CN104102955B - 基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法 - Google Patents

Abstract

一种基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法，在基本差分进化算法框架下，结合抽象凸理论，首先，通过提取新个体的邻域信息建立局部抽象凸下界松弛模型；进而，利用下界支撑面估计目标函数值来指导种群更新，减少了目标函数的评价次数，从而减小了计算代价；其次，利用下界估计区域极值点快速枚举算法系统排除部分无效区域，缩小了搜索空间，不仅进一步降低了计算代价，还加快了收敛速度，而且提高了优化结果的可靠性；最后，借助线性拟凸包络的广义下降方向有效的实现局部增强，进一步加快了收敛速度。

Description

基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法

技术领域

本发明涉及一种智能优化、电力系统配电网络线路规划，尤其涉及的是，一种基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法。

背景技术

路径选择是整个电力线路设计中的关键，方案的合理性对线路的经济、技术指标和施工、运行条件起着重要作用。为了做到既合理缩短线路长度、降低线路投资，又保证线路安全可靠运行，一种廉价可靠的电力线路优化算法至关重要。

随着经济建设的发展，电力线路规划问题也变得越来越复杂。基于梯度的传统方法、Nelder-Mead及Hooke-Jeeves等一类局部搜索方法，解的质量直接取决于起始点的选择，这些方法已基本上不可能得到问题的全局最优解。分支定界、凸分析及双层规划等确定性方法通常依赖待解问题的先验知识，此外，极高的计算复杂度也限制了其在电力线路规划问题中的应用。

Storn等提出的差分进化算法(DE)通过种群内个体间的合作与竞争实现对优化问题的求解，具有能够记忆个体最优解，种群内信息共享及易与其他算法结合的特点；虽然在电力系统的广泛应用中展现出了其独特的优势，但在理论和应用中也暴露出诸多不足和缺陷，如计算代价(如函数的评价次数)较高，后期收敛速度慢，极容易趋于早熟收敛而陷于局部最优解，可靠性较低。

为了提高DE算法的性能，国内外学者相继提出了一些改进差分进化算法。Zhang等提出一种带有外部最优存档的自适应差分进化算法(JADE)，对搜索过程中最优解进行存档，并自适应地调整了变异率和交叉率。Wang等提出一种具有复合新个体生成策略和控制参数的差分进化算法(CoDE)，通过不同的生成策略与不同的控制参数随机组合来竞争产生新个体。Mallipeddi等提出一种具有系综变异策略和参数的差分进化算法(EPSDE)，在进化过程中的不同阶段，设置一组不同的变异策略及与其对应的参数来竞争产生后代。Elsayed等提出一种新的自适应差分进化算法(ISAMODE-CMA)，将种群分成很多亚种群，对每个亚种群设置相应进化策略和和交叉参数，引入一种学习策略来自适应调整每个亚种群的种群规模，同时利用协方差适应矩阵来加快算法的收敛速度。Bhattacharya等将差分进化算法与生物地理学优化算法结合(DE-BBO)，利用BBO算法的迁移和变异操作来提高DE算法的搜索能力，同时加快算法的收敛速度。这些算法对于一些低维问题取得了较好的效果，但是对于电力线路规划这种高维优化问题，收敛速仍然是算法的瓶颈所在，而且也极容易陷于局部最优解，出现早熟现象。

因此，现有的优化方法在计算代价、收敛速度及可靠性方面存在着缺陷，需要改进。

发明内容

为了克服现有的电力线路规划方法的计算代价较大、收敛速度较慢及可靠性较低的不足，本发明提出一种计算代价小，收敛速度快，且可靠性较高的基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法，所述方法包括以下步骤：

1)参数初始化：根据公式(1)确定优化问题的目标函数f(x)，设置常数M，增益常数F，交叉概率CR，群体规模N_P，各变量的下界a_i和上界b_i，置无效区域IR为空，进化代数g＝0；

其中：S₁、S₂、S₃分别为新建线路集、已建线路集和总线路集，ω是年等值回收系数，λ为维修、折旧费与投资费用之比，e_i是线路i的长度，h(D_i)为线径为D_i的线路单位长度的造价，x_i为第i条线路的决策变量，选择该线路作为馈线支路，则x_i取1，反之取0，g(D_i)为线径为D_i的线路的电阻率，P_i为线路i的通过功率，U_N为额定电压，τ_max年最大损耗时间，d为单位电价；

