的传递函数G_h(s)进行离散化，得到：

$G_h\left(s\right)=\frac{1-\exp (T\&CenterDot;s)}{s}---\left(2\right)$

其中，T为采样周期；

1-3)对室温被控对象的数学模型G(s)进行z变换后，得到离散化数学模型G(z^-1)为：

$G\left(z^{-1}\right)=\frac{B\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}\&CenterDot;z^{-d}=\frac{{\mathrm{bz}}^{-1}}{1-{\mathrm{az}}^{-1}}\&CenterDot;z^{-d}---\left(8\right)$

其中，d＝τ/T，b＝K_s(1-a)，

a，b均为待辨识室温控制数学模型的过程参数，d为待辨识的延迟参数。

3.根据权利要求1所述的基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法，其特征在于，所述步骤2)对室温被控对象的过程参数和延迟参数进行辨识，包括以下步骤：

2-1)将式(8)中B(z^-1)·z^-d展开为多项式的形式B_m(z^-1)：

B_m(z^-1)＝b₁z^-1+b₂z^-2+...+b_mz^-m  (10)

其中，m-1为室温被控对象的最长延迟，则待辨识的室温被控模型G(z^-1)转换为G_m(z^-1)的形式：

$G_m\left(z^{-1}\right)=\frac{B\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}{z}^{-d}=\frac{B_m\left(z^{-1}\right)}{A\left(z^{-1}\right)}=\frac{\widehat{b_1}{z}^{-1}+\widehat{b_2}{z}^{-2}+...+\widehat{b_m}{z_m}^{-m}}{1-\hat{a}{z}^{-1}}---\left(11\right)$

定义待辨识的参数向量为：

2-2)当向量值被估算出来后，参数向量中的即为要辨识的过程参数a；

2-3)对B(z^-1)·z^-d和B_m(z^-1)进行频率特性分析，令频率ω＝0时，与的零阶和一阶导数相等，即：

$B\left(z^{-1}\right)\&CenterDot;z^{-d}{|}_{{z=e}^{\mathrm{j\&omega;}}}={\hat{B}}_m\left(z^{-1}\right){|}_{{z=e}^{\mathrm{j\&omega;}}}---\left(12\right)$

$\frac{\mathrm{dB}\left(z^{-1}\right)\&CenterDot;z^{-d}{|}_{{z=e}^{\mathrm{j\&omega;}}}}{\mathrm{d\&omega;}}=\frac{d{\hat{B}}_m\left(z^{-1}\right){|}_{{z=e}^{\mathrm{j\&omega;}}}}{\mathrm{d\&omega;}}---\left(13\right)$

2-4)通过式(12)和式(13)获得过程参数b，延迟参数d，和G_m(z^-1)中待辨识的参数之间的关系如下：

$\hat{b}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\widehat{b_i}---\left(14\right)$

$\hat{d}=[(\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}i\&times;\widehat{b_i})/\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\widehat{b_i}]-1---\left(15\right)$

即为要辨识的过程参数b，即为要辨识的延迟参数d；

2-5)将式(11)所述的G_m(z^-1)的模型写成最小二乘的形式：

y(k)＝h^T(k)θ+e(k)  (17)

其中，e(k)为实际输出与期望输出之间的误差，y(k)表示在k时刻室温控制系统的输出，u(k)表示k时刻室温控制的输入，

h(k)和θ表示如下：

$\left\{\begin{array}{c}h\left(k\right)={[-y(k-1),u(k-1),u(k-2),...,u(k-m)]}^T\\ \mathrm{\&theta;}={[a,b_1,b_{2,}...,b_m]}^T\end{array}\right.---\left(18\right);$

2-6)定义函数J(θ)为：

$J\left(\mathrm{\&theta;}\right)=\underset{k=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&Lambda;}\left(k\right){\left[e\left(k\right)\right]}^2---\left(21\right)$

其中，Λ(k)为遗忘因子；

2-7)得到带遗忘因子的递推最小二乘算法的规范化公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{\mathrm{\&theta;}}\left(k\right)=\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k-1)+K\left(k\right)[y\left(k\right)-h^T\left(k\right)\widehat{\mathrm{\&theta;}}(k-1)]\\ K\left(k\right)=P(k-1)h\left(k\right){[h^T\left(k\right)P(k-1)h\left(k\right)+\frac{1}{\mathrm{\&Lambda;}\left(k\right)}]}^{-1}\\ P\left(k\right)=[I-K\left(k\right)h^T\left(k\right)]P(k-1)\end{array}\right.---\left(44\right)$

其中，K(k)为增益矩阵，P(k)是一个方阵。

4.根据权利要求1所述的基于改进型递推最小二乘的室温被控对象在线辨识算法，其特征在于，所述步骤2)中，通过计算机实现在线辨识的过程如下：

2-a)给定初始条件：

其中，ε为充分小的实向量，

P(0)＝a²I，其中，a为充分大的数，I为单位向量；

2-b)根据式(18)构造h(k)，其中，空调系统的输入y(k)和输出u(k)可由测量获得；

2-c)每获得一组新的数据y(k)、h(k)，根据式(44)构造K(k)和P(k)；

2-d)根据式(44)估算出新的参数向量a_k和b_1k,b_2k…,b_mk；

2-e)根据式(13)、(14)和(15)估算出新的b_k和d_k；

2-f)对d_k进行取整：d_k+1＝INT(d_k+0.5)

INT(x)表示求不大于x的最大整数；

2-g)令k＝k+1，返回步骤2-b)继续进行迭代计算，直至达到最大迭代次数。