2)在各变量的定义域范围内随机生成初始群体

3)对n叉树的树根初始化：

3.1)根据公式(2)对单位单纯形区域S的各顶点进行转换得到点

其中a_i为的下界，b_i为的上界，其中为各顶点在S中的坐标值；

3.2)根据公式(3)计算各点的支撑向量l¹,l²,...,l^N+1，式中f(x^k)表示x^k对应的实际目标函数值；

由于目标函数f(x)必须为满足公式(3)的函数

其中，表示任意， 在计算支撑向量时，应对公式(3)中的f(x^k)加上一个足够大的常数M，使其满足式(4)；

4)找出当前种群中的最优个体x_best和最差个体x_worst,如果满足终止条件(如|f(x_best)-f(x_worst)|≤ε),则退出；

5)对于每一个目标个体x^k∈P,交叉、变异产生新个体x_trial：

5.1)任意选取三个个体{x^a,x^b,x^c|a,b,c∈{1,2,...,N_P},a≠b≠c≠k}；

5.2)根据公式(5)对{x^a,x^b,x^c}执行变异操作，生成变异个体

5.3)根据公式(6)对目标个体x^k和变异个体执行交叉操作，生成新个体x_trial：

其中，randb(0,1)表示为产生0到1之间的随机小数，rnbr(i)表示随机产生1到N之间的整数；

6)通过选择策略来替换种群P中的个体，对于每一个新个体x_trial，通过如下操作来决定它是否替换其对应的目标个体x^k：

6.1)以支撑矩阵L＝{l¹,l²,...,l^N+1}为根建立树，支撑矩阵L如公式(7)；

6.2)找出离新个体x_trial最近的两个个体m＝1,2，并对其构建支撑向量：

6.2.1)根据公式(8)将转换到单位单纯形空间中得到

根据公式(3)计算的支撑向量l^near；

6.2.2)根据条件关系式(9)(10)更新树：

其中I＝{1,2,...,N+1}，v∈Λ^k\L表示v属于Λ^k但不属于L，表示存在；

a)找出针对步骤6.2.1)构建的支撑向量l^near不满足条件(10)的叶子节点，式中v_i＝l^near；

b)用l^near替换步骤a)中找到的叶子节点矩阵中的第i个支撑向量lⁱ，从而形成新的叶子节点；

c)判断步骤b)中产生的新的叶子节点是否满足条件关系式(9)，如果满足，则保留，否则删除；

6.3)对x_trial个体进行如下操作：

6.3.1)根据公式(8)对x_trial个体作变换得到x′_trial；

6.3.2)根据公式(11)从树中找出包含x′_trial个体的树叶子节点TreeNode，其中用x′_trial代替；

其中为所找的叶子节点矩阵中的元素；

6.3.3)如果x′_trial被包含在无效区域IR中，则保留x^k不变，并转到步骤6.5)，否则继续步骤6.3.4)；

6.3.4)根据公式(12)计算出x′_trial所在节点TreeNode的下界估计值y_trial：

其中max表示最大，min表示最小，x′_trial为x_trial在单位单纯形空间中的向量；

6.3.5)如果y_trial大于目标个体的函数值f(x^k)，则目标个体不变，并转到6.3.6)，否则转到步骤6.3.8)；

6.3.6)继续根据公式(12)计算出节点TreeNode所对应的下界估计区域的极小值d_min；

d_min＝1/Trace(L) (13)

其中Trace表示矩阵的迹，即正对角线元素之和，其中L为支撑矩阵；

6.3.7)如果d_min依然大于目标个体的函数值f(x^k)，则将TreeNode所对应的区域视为无效区域，并加入IR中；

6.3.8)如果x_trial个体的目标函数值f(x_trial)小于则x_trial个体取代目标个体x^k，并继续步骤6.4)，否则转到步骤6.5)；

6.4)继续做局部增强，进行如下操作：

6.4.1)继续根据公式(14)计算出TreeNode对应区域的下界支撑函数的极小值点x′_min，式中L用TreeNode对应的支撑矩阵代替；

x′_min(L)＝diag(L)/Trace(L) (14)

其中diag表示正对角线上的元素，Trace表示矩阵的迹，即正对角线元素之和，其中L为支撑矩阵；

6.4.2)根据公式(2)对x′_min转换得到x_min；

6.4.3)计算x_min对应的目标函数值f(x_min)；

6.4.4)如果f(x_min)小于目标个体的函数值f(x^k)，则x_min取代目标个体x^k；

6.5)删除树并转到步骤4)；

7)设置g＝g+1，并转到步骤4)。

本发明的技术构思为：在基本差分进化算法框架下，结合抽象凸理论，首先，通过提取新个体的邻域信息建立局部抽象凸下界松弛模型，进而，利用下界支撑面估计目标函数值来指导种群更新；其次，利用下界估计区域极值点快速枚举算法系统排除部分无效区域；最后，借助线性拟凸包络的广义下降方向有效的实现局部增强。

本发明的有益效果表现在：一方面，利用下界信息指导种群更新，减少了目标函数的评价次数，从而减小了计算代价；其次，利用下界估计区域的极值信息系统排出部分无效区域，缩小了搜索空间，不仅进一步降低了计算代价，还加快了收敛速度，而且提高了优化结果的可靠性；另一方面，借助线性拟凸包络的广义下降方向有效的实现局部增强，进一步加快了收敛速度。

附图说明

图1是基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法流程图。

图2是基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法中新个体x_trial的更新过程示意图。

图3是初始线路布置。

图4是执行算法后优化得到的线路布置，其中浅色线路为优化后的线路布置。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图4，一种基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法，包括以下步骤：

1)参数初始化：根据公式(1)确定优化问题的目标函数f(x)，设置常数M，增益常数F，交叉概率CR，群体规模N_P，各变量的下界a_i和上界b_i，置无效区域IR为空，进化代数g＝0；

优化模型考虑资金的时间价值，按等额分付资本回收计算，以年投资及运行维护费用最小为目标，其中：S₁、S₂、S₃分别为新建线路集、已建线路集和总线路集，ω是年等值回收系数，λ为维修、折旧费与投资费用之比，e_i是线路i的长度，h(D_i)为线径为D_i的线路单位长度的造价，x_i为第i条线路的决策变量(选择该线路作为馈线支路，则x_i取1，反之取0)，g(D_i)为线径为D_i的线路的电阻率，P_i为线路i的通过功率，U_N为额定电压，τ_max年最大损耗时间，d为单位电价；

2)在各变量的定义域范围内随机生成初始群体

3)对n叉树的树根初始化：

3.1)根据公式(2)对单位单纯形区域S的各顶点进行转换得到点

其中a_i为x_i的下界，b_i为x_i的上界，其中x_i′为各顶点在S中的坐标值；

3.2)根据公式(3)计算各点的支撑向量l¹,l²,...,l^N+1，式中f(x^k)表示x^k对应的实际目标函数值；

由于目标函数f(x)必须为满足公式(3)的函数

其中，表示任意， 在计算支撑向量时，应对公式(3)中的f(x^k)加上一个足够大的常数M，使其满足式(4)；

4)找出当前种群中的最优个体x_best和最差个体x_worst,如果满足终止条件(如|f(x_best)-f(x_worst)|≤ε),则退出；

5)对于每一个目标个体x^k∈P,交叉、变异产生新个体x_trial：

5.1)任意选取三个个体{x^a,x^b,x^c|a,b,c∈{1,2,...,N_P},a≠b≠c≠k}；

5.2)根据公式(5)对{x^a,x^b,x^c}执行变异操作，生成变异个体

5.3)根据公式(6)对目标个体x^k和变异个体执行交叉操作，生成新个体x_trial：

其中，randb(0,1)表示为产生0到1之间的随机小数，rnbr(i)表示随机产生1到N之间的整数；

6)通过选择策略来替换种群P中的个体，对于每一个新个体x_trial，通过如下操作来决定它是否替换其对应的目标个体x^k：

6.1)以支撑矩阵L＝{l¹,l²,...,l^N+1}为根建立树，支撑矩阵L如公式(7)；

6.2)找出离新个体x_trial最近的两个个体m＝1,2，并对其构建支撑向量：

6.2.1)根据公式(8)将转换到单位单纯形空间中得到

根据公式(3)计算的支撑向量l^near；

6.2.2)根据条件关系式(9)(10)更新树：

其中I＝{1,2,...,N+1}，v∈Λ^k\L表示v属于Λ^k但不属于L，表示存在；

a)找出针对步骤6.2.1)构建的支撑向量l^near不满足条件(10)的叶子节点，式中v_i＝l^near；

b)用l^near替换步骤a)中找到的叶子节点矩阵中的第i个支撑向量lⁱ，从而形成新的叶子节点；

c)判断步骤b)中产生的新的叶子节点是否满足条件关系式(9)，如果满足，则保留，否则删除；

6.3)对x_trial个体进行如下操作：

6.3.1)根据公式(8)对x_trial个体作变换得到x′_trial；

6.3.2)根据公式(11)从树中找出包含x′_trial个体的树叶子节点TreeNode，其中用x′_trial代替；

其中为所找的叶子节点矩阵中的元素；

6.3.3)如果x′_trial被包含在无效区域IR中，则保留x^k不变，并转到步骤6.5)，否则继续步骤6.3.4)；

6.3.4)根据公式(12)计算出x′_trial所在节点TreeNode的下界估计值y_trial，其中用x′_trial代替；

其中max表示最大，min表示最小，x′_i为x_i在单位单纯形空间中的向量；

6.3.5)如果y_trial大于目标个体的函数值f(x^k)，则目标个体不变，并转到6.3.6)，否则转到步骤6.3.8)；

6.3.6)继续根据公式(12)计算出节点TreeNode所对应的下界估计区域的极小值d_min；

d(L)＝H^K(x′_min)＝1/Trace(L) (27)

其中Trace表示矩阵的迹，即正对角线元素之和，其中L为支撑矩阵；

6.3.7)如果d_min依然大于目标个体的函数值f(x^k)，则将TreeNode所对应的区域视为无效区域，并加入IR中；

6.3.8)如果x_trial个体的目标函数值f(x_trial)小于则x_trial个体取代目标个体x^k，并继续步骤6.4)，否则转到步骤6.5)；

6.4)继续做局部增强，进行如下操作：

6.4.5)继续根据公式(14)计算出TreeNode对应区域的下界支撑函数的极小值点x′_min，式中L用TreeNode对应的支撑矩阵代替；

x′_min(L)＝diag(L)/Trace(L) (28)

其中diag表示正对角线上的元素，Trace表示矩阵的迹，即正对角线元素之和，其中L为支撑矩阵；

6.4.6)根据公式(2)对x′_min转换得到x_min；

6.4.7)计算x_min对应的目标函数值f(x_min)；

6.4.8)如果f(x_min)小于目标个体的函数值f(x^k)，则x_min取代目标个体x^k；

6.5)删除树并转到步骤4)；

7)设置g＝g+1，并转到步骤4)。

图2中，假设A为目标个体，B为有效区域中的新生成个体x_trial，找出离B个体最近的两个个体C和D，并构建下界支撑面，计算出B个体的下界估计值因为大于A个体的目标值，则无需对新个体B作目标评价，且保留A个体不变，继续计算出B个体所在估计区域的极小值d_u，如果d_u依然大于A的目标值，则此区域视为无效区域，并记录，且删除C和D个体的下界支撑面；再假设E为目标个体且不在无效区域中，F为新生成个体x_trial，针对离其最近的两个个体G和H构建下界支撑面，并计算出F个体的下界估计值因为小于E个体的目标值，且F的目标函数值小于E的目标值，则F个体取代E个体。为了加快算法的收敛速度，继续计算出F个体所在区域的下界支撑函数的极值点Q(x_u,d(x_u))，及其在目标函数上对应的点Q′(x_u,f(x_u))，因为Q′对应的目标函数值小于F个体的函数值，则Q′取代F个体，同时删除G和H个体的下界支撑面。

本实施例以一个具有37个节点、2条现有支路和57条可扩建支路的10kv配电网的实际系统为实施例，如图3所示，实线为可扩建线路，虚线为已建设线路，一种基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法，其中包含以下步骤：

1)参数初始化：根据公式(1)确定优化问题的目标函数f(x)，设置常数M＝500，增益常数F＝0.5，交叉概率CR＝0.5，群体规模N_P＝50，各变量的下界a_i和上界b_i，置无效区域IR为空，进化代数g＝0；

优化模型考虑资金的时间价值，按等额分付资本回收计算，以年投资及运行维护费用最小为目标，其中：S₁、S₂、S₃分别为新建线路集、已建线路集和总线路集，ω是年等值回收系数，λ为维修、折旧费与投资费用之比，e_i是线路i的长度，h(D_i)为线径为D_i的线路单位长度的造价，x_i为第i条线路的决策变量(选择该线路作为馈线支路，则x_i取1，反之取0)，g(D_i)为线径为D_i的线路的电阻率，P_i为线路i的通过功率，U_N为额定电压，τ_max年最大损耗时间，d为单位电价；

2)在各变量的定义域范围内随机生成初始群体

3)对n叉树的树根初始化：

3.1)根据公式(2)对单位单纯形区域S的各顶点进行转换得到点

其中，a_i为的下界，b_i为的上界，其中为各顶点在S中的坐标值；

3.2)根据公式(3)计算各点的支撑向量l¹,l²,...,l^N+1，式中f(x^k)表示x^k对应的实际目标函数值；

由于目标函数f(x)必须为满足公式(3)的函数

其中，表示任意， 在计算支撑向量时，应对公式(3)中的f(x^k)加上一个足够大的常数M，使其满足式(4)；

4)找出当前种群中的最优个体x_best和最差个体x_worst,如果满足终止条件(如|f(x_best)-f(x_worst)|≤ε),则退出；

5)对于每一个目标个体x^k∈P,交叉、变异产生新个体x_trial：

5.1)任意选取三个个体{x^a,x^b,x^c|a,b,c∈{1,2,...,N_P},a≠b≠c≠k}；

5.2)根据公式(5)对{x^a,x^b,x^c}执行变异操作，生成变异个体

5.3)根据公式(6)对目标个体x^k和变异个体执行交叉操作，生成新个体x_trial：

其中，randb(0,1)表示为产生0到1之间的随机小数，rnbr(i)表示随机产生1到N之间的整数；

6)通过选择策略来替换种群P中的个体，对于每一个新个体x_trial，通过如下操作来决定它是否替换其对应的目标个体x^k：

6.1)以支撑矩阵L＝{l¹,l²,...,l^N+1}为根建立树，支撑矩阵L如公式(7)；

6.2)找出离新个体x_trial最近的两个个体m＝1,2，并对其构建支撑向量：

6.2.1)根据公式(8)将转换到单位单纯形空间中得到

根据公式(3)计算的支撑向量l^near；

6.2.2)根据条件关系式(9)(10)更新树：

其中I＝{1,2,...,N+1}，v∈Λ^k\L表示v属于Λ^k但不属于L，表示存在；

a)找出针对步骤6.2.1)构建的支撑向量l^near不满足条件(10)的叶子节点，式中v_i＝l^near；

b)用l^near替换步骤a)中找到的叶子节点矩阵中的第i个支撑向量lⁱ，从而形成新的叶子节点；

c)判断步骤b)中产生的新的叶子节点是否满足条件关系式(9)，如果满足，则保留，否则删除；

6.3)对x_trial个体进行如下操作：

6.3.1)根据公式(8)对x_trial个体作变换得到x′_trial；

6.3.2)根据公式(11)从树中找出包含x′_trial个体的树叶子节点TreeNode，其中用x′_trial代替；

其中为所找的叶子节点矩阵中的元素；

6.3.3)如果x′_trial被包含在无效区域IR中，则保留x^k不变，并转到步骤6.5)，否则继续步骤6.3.4)；

6.3.4)根据公式(12)计算出x′_trial所在节点TreeNode的下界估计值y_trial，其中用x′_trial代替；

其中max表示最大，min表示最小，x′_i为x_i在单位单纯形空间中的向量；

6.3.5)如果y_trial大于目标个体的函数值f(x^k)，则目标个体不变，并转到6.3.6)，否则转到步骤6.3.8)；

6.3.6)继续根据公式(12)计算出节点TreeNode所对应的下界估计区域的极小值d_min；

d(L)＝H^K(x′_min)＝1/Trace(L) (41)

其中Trace表示矩阵的迹，即正对角线元素之和，其中L为支撑矩阵；

6.3.7)如果d_min依然大于目标个体的函数值f(x^k)，则将TreeNode所对应的区域视为无效区域，并加入IR中；

6.3.8)如果x_trial个体的目标函数值f(x_trial)小于则x_trial个体取代目标个体x^k，并继续步骤6.4)，否则转到步骤6.5)；

6.4)继续做局部增强，进行如下操作：

6.4.1)继续根据公式(14)计算出TreeNode对应区域的下界支撑函数的极小值点x′_min，式中L用TreeNode对应的支撑矩阵代替；

x′_min(L)＝diag(L)/Trace(L) (42)

其中diag表示正对角线上的元素，Trace表示矩阵的迹，即正对角线元素之和，其中L为支撑矩阵；

6.4.2)根据公式(2)对x′_min转换得到x_min；

6.4.3)计算x_min对应的目标函数值f(x_min)；

6.4.4)如果f(x_min)小于目标个体的函数值f(x^k)，则x_min取代目标个体x^k；

6.5)删除树并转到步骤4)；

7)设置g＝g+1，并转到步骤4)。

以一个具有37个节点、2条现有支路和57条可扩建支路的10kv配电网的实际系统为实施例，执行基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法后，得到了如图4所示的优化线路，从优化结果可以看出，每回线路均有互不重叠的供电范围，可见其结果是合理的，并符合工程实际。

以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出来的优良优化效果，显然本发明不仅适合上述实施例，而且可以应用到实际工程中的其他领域(如蛋白质结构预测，路径规划等优化问题)，同时在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及内容的前提下可对其做种种变化加以实施。

Claims (1)

1.一种基于抽象凸估计选择差分进化算法的电力线路规划方法，其特征在于：所述规划方法包括以下步骤：

1)参数初始化：根据公式(1)确定优化问题的目标函数f(x)，设置常数M，增益常数F，交叉概率CR，群体规模N_P，各变量的下界a_i和上界b_i，置无效区域IR为空，进化代数g＝0；

<mrow> <mi>min</mi> <mi> </mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </munder> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>S</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </munder> <msub> <mi>e</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <msubsup> <mi>P</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>U</mi> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中：S₁、S₂、S₃分别为新建线路集、已建线路集和总线路集，ω是年等值回收系数，λ为维修、折旧费与投资费用之比，e_i是线路i的长度，h(D_i)为线径为D_i的线路单位长度的造价，x_i为第i条线路的决策变量，选择该线路作为馈线支路，则x_i取1，反之取0，g(D_i)为线径为D_i的线路的电阻率，P_i为线路i的通过功率，U_N为额定电压，τ_max年最大损耗时间，d为单位电价；

2)在各变量的定义域范围内随机生成初始群体

3)对n叉树的树根初始化：

3.1)根据公式(2)对单位单纯形区域S的各顶点进行转换得到点

<mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，a_i为的下界，b_i为的上界，其中为各顶点在S中的坐标值；

3.2)根据公式(3)计算各点的支撑向量l¹,l²,...,l^N+1，式中f(x^k)表示x^k对应的实际目标函数值；

<mrow> <msup> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>1</mn> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mfrac> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

由于目标函数f(x)必须为满足公式(3)的函数

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mi>y</mi> <mo>&amp;DoubleRightArrow;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msubsup> <mi>R</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mo>+</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，表示任意， 在计算支撑向量时，应对公式(3)中的f(x^k)加上一个足够大的常数M，使其满足式(4)；

4)找出当前种群中的最优个体x_best和最差个体x_worst,如果满足终止条件：如|f(x_best)-f(x_worst)|≤ε,则退出；

5)对于每一个目标个体x^k∈P,交叉、变异产生新个体x_trial：

5.1)任意选取三个个体{x^a,x^b,x^c|a,b,c∈{1,2,...,N_P},a≠b≠c≠k}；

5.2)根据公式(5)对{x^a,x^b,x^c}执行变异操作，生成变异个体

<mrow> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>a</mi> </msup> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>b</mi> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>x</mi> <mi>c</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

5.3)根据公式(6)对目标个体x^k和变异个体执行交叉操作，生成新个体x_trial：

<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <mi>C</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>o</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>n</mi> <mi>b</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </msubsup> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mi>b</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mi>C</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>o</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>r</mi> <mi>n</mi> <mi>b</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，randb(0,1)表示为产生0到1之间的随机小数，rnbr(i)表示随机产生1到N之间的整数；

6)通过选择策略来替换种群P中的个体，对于每一个新个体x_trial，通过如下操作来决定它是否替换其对应的目标个体x^k：

6.1)以支撑矩阵L＝{l¹,l²,...,l^N+1}为根建立树，支撑矩阵L如公式(7)；

6.2)找出离新个体x_trial最近的两个个体m＝1,2，并对其构建支撑向量：

6.2.1)根据公式(8)将转换到单位单纯形空间中得到

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mi>n</mi> <mi>e</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据公式(3)计算的支撑向量l^near；

6.2.2)根据条件关系式(9)(10)更新树：

<mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>I</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>j</mi> <mo>:</mo> <msubsup> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>&lt;</mo> <msubsup> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>v</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mi>k</mi> </msup> <mo>\</mo> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;Exists;</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>I</mi> <mo>:</mo> <msubsup> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中I＝{1,2,...,N+1}，v∈Λ^k\L表示v属于Λ^k但不属于L，表示存在；

a)找出针对步骤6.2.1)构建的支撑向量l^near不满足条件(10)的叶子节点，式中v_i＝l^near；

b)用l^near替换步骤a)中找到的叶子节点矩阵中的第i个支撑向量从而形成新的叶子节点；

c)判断步骤b)中产生的新的叶子节点是否满足条件关系式(9)，如果满足，则保留，否则删除；

6.3)对x_trial个体进行如下操作：

6.3.1)根据公式(8)对x_trial个体作变换得到x′_trial；

6.3.2)根据公式(11)从树中找出包含x′_trial个体的树叶子节点TreeNode，其中用x′_trial代替；

<mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>j</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </msubsup> <mo>&gt;</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>j</mi> <mi>r</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>I</mi> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中为所找的叶子节点矩阵中的元素；

6.3.3)如果x′_trial被包含在无效区域IR中，则保留x^k不变，并转到步骤6.5)，否则继续步骤6.3.4)；

6.3.4)根据公式(12)计算出x′_trial所在节点TreeNode的下界估计值y_trial，其中用x′_trial代替；

<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mi>N</mi> <mo>+</mo> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中max表示最大，min表示最小，为在单位单纯形空间中的向量；

6.3.5)如果y_trial大于目标个体的函数值f(x^k)，则目标个体不变，并转到6.3.6)，否则转到步骤6.3.8)；

6.3.6)继续根据公式(12)计算出节点TreeNode所对应的下界估计区域的极小值d_min；

d_min＝1/Trace(L) (13)

其中Trace表示矩阵的迹，即正对角线元素之和，其中L为支撑矩阵；

6.3.7)如果d_min依然大于目标个体的函数值f(x^k)，则将TreeNode所对应的区域视为无效区域，并加入IR中；

6.3.8)如果x_trial个体的目标函数值f(x_trial)小于则x_trial个体取代目标个体x^k，并继续步骤6.4)，否则转到步骤6.5)；

6.4)继续做局部增强，进行如下操作：

6.4.1)继续根据公式(14)计算出TreeNode对应区域的下界支撑函数的极小值点x′_min，式中L用TreeNode对应的支撑矩阵代替；

x′_min(L)＝diag(L)/Trace(L) (14)

其中diag表示正对角线上的元素，Trace表示矩阵的迹，即正对角线元素之和，其中L为支撑矩阵；

6.4.2)根据公式(2)对x′_min转换得到x_min；

6.4.3)计算x_min对应的目标函数值f(x_min)；

6.4.4)如果f(x_min)小于目标个体的函数值f(x^k)，则x_min取代目标个体x^k；

6.5)删除树并转到步骤4)；

7)设置g＝g+1，并转到步骤4)。